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수리논술 킬러 25제 마스터북

$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1} x (-\cos x)' dx = [-\sin^{n-1} x \cos x]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$이므로 $I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n \implies n I_n = (n-1)I_{n-2} \implies I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$.
따라서 $I_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \frac{\pi}{2}$, $I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdots\frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}$이다.

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$에서 $0 \le \sin x \le 1$이므로 $\sin^{2n+1} x \le \sin^{2n} x \le \sin^{2n-1} x$이다.
각 항을 $[0, \frac{\pi}{2}]$에서 정적분하면 $I_{2n+1} \le I_{2n} \le I_{2n-1}$이다.
양변을 $I_{2n+1}$로 나누면 $1 \le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n}$이다.
$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n}) = 1$이므로 조임정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1$이다.

$\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{(2n)!\frac{\pi}{2}}{(2^n n!)^2} \cdot \frac{(2n+1)!}{(2^n n!)^2} = \frac{(2n)!(2n)!(2n+1)\pi}{2 (2^n n!)^4} = \frac{2n+1}{2n} \cdot \pi \cdot \left[ \frac{(2n)!\sqrt{n}}{(2^n n!)^2} \right]^2 \cdot \frac{1}{2}$
따라서 $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!\sqrt{n}} \right]^2 = \pi$가 성립하며, 모든 항이 양수이므로 제곱근을 취하면 $\lim_{n \to \infty} \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!\sqrt{n}} = \sqrt{\pi}$가 증명된다.

$f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$, $f''(x) = (-4x)(e^{-x^2}) + (1-2x^2)(-2x)e^{-x^2} = 2x(2x^2 - 3)e^{-x^2}$.
$f'(x) = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2}$에서 극댓값 $\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$를 갖는다.
$f''(x) = 0 \implies x = 0$ 또는 $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ (양수 변곡점). 변곡점 좌표는 $(0, 0)$, $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}e^{-3/2})$이다.

$x_0 = \frac{\sqrt{6}}{2}$에서 $f'(x_0) = (1 - 2\cdot\frac{6}{4})e^{-3/2} = -2e^{-3/2}$이다.
접선 방정식: $g(x) = -2e^{-3/2}(x - \frac{\sqrt{6}}{2}) + \frac{\sqrt{6}}{2}e^{-3/2} = e^{-3/2}(-2x + \frac{3\sqrt{6}}{2})$.
$[0, \frac{\sqrt{6}}{2})$에서 $f''(x) < 0$이므로 곡선은 위로 볼록(concave)하다.
따라서 위로 볼록인 구간에서 곡선은 접선 아래에 위치하므로 $f(x) \le g(x)$가 성립한다.

참값: $\int_0^1 x e^{-x^2} dx = [-\frac{1}{2}e^{-x^2}]_0^1 = \frac{1 - e^{-1}}{2} = \frac{e-1}{2e}$.
$t = x^2$으로 치환하면 $\int_0^1 x(1-x^2)dx \le \int_0^1 x e^{-x^2} dx \le \int_0^1 x(1-x^2+\frac{x^4}{2})dx$.
좌변: $[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{1}{4} = 0.25$.
우변: $[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{12}]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
실제 참값 $\frac{e-1}{2e} \approx 0.316$이므로 $0.25 \le \int_0^1 f(x)dx \le 0.333$의 정밀한 상·하계가 성립한다.

초점 $F(c, 0)$을 원점으로 하는 극좌표계 $(r, \alpha)$를 도입하자.
$x = c + r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$를 타원 준선 정의 $r = e(d - r\cos\alpha)$에 대입하면 $r(1 + e\cos\alpha) = ed = \frac{b^2}{a}$이다.
따라서 초점현의 점 $P$에 대하여 $|PF| = r(\alpha) = \frac{b^2/a}{1 + e\cos\alpha}$이다.
직선 위의 반대편 점 $Q$는 각도가 $\alpha + \pi$이므로 $|QF| = r(\alpha + \pi) = \frac{b^2/a}{1 + e\cos(\alpha+\pi)} = \frac{b^2/a}{1 - e\cos\alpha}$이다.

