1-1 \(k > 0\)이므로 두 이차함수와 \(x\)축의 교점을 구하면 다음과 같다.
\(f_1(x) = 2kx(1-x) = 0 \implies x = 0, 1\)이며 구간 \([0, 1]\)에서 \(f_1(x) \ge 0\)이다.
따라서 둘러싸인 넓이 \(S_1\)은
\[S_1 = \int_0^1 2kx(1-x)\,dx = 2k\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2k\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{k}{3}\]
\(f_2(x) = x(k-x) = 0 \implies x = 0, k\)이며 구간 \([0, k]\)에서 \(f_2(x) \ge 0\)이다.
따라서 둘러싸인 넓이 \(S_2\)는
\[S_2 = \int_0^k x(k-x)\,dx = \left[\frac{kx^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^k = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}\]
그러므로 \(\mathbf{S_1 = \frac{k}{3}}\), \(\mathbf{S_2 = \frac{k^3}{6}}\)이다.

1-2 동전 던지기의 결과와 관계없이 \(S_1\)과 \(S_2\)의 값이 같으려면 \(S_1 = S_2\)이어야 한다.
\[\frac{k}{3} = \frac{k^3}{6} \implies 2k = k^3 \implies k(k^2 - 2) = 0\]
\(k > 0\)이므로 \(\mathbf{k = \sqrt{2}}\)이다.
이때의 넓이는 \(S_1 = S_2 = \frac{\sqrt{2}}{3}\)이다.

2-1 자연수 \(n \ge 1\)에 대해 구간 \([0, 1]\)에서 \(1-x^n \ge 0\)이므로 영역 \(D_n\)의 넓이는
\[D_n = \int_0^1 (1-x^n)\,dx = \left[x - \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]

2-2 \(0 \le x \le 1\)에서 \(a < b < c\)이면 \(x^a > x^b > x^c\)이므로 \(1-x^a < 1-x^b < 1-x^c\)이다.
\(D_a\)와 \(D_b\)로 둘러싸인 넓이: \(D_b - D_a = \left(1-\frac{1}{b+1}\right) - \left(1-\frac{1}{a+1}\right) = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{b+1}\)
\(D_b\)와 \(D_c\)로 둘러싸인 넓이: \(D_c - D_b = \frac{1}{b+1} - \frac{1}{c+1}\)
두 넓이가 같으므로 \(\frac{1}{a+1} - \frac{1}{b+1} = \frac{1}{b+1} - \frac{1}{c+1} \iff \frac{1}{a+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{2}{b+1}\)이다.
\(A=a+1, B=b+1, C=c+1\)로 두면 \(2 \le A < B < C \le 6\)이며 \(B = \frac{2AC}{A+C}\)이다.
(i) \(C=6\)일 때:
- \(A=2 \implies B = \frac{2 \times 2 \times 6}{2+6} = 3\) (자연수) \(\implies (a, b, c) = (1, 2, 5)\)
- \(A=3 \implies B = \frac{2 \times 3 \times 6}{3+6} = 4\) (자연수) \(\implies (a, b, c) = (2, 3, 5)\)
- \(A=4, 5\)일 때는 \(B\)가 자연수가 되지 않는다.
(ii) \(C=5, 4, 3\)일 때 조사하면 조건을 만족하는 자연수 \(B\)가 존재하지 않는다.
따라서 가능한 자연수 순서쌍 \((a, b, c)\)는 \(\mathbf{(1, 2, 5), (2, 3, 5)}\)이다.

3-1 진수 조건에 의해 \(x > 0\)이다.
주어진 로그방정식 \(\left(\log_{\frac{1}{2}} x^3\right)\left(\log_{\frac{1}{2}} 5x\right) = 17\)에서 로그의 성질을 적용하면
\[\left(3\log_{\frac{1}{2}} x\right)\left(\log_{\frac{1}{2}} 5 + \log_{\frac{1}{2}} x\right) = 17\]
\(t = \log_{\frac{1}{2}} x\)라 치환하면 이차방정식
\[3t\left(t + \log_{\frac{1}{2}} 5\right) = 17 \implies 3t^2 + 3\left(\log_{\frac{1}{2}} 5\right)t - 17 = 0\]
을 얻는다. 주어진 방정식의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하면, 위 이차방정식의 두 근은 \(t_1 = \log_{\frac{1}{2}}\alpha\), \(t_2 = \log_{\frac{1}{2}}\beta\)이다.
근과 계수의 관계에 의해
\[t_1 + t_2 = -\frac{3\log_{\frac{1}{2}} 5}{3} = -\log_{\frac{1}{2}} 5 = \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{5}\]
한편, \(t_1 + t_2 = \log_{\frac{1}{2}}\alpha + \log_{\frac{1}{2}}\beta = \log_{\frac{1}{2}}(\alpha\beta)\)이므로
\[\log_{\frac{1}{2}}(\alpha\beta) = \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{5} \implies \alpha\beta = \frac{1}{5}\]
따라서 구하는 두 근의 곱은 \(\mathbf{\alpha\beta = \frac{1}{5}}\)이다.

4-1 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)에서 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)이다.
\(f'(x)=0\)에서 \(x=-1\) (극대, \(f(-1)=4\)), \(x=1\) (극소, \(f(1)=0\))이다.
닫힌구간 \([a, 1]\) (\(a < 1\))에서 최솟값 \(m(a)\)는 구간의 끝점 \(f(a)\)와 극솟값 \(f(1)=0\) 중 작은 값이다.
(i) \(-2 \le a < 1\)일 때: \(f(a) \ge 0 = f(1)\)이므로 최솟값은 \(m(a) = f(1) = 0\)이다.
(ii) \(a < -2\)일 때: \(f(a) = a^3 - 3a + 2 < 0 = f(1)\)이므로 최솟값은 \(m(a) = f(a) = a^3 - 3a + 2\)이다.
따라서 \(\mathbf{m(a) = \begin{cases} a^3-3a+2 & (a < -2) \\ 0 & (-2 \le a < 1) \end{cases}}\)이다.

4-2 [문제 4-1]의 결과를 이용하여 각 값을 계산하면 다음과 같다.
\(m(0) = 0\), \(m(-1) = 0\), \(m(-2) = 0\)
\(m(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16\)
따라서 \(m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3) = 0 + 0 + 0 + (-16) = \mathbf{-16}\)이다.

5-1 [틀린 부분 및 이유]
수식 ②에서 ③으로 넘어가는 과정이 틀렸다. 절댓값의 정의에 의해 \(|x+h|-|x| = h\)가 되는 것은 \(x > 0\)이고 \(h\)의 절댓값이 충분히 작을 때만 성립하며, \(x < 0\) 또는 \(x = 0\)인 경우의 부호 변화를 고려하지 않았기 때문이다.

[올바른 풀이]
(1) \(x > 0\)일 때: 충분히 작은 \(h\)에 대해 \(x+h > 0\)이므로 \(|x+h|=x+h, |x|=x\)이다.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1\]
(2) \(x < 0\)일 때: 충분히 작은 \(h\)에 대해 \(x+h < 0\)이므로 \(|x+h|=-(x+h), |x|=-x\)이다.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-(x+h)-(-x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1\]
(3) \(x = 0\)일 때: 우미분계수는 \(\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1\), 좌미분계수는 \(\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1\)로 서로 다르므로 \(x=0\)에서 미분 불가능하다.
따라서 올바른 도함수는 \(\mathbf{f'(x) = \begin{cases} 1 & (x > 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases} \quad (\text{단, } x=0\text{에서는 미분 불가능})}\)이다.

