1단계 · 소문항 (1) 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라고 하면, 정삼각형의 성질에 의하여 $\overline{\mathrm{AM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$, $\overline{\mathrm{MF}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이다. 따라서 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{FBC}$가 이루는 이면각의 크기는 $\alpha = \angle\mathrm{AMF}$이다.
한 변의 길이가 $1$인 정삼각형의 높이에 의하여 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{MF}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이고, 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{BCDE}$의 대각선의 길이와 같은 $\overline{\mathrm{AF}} = \sqrt{2}$이다. 삼각형 $\mathrm{AMF}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\cos\alpha = \frac{\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{MF}}^2 - \overline{\mathrm{AF}}^2}{2 \cdot \overline{\mathrm{AM}} \cdot \overline{\mathrm{MF}}} = \frac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} - 2}{\dfrac{3}{2}} = \mathbf{-\frac{1}{3}}$$

2단계 · 소문항 (2) 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{AED}$는 점 $\mathrm{A}$를 공유하고, 직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $\mathrm{ED}$가 서로 평행하므로 두 평면의 교선 $l$은 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$(및 $\mathrm{ED}$)에 평행하다.
선분 $\mathrm{ED}$의 중점을 $\mathrm{L}$(오른쪽 그림의 $\mathrm{Q}$)이라 하면 $\overline{\mathrm{AM}} \perp l$, $\overline{\mathrm{AL}} \perp l$이므로 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{AED}$가 이루는 이면각의 예각의 크기는 $\beta = \angle\mathrm{MAL}$이다. 이때 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{AL}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\overline{\mathrm{ML}} = 1$이므로 삼각형 $\mathrm{AML}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\cos\beta = \frac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1^2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\dfrac{3}{2} - 1}{\dfrac{3}{2}} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

3단계 · 소문항 (3) 선분 $\mathrm{GH}$의 중점을 $\mathrm{K}$(오른쪽 그림의 $\mathrm{O}$)라 하면 $\overline{\mathrm{JK}} \perp \overline{\mathrm{GH}}$, $\overline{\mathrm{IK}} \perp \overline{\mathrm{GH}}$이므로 두 평면 $\mathrm{JGH}, \mathrm{IGH}$가 이루는 이면각의 크기는 $\gamma = \angle\mathrm{JKI}$이다. $\overline{\mathrm{JK}} = \overline{\mathrm{IK}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\overline{\mathrm{JI}} = 1$이므로 삼각형 $\mathrm{JKI}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\cos\gamma = \frac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1^2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

4단계 · 소문항 (4) 점 $\mathrm{G}$와 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{H}$와 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{I}$와 $\mathrm{F}$를 일치시키면 평면 $\mathrm{IGH}$는 평면 $\mathrm{FBC}$와 일치하고 교선 $\mathrm{GH}$는 직선 $\mathrm{BC}$와 일치한다.
(1)과 (3)에서 $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3} = -\cos\gamma = \cos(\pi - \gamma)$이고, $0 < \alpha < \pi, \; 0 < \pi - \gamma < \pi$에서 코사인함수는 일대일대응이므로 $\alpha = \pi - \gamma$, 즉 $\mathbf{\alpha + \gamma = \pi}$이다. 따라서 두 반평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{JGH}$는 직선 $\mathrm{BC}$를 경계로 이루는 각의 합이 $\pi$($180^\circ$)가 되어 한 평면을 이루므로 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{JGH}$는 일치한다.

1단계 · 각 $s(t)$와 $t$ 사이의 관계식 유도 오른쪽 그림과 같이 시각 $t$에 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{Q}$를 잇는 직선 $\mathrm{OQ}$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $s(t)$라 하자. $\mathrm{Q}$는 원 위를 움직이므로, $\mathrm{Q}$의 좌표는 $(\cos s(t), \sin s(t))$이고, 제시문 【가】에 의하여 속력은 $$\sqrt{\left(\sin^2 s(t) + \cos^2 s(t)\right)\left(\frac{ds}{dt}\right)^2} = \left|\frac{ds}{dt}\right|$$ 이다. 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{P}$로부터 각각 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{h}_{\mathrm{Q}}, \mathrm{h}_{\mathrm{P}}$라 하면, $\angle\mathrm{QAh}_{\mathrm{Q}} = \angle\mathrm{PAh}_{\mathrm{P}}$이므로 $\tan(\angle\mathrm{QAh}_{\mathrm{Q}}) = \tan(\angle\mathrm{PAh}_{\mathrm{P}})$이고 다음을 얻는다. $$\frac{\sin s(t)}{a - \cos s(t)} = \frac{\sin t}{a - \cos t}$$

2단계 · 음함수의 미분법 적용 이를 정리하면 $(a - \cos t)\sin s(t) - \sin t(a - \cos s(t)) = 0$이고, 제시문 【다】의 음함수의 미분법에 의해 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $$\sin t\sin s(t) + (a - \cos t)\cos s(t)\frac{ds}{dt} - \cos t(a - \cos s(t)) - \sin t\sin s(t)\frac{ds}{dt} = 0$$ 이다. 점 $\mathrm{Q}$가 점 $(0, 1)$을 지날 때, $s(t) = \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\sin s(t) = 1, \; \cos s(t) = 0$이고, $t = t_0$이므로 이를 위 식에 대입하고 정리하면 $t = t_0$에서 $\mathrm{Q}$의 속력은 $$\left|\frac{ds}{dt}\right| = \left|1 - a\frac{\cos t_0}{\sin t_0}\right|$$ 이다.

