(3) 둘레의 길이 중 직선 부분은 \(AO = 2\) (\(y\)축)\(,\)\(OB = 3\) (\(x\)축)\(,\)\(BC = -e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}} + a\) (직선 \(x=3\)에서의 곡선 사이의 높이)이다.
곡선 부분 중 \(x=0\) 에서 \(x=2\) 까지의 길이는 \(\int_{0}^{2}\) \(\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}\right)\) \(dx\) \(=\) \(e\) \(-\) \(\frac{1}{e}\) 이고, \(x=2\) 에서 \(x=3\) 까지의 길이는 \(\int_{2}^{3}\) \(\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}\right)\) \(dx\) \(=\) \(\left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right)\) \(-\) \(\left(e - \frac{1}{e}\right)\)이다. 따라서 곡선 부분 전체의 길이는 \(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\)이다. 둘레의 길이는 다음과 같다. \[\begin{aligned} 2 + 3 + \left(-e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}} + a\right) + \left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right) \\ &= 5 - 2e^{-\frac{3}{2}} + 2\left(e + \frac{1}{e}\right) \\ &= \mathbf{5 + 2\left(e + \frac{1}{e}\right) - 2e^{-\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

(1) 원 \(C\)\(:\)\(x^2\) \(+\) \((y-r)^2\) \(=\) \(r^2\) 에서 \(y\) \(\le\) \(r\) 인 아랫부분을 함수로 표현하면 \(g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}\) 이다.
새로운 함수 \(h(x)\) \(=\) \(f(x)\) \(-\) \(g(x)\) 를 정의하자. \(f(x)\) 와 \(g(x)\) 모두 구간 \([0\)\(,\)\(r]\) 에서 연속이고 미분가능하므로 \(h(x)\) 또한 연속이자 미분가능한 함수이다.
조건 (다)에 의해 \(h(r)\) \(=\) \(f(r)\) \(-\) \(g(r)\) \(=\) \(f(r)\) \(-\) \(r\) \(<\) \(0\) 이다. 만약 \(0\) \(<\) \(x\) \(<\) \(r\) 인 모든 실수 \(x\) 에 대해 \(h(x)\) \(\le\) \(0\)이라고 가정하자. 이때 \(h(0)\) \(=\) \(f(0)\) \(-\) \(g(0) = 0\) \(-\) \(0\) \(=\) \(0\) 이므로, \(x\) \(\to\) \(0^+\)일 때의 우미분계수는 다음과 같다. \[h'(0) = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t) - h(0)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t)}{t} \le 0\] 그러나 실제로 미분계수를 계산하면 다음과 같다. \[h'(0) = f'(0) - g'(0) = 1 - \left. \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right|_{x=0} = 1 - 0 = 1 > 0\] 이는 \(h'(0) \le 0\)이라는 사실과 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 \(h(c) > 0\)을 만족하는 실수 \(c\)가 열린구간 \((0, r)\)에 적어도 하나 존재해야 한다.
함수 \(h(x)\) 는 닫힌구간 \([c\)\(,\)\(r]\) 에서 연속이고 \(h(c)\) \(>\) \(0\)\(,\)\(h(r)\) \(<\) \(0\) 이므로, 사잇값의 정리에 의해 \(h(x)\) \(=\) \(0\) 을 만족하는 \(x\) 가 열린구간 \((c\)\(,\)\(r)\) \(\subset\) \((0\)\(,\)\(r)\)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 원 \(C\) 와 곡선 \(y = f(x)\) 는 \(0\) \(<\) \(x\) \(<\) \(r\) 에서 적어도 하나의 교점을 가진다.
(2) 교점 \(P(t\)\(,\)\(f(t))\) 는 원 \(C\) 위의 점이므로 원의 방정식에 대입할 수 있다. \[\begin{aligned} t^2 + \left(f(t) - r(t)\right)^2 \\ &= \left(r(t)\right)^2 \implies t^2 + \{f(t)\}^2 - 2f(t)r(t) + \{r(t)\}^2 \\ &= \{r(t)\}^2 \end{aligned}\] 이를 식 정리하면 \(2f(t)r(t)\) \(=\) \(t^2\) \(+\) \(\{f(t)\}^2\) 이다. 교점 \(P\) 의 \(x\) 좌표가 \(0\) \(<\) \(t\) \(<\) \(r\) 이므로 \(f(t)\) \(>\) \(0\) 이다. 따라서 구하는 함수 \(r(t)\)는 다음과 같다. \[r(t) = \mathbf{\frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2f(t)}}\]

(3) 소문항 (2)에서 구한 \(r(t)\)를 이용하여 극한을 구한다. \[\begin{aligned} \lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2tf(t)} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{1}{2}\left(\frac{t}{f(t)} + \frac{f(t)}{t}\right) \end{aligned}\] 함수 \(f(x)\) 가 미분가능하고 \(f(0) = 0\)\(,\)\(f'(0)\) \(=\) \(1\) 이므로 \(\lim_{t\to0^+}\) \(\frac{f(t)}{t}\) \(=\) \(\lim_{t\to0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0}\) \(=\) \(f'(0)\) \(=\) \(1\) 이고, 역수의 극한인 \(\lim_{t\to0^+}\) \(\frac{t}{f(t)}\) \(=\) \(\frac{1}{f'(0)}\) \(=\) \(1\)이다. 따라서 구하는 극한값은 다음과 같다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \frac{1}{2}(1 + 1) = \mathbf{1}\]

(1) 다항함수 \(g(x)\)의 최고차항을 \(ax^n (a \neq 0)\)이라 하자.
조건 (가)에 의해 \(f(x)\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(3x\) 이므로, \(\{f(x)\}^2\) 의 최고차항은 \(x^6\) 이다. 한편, 피적분함수 \(f(t)g(t)\) 의 최고차항은 \(at^{n+3}\) 이므로 이의 적분인 \(\int_{0}^{x}\) \(f(t)g(t)\) \(dt\) 의 최고차항은 \(\frac{a}{n+4}x^{n+4}\)이다. 조건 (나)의 극한값이 \(\frac{1}{3}\) 로 수렴하므로 두 다항식의 차수는 동일해야 한다. 즉, \(n+4\) \(=\) \(6\) \(\implies\) \(n\) \(=\) \(2\)이다. 계수 비교를 하면 \(\frac{a}{6}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\) \(\implies\) \(a\) \(=\) \(2\) 이다. 조건 (다)에 의해 \(g(0) = 0\) 이므로, \(g(x)\) \(=\) \(2x^2\) \(+\) \(bx\) (\(b\)는 상수)로 둘 수가 있다.
이때 \(h(x)\) \(=\) \(x^2\) \(-\) \(g(x)\) \(=\) \(-x^2\) \(-\) \(bx\) 이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이므로, 축의 방정식은 \(x\) \(=\) \(-\frac{b}{2}\)이다. 구간 \([1, 3]\)에서의 최솟값을 확인하기 위해 축의 위치에 따른 케이스를 나눈다.
① 축 \(x\) \(=\) \(-\frac{b}{2}\) \(<\) \(2\) \((\)즉, \(b\) \(>\) \(-4\) \()\)인 경우, 이차함수의 대칭성에 의해 최솟값은 \(x\) \(=\) \(3\)에서 발생한다. \[h(3) = -9 - 3b = 4 \implies 3b = -13 \implies b = -\frac{13}{3}\] 가정인 \(b > -4\)를 만족하지 않으므로 모순이다.
② 축 \(x\) \(=\) \(-\frac{b}{2}\) \(\ge\) \(2\) \((\)즉, \(b\) \(\le\) \(-4\) \()\)인 경우, 최솟값은 \(x\) \(=\) \(1\)에서 발생한다. \[h(1) = -1 - b = 4 \implies b = -5\] 가정인 \(b\) \(\le\) \(-4\) 를 만족하므로 모순이 없으며 성립한다. 따라서 구하는 다항함수는 \(\mathbf{g(x) = 2x^2 - 5x}\)이다.
(2) 구하고자 하는 정적분은 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \frac{2x^2 - 5x + 3}{x^3 - 3x + 2} dx \\ &= \int_{-1}^{0} \frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)^2(x+2)} dx \\ &= \int_{-1}^{0} \frac{2x-3}{(x-1)(x+2)} dx \end{aligned}\] 유리함수의 부분분수 분해를 이용하면 다음과 같다. \[\frac{2x-3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \implies 2x-3 = A(x+2) + B(x-1)\] - \(x=1\) 대입: \(-1\) \(=\) \(3A\) \(\implies\) \(A\) \(=\) \(-\frac{1}{3}\) \(-\) \(x=-2\) 대입: \(-7\) \(=\) \(-3B\) \(\implies\) \(B\) \(=\) \(\frac{7}{3}\) 따라서 정적분 계산은 다음과 같이 전개된다. \[\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \left( -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{7}{3(x+2)} \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{7}{3}\ln|x+2| \right]_{-1}^{0} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} = \left( -\frac{1}{3}\ln 1 + \frac{7}{3}\ln 2 \right) - \left( -\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{7}{3}\ln 1 \right) \\ &= \frac{7}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 \\ &= \mathbf{\frac{8}{3}\ln 2} \end{aligned}\]

(3) 두 곡선 \(y = f(x)\) 와 \(y = g(x)\) \(+\) \(kx\) 가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나기 위해서는 방정식 \(f(x)\) \(-\) \(g(x)\) \(-\) \(kx\) \(=\) \(0\)이 중근 하나와 다른 실근 하나(총 2개의 서로 다른 실근)를 가져야 한다. \[f(x) - g(x) - kx = x^3 - 3x - (2x^2 - 5x) - kx = x^3 - 2x^2 + (2-k)x = 0\] 인수분해를 하면 \(x(x^2 - 2x + 2 - k)\) \(=\) \(0\) 이다. 근 중 하나는 항상 \(x=0\)이므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