6-1 첫째항이 \(a_1 = 5\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열의 일반항은 \(a_n = 5 + (n-1)d\)이다.
첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합 공식 \(S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = \frac{n(10 + (n-1)d)}{2}\)에 의해
\[S_8 = \frac{8(10 + 7d)}{2} = 4(10 + 7d) = 40 + 28d\]
\[S_4 = \frac{4(10 + 3d)}{2} = 2(10 + 3d) = 20 + 6d\]
주어진 조건 \(S_8 = S_4 + 64\)에 대입하면
\[40 + 28d = (20 + 6d) + 64 \implies 40 + 28d = 84 + 6d\]
\[22d = 44 \implies \mathbf{d = 2}\]
따라서 구하는 제 16항의 값은
\[a_{16} = a_1 + 15d = 5 + 15 \times 2 = 5 + 30 = \mathbf{35}\]이다.

7-1 함수 \(f(x)\)가 모든 실수에서 연속이고 \(f(x) = f(x-3)\)이므로 주기가 3인 주기함수이다.
(1) \(x=2\)에서 연속이어야 하므로:
\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 - 2(2) + 2 = 2\]
\[\lim_{x \to 2^+} f(x) = a(2-2)^3 + b = b \implies \mathbf{b = 2}\]
(2) 주기가 3이므로 구간 양 끝 \(x=1\)과 \(x=4\)에서 연속 연결 조건 \(f(4) = f(1)\)을 만족해야 한다.
\[f(1) = 1^2 - 2(1) + 2 = 1\]
\[f(4) = a(4-2)^3 + b = 8a + 2\]
\[8a + 2 = 1 \implies 8a = -1 \implies \mathbf{a = -\frac{1}{8}}\]
(3) \(2026 = 3 \times 675 + 1\)이므로 주기 3에 의해
\[f(2026) = f(1) = \mathbf{1}\]이다.

8-1 각 점의 좌표는 \(\mathrm{A}(x, 0)\), \(\mathrm{D}(x, \sin x)\)이며, \(y\)축에 대해 대칭이동한 점은 \(\mathrm{B}(-x, 0)\), \(\mathrm{C}(-x, \sin x)\)이다.
직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 가로 길이는 \(|x - (-x)| = 2|x|\), 세로 길이는 \(|\sin x|\)이므로 넓이는
\[S(x) = 2|x||\sin x|\]
구간 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)에서 \(x\)와 \(\sin x\)는 같은 부호를 가지므로 \(|x||\sin x| = x\sin x\)이다.
따라서 \(S(x) = 2x\sin x\)이며, \(S(-x) = 2(-x)\sin(-x) = 2x\sin x = S(x)\)이므로 \(S(x)\)는 우함수(짝함수)이다.
정적분의 값을 계산하면 다음과 같다.
\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x)\,dx = 2\int_0^{\pi/2} 2x\sin x\,dx = 4\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx\]
부분적분법 \(\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x\)을 적용하면
\[4\left[-x\cos x + \sin x\right]_0^{\pi/2} = 4\left\{\left(-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}\right) - (0 + 0)\right\} = 4(0 + 1) = \mathbf{4}\]
따라서 정적분의 값은 \(\mathbf{4}\)이다.

9-1 초기 총 세포 수 100,000개 중 A type은 80,000개, B type은 20,000개이다.
- A type: 2일에 1회 2배로 분열하므로 \(N\)일 후 세포 수는 \(80000 \times 2^{\lfloor N/2 \rfloor}\)개이다.
- B type: 1일에 1회 2배로 분열하므로 \(N\)일 후 세포 수는 \(20000 \times 2^N\)개이다.
목표 비율(A type 20%, B type 80%)은 B와 A의 비가 \(\frac{80}{20} = 4\)가 되는 시점이다.
지수 방정식을 세우면 \(\frac{20000 \times 2^N}{80000 \times 2^{N/2}} = 4 \implies 2^{N/2} = 16 = 2^4 \implies N = 8\)이다.
일자별 세포 수 추이를 작성하면 다음과 같다.

구분	0일	1일	2일	3일	4일	5일	6일	7일	8일
A type	8만	8만	16만	16만	32만	32만	64만	64만	128만
B type	2만	4만	8만	16만	32만	64만	128만	256만	512만

- 7일차: A세포는 분열하지 않아 640,000개, B세포는 2,560,000개로 비율이 \(20\% : 80\%\)를 만족한다.
- 8일차: A세포 1,280,000개, B세포 5,120,000개로 역시 \(20\% : 80\%\)를 만족한다.
따라서 7일(또는 8일)이 걸리며, 7일 기준 A type 640,000개, B type 2,560,000개 (8일 기준 A type 1,280,000개, B type 5,120,000개)가 얻어진다.

10-1 속도 함수 \(f(t) = -t^2 + 6t\)에서 \(t=0\)부터 \(t=6\)까지의 우주선의 변위는 정적분으로 계산된다.
\[\int_0^6 f(t)\,dt = \int_0^6 (-t^2 + 6t)\,dt = \left[-\frac{t^3}{3} + 3t^2\right]_0^6 = -\frac{216}{3} + 3(36) = -72 + 108 = \mathbf{36}\]
따라서 우주선이 이동한 전체 변위는 \(\mathbf{36\,\mathrm{m}}\)이다.

10-2 속도 함수 \(f(t) = -(t-3)^2 + 9\) (\(0 \le t \le 6\))의 그래프 특성은 다음과 같다.
1) 속도 변화: \(t=0\)에서 속도 \(0\,\mathrm{m/s}\)로 출발하여 \(t=3\)초까지 속도가 점차 증가(가속)하여 최대 속도 \(9\,\mathrm{m/s}\)에 도달한 후, \(t=3\)초부터 \(t=6\)초까지 속도가 점차 감소(감속)하여 \(t=6\)초에 정지(\(0\,\mathrm{m/s}\))한다.
2) 이동 거리 분포(면적 해석): 속도-시간 그래프에서 곡선 아래의 면적이 이동 거리를 나타낸다. 속도 함수 \(f(t)\)가 \(t=3\) 부근에서 최고 높이(최댓값)를 가지므로, 중간 시간대(\(t=3\) 부근)에서 그래프 아래 면적이 가장 넓어 단위 시간당 가장 많은 거리를 이동한다.
3) 속도 변화율(기울기 해석): 그래프의 접선의 기울기(가속도 \(f'(t)=-2t+6\))는 \(t=0\)에서 \(+6\), \(t=6\)에서 \(-6\)으로 시작과 끝 지점에서 절댓값이 커서 속도 변화가 급격하며, \(t=3\) 부근에서는 기울기가 \(0\)에 가까워 속도 변화가 매우 완만하다.

1-1 구간 \((0, 4)\)에서 미분가능 하려면 \(x=2\)에서 연속이고 미분가능해야 한다.
(i) 연속 조건: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) \implies 2(2)-2 = 2 \implies 2a e^{2b} = 2 \implies a e^{2b} = 1\)
(ii) 미분가능 조건: \(x=2\)에서 좌미분계수 \(2\), 우미분계수는 \(f'(x) = a e^{bx} + a b x e^{bx}\)이므로 \(x=2\) 대입시 \(a e^{2b} (1 + 2b)\)이다. 좌우 미분계수가 같으므로:
\(2 = a e^{2b}(1 + 2b) \implies 2 = 1 \times (1 + 2b) \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}\)
\(a e^{2(1/2)} = 1 \implies a e = 1 \implies a = \frac{1}{e}\)
따라서 \(\mathbf{a = \frac{1}{e}, b = \frac{1}{2}}\)이다.

