조건 (가)에서 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 f\left(\frac{1}{x}\right) = -1\) 이다. \(\frac{1}{x} = t\) 로 치환하면 \(x \to 0\) 일 때 \(t \to \infty\) 또는 \(t \to -\infty\) 이다. \[\lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{t^2} = -1\] \(f(x)\)는 다항함수이므로, (가) 조건에 의해 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(-1\)인 2차함수임을 알 수 있다. \[f(x) = -x^2 + ax + b\] 조건 (나)에서 \(\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} = f(1)\) 이다. \(x \to -1\) 일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하고 극한값이 존재하므로, 분자도 \(0\)으로 수렴해야 한다. 즉, \(f(-1) = 0\) 이다. 따라서 \(f(x)\)는 \((x+1)\)을 인수로 가지며 다음과 같이 표현된다: \[f(x) = -(x+1)(x-c)\] 이 식을 조건 (나)의 좌변에 대입하면: \[\lim_{x \to -1} \frac{-(x+1)(x-c)}{x+1} = \lim_{x \to -1} -(x-c) = 1+c\] 조건 (나)의 우변은 \(f(1) = -(1+1)(1-c) = -2(1-c) = 2c-2\) 이므로: \[1+c = 2c-2 \implies c = 3\] 따라서 구하는 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다: \[f(x) = -(x+1)(x-3) = -x^2 + 2x + 3\] 마지막으로 \(f(2)\)의 값을 계산하면: \[f(2) = -(2+1)(2-3) = -3 \times (-1) = 3\]

주어진 방정식은 \(\tan x\)에 대한 2차방정식이므로 \(\tan x = t\) 로 치환한다. \[3t^2 - 8t - 3 = 0 \implies (3t + 1)(t - 3) = 0\] 따라서 \(t = \tan x = 3\) 또는 \(\tan x = -\frac{1}{3}\) 이다. Case 1. \(\tan x = 3\) 인 경우
\(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\) 범위에서 \(\tan x > 0\) 이므로 \(x \in (0, \frac{\pi}{2})\) 이며, 이 사분면에서 \(\cos x > 0\) 이다. 삼각함수 사이의 관계 \(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\) 에 대입하면: \[\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + 3^2 = 10 \implies \cos^2 x = \frac{1}{10}\] \(\cos x > 0\) 이므로 \(\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\) 이다. Case 2. \(\tan x = -\frac{1}{3}\) 인 경우
\(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\) 범위에서 \(\tan x < 0\) 이므로 \(x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)\) (4사분면)이며, 4사분면에서 \(\cos x > 0\) 이다. 동일하게 관계식에 대입하면: \[\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{10}{9} \implies \cos^2 x = \frac{9}{10}\] \(\cos x > 0\) 이므로 \(\cos x = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}\) 이다.

따라서 구하는 모든 \(\cos x\)의 값은 \(\frac{\sqrt{10}}{10}\) 와 \(\frac{3\sqrt{10}}{10}\) 이다.

함수 \(f(x)\)가 \(x = 0\)에서만 불연속이므로, 불연속 정의에 의해 우극한과 좌극한이 달라야 한다. \[\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x + |a|) = |a|\] \[\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a\] 따라서 \(|a| \ne a\) 가 성립해야 하므로, 실수 \(a\)의 범위는 \(a < 0\) 이다. 이때 \(a < 0\) 이므로 각 구간별 방정식 \(f(x) = 0\)의 해를 조사한다. 1) \(x < 0\) 일 때: \(-x - a = 0 \implies x = -a\) 이다. 하지만 \(a < 0\) 이므로 \(-a > 0\) 이 되어 구간 조건 \(x < 0\)을 만족하지 않아 이 구간에서는 실근이 존재하지 않는다. 2) \(x \ge 0\) 일 때: \(x^2 + 3x + a = 0\) 의 근을 조사한다. \(a < 0\) 이므로 두 근의 곱이 음수(\(a < 0\))가 되어 반드시 하나의 양의 실근과 하나의 음의 실근을 갖는다. 구간 조건 \(x \ge 0\)에 의해 유일한 실근은 양의 실근이다: \[x = \frac{-3 + \sqrt{9 - 4a}}{2}\] 이 실근의 값이 5보다 작아야 하므로: \[\frac{-3 + \sqrt{9 - 4a}}{2} < 5 \implies \sqrt{9 - 4a} < 13\] 양변을 제곱하여 정리하면: \[9 - 4a < 169 \implies -4a < 160 \implies a > -40\] 따라서 정수 \(a\)의 범위는 \(-40 < a < 0\) 이다. 이 범위를 만족하는 정수 \(a\)의 최댓값은 \(-1\) 이고, 최솟값은 \(-39\) 이다.