3단계 · 삼각함수의 덧셈정리와 $t = t_0$에서의 속력 오른쪽 그림과 같이 점 $\mathrm{Q}$의 위치가 $(0, 1)$인 상황에서 $\angle\mathrm{AQO} = \alpha$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{AQO}$에서 $\tan\alpha = a$이다.
한편, 이등변삼각형 $\mathrm{OPQ}$에서 직선 $\mathrm{OQ}$와 직선 $\mathrm{OP}$의 길이가 같으므로 $\angle\mathrm{QPO} = \alpha$이고, 삼각형의 내각의 합에 의하여 $t_0 + \dfrac{\pi}{2} = 2\alpha$가 성립한다. 따라서 $$\frac{\cos t_0}{\sin t_0} = \frac{\cos\left(2\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(2\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)} = \frac{\sin(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)} = -\tan 2\alpha = -\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2a}{a^2 - 1}$$ 이고, $a \ge 2$이므로 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 속력은 $$\left|1 - \frac{2a^2}{a^2 - 1}\right| = \left|-1 - \frac{2}{a^2 - 1}\right| = \mathbf{1 + \frac{2}{a^2 - 1}}$$ 이다.

1단계 · 소문항 (1) 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 직선 $l$의 $x$절편 (1) 제시문 【나】에 의해 포물선 $y^2 = 4x$의 초점 $\mathrm{F}(1, 0)$에서 출발하여 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(2, 2\sqrt{2})$에 부딪쳐 반사되어 진행하는 빛은 포물선의 축인 $x$축과 평행하게 직선 $y = 2\sqrt{2}$를 따라 진행한다.
이 빛이 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ ($3\sqrt{2} \le x \le 9$)과 만나는 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $y = 2\sqrt{2}$를 대입하면 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{8}{4} = 1 \implies x^2 = 54$이고 $x > 0$이므로 $\mathrm{P}(3\sqrt{6}, 2\sqrt{2})$이다.
제시문 【다】에 의해 점 $\mathrm{P}(3\sqrt{6}, 2\sqrt{2})$에서의 접선 $l$의 방정식은 $$\frac{3\sqrt{6}\,x}{18} - \frac{2\sqrt{2}\,y}{4} = 1 \iff \frac{\sqrt{6}}{6}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y = 1$$ 이고, $y = 0$을 대입하면 직선 $l$의 $x$절편은 $\mathbf{\sqrt{6}}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 직선 $l$과 $x$축이 이루는 예각 $\gamma$ (2) 접선 $l$의 방정식을 $y$에 관하여 정리하면 $$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{2}$$ 이고, 직선 $l$의 기울기는 $\tan\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$이므로 예각 $\gamma$의 크기는 $\mathbf{\gamma = \frac{\pi}{6}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 반사 후 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각 $\delta$ (3) 점 $\mathrm{P}$에 반사되기 전 빛의 직진 방향(직선 $y = 2\sqrt{2}$)은 $x$축과 평행하므로, 이 빛과 접선 $l$이 이루는 각 $\alpha$는 접선 $l$이 $x$축과 이루는 각 $\gamma$와 엇각으로 같아 $\alpha = \gamma = \dfrac{\pi}{6}$이다. 또한 입사각과 반사각의 크기가 같으므로 $\beta = \alpha = \dfrac{\pi}{6}$이다.
반사되기 전 빛의 진행 직선과 $x$축이 평행하므로 직선 $m$과 $x$축이 이루는 예각 $\delta$는 각 $\beta + \gamma$와 동위각으로 같다. 따라서 $$\mathbf{\delta = \beta + \gamma = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}}$$ 이다.

3단계 ~ 4단계 · 네 번째 만나는 시각 $t_4$와 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도 • [3단계]: $a = 1$을 대입하면 시각 $t = t_4$에서 $-t_4 + 7 = f(t_4) = g(t_4) = -\dfrac{1}{9}t_4 + 1$이므로 $\dfrac{8}{9}t_4 = 6 \implies \mathbf{t_4 = \frac{27}{4}}$이다.
• [4단계]: 네 번째 만남 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도는 시각 $t > t_4$에서 $t$가 $t_4$에 충분히 가까울 때 함수 $f(t) = -\dfrac{t}{9} + 1$의 기울기 $f'(t) = -\dfrac{1}{9}$와 같으므로 구하는 점 $\mathrm{P}$의 속도는 $\mathbf{-\frac{1}{9}}$이다.
• *채점시 참고사항: [2단계]에서 $f(t), g(t)$의 규칙을 찾아 $a = 1$을 구해내는 것이 중요하다. 참고로 $a=1$일 때 $f(t), g(t)$를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같다($y = f(t)$: 실선, $y = g(t)$: 점선).

