(1) 원 \(C : x^2 + (y-r)^2 = r^2\)에서 \(y \le r\)인 아랫부분을 함수로 표현하면 \(g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}\) 이다.
새로운 함수 \(h(x) = f(x) - g(x)\)를 정의하자. \(f(x)\)와 \(g(x)\) 모두 구간 \([0, r]\)에서 연속이고 미분가능하므로 \(h(x)\) 또한 연속이자 미분가능한 함수이다.
조건 (다)에 의해 \(h(r) = f(r) - g(r) = f(r) - r < 0\) 이다. 만약 \(0 < x < r\)인 모든 실수 \(x\)에 대해 \(h(x) \le 0\)이라고 가정하자.
이때 \(h(0) = f(0) - g(0) = 0 - 0 = 0\)이므로, \(x \to 0^+\)일 때의 우미분계수는 다음과 같다.
\[h'(0) = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t) - h(0)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t)}{t} \le 0\]
그러나 실제로 미분계수를 계산하면 다음과 같다.
\[h'(0) = f'(0) - g'(0) = 1 - \left. \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right|_{x=0} = 1 - 0 = 1 > 0\]
이는 \(h'(0) \le 0\)이라는 사실과 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 \(h(c) > 0\)을 만족하는 실수 \(c\)가 열린구간 \((0, r)\)에 적어도 하나 존재해야 한다.
함수 \(h(x)\)는 닫힌구간 \([c, r]\)에서 연속이고 \(h(c) > 0\), \(h(r) < 0\)이므로, 사잇값의 정리에 의해 \(h(x) = 0\)을 만족하는 \(x\)가 열린구간 \((c, r) \subset (0, r)\)에 적어도 하나 존재한다.
즉, 원 \(C\)와 곡선 \(y = f(x)\)는 \(0 < x < r\)에서 적어도 하나의 교점을 가진다.
(2) 교점 \(P(t, f(t))\)는 원 \(C\) 위의 점이므로 원의 방정식에 대입할 수 있다.
\[\begin{aligned} t^2 + \left(f(t) - r(t)\right)^2 = \left(r(t)\right)^2 \implies t^2 + \{f(t)\}^2 - 2f(t)r(t) + \{r(t)\}^2 \\ = \{r(t)\}^2 \end{aligned}\]
이를 식 정리하면 \(2f(t)r(t) = t^2 + \{f(t)\}^2\)이다. 교점 \(P\)의 \(x\)좌표가 \(0 < t < r\)이므로 \(f(t) > 0\)이다. 따라서 구하는 함수 \(r(t)\)는 다음과 같다.
\[r(t) = \mathbf{\frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2f(t)}}\]
(3) 소문항 (2)에서 구한 \(r(t)\)를 이용하여 극한을 구한다.
\[\begin{aligned} \lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2tf(t)} \\ = \lim_{t\to0^+} \frac{1}{2}\left(\frac{t}{f(t)} + \frac{f(t)}{t}\right) \end{aligned}\]
함수 \(f(x)\)가 미분가능하고 \(f(0) = 0, f'(0) = 1\)이므로 \(\lim_{t\to0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(0) = 1\)이고, 역수의 극한인 \(\lim_{t\to0^+} \frac{t}{f(t)} = \frac{1}{f'(0)} = 1\)이다.
따라서 구하는 극한값은 다음과 같다.
\[\lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \frac{1}{2}(1 + 1) = \mathbf{1}\]
(1) 다항함수 \(g(x)\)의 최고차항을 \(ax^n\) (\(a \neq 0\))이라 하자.
조건 (가)에 의해 \(f(x) = x^3 - 3x\)이므로, \(\{f(x)\}^2\)의 최고차항은 \(x^6\)이다. 한편, 피적분함수 \(f(t)g(t)\)의 최고차항은 \(at^{n+3}\)이므로 이의 적분인 \(\int_{0}^{x} f(t)g(t) dt\)의 최고차항은 \(\frac{a}{n+4}x^{n+4}\)이다.
