2027학년도 동국대학교 대비 수리논술 기출 문제집

QUESTIO UNIVERSITY ESSAY SERIES

2027학년도 대입 수리논술 실전 대비

2027학년도 동국대학교 대비
수리논술 기출 문제집 (자연계열)

• 2026·2025·2024·2023·2022·2021학년도 동국대학교 수시모집 논술전형 자연계열 기출 전 문항 원문 수록
• 1문항 1페이지 실전 A4 모의고사 규격 & 도형·표 스크린샷 '어울림' 조판 준수
• 문항별 출제 과목, 핵심 성취기준 키워드, 권장 소요 시간 및 실전 답안지 일체형 탑재

QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr

📝 [2026학년도 수학 1번 문항]

2026학년도 동국대학교 자연계열

기하

이면각의 크기, 직선과 평면의 수직, 수선의 발 (성취기준 12기하03-01~03)

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분

【가】 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha, \beta$로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이때 직선 $l$을 이면각의 변, 두 반평면 $\alpha, \beta$를 각각 이면각의 면이라고 한다. 이면각의 변 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 두 반직선 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$를 두 반평면 $\alpha, \beta$ 위에 각각 그을 때, $\angle\mathrm{AOB}$의 크기는 점 $\mathrm{O}$의 위치에 관계없이 일정하고 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

- 『고등학교 기하』

【나】 공간에서 직선 $l$과 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선이 수직일 때, 직선 $l$과 평면 $\alpha$는 서로 수직이라고 하고, 기호로 $l \perp \alpha$와 같이 나타낸다. 이때 직선 $l$을 평면 $\alpha$의 수선이라 하고, 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 만나는 점 $\mathrm{O}$를 수선의 발이라고 한다.

- 『고등학교 기하』

【다】 평면 $\alpha$와 한 점 $\mathrm{O}$에서 만나는 직선 $l$이 있다. 이때 직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$를 지나는 서로 다른 두 직선 $m, n$과 서로 수직이면 직선 $l$이 평면 $\alpha$에 수직이다.

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 모든 변의 길이가 $1$인 오른쪽 그림의 정팔면체와 정사면체에 대해서 다음 물음에 답하시오.

(1) 정팔면체에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{FBC}$가 이루는 이면각 중 둔각의 크기를 $\alpha$라고 할 때 $\cos\alpha$의 값을 구하시오.

(2) 정팔면체에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{AED}$가 이루는 이면각 중 예각의 크기를 $\beta$라고 할 때 $\cos\beta$의 값을 구하시오.

(3) 정사면체에서 평면 $\mathrm{JGH}$와 평면 $\mathrm{IGH}$가 이루는 이면각 중 예각의 크기를 $\gamma$라고 할 때 $\cos\gamma$의 값을 구하시오.

(4) 점 $\mathrm{G}$와 점 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{H}$와 점 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{I}$와 점 $\mathrm{F}$를 일치시켰을 때, 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{JGH}$가 일치함을 이면각을 이용하여 보이시오.

📝 [2026학년도 수학 2번 문항]

2026학년도 동국대학교 자연계열

수학I, 미적분

등차수열의 일반항과 합, 수열의 합과 극한 (성취기준 12수학Ⅰ03-02·04·05, 12미적01-02)

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분

【가】 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하면
$$a_n = a + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \quad (\text{단, } n = 1, 2, 3, \cdots)$$

- 『고등학교 수학I』

【나】 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여
① $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}b_k$ ② $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k-b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k - \sum_{k=1}^{n}b_k$
③ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k$ (단, $c$는 상수) ④ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c = cn$ (단, $c$는 상수)

- 『고등학교 수학I』

【다】 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = L, \; \lim_{n\to\infty}b_n = M$ ($L, M$은 실수)일 때
① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n = L + M$ ② $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n - \lim_{n\to\infty}b_n = L - M$
③ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}ca_n = c\lim_{n\to\infty}a_n = cL$ (단, $c$는 상수) ④ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n b_n = \lim_{n\to\infty}a_n \cdot \lim_{n\to\infty}b_n = LM$
⑤ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} = \frac{L}{M}$ (단, $b_n \neq 0, \; M \neq 0$)

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 공차가 자연수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 〈조건〉을 만족한다.

〈조건〉

① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - b_n}{n} = 2, \quad \sum_{n=1}^{10}(a_n - b_n) = 180$

② $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)$는 $n = 7$일 때만 최솟값을 갖는다.

③ $\displaystyle\sum_{n=1}^{4}|b_n| = 88$

(1) 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 일반항을 각각 구하시오.

(2) 수열 $\{c_n\}$이 $c_n = |a_n| - |b_n|$일 때, $c_n$의 최솟값을 구하시오.

(3) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_k$일 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}$을 구하시오.

📝 [2026학년도 수학 3번 문항]

2026학년도 동국대학교 자연계열

수학II, 미적분

접선의 방정식, 이계도함수와 변곡점 (성취기준 12수학II02-06, 12미적02-12)

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분

【가】 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 이다.

- 『고등학교 수학II』

【나】 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에 대하여 $x=a$의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀌거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀔 때, 점 $\mathrm{P}$를 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이라고 한다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a)=0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면, 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 다음 〈조건〉을 만족하는 점 $\mathrm{P}$가 존재하는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$의 변곡점에서 접선의 기울기의 최댓값 $M$을 다음 순서에 따라 구하시오. (단, $f(x)$의 최고차항의 계수는 양수)

〈조건〉

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선 $l$이 점 $\mathrm{P}$가 아닌 곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서 만나고, 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 $m$이 직선 $l$과 수직이다.

(1) 곡선 $y=f(x)$를 $x$축 및 $y$축의 방향으로 적절히 평행이동하여 항의 개수가 최소가 되는 곡선 $y=g(x)$를 구하시오.

(2) 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}_0(t, g(t))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(3) (2)에서 구한 접선과 곡선 $y=g(x)$가 만나는 점 $\mathrm{Q}_0(\neq \mathrm{P}_0)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(4) $M$의 값을 구하시오.

📝 [2025학년도 수학 1번 문항]

2025학년도 동국대학교 자연계열

수학, 기하

평면벡터의 내적, 이차방정식의 근과 계수의 관계, 이차함수의 최대·최소

⏱️ 권장 27분 / 전체 90분 (30점 · 15줄 이내)

【가】 $x$가 모든 실수의 값을 가질 때, 이차함수 $y = a(x-p)^2 + q$ ($a \neq 0$)의 최댓값과 최솟값은
$a > 0$이면 $x = p$에서 최솟값 $q$를 갖고, 최댓값은 없다.
$a < 0$이면 $x = p$에서 최댓값 $q$를 갖고, 최솟값은 없다.

- 『고등학교 수학』

【나】 $a, b, c$가 실수일 때, 방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 하면 $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$

- 『고등학교 수학』

【다】 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2)$와 $\vec{b} = (b_1, b_2)$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(0, 1)$가 주어져 있고 이차함수 $y = x^2 + \left(\dfrac{1}{3} - 2k\right)x + k$와 직선 $y = x$의 두 교점을 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$라고 하자. 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}_1$, 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}_2$를 지나는 직선을 각각 $l_1, l_2$라고 하자. 두 직선 $l_1, l_2$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 제시문을 이용하여 다음을 구하시오. (단, $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$) [30점]

(1) $\cos\theta$를 실수 $k$를 이용하여 나타내시오.

(2) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 실수 $k$의 값과 그때의 $\theta$를 구하시오.

(3) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표를 구하시오.

📝 [2025학년도 수학 2번 문항]

2025학년도 동국대학교 자연계열

확률과 통계

독립시행과 이항분포 B(n,p), 정규분포와 표준정규분포표 활용 (성취기준 12확통03-03·04)

⏱️ 권장 27분 / 전체 90분 (30점 · 15줄 이내)

【가】 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 $X$라고 하자. 이때 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, \cdots, n$이고, $X$의 확률질량함수는 다음과 같고, 이와 같은 분포를 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$라 한다. $$\mathrm{P}(X = x) = {}_n\mathrm{C}_x\, p^x q^{n-x} \quad (\text{단, } x = 0, 1, 2, \cdots, n, \; q = 1 - p)$$

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$$ 일 때, $X$의 확률분포를 정규분포라고 한다. 여기서 $m$과 $\sigma(\sigma > 0)$는 각각 연속확률변수 $X$의 평균과 표준편차를 나타내는 상수이고, $e$는 값이 $2.71828\cdots$인 무리수이다. 또한, $Z = \dfrac{X-m}{\sigma}$는 표준정규분포를 따른다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $\mathrm{P}(0 \le Z \le z)$의 값을 소수점 이하 셋째 자리에서 반올림한 값은 오른쪽 표와 같다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 2] 체질량지수($\mathrm{kg/m^2}$)는 체중을 키의 제곱으로 나눈 값으로 비만의 정도를 나타내는 지표이다. 체질량지수가 $23$ 이상에서 $25$ 미만이면 과체중, $25$ 이상이면 비만으로 판정한다. 어느 고등학교 학생들의 체질량지수는 정규분포를 따른다고 한다. 과체중 또는 비만일 확률은 $\dfrac{1}{2}$ 미만인 것으로 알려져 있다. 임의로 $3$명을 뽑았을 때 과체중(원문 표기: 비만)이 $1$명일 확률이 $0.75^3$이고, 임의로 $3$명을 뽑았을 때 비만(원문 표기: 과체중)이 $1$명일 확률은 $\dfrac{48}{125}$이라면 체질량지수가 $23$ 초과 $27$ 이하일 확률을 제시문을 이용하여 구하시오. [30점]

※ 동국대학교 공식 안내: 자연계열 2번 문제는 '비만'과 '과체중'이라는 단어의 위치가 바뀐 오류 문제로 확인되어, 본교 대학입학전형관리위원회를 통해 해당 문제 응시자 답안을 모두 정답처리 하였습니다.