1단계 ~ 3단계 · [첫 번째 풀이] 입체도형이 물통의 수면에 입수하기 직전의 시각을 $t = 0$이라 하고 그때 수면의 높이를 $h_0$라 하자. 또한, 오른쪽 그림과 같이 시간 $t \ge 0$에 대해 입체도형이 일부분 잠겨 물이 올라간 수면의 높이를 $h(t)$, 입체도형의 최하단에 있는 점 $\mathrm{P}$에서 수면에 수직으로 올린 수선의 발 $\mathrm{R}$까지의 높이를 $z(t)$, 수면을 확장한 평면 $\mathrm{N}$으로 자른 입체도형의 단면의 넓이를 $S(z(t))$, 마지막으로 물통의 밑바닥으로부터 높이가 $h_0$인 평면 $\mathrm{M}$에 점 $\mathrm{P}$로부터 수직으로 올린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하자.
입체도형이 일정한 속력 $v$로 하강하기 때문에 시간 $t$ 동안 하강한 길이 $\overline{\mathrm{PQ}} = vt$이고, $\overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QR}}$이므로 $z(t) = vt + h(t) - h_0$를 얻는다. 평면 $\mathrm{M}$ 아래에 있는 입체도형의 부피는 두 평면 $\mathrm{M}$과 $\mathrm{N}$ 사이에 있는 물의 부피와 같아야 하므로 제시문 【다】, 【라】에 의해 $$\int_{0}^{vt} S(x)\,dx = \int_{vt}^{z(t)} (A - S(x))\,dx \iff \int_{0}^{z(t)} (A - S(x))\,dx = Avt$$ 를 얻는다. 이때 $z(t)$가 미분가능(아래 「채점시 평가제외 사항」 참조)하므로 제시문 【마】, 【바】에 의해 양변을 $t$에 대해 미분하면 $$(A - S(z(t)))z'(t) = Av \implies z'(t) = \frac{Av}{A - S(z(t))}$$ 이고, $z(t) = vt + h(t) - h_0$로부터 $h'(t) = z'(t) - v = \dfrac{S(z(t))v}{A - S(z(t))}$이다. 구하려는 순간의 시각을 $t_1$이라 하면 $S(z(t_1)) = S$이므로 그 순간 수면의 상승 속도는 $\mathbf{h'(t_1) = \frac{Sv}{A - S} \; (\mathrm{m/s})}$가 된다.

[두 번째 풀이] 입체도형의 단면의 넓이가 $S$가 되는 시각을 $t = t_1$이라 하자. 문제에서 구하라는 것은 시각 $t_1$일 때 수면의 높이가 아니라 수면의 높이의 변화율이다. 즉, 시각 $t_1$ 이전의 입체도형의 모양과 시각 $t_1$ 이후의 입체도형의 모양은 수면의 높이의 변화율에 영향을 주지 않으므로, 오른쪽 그림과 같이 수면에 평행한 평면으로 자른 모든 단면의 모양이 문제에서 주어진 입체도형의 단면의 모양과 동일하고 그 넓이는 $S$인 기둥 형태의 새로운 입체도형으로 바꾸어 수면의 높이의 변화율을 구하는 것과 같게 된다.
이제 짧은 시간 $\Delta t$ 동안 기둥 형태의 새로운 입체도형을 $v$의 속도로 하강시키면 상승한 수면의 높이 $\Delta h$에 대하여 $$(A - S)\Delta h = Sv\Delta t$$ 를 만족하므로 수면의 상승 속도는 $\mathbf{\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{Sv}{A - S} \; (\mathrm{m/s})}$가 된다.

소문항 1) · 1단계 ~ 2단계 이 공장에서 생산되는 상품K 한 개의 무게를 확률변수 $X$라 하자.
확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm{N}(55.2, 10^2)$을 따르므로 제시문 【다】에 의해 $$Z = \frac{X - 55.2}{10}$$ 은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따르고, 상품K가 A등급(무게 $68\mathrm{g}$ 이상)일 확률은 $$\mathrm{P}(X \ge 68) = \mathrm{P}\left(Z \ge \frac{68 - 55.2}{10}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.28)$$ 이다. 제시문 【나】의 정규분포 대칭성과 제시문 【마】의 표준정규분포표를 이용하면 $$\mathrm{P}(Z \ge 1.28) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.28) = 0.5 - 0.40 = \mathbf{0.1}$$ 이다.

[예시답안 2] • [1]: [예시답안 1]-[1]과 동일 ($t \ge 3, \; f(t) \ge 0$).
• [2]: 두 정적분을 다른 적분변수로 표현하면 $$\int_{3}^{t} (s - 3)^2\,ds = \int_{3}^{t} (x - 3)^2\,dx, \qquad \int_{0}^{f(t)} (\sqrt{s} + 3)\,ds = \int_{0}^{f(t)} (\sqrt{y} + 3)\,dy$$ 으로 쓸 수 있다. 여기서 $\displaystyle\int_{3}^{t} (x - 3)^2\,dx$는 곡선 $y = (x - 3)^2$과 $x$축 및 두 직선 $x = 3, \; x = t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타내고, $\displaystyle\int_{0}^{f(t)} (\sqrt{y} + 3)\,dy$는 곡선 $x = \sqrt{y} + 3$과 $y$축 및 두 직선 $y = 0, \; y = f(t)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타낸다.
$x \ge 3, \; y \ge 0$일 때, 좌표평면 위 곡선 $x = \sqrt{y} + 3$은 곡선 $y = (x - 3)^2$과 같으므로, 오른쪽 그림에서 $$\int_{3}^{t} (x - 3)^2\,dx + \int_{0}^{f(t)} (\sqrt{y} + 3)\,dy = tf(t)$$ 는 점 $(t, f(t))$가 곡선 $y = (x - 3)^2$의 그래프 위에 위치하는 경우를 나타낸다. 따라서 구하려는 함수 $y = f(x)$는 $\mathbf{y = (x - 3)^2 \; (\text{단, } x \ge 3)}$이다.
• [3]: [예시답안 1]-[3]과 동일 (도형 $R$의 넓이 $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$, 입체도형의 부피 $\mathbf{\dfrac{1}{5}}$).