조건 (나)의 극한값이 \(\frac{1}{3}\)로 수렴하므로 두 다항식의 차수는 동일해야 한다. 즉, \(n+4 = 6 \implies n = 2\)이다.
계수 비교를 하면 \(\frac{a}{6} = \frac{1}{3} \implies a = 2\)이다. 조건 (다)에 의해 \(g(0) = 0\)이므로, \(g(x) = 2x^2 + bx\) (\(b\)는 상수)로 둘 수가 있다.
이때 \(h(x) = x^2 - g(x) = -x^2 - bx\) 이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이므로, 축의 방정식은 \(x = -\frac{b}{2}\)이다.
구간 \([1, 3]\)에서의 최솟값을 확인하기 위해 축의 위치에 따른 케이스를 나눈다.
① 축 \(x = -\frac{b}{2} < 2\) (즉, \(b > -4\))인 경우, 이차함수의 대칭성에 의해 최솟값은 \(x = 3\)에서 발생한다.
\[h(3) = -9 - 3b = 4 \implies 3b = -13 \implies b = -\frac{13}{3}\]
가정인 \(b > -4\)를 만족하지 않으므로 모순이다.
② 축 \(x = -\frac{b}{2} \ge 2\) (즉, \(b \le -4\))인 경우, 최솟값은 \(x = 1\)에서 발생한다.
\[h(1) = -1 - b = 4 \implies b = -5\]
가정인 \(b \le -4\)를 만족하므로 모순이 없으며 성립한다. 따라서 구하는 다항함수는 \(\mathbf{g(x) = 2x^2 - 5x}\)이다.
(3) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x) + kx\)가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나기 위해서는 방정식 \(f(x) - g(x) - kx = 0\)이 중근 하나와 다른 실근 하나(총 2개의 서로 다른 실근)를 가져야 한다.
\[f(x) - g(x) - kx = x^3 - 3x - (2x^2 - 5x) - kx = x^3 - 2x^2 + (2-k)x = 0\]
인수분해를 하면 \(x\left(x^2 - 2x + 2 - k\right) = 0\) 이다. 근 중 하나는 항상 \(x=0\)이므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.
Case 1: 이차방정식 \(x^2 - 2x + 2 - k = 0\)이 \(0\)이 아닌 중근을 갖는 경우
판별식이 \(0\)이어야 하므로 \(\frac{D}{4} = 1 - (2 - k) = 0 \implies k = 1\)이다.
이때 이차방정식은 \(x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0\)이 되어 \(x=1(\text{중근})\)을 가지며, \(0\)이 아니므로 성립한다.
이때의 연립방정식은 \(x(x-1)^2 = x^3 - 2x^2 + x = 0\)이며, 두 곡선 사이의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} S = \int_{0}^{1} |x^3 - 2x^2 + x| dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} \\ = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{12}} \end{aligned}\]
Case 2: 이차방정식 \(x^2 - 2x + 2 - k = 0\)이 \(x=0\)을 하나의 근으로 갖는 경우
\(x=0\)을 대입하면 \(2-k = 0 \implies k = 2\)이다.
이때 삼차방정식은 \(x^2(x-2) = 0\)이 되므로, \(x=0(\text{중근})\)과 \(x=2\)를 근으로 가져 서로 다른 2개의 실근 조건을 만족한다.
이때 두 곡선 사이의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} S = \int_{0}^{2} |x^3 - 2x^2| dx = \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} \\ = \frac{16}{3} - 4 = \mathbf{\frac{4}{3}} \end{aligned}\]
따라서 만족하는 상수 \(k\)의 값은 \(\mathbf{k=1, 2}\)이며, 둘러싸인 도형의 넓이는 각각 \(\mathbf{k=1}\)일 때 \(\mathbf{\frac{1}{12}}\), \(\mathbf{k=2}\)일 때 \(\mathbf{\frac{4}{3}}\)이다.
