양의 실수 $k$에 대하여 두 이차함수 $f_1(x)=2kx(1-x)$와 $f_2(x)=x(k-x)$를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $$y=1-x^n \quad (0 \le x \le 1)$$ 과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라고 하자.

방정식 $\left(\log_{\frac{1}{2}} x^3\right)\left(\log_{\frac{1}{2}} 5x\right) = 17$의 두 근을 $\alpha,\, \beta$라고 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

$a < 1$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a,\, 1]$에서 함수 $f(x)=x^3-3x+2$의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

다음은 도함수의 정의에 따라 함수 $f(x)=|x|$의 도함수를 구하는 과정이다. 틀린 부분을 찾아서 그 이유를 쓰고, 올바르게 고치시오. $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \cdots \text{①} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h} & \cdots \text{②} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{h}{h} & \cdots \text{③} \\ &= 1 & \cdots \text{④} \end{aligned}$$

첫째항이 5인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항으로부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자. $S_8 = S_4 + 64$일 때, $a_{16}$을 구하시오.

함수 $f(x)$는 닫힌 구간 $[1,\, 4]$에서 $$f(x) = \begin{cases} x^2-2x+2 & (1 \le x \le 2) \\ a(x-2)^3+b & (2 < x \le 4) \end{cases}$$ 로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)=f(x-3)$을 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2026)$의 값을 구하시오. (단, $a,\, b$는 상수)

실수 $x \in \left[-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}\right]$에 대하여 점 $\mathrm{A}$를 $\mathrm{A}(x,\, 0)$이라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=\sin x$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 또 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{B},\, \mathrm{C}$라 할 때 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때 다음에 주어진 정적분의 값을 구하시오. $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x)\,dx$$

김연세 연구원은 미래생명공학연구원에서 세포의 분화를 연구하기 위해 다양한 동물세포주를 개발하고 배양을 진행하는 프로젝트에 참여 중이다. 김 연구원은 피부 조직에서 유래한 상피세포주를 개발 중인데, 이 과정에서 2일에 1회 세포분열이 이루어지는 A type의 세포와 1일에 1회씩 세포분열이 이루어지는 B type의 세포가 각각 80%와 20%씩 섞여 있는 100,000개의 세포들을 획득하였다. 이 세포들을 배양하여 A type 세포가 20%, B type 세포가 80%가 될 때까지 배양하기 위해서는 며칠이 걸리고, 이때 각각 몇 개의 세포들이 얻어질 수 있을지 설명하시오.

인류는 화성 탐사를 위해 새로운 소형 탐사 우주선을 개발하였다. 이 우주선은 화성 대기권 진입 후 일정 시간 동안 추진기를 이용해 속도를 조절하며 이동한다. 연구팀은 우주선의 속도가 시간에 따라 다음과 같은 함수로 표현된다는 것을 알아냈다. $$f(t) = -t^2 + 6t \quad (0 \le t \le 6)$$ 여기서, $t$: 시간(초), $f(t)$: 우주선의 속도($\mathrm{m/s}$)이며, 이 속도 모델을 이용하여 우주선의 이동을 분석하려 한다.

두 개의 함수 $f(x), g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
(가) $f(x) = \begin{cases} 2x-2 & (0 \le x < 2) \\ ax e^{bx} & (2 \le x \le 4) \end{cases}$
(나) $g(x) = |(x-1)(x-3)| - 5 \quad (0 \le x \le 4)$
(다) $a, b$는 상수이다.

(가) 점 $A_1(a_1, 0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $f(x) = e^{cx}$ ($c > 0$)과 만나는 점을 $B_1$이라고 하고, 이 곡선 위의 점 $B_1$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_2(a_2, 0)$라고 하자.
(나) 다음 그림과 같이, 모든 자연수 $n$에 대하여, 점 $A_n(a_n, 0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $f(x) = e^{cx}$ ($c > 0$)와 만나는 점을 $B_n(a_n, f(a_n))$이라고 하고, 이 곡선 위의 점 $B_n$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_{n+1}(a_{n+1}, 0)$이라고 하자.
(다) 자연수 $N > 1$에 대하여 $a_1 = N$이다.
(라) $S_n$은 삼각형 $A_n B_n A_{n+1}$의 넓이이다.

(가) 삼차방정식 $x^3 - 12x^2 + 45x - k = 0$의 세 근을 $a, b, c$라고 하자. (단, $k$는 실수이다.)