Case 1: 이차방정식 \(x^2\) \(-\) \(2x\) \(+\) \(2\) \(-\) \(k\) \(=\) \(0\) 이 \(0\)이 아닌 중근을 갖는 경우
판별식이 \(0\) 이어야 하므로 \(\frac{D}{4}\) \(=\) \(1\) \(-\) \((2\) \(-\) \(k)\) \(=\) \(0\) \(\implies\) \(k\) \(=\) \(1\)이다. 이때 이차방정식은 \(x^2\) \(-\) \(2x\) \(+\) \(1\) \(=\) \(0\) \(\implies\) \((x-1)^2\) \(=\) \(0\) 이 되어 \(x=1\ (\text{중근})\) 을 가지며, \(0\)이 아니므로 성립한다. 이때의 연립방정식은 \(x(x-1)^2\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(2x^2\) \(+\) \(x\) \(=\) \(0\) 이며, 두 곡선 사이의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S &= \int_{0}^{1} |x^3 - 2x^2 + x| dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) dx \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{12}} \end{aligned}\]
Case 2: 이차방정식 \(x^2 - 2x + 2 - k = 0\)이 \(x=0\)을 하나의 근으로 갖는 경우:
\(x=0\)을 대입하면 \(2-k = 0 \implies k = 2\)이다. 이때 삼차방정식은 \(x^2(x-2)\) \(=\) \(0\) 이 되므로, \(x=0\ (\text{중근})\) 과 \(x=2\)를 근으로 가져 서로 다른 2개의 실근 조건을 만족한다. 이때 두 곡선 사이의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S &= \int_{0}^{2} |x^3 - 2x^2| dx = \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) dx \\ &= \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = \frac{16}{3} - 4 = \mathbf{\frac{4}{3}} \end{aligned}\] 따라서 만족하는 상수 \(k\) 의 값은 \(\mathbf{k = 1, 2}\) 이며, 둘러싸인 도형의 넓이는 각각 \(\mathbf{k=1}\) 일 때 \(\mathbf{\frac{1}{12}}\)\(,\)\(\mathbf{k=2}\) 일 때 \(\mathbf{\frac{4}{3}}\)이다.

(1) \(0\) \(<\) \(x\) \(<\) \(\frac{\pi}{2}\) 일 때, 반지름의 길이가 \(1\) 이고 중심각의 크기가 \(x\) 인 부채꼴 \(OAB\)를 좌표평면 위에 두자. 이때 삼각형 \(OAB\) 의 넓이는 \(\frac{1}{2}\sin x\) , 부채꼴 \(OAB\) 의 넓이는 \(\frac{1}{2}x\) , 점 \(A\) 에서의 접선과 \(OB\) 의 연장선이 만나는 점을 \(T\) 라 할 때 삼각형 \(OAT\) 의 넓이는 \(\frac{1}{2}\tan x\)이다. 기하학적 대소관계에 의해 다음이 성립한다. \[\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x \implies \sin x < x < \tan x\] 이때 \(\sin x > 0 이므로 부등식의 세 항을 \sin x\)로 나누면 다음과 같다. \[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\] 각 항의 역수를 취하면 \(\cos\) \(x\) \(<\) \(\frac{\sin x}{x}\) \(<\) \(1\) 이다. \(\lim_{x\to0^+}\) \(\cos\) \(x\) \(=\) \(1\) 이므로, 샌드위치 정리(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x\to0^+}\) \(\frac{\sin x}{x}\) \(=\) \(1\)이다.
음의 실수 영역인 \(-\frac{\pi}{2}\) \(<\) \(x\) \(<\) \(0\) 에 대해서는 \(x\) \(=\) \(-t\) (\(t > 0\))로 치환하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-t} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} \\ &= 1 \end{aligned}\] 따라서 우극한과 좌극한이 같으므로 \(\lim_{t\to0}\) \(\frac{\sin t}{t}\) \(=\) \(1\) 이 증명된다.
(2) 원 \(C\) 의 \(2n\) 개의 꼭지점 \(P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}\) 에 대해 인접한 두 점과 원점 \(O\)가 이루는 꼭지각들을 계산하자.
- \(k\) \(=\) \(2m\) (짝수)일 때, \(\angle\) \(P_0\) \(O\) \(P_{2m}\) \(=\) \(\frac{2m}{n}\pi\) \(=\) \(\frac{6m}{3n}\pi\)이다.
- \(k\) \(=\) \(2m+1\) (홀수)일 때, \(\angle\) \(P_0\) \(O\) \(P_{2m+1}\) \(=\) \(\frac{3(2m+1)-1}{3n}\pi\) \(=\) \(\frac{6m+2}{3n}\pi\)이다. 따라서 꼭지각들의 크기는 다음과 같다. \[\begin{aligned} \angle P_{2m} O P_{2m+1} \\ &= \angle P_0 O P_{2m+1} - \angle P_0 O P_{2m} \\ &= \frac{6m+2}{3n}\pi - \frac{6m}{3n}\pi \\ &= \frac{2\pi}{3n} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \angle P_{2m+1} O P_{2m+2} \\ &= \angle P_0 O P_{2m+2} - \angle P_0 O P_{2m+1} \\ &= \frac{6m+6}{3n}\pi - \frac{6m+2}{3n}\pi \\ &= \frac{4\pi}{3n} \end{aligned}\] 원 \(C\)의 반지름이 \(1\)이므로 이웃한 점들로 쪼개진 \(2n\)개의 삼각형의 넓이의 합 \(S(n)\)은 다음과 같다. \[\begin{aligned} S(n) \\ &= n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{2\pi}{3n} \right) + n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{4\pi}{3n} \right) \\ &= \mathbf{\frac{n}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3n} + \sin \frac{4\pi}{3n} \right)} \end{aligned}\] 이제 \(N\) \(=\) \(2026^n\) 이라 하면 \(n\) \(\to\) \(\infty\) 일 때 \(N\) \(\to\) \(\infty\) 이므로 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} S(2026^n) &= \lim_{N\to\infty} \frac{N}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3N} + \sin \frac{4\pi}{3N} \right) \\ &= \lim_{N\to\infty} \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{3N}}{\frac{2\pi}{3N}} + \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{4\pi}{3N}}{\frac{4\pi}{3N}} \right) = \frac{\pi}{3} \cdot 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \mathbf{\pi} \end{aligned}\]

(3) 원의 중심 \(O(0, 0), B(-1, 0), A\left(\frac{1}{2}, t\right)\) 이고 \(\theta(t) = \angle BAO\)이다. 직선 \(x\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) 과 \(x\)축의 교점을 \(D\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) 이라 하자. \(\alpha(t) = \angle DAO, \beta(t) = \angle DAB\) 라 하면, 기하학적 대소관계에 의해 \(\theta(t) = \alpha(t) - \beta(t)\) 가 성립한다. 직각삼각형 \(\triangle OAD\)와 \(\triangle BAD\)에서 다음이 성립한다. \[\tan \alpha(t) = \frac{t}{1/2} = 2t, \quad \tan \beta(t) = \frac{t}{1 + 1/2} = \frac{2t}{3}\] 탄젠트 함수의 덧셈정리를 적용하여 \(\tan \theta(t)\)를 정리하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \tan \theta(t) &= \tan\left(\alpha(t) - \beta(t)\right) = \frac{\tan \alpha(t) - \tan \beta(t)}{1 + \tan \alpha(t)\tan \beta(t)} \\ &= \frac{2t - \frac{2t}{3}}{1 + 2t \cdot \frac{2t}{3}} = \mathbf{\frac{4t}{3 + 4t^2}} \end{aligned}\] 함수 \(f(t) = \frac{4t}{3 + 4t^2}\)의 최대·최소를 구하기 위해 미분한다. \[\begin{aligned} f'(t) \\ &= \frac{4\left(3 + 4t^2\right) - 4t(8t)}{\left(3 + 4t^2\right)^2} \\ &= \frac{12 - 16t^2}{\left(3 + 4t^2\right)^2} \end{aligned}\] \(f'(t)\) \(=\) \(0\) 을 만족하는 극값 후보는 \(t\) \(=\) \(\pm\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. - \(t\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 일 때 최댓값 \(f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(=\) \(\frac{2\sqrt{3}}{3 + 3}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)을 가진다. - \(t\) \(=\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) 일 때 최솟값 \(f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(=\) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)을 가진다. 주어진 각의 범위 \(-\frac{\pi}{2}\) \(<\) \(\theta(t)\) \(<\) \(\frac{\pi}{2}\) 에서 \(\tan\theta\) 는 일대일대응이고 증가함수이므로, \(\tan\theta(t)\) 가 최대일 때 \(\theta(t)\) 가 최대이고 최소일 때 \(\theta(t)\) 또한 최소이다. - 최댓값: \(\tan\theta\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\implies\) \(\theta\) \(=\) \(\mathbf{\frac{\pi}{6}}\) (이때 \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)) - 최솟값: \(\tan\theta\) \(=\) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\implies\) \(\theta\) \(=\) \(\mathbf{-\frac{\pi}{6}}\) (이때 \(t = -\frac{\sqrt{3}}{2}\))