📝 [2025학년도 수학 3번 문항]

2025학년도 동국대학교 자연계열

수학II, 미적분

두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 여러 가지 함수의 적분, 정적분과 급수의 합

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (40점 · 27줄 이내)

【가】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 정적분 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$ 는 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

- 『고등학교 수학II』

【나】 함수 $y = x^r$ ($r$은 실수)의 부정적분은
1) $r \neq -1$일 때, $\displaystyle\int x^r\,dx = \frac{1}{r+1}x^{r+1} + C$ 2) $r = -1$일 때, $\displaystyle\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$

- 『고등학교 미적분』

【다】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x \quad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$$

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 실수 $\alpha, \beta$는 $\dfrac{\alpha\beta}{\alpha - \beta} = 20n, \; \alpha + \beta = 9n, \; \alpha > \beta > 0$을 만족한다. 두 곡선 $y = (x - \alpha)(x - \beta)$와 $y = \dfrac{3\alpha\beta(\alpha - \beta)}{5x}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 하자. (단, $n$은 자연수) [40점]

(1) 두 곡선의 교점의 $x$좌표를 $n$을 이용하여 나타내시오.

(2) 교점을 꼭짓점으로 하는 다각형의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $A_n$을 구하시오.

(3) $S_n$을 구하시오.

(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^7}\sum_{k=1}^{n} S_k A_{2k}$를 구하시오.

📝 [2024학년도 수학 1번 문항]

2024학년도 동국대학교 자연계열

기하

타원, 포물선, 쌍곡선, 초점, 꼭짓점, 준선, 점근선

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분

【가】 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식은 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } a > c > 0, \; b^2 = a^2 - c^2)$$ 이다. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동하면 타원의 방정식은 $\dfrac{(x - m)^2}{a^2} + \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1$이다. 이때 타원의 초점, 꼭짓점은 각각 오른쪽 표와 같다.

- 『고등학교 기하』

【나】 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 준선이 $x = -p$인 포물선 $y^2 = 4px$를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 다음과 같다. $$(y - n)^2 = 4p(x - m)$$ 이때 포물선의 초점의 좌표는 $(p + m, n)$, 준선의 방정식은 $x = -p + m$이다.

- 『고등학교 기하』

【다】 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a$인 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ (단, $c > a > 0, \; b^2 = c^2 - a^2$)이다. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동하면 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{(x - m)^2}{a^2} - \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1$이다. 이때 중심, 꼭짓점, 초점, 점근선은 각각 오른쪽 표와 같다.

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 다음 방정식에 대하여 물음에 답하시오. (단, $k$는 실수이다.) $$x^2 + y^2 = (kx + 1)^2$$

(1) $k = 0$이면 주어진 방정식은 원의 방정식이다. 이 원의 중심과 반지름을 각각 구하시오.

(2) $k = \dfrac{1}{2}$이면 주어진 방정식은 타원의 방정식이다. 이 타원의 초점의 좌표와 꼭짓점의 좌표를 각각 구하시오.

(3) $k = 1$이면 주어진 방정식은 포물선의 방정식이다. 이 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하시오.

(4) $k = 2$이면 주어진 방정식은 쌍곡선의 방정식이다. 이 쌍곡선의 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

📝 [2024학년도 수학 2번 문항]

2024학년도 동국대학교 자연계열

미적분

탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수 미분법, 치환적분법

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (30점)

【가】 코사인함수와 탄젠트함수의 덧셈정리는 각각 다음과 같다. $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$

- 『고등학교 미적분』

【나】 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $$y = f^{-1}(x)\text{의 도함수는 } (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), \; b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)\,dt$$

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 함수 $f(x) = \sin x + 4x + 1$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능하다. 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선을 $l_1$, 곡선 $y = f^{-1}(x)$ 위의 점 $(f(t), t)$에서의 접선을 $l_2$라 하고, $l_1$과 $l_2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $g(t) = \tan\theta$라고 하자. 다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$의 값을 구하시오.

(2) 함수 $g(t)$의 최솟값을 구하시오.

(3) $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$의 값을 구하시오.

📝 [2024학년도 수학 3번 문항]

2024학년도 동국대학교 자연계열

수학II, 미적분

함수의 증가와 감소, 음함수의 미분법, 속도와 가속도

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (40점)

【가】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \; y = g(t)$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)$, 즉 $(f'(t), g'(t))$이고, 속도의 크기 또는 속력은 $\sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}$이다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

- 『고등학교 수학II』

【다】 $t$의 함수 $s$가 방정식 $f(t, s) = 0$의 꼴로 주어졌을 때, 이를 $s$의 $t$에 대한 음함수 표현이라고 한다. 음함수 표현 $f(t, s) = 0$에서 $s$를 $t$의 함수로 보고, 양변의 각 항을 $t$에 대하여 미분하여 $\dfrac{ds}{dt}$를 구할 수 있다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원과 $x$축 위의 점 $\mathrm{A}(a, 0)$가 있다. (단, $2 \le a \le 3$) 점 $\mathrm{P}$는 점 $(1, 0)$에서 출발하여, 시각 $t$가 $0 \le t < \dfrac{\pi}{3}$일 때 $\angle\mathrm{POA} = t$를 만족하도록 원 위를 반시계방향으로 움직인다. 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{P}$를 잇는 직선이 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 시각 $t = t_0$일 때, 점 $\mathrm{Q}$의 위치는 $(0, 1)$이다. 다음 물음에 답하시오. [40점]

(1) $t = t_0$일 때, 점 $\mathrm{Q}$의 속력을 $a$를 이용하여 나타내시오.

(2) $t = t_0$일 때, 점 $\mathrm{Q}$의 속력이 최대가 되도록 하는 $a$의 값과 그 때의 점 $\mathrm{Q}$의 속력을 구하시오.

📝 [2023학년도 수학 1번 문항]

2023학년도 동국대학교 자연계열

기하

이차곡선(포물선과 쌍곡선), 이차곡선과 직선(쌍곡선의 접선)

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (<15줄 이내> · 30점)

【가】 평면 위의 한 점 $\mathrm{F}$와 이 점을 지나지 않은 한 직선 $k$가 주어질 때, 점 $\mathrm{F}$에 이르는 거리와 직선 $k$에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다. 이때 점 $\mathrm{F}$를 포물선의 초점, 직선 $k$를 포물선의 준선이라고 한다. 또, 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 축과 포물선의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다.

- 『고등학교 기하』

【나】 위성 방송 안테나는 포물선의 축에 평행하게 들어오는 전파가 포물선의 초점에 모이는 성질을 이용하여 약한 전파를 증폭하여 수신할 수 있게 한다. 또한, 자동차의 전조등이나 무대의 조명등은 포물선의 이런 성질을 거꾸로 적용한 것이다. 이제 포물선이 갖는 이와 같은 성질을 다음과 같이 증명해 보자. (중략) 전파가 곡선 위의 한 점에서 반사된다는 것은, 그 점을 지나는 곡선의 접선에 대하여 입사각과 반사각의 크기가 같게 된다는 뜻이다. 따라서 포물선의 축에 평행하게 들어온 전파는 포물선에 반사되어 초점에 모이게 됨을 알 수 있다.

- 『고등학교 기하』

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 그림과 같이 단면이 포물선 모양인 거울 $y^2 = 4x$ ($0 \le x \le 4$)의 초점 $\mathrm{F}(1, 0)$에서 쏜 빛이 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(2, 2\sqrt{2})$에 반사되어 직진한다. 또한, 이 빛은 단면이 쌍곡선 모양인 거울 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ ($3\sqrt{2} \le x \le 9$) 위의 점 $\mathrm{P}$에 반사되어 직진한다. 이때, 직선 $l$은 단면이 쌍곡선 모양인 거울 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이고, 빛이 점 $\mathrm{P}$에서 반사되기 전과 후 직선 $l$과 이루는 각의 크기 $\alpha$와 $\beta$는 같다. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 직선 $l$의 $x$절편을 구하시오.

(2) 직선 $l$과 $x$축이 이루는 예각 $\gamma$의 크기를 구하시오.

(3) 반사된 후 빛이 지나가는 반직선의 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각 $\delta$의 크기를 구하시오.

📝 [2023학년도 수학 2번 문항]

2023학년도 동국대학교 자연계열

확률과 통계, 미적분

이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 수열의 극한

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (<15줄 이내> · 30점)

【가】 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i$ ($i = 1, 2, 3, \cdots, n$)일 때, $X$의 기댓값(평균)과 분산은 다음과 같이 정의된다.
① 기댓값(평균) $\mathrm{E}(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$
② 분산 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}((X - m)^2) = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \cdots + (x_n - m)^2 p_n$ (단, $m = \mathrm{E}(X)$)
위 분산은 다음과 같은 방법으로도 간단하게 구할 수 있다. $$\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = (x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \cdots + x_n^2 p_n) - m^2$$

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \qquad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$$

- 『고등학교 미적분』

【다】 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L, \; \lim\limits_{n\to\infty} b_n = M$ ($L, M$은 실수)일 때
① $\lim\limits_{n\to\infty} ca_n = cL$ (단, $c$는 상수) ② $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n + b_n) = L + M$ ③ $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n - b_n) = L - M$
④ $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n b_n) = LM$ ⑤ $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{L}{M}$ (단, $b_n \neq 0, M \neq 0$)

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 이산확률변수 $X$의 확률질량함수 $\mathrm{P}(X)$가 다음과 같이 정의되었다고 가정할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$와 $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{V}(X)$를 구하시오. <15줄 이내> [30점]

① $\mathrm{P}(X = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} g(x_j)}$ ($i = 1, 2, 3, \cdots, n$)

② $g(x) = e^{-ax}$ $\left(\text{단, } e = \lim\limits_{x\to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}\text{이다. } a\text{는 상수이고, } a > 0\text{이다.}\right)$

③ $\Delta x = \dfrac{1}{n}, \; x_i = i\Delta x$ ($i = 1, 2, 3, \cdots, n$)

📝 [2023학년도 수학 3번 문항]

2023학년도 동국대학교 자연계열

수학II, 미적분

등비급수, 평면운동의 속도와 가속도, 정적분과 넓이·입체도형의 부피

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (<27줄 이내> · 40점)

【가】 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 부분합으로 이루어진 수열 $\{S_n\}$이 일정한 값 $S$에 수렴할 때, 즉 $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} a_k = S$일 때, 이 급수는 $S$에 수렴한다고 하고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$와 같이 나타낸다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$는 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, \; x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

- 『고등학교 수학II』

【다】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = x(t), \; y = y(t)$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도는 $(x'(t), y'(t))$이고 가속도는 $(x''(t), y''(t))$이다.

