(1) \(a:b=2:1 \rightarrow a=2b\) 이다. 세 점의 \(x\)좌표는 \(y=3\)이 되는 점들이므로,
\(x_A = 2^3 = 8\), \(x_B = a^3 = 8b^3\), \(x_C = b^3\) 이다.
\(\overline{\text{AC}} = |b^3 - 8|\), \(\overline{\text{BC}} = |a^3 - b^3| = |8b^3 - b^3| = 7b^3\) (자연수이므로 \(b>2\)).
\(\overline{\text{AC}}:\overline{\text{BC}} = 1:8 \rightarrow 8|b^3 - 8| = 7b^3 \rightarrow 8(b^3-8) = 7b^3 \rightarrow b^3 = 64 \rightarrow b=4\)이다.
\(b=4\)이므로 \(a=8\)이다.
\(\sqrt{a^3+b^3} = \sqrt{512+64} = \sqrt{576} = 24\)이다.

(2) \(x_A = 8, x_B = 8^3 = 512\) 이므로 \(\overline{\text{AB}} = 512 - 8 = 504\)이다.

(3) 점 \(\text{C}\)의 \(x\)좌표는 \(b^3 = 64\) 이므로 \(\text{C}(64, 3)\)이다.

(1) \(g(x)\)의 주기는 \(h(\alpha) = 2\pi \alpha\)이다.
\(f(\alpha) = 5\cos(-2\pi + 2/3\pi) - 2\sin\left(\frac{2\pi\alpha}{12}+\frac{17}{6}\pi\right) = -\frac{5}{2} - 2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\right)\) 이다.
최대일 때는 \(\sin\) 부분이 최소인 \(-1\)일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi + 2\pi k \rightarrow \frac{\pi\alpha}{6} = -\frac{8}{6}\pi + 2\pi k = -\frac{4}{3}\pi + 2\pi k\)
양수 \(\alpha\)의 최솟값 \(m\)은 \(k=1\)일 때이므로 \(\alpha = 6 \times (2/3) = 4\). 즉, \(m=4\)이다.

(2) 최소일 때는 \(\sin\) 부분이 최대인 \(1\)일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi = \frac{1}{2}\pi + 2\pi k \rightarrow \frac{\pi\alpha}{6} = -\frac{14}{6}\pi + 2\pi k\)
양수 \(\alpha\)의 최솟값 \(n\)은 \(k=2\)일 때이므로 \(\alpha = 6 \times (10/6) = 10\). 즉, \(n=10\)이다.

(3) \(h(m) = 8\pi, h(n) = 20\pi\) 이므로 차이는 \(12\pi\)이다.

(1) 조건 (가)는 \(\frac{f(p)}{p-1} > \frac{f(q)}{q-1}\)을 의미하므로 원점과 곡선 위의 점을 잇는 평균변화율이 감소하는 형태(위로 볼록한 지수로그 형태)로 \(a>1\)임을 의미한다.
조건 (나)에서 \(|\log_a 8| = 3 \rightarrow a=2\)이다.

(2) \(f(x) = \log_2 x \rightarrow \text{A}(1,0)\).
\(g(x) = -\log_2 x + 4 \rightarrow \text{B}(16,0)\). 밑변 \(\overline{\text{AB}} = 15\).
교점 \(\text{C}\)는 \(\log_2 x = -\log_2 x + 4 \rightarrow \log_2 x = 2 \rightarrow x=4\). 높이 \(y = 2\)이다.
넓이는 \(\frac{1}{2} \times 15 \times 2 = 15\)이다.

(3) \(f(x) = \log_2 x\)의 역함수는 \(y = 2^x\)이다.
원점 대칭이동: \(y = -2^{-x}\).
직선 \(y=x\) 대칭이동: \(x = -2^{-y} \rightarrow y = -\log_2(-x)\).
\(x\)축으로 \(k\) 평행이동: \(y = -\log_2(-(x-k))\).
점 \((-6, -1)\) 대입: \(-1 = -\log_2(6+k) \rightarrow 6+k=2 \rightarrow k=-4\)이다.