(1) \(0 < x < \frac{\pi}{2}\)일 때, 반지름의 길이가 \(1\)이고 중심각의 크기가 \(x\)인 부채꼴 \(OAB\)를 좌표평면 위에 두자.
이때 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\sin x\), 부채꼴 \(OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}x\), 점 \(A\)에서의 접선과 \(OB\)의 연장선이 만나는 점을 \(T\)라 할 때 삼각형 \(OAT\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\tan x\)이다.
기하학적 대소관계에 의해 다음이 성립한다.
\[\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x \implies \sin x < x < \tan x\]
이때 \(\sin x > 0\)이므로 부등식의 세 항을 \(\sin x\)로 나누면 다음과 같다.
\[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\]
각 항의 역수를 취하면 \(\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\) 이다. \(\lim_{x\to0^+} \cos x = 1\)이므로, 샌드위치 정리(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\)이다.
음의 실수 영역인 \(-\frac{\pi}{2} < x < 0\)에 대해서는 \(x = -t\) (\(t > 0\))로 치환하면 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{t\to0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-t} \\ = \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} = 1 \end{aligned}\]
따라서 우극한과 좌극한이 같으므로 \(\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1\) 이 증명된다.
(2) 원 \(C\)의 \(2n\)개의 꼭지점 \(P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}\)에 대해 인접한 두 점과 원점 \(O\)가 이루는 꼭지각들을 계산하자.
- \(k = 2m\) (짝수)일 때, \(\angle P_0 O P_{2m} = \frac{2m}{n}\pi = \frac{6m}{3n}\pi\)이다.
- \(k = 2m+1\) (홀수)일 때, \(\angle P_0 O P_{2m+1} = \frac{3(2m+1)-1}{3n}\pi = \frac{6m+2}{3n}\pi\)이다.
따라서 꼭지각들의 크기는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \angle P_{2m} O P_{2m+1} = \angle P_0 O P_{2m+1} - \angle P_0 O P_{2m} \\ = \frac{6m+2}{3n}\pi - \frac{6m}{3n}\pi = \frac{2\pi}{3n} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \angle P_{2m+1} O P_{2m+2} = \angle P_0 O P_{2m+2} - \angle P_0 O P_{2m+1} \\ = \frac{6m+6}{3n}\pi - \frac{6m+2}{3n}\pi = \frac{4\pi}{3n} \end{aligned}\]
원 \(C\)의 반지름이 \(1\)이므로 이웃한 점들로 쪼개진 \(2n\)개의 삼각형의 넓이의 합 \(S(n)\)은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} S(n) = n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{2\pi}{3n} \right) + n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{4\pi}{3n} \right) \\ = \mathbf{\frac{n}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3n} + \sin \frac{4\pi}{3n} \right)} \end{aligned}\]
이제 \(N = 2026^n\)이라 하면 \(n \to \infty\) 일 때 \(N \to \infty\) 이므로 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} S(2026^n) = \lim_{N\to\infty} \frac{N}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3N} \\ + \sin \frac{4\pi}{3N} \right) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} = \lim_{N\to\infty} \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{3N}}{\frac{2\pi}{3N}} + \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{4\pi}{3N}}{\frac{4\pi}{3N}} \right) \\ = \frac{\pi}{3} \cdot 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \mathbf{\pi} \end{aligned}\]
(1) 곡선 \(y = e^{-x}\) 위의 접점의 좌표를 \(P(c, e^{-c})\)라 하자. \(y' = -e^{-x}\)이므로 점 \(P\)에서의 접선의 기울기는 \(-e^{-c}\)이다. 접선의 방정식은 다음과 같다.
\[y - e^{-c} = -e^{-c}(x - c) \implies y = -e^{-c}(x - c) + e^{-c}\]
이 접선이 점 \((n, 0)\)을 지나므로 다음이 성립한다.
\[0 = -e^{-c}(n - c) + e^{-c} \implies e^{-c}(c - n + 1) = 0\]
\(e^{-c} \neq 0\)이므로 \(c = n - 1\)이다. 따라서 접점의 좌표는 \(\mathbf{P(n-1, e^{1-n})}\)이고, 접선의 방정식은 \(\mathbf{y = -e^{1-n}(x - n)}\)이다.