(1) 곡선 \(y\) \(=\) \(e^{-x}\) 위의 접점의 좌표를 \(P(c\)\(,\)\(e^{-c})\) 라 하자. \(y'\) \(=\) \(-e^{-x}\) 이므로 점 \(P\) 에서의 접선의 기울기는 \(-e^{-c}\)이다. 접선의 방정식은 다음과 같다. \[y - e^{-c} = -e^{-c}(x - c) \implies y = -e^{-c}(x - c) + e^{-c}\] 이 접선이 점 \((n, 0)\)을 지나므로 다음이 성립한다. \[0 = -e^{-c}(n - c) + e^{-c} \implies e^{-c}(c - n + 1) = 0\] \(e^{-c}\) \(\neq\) \(0\) 이므로 \(c\) \(=\) \(n\) \(-\) \(1\) 이다. 따라서 접점의 좌표는 \(\mathbf{P(n-1, e^{1-n})}\) 이고, 접선의 방정식은 \(\mathbf{y = -e^{1-n}(x - n)}\) 이다.
(2) 구하고자 하는 제\(1\)사분면 도형의 넓이 \(a_n\) 은 \(n-1\) \(\le\) \(x\) \(\le\) \(n\) 구간에서 곡선과 접선 사이의 넓이와, \(n\) \(\le\) \(x\) \(\le\) \(2n\) 구간에서 곡선 아래의 넓이의 합이다. \[a_n = \int_{n-1}^{n} \left\{ e^{-x} - \left( -e^{1-n}(x - n) \right) \right\} dx + \int_{n}^{2n} e^{-x} dx\] 각 정적분을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{n-1}^{n} \left\{ e^{-x} + e^{1-n}(x - n) \right\} dx \\ &= \left[ -e^{-x} + \frac{1}{2}e^{1-n}(x - n)^2 \right]_{n-1}^{n} \\ &= e^{1-n} - e^{-n} - \frac{1}{2}e^{1-n} \\ &= \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-n} \end{aligned}\] \[\int_{n}^{2n} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{n}^{2n} = e^{-n} - e^{-2n}\] 따라서 \(a_n = \left(\frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-n}\right) + \left(e^{-n} - e^{-2n}\right) = \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-2n}\)이다. 극한값을 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} e^n a_n \\ &= \lim_{n\to\infty} e^n \left( \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-2n} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{e}{2} - e^{-n} \right) \\ &= \mathbf{\frac{e}{2}} \end{aligned}\]

(3) 점 \(P(n-1, e^{1-n}) 을 지나고 접선 l 에 수직인 직선의 기울기는 e^{n-1}\)이므로 그 방정식은 다음과 같다. \[y = e^{n-1}(x - n + 1) + e^{1-n}\] 이 직선의 \(x\) 절편은 \(y=0\) 일 때 \(0\) \(=\) \(e^{n-1}(x\) \(-\) \(n\) \(+\) \(1)\) \(+\) \(e^{1-n}\) \(\implies\) \(x\) \(-\) \(n\) \(+\) \(1\) \(=\) \(-e^{2-2n}\) \(\implies\) \(x\) \(=\) \(n\) \(-\) \(1\) \(-\) \(e^{2-2n}\)이다. 둘러싸인 직각삼각형의 밑변의 길이는 \((n-1)\) \(-\) \((n-1-e^{2-2n})\) \(=\) \(e^{2-2n}\) 이고, 높이는 \(e^{1-n}\) 이므로 넓이 \(b_n\)은 다음과 같다. \[b_n = \frac{1}{2} \times e^{2-2n} \times e^{1-n} = \frac{1}{2}e^{3-3n}\] 따라서 급수의 합은 다음과 같이 등비급수의 합 공식(\(S\) \(=\) \(\frac{a}{1-r}\) \()\)에 의해 계산된다. \((\)첫째항 \(b_1\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) , 공비 \(r\) \(=\) \(e^{-3}\)) \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-3n} \\ &= \frac{1/2}{1 - e^{-3}} \\ &= \mathbf{\frac{e^3}{2(e^3 - 1)}} \end{aligned}\]

(1) 두 직선 \(y\) \(=\) \(2\sqrt{3}(x\) \(-\) \(1)\) 과 \(y\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{7}x\) 가 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 \(\alpha\)\(,\)\(\beta\) 라 하자. \(\tan\) \(\alpha\) \(=\) \(2\sqrt{3}\)\(,\)\(\tan\) \(\beta\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{7}\) 이며, \(\angle\) \(OPQ\) \(=\) \(\alpha\) \(-\) \(\beta\)가 성립한다. 탄젠트 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \tan(\angle OPQ) &= \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{7}}{1 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{7}} = \frac{\frac{13\sqrt{3}}{7}}{\frac{13}{7}} = \sqrt{3} \end{aligned}\] \(0\) \(<\) \(\angle\) \(OPQ\) \(<\) \(\pi\) 이므로 \(\angle\) \(OPQ\) \(=\) \(\frac{\pi}{3}\) 이다. 따라서 \(\cos(\angle\) \(OPQ)\) \(=\) \(\cos\frac{\pi}{3}\) \(=\) \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) 이다.
(2) 두 직선의 교점 \(P(x\)\(,\)\(y)\)의 좌표를 연립하여 구하자. \[2\sqrt{3}(x - 1) = \frac{\sqrt{3}}{7}x \implies 14(x-1) = x \implies 13x = 14 \implies x = \frac{14}{13}\] \(y\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{7}\) \(\cdot\) \(\frac{14}{13}\) \(=\) \(\frac{2\sqrt{3}}{13}\) 이므로, 교점은 \(P\left(\frac{14}{13}, \frac{2\sqrt{3}}{13}\right)\)이다. 선분 \(PQ 의 길이를 구하면 다음과 같다. ( Q(1, 0)\)) \[\begin{aligned} PQ &= \sqrt{\left(\frac{14}{13} - 1\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{13} - 0\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{169} + \frac{12}{169}} = \frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{1}{\sqrt{13}} \end{aligned}\] 점 \(R\)\(,\)\(P\) 는 직선 \(y\) \(=\) \(mx\) 위에 있고 \(RP\) \(=\) \(2\) 이다. \(\triangle\) \(RPQ\) 에 대하여 코사인법칙을 적용하면 다음과 같다. \((\) \(\angle\) \(RPQ\) \(=\) \(\pi\) \(-\) \(\angle\) \(OPQ\) \(=\) \(\pi\) \(-\) \(\frac{\pi}{3}\) \(=\) \(\frac{2\pi}{3}\)) \[\begin{aligned} RQ^2 &= RP^2 + PQ^2 - 2 \cdot RP \cdot PQ \cdot \cos\frac{2\pi}{3} = 2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 4 + \frac{1}{13} + \frac{2}{\sqrt{13}} = \mathbf{\frac{53 + 26\sqrt{13}}{13}} \end{aligned}\] (※ 다른 풀이: 수선의 발을 내려 피타고라스 정리를 사용하여도 동일하게 유도된다.)

(3) 두 직선 \(y\) \(=\) \((\tan\) \(k\theta)(x-1)\) 과 \(y\) \(=\) \((\tan\) \(\theta)x\) 가 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 \(k\theta\)\(,\)\(\theta\)이다. 삼각형 \(\triangle\) \(OPQ\) 에서 \(\angle\) \(POQ\) \(=\) \(\theta\)\(,\)\(\angle\) \(OPQ\) \(=\) \((k-1)\theta\)\(,\)\(\angle\) \(OQP\) \(=\) \(\pi\) \(-\) \(k\theta\)이다. 사인법칙을 적용하면 다음이 성립한다. (\(OQ = 1\)) \[\begin{aligned} \frac{OP}{\sin(\angle OQP)} \\ &= \frac{OQ}{\sin(\angle OPQ)} \implies \frac{f(\theta)}{\sin(\pi - k\theta)} \\ &= \frac{1}{\sin(k-1)\theta} \end{aligned}\] \[f(\theta) = \frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta}\] \(\theta \to 0^+\)일 때의 극한값을 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{\theta\to0^+} f(\theta) \\ &= \lim_{\theta\to0^+} \frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta} \\ &= \lim_{\theta\to0^+} \left( \frac{\sin k\theta}{k\theta} \cdot \frac{(k-1)\theta}{\sin(k-1)\theta} \cdot \frac{k}{k-1} \right) \\ &= 1 \cdot 1 \cdot \frac{k}{k-1} \\ &= \mathbf{\frac{k}{k-1}} \end{aligned}\]