자연수 $n$에 대하여 닫힌구간 $[0, 1]$을 $n$등분한 분할점을 $x_0, x_1, \dots, x_n$이라 하고, 함수 $f(x) = \sin(\frac{\pi}{2} x^2)$에 대하여 밑변의 길이가 $\frac{1}{n}$이고 높이가 각각 $f(x_k)$인 직사각형들의 넓이의 합을 $A_1(n)$, 높이가 각각 $f(x_{k-1})$인 직사각형들의 넓이의 합을 $A_2(n)$이라 하자.

(가) 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$의 한 허근이 $1+i$이다. (단, $a, b$는 실수이고 $i = \sqrt{-1}$이다.)
(나) 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3cx + 10$이 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.

좌표평면 위를 움직이는 점 $P(x, y)$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 2\pi$)에서의 위치가 다음과 같이 매개변수 $t$로 나타내어진다.
\[ x = t\cos t - \sin t, \quad y = t\sin t + \cos t \]

(가) 곡선 $y = 2\sqrt{3x}$ 위의 점 $P(p, q)$에서의 접선이 점 $(0, 0)$과 점 $(p+q, 2q)$를 지난다. (단, $p>0, q>0$)
(나) 어떤 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 $\sqrt{x e^x}$인 정삼각형이다. ($0 \le x \le 2$)

(가) 함수 $f(x) = \cos 2x$에 대하여 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 구하는 과정을 서술하시오.
(나) 미분가능한 함수 $g(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2023)$에 대하여 $S = \sum_{k=1}^{2023} \frac{g'(k)}{g'(k)}$ 관련 연산을 수행한다.

(가) 실수 전체의 집합에서 정의된 일차함수 $f(x) = px + q$ ($p \ne 0$)가 있다.
(나) 세 변의 길이가 $x_1, x_2, x_3$인 삼각형이 존재할 조건 및 정수해 조건이 주어진다.

수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\frac{n}{2n+1} \le a_n \le \frac{n+1}{2n}$이 성립한다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 구간별로 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + bx + d & (x < 0) \\ -x^2 + kx + 9 & (x \ge 0) \end{cases} \]

함수 $f(x) = (x^2-2x-3)^2 - 4(x^2-2x-3) + 5$의 그래프 및 평행이동한 함수 $g(x) = |f(x-p)|$의 극점 개수를 분석한다.

주머니 속에 1번 공 4개, 2번 공 2개, 3번 공 1개가 들어있다. 임의로 한 개의 공을 꺼내어 확인하고 다시 넣는 시행을 반복한다.

이차함수 $y = x^2$ 위의 서로 다른 두 점 $P(a, a^2), Q(b, b^2)$ ($a < b$)에서의 접선과 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

시간 $t$에 따른 방사성 물질의 붕괴 속도 및 유입량 함수 $f(t) = (20t - 49)e^{-t}$가 주어진다.

(가) 함수 \(f(x)\)가 \(a, b\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, \(f(x)\)의 한 부정적분이 \(F(x)\)일 때, 일정한 값 \(F(b)-F(a)\)를 함수 \(f(x)\)의 \(a\)에서 \(b\)까지의 정적분이라고 하며, 이것을 기호로 \(\int_a^b f(x)dx\)와 같이 나타낸다.

(나) 두 집합 \(X, Y\)에서 함수 \(f: X \to Y\)가 일대일대응이면 \(Y\)의 각 원소 \(y\)에 대응하는 \(X\)의 원소 \(x\)는 단 하나 존재한다. 이때 \(Y\)의 각 원소 \(y\)에 \(y=f(x)\)인 \(X\)의 원소 \(x\)가 대응하면 \(Y\)를 정의역으로 하고 \(X\)를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있으며 이 함수를 역함수라고 한다.

(다) 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의한다. (단, \(a, b\)는 상수)
\(f(x) = \begin{cases} 2x^2, & x < -1 \\ -x + a, & -1 \le x < 1 \\ -\frac{1}{3}x + b, & 1 \le x \end{cases}\),    \(g(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt\)

(가) 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 원의 방정식은 \(x^2+y^2=r^2\)이다. 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원의 교점의 좌표를 \((x, y)\)라고 하면 \(\tan\theta = \frac{y}{x}\;(x \neq 0)\)이다.

(가) 이산확률변수 \(X\)의 확률질량함수가 \(\mathrm{P}(X=x_i) = p_i\;(i=1,2,3,\dots,n)\)일 때, \(X\)의 기댓값(평균)은 \(\mathrm{E}(X) = m = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n\)이다. 그리고 이산확률변수 \(X\)와 임의의 두 상수 \(a, b\;(a \neq 0)\)에 대하여 \(\mathrm{E}(aX+b) = a\mathrm{E}(X)+b\)이다.