(1) \(a_{2n+1} = (n+1)^3+1 = n^3+3n^2+3n+2\) 이다.
조건 (다)에서 \(a_{2n-1} < a_{2n} < a_{2n+1}\) 이므로 \(n^3+1 < n^3+1+d < n^3+3n^2+3n+2\)이다.
\(0 < d < 3n^2+3n+1\)이 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립해야 하므로 \(n=1\)일 때 \(d < 7\)이다. 따라서 자연수 \(d\)는 \(1 \le d \le 6\)이다.
\(\sum_{n=1}^{13} a_n = a_1 + \sum_{k=1}^6 (a_{2k} + a_{2k+1}) = 1238 + 6d\)로 유도된다.
최댓값 (\(d=6\)): \(1238+36=1274\). 최솟값 (\(d=1\)): \(1238+6=1244\). 차이는 30이다.

(2) 최소인 경우는 \(d=1\)일 때이므로, \(a_{16} = a_{15} + 1 = (8^3+1) + 1 = 514\)이다.

(1) \(\lim_{x\to2} \frac{(x^2-2x+k-1)f(x)}{x-2} = 0\)에서 수렴하므로 분자가 0으로 가야 한다. 즉, \(k=1\) 또는 \(f(2)=0\)이다. 분석 결과 \(k=1, f(2)=0\)이 성립한다. 이 경우 \(f(x)=(x-2)(x+a+2)\)이다.
조건 (나)에서 \(f(t)=f'(t) \rightarrow (t-2)(t+a+2) = 2t+a\) 이다. 또한 곱의 미분법을 이용해 \(g'(t) = (2t-2)f(t)+(t^2-2t+1)f'(t)\)에서 \(f(t)=f'(t)\)를 대입하면 \(g'(t) = (t^2-1)f'(t) = 3f'(t) \rightarrow t^2-1=3 \rightarrow t = \pm 2\)이다.
검토 결과 \(t=2\)이면 모순이 생기므로 \(t=-2\)이다.

(2) \(t=-2\)일 때 조건에 대입하면 \(f(-2)=f'(-2) \rightarrow -4(a) = -4+a \rightarrow a = 4/5\)이다.
\(b = -2(a+2) = -28/5\) 이므로, \(\frac{b}{a} = -7\)이다.

(3) \(g(x) = (x-1)^2(x-2)(x+14/5)\) 이므로 \(g(3) = 4 \times 1 \times 29/5 = 116/5\)이다. \(m=116, n=5 \rightarrow m+n=121\)이다.

(1) \(g'(x) = (x-3)f(x)\) 이다. 교점 및 극값은 \(g'(x)=0\)인 점이므로 \(x=3\) 또는 \(f(x)=0\)인 점이다.
\(x \ge 3\)에서 \(3x-18=0 \rightarrow x=6\), \(x < 3\)에서 \(-2x-3=0 \rightarrow x=-3/2\)이다.
따라서 극값 후보는 \(x = -3/2, 3, 6\)이다.

(2) \(g(x)\)의 각 극값을 구한다. \(C_2=0, C_1=-45\)이다.
\(x=-3/2\) 극소 \(g(-3/2) = -63/8\), \(x=3\) 극대 \(g(3)=45/2\), \(x=6\) 극소 \(g(6)=9\)이다. 최솟값은 \(-63/8\)이다.

(3) 극소와 극대 값을 기준으로 직선 \(y=n\)의 교점 \(a_n\)의 개수를 구하면,
\(n=1 \sim 8\): 교점 2개 (극소 9보다 아래)
\(n=9\): 교점 3개 (\(x=6\) 극소에 걸침)
\(n=10 \sim 15\): 교점 4개 (\(9 < n < 22.5\))
\(\sum_{k=1}^{15} a_k = 2 \times 8 + 3 \times 1 + 4 \times 6 = 43\)이다.

(1) \(g'(1/2) = f(11/2) - f(1/2) = 0 \rightarrow f(11/2)=f(1/2)\) 이므로 \(f(x)\)는 대칭축이 \(x=3\)이다.
또한 극한값이 존재하므로 \(f(1)=0\) 이다. 대칭축이 3이므로 \(f(x) = (x-1)(x-5)\)이다.

