[문제 1] (85점)
\(0 \le a \le 1\)일 때, 정적분 \[\int_{0}^{3\pi} |\sin x - a| dx\] 의 값이 최소가 되는 \(a\)의 값과 정적분의 최솟값을 구하여라.

[문제 2] (95점)
타원 \[\frac{x^2}{64} + y^2 = 1\] 과 제1사분면에서 접하는 접선을 \(l\)이라 하자. 직선 \(l\)과 직선 \(y = -1\)의 교점을 \(A\), 직선 \(l\)과 \(y\)축의 교점을 \(B\)라 하자. 점 \(C(0, -1)\)일 때, \(\triangle ABC\)의 넓이의 최솟값을 구하여라.

[문제 3] (105점)
모든 양수 \(a\)에 대하여, 중심의 좌표가 \((a, a^2)\)이고 반지름의 길이가 \(a\)인 모든 원 위의 점들로 이루어진 영역을 \(S\)라 하자. 영역 \(S\)에 있는 \(x\)좌표가 \(t\) (\(t > 0\))인 점 중에서 \(y\)좌표가 가장 작은 점을 지나는 원을 \((x - r)^2 + (y - r^2)^2 = r^2\)이라 할 때, \(t\)와 \(r\) 사이의 관계식을 구하고 \(t = \frac{1}{2}\)에서 미분계수 \(\frac{dr}{dt}\)의 값을 구하여라.

[문제 4] (총 115점)
\(1\)부터 \(n\) (\(n \ge 3\))까지의 자연수를 좌표로 갖는 서로 다른 \(n\)개의 점이 수직선 위에 있다. 이 중에서 서로 다른 세 점을 임의로 선택할 때, 그 세 점을 선택한 순서대로 각각 \(A, B, C\)라 하자. 수직선에서 두 선분 \(AB\)와 \(AC\)가 겹치는 부분의 길이를 확률변수 \(X\)라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(a) \(X = 1\)일 확률을 구하여라. (40점)
(b) \(X\)의 평균을 구하여라. (75점)

[문제 1] (85점)
\(12\)보다 큰 자연수 중에서 \(12\)와 서로소인 수를 작은 수부터 차례로 나열할 때, \(k\)번째 값을 \(a_k\)라 하자.

(a) \(a_k \ge 100\)을 만족하는 자연수 \(k\)의 최솟값을 구하여라. (30점)
(b) 자연수 \(n\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{2n} (a_k a_{k+1} - a_{k+2})\] 의 값을 구하여라. (55점)

[문제 2] (95점)
밑면이 정사각형인 사각뿔을 밑면과 평행한 평면으로 잘라서 아래 그림과 같은 육면체를 얻었다.
육면체에서 두 정사각형 \(ABCD\)와 \(EFGH\)의 한 변의 길이는 각각 \(a\)와 \(a+2\)이다. 또한 두 선분 \(AE\)와 \(DH\)의 길이는 모두 \(b\)이며 두 선분 \(BF\)와 \(CG\)의 길이는 모두 \(c\)이다.
사각형 \(AEHD\)의 평면 \(BFGC\) 위로의 정사영의 넓이를 \(a, b, c\)에 대한 식으로 나타내어라. (단, \(a>0, b>1, c>1\) 이고 \(b^2 + c^2 \ge 6\) 이다.)

[문제 3] (총 105점)
그림과 같이
\(n^2\) 개의 영역으로 이루어진 한 개의 전광판이 있다. 이 전광판에 연결된 버튼을 이용하여 서울이와 시립이가 다음과 같은 규칙으로 게임을 하려고 한다. (단, \(n\)은 \(3\) 이상의 자연수이다.)
- (1) 게임을 시작할 때, 전광판의 모든 영역은 불이 꺼져있다.
- (2) 게임이 끝날 때까지 두 사람은 버튼을 번갈아 누른다.
- (3) 한 사람이 버튼을 누르면 불이 꺼져있는 영역 중 임의의 한 영역에 불이 켜지며, 이때 불이 켜진 영역은 버튼을 누른 사람의 소유가 된다.
- (4) 한 사람이 버튼을 눌렀을 때, 상대방이 소유한 영역과 한 모서리를 공유하는 영역에 불이 켜지면 이때 버튼을 누른 사람이 승리하고 게임이 끝난다.

서울이부터 게임을 시작하여 진행할 때, 다음 물음에 답하여라.
(a) 시립이가 버튼을 한 번 눌러서 승리할 확률을 구하여라. (40점)
(b) 서울이가 버튼을 두 번 눌러서 승리할 확률을 구하여라. (65점)

[문제 4] (115점)
자연수 \(n\)에 대하여 \[T_n = \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{n^2} \int_{0}^{k\pi} \left| \sin \frac{x}{2n} \right| dx\] 라 할 때, \(\lim_{n\to \infty} T_n\)의 값을 구하여라.