1-2 \(f(x) = \begin{cases} 2x-2 & (0 \le x < 2) \\ x e^{\frac{1}{2}x - 1} & (2 \le x \le 4) \end{cases}\) 이고,
\(g(x) = |(x-1)(x-3)| - 5\)를 구간별로 나누면:
\(x < 1, x > 3\)인 경우, \(g(x) = x^2 - 4x - 2\)
\(1 \le x \le 3\)인 경우, \(g(x) = -x^2 + 4x - 8\)
두 그래프와 \(x=4\)로 둘러싸인 넓이 \(S = \int_0^4 (f(x) - g(x)) dx\)는 적분 구간을 4개로 분할하여 계산한다.
\(S = \int_0^1 ((2x-2) - (x^2 - 4x - 2)) dx + \int_1^2 ((2x-2) - (-x^2 + 4x - 8)) dx\)
\(\quad + \int_2^3 (x e^{\frac{1}{2}x - 1} - (-x^2 + 4x - 8)) dx + \int_3^4 (x e^{\frac{1}{2}x - 1} - (x^2 - 4x - 2)) dx\)
다항함수 적분 및 지수함수의 부분적분 \(\int x e^{\frac{1}{2}x-1} dx = 2x e^{\frac{1}{2}x-1} - 4e^{\frac{1}{2}x-1}\)을 적용해 대입 연산하면,
최종 구하는 도형의 넓이는 \(\mathbf{4e + 16}\)이다.

2-1 \(f(x) = e^{cx} \implies f'(x) = c e^{cx}\).
곡선 위의 점 \(B_1(a_1, f(a_1))\) 즉 \((N, e^{cN})\)에서의 접선의 방정식은:
\(y = c e^{cN} (x - N) + e^{cN}\)
\(x\)절편인 \(A_2(a_2, 0)\)을 구하기 위해 \(y=0\) 대입:
\(0 = c e^{cN} (a_2 - N) + e^{cN} \implies a_2 = N - \frac{1}{c}\)
삼각형 \(A_1 B_1 A_2\)의 밑변 길이는 \(|a_2 - a_1| = \frac{1}{c}\)이고, 높이는 \(f(a_1) = e^{cN}\)이므로 넓이 \(S_1\)은:
\(\mathbf{S_1 = \frac{1}{2c} e^{cN}}\)이다.

2-2 점 \(B_n(a_n, f(a_n))\)에서의 접선의 \(x\)절편은 동일 관계식에 의해 \(a_{n+1} = a_n - \frac{1}{c}\)을 만족한다.
첫째항 \(a_1 = N\)이므로 등차수열 관계에 의해 \(a_n = N - \frac{n-1}{c}\)이 된다.
따라서 삼각형의 높이 \(f(a_n) = e^{c a_n} = e^{c(N - \frac{n-1}{c})} = e^{cN - n + 1}\)이다.
밑변의 길이는 \(|a_{n+1} - a_n| = \frac{1}{c}\)로 일정하므로, 일반항 \(S_n\)은:
\(\mathbf{S_n = \frac{1}{2c} e^{c a_n} = \frac{1}{2c} e^{cN - n + 1}}\)이다.

2-3 \(S_n = \frac{1}{2c} e^{cN + 1} \times e^{-n}\) 수열은 첫째항이 \(\frac{1}{2c} e^{cN}\), 공비가 \(e^{-1} = \frac{1}{e}\)인 무한등비급수이다.
공비 \(|1/e| < 1\)이므로 무한등비급수 합 공식에 대입하면:
\(\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{\frac{1}{2c} e^{cN}}{1 - e^{-1}} = \mathbf{\frac{e^{cN+1}}{2c(e-1)}}\)이다.

2-4 \(c=1\)인 경우, \(f(a_n) = e^{N - n + 1}\)이다.
\(f(a_n) < 0.1 \implies e^{N - n + 1} < 0.1\)
\(n = N+1\)일 때 \(f(a_{N+1}) = e^0 = 1 > 0.1\)
\(n = N+2\)일 때 \(f(a_{N+2}) = e^{-1} \approx \frac{1}{2.7} \approx 0.37 > 0.1\)
\(n = N+3\)일 때 \(f(a_{N+3}) = e^{-2} \approx \frac{1}{7.29} \approx 0.137 > 0.1\)
\(n = N+4\)일 때 \(f(a_{N+4}) = e^{-3} \approx \frac{1}{19.68} \approx 0.051 < 0.1\)
따라서 최솟값을 만족하는 자연수 \(n\)은 \(\mathbf{N + 4}\)이다.

3-1 삼차방정식 \(x^3 - 12x^2 + 45x - k = 0\)이 서로 다른 3개의 실근을 가질 조건은 함수 \(f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - k\)의 극댓값이 \(0\) 이상이고, 극솟값이 \(0\) 이하이어야 한다.
\(f'(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 3(x-3)(x-5)\)이므로 \(x=3, x=5\)에서 극값을 갖는다.
이계도함수 \(f''(x) = 6x - 24\)를 판정하면, \(f''(3) = -6 < 0\) (극대), \(f''(5) = 6 > 0\) (극소)이다.
극댓값: \(f(3) = 27 - 108 + 135 - k = 54 - k \ge 0 \implies k \le 54\)
극솟값: \(f(5) = 125 - 300 + 225 - k = 50 - k \le 0 \implies k \ge 50\)
따라서 만족하는 실수 \(k\)의 범위는 \(\mathbf{50 \le k \le 54}\)이다.

3-2 근과 계수의 관계에 의해:
\(a+b+c = 12\) (1), \(ab+bc+ca = 45\) (2), \(abc = k\) (3) 이다.
\(a, b, c\)가 양의 정수이므로 \(k = abc\)도 양의 정수이며

3-1 에 의해 가능한 \(k\)는 \(50, 51, 52, 53, 54\)이다.
합이 \(12\), 두 개씩의 곱의 합이 \(45\)인 세 정수의 순서쌍 \((a, b, c)\)를 조사하면 \((3,3,6)\)과 \((2,5,5)\)만 존재한다.
\((2,5,5)\)일 때 \(k = 2 \times 5 \times 5 = 50\)
\((3,3,6)\)일 때 \(k = 3 \times 3 \times 6 = 54\)
따라서 가능한 \(k\)값은 \(\mathbf{50, 54}\)이다.

3-3 삼각형 성립 조건인 '가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다'에 의해:
세 변의 길이 후보 \((2,5,5)\)는 \(2+5 > 5\)로 성립하지만, \((3,3,6)\)은 \(3+3=6\)이 되어 삼각형을 구성할 수 없다.
따라서 세 변의 길이는 \(a=2, b=5, c=5\)이다.
코사인법칙 \(\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\), \(\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\), \(\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)을 대입하면:
\(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B = ab \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} + bc \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} + ca \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(= \frac{a^2+b^2-c^2}{2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
\(= \frac{2^2 + 5^2 + 5^2}{2} = \frac{4 + 25 + 25}{2} = \mathbf{27}\)이다.

1-1 소구간의 폭 \(\Delta x = \frac{1}{5}\) 이다. 높이를 각 소구간의 우측 끝점으로 정하는 \(A_1(5)\)는:
$A_1(5) = \frac{1}{5} \left[ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{5}{5}\right)^2 \right] = \frac{1+4+9+16+25}{125} = \frac{55}{125} = \mathbf{0.44}$ 이다.
높이를 각 소구간의 좌측 끝점으로 정하는 \(A_2(5)\)는:
$A_2(5) = \frac{1}{5} \left[ 0^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 \right] = \frac{0+1+4+9+16}{125} = \frac{30}{125} = \mathbf{0.24}$ 이다.