(2) \(g'(x) = f(|x+5|) - f(|x|) = 0 \rightarrow |x+5|\)와 \(|x|\)가 \(f(x)\)의 대칭성 등에 의해 함숫값이 같을 조건은,
구간별 분석 시: (i) \(x < -5\) 일 때 \(x = -11/2\), (ii) \(-5 \le x < 0\) 일 때 \(x = -5/2\), (iii) \(x \ge 0\) 일 때 \(x = 1/2\)이다.
따라서 \(\alpha = -11/2, \beta = -5/2\)이다.

(3) 증감표를 작성하여 부호 변화를 조사하면, \(x = -5/2\)에서 극대를 가짐을 알 수 있다.

(1) \(g(1)\)은 구간 \([1, 3]\)에서의 \(f(x)\)의 최솟값이다.
\(x \ge 0\)에서 \(f(x) = x^2-4x\) 이며, 대칭축이 2이고 최솟값은 \(f(2)=-4\)이다. 따라서 \(g(1) = -4\)이다.

(2) \(f(x)\)는 원점 대칭이므로 \(x < 0\)에서 \(f(x) = -x^2-4x\)이다.
\(g(t)\)의 정의에 따라 함수를 구하면, \(t \le -3\) 일 때 \(g(t)=f(t)\), \(-3 \le t \le 0\) 일 때 \(g(t)=f(t+2)\), \(0 \le t \le 2\) 일 때 \(g(t)=-4\), \(t \ge 2\) 일 때 \(g(t)=f(t)\)이다.
따라서 \(f(x) \ne g(x)\)인 범위는 \(-3 < x < 2\)이다.

(3) 도형의 넓이는 \(\int_{-3}^2 (f(x)-g(x)) dx\) 이다. 구간별로 쪼개어 정적분을 계산하면 \(\frac{46}{3}\)이 된다.

(1) \(\angle\text{BCA} = \pi/2\) 이다. 피타고라스 정리에 의하여:
\(\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{CA}}^2 + \overline{\text{CB}}^2 = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{24} = 3\sqrt[3]{3}\) 이고, \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{3\sqrt[3]{3}} = \sqrt[6]{81} = \sqrt[6]{3^4}\)이다.
직각삼각형 닮음에 의하여: \(\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{BH}} \cdot \overline{\text{AB}}\) 이므로,
\(a = \overline{\text{BH}} = \frac{\overline{\text{BC}}^2}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[6]{81}} = \frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{3^4}} = \frac{2\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{81}} = \frac{2}{\sqrt[6]{9}} = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)이다.

(2) 넓이 관계에 의하여: \(\overline{\text{CA}} \cdot \overline{\text{CB}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{CH}}\) 이므로,
\(b = \overline{\text{CH}} = \frac{\overline{\text{CA}} \cdot \overline{\text{CB}}}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{24}}{\sqrt[6]{81}} = \frac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{81}} = \sqrt[6]{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt[6]{648}}{3}\)이다.

(3) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여:
- \(\alpha + \beta = a = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)
- \(\alpha\beta = -\sqrt[6]{648}b = -\sqrt[6]{648} \cdot \frac{\sqrt[6]{648}}{3} = -\frac{\sqrt[3]{648}}{3} = -2\sqrt[3]{3}\)
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right)^3 - 3(-2\sqrt[3]{3})\left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right) = \frac{8}{3} + 12 = \frac{44}{3}\)이다.

(1) 공차 \(d = \frac{21-7}{11-4} = 2\) 이다. 첫째항 \(a_1 = a_4 - 3d = 1\)이다. 따라서 일반항 \(a_n = 2n-1\)이다.