[문제 1] (85점)
두 곡선 \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)과 \(y = -x^2 + x + 2\)가 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 음수인 점을 \(P\), \(x\)좌표가 양수인 점을 \(Q\)라 하자. 점 \(A(0, -1)\)에 대하여 \[k \le \vec{PQ} \cdot \vec{PA} < k+1\] 을 만족시키는 정수 \(k\)를 구하여라.

[문제 2] (총 95점)
서울이, 시립이, 대학이는 과일가게에서 사과와 배를 사려고 한다. 세 사람 중 과일을 사지 않은 사람이 있을 수도 있을 때, 다음 경우의 수를 구하여라. (단, 사과와 배는 각각 \(11\)개 이상이고, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않는다.)

(a) 서울이, 시립이, 대학이가 모두 합해서 \(11\)개의 과일을 사는 경우의 수를 구하여라. (40점)
(b) 서울이, 시립이, 대학이가 산 과일의 수를 차례로 \(x, y, z\)라 하자. 이때 (a)의 경우 중 \(x \le y \le z\)를 만족시키는 경우의 수를 구하여라. (55점)

[문제 3] (105점)
자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 정수의 순서쌍 \((a, b)\)의 개수를 \(A_n\)이라 하자.
\[\text{모든 실수 } x\text{에 대하여 } -|x-2| \le ax+b \le |x-2n| + 5 \quad \text{이다.}\] 이때 \(\sum_{n=1}^{100} A_n\)의 값을 구하여라.

[문제 4] (총 115점)
\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 점 \(A_k\)의 좌표를 \(\left( \cos \left(\frac{k-1}{n}\pi\right), \sin \left(\frac{k-1}{n}\pi\right) \right)\)라 하자. (단, \(k = 1, 2, \dots, 2n\))
점 \(A_1, A_2, \dots, A_{2n}\)을 꼭짓점으로 하는 정\(2n\)각형의 변 위를 두 점 \(P, Q\)가 시계 반대 방향으로 움직인다. 두 점 \(P, Q\)가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하여라.
- (1) 두 점 \(P, Q\)는 시각 \(t = 0\)일 때 점 \(A_1(1, 0)\)을 출발하여 정\(2n\)각형을 한 바퀴 돌아 점 \(A_1\)에 동시에 도착한다.
- (2) 점 \(P\)는 변 \(A_k A_{k+1}\) 위를 속력 \(\sqrt{2 - \frac{k}{2n}}\)로 움직이고, 변 \(A_{2n} A_1\) 위를 속력 \(1\)로 움직인다. (단, \(k=1, 2, \dots, 2n-1\))
- (3) 점 \(Q\)의 속력은 일정하다.

(a) 점 \(P\)가 출발한 후 점 \(A_1\)에 처음으로 도착하는 시각을 \(b_n\)이라 할 때, \(\lim_{n\to \infty} b_n\)의 값을 구하여라. (50점)
(b) 점 \(P\)가 출발한 후 점 \(A_{n+1}(-1, 0)\)에 처음으로 도착하는 시각을 \(c_n\)이라 하자. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = c_n\)까지 점 \(P\)와 점 \(Q\)가 움직인 거리의 차를 \(d_n\)이라 할 때, \(\lim_{n\to \infty} d_n\)의 값을 구하여라. (65점)

[문제 1] (85점)
시립이는 아래와 같은 규칙으로 주사위를 반복해 던져서 나오는 눈의 수만큼 주머니에 공을 넣는 게임을 한다. 게임을 시작할 때 주머니에 있는 공의 개수는 \(0\)이다.
- (1) 주머니에 있는 공의 개수가 \(5\) 이하이면 시립이는 주사위를 새로 던져서 나오는 눈의 수만큼 공을 넣는다.
- (2) 주머니에 있는 공의 개수가 \(6\) 이상이면 시립이는 주사위를 던지는 것을 멈추고 게임을 끝낸다.

(a) 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 \(6\)일 확률 \(\frac{q}{p}\)를 구하여라. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) (45점)
(b) 시립이가 주사위를 \(4\)번 던져서 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 \(6\)일 확률 \(\frac{s}{r}\)를 구하여라. (단, \(r\)과 \(s\)는 서로소인 자연수이다.) (40점)

[문제 2] (95점)
함수 \(f(x) = -x^3 - x + 3\)의 역함수 \(g(x)\)에 대하여 연속함수 \(h(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.
- (1) \(h(x) = \begin{cases} 3x & (0 \le x < 1) \\ 4g'(x) + 4 & (1 \le x < 3) \end{cases}\)
- (2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(h(x+3) = h(x)\)이다.
정적분 \(\int_{0}^{6} x h(x) dx\)의 값을 구하여라.