- 『고등학교 미적분』

【라】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx$이다. 단, $S(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 시각 $t = 0$일 때 좌표평면 상의 원점 $\mathrm{O}$에서 $(a, b)$의 속도로 쏘아올린 물체 $\mathrm{M}$은 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다. (단, $a$와 $b$는 상수이고, $a > 0, \; b > 0$이다.) <27줄 이내> [40점]

■ $\mathrm{M}$은 크기를 무시할 수 있을 만큼 아주 작으며, 시각 $t$에서 $\mathrm{M}$의 위치가 함수 $x = x(t), \; y = y(t)$로 나타내어질 때 항상 $x(t) \ge 0, \; y(t) \ge 0$이다.

■ $y(t) > 0$인 시각 $t > 0$에서는 항상 $\mathrm{M}$의 가속도는 $(0, -g)$이다. (단, $g$는 상수이고, $g > 0$이다.)

■ $\mathrm{M}$이 $x$축에 충돌하는 시각을 순서대로 $t = t_1, t_2, \cdots$ ($0 < t_1 < t_2 < \cdots$)라 할 때, 각각의 충돌 시각 $t = t_n$에 대해 충돌 전후 $\mathrm{M}$의 속도의 $x$성분은 변화가 없고, 충돌 직후 $\mathrm{M}$의 속도의 $y$성분은 충돌 직전 $\mathrm{M}$의 속도의 $y$성분의 $-\dfrac{1}{2}$배이다.

(1) $\lim\limits_{n\to\infty} t_n$의 값을 구하시오.

(2) $\mathrm{M}$이 그리는 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

(3) 위 (2)번에서 기술한 도형을 밑면으로 하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 구하시오.

📝 [2022학년도 수학 1번 문항]

2022학년도 동국대학교 자연계열

수학, 수학II, 미적분

미분계수, 정적분, 이계도함수

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (<15줄 이내> · 30점)

【가】 미분가능한 함수 $y = f(x)$의 도함수는 $$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

- 『고등학교 수학 II』

【나】 임의의 두 실수 $a, b$를 포함하는 구간에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$ ($C$는 적분상수)일 때 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

- 『고등학교 수학 II』

【다】 $y = f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 미분가능할 때 함수 $f'(x)$의 도함수 $$\lim_{h\to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$$ 를 함수 $y = f(x)$의 이계도함수라 하고, 이것을 기호로 $$f''(x), \quad y'', \quad \frac{d^2 y}{dx^2}, \quad \frac{d^2}{dx^2}f(x)$$ 와 같이 나타낸다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 1] 실수 전체에서 도함수와 이계도함수가 존재하는 함수 $f$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $$f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x), \qquad f(0) = 0, \qquad f(1) = a \; (a > 0)$$ 를 만족한다고 하자. 이 때, $f'(0), \; f''(0), \; \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx$를 각각 구하시오. <15줄 이내> [30점]

📝 [2022학년도 수학 2번 문항]

2022학년도 동국대학교 자연계열

수학, 수학II, 미적분

위치, 속도, 기울기, 직선의 방정식

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (<15줄 이내> · 30점)

【가】 함수 $y = f(x)$의 $x = t$에서의 미분계수 $f'(t)$는 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기와 같다.

- 『고등학교 수학II』

【나】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x$가 $x = f(t)$일 때 시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v$는 $$v = \frac{dx}{dt} = f'(t)$$

- 『고등학교 수학II』 / 『고등학교 미적분』

【다】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향은 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v$가 $v > 0$일 때에는 양의 방향이고, $v < 0$일 때에는 음의 방향이다.

- 『고등학교 수학II』

【라】 점 $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

- 『고등학교 수학』

[문제 2] 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 있다. <15줄 이내> [30점]

■ 시각 $t = 0$에서 $\mathrm{P}$의 위치는 $1$이고 $\mathrm{Q}$의 위치는 $-1$이다.

■ 시각 $t = 0$부터 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 처음으로 만날 때까지 $\mathrm{P}$는 일정한 속도 $-\dfrac{1}{9}$로, $\mathrm{Q}$는 일정한 속도 $a$ ($a > 0$)로 움직인다.

시각 $t$ ($0 < t \le 9$)에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 속도는 다음의 두 경우에만 바뀐다.

■ 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 만나면 만남 직후 두 점의 속도는 서로 바뀐다.

■ 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 중 어떤 점의 위치가 $-1$ 또는 $1$이 된 직후 그 점의 속도는 부호만 바뀐다.

이와 같은 조건 하에 시각 $t = 9$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다섯 번째 만나도록 $a$값을 구하는 과정을 서술하고, 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 네 번째 만나는 시각 $t$를 구하시오. 그리고 이 네 번째 만남 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도를 구하시오.

📝 [2022학년도 수학 3번 문항]

2022학년도 동국대학교 자연계열

수학 II, 미적분

정적분, 입체도형의 부피, 합성함수의 미분

⏱️ 권장 30분 / 전체 90분 (<27줄 이내> · 40점)

【가】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x$가 $x = f(t)$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$는 $v(t) = \dfrac{dx}{dt} = f'(t)$ - 『고등학교 수학II』

【나】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서 속도가 $v(t)$라고 할 때 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량은 $\displaystyle\int_{a}^{b} v(t)\,dt$ - 『고등학교 수학II』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx$이다. 단, $S(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수이다. - 『고등학교 미적분』

【라】 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a, b, c$를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때 $\displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$ - 『고등학교 수학II』

【마】 함수 $f(t)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)$이다. 단, $a < x < b$이다. - 『고등학교 수학II』

【바】 두 함수 $y = f(u), \; u = g(x)$가 미분가능할 때 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}, \; y' = f'(g(x))g'(x)$ - 『고등학교 미적분』

[문제 3] 밑면의 넓이가 $A\,(\mathrm{m}^2)$인 원기둥 모양의 물통에 일정량의 물이 채워져 있다. 그리고 이 물통에 속이 꽉 들어찬 입체도형이 오른쪽 그림과 같이 $v\,(\mathrm{m/s})$의 일정한 속력으로 하강하고 있다. 수면을 확장한 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이가 $S\,(\mathrm{m}^2)$인 순간, 수면의 상승 속도를 구하시오. <27줄 이내> [40점]

(단, 입체도형이 완전히 잠길 만큼 물통에 물이 많으며 또한 입체도형이 완전히 잠겨도 물이 넘치지 않을 만큼 물통이 충분히 크고, 입체도형은 회전하지 않으며 수직으로 하강한다. 그리고 입체도형의 최하단에서 거리가 $z\,(\mathrm{m})$인 수면에 평행한 평면으로 자른 입체도형의 단면의 넓이 $S(z)\,(\mathrm{m}^2)$는 $z$에 대해 연속이다.)

📝 [2021학년도 수학 1번 문항]

2021학년도 동국대학교 자연계열

수학 I

지수함수, 로그함수, 상용로그

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 어떤 비트코인이 초기가격 $A_0$에서 매년 일정하게 $a\%$ 비율로 올라가면 $n$년 후의 비트코인 가격 $A_n$은 $$A_n = A_0\left(1 + \frac{a}{100}\right)^n \quad (\text{단, } A_0 > 0)$$ 로 표현할 수 있다고 가정하자. - 『고등학교 수학 I』

【나】 $a > 0, \; a \neq 1, \; x_1 > 0, \; x_2 > 0$일 때
1) $\log_a x_1 = b \iff x_1 = a^b$ 2) $\log_a x_1 = \log_a x_2 \iff x_1 = x_2$ - 『고등학교 수학 I』

【다】 $a > 0, \; a \neq 1$이고 $M > 0, \; N > 0$일 때
1) $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$ 2) $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ 3) $\log_a M^k = k\log_a M$ ($k$는 실수) - 『고등학교 수학 I』

【라】 $10$을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하며, 양수 $N$의 상용로그 $\log_{10} N$은 보통 밑 $10$을 생략하여 $\log N$으로 나타낸다. - 『고등학교 수학 I』

[문제 1] 어떤 비트코인이 초기 가격 $A_0$에서 매년 일정한 비율로 올라가 $5$년 후 초기 가격의 $2$배가 되었다고 가정했을 때, 그 비트코인 가격은 매년 몇 $\%$씩 올라갔는지 논술하시오(단, $\log 2 = 0.3, \; \log 1.15 = 0.06$으로 계산하시오). [30점]

📝 [2021학년도 수학 2번 문항]

2021학년도 동국대학교 자연계열

확률과 통계

이항분포, 정규분포

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 각 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $X$의 확률질량함수는 $\mathrm{P}(X = x) = {}_n\mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x}$ ($x = 0, 1, 2, \cdots, n$)이다. 이와 같은 확률분포를 이항분포라 하며, 이것을 기호로 $\mathrm{B}(n, p)$와 같이 나타낸다. 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따를 때, 평균, 분산, 표준편차는 $\mathrm{E}(X) = np, \; \mathrm{V}(X) = np(1-p), \; \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$이다. - 『고등학교 확률과 통계』

【나】 실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ ($m$은 실수, $\sigma$는 양수, $e$는 무리수로서 그 값은 $2.718281\cdots$)일 때, $X$의 확률분포를 정규분포라 하며 기호로 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$과 같이 나타낸다. 이때 상수 $m, \sigma$는 각각 확률변수 $X$의 평균과 표준편차이다. - 『고등학교 확률과 통계』

【다】 확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따를 때, 확률변수 $Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다. - 『고등학교 확률과 통계』

【라】 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면 $X$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(np, np(1-p))$를 따른다. $n$이 충분히 크다는 것은 보통 $np \ge 5, \; n(1-p) \ge 5$일 때를 뜻한다. - 『고등학교 확률과 통계』

【마】 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $\mathrm{P}(0 \le Z \le z)$의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림한 값은 오른쪽 표와 같다. - 『고등학교 확률과 통계』

[문제 2] 상품K는 무게에 따라 오른쪽 표와 같이 구분된다. 어느 공장에서 생산되는 상품K 한 개의 무게는 평균이 $55.2\mathrm{g}$이고 표준편차가 $10\mathrm{g}$인 정규분포를 따른다고 한다(단, 단위는 생략할 수 있다). [30점]

1) 이 공장에서 생산되는 상품K 중에서 임의의 한 개를 선택할 때, 이 상품K가 A등급일 확률을 구하시오.