(3) 점 \(P(n-1, e^{1-n})\)을 지나고 접선 \(l\)에 수직인 직선의 기울기는 \(e^{n-1}\)이므로 그 방정식은 다음과 같다.
\[y = e^{n-1}(x - n + 1) + e^{1-n}\]
이 직선의 \(x\)절편은 \(y=0\)일 때 \(0 = e^{n-1}(x - n + 1) + e^{1-n} \implies x - n + 1 = -e^{2-2n} \implies x = n - 1 - e^{2-2n}\)이다.
둘러싸인 직각삼각형의 밑변의 길이는 \((n-1) - (n-1-e^{2-2n}) = e^{2-2n}\)이고, 높이는 \(e^{1-n}\)이므로 넓이 \(b_n\)은 다음과 같다.
\[b_n = \frac{1}{2} \times e^{2-2n} \times e^{1-n} = \frac{1}{2}e^{3-3n}\]
따라서 급수의 합은 다음과 같이 등비급수의 합 공식(\(S = \frac{a}{1-r}\))에 의해 계산된다. (첫째항 \(b_1 = \frac{1}{2}\), 공비 \(r = e^{-3}\))
\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-3n} \\ = \frac{1/2}{1 - e^{-3}} = \mathbf{\frac{e^3}{2(e^3 - 1)}} \end{aligned}\]
(1) \(0 < t \le \frac{\sqrt{3}}{2}\)인 경우: 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형은 마름모이고, 이 마름모는 2개의 높이가 \(\frac{\sqrt{3}}{2}t\)인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는
\[S(t) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2\]
이다. \(\frac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\)인 경우: 육각형 \(KLMNOP\)의 넓이를 두 사다리꼴의 합으로 구하면
\[S(t) = -\sqrt{3}t^2 + 3t - \frac{\sqrt{3}}{4}\]
이다. 따라서
\[\begin{aligned} S(t) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2 & \left(0 < t \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ -\sqrt{3}t^2 \\ + 3t - \dfrac{\sqrt{3}}{4} & \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\right) \end{cases} \end{aligned}\]
이다.
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\)에서 \(S'(t) = -2\sqrt{3}t + 3 = 0 \implies t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)일 때 극댓값 \(S\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{8}\)을 갖는다. 따라서 함수의 최댓값은 \(\dfrac{3}{8}\)이다.
이때 6개의 삼각형 MFN, NBO, ODP, PCK, KEL, LAM은 모두 높이가 \(\frac{1}{2}\)인 정삼각형이므로 도형은 한 변의 길이가 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)인 정육각형이다. 따라서 둘레의 길이는 \(2\sqrt{3}\)이다.
(3) 한 변의 길이가 \(1\)인 정육각형의 넓이는 \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)이다. \(\overline{A_1B_1} = 1\)이므로 \(\overline{A_2B_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)이다.
\(S_1\)은 한 변의 길이가 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)인 정삼각형 6개의 넓이의 합이므로 \(S_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.
\(S_n\)은 수열이고 공비가 \(\frac{1}{3}\)인 등비수열이므로
\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{S_1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{3}} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\]
이다.
(1) 직선 \(y = nx\) 위의 점 \(P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)\)에 대하여 삼각형 \(OPQ\)는 직각삼각형이므로
\[\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\]
이다.
(1) 직선 \(y = nx\) 위의 점 \(P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)\)에 대하여 삼각형 \(OPQ\)는 직각삼각형이므로
\[\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\]
이다.
(1) 직선 \(y = nx\) 위의 점 \(P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)\)에 대하여 삼각형 \(OPQ\)는 직각삼각형이므로
\[\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\]
이다.