두 역수의 합을 계산하면:
$\frac{1}{|PF|} + \frac{1}{|QF|} = \frac{1 + e\cos\alpha}{b^2/a} + \frac{1 - e\cos\alpha}{b^2/a} = \frac{2}{b^2/a} = \frac{2a}{b^2}$.
이는 각도 $\alpha$ 및 직선의 기울기 $m = \tan\alpha$에 무관하게 항상 일정한 상수 $\frac{2a}{b^2}$이다.
즉, 초점현의 두 분할 길이는 조화평균이 $\frac{b^2}{a}$로 일정함이 증명된다.

점 $T(a\cos\theta, b\sin\theta)$에서의 접선의 방정식: $\frac{x\cos\theta}{a} + \frac{y\sin\theta}{b} = 1$.
$x$절편 $A(\frac{a}{\cos\theta}, 0)$, $y$절편 $B(0, \frac{b}{\sin\theta})$.
$|AB|^2 = \frac{a^2}{\cos^2\theta} + \frac{b^2}{\sin^2\theta} = a^2(1 + \tan^2\theta) + b^2(1 + \cot^2\theta) = a^2 + b^2 + a^2\tan^2\theta + b^2\cot^2\theta$.
산술-기하 평균 부등식에 의해 $a^2\tan^2\theta + b^2\cot^2\theta \ge 2\sqrt{a^2 b^2} = 2ab$.
등호 성립 조건: $a\tan\theta = b\cot\theta \implies \tan^2\theta = \frac{b}{a} \implies \tan\theta = \sqrt{\frac{b}{a}}$.
따라서 $|AB|^2$의 최솟값은 $a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$이므로, $|AB|$의 최솟값은 $a+b$이다.

$x^3 + y^3 - 3axy = 0$을 $x$에 대해 미분:
$3x^2 + 3y^2 y' - 3a(y + x y') = 0 \implies (y^2 - ax)y' = ay - x^2 \implies y' = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$.
수평접선 조건: $y' = 0 \implies ay - x^2 = 0 \implies y = \frac{x^2}{a}$.
곡선 방정식에 대입: $x^3 + \frac{x^6}{a^3} - 3a x \frac{x^2}{a} = 0 \implies x^3 + \frac{x^6}{a^3} - 3x^3 = 0 \implies \frac{x^6}{a^3} = 2x^3$.
$x > 0$이므로 $x^3 = 2a^3 \implies x = a\sqrt[3]{2}$, $y = \frac{a^2 2^{2/3}}{a} = a\sqrt[3]{4}$. 좌표: $(a\sqrt[3]{2}, a\sqrt[3]{4})$.

$y = tx$를 대입하면 $x^3 + t^3 x^3 - 3a t x^2 = 0 \implies x^3(1+t^3) = 3at x^2$.
$x \ne 0$일 때 $x(t) = \frac{3at}{1+t^3}$, $y(t) = tx(t) = \frac{3at^2}{1+t^3}$.
제1사분면의 루프는 원점 $(0,0)$에서 $t=0$으로 출발하여 $t \to \infty$에서 다시 원점으로 돌아온다.

그린 정리 또는 매개변수 면적 공식: $S = \frac{1}{2}\int_0^\infty (x y' - y x') dt = \frac{1}{2}\int_0^\infty x^2 \left(\frac{y}{x}\right)' dt = \frac{1}{2}\int_0^\infty x(t)^2 dt$.
$S = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{9a^2 t^2}{(1+t^3)^2} dt = \frac{9a^2}{2} \int_0^\infty \frac{t^2}{(1+t^3)^2} dt$.
$u = 1+t^3$으로 치환하면 $du = 3t^2 dt$이며, $t=0 \to u=1$, $t \to \infty \to u \to \infty$이다.
$S = \frac{9a^2}{2} \int_1^\infty \frac{1}{u^2} \frac{du}{3} = \frac{3a^2}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_1^\infty = \frac{3a^2}{2} (0 - (-1)) = \frac{3}{2}a^2$.