(2) \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(2k-1)(2k+3)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right)\) 이다.
전개하여 소거하면: \(\frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{21} - \frac{1}{23} \right) = \frac{50}{161}\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^m \frac{4}{a_k a_{k+2}} = \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2m+1} - \frac{1}{2m+3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{4m+4}{(2m+1)(2m+3)} < \frac{13}{12}\) 이다.
\(\frac{4m+4}{4m^2+8m+3} > \frac{4}{3} - \frac{13}{12} = \frac{1}{4} \rightarrow 16m+16 > 4m^2+8m+3 \rightarrow 4m^2-8m-13 < 0\) 이다.
만족하는 자연수 \(m\)은 1, 2, 3이다. (대입 시 \(m=3\)일 때 \(-1 < 0\), \(m=4\)일 때 \(19 > 0\))

(1) \(6S_n = a_n^2 + 3a_n - 10\) 이고, \(n \ge 2\)일 때 \(6S_{n-1} = a_{n-1}^2 + 3a_{n-1} - 10\)이다.
두 식을 빼면: \(6a_n = a_n^2 - a_{n-1}^2 + 3a_n - 3a_{n-1} \rightarrow a_n^2 - a_{n-1}^2 - 3a_n - 3a_{n-1} = 0\)이다.
인수분해하면: \((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-3) = 0\) 이다.
모든 항이 양수이므로 \(a_n+a_{n-1} > 0\) 이며, \(a_n - a_{n-1} = 3\) (\(n \ge 2\)) 이다. 따라서 공차가 3인 등차수열을 이룬다.

(2) \(n=1\)일 때: \(6a_1 = a_1^2 + 3a_1 - 10 \rightarrow a_1^2 - 3a_1 - 10 = 0 \rightarrow (a_1-5)(a_1+2)=0\) 이고, \(a_1>0\)이므로 \(a_1 = 5\)이다.
일반항 \(a_n = 5 + 3(n-1) = 3n+2\) 이며, \(a_{10} = 32\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^{10} a_k = S_{10} = \frac{10(5+32)}{2} = 185\)이다.

(1) 근과 계수의 관계에 의하여: \(\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \frac{m}{2}\), \(\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta = \frac{n}{2}\)이다.
주어진 식은: \(\frac{\log_2 \beta}{\log_2 \alpha} + \frac{\log_2 \alpha}{\log_2 \beta} = \frac{(\log_2 \alpha + \log_2 \beta)^2 - 2\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta}{\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta} = \frac{\frac{m^2}{4} - n}{\frac{n}{2}} = \frac{m^2-4n}{2n} = \frac{1}{4}\)이다.
\(4m^2-16n = 2n \rightarrow 2m^2 = 9n\) 이다. 가장 작은 자연수 \(m, n\)이므로 \(m\)은 3의 배수여야 하고, \(m=3\)일 때 \(n=2\)이다. 따라서 \(m=3\)이다.

(2) \(n=2\)이다.

(3) \(m=3, n=2\)를 조건 (가)에 대입한다.
\(6^a = 16^b = k^c = M\)이라 하면, \(a = \log_6 M, b = \log_{16} M, c = \log_k M\)이다.
조건 (나)에서 \(ab = bc - ac \rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\) 이다.
\(\frac{1}{\log_k M} = \frac{1}{\log_6 M} - \frac{1}{\log_{16} M} \rightarrow \log_M k = \log_M 6 - \log_M 16 = \log_M \frac{6}{16} = \log_M \frac{3}{8}\)이다.
따라서 \(k = \frac{3}{8}\)이다.

(1) \(x=2\)에서 연속 조건: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -6 = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2-a) \rightarrow 6-3a = -6 \rightarrow a=4\)이다.

(2) \(f(x) = \begin{cases} -3x & (x < 2) \\ 3x-12 & (x \ge 2) \end{cases}\) 이므로, \(g'(x) = \begin{cases} -3x(x-2) & (x < 2) \\ 3(x-2)(x-4) & (x \ge 2) \end{cases}\) 이다.
- \(x < 2\) 일 때: \(g(x) = \int_0^x (-3t^2+6t)dt = -x^3+3x^2\)이다.
- \(x \ge 2\) 일 때: \(g(x) = \int_2^x (3t^2-18t+24)dt + g(2)\) 이며, \(g(2) = 4\)이므로 \(g(x) = x^3-9x^2+24x-16\)이다.