[문제 3] (105점)
다음을 만족시키는 서로 다른 세 자연수 \(a, b, c\)의 모든 순서쌍 \((a, b, c)\)의 개수를 구하여라. \[\log_2 (a+4b) + 2\log_2 c - \log_2 3 = 100\]

[문제 4] (총 115점)
좌표평면 위의 두 점 \(F(5, 0), F'(-5, 0)\)을 초점으로 하는 타원 \(C_1\)과 두 점 \(F, F'\)을 초점으로 하는 쌍곡선 \(C_2\)가 있다. 두 곡선 \(C_1, C_2\)의 제1사분면 위의 교점 \(P\)에 대하여 \(\overline{PF} \times \overline{PF'} = 20\)일 때, 다음에 답하여라.

(a) \(\frac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}\)의 값의 범위를 구하여라. (75점)
(b) \(\angle FPF' = \frac{\pi}{3}\)일 때, \(\frac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}\)의 값을 구하여라. (40점)

[문제 1] (85점)
좌표평면에서 곡선 \(y = x - x^2\)의 네 점 \(O(0, 0)\), \(A(a, a - a^2)\), \(B(b, b - b^2)\), \(C(1, 0)\)에 대하여 다음 물음에 답하여라. (단, \(0 < b < a < 1\)이다.)

(a) 점 \(B\)가 곡선에서 두 점 \(O\)와 \(A\)사이를 움직일 때, 삼각형 \(OAB\)의 넓이의 최댓값을 \(a\)에 대한 식으로 나타내어라. (25점)
(b) 두 점 \(A, B\)가 곡선에서 두 점 \(O\)와 \(C\)사이를 움직일 때, 사각형 \(ABCO\)의 넓이의 최댓값을 구하여라. (60점)

[문제 2] (95점)
한 개의 주사위를 \(6\)번 던질 때, 다음 물음에 답하여라.

(a) \(3\)의 배수의 눈이 연속해서 나오지 않을 확률을 기약분수로 나타내어라. (45점)
(b) 적어도 한 번은 \(2\) 이하의 눈이 나왔을 때, \(3\)의 배수의 눈이 연속해서 나오지 않을 확률을 기약분수로 나타내어라. (50점)

[문제 3] (105점)
다음 정적분의 값을 구하여라. \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left| 3\sqrt{2}\sin^3 x - \cos x \right| dx\]

[문제 4] (115점)
수열 \(\{a_n\}\)의 귀납적 정의가 \[a_1 = 5, \quad a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{2}{\sqrt{a_n}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\] 일 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[4 < a_n \le \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 4\]

[문제 1] (85점)
어느 김밥집에서 파는 김밥의 종류는 \(4\)가지다. 이 김밥집에서 서울이와 시립이가 다음을 모두 만족시키도록 김밥을 사는 경우의 수를 구하여라. (단, 모든 종류의 김밥은 충분하다.)

- (1) 서울이와 시립이는 각각 김밥 \(5\)줄을 산다.
- (2) 서울이가 산 김밥의 종류와 시립이가 산 김밥의 종류는 겹치지 않는다.

[문제 2] (95점)
함수 \[f(x) = \begin{cases} x^3 - 2x + 11 & (x \le -2) \\ \frac{5}{2}x - 2\cos \left(\frac{\pi}{3}x\right) + 11 & (x > -2) \end{cases}\] 의 역함수의 그래프와 직선 \(y = \frac{1}{5}x - 1\)의 모든 교점의 \(y\)좌표의 합을 \(a\)라 할 때, \(a\)의 정수 부분을 구하여라.

[문제 3] (105점)
자연수 \(n\)에 대하여 다음을 모두 만족시키는 두 자연수 \(k, m\)의 순서쌍 \((k, m)\)의 개수를 \(a_n\)이라 하자. 이때 \[\sum_{n=1}^{p} a_n \le 2022\] 를 만족시키는 자연수 \(p\)의 최댓값을 구하여라.
- (1) \(k^2 m^3 = 2^{9n}\)
- (2) \(m \le 8^n \le m^2\)

[문제 4] (총 115점)
다음 물음에 답하여라.

(a) 상수 \(a\)에 대하여 방정식 \(x^3 - 6x^2 + a = 0\)의 한 근이 \(t\)일 때, 나머지 두 근을 \(t\)에 대한 식으로 나타내어라. (25점)
(b) 좌표평면에서 직사각형 \(ABCD\)의 두 꼭짓점 \(A, D\)는 곡선 \(y = -x^3 + 6x^2\)에 있는 제1사분면의 점이고, 두 꼭짓점 \(B, C\)는 \(x\)축에 있다. 직사각형 \(ABCD\)의 넓이가 최대일 때 변 \(AB\)의 길이를 구하여라. (90점)