(1) 직선 \(y = nx\) 위의 점 \(P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)\)에 대하여 삼각형 \(OPQ\)는 직각삼각형이므로
\[\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\]
이다.
\(\text{aaa??}\), \(\text{?aaa?}\), \(\text{??aaa}\) (세 번 연속): 각 위치에서 \(a \neq \text{앞뒤}\) 조건 적용하면 \(3 \times 9 \times 9 = 243\), 단 겹치는 \(\text{aaaa?}\), \(\text{?aaaa}\) 제거 필요
\(\text{aaaa?}\), \(\text{?aaaa}\) (네 번 연속): \(2 \times 9\)가지
(1) 조건 (가)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\} = -1\) 이므로, \(f(x)\)는 최고차항이 \(x^3\)이고 이차항의 계수가 \(-1\)인 다항함수이다. 따라서
\[f(x) = x^3 - x^2 + bx + c\]
로 둘 수 있다. 조건 (나)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{4}\) 이므로 분모가 \(0\)으로 갈 때 극한값이 존재하므로 분자 \(f(0) = 0 \R\rightarrow c = 0\) 이다. 또한
\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = \frac{1}{4} \R\rightarrow b = \frac{1}{4}\]
이다. 따라서 구하고자 하는 다항함수는
\[f(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{4}x\]
이다.
(3) 변곡점 대칭성에 의해 \(g(x) = \dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{1}{3}-x\right) + f\left(\dfrac{1}{3}+x\right)\right\} = f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{108}\) (상수함수)이다.
따라서 방정식 \(|f(x) - g(x)| = k\)는 \(\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right| = k\)의 실근 개수 \(p(k)\)를 구하는 것이다.
\(y = \left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|\)의 그래프는 극대점이 \(\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{108}\right)\), 극소점이 \(\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{108}\right)\)인 곡선을 \(y\)축 방향으로 \(-\dfrac{1}{108}\)만큼 평행이동한 후 접어 올린 형태이다.
따라서 접어 올린 후의 극대 높이는 \(\dfrac{1}{108}\)이다.
\(k < 0\): \(p(k) = 0\)
\(k = 0\): 극댓값/극솟값이 \(0\)이 되므로 만나는 점 \(p(0) = 3\)
\(0 < k < \dfrac{1}{108}\): 접어 올려져서 골짜기 사이로 가므로 \(p(k) = 6\)
\(k = \dfrac{1}{108}\): 원래의 변곡점 높이 및 접힌 극대들과 만나므로 \(p(k) = 4\)
\(k > \dfrac{1}{108}\): 위쪽 두 날개에서만 만나므로 \(p(k) = 2\)
따라서 \(p(k)\)가 불연속인 \(k\)의 값은 \(\mathbf{0}\)과 \(\mathbf{\dfrac{1}{108}}\)이다.
(1) \(H(1) = \int_0^1 f'(x)g(2-x)\,dx - \int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx\) 이다.
두 번째 적분에서 \(2-x = u\)로 치환하면 \(dx = -du\)이고 구간은 \([1, 2] \to [1, 0]\)이 되므로
\[\int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx = \int_0^1 g'(2-u)f(u)\,du\]
가 된다. 따라서 \(H(1)\)은 다음과 같이 하나의 구간 \([0, 1]\)에서의 정적분으로 합칠 수 있다.
\[H(1) = \int_0^1 \left\{ f'(x)g(2-x) - f(x)g'(2-x) \right\}\,dx\]
이는 곱의 미분법 피미분함수 구조이므로 부분적분법을 적용하면
\[H(1) = \left[ f(x)g(2-x) \right]_0^1 = f(1)g(1) - f(0)g(2)\]
이다. 주어진 값 \(f(0)=1, f(1)=2, g(1)=5, g(2)=-1\)을 대입하면
\[H(1) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1) = 11\]
이다.