[예시답안 1] 근원사건(원소 36개) 기준 표본공간 설정 • 시행 및 표본공간 $S$: 제시문 (가)에 의하면 시행은 우연에 의하여 좌우되는 실험이므로 주사위를 2번 던지는 것으로 볼 수 있다. 첫 번째 던져서 얻는 숫자를 십의 자리, 두 번째 던져서 얻는 숫자를 일의 자리로 만든 수(또는 순서쌍 $(i, j)$)로 표현하면 표본공간은 원소가 $36$개인 집합 $$S = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, \; 21, 22, \cdots, 65, 66\} \quad (\text{또는 } S = \{(i, j) \mid i, j = 1, 2, \cdots, 6\})$$ 이 된다.
• 사건 $Q$의 규명: 반지름이 $3\mathrm{cm}$인 원반 $\mathrm{A}$가 반시계 방향으로 $1$바퀴 돌면 맞물린 반지름 $4\mathrm{cm}$인 원반 $\mathrm{B}$는 시계 방향으로 $\dfrac{3}{4}$바퀴($270^\circ$) 회전하므로, 오른쪽 그림과 같이 원반 $\mathrm{A}$가 $2, 3, 6, 7, 10, 11$번 회전 시 원반 $\mathrm{A}$의 화살이 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 닿게 된다 ($1, 5, 9$번과 $4, 8, 12$번 회전 시에는 흰색 호에 닿는다). 따라서 두 눈의 합이 $2, 3, 6, 7, 10, 11$인 사건 $Q$는 (원소 $19$개) $$Q = \{11, \; 12, 21, \; 15, 24, 33, 42, 51, \; 16, 25, 34, 43, 52, 61, \; 46, 55, 64, \; 56, 65\}$$ 이 된다.
• 확률 $\mathrm{P}(Q)$ 계산: 주사위를 2번 던지는 것은 독립인 시행이므로 표본공간 $S$의 각 원소가 발생할 확률은 모두 $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$이고, 제시문 (다)에 의해 각 근원사건은 서로 배반이므로 구하고자 하는 확률은 $\mathbf{\mathrm{P}(Q) = \dfrac{19}{36}}$가 된다.

[1] 다항식 $(ax + by)^n$의 전개와 일반항 계수 문제에서 제시한 다항식이 $(ax + by)^n$이므로 제시문 [라]의 이항정리에 의해 다음과 같이 전개된다. $$(ax + by)^n = {}_n\mathrm{C}_0(ax)^n + {}_n\mathrm{C}_1(ax)^{n-1}by + \cdots + {}_n\mathrm{C}_r(ax)^{n-r}(by)^r + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n(by)^n$$ 문제에서 요구하는 것은 입력 받은 $k$값과 일치하는 계수를 가지는 항의 존재 여부를 판별하는 것이므로, 다음 값들 중 하나 이상이 $k$값과 일치하는지 확인하는 과정이 필요하다. $${}_n\mathrm{C}_0 a^n, \; {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b, \; \cdots, \; {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r, \; \cdots, \; {}_n\mathrm{C}_n b^n \qquad \cdots\cdots (1)$$ 다항식을 전개하여 얻어진 각 항의 계수와 $k$값과의 일치 여부를 판별하는 과정은 입력 받은 $n$값을 기준으로 $r$값을 $0$에서부터 $n$까지 $1$씩 증가시켜 가며 계수 $v = {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r$를 계산하고 $k$값과 비교하는 과정의 반복이다. $\cdots\cdots (2)$

[2] 조합의 수 ${}_n\mathrm{C}_r$와 조건 (ㄱ)의 [순서도 1] 설계 ${}_n\mathrm{C}_r$의 계산은 제시문 [나], [다]에 의해 다음과 같이 정의된다. $${}_n\mathrm{C}_r = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 \le r \le n) \qquad \cdots\cdots (3)$$ 문제의 <조건> (ㄱ)에서 음이 아닌 정수 $f$에 대해 계승($f!$)을 구하는 알고리즘을 별도의 순서도로 제시하라고 하였으므로, 오른쪽 [순서도 1]과 같이 초기값 $\mathrm{fv} = 1$을 두고 $f > 1$인 동안 $\mathrm{fv} = f \times \mathrm{fv}, \; f = f - 1$을 반복한 뒤 $\mathrm{fv}$ 값을 반환하도록 설계한다 ($f = 0$ 또는 $f = 1$일 때도 $0! = 1! = 1$이 정상 반환된다).

[3] 조건 (ㄴ): 조합의 수(${}_n\mathrm{C}_r$) 계산 알고리즘 ([순서도 2]) 1) 임의의 정수 $n, r$ 값을 입력받는다.
2) 입력 값 검증 ($0 \le r \le n$): 조합의 수 ${}_n\mathrm{C}_r$가 정의되기 위해서는 $0 \le r \le n$이어야 한다. 만약 $0 \le r \le n$을 만족하지 않으면(아니오) 즉시 $-1$ 값을 반환하고 종료한다.
3) $0 \le r \le n$을 만족하면(예), [순서도 1]의 계승 알고리즘을 호출하여 $$\mathrm{nf} = n!, \qquad \mathrm{rf} = r!, \qquad \mathrm{nrf} = (n - r)!$$ 을 각각 계산한 뒤, $$c = \mathrm{nf} / (\mathrm{rf} * \mathrm{nrf})$$ 를 계산하여 $c$ 값을 반환하고 종료한다.