1-2 소구간의 폭 \(\Delta x = \frac{1}{100}\) 이다. 수열의 합 공식을 적용하면:
$A_1(100) = \frac{1}{100^3} \sum_{k=1}^{100} k^2 = \frac{1}{100^3} \times \frac{100 \times 101 \times 201}{6} = \frac{338350}{1000000} = \mathbf{0.33835}$ 이다.
\(A_2(100) = \frac{1}{100^3} \sum_{k=1}^{99} k^2 = \frac{1}{100^3} \times \frac{99 \times 100 \times 199}{6} = \frac{328350}{1000000} = \mathbf{0.32835}\) 이다.

1-3 둘러싸인 영역의 넓이 \(S = \int_0^{\sqrt{\pi/2}} x \cos(x^2) dx\) 이다.
\(x^2 = t\)로 치환하면 \(2x dx = dt\)이므로:
\(S = \int_0^{\pi/2} \cos(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} [\sin t]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} (1 - 0) = \mathbf{\frac{1}{2}}\) 이다.

2-1 삼차방정식 \(x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0\)의 한 허근이 \(1+i\)이므로 계수가 실수인 삼차방정식의 성질에 따라 다른 한 허근은 켤레복소수인 \(1-i\)이다. 나머지 실근을 \(x_1\)이라 하면:
\((x - (1+i))(x - (1-i))(x - x_1) = 0 \implies (x^2 - 2x + 2)(x - x_1) = 0\)
전개하면 \(x^3 - (x_1 + 2)x^2 + (2x_1 + 2)x - 2x_1 = 0\) 이다.
상수항을 비교하면 \(-2x_1 = -4 \implies x_1 = 2\) 이다. 계수를 매칭하면:
\(a = -(2+2) = -4\), \(b = 2(2)+2 = 6\) 이 되어 삼차함수 식은 \(y = x^3 - 4x^2 + 6x - 4\) 이다.
\(x\)절편은 2이고, 구간 \(0 \le x \le 2\)에서 곡선은 \(x^3 - 4x^2 + 6x - 4 \le 0\)을 만족하므로 구하는 넓이 \(S\)는:
$S = \int_0^2 (-x^3 + 4x^2 - 6x + 4) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2 + 4x \right]_0^2 = -4 + \frac{32}{3} - 12 + 8 = \mathbf{\frac{8}{3}}$ 이다.

2-2 \(f(x) = x^3 + cx^2 + 100x + 100\)이 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면, 도함수 \(f'(x) = 3x^2 + 2cx + 100 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 판별식 \(D/4 > 0\) 이므로:
\(D/4 = c^2 - 300 > 0 \implies c^2 > 300\)
\(17^2 = 289 < 300\), \(18^2 = 324 > 300\)이므로 양의 정수 \(c\)의 최솟값은 \(\mathbf{18}\)이다.

3-1 부분적분법을 적용하여 위치 좌표 \(x_1(t), y_1(t)\)를 구한다.
\(x_1(t) = \int_0^t \theta \sin \theta d\theta = [-\theta \cos \theta]_0^t + \int_0^t \cos \theta d\theta = -t \cos t + \sin t\)
\(y_1(t) = \int_0^t \theta \cos \theta d\theta = [\theta \sin \theta]_0^t - \int_0^t \sin \theta d\theta = t \sin t + \cos t - 1\)
원점과의 거리 \(s(t) = \sqrt{x_1(t)^2 + y_1(t)^2}\) 이므로:
\(s(t) = \sqrt{(-t \cos t + \sin t)^2 + (t \sin t + \cos t - 1)^2} = \mathbf{\sqrt{t^2 + 2 - 2t \sin t - 2 \cos t}}\) 이다.

3-2 거리 \(s(t)\)의 순간변화율 \(s'(t) = 0\)이 되는 조건을 구한다.
$s'(t) = \frac{2t - 2\sin t - 2t \cos t + 2\sin t}{2\sqrt{t^2 + 2 - 2t \sin t - 2 \cos t}} = \frac{t(1 - \cos t)}{\sqrt{t^2 + 2 - 2t \sin t - 2 \cos t}} = 0$
분자가 0이 되려면 \(t=0\) 또는 \(\cos t = 1\) 이어야 하므로 시각은 \(\mathbf{t = 0, 2n\pi}\) (\(n\)은 자연수)이다.

3-3 매개변수 곡선의 길이 공식 \(L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(x_1'(t))^2 + (y_1'(t))^2} dt\) 이다.
\(x_1'(t) = t \sin t\), \(y_1'(t) = t \cos t\) 이므로:
\(L = \int_0^{2\pi} \sqrt{t^2 \sin^2 t + t^2 \cos^2 t} dt = \int_0^{2\pi} t dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^{2\pi} = \mathbf{2\pi^2}\) 이다.

3-4 두 점 \(P_1, P_2\) 사이의 거리를 \(d(t)\)라 하자.
\(d(t) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(\sin t)^2 + (\cos t - 1)^2} = \sqrt{2 - 2 \cos t}\) 이다.
시각 구간 \(0 \le t \le 2\pi\) 에서 \(\cos t\)의 최솟값은 \(t=\pi\)일 때 \(-1\)이다.
따라서 거리가 최대가 되는 시각은 \(\mathbf{t = \pi}\) 이고, 이때의 거리는 \(\sqrt{2 - 2(-1)} = \mathbf{2}\) 이다.

1-1 정사각형 \(ABCD\)의 한 변의 길이를 \(q\)라 하면 \(A\)와 \(D\)의 \(y\)좌표 대소 및 \(B\)와 \(C\)의 \(y\)좌표 대소로부터 다음이 성립한다.
점 \(D\)는 곡선 \(y=2\sqrt{3x}\) 위의 점이므로 점 \(D(p, 2\sqrt{3p})\) 이고 \(y\)좌표인 높이는 \(q\)가 된다. 즉, \(q = 2\sqrt{3p}\) 이다.
점 \(C\)는 곡선 \(y=2\sqrt{x}\) 위의 점이므로 점 \(C(p+q, 2\sqrt{p+q})\) 이고 \(y\)좌표인 높이는 마찬가지로 \(q\)가 된다. 즉, \(q = 2\sqrt{p+q}\) 이다.
따라서 \(2\sqrt{3p} = 2\sqrt{p+q}\) 이므로 양변을 제곱하면:
\(12p = 4(p+q) \implies 8p = 4q \implies q = 2p\) 이다.
이를 다시 \(q = 2\sqrt{3p}\) 에 대입하면 \(q = 2\sqrt{3(q/2)} = \sqrt{6q}\) 이다. 양변을 제곱하면:
\(q^2 = 6q \implies q = \mathbf{6}\) (∵ \(q>0\))이고, \(p = q/2 = \mathbf{3}\) 이다.

1-2 단면인 정삼각형의 한 변의 길이 \(\ell(x) = 6 - 2\sqrt{x}\) 이므로 단면적 \(S(x)\)는 다음과 같다.
\(S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (6 - 2\sqrt{x})^2 = \sqrt{3} (9 - 6\sqrt{x} + x)\) 이다. 따라서 입체도형의 부피 \(V\)는:
\(V = \int_3^9 S(x) dx = \sqrt{3} \int_3^9 (9 - 6x^{1/2} + x) dx = \sqrt{3} \left[ 9x - 4x^{3/2} + \frac{1}{2}x^2 \right]_3^9\)
\(= \sqrt{3} \left[ 9(9-3) - 4(27 - 3\sqrt{3}) + \frac{1}{2}(81-9) \right] = \sqrt{3} [ 54 - 108 + 12\sqrt{3} + 36 ]\)
\(= \sqrt{3} (12\sqrt{3} - 18) = \mathbf{36 - 18\sqrt{3}}\) 이다.
따라서 유리수 \(m = 36, n = -18\) 이므로 \(m+n = 36 - 18 = \mathbf{18}\) 이다.

