2028 수리논술
기하와 공간도형 (이차곡선·벡터)
단원별 개념 & 25제 전 문항 도판 어울림 마스터북

포물선의 방정식 $y^2 = 8x$는 기본형 $y^2 = 4px$에서 $4p = 8 \implies p = 2$이다.
따라서 초점의 좌표는 $F(2, 0)$이고, 준선의 방정식은 $x = -2$이다.

포물선 위의 임의의 점 $P(x, y)$에서 초점 $F$까지의 거리는 점 $P$에서 준선 $x = -2$까지 내린 수선의 발 $H$까지의 거리와 같다.
$$PF = PH = x - (-2) = x + 2$$

점 $A(x_1, y_1)$과 점 $B(x_2, y_2)$는 포물선 위의 점이며, 선분 $AB$는 초점 $F$를 지나므로
$$AB = AF + BF$$
각각 포물선의 정의에 의하여 $AF = x_1 + 2$, $BF = x_2 + 2$이다.
$$AB = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = x_1 + x_2 + 4$$이로써 증명이 완료된다.

타원의 방정식 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$에서 $a^2 = 25, b^2 = 9$이다.
$a > b > 0$이므로 $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$이다.
따라서 두 초점의 좌표는 $F(4, 0), F'(-4, 0)$이며, 장축의 길이는 $2a = 10$이다.

타원 위의 임의의 점 $P$에 대하여 타원의 정의에 의해 $PF + PF' = 2a = 10$이다.
점 $P$가 $x$축과 만나는 꼭짓점 $(5, 0)$에 있을 때 $PF$는 최소가 되고 $PF'$는 최대가 된다.
최솟값: $a - c = 5 - 4 = 1$, 최댓값: $a + c = 5 + 4 = 9$이다. (거리의 범위: $1 \le PF \le 9$)

$PF > 0, PF' > 0$이므로 산술-기하 평균 부등식에 의하여
$$\frac{PF + PF'}{2} \ge \sqrt{PF \times PF'}$$
$$\frac{10}{2} = 5 \ge \sqrt{PF \times PF'} \iff PF \times PF' \le 25$$
등호는 $PF = PF' = 5$일 때, 즉 점 $P$가 단축의 양 끝점 $(0, \pm 3)$에 위치할 때 성립한다.
따라서 거리의 곱의 최댓값은 25이다.

쌍곡선 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$에서 $a^2 = 9, b^2 = 16$이므로 $a=3, b=4$이다.
초점: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$이므로 $F(5, 0), F'(-5, 0)$이다.
점근선: $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{4}{3}x \iff 4x \pm 3y = 0$이다.

초점 $F(5, 0)$에서 점근선 $4x - 3y = 0$에 내린 수선의 발까지의 거리 $d$는 다음과 같다.
$$d = \frac{|4(5) - 3(0)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{20}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{20}{5} = 4$$

일반적인 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$에서 점근선은 $bx \pm ay = 0$이고 초점은 $(c, 0)$이다.
$$d = \frac{|bc|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{bc}{c} = b$$
따라서 쌍곡선의 초점과 점근선 사이의 거리는 항상 $b$와 같으며, 주어진 문제의 거리 4와 정확히 일치한다.

타원 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$에서 $a=4, b=\sqrt{7}$이므로 $c = \sqrt{16 - 7} = 3$이다.
초점은 $F(3, 0), F'(-3, 0)$이다.
타원 위의 점 $P(x_1, y_1)$ ($y_1 > 0$)에 대하여 $y_1^2 = 7(1 - \frac{x_1^2}{16})$이 성립한다.
$$PF = \sqrt{(x_1 - 3)^2 + y_1^2} = \sqrt{x_1^2 - 6x_1 + 9 + 7 - \frac{7}{16}x_1^2} = \sqrt{\frac{9}{16}x_1^2 - 6x_1 + 16} = \sqrt{\left(4 - \frac{3}{4}x_1\right)^2} = 4 - \frac{3}{4}x_1$$

$x_1 = 2$를 타원 방정식에 대입하면
$$\frac{2^2}{16} + \frac{y_1^2}{7} = 1 \iff \frac{1}{4} + \frac{y_1^2}{7} = 1 \iff \frac{y_1^2}{7} = \frac{3}{4} \iff y_1 = \frac{\sqrt{21}}{2}$$

삼각형의 밑변은 두 초점 사이의 거리 $F F' = 2c = 2(3) = 6$이다.
높이는 점 $P$의 $y$좌표인 $y_1 = \frac{\sqrt{21}}{2}$이다.
$$S = \frac{1}{2} \times FF' \times y_1 = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{3\sqrt{21}}{2}$$