두 교점 \(A, B\)의 \(x\)좌표를 각각 \(x_1, x_2\) (\(x_1 < x_2\))라고 하면, 두 점은 직선 \(y = x\) 위에 있으므로 좌표는 \(A(x_1, x_1)\), \(B(x_2, x_2)\) 이다. 두 점 사이의 거리 공식에 의해: \[\overline{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (x_2 - x_1)^2} = \sqrt{2(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{2}(x_2 - x_1)\] \(\overline{AB} = \sqrt{2}\) 이므로 \(x_2 - x_1 = 1 \implies x_2 = x_1 + 1\) 이다. 교점은 함수 \(y = f(x)\) 위의 점이기도 하므로 다음 방정식 시스템을 만족한다: \[2^{x_1 - a} - 6a^2 = x_1 \quad \cdots\cdots \text{①}\] \[2^{x_2 - a} - 6a^2 = x_2 \implies 2^{x_1 + 1 - a} - 6a^2 = x_1 + 1 \quad \cdots\cdots \text{②}\] ②번 식에서 ①번 식을 빼면: \[\left( 2 \cdot 2^{x_1 - a} - 6a^2 \right) - \left( 2^{x_1 - a} - 6a^2 \right) = (x_1 + 1) - x_1\] \[2^{x_1 - a} = 1 \implies x_1 - a = 0 \implies x_1 = a\] \(x_1 = a\)를 ①번 식에 대입하면: \[2^0 - 6a^2 = a \implies 1 - 6a^2 = a \implies 6a^2 + a - 1 = 0\] 이 2차방정식을 인수분해하면: \[(2a + 1)(3a - 1) = 0\] 따라서 구하는 실수 \(a\)의 값은 \(a = -\frac{1}{2}\) 또는 \(a = \frac{1}{3}\) 이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수를 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) 라고 한다. 조건 (가)에 의해 \(f(x) - g(x) = 0\) 즉, \(x^3 + ax^2 + (b-3)x + (c-1) = 0\) 은 서로 다른 세 실근 \(-\alpha, 0, \alpha\) (\(\alpha > 0\))를 가지므로 다음과 같이 인수분해된다: \[f(x) - g(x) = x(x-\alpha)(x+\alpha) = x^3 - \alpha^2 x\] 두 다항식을 비교하면: \[a = 0, \quad c - 1 = 0 \implies c = 1, \quad b - 3 = -\alpha^2 \implies \alpha^2 = 3 - b\] 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 \(\alpha^2 = 3 - b > 0 \implies b < 3\) 이어야 한다. 함수 \(y = f(x) - g(x) = x^3 - (3-b)x\) 는 원점에 대칭인 기함수이므로, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 대칭성에 의해 구간 \([0, \alpha]\)에서의 정적분의 2배가 된다: \[\begin{aligned} S &= 2\int_{0}^{\alpha} \left| x^3 - \alpha^2 x \right| dx = 2\int_{0}^{\alpha} (\alpha^2 x - x^3) dx \\ &= 2 \left[ \frac{\alpha^2}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{\alpha} = 2\left( \frac{\alpha^4}{2} - \frac{\alpha^4}{4} \right) = \frac{\alpha^4}{2} \end{aligned}\] 조건 (나)에서 이 넓이가 \(8\)이므로: \[\frac{\alpha^4}{2} = 8 \implies \alpha^4 = 16 \implies \alpha^2 = 4 \quad (\because \alpha^2 > 0)\] 따라서 \(\alpha^2 = 3 - b = 4 \implies b = -1\) 이다. 이 값은 조건 \(b < 3\)을 만족한다. 구하는 삼차함수 \(f(x)\)는 다음과 같다: \[f(x) = x^3 - x + 1\] 마지막으로 \(f(3)\)의 값을 구하면: \[f(3) = 3^3 - 3 + 1 = 27 - 3 + 1 = 25\]

함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + a\) 의 도함수를 구하면: \[f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\] \(f'(x) = 0\) 이 되는 점은 \(x = 0\) 또는 \(x = 2\) 이다. 삼차함수 \(f(x)\)는 \(x = 0\)에서 극대값 \(f(0) = a\)를 갖고, \(x = 2\)에서 극소값 \(f(2) = a - 4\)를 갖는다. 절댓값 함수 \(|f(x)|\)의 극값의 개수는 원래 함수 \(f(x)\)의 극대/극소값의 부호와 \(x\)축과의 위치 관계에 의해 결정된다. 원래 \(f(x)\)가 2개의 극값을 가지므로, 접어 올린 함수 \(|f(x)|\)가 오직 2개의 극값을 갖기 위해서는 삼차함수의 개형 상 극대값과 극소값 중 적어도 하나가 \(0\)이어야 한다. Case 1. 극대값 \(f(0) = 0\) 인 경우
\(a = 0\) 이다. 이때 \(f(x) = x^3 - 3x^2\) 이며 극소값은 \(-4\) 이다. \(x \le 0\) 에서 감소하다 극대점 \((0,0)\)에서 접한 뒤 다시 \(x=2\)까지 감소하여 극소점 \((2,-4)\)를 거쳐 증가한다. \(|f(x)|\)를 구하면 \(x=0\)에서 극소(0), \(x=2\)에서 극대(4), \(x=3\)근방의 절편에서 꺾여 뾰족한 극소(0)를 가지므로 극값은 총 3개가 되어 조건을 만족하지 않는다. (※ 실제 개형 확인 시 \(a=0\)일 때 극값은 \(x=0, 2, 3\)에서 총 3개임) Case 2. 극소값 \(f(2) = 0\) 인 경우
\(a - 4 = 0 \implies a = 4\) 이다. 이때 \(|f(x)|\)는 \(x=2\)에서 극소(0), \(x=0\)에서 극대(4), 접어 올려진 부분 \(x=-1\)에서 꺾여 뾰족한 극소(0)를 가지므로 극값이 총 3개가 된다. 조건을 만족하지 않는다. Case 3. \(f(x) = 0\)이 단 하나의 실근을 갖는 경우
극대값과 극소값이 같은 부호를 가질 때이다. 즉, \(a(a-4) > 0\) 이므로 \(a > 4\) 또는 \(a < 0\) 이다. 이 경우 \(x\)축과의 교점이 1개뿐이므로 꺾이는 점이 1개만 발생한다. 증감표 상 꺾이는 점(극소 0) 1개와 원래 극값 위치 중 접어 올려진 곳(극대 또는 극소) 1개로 총 2개의 극값만 갖게 된다. 따라서 조건을 만족하는 실수 \(a\)의 범위는 \(a > 4\) 또는 \(a < 0\) 이다.