2-1 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리에 의해:
\(y' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2(x+h) - \cos 2x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2x \cos 2h - \sin 2x \sin 2h - \cos 2x}{h}\) 이다.
이를 극한의 덧셈 성질에 맞게 분리하면:
\(= \cos 2x \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{h} \right) - \sin 2x \left( \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{h} \right)\) 이다.
여기에 제시문 (가)의 극한 공식 \(\lim_{2h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{2h} = 0\) 과 \(\lim_{2h \to 0} \frac{\sin 2h}{2h} = 1\) 을 대입하자.
\(\lim_{h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{2h} \times 2 = 0 \times 2 = 0\)
\(\lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{2h} \times 2 = 1 \times 2 = 2\) 이므로,
\(y' = \cos 2x \times 0 - \sin 2x \times 2 = \mathbf{-2\sin 2x}\) 가 유도된다.

2-2 \(f(x) = e^{-x} \cos 2x\) 로부터 \(f(0) = e^0 \cos 0 = 1\) 이다.
도함수 \(f'(x) = -e^{-x} \cos 2x - 2e^{-x} \sin 2x\) 이므로, \(f'(0) = -e^0 \cos 0 - 0 = -1\) 이다.
미분계수의 정의에 의해 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(kx) - f(0)}{x} = k f'(0)\) 이 성립하므로, 구하고자 하는 식은:
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [ (f(x)-f(0)) + (f(2x)-f(0)) + \dots + (f(2023x)-f(0)) ]\) 이며 (이유: \(2023 \times f(0) = 2023\) 이므로),
\(= f'(0) \times (1 + 2 + 3 + \dots + 2023) = -1 \times \frac{2023 \times 2024}{2} = \mathbf{-2,047,276}\) 이다.

3-1 귀류법 증명의 논리적 배열 순서는 (III) → (IV) → (I) → (II) 이다.
- (III)의 빈칸: \(a \ne 0\) 또는 \(b \ne 0\)
- (IV)의 ②번 빈칸: \(a^2 = 0, b^2 > 0\) 이므로 \(a^2 + b^2 > 0\) 이다.

3-2 일차함수 \(f(x) = px+q\) 가 주어진 범위에서 일대일대응이 되려면 기울기가 양수인 경우와 음수인 경우로 나뉜다.
① 증가함수일 때: 두 점 \((-c, -8)\) 과 \((c, 0)\) 을 지나야 한다.
  기울기 \(p = \frac{0 - (-8)}{c - (-c)} = \frac{8}{2c} = \frac{4}{c}\) 이고, \((c, 0)\) 을 대입하면 \(q = -4\) 이다.
  따라서 \(\frac{q}{p} = \frac{-4}{4/c} = -c\) 이다.
② 감소함수일 때: 두 점 \((-c, 0)\) 과 \((c, -8)\) 을 지나야 한다.
  기울기 \(p = \frac{-8 - 0}{c - (-c)} = -\frac{4}{c}\) 이고, \((-c, 0)\) 을 대입하면 \(q = -4\) 이다.
  따라서 \(\frac{q}{p} = \frac{-4}{-4/c} = c\) 이다.
그러므로 구하는 \(\frac{q}{p}\)의 값은 \(\mathbf{\pm c}\) 이다.

3-3 자연수 조건 \(x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge 1\) 이고 삼각형 결정조건에 의해 \(x_1 < x_2 + x_3\) 이 성립한다.
\(2x_1 < x_1 + x_2 + x_3 = 36 \implies x_1 < 18\) 이며, \(3x_1 \ge x_1 + x_2 + x_3 = 36 \implies x_1 \ge 12\) 이다.
따라서 변 \(x_1\)의 범위는 \(12 \le x_1 \le 17\) (자연수)이다.
- \(x_1 = 12\): (12, 12, 12) → 1개
- \(x_1 = 13\): (13, 13, 10), (13, 12, 11) → 2개
- \(x_1 = 14\): (14, 14, 8), (14, 13, 9), (14, 12, 10), (14, 11, 11) → 4개
- \(x_1 = 15\): (15, 15, 6), (15, 14, 7), (15, 13, 8), (15, 12, 9), (15, 11, 10) → 5개
- \(x_1 = 16\): (16, 16, 4), (16, 15, 5), (16, 14, 6), (16, 13, 7), (16, 12, 8), (16, 11, 9), (16, 10, 10) → 7개
- \(x_1 = 17\): (17, 17, 2), (17, 16, 3), (17, 15, 4), (17, 14, 5), (17, 13, 6), (17, 12, 7), (17, 11, 8), (17, 10, 9) → 8개
총 개수는 \(1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = \mathbf{27}\)개 이다.

1-1 \(1 \le k \le n\) 인 모든 자연수 \(k\)에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
\(\frac{1}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1}\) 이다. 여기에 양의 실수 \(k\)를 곱하여 합을 구하면:
\(\frac{1}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1} \sum_{k=1}^n k\) 이다.
수열의 합 \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\) 을 대입하고 양 경계의 극한값을 구하면:
- 좌변: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+2n} = \frac{1}{2}\)
- 우변: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+2} = \frac{1}{2}\)
두 극한값이 \(\frac{1}{2}\) 로 수렴하므로, 수열의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)에 의해:
\(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} = \mathbf{\frac{1}{2}}\) 이다.

1-2 일반항을 부분분수로 분해하면 다음과 같다.
\(\frac{2}{(2n-1)(2n+3)} = \frac{2}{4} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+3} \right)\)
이 급수의 부분합 \(S_n\)을 계산하면:
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right) = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+3} \right) \right]$
\(= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)\) 이다.
따라서 부분합의 극한을 통해 급수의 합 \(S\)를 구하면:
\(S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{2}{3}}\) 이다. (급수는 수렴하며 합은 \(\frac{2}{3}\) 이다.)

2-1 도함수 \(f'(x)\) 가 모든 실수에서 연속이어야 하므로 경계인 \(x = -3, 0\)에서 도함수 연속 조건을 조사한다.
\(f'(x) = \begin{cases} a & (x < -3) \\ -2x & (-3 < x < 0) \\ c & (x > 0) \end{cases}\) 이다.
- \(x = -3\)에서 도함수 연속 조건: \(\lim_{x \to -3^+} f'(x) = 6 = \lim_{x \to -3^-} f'(x) = a \implies a = 6\)
- \(x = 0\)에서 도함수 연속 조건: \(\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0 = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = c \implies c = 0\)
함수 \(f(x)\) 도 모든 실수에서 연속이어야 하므로:
- \(x = -3\)에서 연속 조건: \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = -3a + b = -18 + b = f(-3) = 0 \implies b = 18\)
- \(x = 0\)에서 연속 조건: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = 9 = f(0) = d \implies d = 9\)
따라서 \(a = 6, b = 18, c = 0, d = 9\) 이며, \(f(x)\) 식은 다음과 같다.
\[f(x) = \begin{cases} 6x + 18 & (x < -3) \\ -x^2+9 & (-3 \le x < 0) \\ 9 & (0 \le x) \end{cases}\]
두 함수가 접하므로 \(g(x) = k(x-1) + 12\) 와 \(y = -x^2+9\) (\(x<0\) 영역)가 접하는 실근 조건을 판별식으로 구한다.
\(-x^2+9 = kx + 12 - k \implies x^2 + kx + 3-k = 0\)
판별식 \(D = k^2 - 4(3-k) = k^2 + 4k - 12 = (k-2)(k+6) = 0\) 이다.
\(k > 0\) 이므로 양수 \(\mathbf{k = 2}\) 이다. (이때 접점은 \(x = -1\) 로서 \(-3 \le x < 0\) 범위 내에 속함)