타원 $E: \frac{x^2}{a_1^2} + \frac{y^2}{b_1^2} = 1$ ($a_1^2 - b_1^2 = c^2$)과 쌍곡선 $H: \frac{x^2}{a_2^2} - \frac{y^2}{b_2^2} = 1$ ($a_2^2 + b_2^2 = c^2$)이 두 초점 $(\pm c, 0)$을 공유한다.
따라서 $a_1^2 - b_1^2 = a_2^2 + b_2^2 \iff a_1^2 - a_2^2 = b_1^2 + b_2^2$가 성립한다.
교점 $(x_0, y_0)$은 두 곡선을 모두 만족하므로 두 식을 빼면 다음과 같다.
$$\left(\frac{1}{a_1^2} - \frac{1}{a_2^2}\right)x_0^2 + \left(\frac{1}{b_1^2} + \frac{1}{b_2^2}\right)y_0^2 = 0 \iff \frac{a_2^2 - a_1^2}{a_1^2 a_2^2}x_0^2 + \frac{b_1^2 + b_2^2}{b_1^2 b_2^2}y_0^2 = 0$$
$a_1^2 - a_2^2 = b_1^2 + b_2^2$이므로 양변을 나누면 $\frac{x_0^2}{a_1^2 a_2^2} = \frac{y_0^2}{b_1^2 b_2^2}$가 성립한다.

타원: $\frac{2x}{a_1^2} + \frac{2y}{b_1^2}y' = 0 \implies m_1 = -\frac{b_1^2 x_0}{a_1^2 y_0}$
쌍곡선: $\frac{2x}{a_2^2} - \frac{2y}{b_2^2}y' = 0 \implies m_2 = \frac{b_2^2 x_0}{a_2^2 y_0}$

$$m_1 \times m_2 = \left(-\frac{b_1^2 x_0}{a_1^2 y_0}\right) \times \left(\frac{b_2^2 x_0}{a_2^2 y_0}\right) = -\frac{b_1^2 b_2^2}{a_1^2 a_2^2} \cdot \frac{x_0^2}{y_0^2}$$
1단계에서 유도한 $\frac{x_0^2}{y_0^2} = \frac{a_1^2 a_2^2}{b_1^2 b_2^2}$를 대입하면
$$m_1 \times m_2 = -\frac{b_1^2 b_2^2}{a_1^2 a_2^2} \times \frac{a_1^2 a_2^2}{b_1^2 b_2^2} = -1$$
따라서 공초점 타원과 쌍곡선은 교점에서 항상 서로 직교한다.

포물선 $y^2 = 4x$는 $p = 1$이므로 초점은 $F(1, 0)$이다.
포물선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 공식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.
점 $(4, 4)$를 대입하면
$$4y = 2(1)(x + 4) \iff 4y = 2x + 8 \iff y = \frac{1}{2}x + 2$$

$y = 0$을 접선 방정식에 대입하면 $\frac{1}{2}x + 2 = 0 \iff x = -4$.
따라서 점 $Q$의 좌표는 $Q(-4, 0)$이다. (즉 $x$좌표는 접점의 $x$좌표와 부호만 반대인 $-x_1$이다.)

초점 $F(1, 0)$과 $Q(-4, 0)$ 사이의 거리는
$$QF = |1 - (-4)| = 5$$

타원 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1) = (2, \sqrt{2})$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
$$\frac{2x}{8} + \frac{\sqrt{2}y}{4} = 1 \iff \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{2}y}{4} = 1 \iff x + \sqrt{2}y = 4$$
따라서 접선의 기울기는 $m = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.

법선은 접선과 수직이므로 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이다.
$$m_{\text{법선}} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$$

$$y - \sqrt{2} = \sqrt{2}(x - 2) \iff y = \sqrt{2}x - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \iff y = \sqrt{2}x - \sqrt{2}$$

타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은
$$y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$$

직선이 점 $(x_0, y_0)$을 지나므로 $y_0 - mx_0 = \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.
양변을 제곱하여 정리한다.
$$(y_0 - mx_0)^2 = a^2 m^2 + b^2 \iff y_0^2 - 2x_0 y_0 m + m^2 x_0^2 = a^2 m^2 + b^2$$
$$(x_0^2 - a^2)m^2 - 2x_0 y_0 m + (y_0^2 - b^2) = 0$$

이 이차방정식의 두 근 $m_1, m_2$는 점 $(x_0, y_0)$에서 그은 두 접선의 기울기이다.
두 접선이 서로 수직이므로 $m_1 m_2 = -1$이어야 한다.
근과 계수의 관계에 의하여
$$\frac{y_0^2 - b^2}{x_0^2 - a^2} = -1 \iff y_0^2 - b^2 = -(x_0^2 - a^2) \iff x_0^2 + y_0^2 = a^2 + b^2$$
따라서 두 직교하는 접선의 교점의 자취는 중심이 원점이고 반지름이 $\sqrt{a^2 + b^2}$인 원(준원, Monge's circle)이다.

타원 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$에서 초점은 $c = \sqrt{16 - 7} = 3$이므로 $F(3, 0), F'(-3, 0)$이다.
접선의 방정식: $\frac{2x}{16} + \frac{\frac{\sqrt{21}}{2}y}{7} = 1 \iff \frac{x}{8} + \frac{\sqrt{21}y}{14} = 1$.
$y=0$ 대입 시 $x = 8$. 따라서 $Q(8, 0)$이다.