2) 1)을 이용하여 이 공장에서 생산되는 $400$개 상품K 중에서 A등급으로 구분되는 상품K 수의 평균과 표준편차를 구하시오.

3) 제시문 【라】와 2)를 이용하여 이 공장에서 생산되는 $400$개 상품K 중에서 A등급이 $52$개 이상일 확률을 구하시오.

📝 [2021학년도 수학 3번 문항]

2021학년도 동국대학교 자연계열

수학, 수학 II, 미적분

정적분, 도형의 넓이, 입체도형의 부피

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, \; x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S = \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx$이다. - 『고등학교 수학II』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), \; b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)\,dt$이다. - 『고등학교 미적분』

【다】 함수 $y = x^r$ ($r$은 실수)의 부정적분은
1) $r \neq -1$일 때, $\displaystyle\int x^r\,dx = \frac{1}{r + 1}x^{r+1} + C$ 2) $r = -1$일 때, $\displaystyle\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ - 『고등학교 미적분』

【라】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, $f(x)$의 한 부정적분 $F(x)$에 대하여 $f(x)$의 $a$에서 $b$까지의 정적분을 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$라고 한다. - 『고등학교 수학II』

【마】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx$이다(단, $S(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속). - 『고등학교 미적분』

[문제 3] 함수 $y = f(x)$가 정의역 $\{x \mid x \ge 3\}$에서 $f(x) \ge 0$이며 연속이고, 함수 $y = f(x)$의 그래프 위 임의의 점 $(t, f(t))$가 $$\int_{3}^{t} (s - 3)^2\,ds + \int_{0}^{f(t)} (\sqrt{s} + 3)\,ds = tf(t)$$ 를 만족한다고 할 때, 함수 $y = f(x)$를 구하시오. 함수 $y = f(x)$의 그래프와 $x$축 및 $x = 4$로 둘러싸인 도형 $R$의 넓이를 구하시오. $R$을 밑면으로 하는 입체 도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. [40점]

📘 [2020학년도 논술우수자 문제 1] 기하와 벡터 · 미적분 II — 벡터의 내적과 삼각형의 넓이

2020학년도 동국대학교 자연계열 (문항카드 7)

전형명 / 계열	논술우수자 전형 / 자연계열 · 문제 1	출제 과목	기하와 벡터, 미적분 II
핵심개념 및 용어	벡터의 내적, 위치벡터, 삼각함수	배점 / 소요시간	30점 (25분 / 전체 90분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{BAC} = \theta$라고 할 때, 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\,\overline{\mathrm{AC}}\sin\theta$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a}, \vec{b}$가 이루는 각의 크기가 $\theta \; (0 \le \theta \le \pi)$일 때, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

- 『고등학교 미적분 II』

【라】 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(a_1, a_2), \; \mathrm{B}(b_1, b_2)$의 위치벡터를 각각 $\vec{a}, \vec{b}$라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【마】 $\vec{a} = (a_1, a_2), \; \vec{b} = (b_1, b_2)$일 때, $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1), \; \mathrm{B}(x_2, y_2), \; \mathrm{C}(x_3, y_3)$으로 만들어진 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 제시문 [가]~[마]를 이용하여 $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$로 나타내시오. 그리고 이 공식을 이용하여 $\mathrm{A}(1, 1), \; \mathrm{B}(2, 2), \; \mathrm{C}\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오. (30점)

📘 [2020학년도 논술우수자 문제 2] 미적분 I — 정적분으로 정의된 함수의 미분

2020학년도 동국대학교 자연계열 (문항카드 8)

전형명 / 계열	논술우수자 전형 / 자연계열 · 문제 2	출제 과목	미적분 I
핵심개념 및 용어	미분과 정적분, 최대·최소 정리, 함수의 극한의 대소 관계	배점 / 소요시간	30점 (25분 / 전체 90분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 곡선 $y = f(t)$와 $t$축 및 두 직선 $t = a, \; t = x \; (a < x < b)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(x)$라고 하면 $S(x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$이다.

- 『고등학교 미적분 I』

【나】 제시문 [가]에서 $x$의 증분 $\Delta x$에 대한 넓이의 증분 $\Delta S$는 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x) \; (a < x + \Delta x < b)$이다.

- 『고등학교 미적분 I』

【다】 제시문 [가], [나]에서 함수 $f(t)$는 닫힌구간 $[x, x + \Delta x]$ (단, $\Delta x > 0$) 또는 $[x + \Delta x, x]$ (단, $\Delta x < 0$)에서 연속이므로 이 구간에서 함수 $f(t)$는 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 가진다.

- 『고등학교 미적분 I』

[문제 2] 제시문을 이용하여, 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이면 $$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x) \quad (a < x < b)$$ 이 됨을 설명하시오. (30점)

📘 [2020학년도 논술우수자 문제 3] 확률과 통계 — 맞물려 회전하는 두 원반과 확률

2020학년도 동국대학교 자연계열 (문항카드 9)

전형명 / 계열	논술우수자 전형 / 자연계열 · 문제 3	출제 과목	확률과 통계
핵심개념 및 용어	시행, 표본공간, 사건, 확률, 배반사건, 독립시행	배점 / 소요시간	40점 (40분 / 전체 90분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 주사위나 동전을 던지는 것과 같이 같은 조건에서 반복할 수 있고 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라고 한다. 이때 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합을 표본공간이라 하고, 표본공간의 부분집합을 사건이라고 한다. 또 한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라고 한다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 주사위를 던지는 시행에서 표본공간은 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$이고, 근원사건은 $\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{6\}$이다. 이때 주사위가 정육면체이고 균질하므로 이 시행에서 각 근원사건이 일어날 가능성은 모두 같은 정도로 기대된다. 이와 같이 어떤 시행에서 표본공간 $S$가 유한개의 근원사건으로 이루어져 있고 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 $A$가 일어날 확률 $\mathrm{P}(A)$를 $\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$와 같이 정의한다. 이것을 사건 $A$가 일어날 수학적 확률이라고 한다. 따라서 주사위를 한 번 던지는 시행에서 각 눈이 나올 확률은 $\dfrac{1}{6}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 표본공간 $S$의 두 사건 $A, B$에 대하여 $A$ 또는 $B$가 일어나는 사건을 $A \cup B$로 나타내고, $A$와 $B$가 동시에 일어나는 사건을 $A \cap B$로 나타낸다. 두 사건 $A, B$가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 $A \cap B = \varnothing$일 때, $A$와 $B$는 서로 배반이라 하고 두 사건 $A, B$를 배반사건이라고 한다. 이때 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$이다. 한편, 두 사건 $A, B$에 대하여 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않을 때, 즉 $\mathrm{P}(B \mid A) = \mathrm{P}(B \mid A^c) = \mathrm{P}(B)$일 때, 두 사건 $A$와 $B$는 서로 독립이라고 하며, $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$가 성립한다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【라】 한 개의 동전이나 주사위를 여러 번 던질 때와 같이 매회 같은 조건에서 어떤 시행이 반복되면 각 회의 시행은 그 이전의 시행의 결과에 영향을 받지 않는다. 이와 같은 시행을 독립시행이라고 한다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 3] 반지름이 각각 $3\mathrm{cm}, \; 4\mathrm{cm}$인 두 원반 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 그림과 같이 설치되어 있다. 원반 $\mathrm{A}$와 원반 $\mathrm{B}$는 서로 미끄러지지 않게 맞물려 있고 화살표 방향으로 원반 $\mathrm{A}$를 회전하면 원반 $\mathrm{B}$도 회전한다. 원반 $\mathrm{B}$는 $6$등분되어 그림과 같이 회색과 흰색으로 색칠되어 있다. ($\angle a = 40^\circ$)
주사위를 $2$번 던져서 나오는 눈의 합 횟수만큼 그림과 같이 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 회전시킬 때, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색부분의 호에 맞닿을 확률을 $\mathrm{P}(Q)$라고 하자. 제시문을 참고하여 시행, 표본공간 $S$, 사건 $Q$, 확률 $\mathrm{P}(Q)$를 구하시오. (40점)

📘 [2020학년도 실기(SW) 문제 1] 프로그래밍 · 확통 — 이항정리 계수 판별 알고리즘 순서도

2020학년도 동국대 SW전형 컴공·정통공 (문항카드 10)

전형명 / 계열	실기(SW)전형 (컴퓨터공학·정보통신공학) / 자연계열 · 문제 1	출제 과목	프로그래밍, 확률과 통계
핵심개념 및 용어	알고리즘, 순서도, 계승($n!$), 조합의 수(${}_n\mathrm{C}_r$), 이항정리	배점 / 소요시간	40점 (60분 / 전체 120분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 알고리즘의 순서도 표현: [그림 1]은 $1$보다 큰 자연수 $x$를 입력으로 받은 뒤, 그의 약수들의 집합 $Y$를 반환해주는 함수 $Y = \mathrm{DIV}(x)$를 순서도로 표현한 예시이고, [그림 2]는 순서도에 사용되는 주요 기호들의 정의이다.

- 『고등학교 프로그래밍』

[나] $n$의 계승: $1$부터 $n$까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 $n$의 계승이라 하고, 기호 $n!$로 나타낸다. $n! = n(n-1)(n-2)\times\cdots\times 3\times 2\times 1$

- 『고등학교 확률과 통계』

[다] 조합의 수: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합의 수는 ${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \; (\text{단, } 0 \le r \le n)$

- 『고등학교 확률과 통계』

[라] 이항정리: $n$이 자연수 일 때 $(a + b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \cdots + {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^n = \displaystyle\sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r$

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 1] 제시문 [가]의 순서도 표현과 제시문 [나]의 $n$의 계승, 제시문 [다] 조합의 수 공식, 그리고 제시문 [라]의 이항정리 공식을 활용하여 다음 물음에 답하시오.
$x, y$에 대한 다항식 $(ax + by)^n$이 있다. 정수 $a, b$, 자연수 $n$, 임의의 정수 $k$값을 외부에서 입력 받아 위의 다항식을 전개하였을 때, 각 항의 계수 중 $k$값과 일치하는 계수가 존재하는지 판별하는 알고리즘을 아래의 <조건>에 따라 각각의 순서도로 제시하고 설명하시오.