2-2 접점의 \(x\)좌표는 \(x = -1\) 이며 \(g(-1) = 8\) 이다. 직선 \(g(x) = 2x+10\) 과 \(y=0\)의 교점은 \(x = -5\) 이다. 또한 \(f(x)\)와 \(y=0\)의 교점은 \(x = -3\) 이다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음 두 정적분의 합이다.
\(S = \int_{-5}^{-3} (2x+10) dx + \int_{-3}^{-1} [ (2x+10) - (-x^2+9) ] dx\) 이다.
- 첫 번째 적분: \(\int_{-5}^{-3} (2x+10) dx = [x^2 + 10x]_{-5}^{-3} = (9 - 30) - (25 - 50) = 4\)
- 두 번째 적분: $\int_{-3}^{-1} (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right]_{-3}^{-1} = \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) - ( -9 + 9 - 3 ) = -\frac{1}{3} + 3 = \frac{8}{3}$
따라서 도형의 총 넓이는 \(4 + \frac{8}{3} = \mathbf{\frac{20}{3}}\) 이다.

3-1 \(t = 2\sin \frac{\pi}{5}x + 3\) 이라 하면, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sin\) 범위가 \([-1, 1]\) 이므로 \(t\)의 범위는 \(1 \le t \le 5\) 이다.
구하고자 하는 함수는 \(f(t) = t^3 - 2t^2 - 5\) 이며 닫힌구간 \([1, 5]\)에서의 최대/최소를 조사한다.
\(f'(t) = 3t^2 - 4t = t(3t-4) = 0 \implies t = 0\) 또는 \(t = 4/3\) 이다.
구간 내 극값 후보는 \(t = 4/3\) 뿐이므로 증감을 조사하면 다음과 같다.
- \(f(1) = 1 - 2 - 5 = -6\)
- \(f(4/3) = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} - 5 = -\frac{167}{27} \approx -6.19\)
- \(f(5) = 125 - 50 - 5 = 70\)
따라서 닫힌구간 내 최솟값 \(m = -\frac{167}{27}\) 이고 최댓값 \(M = 70\) 이다.
구하는 값: \(27m + M = 27 \left( -\frac{167}{27} \right) + 70 = -167 + 70 = \mathbf{-97}\) 이다.

3-2 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5\) 로부터 \(f'(x) = x(3x-4)\) 이며 극댓값은 \(f(0) = -5\), 극솟값은 \(f(4/3) = -\frac{167}{27}\) 이다.
함수 \(y = f(x-1)+3\) 은 \(f(x)\)를 \(x\)축 방향으로 1, \(y\)축 방향으로 3만큼 평행이동한 도형이므로:
- 평행이동된 극댓값은 \(x = 1\) 에서 \(-5 + 3 = -2\) 이다.
- 평행이동된 극솟값은 \(x = 7/3\) 에서 \(-\frac{167}{27} + 3 = -\frac{86}{27} \approx -3.19\) 이다.
극댓값과 극솟값이 모두 음수이므로 함수 \(y = f(x-1)+3\) 의 그래프는 \(x\)축과 단 한 점(교점 \(x = C\))에서 만난다.
\(g(x) = \frac{5}{2} |f(x-1)+3|\) 의 그래프는 꺾여 올라가므로 \(x = 1\) (원래 극대)은 극소(값은 \(|-2| \times 2.5 = 5\))로 바뀌고, 교점 \(x = C\)는 극소(값은 0)가 되며 원래 극소였던 \(x = 7/3\) 은 접혀 올라가 극대로 바뀐다.
따라서 극값을 갖는 점의 개수 \(\alpha = 3\) 이고, 극솟값의 합 \(\beta = g(1) + g(C) = 5 + 0 = 5\) 이다.
구하는 값: \(\alpha\beta = 3 \times 5 = \mathbf{15}\) 이다.

1-1 임의로 주머니 하나를 선택하는 확률은 각각 \(\frac{1}{3}\) 이다. 1번 공이 뽑히는 사건을 \(D_1\)이라 하면:
$P(D_1) = P(A)P(D_1|A) + P(B)P(D_1|B) + P(C)P(D_1|C) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times 1 = \mathbf{\frac{7}{12}}$ 이다.
꺼낸 공이 1번 공일 때 주머니 C일 조건부확률은:
\(P(C|D_1) = \frac{P(C \cap D_1)}{P(D_1)} = \frac{1/3}{7/12} = \mathbf{\frac{4}{7}}\) 이다.

1-2 \(n\)번 모두 1번 공이 뽑히는 사건을 \(D_n\)이라 하면:
$P(D_n) = P(A)P(D_n|A) + P(B)P(D_n|B) + P(C)P(D_n|C) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^n + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{3} \times 1$ 이므로,
$P(C|D_n) = \frac{P(C \cap D_n)}{P(D_n)} = \frac{1/3}{\frac{1}{3} \left( (1/4)^n + (1/2)^n + 1 \right)} = \frac{1}{(1/4)^n + (1/2)^n + 1} = \mathbf{\frac{4^n}{1 + 2^n + 4^n}}$ 이다.

1-3

1-2 에서 유도한 조건부확률 \(P(C|D_n)\)에 실험 횟수 \(n\)을 대입하여 판별한다.
- \(n=1\): \(P(C|D_1) = 4/7 \approx 0.57 < 0.9\)
- \(n=2\): \(P(C|D_2) = 16/21 \approx 0.76 < 0.9\)
- \(n=3\): \(P(C|D_3) = 64/73 \approx 0.87 < 0.9\)
- \(n=4\): \(P(C|D_4) = 256/273 \approx 0.938 \ge 0.9\)
따라서 4회 이상 반복 실험에서 모두 1번 공이 뽑혔을 때, 주머니 C가 선택되었다는 주장이 사실일 확률이 0.9 이상이라고 할 수 있다.

2-1 접선의 방정식을 구하면:
- 점 \(A(a, a^2)\)에서의 접선: \(y = 2ax - a^2\)
- 점 \(B(b, b^2)\)에서의 접선: \(y = 2bx - b^2\)
두 접선의 교점의 \(x\)좌표는 \(2ax - a^2 = 2bx - b^2 \implies x = \frac{a+b}{2}\) 이다. 둘러싸인 넓이 \(S\)는:
$S = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [x^2 - (2ax-a^2)] dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} [x^2 - (2bx-b^2)] dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} (x-a)^2 dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} (x-b)^2 dx$
$= \left[ \frac{1}{3}(x-a)^3 \right]_{a}^{\frac{a+b}{2}} + \left[ \frac{1}{3}(x-b)^3 \right]_{\frac{a+b}{2}}^{b} = \frac{1}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3 - \frac{1}{3}\left(\frac{a-b}{2}\right)^3 = \mathbf{\frac{1}{12}(b-a)^3}$ 이다.

2-2 내분점의 \(x\)좌표는 \(f(t) = \frac{mb+na}{m+n}\) 이다. \(a, b\)의 극한값을 각각 유리화하여 구한다.
- \(\lim_{t \to \infty} a = \lim_{t \to \infty} \frac{-t+\sqrt{t^2+16t}}{8} = \lim_{t \to \infty} \frac{16t}{8(t+\sqrt{t^2+16t})} = \frac{16}{8(1+1)} = 1\)
- $\lim_{t \to \infty} b = \lim_{t \to \infty} \frac{-3t+3\sqrt{t^2+4t}}{8} = \lim_{t \to \infty} \frac{12t}{8(t+\sqrt{t^2+4t})} = \frac{12}{8(1+1)} = \frac{3}{4}$
따라서 \(\lim_{t \to \infty} f(t) = \frac{m \lim b + n \lim a}{m+n} = \frac{\frac{3}{4}m + n}{m+n} = \mathbf{\frac{3m+4n}{4(m+n)}}\) 이다.