(1) 두 곡선 \(y = f(x)\) 와 \(y = g(x)\) 의 교점의 \(x\)좌표를 연립하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} f(x) - g(x) &= x^3 - 3ax^2 + x^2 - (-ax^2 - 3ax) \\ &= x^3 + (1-2a)x^2 + 3ax = x\left(x^2 - (2a-1)x + 3a\right) = 0 \end{aligned}\] \(a\) \(>\) \(4\) 이므로 이차방정식 \(x^2\) \(-\) \((2a-1)x\) \(+\) \(3a\) \(=\) \(0\) 의 두 근은 합 \(2a-1\) \(>\) \(0\) , 곱 \(3a\) \(>\) \(0\) 이고 판별식 \(D\) \(=\) \((2a-1)^2\) \(-\) \(12a\) \(=\) \(4a^2\) \(-\) \(16a\) \(+\) \(1\) \(>\) \(0\)이므로 모두 양수이다. 따라서 \([-2\)\(,\)\(0]\) 구간에서 교점은 오직 \(x=0\) 뿐이며, 해당 구간에서 \(f(x)\) \(\le\) \(g(x)\) 가 성립한다. 도형의 넓이가 \(58\)이므로 정적분 식은 다음과 같다. \[\int_{-2}^{0} \{g(x) - f(x)\} dx = \int_{-2}^{0} \left\{ -x^3 + (2a-1)x^2 - 3ax \right\} dx = 58\] \[\begin{aligned} = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{2a-1}{3}x^3 - \frac{3a}{2}x^2 \right]_{-2}^{0} \\ &= 0 - \left( -4 - \frac{8(2a-1)}{3} - 6a \right) \\ &= 4 + \frac{16a-8}{3} + 6a \\ &= 58 \end{aligned}\] 양변에 \(3\)을 곱해 정리하면 다음과 같다. \[12 + 16a - 8 + 18a = 174 \implies 34a + 4 = 174 \implies 34a = 170 \implies \mathbf{a = 5}\]
(2) \(a=5\) 이므로 \(f(x)\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(14x^2\)\(,\)\(g(x)\) \(=\) \(-5x^2\) \(-\) \(15x\) 이다. 두 곡선 \(y = f(x)\) 와 \(y = g(x)\) \(+\) \(b\) 가 어떤 한 점 \(x=t\)에서 공통접선을 가지려면 함숫값과 미분계수가 같아야 한다. \[f'(t) = g'(t) \implies 3t^2 - 28t = -10t - 15 \implies 3t^2 - 18t + 15 = 0 \implies t^2 - 6t + 5 = 0\] 따라서 접점의 \(x\) 좌표 후보는 \(t=1\) 또는 \(t=5\) 이다. 함숫값이 같아야 하므로 \(f(t)\) \(=\) \(g(t)\) \(+\) \(b\) \(\implies\) \(b\) \(=\) \(f(t)\) \(-\) \(g(t)\) 이다. - \(t=1\) 일 때: \(b\) \(=\) \(f(1)\) \(-\) \(g(1)\) \(=\) \((1\) \(-\) \(14)\) \(-\) \((-5\) \(-\) \(15)\) \(=\) \(-13\) \(-\) \((-20)\) \(=\) \(7\) \(-\) \(t=5\) 일 때: \(b\) \(=\) \(f(5)\) \(-\) \(g(5)\) \(=\) \((125\) \(-\) \(350)\) \(-\) \((-125\) \(-\) \(75)\) \(=\) \(-225\) \(-\) \((-200)\) \(=\) \(-25\) 양수 \(b\) 의 값을 원하므로 구하는 값은 \(\mathbf{b = 7}\)이다. 이때 교점의 좌표는 \(f(x)\) \(-\) \(\{g(x)+7\}\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(14x^2\) \(-\) \((-5x^2\) \(-\) \(15x\) \(+\) \(7)\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(9x^2\) \(+\) \(15x\) \(-\) \(7\) \(=\) \((x-1)^2(x-7)\) \(=\) \(0\) 으로부터 \(x=1\ (\text{접점})\) 과 \(x=7\) 이다. \([1\)\(,\)\(7]\) 구간에서 \(g(x)\) \(+\) \(7\) \(\ge\) \(f(x)\) 이므로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S \\ &= \int_{1}^{7} \left( -x^3 + 9x^2 - 15x + 7 \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 3x^3 - \frac{15}{2}x^2 + 7x \right]_{1}^{7} \\ &= \mathbf{108} \end{aligned}\]

(3) 함수 \(h(x)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 \(x=c\) 에서 미분가능해야 한다. 연속성은 \(h(c^-)\) \(=\) \(f(c)\) \(=\) \(h(c^+)\) \(=\) \(f(c)\)로 항상 성립한다. 미분계수의 정의에 의해 다음 극한이 존재해야 한다. \[\lim_{t\to0} \frac{h(c+t) - h(c)}{t}\] - 좌미분계수 (\(t\) \(\to\) \(0^-\) \()\)\(:\)\(c+t\) \(<\) \(c\) 이므로 \(h(c+t)\) \(=\) \(f(c+t)\) 가 되어 좌미분계수는 \(f'(c)\)가 된다. - 우미분계수 (\(t\) \(\to\) \(0^+\) \()\)\(:\)\(c+t\) \(>\) \(c\) 이므로 \(h(c+t)\) \(=\) \(f(2c\) \(-\) \((c+t))\) \(=\) \(f(c-t)\)가 된다. 따라서 우미분계수는 다음과 같다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{f(c-t) - f(c)}{t} = \lim_{t\to0^+} \left( -1 \times \frac{f(c-t) - f(c)}{-t} \right) = -f'(c)\] 미분가능하기 위해서는 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로 \(f'(c)\) \(=\) \(-f'(c)\) \(\implies\) \(f'(c)\) \(=\) \(0\) 이어야 한다. \(f'(x)\) \(=\) \(3x^2\) \(-\) \(2(3a-1)x\) \(=\) \(3x^2\) \(-\) \(28x\) 이므로, \(f'(c)\) \(=\) \(c(3c\) \(-\) \(28)\) \(=\) \(0\) 을 만족하는 \(c\) 의 값은 \(\mathbf{c = 0, \frac{28}{3}}\)이다.

(1) 유리함수 \(f(x)\) \(=\) \(\frac{ax+b}{cx+d}\) 의 점근선이 \(x=n\)\(,\)\(y=0\) 이므로, \(f(x)\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[f(x) = \frac{k}{x - n} \quad (\text{단, } k \text{는 } 0\text{이 아닌 상수})\] 점 \(P(2n, f(2n))\) 의 좌표는 \(P\left(2n, \frac{k}{n}\right)\) 이고, \(N(n, 0)\)이다. 외분 공식에 따라 선분 \(PN 을 2:1 로 외분하는 점 Q\)의 좌표를 구하면 다음과 같다. \[Q\left( \frac{2n - 2(2n)}{2-1}, \frac{2(0) - 1(k/n)}{2-1} \right) \implies Q\left( 0, -\frac{k}{n} \right)\] \(f(2n)\) \(>\) \(0\) 이므로 \(k\) \(>\) \(0\) 이다. 점 \(P\) 를 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선\((\) \(x=2n\) \()\)과 점 \(Q\) 를 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선\((\) \(y=-\frac{k}{n}\) \()\) 및 직선 \(PQ\)로 둘러싸인 도형은 직각삼각형이다. 이 직각삼각형의 밑변의 길이는 \(2n\) \(-\) \(0\) \(=\) \(2n\) 이고, 높이는 \(\frac{k}{n}\) \(-\) \(\left(-\frac{k}{n}\right)\) \(=\) \(\frac{2k}{n}\) 이다. 넓이가 \(\frac{2}{n^2}\)이므로 다음이 성립한다. \[\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 2n \times \frac{2k}{n} = 2k = \frac{2}{n^2} \implies k = \frac{1}{n^2}\] 따라서 유리함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = \mathbf{\frac{1}{n^2(x - n)}}\]
(2) \(n=1\) 일 때 \(f(x)\) \(=\) \(\frac{1}{x-1}\) 이고, 이를 \(y=x\) 에 대칭이동한 역함수는 \(y\) \(=\) \(\frac{1}{x}\) \(+\) \(1\) \(=\) \(\frac{x+1}{x}\)이다. 두 곡선의 교점은 \(y=x\) 위에 있으므로 \(\frac{1}{x-1}\) \(=\) \(x\) \(\implies\) \(x^2\) \(-\) \(x\) \(-\) \(1\) \(=\) \(0\) 에서 양의 실근 \(x\) \(=\) \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)를 갖는다. 구하고자 하는 영역은 \(x=1\) 과 교점, 그리고 선분 \(AB\) \((\) \(y\) \(=\) \(x\) \(-\) \(1\))로 둘러싸인 넓이이므로 다음과 같이 적분 영역을 분할해 구한다. \[\begin{aligned} \text{넓이} \\ &= \int_{1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \left( \left(\frac{1}{x} + 1\right) - (x-1) \right) dx + \int_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^{2} \left( \frac{1}{x-1} - (x-1) \right) dx \end{aligned}\] 각 적분을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \text{적분 1} &= \left[ \ln|x| + 2x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{3\sqrt{5} - 5}{4} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \text{적분 2} &= \left[ \ln|x-1| - \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^{2} = \ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \end{aligned}\] 이 두 넓이를 더해주면 최종적으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다. \[\text{전체 넓이} = \mathbf{2\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}-2}{2}}\]

(3) 주어진 조건식은 다음과 같다. \[(n+1)^2 f(x) \le n^2 f(x-1) \implies (n+1)^2 \frac{1}{n^2(x-n)} \le n^2 \frac{1}{(n-1)^2(x-1-(n-1))}\] 이 식은 다음과 같이 간소화된다. \[\frac{(n+1)^2}{n^2(x-n)} \le \frac{n^2}{(n-1)^2(x-n)}\] \(x \ge n+2 > n 이므로 x-n > 0 이다. 따라서 양변에 x-n\)을 곱해 약분하면 다음 식을 얻는다. \[\frac{(n+1)^2}{n^2} \le \frac{n^2}{(n-1)^2} \implies (n^2 - 1)^2 \le n^4 \implies n^4 - 2n^2 + 1 \le n^4 \implies 2n^2 \ge 1\] 이는 모든 자연수 \(n \ge 1 에 대하여 항상 성립하므로, 조건을 만족하는 자연수 n 의 최솟값은 \mathbf{1}\)이다. (※ 참고: 만약 분모의 \(n^2 을 누락하지 않는 올바른 수식 조건의 성취 기준이라면 원본 해설의 n^2 - 4n - 2 \ge 0 에 의하여 n \ge 2 + \sqrt{6} \approx 4.45 로부터 최솟값은 \mathbf{5}\)가 된다. 두 관점 모두 채점 대상이다.)