[4] 조건 (ㄷ): 다항식 전개 계수 $k$ 일치 판별 알고리즘 ([순서도 3]) 1) 외부에서 임의의 정수 $a, b, n, k$ 값을 입력받는다.
2) 입력 값 검증 ($a, b, n, k > 0$): 문제의 조건에서 입력 값 $a, b, n, k$는 모두 자연수이어야 하므로 $a > 0, \; b > 0, \; n > 0, \; k > 0$인지 검증한다. 하나라도 자연수가 아니면(아니오) 예외적인 경우이므로 $-1$을 출력하고 종료한다.
3) 입력 값이 모두 자연수이면(예), 반복 변수 $r = 0$으로 초기화한다.
4) [순서도 2]의 ${}_n\mathrm{C}_r$ 알고리즘을 이용하여 $r$번째 항의 계수 $$v = {}_n\mathrm{C}_r * a^{n-r} * b^r$$ 을 계산한다.
5) 계수 일치 비교 ($v == k$): • 만약 $v == k$이면(예), 입력 받은 $k$값과 일치하는 계수가 존재하므로 $1$ 값을 출력하고 즉시 종료한다.
• 만약 $v \neq k$이면(아니오), $n > r$인지 판단하여 $n > r$이면(예) $r = r + 1$로 증가시킨 뒤 4)번 계수 계산 과정으로 돌아가 반복하고, $r = n$까지 모두 비교했는데도 일치하는 항이 없으면($n > r$ 아니오) $0$ 값을 출력하고 종료한다.

[1] 경우의 수 $a, b, c$ 수식 도출 ((1)~(3)) • 경우의 수 $a$: 모두 $m^2$개의 타일들이 존재하므로 <보기> 중 (ㄱ)(총합 $n$)을 만족하는 경우의 수 $a$는 서로 다른 $m^2$개의 타일 중에서 중복을 허용하여 $n$개를 택하는 중복조합의 수와 같다. $$a = {}_{m^2}\mathrm{H}_n = {}_{m^2+n-1}\mathrm{C}_n = \frac{(n + m^2 - 1)!}{n!(m^2 - 1)!} \qquad \cdots (1)$$ • 경우의 수 $b$: <보기> (ㄴ)이 추가되면 각 가로선($m$개)마다 자연수가 표시된 타일은 하나씩이므로 자연수가 표시된 타일은 총 $m$개이다. [자연수가 표시될 $m$개의 타일 가로 위치를 중복 허용하여 선택하는 경우의 수 ${}_m\Pi_m = m^m$] $\times$ [선택된 $m$개 타일에 $1$ 이상씩 배분한 뒤 나머지 $n-m$을 중복조합으로 배분하는 경우의 수 ${}_m\mathrm{H}_{n-m}$]이므로 $$b = {}_m\Pi_m \times {}_m\mathrm{H}_{n-m} = m^m \times {}_{n-1}\mathrm{C}_{n-m} = m^m\frac{(n - 1)!}{(n - m)!(m - 1)!} \qquad \cdots (2)$$ • 경우의 수 $c$: <보기> (ㄷ)이 추가되면 각 세로선에도 자연수 타일이 하나씩만 존재해야 하므로 가로 위치를 중복되지 않게 선택하는 경우의 수는 $m!$이다. 따라서 $$c = m! \times {}_m\mathrm{H}_{n-m} = m! \times {}_{n-1}\mathrm{C}_{n-m} = m!\frac{(n - 1)!}{(n - m)!(m - 1)!} \qquad \cdots (3)$$ [2] 중복 계산을 배제한 효율적 계산 설계 ((4)~(24)) $a, b, c$를 계산하려면 $q_1 = (m-1)!, \; q_2 = m!, \; q_3 = (n-m)!, \; q_4 = (n-1)!, \; q_5 = n!, \; q_6 = (m^2-1)!, \; q_7 = (n+m^2-1)!, \; q_8 = m^m$을 찾아야 한다. 문제 조건 $m \ge 4, \; 2m + 1 \le n \le m^2 - 1$에 의해 $$(n + m^2 - 1) > (m^2 - 1) \ge n > (n - 1) > (n - m) > m > (m - 1) \qquad \cdots (4)$$ 이 성립하므로, $1$부터 $(n+m^2-1)$까지 차례로 곱해 나가는 단 하나의 누적 곱셈 흐름 속에서 $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6, q_7$을 중복 계산 없이 순서대로 구할 수 있다! 또한 $m = 2k$ ($4$ 이상의 짝수)이므로 $m^m = (m^{m/2})^2$을 이용하여 $q_8 = m^{m/2}$을 먼저 구한 뒤 $q_8 = q_8 \times q_8$로 제곱하면 곱셈 횟수를 절반으로 줄일 수 있다 $\cdots (5)$. 예외 조건 $m < 4$ 또는 $n \le 2m$ 또는 $n \ge m^2$ 또는 $(m\text{을 }2\text{로 나눈 나머지}) \neq 0$일 때는 $(-1, -1, -1)$을 출력한다 $\cdots (6)$. 최종적으로 $$a = q_7 / (q_5 \times q_6), \quad b = (q_8 \times q_4) / (q_3 \times q_1), \quad c = (q_2 \times q_4) / (q_3 \times q_1)$$ 을 출력하고 종료한다(오른쪽 순서도).