정사면체의 한 꼭짓점을 원점에 두고 대칭축을 설정하면, 외접구의 중심은 높이를 $3:1$로 내분하는 점이다.
한 모서리가 $a$인 정사면체의 높이 $h = \sqrt{a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}a$.
외접구 반지름 $R = \frac{3}{4}h = \frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{4}a \implies a = \frac{4}{\sqrt{6}}R = \frac{2\sqrt{6}}{3}R$.

정사면체의 네 꼭짓점 좌표를 다음과 같이 설정할 수 있다:
$A(1, 1, 1), B(1, -1, -1), C(-1, 1, -1), D(-1, -1, 1)$. (모서리 길이 $2\sqrt{2}$)
면 $ABC$의 법선벡터와 면 $BCD$의 법선벡터의 내적을 취하면 $\cos(\pi - \theta) = -\frac{1}{3} \implies \cos\theta = \frac{1}{3}$이 증명된다.

꼭짓점 $A$를 지나는 평면이 마주보는 모서리 $BC$의 중점 $M$을 지날 때 대칭적인 이등변삼각형 단면이 형성된다.
정사영 면적비 공식에 의해 평면이 한 모서리를 포함하고 마주보는 모서리를 이등분할 때 단면적이 극대화된다.
최대 단면은 꼭짓점 $A$와 밑면의 모서리 $BC$를 포함하는 면이며, 이는 정삼각형 면적이므로 $S_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{8}{3}R^2) = \frac{2\sqrt{3}}{3}R^2$이다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 코시 평균값 정리 기반 로피탈 정리 엄밀 증명 및 무한소 극한의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 제센(Jensen) 부등식을 이용한 산술-기하-조화 평균 부등식의 확장 증명의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 사이클로이드(Cycloid) 매개변수 곡선의 호의 길이 및 회전체 체적 계산의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 공간벡터 내적과 코시-슈바르츠 부등식을 이용한 사면체 내·외접구 반지름비의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 로지스틱(Logistic) 미분방정식 해곡선의 변곡점 위치 및 극한 수렴성의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 가우스 적분 $\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$의 이중적분 극좌표 변환 원리의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 쌍곡선 접선과 두 점근선의 교점이 이루는 삼각형 넓이의 불변성 증명의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 평균값 정리를 이용한 수열 $x_{n+1} = \cos(x_n)$의 축약사상 및 유일 수렴점 증명의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 세 평면이 이루는 입체각 및 법선벡터 연립방정식을 통한 공통수선 도출의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 디리클레 적분 $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$의 구간 분할 및 조임정리의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 포물선의 광학적 성질: 초점을 지나는 광선의 반사광 평행성 벡터 증명의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 오일러-마스케로니 수열 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n$의 단조감소 및 유계성 증명의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 구면삼각법 코사인 법칙 유도 및 구면 위 두 점 사이의 대원호 최단경로의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 역함수의 2계도함수 공식 도출 및 변곡점 보존성에 관한 엄밀 논증의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 타원체에 접하는 접평면과 3개 좌표평면 사이 삼각뿔 부피의 극솟값의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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출제 대학의 채점 기준에 따라 테일러 정리의 적분 나머지 항 $R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n dt$ 유도의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 원과 이차곡선의 공통접선 개수 판별 및 4차 다항식 판별식 분석의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 꼬인 위치에 있는 두 공간직선의 최단거리 및 공통수선 방향벡터 방정식의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 스털링(Stirling) 근사식 도출 원리 및 팩토리얼 무한급수 극한 판정의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

구하고자 하는 최종 극한값, 최댓값/최솟값 또는 증명 명제를 명문화하고, 대학교 채점관의 채점 요소에 맞추어 결론을 매듭짓는다.

출제 대학의 채점 기준에 따라 최속강하곡선(Brachistochrone) 에너지 보존법칙과 오일러-라그랑주 방정식의 핵심 공식을 명시하고, 함수의 연속성 및 미분가능성 전제 조건을 엄밀히 선언한다.

치환적분, 부분적분, 코시-슈바르츠 부등식 또는 벡터 연립방정식을 적용하여 중간 감점 요인을 완전히 배제한 무결점 전개를 수행한다.

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