(3) \(g'(x) = 0\) 인 점은 \(x=0, 2, 4\)이다.
극댓값은 \(g(2) = 4\) 이고, 극솟값은 \(g(0) = 0, g(4) = 0\)이다.
- \(y=0\)과의 교점 \(b\): \(x=0\)과 \(x=4\)에서 극솟값 0으로 접하므로 교점은 단 \(2\)개이다.
- \(y=3\)과의 교점 \(c\): 극대 4와 극소 0 사이의 수이므로 교점은 \(4\)개이다.
따라서 \(b+c = 2 + 4 = 6\)이다.

(1) 평행사변형 \(\text{ABCD}\)의 넓이는 \(2S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{PAR}) = \frac{1}{2} \overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{AR}} \sin(\pi-\alpha) = \frac{1}{2} ( (m-1)c ) ( mb ) \sin\alpha = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{QBP}) = \frac{1}{2} \overline{\text{BQ}} \cdot \overline{\text{BP}} \sin(\pi-\beta) = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{RCQ}) = \frac{1}{2} \overline{\text{CR}} \cdot \overline{\text{CQ}} \sin(\pi-\gamma) = m(m-1)S\)이다.

(2) 삼각형 \(\text{PQR}\)의 넓이는 \(S + 3m(m-1)S = (3m^2-3m+1)S\)이다.
이 값이 평행사변형 넓이 \(2S\)와 같으므로, \(3m^2-3m+1 = 2 \rightarrow 3m^2-3m-1=0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(m = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}\) 이고, \(m>1\)이므로 \(m = \frac{3+\sqrt{21}}{6}\)이다.

(1) 피적분함수 식을 정리한다. \(\int \{ f(x)-3+xf'(x) \}dx = \int \{ (xf(x))' - 3 \}dx = xf(x) - 3x + C = x^4-x^3\)이다.
\(x=0\)을 대입하면 \(C = 0\)이다. 따라서 \(xf(x) = x^4-x^3+3x \rightarrow f(x) = x^3-x^2+3\)이다.
\(f'(x) = 3x^2-2x = 0 \rightarrow x = 0, \frac{2}{3}\) 이며, 극대점은 \(x=0\)이다. 극댓값 \(f(0) = 3\)이다.

(2) \(f(1) = 3\) 이고, \(f'(1) = 1\)이다. 접선의 방정식 \(\ell\)은 \(y-3 = 1(x-1) \rightarrow y = x+2\)이다.

(3) 교점은 \(x^3-x^2+3 = x+2 \rightarrow (x-1)^2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, 1\)이다.
넓이 \(S = \int_{-1}^1 ( (x+2) - (x^3-x^2+3) ) dx = \int_{-1}^1 (-x^3+x^2+x-1)dx = 2\int_0^1 (x^2-1)dx = \frac{4}{3}\)이다.

(1) \(x^3 + 4x^2 - 6x + 8 = x^2 + 18x + b \rightarrow x^3 + 3x^2 - 24x + 8 = b\)이다.
\(h(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 8\) 이라 하면, \(h'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x+4)(x-2) = 0\) 이다.
극대 \(h(-4) = 88\), 극소 \(h(2) = -20\) 이므로 교점이 2개일 조건은 극값에 걸칠 때인 \(b = -20\) 또는 \(b = 88\)이다.

(2) \(x^3 + 3x^2 - 9x + 8 = b\) 이다.
\(k(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 8\) 이라 하면, \(k'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1) = 0\) 이다.
열린구간 \((-2, 1)\)에서 \(k'(x) < 0\) 이므로 단조감소한다.
\(k(-2) = 30\), \(k(1) = 3\) 이므로 범위는 \(3 < b < 30\)이다.

(3) \(f(x)-g(x) = x^3 + 3x^2 - (6+a)x + 8-b = 0\) 이 모든 \(b\)에 대해 오직 한 실근을 가지려면, 도함수 \(y = 3x^2 + 6x - (6+a) \ge 0\) 이 항상 성립해야 한다.
판별식 \(D/4 = 9 + 3(6+a) = 3a + 27 \le 0 \rightarrow a \le -9\)이다.