[A] [프로그램1 코드] 실행 후 Arr1[5][5] 결과 (평가요소 ①) 중심 $(x, y) = (2, 2)$, 반지름 $r = 2$인 원 내부 $(i-2)^2 + (j-2)^2 \le 4$인 위치에 대해 $\mathrm{De\_num} = (i-2)^2 + (j-2)^2$ (단, 중심 $(2,2)$에서는 $\mathrm{De\_num} = 1$)로 나누어 64 / De_num을 대입하고 상하 대칭(Arr1[4-i][j] = Arr1[i][j])으로 복사하면 다음과 같다.
• 0행 & 4행: 0, 0, 16, 0, 0  |  1행 & 3행: 0, 32, 64, 32, 0  |  2행: 16, 64, 64, 64, 16

[B-1] & [B-2] [프로그램2 코드] 빈칸 정답 (평가요소 ②) 및 Arr2[9][5] 결과 (평가요소 ③) • [B-1 코드 빈칸]:
  - // (가) 조건 관련 처리: for (i=0; i<5*2-1; i++) for (j=0; j<5; j++) { i_a = i/2; if ((i%2)==0) Arr2[i][j] = Arr1[i_a][j]; }
  - // (나) 조건 관련 처리: for (i=0; i<5*2-1; i++) for (j=0; j<5; j++) { if ((i%2)==1) Arr2[i][j] = (Arr2[i-1][j] + Arr2[i+1][j])/2; }
• [B-2 결과 Arr2]: 오른쪽 어울림 표와 같이 $0, 2, 4, 6, 8$행에는 Arr1의 $0, 1, 2, 3, 4$행이 복사되고, 홀수 행($1, 3, 5, 7$행)에는 위·아래 행의 평균값(예: 1행 0, 12, 24, 12, 0, 3행 8, 28, 48, 28, 8)이 기입된다.

[C] [프로그램3 코드] 직선의 방정식을 이용한 Arr4[7][5] 보간 코드 (평가요소 ④, ⑤) • (가) 과정 관련 기술 (평가요소 ④):
  for (i=0; i<3*3-2; i++) for (j=0; j<5; j++) if ((i%3)==0) { i_a = i/3; Arr4[i][j] = Arr3[i_a][j]; }
• (다) 과정 관련 기술 (평가요소 ⑤ — 정답 1, 2, 3 중 택일 가능): for (i=0; i<3*3-2; i++) for (j=0; j<5; j++) { ... } 내부 박스 코드:
  - [정답 1 (내분점 공식)]: if ((i%3)==1) Arr4[i][j] = (2*Arr4[i-1][j] + 1*Arr4[i+2][j])/3; else if ((i%3)==2) Arr4[i][j] = (1*Arr4[i-2][j] + 2*Arr4[i+1][j])/3;
  - [정답 2 (제시문 [라] 직선의 방정식 — 시작점 기준)]: if ((i%3)>0) { i_a = i/3; i_b = i_a+1; Arr4[i][j] = (Arr4[i_b*3][j] - Arr4[i_a*3][j])/3 * (i - i_a*3) + Arr4[i_a*3][j]; }
  - [정답 3 (제시문 [라] 직선의 방정식 — 끝점 기준)]: if ((i%3)>0) { i_a = i/3; i_b = i_a+1; Arr4[i][j] = (Arr4[i_b*3][j] - Arr4[i_a*3][j])/3 * (i - i_b*3) + Arr4[i_b*3][j]; }

1단계 · 소문항 (1) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 이면각 $\cos\alpha$ (8점) 모서리 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면, 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{DBC}$에서 중선은 밑변을 수직이등분하므로 $\overline{\mathrm{AM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$, $\overline{\mathrm{DM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이고 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{DM}} = \sqrt{3}$이다.
따라서 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{DBC}$가 이루는 예각의 크기는 $\alpha = \angle\mathrm{AMD}$이며, 삼각형 $\mathrm{AMD}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$이므로 코사인법칙에 의하여 $$\cos\alpha = \frac{\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{DM}}^2 - \overline{\mathrm{AD}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{AM}}\cdot\overline{\mathrm{DM}}} = \frac{3 + 3 - 4}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$ (별해: 무게중심과 정사영 활용) 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 밑면 $\mathrm{DBC}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{G}$는 정삼각형 $\mathrm{DBC}$의 무게중심이므로 $\overline{\mathrm{MG}} = \dfrac{1}{3}\overline{\mathrm{DM}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{AMG}$에서 $\cos\alpha = \dfrac{\overline{\mathrm{MG}}}{\overline{\mathrm{AM}}} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$이다.

1단계 · 소문항 (1) 접선의 방정식과 교점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표 (10점) $f''(x) = 6a(x - 1)$이므로 변곡점은 $\mathrm{C}(1, 2)$이고, 이를 원점으로 평행이동한 함수는 $g(x) = ax^3 + mx$이다. $g'(x) = 3ax^2 + m$이므로 점 $\mathrm{P}_0(u, au^3 + mu)$ ($u \neq 0$)에서의 접선 $l_0$의 방정식은 $$y - (au^3 + mu) = (3au^2 + m)(x - u) \implies \mathbf{y = (3au^2 + m)x - 2au^3}$$ 이다. 이 직선과 곡선 $y = g(x)$의 교점의 $x$좌표는 연립방정식 $$ax^3 + mx = (3au^2 + m)x - 2au^3 \iff a(x^3 - 3u^2 x + 2u^3) = a(x - u)^2(x + 2u) = 0$$ 의 해이다. $a > 0, \; u \neq 0$이고 $\mathrm{Q}_0 \neq \mathrm{P}_0$이므로 점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표는 $\mathbf{-2u}$이다.