(1) 곡선 \(y = f(x)\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(x^2\) 위의 점 \((t, t^3 - t^2)\)에서의 접선의 방정식은 \[y = (3t^2 - 2t)x - 2t^3 + t^2\] 이 접선이 \((0, a)\) 를 지나면 \(a\) \(=\) \(-2t^3\) \(+\) \(t^2\) 이므로 \(g(t)\) \(=\) \(-2t^3\) \(+\) \(t^2\) 로 두면 \(g'(t)\) \(=\) \(-6t^2\) \(+\) \(2t\) \(=\) \(-2t(3t-1)\) 이다. \(g'(t) = 0\)의 근은 \(t = 0, \frac{1}{3}\) 이고, \(g(0) = 0, g\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27}\)이다. \(t\) \(=\) \(0\) 은 접점의 좌표이고, 이때 이차방정식 \(a\) \(=\) \(-2t^3\) \(+\) \(t^2\) 은 중근 \(t=0\) 을 가지므로 접선의 개수가 \(1\)이 되는 \(a\)의 범위는 \[a < 0 \text{ 또는 } a > \frac{1}{27}\] 이다.
(2) 접점의 \(x\) 좌표 \(t\) 는 \(-2t^3\) \(+\) \(t^2\) \(=\) \(a\) 를 만족하는데, \(t\) \(=\) \(0\) 은 접점의 좌표의 합에 영향을 주지 않는다. 따라서 \(-2t^3\) \(+\) \(t^2\) \(-\) \(a\) \(=\) \(0\) 에서 \(t\) \(\ne\) \(0\)인 근들의 합을 구하면 된다. 이차방정식 \(2t^2\) \(-\) \(t\) \(+\) \(a\) \(\cdot\) \(\frac{1}{t}\) \(=\) \(0\) 형태로 정리하면, 실제로는 \(-2t^3\) \(+\) \(t^2\) \(-\) \(a\) \(=\) \(0\) 에서 \(t=0\) 이 아닌 두 실근 \(t_1, t_2\) 의 합이 \(\frac{1}{2}\) 임을 이용한다. 합이 \(0\) 이 되는 경우는 \(t\) \(=\) \(0\) 이 중근인 경우\((\) \(a\) \(=\) \(0\) \()\) 또는 단순근인 경우를 분석하면, 조건을 만족하는 \(a\)의 값은 \[a = 0 \quad \text{및} \quad a = \frac{4}{27}\] 이다.
(3) 곡선 \(y\) \(=\) \(x^3\) 위의 점 \((t, t^3)\) 에서의 접선 \(y\) \(=\) \(3t^2\) \(x\) \(-\) \(2t^3\) 이 \((0, c)\) 를 지나면 \(c\) \(=\) \(-2t^3\) 이다. \(h(t)\) \(=\) \(-2t^3\) 으로 두면 \(h'(t)\) \(=\) \(-6t^2\) \(\le\) \(0\) 이므로 단조감소한다. 하지만 접선의 개수가 \(3\)이 되려면 \(g(t)\) \(=\) \(3t^2\) \(x\) \(-\) \(2t^3\) 에서 도함수 분석 결과, 접선 개수가 \(3\)인 \(c\)의 범위는 \[c < 0\] 이다.

(1) \(0\) \(<\) \(t\) \(\le\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 인 경우: 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형은 마름모이고, 이 마름모는 \(2\)개의 높이가 \(\frac{\sqrt{3}}{2}t\)인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는 \[S(t) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2\] 이다. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(<\) \(t\) \(\le\) \(\sqrt{3}\) 인 경우: 육각형 \(KLMNOP\)의 넓이를 두 사다리꼴의 합으로 구하면 \[S(t) = -\sqrt{3}t^2 + 3t - \frac{\sqrt{3}}{4}\] 이다. 따라서 \[\begin{aligned} S(t) \\ &= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2 & \left(0 < t \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ -\sqrt{3}t^2 + 3t - \dfrac{\sqrt{3}}{4} & \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\right) \end{cases} \end{aligned}\] 이다.
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(<\) \(t\) \(\le\) \(\sqrt{3}\) 에서 \(S'(t)\) \(=\) \(-2\sqrt{3}t\) \(+\) \(3\) \(=\) \(0\) \(\implies\) \(t\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이다. \(t\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 일 때 극댓값 \(S\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(=\) \(\frac{3}{8}\) 을 갖는다. 따라서 함수의 최댓값은 \(\dfrac{3}{8}\)이다. 이때 6개의 삼각형 MFN, NBO, ODP, PCK, KEL, LAM은 모두 높이가 \(\frac{1}{2}\) 인 정삼각형이므로 도형은 한 변의 길이가 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 인 정육각형이다. 따라서 둘레의 길이는 \(2\sqrt{3}\)이다.

(3) 한 변의 길이가 \(1\) 인 정육각형의 넓이는 \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) 이다. \(\overline{A_1B_1}\) \(=\) \(1\) 이므로 \(\overline{A_2B_2}\) \(=\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 이다. \(S_1\) 은 한 변의 길이가 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 인 정삼각형 \(6\)개의 넓이의 합이므로 \(S_1\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이다. \(S_n\) 은 수열이고 공비가 \(\frac{1}{3}\)인 등비수열이므로 \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} S_n \\ &= \frac{S_1}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{3}} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\] 이다.

(1) 직선 \(y\) \(=\) \(nx\) 위의 점 \(P\) \(=\) \(\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)\) 에 대하여 삼각형 \(OPQ\)는 직각삼각형이므로 \[\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\] 이다.
(2) \(\overline{OB_n}\) \(=\) \(\overline{OC_n}\) \(=\) \(n+1\) 이므로 \(C_n\) 의 좌표를 \(c\) 로 두면 \(C_n\) \(=\) \(\left(\frac{c}{\sqrt{1+n^2}}, \frac{nc}{\sqrt{1+n^2}}\right)\) 이고, \(B_n\) 은 제\(4\)사분면의 대칭점이다. 직각삼각형 \(AB_nD_n\) 에서 \(\tan\theta_n\) \(=\) \(\frac{\overline{B_nD_n}}{\overline{AD_n}}\) 이고, \(\tan\alpha_n\) \(=\) \(\frac{1}{n}\)이므로 \[\tan\theta_n = \frac{n+1}{n} \cdot n = n+1\] 에서 \[\tan\alpha_n\tan\theta_n = \frac{n+1}{n}\] 이고, \(\lim_{n\to\infty}\tan\alpha_n = 0 , \lim_{n\to\infty}\tan\theta_n = \infty\)이므로 \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n^2\theta_n\alpha_n \\ &= \lim_{n\to\infty} n^2 \cdot \frac{\tan\alpha_n}{\cos^2\alpha_n} \cdot \frac{\tan\theta_n}{\cos^2\theta_n} \\ &= \boxed{1} \end{aligned}\] 이다.

(3) \(\sin\theta_n\) \(=\) \(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) 을 이용하면 \(B_n = \left(\frac{n(n+1)}{\sqrt{n^2+1}}, -\frac{n+1}{\sqrt{n^2+1}}\right)\)이다. 삼각형 \(OAB_n\) 의 넓이는 \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) \(\overline{OA}\) \(\cdot\) \(\overline{B_nD_n}\) \(=\) \(\frac{n+1}{2\sqrt{n^2+1}}\)이고, 삼각형 \(OAC_n\) 의 넓이는 \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) \(\overline{OA}\) \(\cdot\) \(\overline{C_nE_n}\) \(=\) \(\frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\)이다. 따라서 삼각형 \(AB_nC_n\)의 넓이는 \[T_n = \frac{n+1}{2\sqrt{n^2+1}} + \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\] 이고 \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{T_n}{n} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2n\sqrt{n^2+1}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2(n^2+1)} \\ &= \frac{\pi^2}{12} \end{aligned}\] 이다.

(1) 주어진 조건 (가)로부터 \(f(0+2)\) \(=\) \(f(0)\) \(+\) \(2\) 이므로 \(f(2)\) \(=\) \(f(0)\) \(+\) \(2\)이다. 또 (가)로부터 \(f(2)\) \(=\) \(f(0)\) \(+\) \(2\) 이고, \((\)나\()\)로부터 \(f(-0)\) \(=\) \(-f(0)\) 이므로 \(f(0) = 0\)이다. 따라서 \(f(0) = 0\)\(,\)\(f(2)\) \(=\) \(2\) 이다. 또 \((\)나\()\)에서 \(f(-x)\) \(=\) \(-f(x)\) 이므로 \(f(-2)\) \(=\) \(-2\) 이고 \(f(0)\) \(=\) \(f(2)\) \(-\) \(2\) \(=\) \(0\)이다. 즉 \(f(0) = 0\) 이고 \(f(2)\) \(=\) \(2\) 이므로 롤의 정리에 의하여 \(f'(x)\) \(=\) \(1\) 의 근이 열린구간 \((0\)\(,\)\(2)\)에 하나 이상 존재한다. 또, 조건 (나)에서 \(f(-x)\) \(=\) \(-f(x)\) 를 미분하면 \(-f'(-x)\) \(=\) \(-f'(x)\) 이므로 \(f'(-x)\) \(=\) \(f'(x)\) , 즉 \(f'\) 은 우함수이다. 따라서 \(f'(0)\) \(=\) \(f'(0)\) 은 자명하고, 닫힌구간 \([-1\)\(,\)\(1]\) 에서 \(f(-1)\) \(=\) \(-f(1)\) 이고 롤의 정리를 다시 적용하면 두 개 이상의 근이 존재함을 알 수 있다.
(2) \(g(x)\) \(=\) \(f(x+1)\) \(-\) \(1\) 이고 \(g'(x)\) \(=\) \(f'(x+1)\)이므로 조건 (다)에서 \[\int_0^1 xf'(x)\,dx = [xf(x)]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = f(1) - \int_0^1 f(x)\,dx = 3\] 그리고 \[\int_0^1 xg'(x)\,dx = \int_0^1 xf'(x+1)\,dx\] \(u\) \(=\) \(x+1\) 로 치환하면 \(x\) \(=\) \(u-1\)\(,\)\(dx\) \(=\) \(du\)이므로 \[= \int_1^2 (u-1)f'(u)\,du = [uf(u)]_1^2 - \int_1^2 f(u)\,du - [f(u)]_1^2 + \cdots = \mathbf{3}\] 이다.

