[가] 우리 주변에서 일어나는 현상 중 많은 것이 지수함수나 로그함수의 그래프 형태로 나타난다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$을 합의 기호 $\sum$를 사용하여 다음과 같이 나타낸다: $$\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \quad \text{\small(고등학교 『수학Ⅰ』)}$$
[논제 1] 함수 $f(x)$가 $f(x)=\log_3 x$이고, 수열 $\{a_n\}$을 첫째항이 $3$이고 공비가 $3$인 등비수열이라 하자. $n$은 $n \ge 2$인 자연수이고, 세 점 $(a_n, f(a_n))$, $(a_{n-1}, 0)$, $(a_{n+1}, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $T_n$이라 하자.
[가] 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 각각 $a, b, c$라 하고 삼각형의 넓이를 $S$라고 하면 $$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C \quad \text{\small(고등학교 『수학Ⅰ』)}$$ 이다.
[논제 2] 시계판 위에 시침과 분침을 핀으로 고정하여 만든 원형의 아날로그 시계가 있다. 이 시계의 시침과 분침은 일정한 속도로 시계판 위를 회전하는데, 시침은 12시간마다, 분침은 1시간마다 시계판 위를 한 바퀴 회전한다. 고정핀으로부터 시침과 분침의 끝부분까지의 길이는 각각 $10\text{cm}$, $20\text{cm}$이다.
[가] 좌표평면에서 동경 $OP$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때 $$\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \;(x \ne 0) \quad \text{\small(고등학교 『수학Ⅰ』)}$$ 이다.
[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$을 합의 기호 $\sum$를 사용하여 다음과 같이 나타낸다: $$\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \quad \text{\small(고등학교 『수학Ⅰ』)}$$
[논제 1] 인공위성을 궤도에 올리는 데 사용된 우주발사체가 파괴되어 8개의 파편이 순차적으로 평평한 지면 위의 두 지점 $A$와 $B$의 상공을 통과하여 추락하였다. $A$지점의 상공을 $n$번째로 지나간 파편은 지면으로부터 $(n+1)^2\text{km}$의 높이로 통과하였으며, $B$지점의 상공에서는 모든 파편이 지면으로부터 $1\text{km}$의 높이로 통과하였다. 파편은 모두 직선을 따라 지면에 도달하였고, 두 지점 $A$와 $B$ 사이의 거리는 $1\text{km}$라고 하자.
[가] 함수 $y=f(x)$의 그래프 개형은 도함수를 활용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 조사하고, $x$축, $y$축과의 교점을 구하면 그릴 수 있다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[나] 함수 $y=f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$가 존재할 때, $f'(a)$는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기와 같다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[논제 2] 드론이 평지에 직선으로 뻗어있는 도로를 따라 시험 비행을 하였다. 시험 비행에서 드론의 비행경로는 3차함수의 그래프 개형을 따르기로 하였으며, 도로의 $O$지점에서 이륙하여 도로의 $A$지점 상공을 지날 때 하강을 시작하고 도로의 $B$지점 상공을 지날 때부터 다시 상승하기로 계획하였다. 이때 $A$지점에서는 $2\text{km}$의 높이로, $B$지점에서는 $1\text{km}$의 높이로 비행하기로 계획하였고, $A$지점부터 $B$지점까지의 거리는 $4\text{km}$이다. 그런데 시험 비행 도중 드론이 $A$지점으로부터 도로를 따라 $2\text{km}$ 지난 지점의 상공을 지나는 순간 드론 조종에 문제가 발생하였다. 드론 조종에 문제가 발생한 시점부터 드론이 그 순간의 진행 방향으로 직선을 따라 움직여 도로 위에 충돌하였다. 드론이 지면에 충돌한 지점은 도로의 $A$지점에서 몇 $\text{km}$ 지난 지점인지 설명하시오. (단, 비행 중 드론의 속력은 항상 $0$보다 크다.) [60점]