(2) (1)과 동일하게 \(2n-x = u\)로 치환적분을 적용하면 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[H(n) = \left[ f(x)g(2n-x) \right]_0^n = f(n)g(n) - f(0)g(2n)\]
이 성립한다. 여기에 \(f(x) = a^x\), \(g(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\)를 대입하면 \(f(0) = 1\)이므로
\[H(n) = a^n \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\]
가 된다.
(1) 원 \(C\)의 중심은 \(A(0,1)\)이고 원점을 지나므로 반지름은 \(1\)이다. 따라서 원의 방정식은 \(x^2 + (y-1)^2 = 1\)이다.
\(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 점 \(P_1\)의 좌표는 \(\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)이다.
이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 \(AP_1\)의 기울기인 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)과 수직이므로 \(\sqrt{3}\)이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1\) 이다.
곡선 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)는 \(y\)축 대칭이므로 \(b = 0\)이다. \(P_1\)에서의 미분계수 \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1\) 이다.
점 \(P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)을 지나므로 \(\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}\) 이다.
따라서 구하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}\) 이다.
(2) 두 접선의 교점 \(Q\)의 좌표는 두 접선 \(y = \sqrt{3}x-1\)과 \(y = -\sqrt{3}x-1\)의 교점이므로 \(Q(0,-1)\)이다.
구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다.
사각형 \(AP_2QP_1\)의 넓이는 삼각형 \(AP_1Q\) 넓이의 2배이며, 이는 \(\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)이다.
부채꼴 \(AP_2P_1\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\)이다.
곡선 \(y = x^2 - \dfrac{1}{4}\)과 두 접선 \(y = \pm\sqrt{3}x-1\) 사이의 넓이는 대칭성에 의해
\[\begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\]
이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는
\[\begin{aligned} S = (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned}\]
이다.
(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다.
작은 원의 반지름을 \(r_1\)이라 하면, 접선과의 관계에서 \(r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)가 유도된다.
큰 원의 반지름을 \(r_2\)라 하면, 동일한 방법으로 \(r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\)가 유도된다.
주어진 조건 \(\dfrac{r_2}{r_1} = 4\)이므로
\[\begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4 \end{aligned}\]
\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos\theta > 0\)이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면
\[\begin{aligned} \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta \\ = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1 \end{aligned}\]
이므로 구하고자 하는 값은 \(\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)이다.
(1) 원 \(C\)의 중심은 \(A(0,1)\)이고 원점을 지나므로 반지름은 \(1\)이다. 따라서 원의 방정식은 \(x^2 + (y-1)^2 = 1\)이다.
\(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 점 \(P_1\)의 좌표는 \(\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)이다.
이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 \(AP_1\)의 기울기인 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)과 수직이므로 \(\sqrt{3}\)이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1\) 이다.
곡선 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)는 \(y\)축 대칭이므로 \(b = 0\)이다. \(P_1\)에서의 미분계수 \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1\) 이다.
점 \(P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)을 지나므로 \(\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}\) 이다.
따라서 구하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}\) 이다.
(2) 두 접선의 교점 \(Q\)의 좌표는 두 접선 \(y = \sqrt{3}x-1\)과 \(y = -\sqrt{3}x-1\)의 교점이므로 \(Q(0,-1)\)이다.
구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다.
사각형 \(AP_2QP_1\)의 넓이는 삼각형 \(AP_1Q\) 넓이의 2배이며, 이는 \(\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)이다.
부채꼴 \(AP_2P_1\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\)이다.
곡선 \(y = x^2 - \dfrac{1}{4}\)과 두 접선 \(y = \pm\sqrt{3}x-1\) 사이의 넓이는 대칭성에 의해
\[\begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\]
이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는
\[\begin{aligned} S = (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned}\]
이다.
(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다.
작은 원의 반지름을 \(r_1\)이라 하면, 접선과의 관계에서 \(r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)가 유도된다.
큰 원의 반지름을 \(r_2\)라 하면, 동일한 방법으로 \(r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\)가 유도된다.