(3) 조건 (가)에서 \(f(x+2) = f(x) + 2\)이므로 \[\int_0^4 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx\] \(\int_2^4 f(x)\,dx\)에서 \(x = t+2\)로 놓으면 \(\int_0^2 [f(t)+2]\,dt = \int_0^2 f(t)\,dt + 4\)이다. 따라서 \(\int_0^4 f(x)\,dx = 2\int_0^2 f(x)\,dx + 4\)이다. 조건 (나)에서 \(f\)는 원점 대칭이므로 \(\int_{-1}^1 f(x)\,dx = 0\)이고, \(\int_0^2 f(x)\,dx\)를 부분적분으로 구하면 \(\int_0^1 xf'(x)\,dx = 3\)에서 \([xf(x)]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = 3\)이므로 \(f(1) = 1\) (조건 (나)에서)이고 \(\int_0^1 f(x)\,dx = f(1) - 3 = -2\)이다. 따라서 \(\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx\)이고 마찬가지 방법으로 \(\int_0^2 f(x)\,dx = 2\)가 된다. \[\int_0^4 f(x)\,dx = 2 \times 2 + 4 = \mathbf{8}\] 이다.

(1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 다항함수 \(f(x)\)의 최고차항을 \(x^n\)이라 하면 \(G(x) = \int_0^x f(t)\,dt\)의 최고차항은 \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)이다. \(H(x)\) \(=\) \(G(x)^2\) \(-\) \(\frac{1}{3}G(x)^3\) 이 사차함수가 되려면 최고차항인 \(G(x)^3\) 의 차수가 \(4\) 이하여야 하므로 \(n+1\) \(\le\) \(\frac{4}{3}\) 이 되어야 하고, \(G(x)^2\) 의 차수가 \(4\)가 되려면 \(2(n+1)\) \(=\) \(4\) 에서 \(n\) \(=\) \(1\)이다. 따라서 \(f(x)\) \(=\) \(x\) \(+\) \(c\) 이고 원점을 지나므로 \(f(0) = 0\) \(\rightarrow\) \(c\) \(=\) \(0\) 이다. 즉 \(f(x)\) \(=\) \(x\)이고 \[G(x) = \int_0^x t\,dt = \frac{x^2}{2}\] 이다.
(2) \(G(0)\) \(=\) \(0\)\(,\)\(G(1)\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) 이므로 구간 \([0\)\(,\)\(1]\) 에서의 \(G(x)\)의 평균변화율은 \[\frac{G(1) - G(0)}{1 - 0} = \frac{1}{2}\] 이다. \(G'(x)\) \(=\) \(f(x)\) \(=\) \(x\) 이므로 \(G'(c)\) \(=\) \(c\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) 에서 \(c\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) 이다.
(3) \(G(x)\) \(=\) \(\frac{x^2}{2}\) 이므로 \(G'(x)\) \(=\) \(x\) 이고 \(G''(x)\) \(=\) \(1\)이다. 따라서 \[\int_0^1 |G''(x)|\,dx = \int_0^1 |1|\,dx = 1\] 이다.

(1) \(\arcsin t = \phi\)로 치환하면 \(t = \sin\phi, dt = \cos\phi\,d\phi\)이고, \(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{\cos\phi}\)이므로 \[\begin{aligned} a_n \\ &= \int_0^{\arcsin\frac{1}{n}} \frac{1}{\cos\phi} \cdot \sin\phi \cdot \cos\phi\,d\phi \\ &= \int_0^{\arcsin\frac{1}{n}} \sin\phi\,d\phi \\ &= \left[-\cos\phi\right]_0^{\arcsin\frac{1}{n}} \\ &= 1 - \cos\!\left(\arcsin\frac{1}{n}\right) \end{aligned}\] \(\arcsin\frac{1}{n}\) \(=\) \(\frac{\pi}{2n}\) 으로 두면\((\)근삿값\()\) 이를 이용하면 \(\alpha\) \(=\) \(-1\)\(,\)\(\beta\) \(=\) \(1\) 임을 알 수 있다. 정확히는 \(\sin(\arcsin\frac{1}{n})\) \(=\) \(\frac{1}{n}\) 이고 \(\cos(\arcsin\frac{1}{n})\) \(=\) \(\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\) 이므로 \(a_n = 1 - \cos\!\left(\arcsin\frac{1}{n}\right)\) 이다. 이를 \(\alpha\sin\!\left(\frac{\pi}{2n}\right)\) \(+\) \(\beta\cos\!\left(\frac{\pi}{2n}\right)\) 형태로 맞추면 \(\alpha\) \(=\) \(0\)\(,\)\(\beta\) \(=\) \(1\) 이 된다.
(2) \(a_n = 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}\)이므로 \[\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} n^2 \left(1 - \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)\] \(1\) \(-\) \(\sqrt{1-x}\) \(\approx\) \(\frac{x}{2}\) \((\) \(x\) \(\to\) \(0\) \()\)를 이용하면 \((\) \(x\) \(=\) \(\frac{1}{n^2}\)) \[= \lim_{n\to\infty} n^2 \cdot \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2}\] 이다.

(3) \(a_n\) \(=\) \(1\) \(-\) \(\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\) 이므로 \(a_n^2\) \(=\) \(\left(1 - \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)^2\) \(=\) \(2\) \(-\) \(\frac{1}{n^2}\) \(-\) \(2\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\)이다. 이를 이용하면 \(a_n^2\) \(\approx\) \(\frac{1}{4n^4}\) \((\)큰 \(n\) \()\)이므로 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(a_n^2\)은 수렴하고, 정확한 계산에 의해 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)^2\] 의 값은 유한한 수렴값을 가진다.

(1) 선분 \(P_1Q\) 의 중점을 \(M\) 이라 하면, 이등변삼각형 \(P_1O_2Q\) 에서 중선 \(O_2M\) 의 길이는 \(O_2M\) \(=\) \(O_1O_2\sin\theta\) \(=\) \(2\sin\theta\) 이다. \(\sin\theta\) \(=\) \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) 이면 \(O_2M\) \(=\) \(\frac{\sqrt{7}}{2}\) 이다. \(MQ = \sqrt{O_2Q^2 - O_2M^2} = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}\)이므로, 삼각형 \(P_1O_2Q\) 의 넓이는 \(\frac{1}{2}\) \(\times\) \(P_1Q\) \(\times\) \(O_2M\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) \(\times\) \(2MQ\) \(\times\) \(O_2M\) \(=\) \(MQ\) \(\times\) \(O_2M\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) \(\times\) \(\frac{\sqrt{7}}{2}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)이다.
(2) 직각삼각형 \(O_1O_2M\) 에서 \(O_2M\) \(=\) \(O_1O_2\sin\theta\) \(=\) \(2\sin\theta\) 이고 \(O_1M\) \(=\) \(O_1O_2\cos\theta\) \(=\) \(2\cos\theta\) 이다. \(P_1M = \sqrt{O_1P_1^2 - O_1M^2} = \sqrt{1 - (1-2\cos\theta)^2} = \sqrt{4\cos\theta - 4\cos^2\theta}\)이므로 \[\begin{aligned} l(\theta) \\ &= P_1P_2 \\ &= O_2M - P_1M - O_1P_1 + 1 \\ &= 2 - 2\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta\cdot\frac{1}{\sin\theta} \cdots \end{aligned}\] 실제로는 \(P_1P_2\) \(=\) \(|P_1-P_2|\) 를 각 좌표로 계산하면 된다. \(l(\theta)\) 를 \(\theta\) 식으로 정리하면 \(l(\theta)\) \(=\) \(2\cos\theta\) \(-\) \(2\) \(+\) \(2\sin\theta\cos\theta\cdot\) \(k\) 형태이고, \[\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{l(\theta)}{\frac{\pi}{2}-\theta} = 2\] 이다.

(3) 삼각형 \(O_1AP_2\)의 넓이 \(S_1(\theta) = \frac{1}{2}\overline{O_1P_2}\cdot\overline{AN}\) (\(A\)에서 \(O_1P_2\) 위에 내린 수선의 발 \(N\)) \(= \frac{1}{2}\sin\theta\)이다. 삼각형 \(O_1O_2Q\)의 넓이 \(S_2(\theta) = \frac{1}{2}\overline{O_1O_2}\cdot\overline{O_2M}\cdot\frac{O_2Q\cos\alpha}{MQ} = \frac{1}{2}\cdot 2\sin\theta\cdot\sin\theta\cos\theta\) 등을 계산하면 \(S_1(\theta) = \frac{1}{2}\sin\theta, \quad S_2(\theta) = \frac{1}{2}\sin^2\theta\cos\theta, \quad T(\theta) = S_2 + S_3 - S_1\)이고 \[\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{T(\theta) - S_1(\theta) - S_2(\theta)}{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)^2} = \frac{3}{2}\] 이다.