<조건>

• (ㄱ) 계승을 계산하기 위한 알고리즘을 순서도로 제시하시오. (단, 계승을 계산하기 위한 입력 값은 음이 아닌 정수로 가정한다.)
• (ㄴ) 조합의 수를 계산하기 위한 알고리즘을 순서도로 제시하시오. (단, 조합의 수를 계산하는 알고리즘은 입력 값을 임의의 정수로 가정하며, 계산에 적합한 입력 값이 아닐 경우 $-1$을 반환해야 한다.)
• (ㄷ) (ㄱ), (ㄴ)의 알고리즘을 이용하여, 각 항의 계수 중에 입력 받은 $k$값과 일치하는 계수가 존재하면 $1$을 출력하고, 그렇지 않으면 $0$을 출력하는 알고리즘을 순서도로 제시하시오. (단, 입력 값 $a, b, n, k$는 모두 자연수이어야 하며, 입력 값이 올바르지 않거나 계산이 불가능한 모든 예외적인 경우에는 $-1$을 출력한다.)

예시) 입력 값이 $a = 1, \; b = 2, \; n = 4, \; k = 32$인 경우, 전개식은 $x^4 + 8x^3 y + 24x^2 y^2 + 32xy^3 + 16y^4$이며, $k$값 $32$와 일치하는 계수를 가진 항이 존재하므로 $1$을 출력한다. <20~35줄> [40점]

📘 [2020학년도 실기(SW) 문제 2] 프로그래밍 · 확통 — $m^2$개 타일 중복조합 알고리즘

2020학년도 동국대 SW전형 컴공·정통공 (문항카드 11)

전형명 / 계열	실기(SW)전형 (컴퓨터공학·정보통신공학) / 자연계열 · 문제 2	출제 과목	프로그래밍, 확률과 통계
핵심개념 및 용어	알고리즘, 순서도, 계승, 중복순열(${}_n\Pi_r$), 조합(${}_n\mathrm{C}_r$), 중복조합(${}_n\mathrm{H}_r$)	배점 / 소요시간	60점 (60분 / 전체 120분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 알고리즘의 순서도 표현: [문제 1]의 제시문 [가]와 동일 (함수 $Y = \mathrm{DIV}(x)$의 순서도 표현 및 주요 순서도 기호).

- 『고등학교 프로그래밍』

[나] $n$의 계승: $1$부터 $n$까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 $n$의 계승이라 하고, 기호 $n!$로 나타낸다. $n! = n(n-1)(n-2)\times\cdots\times 3\times 2\times 1$

- 『고등학교 확률과 통계』

[다] 중복순열의 수: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 중복순열의 수는 ${}_n\Pi_r = n^r$

- 『고등학교 확률과 통계』

[라] 조합의 수: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합의 수는 ${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \; (\text{단, } 0 \le r \le n)$

- 『고등학교 확률과 통계』

[마] 중복조합의 수: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 2] 제시문 [가], [나], [다], [라], [마]를 활용하여 다음 물음에 답하시오.
정사각형 타일 $m^2$개가 그림과 같이 놓여 있다. 각 타일에 음이 아닌 정수를 한 개씩 표시하고자 한다. (단, 서로 다른 타일에 표시된 수는 중복될 수 있다.)

<보기>

• (ㄱ) 모든 타일에 표시된 음이 아닌 정수들의 총합은 $n$이다.
• (ㄴ) 각각의 가로선 위에 놓인 타일들 중에서 자연수로 표시된 타일은 하나이고, 그 외 타일은 $0$으로 표시한다.
• (ㄷ) 각각의 세로선 위에 놓인 타일들 중에서 자연수로 표시된 타일은 하나이고, 그 외 타일은 $0$으로 표시한다.

<보기> 중 (ㄱ)을 만족하며 모든 타일들에 음이 아닌 정수를 표시할 수 있는 경우의 수를 $a$, <보기> 중 (ㄱ)과 (ㄴ)을 동시에 만족하며 모든 타일들에 음이 아닌 정수를 표시할 수 있는 경우의 수를 $b$, <보기> 중 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ)을 동시에 만족하며 모든 타일들에 음이 아닌 정수를 표시할 수 있는 경우의 수를 $c$라 하자. 이때, 임의의 정수 값 $m, n$을 입력 받은 뒤, $m$이 $4$ 이상의 짝수이고 $2m < n < m^2$인 경우에 $(a, b, c)$값을 순서대로 출력하고, 그 외의 경우는 $(-1, -1, -1)$을 출력하는, 효율적인 알고리즘을 순서도로 제시하고 설명하시오. <20~35줄> [60점]

📘 [2020학년도 실기(SW) 멀티미디어 문제 1] 직사각형 $A_i$ 분할 좌표와 넓이 프로그램

2020학년도 동국대 SW전형 멀티미디어공학 (문항카드 12)

전형명 / 계열	실기(SW)전형 (멀티미디어공학) / 자연계열 · 문제 1	출제 과목	수학 I, 수학 II, 프로그래밍
핵심개념 및 용어	수열의 귀납적 정의, 함수, 좌표평면과 선분의 내분	배점 / 소요시간	40점 (60분 / 전체 120분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 수열 $\{a_n\}$에 대하여 첫째항 $a_1$의 값과 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1} \; (n = 1, 2, 3, \cdots)$ 사이의 관계식이 주어지면 관계식의 $n$에 $1, 2, 3, \cdots$을 차례로 대입하여 수열 $\{a_n\}$의 각 항을 구할 수 있다. 일반적으로 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

- 『고등학교 수학 II』

[나] 함수의 구조 및 사용 방법: [함수의 반환 자료형] 함수명(인수들) { 명령문 [return 반환 값] } / void main() { 함수명(인수들의 값); 변수 = 함수명(인수들의 값); }

- 『고등학교 프로그래밍』

[다] 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리: 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1), \; \mathrm{B}(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$, 특히 원점 $\mathrm{O}$와 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{(x_1)^2 + (y_1)^2}$이다.

- 『고등학교 수학 I』

[문제 1] 주어진 제시문을 활용하여 다음 물음에 각각 답을 하시오. 아래 [그림 1]과 같이 좌표평면 위에 가로의 길이가 $m$, 세로의 길이가 $n$인 직사각형 모양의 종이 $A_1$의 두 모서리가 $x, y$축에 접하도록 놓았다. $A_1$ 종이를 $x$축과 평행한 직선으로 잘라서 생기는 합동인 두 직사각형 중 위쪽에 생기는 직사각형을 $A_2$라 하고, $A_2$에서 원점과 가장 가까운 직사각형의 꼭짓점과 가장 먼 꼭짓점을 각각 $P_2, Q_2$라 하자. 다시 $A_2$를 $y$축과 평행하게 잘라서 생기는 합동인 두 직사각형 중 오른쪽에 생기는 직사각형을 $A_3$라 하고, $A_3$에서 원점과 가장 가까운 직사각형의 꼭짓점과 가장 먼 꼭짓점을 각각 $P_3, Q_3$라 하자. 이와 같은 과정을 [그림 1]과 같이 반복하여 생긴 $i$번째 직사각형을 $A_i$라 하자. $A_i$에서 원점과 가장 가까운 점과 가장 먼 점을 각각 $P_i, Q_i$라 할 때 ($i = 2, 3, 4, \cdots$), 다음 물음에 답을 하시오. (단, $m$과 $n$의 길이의 단위는 생략한다. 답안지에 [문제1]-A, [문제1]-B, [문제1]-C로 표기하고 답안을 작성하시오.)
• 1-A. [그림 1]의 $A_1$의 원점을 $P_1 = (0, 0)$으로 지정하고, 원점과 가장 먼 꼭짓점을 $Q_1 = (m, n)$으로 표기한다. 아래 소스코드의 함수 rect_area(m, n, i)를 주어진 코드와 함께 이용하여 [문제-1-A-코드]의 박스(라인넘버 9~15) 부분에 $A_i$의 시작점 $P_i$와 끝점 $Q_i$의 좌표를 라인넘버 16에서 출력되게 코드를 완성하시오.
• 1-B. [문제1]-A의 조건들과 동일하게 적용한다. [그림 1]의 $i$번째 직사각형 $A_i$의 넓이를 (소스코드의 넓이 변수명은 area로 하시오) 계산하시오. 아래 소스코드에 함수 rect_area(m, n, i)의 [문제-1-B-코드] 부분에 코드를 작성하시오. (단, 넓이의 단위는 생략하고, 코드의 사소한 문법적 오류는 평가에 반영되지 않는다.)
• 1-C. [문제1]-A와 [문제1]-B의 결과를 이용하여 아래 프로그램 코드의 빈칸을 모두 올바르게 작성하였을 때, 프로그램의 실행 시 출력 결과를 작성하시오. <15~20줄> [40점]

          1: #include<stdio.h>

          3: void rect_area(int m, int n, int i) {

          5:   int k;   float px = 0, py = 0, area;

          8:   // [문제-1-A-코드] 변수 k, i, px, py, m, n만 사용하여, 7라인 이내로 작성하시오 (라인넘버 9-15).

          16:   printf("i=%d, P(i)=(%f,%f), Q(i)=(%d,%d)
", i, px, py, m, n);

          19:   // [문제-1-B-코드] 4라인 이내로 작성하시오 (라인넘버 19-22).