주어진 조건 \(\dfrac{r_2}{r_1} = 4\)이므로
\[\begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4 \end{aligned}\]
\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos\theta > 0\)이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면
\[\begin{aligned} \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta \\ = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1 \end{aligned}\]
이므로 구하고자 하는 값은 \(\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
(1) 점 \(P_1\)의 좌표와 원의 접선의 방정식을 구하고, 이차함수의 계수를 찾아 \(f(x) = x^2 - \frac{1}{4}\)을 정확히 구함
8점
(2) 사각형, 부채꼴, 접선과 곡선 사이의 정적분 넓이를 각각 계산하여 최종 면적 \(\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3}\)를 도출함
10점
(3) 접선에 외접하는 두 원의 기하학적 비례식을 통해 반지름의 비가 \(\cos\theta\)의 식으로 나타남을 보이고, \(\cos\theta = \frac{1}{3}\)을 정확히 계산함
(1) 원 \(C\)의 중심은 \(A(0,1)\)이고 원점을 지나므로 반지름은 \(1\)이다. 따라서 원의 방정식은 \(x^2 + (y-1)^2 = 1\)이다.
\(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 점 \(P_1\)의 좌표는 \(\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)이다.
이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 \(AP_1\)의 기울기인 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)과 수직이므로 \(\sqrt{3}\)이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1\) 이다.
곡선 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)는 \(y\)축 대칭이므로 \(b = 0\)이다. \(P_1\)에서의 미분계수 \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1\) 이다.
점 \(P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)을 지나므로 \(\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}\) 이다.
따라서 구하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}\) 이다.
(2) 두 접선의 교점 \(Q\)의 좌표는 두 접선 \(y = \sqrt{3}x-1\)과 \(y = -\sqrt{3}x-1\)의 교점이므로 \(Q(0,-1)\)이다.
구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다.
사각형 \(AP_2QP_1\)의 넓이는 삼각형 \(AP_1Q\) 넓이의 2배이며, 이는 \(\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)이다.
부채꼴 \(AP_2P_1\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\)이다.
곡선 \(y = x^2 - \dfrac{1}{4}\)과 두 접선 \(y = \pm\sqrt{3}x-1\) 사이의 넓이는 대칭성에 의해
\[\begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\]
이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는
\[\begin{aligned} S = (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned}\]
이다.
(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다.
작은 원의 반지름을 \(r_1\)이라 하면, 접선과의 관계에서 \(r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)가 유도된다.
큰 원의 반지름을 \(r_2\)라 하면, 동일한 방법으로 \(r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\)가 유도된다.
주어진 조건 \(\dfrac{r_2}{r_1} = 4\)이므로
\[\begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4 \end{aligned}\]
\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos\theta > 0\)이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면
\[\begin{aligned} \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta \\ = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1 \end{aligned}\]
이므로 구하고자 하는 값은 \(\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)이다.
(1) 주어진 조건 (가)로부터 \(f(0+2) = f(0) + 2\)이므로 \(f(2) = f(0) + 2\)이다.
또 (가)로부터 \(f(2) = f(0) + 2\)이고, (나)로부터 \(f(-0) = -f(0)\)이므로 \(f(0) = 0\)이다.
따라서 \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2\)이다. 또 (나)에서 \(f(-x) = -f(x)\)이므로 \(f(-2) = -2\)이고
\(f(0) = f(2) - 2 = 0\)이다.
즉 \(f(0) = 0\)이고 \(f(2) = 2\)이므로 롤의 정리에 의하여 \(f'(x) = 1\)의 근이 열린구간 \((0, 2)\)에 하나 이상 존재한다.
또, 조건 (나)에서 \(f(-x) = -f(x)\)를 미분하면 \(-f'(-x) = -f'(x)\)이므로 \(f'(-x) = f'(x)\), 즉 \(f'\)은 우함수이다. 따라서 \(f'(0) = f'(0)\)은 자명하고, 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 \(f(-1) = -f(1)\)이고 롤의 정리를 다시 적용하면 두 개 이상의 근이 존재함을 알 수 있다.