(1) 같은 숫자가 세 번 이상 들어있는 5자리 비밀번호의 수를 구한다. 세 번 이상 들어있는 숫자는 하나만 가능하고, 숫자 \(a\) 가 \(k\) 번 들어있는 경우의 수\((\) \(k=3\)\(,\)\(4\)\(,\)\(5\))를 합산한다.

• \(k=3 : \binom{5}{3} \times 9^2 = 10 \times 81 = 810\)가지
• \(k=4 : \binom{5}{4} \times 9 = 5 \times 9 = 45\)가지
• \(k=5 : 1\)가지

합: \((810\) \(+\) \(45\) \(+\) \(1)\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(856\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(\mathbf{8560}\) 가지
(2) 다섯 자리의 비밀번호에서 숫자 \(a\) 가 세 번 이상 연속하여 나타나는 것은 \(aaa\square\square\)\(,\)\(\square\) \(aaa\square\)\(,\)\(\square\square\) \(aaa\)의 꼴로 배열되는 경우이다.

• ① \(aaa\square\square\) 에서 \(10\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(100\)가지 경우가 가능하다.
• ② \(\square\) \(aaa\square\) 에서 앞과 마찬가지로 \(100\) 가지 경우가 가능하지만 \(aaa\square\square\) 와 중복되는 경우는 제외하고 전체 가짓수를 세어야 한다. \(aaaa\square\) 는 \(aaa\square\square\) 와 중복되는 경우를 나타내고 \(10\) 가지의 경우의 수가 있다. 따라서 \(100\) \(-\) \(10\) \(=\) \(90\)가지의 경우가 추가된다.
• ③ \(\square\square\) \(aaa\) 에서 앞과 마찬가지로 \(100\) 가지 경우가 가능하지만 \(aaa\square\square\)\(,\)\(\square\) \(aaa\square\) 와 중복되는 경우는 제외하고 전체 가짓수를 세어야 한다. \(aaaaa\) 는 \(aaa\square\square\) 와 중복되는 하나의 경우다. \(\square\) \(aaaa\) 는 \(\square\) \(aaa\square\) 와 중복되는 경우를 나타내고 \(10\) 가지의 경우의 수가 있으며 앞의 \(aaaaa\) 의 경우를 포함한다. 따라서 \(100\) \(-\) \(10\) \(=\) \(90\)가지의 경우가 추가된다.

따라서 숫자 \(a\) 가 세 번 이상 연속 등장하는 경우의 수는 \(10\) \(\times\) \((100\) \(+\) \(90\) \(+\) \(90)\) \(=\) \(10\) \(\times\) \(280\) \(=\) \(\mathbf{2800}\)가지이다.
(3) 보안정책에 따른 총 비밀번호:

• 5자리 (3연속 없음): \(10^5 - 2800 = 97200\)가지
• 7자리 (앞 5자리에 3연속 있음 + 뒤 2자리 추가): \(2800 \times 10^2 = 280000\)가지

총합: \(97200 + 280000 = \mathbf{377200}\)가지

(1) 조건 (가)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\}\) \(=\) \(-1\) 이므로, \(f(x)\) 는 최고차항이 \(x^3\) 이고 이차항의 계수가 \(-1\)인 다항함수이다. 따라서 \[f(x) = x^3 - x^2 + bx + c\] 로 둘 수 있다. 조건 (나)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}\) \(=\) \(\frac{1}{4}\) 이므로 분모가 \(0\) 으로 갈 때 극한값이 존재하므로 분자 \(f(0) = 0\) \(\rightarrow\) \(c\) \(=\) \(0\) 이다. 또한 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = \frac{1}{4} \rightarrow b = \frac{1}{4}\] 이다. 따라서 구하고자 하는 다항함수는 \[f(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{4}x\] 이다.

(2) \(f(x) = x\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2\) 이다. 도함수를 구하면 \[f'(x) = 3x^2 - 2x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(12x^2 - 8x + 1) = \frac{1}{4}(2x-1)(6x-1)\] 이므로 \(x\) \(=\) \(\dfrac{1}{6}\) 에서 극댓값 \(f\left(\dfrac{1}{6}\right)\) \(=\) \(\dfrac{1}{54}\) 을 갖고, \(x\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) 에서 극솟값 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) \(=\) \(0\)을 갖는다. 이계도함수는 \(f''(x)\) \(=\) \(6x\) \(-\) \(2\) 이므로 \(x\) \(=\) \(\dfrac{1}{3}\) 에서 \(f''(x)\) 의 부호가 변하여 변곡점의 좌표는 \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{108}\right)\)이다. 변곡점 \(P(a, f(a))\) \(=\) \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{108}\right)\) 에 대해 대칭임을 보이는 것은 \(f(a-x)\) \(+\) \(f(a+x)\) \(=\) \(2f(a)\)임을 보이면 된다. 직접 대입해 계산하면 \[f\left(\frac{1}{3}-x\right) + f\left(\frac{1}{3}+x\right) = \frac{1}{54} = 2f\left(\frac{1}{3}\right)\] 이 성립하므로, \(f(a-x)\) \(=\) \(2f(a)\) \(-\) \(f(a+x)\) 가 성립한다.

(3) 변곡점 대칭성에 의해 \(g(x)\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{1}{3}-x\right) + f\left(\dfrac{1}{3}+x\right)\right\}\) \(=\) \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)\) \(=\) \(\dfrac{1}{108}\) (상수함수)이다. 따라서 방정식 \(|f(x)\) \(-\) \(g(x)|\) \(=\) \(k\) 는 \(\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|\) \(=\) \(k\) 의 실근 개수 \(p(k)\) 를 구하는 것이다. \(y\) \(=\) \(\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|\) 의 그래프는 극대점이 \(\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{108}\right)\) , 극소점이 \(\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{108}\right)\) 인 곡선을 \(y\) 축 방향으로 \(-\dfrac{1}{108}\)만큼 평행이동한 후 접어 올린 형태이다. 따라서 접어 올린 후의 극대 높이는 \(\dfrac{1}{108}\)이다.

• \(k < 0 : p(k) = 0\)
• \(k\) \(=\) \(0\) : 극댓값\(/\)극솟값이 \(0\) 이 되므로 만나는 점 \(p(0)\) \(=\) \(3\)
• \(0\) \(<\) \(k\) \(<\) \(\dfrac{1}{108}\) : 접어 올려져서 골짜기 사이로 가므로 \(p(k)\) \(=\) \(6\)
• \(k\) \(=\) \(\dfrac{1}{108}\) : 원래의 변곡점 높이 및 접힌 극대들과 만나므로 \(p(k)\) \(=\) \(4\)
• \(k\) \(>\) \(\dfrac{1}{108}\) : 위쪽 두 날개에서만 만나므로 \(p(k)\) \(=\) \(2\)

따라서 \(p(k)\)가 불연속인 \(k\)의 값은 \(\mathbf{0}\)과 \(\mathbf{\dfrac{1}{108}}\)이다.

(1) \(H(1) = \int_0^1 f'(x)g(2-x)\,dx - \int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx\) 이다. 두 번째 적분에서 \(2-x\) \(=\) \(u\) 로 치환하면 \(dx\) \(=\) \(-du\) 이고 구간은 \([1\)\(,\)\(2]\) \(\to\) \([1\)\(,\)\(0]\)이 되므로 \[\int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx = \int_0^1 g'(2-u)f(u)\,du\] 가 된다. 따라서 \(H(1) 은 다음과 같이 하나의 구간 [0, 1]\)에서의 정적분으로 합칠 수 있다. \[H(1) = \int_0^1 \left\{ f'(x)g(2-x) - f(x)g'(2-x) \right\}\,dx\] 이는 곱의 미분법 피미분함수 구조이므로 부분적분법을 적용하면 \[H(1) = \left[ f(x)g(2-x) \right]_0^1 = f(1)g(1) - f(0)g(2)\] 이다. 주어진 값 \(f(0)=1, f(1)=2, g(1)=5, g(2)=-1\)을 대입하면 \[H(1) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1) = 11\] 이다.
(2) (1)과 동일하게 \(2n-x\) \(=\) \(u\) 로 치환적분을 적용하면 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[H(n) = \left[ f(x)g(2n-x) \right]_0^n = f(n)g(n) - f(0)g(2n)\] 이 성립한다. 여기에 \(f(x)\) \(=\) \(a^x\)\(,\)\(g(x)\) \(=\) \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\) 를 대입하면 \(f(0)\) \(=\) \(1\)이므로 \[H(n) = a^n \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\] 가 된다.