3-1 수거한 쓰레기 1500톤 중 첫 재활용량은 \(1500 \times 0.65 \times 0.8 = 1500 \times 0.52 = 780\) 톤이다.
이후 매회 \(0.52\) 비율로 반복하여 순환되므로 첫째항이 780이고 공비가 \(0.52\)인 무한등비급수합이다.
총 재활용량 = \(\frac{780}{1 - 0.52} = \frac{780}{0.48} = \mathbf{1625}\) 톤이다.

3-2 부분합 정적분 \(A(x) = \int_{1.5}^{x} (10t^2 - 9t - 9)e^{-t} dt\) 이다. 부분적분법을 두 번 적용한다.
\(\int (10t^2 - 9t - 9)e^{-t} dt = -(10t^2 - 9t - 9)e^{-t} + \int (20t-9)e^{-t} dt\)
\(= -(10t^2 - 9t - 9)e^{-t} - (20t-9)e^{-t} + \int 20e^{-t} dt = (-10t^2 - 11t - 2)e^{-t} + C\) 이다.
\(A(x) = [(-10t^2 - 11t - 2)e^{-t}]_{1.5}^x = (-10x^2 - 11x - 2)e^{-x} - (-10(1.5)^2 - 11(1.5) - 2)e^{-1.5}\)
\(= (-10x^2 - 11x - 2)e^{-x} + 41e^{-1.5}\) 이다. \(x \to \infty\) 일 때 \(\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0\) 이므로:
\(\lim_{x \to \infty} A(x) = \mathbf{41e^{-1.5}}\) 이다.

3-3 \(f(t) = (10t^2 - 9t - 9)e^{-t}\) 로부터 이계도함수 \(f''(t)\) 를 구한다.
\(f'(t) = (20t-9)e^{-t} - (10t^2-9t-9)e^{-t} = (-10t^2+29t)e^{-t}\)
\(f''(t) = (-20t+29)e^{-t} - (-10t^2+29t)e^{-t} = (10t^2 - 49t + 29)e^{-t}\)
\(f''(t) = 0\) 에서 \(t = \frac{49 \pm \sqrt{1241}}{20}\) 이다. \(\sqrt{1241} \approx 35.23\) 이므로 \(t_1 \approx 0.69, t_2 \approx 4.21\) 이다.
시각 \(t \ge 1.5\) 이므로 유효한 해는 \(t = \frac{49+\sqrt{1241}}{20}\) 이며, 이 점의 좌우에서 \(f''(t)\)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 \(t\)좌표는 \(\mathbf{a = \frac{49+\sqrt{1241}}{20}}\) 이다.

1-1 (답) \(\mathbf{\frac{25}{3}}\)
함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하므로 \(f(x)\)는 일대일대응이고 실수 전체에서 연속이어야 한다.
\(x = -1\)에서 연속이어야 하므로 \(\lim_{x \to -1^-} 2x^2 = 2 = f(-1) = -(-1) + a \implies a = 1\) 이다.
\(x = 1\)에서 연속이어야 하므로 \(\lim_{x \to 1^-} (-x + 1) = 0 = f(1) = -\frac{1}{3}(1) + b \implies b = \frac{1}{3}\) 이다.

1-2 (답) \(\mathbf{\frac{13}{8}}\)
정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여:
\(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(-2 + \frac{4k}{n}\right)\frac{1}{n} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(-2 + \frac{4k}{n}\right)\frac{4}{n} = \frac{1}{4} \int_{-2}^2 f(x)dx\)
구간별 함수식을 적용하여 적분하면:
\(\int_{-2}^2 f(x)dx = \int_{-2}^{-1} 2x^2 dx + \int_{-1}^1 (-x+1)dx + \int_1^2 \left(-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right)dx\)
\(= \left[\frac{2}{3}x^3\right]_{-2}^{-1} + \left[-\frac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^1 + \left[-\frac{x^2}{6} + \frac{x}{3}\right]_1^2 = \frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{6} = \frac{39}{6} = \frac{13}{2}\)
따라서 구하는 값은 \(\frac{1}{4} \times \frac{13}{2} = \mathbf{\frac{13}{8}}\) 이다.

1-3 (답) \(\mathbf{\frac{5}{24}}\)
\(g(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt\)의 양변을 미분하면 \(g'(x) = \frac{1}{1+x^2}\) 이다.
주어진 정적분 식에서 \(u = g(x)\)로 치환하면 \(du = g'(x)dx = \frac{1}{1+x^2}dx\) 이고, \(x=0 \to u=0\), \(x=\alpha \to u=g(\alpha)=\frac{\pi}{3}\) 이므로:
\(\int_0^\alpha \frac{\sin^3(g(x))}{1+x^2} dx = \int_0^{\pi/3} \sin^3 u du = \int_0^{\pi/3} (1 - \cos^2 u)\sin u du\)
다시 \(t = \cos u\)로 치환하면 \(dt = -\sin u du\), \(u=0 \to t=1\), \(u=\frac{\pi}{3} \to t=\frac{1}{2}\) 이므로:
\(\int_1^{1/2} -(1-t^2)dt = \int_{1/2}^1 (1-t^2)dt = \left[t - \frac{t^3}{3}\right]_{1/2}^1 = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{24}\right) = \frac{2}{3} - \frac{11}{24} = \mathbf{\frac{5}{24}}\) 이다.

2-1 (답) \(\mathbf{a_r = \frac{r^2+1}{2}}\)
곡선 \(S\)는 \(y = \pm\sqrt{2x}\)이므로 \(y^2 = 2x\;(x \ge 0)\)이다.
원 \(C(r)\)의 방정식은 \((x - a_r)^2 + y^2 = r^2\)이다.
\(y^2 = 2x\)를 원의 방정식에 대입하면: \((x - a_r)^2 + 2x - r^2 = 0 \iff x^2 - 2(a_r - 1)x + (a_r^2 - r^2) = 0\) 이다.
원 \(C(r)\)과 곡선 \(S\)가 접하므로 이 이차방정식은 판별식 \(D = 0\)을 만족해야 한다.
\(\frac{D}{4} = (a_r - 1)^2 - (a_r^2 - r^2) = a_r^2 - 2a_r + 1 - a_r^2 + r^2 = r^2 - 2a_r + 1 = 0\)
따라서 \(2a_r = r^2 + 1 \implies \mathbf{a_r = \frac{r^2+1}{2}}\) 이다.