          24:   printf("A(i) 넓이 = %f
", area);

          25: }

          28: int main() { rect_area(80, 40, 10); return 0; }

📘 [2020학년도 실기(SW) 멀티미디어 문제 2] 원·직선의 방정식과 2차원 배열 보간

2020학년도 동국대 SW전형 멀티미디어공학 (문항카드 13)

전형명 / 계열	실기(SW)전형 (멀티미디어공학) / 자연계열 · 문제 2	출제 과목	수학 I, 프로그래밍
핵심개념 및 용어	원의 방정식, 부등식의 영역, 직선의 방정식, 2차원 배열	배점 / 소요시간	60점 (60분 / 전체 120분)

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 중심이 $(a, b)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ [나] 부등식 $x^2 + y^2 < r^2$의 영역은 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 내부이고, $x^2 + y^2 > r^2$의 영역은 외부이다. (『고등학교 수학 I』)

[다] 1차원 배열로 선언된 변수를 다시 배열로 선언한 변수를 2차원 배열이라고 한다. 첫째 첨자는 행, 둘째 첨자는 열을 나타낸다 (예: int A[2][3] = {1, 2, 3, 4, 5, 6};에서 A[1][2]는 1행 2열의 값 $6$). (『고등학교 프로그래밍』)

[라] 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1), \; \mathrm{B}(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 방정식은 1) $x_1 \neq x_2$일 때 $y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ (특히 $y_1 = y_2$일 때 $y = y_1$), 2) $x_1 = x_2$일 때 $x = x_1$. (『고등학교 수학 I』)

[문제 2] 주어진 제시문을 활용하여 다음 물음에 각각 답을 하시오 ([문제2]-A, [문제2]-B-1, [문제2]-B-2, [문제2]-C로 표기).
• 2-A. [프로그램1 코드]의 배열 Arr1[5][5] = {0};이 [그림 1] (a)와 같이 주어졌을 때, 아래 코드가 실행된 후 Arr1 배열의 원소값들을 [그림 1] (b)의 5×5 배열 형태로 작성하시오.
int x=2, y=2, De_num=0, i=0, j=0; for(i=0; i<3; i++) for(j=0; j<5; j++) if((i-y)*(i-y)+(j-x)*(j-x) <= 2*2) { De_num=(i-y)*(i-y)+(j-x)*(j-x); if(De_num==0) De_num=1; Arr1[i][j] = 64/De_num; Arr1[4-i][j] = Arr1[i][j]; }
• 2-B-1 & 2-B-2. Arr1[5][5] = {0,0,16,0,0, 0,24,32,24,0, 16,32,64,32,16, 0,24,32,24,0, 0,0,16,0,0};을 이용하여 총 9개 행과 5개 열을 가지는 Arr2[9][5]를 생성한다. (가) Arr2의 $0, 2, 4, 6, 8$행은 Arr1의 $0, 1, 2, 3, 4$행과 같게 설정하고, (나) Arr2의 $1, 3, 5, 7$행은 인접한 위, 아래 행 동일 열 두 원소값의 평균으로 결정한다. 아래 [프로그램2 코드]의 밑줄 친 빈칸을 작성하고(2-B-1), 실행 후 Arr2의 9×5 결과를 작성하시오(2-B-2).
// (가): for(i=0; i< ; i++) for(j=0; j< ; j++) { i_a = ; if( ) Arr2[i][j] = ; }
// (나): for(i=0; i< ; i++) for(j=0; j< ; j++) { if( ) Arr2[i][j] = ; }

• 2-C. Arr3[3][5] = {9,9,27,9,9, 27,81,27,81,9, 9,9,27,9,9};을 이용하여 [그림 3] (c)의 Arr4[7][5]를 생성한다. (가) Arr4의 $0, 3, 6$행은 Arr3의 $0, 1, 2$행과 동일하게 설정하고 나머지 원소는 "빈칸"으로 지칭한다. (나) 각 원소를 $(x, y) = (\text{행 첨자}, \text{원소값})$ 좌표로 나타낼 때, (다) 각 빈칸과 동일한 열에 있고 $0, 3, 6$ 중 해당 빈칸의 행 첨자와 가장 먼 값을 제외한 서로 다른 두 행 첨자의 원소가 나타내는 두 점을 지나는 직선 $\ell$ 위의 점이 되도록 빈칸의 원소값 $y$를 정한다. [프로그램3 코드]의 (가) 밑줄 및 (다) 박스 부분 코드를 작성하시오. <40~50줄> [60점]
// (가): for(i=0; i< ; i++) for(j=0; j< ; j++) if( ) { i_a = ; Arr4[i][j] = ; }
// (다): for(i=0; i< ; i++) for(j=0; j< ; j++) { [박스: 직선의 방정식을 이용한 빈칸 원소값 설정 코드] }

🏆 [실전 모의고사 제1회 · 문제 1] 기하와 벡터 — 정사면체·정사각뿔의 이면각과 정사영

2027학년도 동국대 모의고사 제1회 (30점)

기하와 벡터 (기하)

이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이 [출처: 비상교육 기하 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.2~4 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha, \beta$로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이면각의 변 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 두 반직선 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$를 두 반평면 $\alpha, \beta$ 위에 각각 그을 때, $\angle\mathrm{AOB}$의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 평면 $\alpha$와 한 점 $\mathrm{O}$에서 만나는 직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$를 지나는 서로 다른 두 직선 $m, n$과 서로 수직이면 직선 $l$은 평면 $\alpha$와 수직($l \perp \alpha$)이다. 또한 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{H}$에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\overline{\mathrm{PM}} \perp l$이다(삼수선의 정리).

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 두 평면 $\alpha, \beta$가 이루는 예각의 크기가 $\theta\;\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right)$일 때, 평면 $\alpha$ 위의 넓이가 $S$인 도형의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$은 $S' = S\cos\theta$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 $2$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$와 밑면이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{EFGH}$이고 네 옆면이 모두 정삼각형인 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$에 대하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{DBC}$가 이루는 예각의 크기를 $\alpha$라 할 때, $\cos\alpha$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$에서 옆면 $\mathrm{OEF}$와 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각의 크기를 $\beta$, 이웃한 두 옆면 $\mathrm{OEF}$와 $\mathrm{OFG}$가 이루는 둔각의 크기를 $\gamma$라 할 때, $\cos\beta$와 $\cos\gamma$의 값을 각각 구하시오. (12점)

(3) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 면 $\mathrm{DBC}$를 정사각뿔의 옆면 $\mathrm{OEF}$의 바깥쪽에 포개어 붙였을 때(점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{O}$, 점 $\mathrm{C}$와 $\mathrm{F}$, 점 $\mathrm{D}$와 $\mathrm{E}$가 각각 일치), 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 밑면 $\mathrm{EFGH}$ 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제1회 · 문제 2] 확률과 통계 — 이항분포 $\mathrm{B}(n,p)$와 정규분포

2027학년도 동국대 모의고사 제1회 (30점)

확률과 통계

독립시행과 이항분포, 정규분포와 표준화 [출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.1~3 | 성취기준: 12확통03-03, 12확통03-04]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따르며, 확률질량함수는 $\mathrm{P}(X = x) = {}_n\mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x}\;(x = 0, 1, \cdots, n)$이다. 이때 평균과 표준편차는 $\mathrm{E}(X) = np, \; \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 연속확률변수 $X$가 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따를 때, 확률변수 $Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다. 또한 확률변수 $Y$가 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따르고 $n$이 충분히 크면, $Y$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(np, np(1-p))$를 따른다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 확률변수 $Z$가 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따를 때, 오른쪽 표와 같이 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.30, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.43, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.48$로 계산한다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 2] 어느 이차전지 공장에서 생산되는 리튬배터리의 수명 $X$(시간)는 평균이 $500$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $\mathrm{N}(500, \sigma^2)$을 따른다. 수명이 $500 + \sigma$ 이상인 배터리를 '우수 등급', 수명이 $500 - 2\sigma$ 이상 $500 + \sigma$ 미만인 배터리를 '표준 등급'으로 분류한다. 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 생산된 배터리 중 임의로 $1$개를 선택할 때 '우수 등급'일 확률 $p_1$과 '표준 등급'일 확률 $p_2$를 각각 구하고, 임의로 $3$개를 독립적으로 선택할 때 '우수 등급'이 정확히 $1$개 포함될 확률을 구하시오. (10점)

(2) 배터리의 수명이 $460$시간 이상 $520$시간 미만일 확률이 $0.78$일 때 상수 $\sigma$의 값을 구하고, 그때 수명이 $530$시간 이상일 확률을 구하시오. (8점)

(3) 이 공장에서 생산된 배터리 $400$개를 임의추출할 때, '우수 등급'으로 분류되는 배터리의 개수 $Y$의 평균과 표준편차를 구하고, $Y$가 $92$개 이상일 확률을 제시문 【나】, 【다】를 이용하여 구하시오. (12점)

🏆 [실전 모의고사 제1회 · 문제 3] 수학Ⅱ·미적분 — 변곡점 대칭과 수직 접선 및 정적분 급수

2027학년도 동국대 모의고사 제1회 (40점)

수학Ⅱ, 미적분

접선의 방정식, 변곡점, 곡선 사이의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5~8 예제 1 / (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12~14 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$이다. 또한 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 두 함수 $f(x), h(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - h(x)|\,dx$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면, 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 최고차항의 계수가 양수 $a\;(a > 0)$인 삼차함수 $f(x) = a(x-1)^3 + m(x-1) + 2$의 변곡점을 $\mathrm{C}$라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(\neq \mathrm{C})$에서의 접선 $l$이 곡선 $y = f(x)$와 점 $\mathrm{P}$가 아닌 점 $\mathrm{Q}$에서 만나고, 점 $\mathrm{Q}$에서의 곡선 $y = f(x)$의 접선을 $l_{\mathrm{Q}}$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 곡선 $y = f(x)$를 변곡점 $\mathrm{C}$가 원점이 되도록 평행이동한 곡선 $y = g(x) = ax^3 + mx$ 위의 점 $\mathrm{P}_0(u, g(u))\;(u \neq 0)$에서의 접선 $l_0$의 방정식을 구하고, 직선 $l_0$이 곡선 $y = g(x)$와 다시 만나는 점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표가 $-2u$임을 보이시오. (10점)

(2) 두 접선 $l$과 $l_{\mathrm{Q}}$가 서로 수직이 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$가 존재할 때, 변곡점 $\mathrm{C}$에서의 접선의 기울기 $f'(1) = m$의 최댓값 $M$을 구하시오. (15점)

(3) $a = 1, \; m = -3$일 때, 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(1, -2)$에서의 접선과 곡선 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하고, 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=1}^n (3k - 2n)^2\left(\frac{3k}{n}\right)$을 정적분으로 변환하여 구하시오. (15점)

🏆 [실전 모의고사 제2회 · 문제 1] 수학Ⅰ·미적분 — 등차수열의 합과 절댓값 수열의 극한

2027학년도 동국대 모의고사 제2회 (30점)

수학Ⅰ, 미적분

등차수열의 일반항과 합, 수열의 귀납적 정의와 극한 [출처: 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3~8 예제 1, 예제 2 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-06, 12미적Ⅱ-01-01]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$은 다음과 같다. $$a_n = a + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【나】 수열 $\{a_n\}$에서 첫째항 $a_1$과 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 사이의 관계식 $a_{n+1} - a_n = d$($d$는 상수)가 주어지면 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【다】 수렴하는 두 수열 $\{x_n\}, \{y_n\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n = L, \; \lim_{n\to\infty}y_n = M$일 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(cx_n + y_n) = cL + M$ ($c$는 상수)이며, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$의 합은 부분합 $T_n = \sum_{k=1}^n u_k$의 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 1] 공차가 자연수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 〈조건〉을 만족한다. <15줄 이내> [30점]

〈조건〉

① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - b_n}{n} = 2, \qquad \sum_{n=1}^8 (a_n - b_n) = 128$

② $\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k + b_k)$는 $n = 6$일 때만 최솟값을 갖는다.