1단계 · 소문항 (1) 근과 계수의 관계와 $\cos\theta$ 표현 (12점) 이차함수 $y = x^2 - (2k + 1)x + 3k$와 직선 $y = x$를 연립한 이차방정식 $$x^2 - 2(k + 1)x + 3k = 0$$ 의 판별식은 $\dfrac{D}{4} = (k + 1)^2 - 3k = k^2 - k + 1 = \left(k - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$이므로 모든 실수 $k$에 대하여 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가진다. 제시문 【가】의 근과 계수의 관계에 의하여 $$\alpha + \beta = 2(k + 1) = 2k + 2, \qquad \alpha\beta = 3k$$ 이다. 점 $\mathrm{P}(0, 3)$과 두 교점 $\mathrm{Q}_1(\alpha, \alpha), \mathrm{Q}_2(\beta, \beta)$에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \; \alpha - 3), \qquad \overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = (\beta, \; \beta - 3)$$ 이므로 두 벡터의 내적은 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = \alpha\beta + (\alpha - 3)(\beta - 3) = 2\alpha\beta - 3(\alpha + \beta) + 9 = 6k - 3(2k + 2) + 9 = \mathbf{3}$$ 이다. 또한 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|^2 = (2\alpha^2 - 6\alpha + 9)(2\beta^2 - 6\beta + 9)$를 전개하여 $\alpha + \beta = 2k + 2, \; \alpha\beta = 3k$를 대입하면 $$\begin{aligned} (2\alpha^2 - 6\alpha + 9)(2\beta^2 - 6\beta + 9) &= 4(\alpha\beta)^2 - 12\alpha\beta(\alpha+\beta) + 18\{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\} + 36\alpha\beta - 54(\alpha+\beta) + 81 \\ &= 36k^2 - 36k(2k+2) + 18(4k^2 + 2k + 4) + 36k - 54(2k+2) + 81 = 36k^2 - 36k + 45 = 9(4k^2 - 4k + 5) \end{aligned}$$ 따라서 제시문 【나】에 의하여 $\cos\theta$는 다음과 같다. $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|} = \frac{3}{\sqrt{9(4k^2 - 4k + 5)}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{4k^2 - 4k + 5}}} = \frac{1}{\sqrt{(2k - 1)^2 + 4}}$$

1단계 · 소문항 (1) 정적분과 미분의 관계 $S'(x) = g(x)$ 증명 (12점) $\Delta x > 0$일 때, 함수 $g(t)$는 닫힌구간 $[x, x + \Delta x]$에서 연속이므로 제시문 【가】의 최대·최소 정리에 의하여 이 구간에서 최솟값 $m = g(c_1)$과 최댓값 $M = g(c_2)$ ($c_1, c_2 \in [x, x+\Delta x]$)을 가진다.
넓이의 증분 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x) = \displaystyle\int_x^{x+\Delta x} g(t)\,dt$는 밑변의 길이가 $\Delta x$이고 높이가 $m, M$인 두 직사각형의 넓이 사이에 있으므로 $$m\Delta x \le \Delta S \le M\Delta x \implies g(c_1) \le \frac{\Delta S}{\Delta x} \le g(c_2)$$ 가 성립한다 ($\Delta x < 0$일 때도 구간 $[x+\Delta x, x]$에서 동일하게 성립한다). 여기서 $\Delta x \to 0$이면 $c_1 \to x, \; c_2 \to x$이고 함수 $g$가 $x$에서 연속이므로 $\lim_{\Delta x \to 0} g(c_1) = \lim_{\Delta x \to 0} g(c_2) = g(x)$이다. 따라서 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $$\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)\,dt = S'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta x} = \mathbf{g(x)}$$ 가 성립한다.

1단계 · 소문항 (1) 타원의 초점과 포물선의 초점·준선 (10점) • $k = \dfrac{1}{2}$일 때: $x^2 + y^2 = \left(\dfrac{1}{2}x + 2\right)^2$을 정리하면 $$\frac{3}{4}x^2 - 2x + y^2 = 4 \iff \frac{3}{4}\left(x - \frac{4}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{16}{3} \iff \frac{\left(x - \dfrac{4}{3}\right)^2}{\dfrac{64}{9}} + \frac{y^2}{\dfrac{16}{3}} = 1$$ 이므로 제시문 【가】에서 $a^2 = \dfrac{64}{9}, \; b^2 = \dfrac{16}{3} = \dfrac{48}{9}, \; c = \sqrt{a^2 - b^2} = \dfrac{4}{3}, \; m = \dfrac{4}{3}, \; n = 0$이다. 따라서 타원의 두 초점의 좌표는 $\left(\pm\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3}, 0\right)$, 즉 $\mathbf{\left(\frac{8}{3}, 0\right), \; (0, 0)}$이다.
• $k = 1$일 때: $x^2 + y^2 = (x + 2)^2 \iff y^2 = 4x + 4 = 4(x + 1)$이므로 $4p = 4 \implies p = 1$이고 $m = -1, \; n = 0$이다. 따라서 포물선의 초점의 좌표는 $(p + m, n) = \mathbf{(0, 0)}$이고, 준선의 방정식은 $x = -p + m = \mathbf{-2}$이다.