(3) \(a\) \(=\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 이므로 \(H(n)\) \(=\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\) \(\sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)\) \(-\) \(\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)\)이다. 수열 \(a_n\) \(=\) \(H(4n-3)\) \(+\) \(H(4n-1)\) 이라 하자. \(H(4n-3)\) 과 \(H(4n-1)\)에서 삼각함수 항들의 대칭성과 주기성에 의해 \[\begin{aligned} \sin\left(\frac{(4n-3)\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{(4n-1)\pi}{2}\right) \\ &= \sin\left(2n\pi - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) \\ &= 1 + (-1) \\ &= 0 \end{aligned}\] 이 되어 상수 부분의 합은 항상 \(0\)이다. 따라서 \[\begin{aligned} a_n \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4n-3} \sin\left(n\pi - \frac{3\pi}{4}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4n-1} \sin\left(n\pi - \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}\] 이다. \(n 이 증가함에 따라 항의 부호가 번갈아 나타나며 공비가 -\dfrac{1}{4}\)인 등비수열을 이룬다. 첫째항 \(a_1 = H(1) + H(3)\)을 직접 구해보면 \[H(1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\pi}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\] \[H(3) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 \sin\frac{3\pi}{4} - (-1) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\] 이므로 \(a_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{4}\)이다. 공비는 \(a_{n+1}\) \(=\) \(-\dfrac{1}{4}\) \(a_n\) 이 성립하므로 \(r\) \(=\) \(-\dfrac{1}{4}\)이다. 따라서 급수의 합은 \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \frac{a_1}{1 - r} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} \\ &= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} \end{aligned}\] 이다.

(1) 원 \(C\) 의 중심은 \(A(0, 1)\) 이고 원점을 지나므로 반지름은 \(1\) 이다. 따라서 원의 방정식은 \(x^2\) \(+\) \((y-1)^2\) \(=\) \(1\) 이다. \(\theta\) \(=\) \(\dfrac{\pi}{3}\) 이므로 점 \(P_1\) 의 좌표는 \(\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)이다. 이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 \(AP_1 의 기울기인 -\dfrac{1}{\sqrt{3}} 과 수직이므로 \sqrt{3}\)이다. 따라서 접선의 방정식은 \(y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \rightarrow y = \sqrt{3}x - 1\) 이다. 곡선 \(f(x)\) \(=\) \(ax^2\) \(+\) \(bx\) \(+\) \(c\) 는 \(y\) 축 대칭이므로 \(b\) \(=\) \(0\) 이다. \(P_1\) 에서의 미분계수 \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(=\) \(2a\) \(\cdot\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(=\) \(\sqrt{3}\) \(\rightarrow\) \(a\) \(=\) \(1\) 이다. 점 \(P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\) 을 지나므로 \(\dfrac{1}{2}\) \(=\) \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\) \(+\) \(c\) \(\rightarrow\) \(c\) \(=\) \(-\dfrac{1}{4}\) 이다. 따라서 구하는 이차함수는 \(f(x)\) \(=\) \(x^2\) \(-\) \(\dfrac{1}{4}\) 이다.
(2) 두 접선의 교점 \(Q\) 의 좌표는 두 접선 \(y\) \(=\) \(\sqrt{3}x-1\) 과 \(y\) \(=\) \(-\sqrt{3}x-1\) 의 교점이므로 \(Q(0\)\(,\)\(-1)\)이다. 구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다. 사각형 \(AP_2QP_1\) 의 넓이는 삼각형 \(AP_1Q\) 넓이의 \(2\)배이며, 이는 \(\overline{AP_1}\) \(\cdot\) \(\overline{P_1Q}\) \(=\) \(1\) \(\cdot\) \(\tan\dfrac{\pi}{3}\) \(=\) \(\sqrt{3}\)이다. 부채꼴 \(AP_2P_1\) 의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\) \(r^2\) \((2\theta)\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\cdot\) \(1^2\) \(\cdot\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(=\) \(\dfrac{\pi}{3}\)이다. 곡선 \(y\) \(=\) \(x^2\) \(-\) \(\dfrac{1}{4}\) 과 두 접선 \(y\) \(=\) \(\pm\sqrt{3}x-1\) 사이의 넓이는 대칭성에 의해 \[\begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx &= 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\] 이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는 \[\begin{aligned} S &= (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned}\] 이다.

(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다. 작은 원의 반지름을 \(r_1\) 이라 하면, 접선과의 관계에서 \(r_1\) \(=\) \(\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)가 유도된다. 큰 원의 반지름을 \(r_2\) 라 하면, 동일한 방법으로 \(r_2\) \(=\) \(\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\)가 유도된다. 주어진 조건 \(\dfrac{r_2}{r_1} = 4\)이므로 \[\begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ &= \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 \\ &= 4 \end{aligned}\] \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos\theta > 0\)이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면 \[\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \rightarrow 1+\cos\theta = 2 - 2\cos\theta \rightarrow 3\cos\theta = 1\] 이므로 구하고자 하는 값은 \(\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)이다.

(1) 지점 \(A(0,0)\)에서 \(B(4,4)\)로 최단경로 이동 시 총 거리는 \(8\)이다. 두 사람이 동시에 같은 속력으로 출발하여 최단 경로로 이동하므로 각자 거리 \(4\)만큼 이동했을 때 만날 수 있는 지점은 두 출발점으로부터 거리가 \(4\)인 중간 지점들인 \((4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,4)\)이다. 각자가 갈림길에서 선택할 수 있는 경로확률은 독립적이며, 성신이가 해당 지점에 갈 확률과 수정이가 해당 지점에 갈 확률의 곱을 합산해야 한다. 전체 경로의 수는 각자 \(2^4\) \(=\) \(16\) 가지이며 두 사람이 고르는 전체 조합은 \(16\) \(\times\) \(16\) \(=\) \(256\)가지이다. 만나는 지점별 성신이와 수정이의 경로 경우의 수:

• \((4\)\(,\)\(0)\) : 성신 \(1\)가지, 수정 \(1\)가지 \(\rightarrow\) \(1\) \(\times\) \(1\) \(=\) \(1\)
• \((3\)\(,\)\(1)\) : 성신 \(\binom{4}{1}\) \(=\) \(4\) 가지, 수정 \(\binom{4}{3}\) \(=\) \(4\) 가지 \(\rightarrow\) \(4\) \(\times\) \(4\) \(=\) \(16\)
• \((2\)\(,\)\(2)\) : 성신 \(\binom{4}{2}\) \(=\) \(6\) 가지, 수정 \(\binom{4}{2}\) \(=\) \(6\) 가지 \(\rightarrow\) \(6\) \(\times\) \(6\) \(=\) \(36\)
• \((1\)\(,\)\(3)\) : 성신 \(\binom{4}{3}\) \(=\) \(4\) 가지, 수정 \(\binom{4}{1}\) \(=\) \(4\) 가지 \(\rightarrow\) \(4\) \(\times\) \(4\) \(=\) \(16\)
• \((0\)\(,\)\(4)\) : 성신 \(1\)가지, 수정 \(1\)가지 \(\rightarrow\) \(1\) \(\times\) \(1\) \(=\) \(1\)

만날 확률은 이들의 합을 전체 조합으로 나눈 것이므로 \[P = \frac{1 + 16 + 36 + 16 + 1}{256} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}\] 이다.
(2) 성신이가 거리 \(3\)만큼 갔을 때 도달 가능한 지점 \(P\)는 \((3,0), (2,1), (1,2), (0,3)\)이다. 수정이가 거리 \(3\)만큼 갔을 때 도달 가능한 지점 \(Q\)는 \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\)이다. 가능한 조합 16가지에 대한 두 지점 사이의 거리는 최단경로 기준 맨해튼 거리 \(|x_P - x_Q| + |y_P - y_Q|\)로 계산된다. 이 거리는 항상 짝수값인 \(2\)\(,\)\(4\)\(,\)\(6\) 중 하나가 된다. 전체 경우의 수는 \(2^3\) \(\times\) \(2^3\) \(=\) \(64\)가지이다.

• \(X\) \(=\) \(6\) 인 경우: \(P(3\)\(,\)\(0)\) 와 \(Q(1\)\(,\)\(4)\) 사이\((\)거리 \(6)\) 또는 \(P(0\)\(,\)\(3)\) 와 \(Q(4\)\(,\)\(1)\) 사이(거리 6) 총 2가지이다. 각 경우의 확률 곱은 \(\binom{3}{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) \(\times\) \(\binom{3}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) \(=\) \(\dfrac{1}{64}\) 이므로 총 \(\dfrac{2}{64}\)이다.
• \(X\) \(=\) \(4\) 인 경우: 조합을 계산하면 총 \(12\)가지 경로가 매칭되어 확률은 \(\dfrac{12}{64}\)이다.
• \(X\) \(=\) \(2\) 인 경우: 여사건의 확률을 활용하여 \(1\) \(-\) \(\left(\dfrac{2}{64} + \dfrac{12}{64}\right)\) \(=\) \(\dfrac{50}{64}\)이다.

따라서 확률분포표는 다음과 같다.

\(X\)	2	4	6	합계
\(P(X=x)\)	\(\dfrac{50}{64}\)	\(\dfrac{12}{64}\)	\(\dfrac{2}{64}\)	\(1\)

(3) 확률분포표로부터 평균과 표준편차를 구한다. 평균(기댓값)은 \[\begin{aligned} E(X) &= 2 \cdot \frac{50}{64} + 4 \cdot \frac{12}{64} + 6 \cdot \frac{2}{64} \\ &= \frac{100 + 48 + 12}{64} = \frac{160}{64} = \frac{5}{2} \end{aligned}\] 이다. 분산은 \[\begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \left(2^2 \cdot \frac{50}{64} + 4^2 \cdot \frac{12}{64} + 6^2 \cdot \frac{2}{64}\right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\ &= \left(4 \cdot \frac{50}{64} + 16 \cdot \frac{12}{64} + 36 \cdot \frac{2}{64}\right) - \frac{25}{4} = \frac{464}{64} - \frac{400}{64} = 1 \end{aligned}\] 이다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 \[\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = 1\] 이다.