③ $\displaystyle\sum_{n=1}^4 |b_n| = 68$

(1) 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 일반항을 각각 구하시오. (12점)

(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $c_n = |a_n| - |b_n|$이라 할 때, $c_n$의 최솟값과 그때의 자연수 $n$의 값을 모두 구하시오. (8점)

(3) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n c_k$일 때 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}$을 구하고, 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{(a_n + 15)(a_{n+1} + 15)}$의 합을 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제2회 · 문제 2] 기하와 벡터 — 평면벡터의 내적과 각의 최솟값

2027학년도 동국대 모의고사 제2회 (30점)

수학, 기하와 벡터

평면벡터의 내적, 근과 계수의 관계, 삼각형의 넓이 [출처: 비상교육 기하 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.1~4 | 성취기준: 12기하03-03]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0\;(a \neq 0)$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \; \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$이다. 또한 이차함수 $y = a(x-p)^2 + q\;(a > 0)$는 $x = p$에서 최솟값 $q$를 갖는다.

- 『고등학교 수학』

【나】 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2), \; \vec{b} = (b_1, b_2)$가 이루는 각의 크기를 $\theta\;(0 \le \theta \le \pi)$라 할 때, $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 세 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{PQ_1Q_2}$에서 $\angle\mathrm{Q_1PQ_2} = \theta$라 할 때, 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}|^2|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|^2 - (\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2})^2}$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 2] 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(0, 3)$이 주어져 있고, 이차함수 $y = x^2 - (2k + 1)x + 3k$의 그래프와 직선 $y = x$의 두 교점을 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$라 하자. 두 직선 $\mathrm{PQ}_1, \mathrm{PQ}_2$가 이루는 각의 크기를 $\theta\;\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right)$라 할 때, 제시문을 이용하여 다음을 구하시오. (단, $k$는 실수이다.) <15줄 이내> [30점]

(1) 내적 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}$의 값을 구하고, $\cos\theta$를 실수 $k$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(2) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 실수 $k$의 값과 그때의 $\theta$의 값을 구하시오. (9점)

(3) $\theta$가 최솟값을 가질 때 두 점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{PQ_1Q_2}$의 넓이를 각각 구하시오. (9점)

🏆 [실전 모의고사 제2회 · 문제 3] 수학Ⅱ·미적분 — 정적분 정의 함수의 미분과 입체 부피

2027학년도 동국대 모의고사 제2회 (40점)

수학Ⅱ, 미적분

정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8~14 예제 1, 예제 2 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(x) \ge 0$인 함수 $g(x)$에 대하여 곡선 $y = g(t)$와 $t$축 및 두 직선 $t = a, \; t = x\;(a < x < b)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(x) = \displaystyle\int_a^x g(t)\,dt$라 하자. $x$의 증분 $\Delta x$에 대한 넓이의 증분은 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x)$이며, 닫힌구간에서 연속인 함수 $g(t)$는 해당 구간에서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 갖는다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = h(t)$의 도함수 $h'(t)$가 연속이고 $a = h(\alpha), \; b = h(\beta)$이면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(h(t))h'(t)\,dt$이다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $A(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 제시문 【가】를 이용하여, 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(x) \ge 0$인 함수 $g(x)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt = g(x)\;(a < x < b)$가 성립함을 설명하시오. (12점)

(2) 정의역 $\{x \mid x \ge 2\}$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$인 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 임의의 점 $(t, f(t))$가 $$\int_2^t (s - 2)^2\,ds + \int_0^{f(t)} (\sqrt{s} + 2)\,ds = t\,f(t)$$ 를 만족할 때, 함수 $y = f(x)$를 구하시오. (14점)

(3) (2)에서 구한 함수 $y = f(x)$의 그래프와 $x$축 및 직선 $x = 4$로 둘러싸인 도형 $R$의 넓이를 구하고, 도형 $R$을 밑면으로 하는 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때 이 입체도형의 부피 $V$를 구하시오. (14점)

🏆 [실전 모의고사 제3회 · 문제 1] 기하와 벡터 — 이차곡선의 성질과 거울 빛 반사

2027학년도 동국대 모의고사 제3회 (30점)

기하와 벡터 (기하)

포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사 [출처: 비상교육 기하 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.2~5 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 포물선 $(y-n)^2 = 4p(x-m)$의 초점은 $(p+m, n)$, 준선은 $x = -p+m$이다. 타원 $\dfrac{(x-m)^2}{a^2} + \dfrac{(y-n)^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$의 초점은 $(\pm c + m, n)\;(c = \sqrt{a^2 - b^2})$이며, 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 포물선 모양의 반사경에서 포물선의 초점 $\mathrm{F}$에서 출발한 빛은 포물선에 반사된 후 포물선의 축에 평행하게 직진한다. 또한 빛이 곡선 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 반사될 때, 점 $\mathrm{P}$에서의 접선에 대하여 입사각과 반사각의 크기는 서로 같다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 방정식 $x^2 + y^2 = (kx + 2)^2$에서 $k = \dfrac{1}{2}$일 때의 타원의 두 초점의 좌표와, $k = 1$일 때의 포물선의 초점의 좌표 및 준선의 방정식을 각각 구하시오. (10점)

(2) 오른쪽 그림과 같이 단면이 포물선 $y^2 = 8x\;(0 \le x \le 8)$ 모양인 거울의 초점 $\mathrm{F}(2, 0)$에서 쏜 빛이 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(4, 4\sqrt{2})$에서 반사되어 직진한 후, 단면이 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\;(x \ge 2\sqrt{3})$ 모양인 거울 위의 점 $\mathrm{P}$에서 반사된다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 점 $\mathrm{P}$에서의 쌍곡선의 접선 $l$의 $x$절편을 각각 구하시오. (10점)

(3) (2)에서 접선 $l$이 $x$축과 이루는 예각을 $\gamma$, 점 $\mathrm{P}$에서 반사된 빛의 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각을 $\delta$라 할 때, $\tan\gamma$와 $\tan\delta$의 값을 각각 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제3회 · 문제 2] 미적분 — 역함수의 미분법과 삼각함수 덧셈정리

2027학년도 동국대 모의고사 제3회 (30점)

미적분

탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5~10 예제 1, 예제 4 접선 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여 두 직선의 기울기가 각각 $m_1 = \tan\alpha, \; m_2 = \tan\beta$일 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $$\tan\theta = |\tan(\alpha - \beta)| = \left|\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\right| = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$

- 『고등학교 미적분』

【나】 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $y = f^{-1}(x)$의 도함수는 $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \quad \left(\text{단, } f'(f^{-1}(x)) \neq 0\right)$$

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $h(x)$와 미분가능한 함수 $x = f(t)$에 대하여 $a = f(\alpha), \; b = f(\beta)$일 때 $$\int_a^b h(x)\,dx = \int_\alpha^\beta h(f(t))f'(t)\,dt$$

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 함수 $f(x) = \sin x + 3x + 2$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능하다. 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선을 $l_1$, 곡선 $y = f^{-1}(x)$ 위의 점 $(f(t), t)$에서의 접선을 $l_2$라 하고, 두 직선 $l_1, l_2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $g(t) = \tan\theta$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $g(t)$를 $\cos t$에 대한 식으로 나타내고, $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

(2) 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 정적분 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제3회 · 문제 3] 확통·미적분 — 이산확률변수의 기댓값·분산과 정적분 급수

2027학년도 동국대 모의고사 제3회 (40점)

확률과 통계, 미적분

이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법 [출처: 한국교육과정평가원 확통 (DB: KICE_2028) PDF p.1~4 | 성취기준: 12확통03-01, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\;(i = 1, 2, \cdots, n)$일 때, 기댓값(평균)과 분산은 다음과 같다. $$\mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i, \qquad \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - \{\mathrm{E}(X)\}^2$$

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

- 『고등학교 미적분』

【다】 두 함수 $u(x), v(x)$가 미분가능하고 $u'(x), v'(x)$가 연속일 때, $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 자연수 $n$과 양의 상수 $a\;(a > 0)$에 대하여 이산확률변수 $X_n$의 확률질량함수가 다음 〈조건〉과 같이 정의될 때, 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

〈조건〉

① $\mathrm{P}(X_n = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^n g(x_j)} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

② $g(x) = e^{-ax} \quad (a > 0)$

③ $\Delta x = \dfrac{2}{n}, \quad x_i = i\Delta x = \dfrac{2i}{n} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

(1) 극한값 $I_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x$와 $I_1 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x$를 각각 $a$에 대한 식으로 구하시오. (14점)

(2) 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(3) 극한값 $I_2 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i^2 g(x_i)\Delta x$를 구하고, 이를 이용하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (14점)

🏆 [실전 모의고사 제4회 · 문제 1] 수학Ⅰ·확통 — 맞물려 회전하는 두 원반과 독립시행 확률

2027학년도 동국대 모의고사 제4회 (30점)

수학Ⅰ, 확률과 통계

호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행 [출처: 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2~6 예제 1 / (DB: KICE_2028) PDF p.1~2 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03, 12확통02-01, 12확통02-05]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 반지름의 길이가 $r$인 원에서 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이 $l$은 $l = r\theta$이다. 서로 미끄러지지 않게 맞물려 회전하는 두 원반이 회전할 때, 접점을 지나간 두 원반의 호의 길이는 서로 같다.