2-2 (답) \(\mathbf{-\frac{8}{e^2} < k < -\frac{2}{e}}\)
\(a_r = \frac{r^2+1}{2}\)이므로 \(a_{2r} = \frac{(2r)^2+1}{2} = \frac{4r^2+1}{2}\) 이다.
따라서 \(\left(a_{2r} - \frac{1}{2}\right)e^{-r} + k = 0 \iff 2r^2 e^{-r} + k = 0 \iff 2r^2 e^{-r} = -k\) 이다.
\(r > 1\)에서 함수 \(f(r) = 2r^2 e^{-r}\)의 그래프 개형을 조사한다.
\(f'(r) = 4r e^{-r} - 2r^2 e^{-r} = 2r(2-r)e^{-r}\) 이므로 \(r > 1\)에서 \(f'(r) = 0 \iff r = 2\) 이다.
- \(1 < r < 2\)일 때 \(f'(r) > 0\) (함수 증가)
- \(r > 2\)일 때 \(f'(r) < 0\) (함수 감소)
극댓값은 \(f(2) = 2(2^2)e^{-2} = \frac{8}{e^2}\) 이고, 경계값은 \(f(1) = 2(1^2)e^{-1} = \frac{2}{e}\) 이다.
또한 \(\lim_{r \to \infty} 2r^2 e^{-r} = 0\) 이므로, \(r > 1\)에서 \(y = f(r)\)과 직선 \(y = -k\)가 서로 다른 두 점에서 만날 조건은:
\(f(1) < -k < f(2) \iff \frac{2}{e} < -k < \frac{8}{e^2} \iff \mathbf{-\frac{8}{e^2} < k < -\frac{2}{e}}\) 이다.

2-3 (답) \(\mathbf{\sqrt{3}}\)
두 원 \(C(r)\)과 \(C(r+1)\)의 방정식을 연립한다.
\((x - a_r)^2 + y^2 = r^2\)     \(\cdots\) (1)
\((x - a_{r+1})^2 + y^2 = (r+1)^2\)     \(\cdots\) (2)
(2)에서 (1)을 빼면: \((x - a_{r+1})^2 - (x - a_r)^2 = (r+1)^2 - r^2 = 2r + 1\)
\(a_r = \frac{r^2+1}{2}\), \(a_{r+1} = \frac{(r+1)^2+1}{2} = \frac{r^2+2r+2}{2}\) 이므로 이를 대입하여 정리하면:
\(x = \frac{r^2+r-1}{2}\) 이다.
(1)에 대입하여 \(y > 0\)인 교점의 좌표를 구하면:
\(y^2 = r^2 - (x - a_r)^2 = r^2 - \left(\frac{r-2}{2}\right)^2 = \frac{3r^2+4r-4}{4} \implies y = \frac{\sqrt{3r^2+4r-4}}{2}\) 이다.
따라서 교점 \(\mathrm{P}_r\)의 좌표는 \(\left(\frac{r^2+r-1}{2}, \frac{\sqrt{3r^2+4r-4}}{2}\right)\) 이다.

3-1 (답) \(\mathrm{E}(Y) = 18\),   \(p+q = 22\)
서로 다른 두 개의 주사위 눈 중 큰 수를 확률변수 \(X\)라 하면 가능한 경우의 수는 \(36 - 6 = 30\)가지이다.
각 \(X\)의 값에 대한 확률질량함수는 다음과 같다:
\(\mathrm{P}(X=2) = \frac{2}{30}\), \(\mathrm{P}(X=3) = \frac{4}{30}\), \(\mathrm{P}(X=4) = \frac{6}{30}\), \(\mathrm{P}(X=5) = \frac{8}{30}\), \(\mathrm{P}(X=6) = \frac{10}{30}\)
1) \(X\)의 기댓값: \(\mathrm{E}(X) = 2 \times \frac{2}{30} + 3 \times \frac{4}{30} + 4 \times \frac{6}{30} + 5 \times \frac{8}{30} + 6 \times \frac{10}{30} = \frac{140}{30} = \frac{14}{3}\)
따라서 \(\mathrm{E}(Y) = \mathrm{E}(36X - 150) = 36\mathrm{E}(X) - 150 = 36 \times \frac{14}{3} - 150 = 168 - 150 = \mathbf{18}\) 이다.
2) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)는 밑변 \(14\), 윗변 \(14-2k\), 높이 \(49 - (k-7)^2\)인 사다리꼴이므로:
\(S = \frac{1}{2}[14 + (14-2k)][49 - (k-7)^2] = (14-k)[49 - (k-7)^2]\)
- \(k=2 \implies S = 12 \times 24 = 288\)
- \(k=3 \implies S = 11 \times 33 = 363\)
- \(k=4 \implies S = 10 \times 40 = 400\)
- \(k=5 \implies S = 9 \times 45 = 405\)
- \(k=6 \implies S = 8 \times 48 = 384\)
\(S \ge 400\)인 사건은 \(k=4\) 또는 \(k=5\)이므로:
\(\mathrm{P}(S \ge 400) = \mathrm{P}(X=4) + \mathrm{P}(X=5) = \frac{6}{30} + \frac{8}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}\)
따라서 서로소인 자연수 \(p=15, q=7\)이고 \(\mathbf{p+q = 15+7 = 22}\) 이다.

3-2 (답) \(k = 5\),   \(3T = 157\)
곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 포물선 영역의 넓이는:
\(\int_0^{14} [49 - (x-7)^2] dx = \left[49x - \frac{(x-7)^3}{3}\right]_0^{14} = \frac{1372}{3}\) 이다.
제외한 넓이 \(T = \frac{1372}{3} - S\)이므로, \(T\)가 최소가 되려면 사각형의 넓이 \(S\)가 최대이어야 한다.
위 3-1의 넓이 계산표에서 \(S\)가 최대인 경우는 \(\mathbf{k = 5}\)일 때 \(S = 405\)이다.
이때 \(3T = 3\left(\frac{1372}{3} - 405\right) = 1372 - 1215 = \mathbf{157}\) 이다.

3-3 (답) \(\mathbf{a = 8, b = -8, c = -8, d = 8}\)
주사위 두 눈이 2와 6이므로 큰 수 \(k = 6\)이다.
따라서 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 꼭짓점 좌표는 \(\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(14,0), \mathrm{C}(8,48), \mathrm{D}(6,48)\)이다.
\(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면은 밑변 \(y\), 높이 \(e^{-x}\)인 직사각형이므로 단면의 넓이는 \(y e^{-x}\)이다.
밑변의 길이 \(y\)는 구간별로 다음과 같이 주어진다:
- \(x \in [0, 6]\): 선분 \(\mathrm{AD}\)의 방정식 \(y = 8x\)
- \(x \in [6, 8]\): 선분 \(\mathrm{DC}\)의 방정식 \(y = 48\)
- \(x \in [8, 14]\): 선분 \(\mathrm{CB}\)의 방정식 \(y = -8x + 112\)
입체도형 \(\mathrm{R}\)의 부피 \(V\)는 세 구간의 정적분의 합이다:
\(V = \int_0^6 8x e^{-x} dx + \int_6^8 48 e^{-x} dx + \int_8^{14} (-8x+112)e^{-x} dx\)
부분적분 공식 \(\int x e^{-x}dx = -(x+1)e^{-x}\)를 적용하면:
1) \(\int_0^6 8x e^{-x} dx = 8 [-(x+1)e^{-x}]_0^6 = 8(-7e^{-6} + 1) = 8 - 56e^{-6}\)
2) \(\int_6^8 48 e^{-x} dx = 48 [-e^{-x}]_6^8 = 48(-e^{-8} + e^{-6}) = 48e^{-6} - 48e^{-8}\)
3) \(\int_8^{14} (-8x+112)e^{-x} dx = -8 [-(x+1)e^{-x}]_8^{14} + 112 [-e^{-x}]_8^{14}\)
    \(= -8(-15e^{-14} + 9e^{-8}) + 112(-e^{-14} + e^{-8}) = 40e^{-8} + 8e^{-14}\)
세 정적분의 결과를 모두 더하면:
\(V = (8 - 56e^{-6}) + (48e^{-6} - 48e^{-8}) + (40e^{-8} + 8e^{-14})\)
\(= \mathbf{8 - 8e^{-6} - 8e^{-8} + 8e^{-14}}\)
따라서 구하는 계수는 \(\mathbf{a = 8, b = -8, c = -8, d = 8}\) 이다.