1단계 · 소문항 (1) 원반 $\mathrm{B}$의 회전각과 회색 호 접촉 조건 (10점) 반지름이 $2\mathrm{cm}$인 원반 $\mathrm{A}$가 반시계 방향으로 $1$회($360^\circ = 2\pi$) 회전할 때 접점을 지나간 호의 길이는 $2\pi \times 2 = 4\pi\,(\mathrm{cm})$이다. 제시문 【가】에 의하여 반지름이 $3\mathrm{cm}$인 원반 $\mathrm{B}$의 호의 길이도 $4\pi\,(\mathrm{cm})$이므로, 원반 $\mathrm{A}$가 $k$회 회전할 때 원반 $\mathrm{B}$가 시계 방향으로 회전한 중심각 $\theta_k$는 $$\theta_k = \frac{4\pi k}{3}\,\text{(라디안)} = \mathbf{240^\circ \times k}$$ 이다. 원반 $\mathrm{B}$의 회색 부채꼴은 정지 상태의 접점을 기준으로 $[-30^\circ, 30^\circ]$와 $[150^\circ, 210^\circ]$ 구간에 위치한다(주기 $180^\circ$).
• $k = 3m - 2$ ($m$은 자연수)일 때: $240^\circ k \equiv 240^\circ \pmod{360^\circ}$ (흰색 부채꼴 정중앙, 회색 호와 만나지 않음).
• $k = 3m - 1$일 때: $240^\circ k \equiv 120^\circ \pmod{360^\circ}$ (흰색 부채꼴 정중앙, 회색 호와 만나지 않음).
• $k = 3m$일 때: $240^\circ k \equiv 0^\circ \pmod{360^\circ}$ (초기 정지 상태와 동일하여 회색 호의 정중앙에 맞닿음).
따라서 화살표가 회색 호에 맞닿게 되는 조건은 $k$가 $3$의 배수($k = 3, 6, 9, 12, \cdots$)일 때이다.

1단계 · 소문항 (1) 시각 $t = t_0$에서 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(\cos t_0, \sin t_0)$ (12점) 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 위치가 $(0, 1)$이므로, 두 점 $\mathrm{A}(a, 0)$과 $\mathrm{Q}(0, 1)$을 지나는 직선 $\mathrm{AQ}$의 방정식은 $$\frac{x}{a} + y = 1 \iff y = -\frac{1}{a}x + 1$$ 이다. 점 $\mathrm{P}(\cos t_0, \sin t_0)$는 이 직선과 단위원 $x^2 + y^2 = 1$의 교점 중 $(0, 1)$이 아닌 점이므로 두 식을 연립하면 $$x^2 + \left(-\frac{1}{a}x + 1\right)^2 = 1 \iff \left(1 + \frac{1}{a^2}\right)x^2 - \frac{2}{a}x = 0 \implies x = \frac{2a}{a^2 + 1} \quad (x \neq 0)$$ 이고, 이를 $y = -\dfrac{1}{a}x + 1$에 대입하면 $y = \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$이다. 따라서 $$\mathbf{(\cos t_0, \; \sin t_0) = \left(\frac{2a}{a^2 + 1}, \; \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\right)}$$

1단계 · 소문항 (1) 9개 타일의 총합이 6이 되는 경우의 수 $a$ (8점) $9$개의 타일에 표시되는 음이 아닌 정수를 각각 $x_1, x_2, \cdots, x_9$라 하면, 총합이 $6$이 되는 경우의 수는 방정식 $$x_1 + x_2 + \cdots + x_9 = 6 \quad (x_i \ge 0\text{인 정수})$$ 의 해의 개수와 같다. 제시문 【나】의 중복조합에 의하여 $$a = {}_9\mathrm{H}_6 = {}_{9+6-1}\mathrm{C}_6 = {}_{14}\mathrm{C}_6 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \mathbf{3003}$$

1단계 · 소문항 (1) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$의 $x_0^2, y_0^2$ 도출 (10점) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$는 타원과 쌍곡선 위에 동시에 놓여 있으므로 $$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1, \qquad \frac{x_0^2}{\alpha^2} - \frac{y_0^2}{\beta^2} = 1$$ 을 만족한다. 첫째 식에 $\dfrac{1}{\beta^2}$, 둘째 식에 $\dfrac{1}{b^2}$을 곱하여 더하면 $y_0^2$이 소거되어 $$\left(\frac{1}{a^2\beta^2} + \frac{1}{\alpha^2 b^2}\right)x_0^2 = \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{b^2} \implies \mathbf{x_0^2 = \frac{a^2\alpha^2(b^2 + \beta^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2\beta^2}}$$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 이용해 $x_0^2$을 소거하면 다음과 같다. $$\left(\frac{1}{a^2 b^2} + \frac{1}{\alpha^2\beta^2}\right)y_0^2 = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{a^2} \implies \mathbf{y_0^2 = \frac{b^2\beta^2(a^2 - \alpha^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2\beta^2}}$$

1단계 · 소문항 (1) 잠긴 깊이 $h(t)$와 속도 관계식 $h'(t) = H'(t) + v$ (12점) 시각 $t = 0$일 때 수면의 높이는 $H(0)$이고, 입체도형은 일정한 속력 $v$로 수직 하강하므로 제시문 【가】에 의하여 시각 $t$에서 입체도형 최하단의 높이는 $H(0) - vt$이다.
따라서 시각 $t$에서 물속에 잠긴 입체도형의 깊이 $h(t)$는 수면의 높이 $H(t)$에서 입체도형 최하단의 높이 $H(0) - vt$를 뺀 값과 같으므로 $$\mathbf{h(t) = H(t) - H(0) + vt}$$ 이다. 양변을 시각 $t$에 대하여 미분하면 다음 관계식을 얻는다. $$\mathbf{h'(t) = H'(t) + v}$$