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【나】 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합을 표본공간 $S$라 하고, 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때 사건 $A$가 일어날 수학적 확률은 $\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 두 사건 $A, B$가 서로 배반사건($A \cap B = \varnothing$)이면 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$이다. 또한 매회 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정한 독립시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 1] 반지름의 길이가 각각 $2\mathrm{cm}, \; 3\mathrm{cm}$인 두 원반 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$가 오른쪽 그림과 같이 서로 미끄러지지 않게 맞물려 있다. 원반 $\mathrm{B}$는 중심각이 $60^\circ$인 회색 부채꼴 $2$개와 중심각이 $120^\circ$인 흰색 부채꼴 $2$개가 교대로 색칠되어 있으며, 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$의 화살표는 왼쪽 회색 호의 정중앙(위·아래로 각각 $30^\circ$)과 맞닿아 있다. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 $k$회($k$는 자연수) 회전시켰을 때 원반 $\mathrm{B}$가 시계 방향으로 회전한 각의 크기를 구하고, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 맞닿게 되는 자연수 $k$의 조건을 구하시오. (10점)

(2) 서로 다른 주사위 $2$개를 동시에 던져 나오는 눈의 수의 합만큼 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 회전시킬 때, 이 시행의 표본공간 $S$, 화살표가 회색 호에 맞닿는 사건 $Q$의 원소의 개수 $n(Q)$, 그리고 확률 $\mathrm{P}(Q)$를 각각 구하시오. (10점)

(3) (2)의 시행을 독립적으로 $4$회 반복할 때, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 맞닿는 횟수가 $2$회 이상일 확률을 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제4회 · 문제 2] 수학Ⅱ·미적분 — 함수방정식과 이계도함수 및 정적분

2027학년도 동국대 모의고사 제4회 (30점)

수학Ⅱ, 미적분

도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5~6 예제 1, 예제 2 / (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8~9 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅱ-02-01]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$이며, 임의의 실수 $c$에 대하여 $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【다】 함수 $y = f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 미분가능할 때, $f'(x)$의 도함수 $f''(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$를 함수 $y = f(x)$의 이계도함수라고 한다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 실수 전체의 집합에서 도함수와 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $$f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x), \qquad f(0) = 0, \qquad f(2) = a \quad (a > 0)$$ 을 만족할 때, 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $f'(0)$과 $f''(0)$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$가 성립함을 보이시오. (10점)

(2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) - f(x - 2) = 2af'(x)$임을 이용하여, 정적분 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값을 $a$에 대한 식으로 구하시오. (10점)

(3) 함수 $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$가 주어진 조건을 만족할 때 상수 $a$의 값을 구하고, (2)의 결과를 이용하여 구한 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값이 직접 정적분한 값과 일치함을 확인하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제4회 · 문제 3] 수학Ⅱ·미적분 — 음함수 미분법과 원 위를 움직이는 점의 속력

2027학년도 동국대 모의고사 제4회 (40점)

수학Ⅱ, 미적분

함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8~10 예제 3, 예제 4 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅱ-02-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \; y = g(t)$일 때, 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right) = (f'(t), g'(t))$이고 속력은 $\sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}$이다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【다】 $t$의 함수 $s$가 방정식 $F(t, s) = 0$의 꼴로 주어졌을 때, $s$를 $t$의 함수로 보고 양변을 $t$에 대하여 미분하여 $\dfrac{ds}{dt}$를 구할 수 있다(음함수의 미분법).

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원과 $x$축 위의 점 $\mathrm{A}(a, 0)$가 있다. (단, $\sqrt{3} \le a \le 3$) 점 $\mathrm{P}$는 점 $(1, 0)$에서 출발하여 시각 $t\;\left(0 \le t < \dfrac{\pi}{2}\right)$일 때 $\angle\mathrm{POA} = t$를 만족하도록 원 위를 반시계 방향으로 움직인다. 직선 $\mathrm{AP}$가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 위치는 $(0, 1)$이다. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(\cos t_0, \sin t_0)$를 상수 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(2) 시각 $t$에서 점 $\mathrm{Q}$의 위치를 $(\cos s, \sin s)$라 할 때, 음함수의 미분법을 이용하여 시각 $t = t_0$에서의 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$를 $a$를 이용하여 나타내시오. (14점)

(3) 닫힌구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$가 최대가 되도록 하는 $a$의 값과 그때의 최댓값, 그리고 최소가 되도록 하는 $a$의 값과 그때의 최솟값을 각각 구하시오. (14점)

🏆 [실전 모의고사 제5회 · 문제 1] 확률과 통계 — 중복조합(${}_n\mathrm{H}_r$)과 모비율의 추정

2027학년도 동국대 모의고사 제5회 (30점)

확률과 통계

중복순열, 중복조합, 모비율의 신뢰구간 추정 [출처: 비상교육 순열조합 (DB: COM_비상_06) PDF p.1~4 / (DB: KICE_2028) PDF p.2~3 | 성취기준: 12확통01-02, 12확통01-03, 12확통03-06]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복순열의 수는 ${}_n\Pi_r = n^r$이고, 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합의 수는 ${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\;(0 \le r \le n)$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이며, 이는 방정식 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 모비율이 $p$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 구한 표본비율을 $\hat{p}$이라 할 때, $n$이 충분히 크면 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 다음과 같다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$) $$\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 1] 오른쪽 그림과 같이 $3 \times 3$ 격자 모양으로 놓인 $9$개의 정사각형 타일에 음이 아닌 정수를 한 개씩 표시하고자 한다. 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $9$개의 타일에 표시된 음이 아닌 정수들의 총합이 $6$이 되는 모든 경우의 수 $a$를 구하시오. (8점)

(2) 총합이 $6$이면서 '각각의 가로선 위에 놓인 $3$개의 타일 중 자연수가 표시된 타일은 정확히 $1$개씩이고 나머지는 $0$'인 경우의 수 $b$와, 여기에 더하여 '각각의 세로선 위에 놓인 $3$개의 타일 중에서도 자연수가 표시된 타일이 정확히 $1$개씩'인 경우의 수 $c$를 각각 구하시오. (10점)

(3) 어느 반도체 공정에서 불량 판별 인공지능의 정탐률(모비율 $p$)을 추정하기 위해 크기 $n = 400$인 표본을 임의추출한 결과 표본비율이 $\hat{p} = 0.64$였다. 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[L, U]$를 구하고, 동일한 표본비율 $\hat{p} = 0.64$에서 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $U - L$이 $0.04704$ 이하가 되도록 하는 표본의 크기 $n$의 최솟값을 구하시오. (12점)

🏆 [실전 모의고사 제5회 · 문제 2] 기하와 벡터 — 공초점 타원·쌍곡선 접선 직교성과 평면의 방정식

2027학년도 동국대 모의고사 제5회 (30점)

기하와 벡터 (기하)

타원·쌍곡선의 접선, 법선벡터와 평면의 방정식 [출처: 비상교육 기하 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.2~4 / (DB: GEOM_Ch03) PDF p.2~4 | 성취기준: 12기하01-04, 12기하03-03, 12기하03-05]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$이고 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$이다. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\;(\alpha > 0, \beta > 0)$의 초점은 $(\pm\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}, 0)$이고 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\dfrac{x_0 x}{\alpha^2} - \dfrac{y_0 y}{\beta^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 좌표공간에서 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 영벡터가 아닌 법선벡터 $\vec{n} = (a, b, c)$에 수직인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 좌표공간에서 두 평면 $\pi_1, \pi_2$의 법선벡터가 각각 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$일 때, 두 평면이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 2] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 오른쪽 그림과 같이 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c > 0)$을 공유하는 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$과 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\;(\alpha > 0, \beta > 0)$의 제$1$사분면 교점을 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$라 할 때, $x_0^2$과 $y_0^2$을 $a, b, \alpha, \beta$에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

(2) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서 타원에 그은 접선 $l_1$과 쌍곡선에 그은 접선 $l_2$가 서로 수직임을 증명하시오. (10점)

(3) 좌표공간에서 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ 위의 점 $\mathrm{Q}(1, 2, 2)$에서의 접평면 $\pi_1$의 방정식을 구하고, 평면 $\pi_1$과 평면 $\pi_2 : 2x - y + 2z = 5$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $\cos\theta$의 값을 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제5회 · 문제 3] 수학Ⅱ·미적분 — 합성함수 미분법과 수면 상승 속도 최대화

2027학년도 동국대 모의고사 제5회 (40점)

수학Ⅱ, 미적분

정적분으로 정의된 함수의 미분, 입체도형의 부피, 합성함수 미분법 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8~12 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06, 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = f(t)$일 때 속도 $v(t) = f'(t)$이고, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지의 위치의 변화량은 $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $z$에서 $z$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(z)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_a^b S(z)\,dz$이며, 연속함수 $S(z)$에 대하여 $\dfrac{d}{dh}\displaystyle\int_0^h S(z)\,dz = S(h)$이다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 미분가능한 두 함수 $y = F(u), \; u = h(t)$에 대하여 합성함수 $y = F(h(t))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dt} = F'(h(t))h'(t)$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 밑면의 넓이가 $A\,(\mathrm{m}^2)$인 원기둥 모양의 수조에 충분한 양의 물이 채워져 있다. 최하단에서 거리가 $z\,(\mathrm{m})$인 수면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가 연속함수 $S(z)\,(\mathrm{m}^2)$인 속이 꽉 찬 입체도형이 오른쪽 그림과 같이 일정한 속력 $v\,(\mathrm{m/s})$로 수직 하강하고 있다. 입체도형의 최하단이 수면에 닿는 순간을 시각 $t = 0$이라 하고, 시각 $t$에서 수면의 높이를 $H(t)$, 물속에 잠긴 입체도형의 깊이를 $h(t)$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 시각 $t$에서 잠긴 깊이 $h(t)$를 $H(t), H(0), v, t$로 나타내고, 양변을 $t$에 대하여 미분하여 $h'(t)$와 수면의 상승 속도 $H'(t)$ 사이의 관계식을 구하시오. (12점)

(2) 수면을 확장한 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이가 $S\;(S = S(h(t)) < A)$인 순간, 수면의 상승 속도 $H'(t)$를 $A, S, v$로 나타내는 과정을 서술하시오. (14점)

(3) $A = 8\pi\,(\mathrm{m}^2), \; v = 3\,(\mathrm{m/s})$이고 입체도형의 단면의 넓이가 $S(z) = \pi z(4 - z)\;(0 \le z \le 4)$일 때, 수면의 상승 속도 $H'(t)$가 최대가 되는 잠긴 깊이 $z = h(t)$와 그때의 최대 상승 속도, 그리고 그 순간까지 물속에 잠긴 입체도형의 부피를 각각 구하시오. (14점)