초점의 위치 $F(3, 0), F'(-3, 0)$과 $Q(8, 0)$ 사이의 거리는
$$QF = 8 - 3 = 5, \quad QF' = 8 - (-3) = 11$$
따라서 길이의 비는 $\frac{QF}{QF'} = \frac{5}{11}$이다.

문제 04의 결과에 의하여 $PF = 4 - \frac{3}{4}x_1 = 4 - \frac{3}{4}(2) = \frac{5}{2}$.
타원의 정의에 의해 $PF' = 2a - PF = 8 - \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$.
두 초점거리의 비는 $\frac{PF}{PF'} = \frac{5/2}{11/2} = \frac{5}{11}$이다.
따라서 $\frac{QF}{QF'} = \frac{PF}{PF'}$가 성립하므로, 삼각형의 외각의 이등분선 정리에 의해 접선 $PQ$는 $\angle FPF'$의 외각을 이등분한다.

포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.
$y=0$일 때 $x = -x_1$이므로 $T(-x_1, 0)$이다.
초점 $F(p, 0)$에 대하여 선분 $FT$의 길이는
$$FT = p - (-x_1) = x_1 + p$$

포물선의 정의에 의하여 점 $P(x_1, y_1)$에서 초점 $F$까지의 거리는 준선 $x = -p$까지의 거리와 같다.
$$FP = x_1 - (-p) = x_1 + p$$
따라서 $FT = FP = x_1 + p$이므로 삼각형 $\triangle FPT$는 밑변이 $PT$인 이등변삼각형이다.
그러므로 밑각의 크기가 같다: $\angle FTP = \angle FPT$.

점 $P$를 지나고 축($x$축)에 평행한 광선 $L$을 그으면, 직선 $L$과 $x$축은 평행하므로 엇각에 의해
$$\angle L P (PT\text{의 연장}) = \angle FTP$$
이등변삼각형 성질에 의해 $\angle FTP = \angle FPT$이므로, 입사각과 반사각이 서로 같다.
따라서 축에 평행하게 들어온 빛은 포물면에 반사되어 반드시 초점 $F$를 향해 진행한다.

$\vec{a} = (3, 4)$, $\vec{b} = (1, -2)$의 성분 내적은 다음과 같다.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = 3(1) + 4(-2) = 3 - 8 = -5$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
$$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

$$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-5}{5 \times \sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$

영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$가 수직이기 위한 필요충분조건은 내적이 0인 것이다: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(k) + 1(4) = 2k + 4 = 0 \iff 2k = -4 \iff k = -2$$

두 벡터가 평행하기 위한 필요충분조건은 한 벡터가 다른 벡터의 실수배인 것이다: $\vec{v} = t\vec{u}$ ($t \ne 0$).
$$(k, 4) = t(2, 1) = (2t, t)$$
$y$성분 비교: $4 = t \implies t = 4$.
$x$성분 비교: $k = 2t = 2(4) = 8$.
(또는 성분비 공식 $\frac{k}{2} = \frac{4}{1} \iff k = 8$)

$$|\vec{OA}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$

점 $P$는 중심이 원점이고 반지름이 $r=2$인 원 위의 동점이므로 $|\vec{OP}| = 2$이다.
$\vec{OP}$와 $\vec{OA}$가 이루는 각을 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)라 하면
$$\vec{OP} \cdot \vec{OA} = |\vec{OP}| |\vec{OA}| \cos\theta = 2 \times 5 \times \cos\theta = 10\cos\theta$$

$-1 \le \cos\theta \le 1$이므로 내적의 범위는 $-10 \le 10\cos\theta \le 10$이다.
- $\theta = 0$일 때 (두 벡터가 같은 방향): 최댓값 $M = 10$
- $\theta = \pi$일 때 (두 벡터가 정반대 방향): 최솟값 $m = -10$
따라서 구하는 최댓값은 10, 최솟값은 -10이다.

두 평면벡터 $\vec{a}, \vec{b}$에 대하여 $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$이다.
$-1 \le \cos\theta \le 1 \implies \cos^2\theta \le 1$이므로
$$(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2\theta \le |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$$
성분 $\vec{a}=(x_1, y_1), \vec{b}=(x_2, y_2)$를 대입하면 $(x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 \le (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)$가 성립한다.

$$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 4^2 + 2(4)(3)\cos\theta + 3^2 = 16 + 24\cos\theta + 9 = 25 + 24\cos\theta$$
문제에서 $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 37$이므로
$$25 + 24\cos\theta = 37 \iff 24\cos\theta = 12 \iff \cos\theta = \frac{1}{2}$$
$0 < \theta < \pi$이므로 사이각은 $\theta = \frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$)이다.

$$S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

좌변을 전개한다.
좌변 = $(x_1^2 x_2^2 + x_1^2 y_2^2 + y_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2) - (x_1^2 x_2^2 + 2x_1 x_2 y_1 y_2 + y_1^2 y_2^2)$
$$= x_1^2 y_2^2 - 2x_1 y_2 x_2 y_1 + y_1^2 x_2^2 = (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 = \text{우변}$$
이로써 라그랑주 항등식이 대수적으로 완벽히 증명된다.

좌변은 $|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2$이다.
내적 공식 $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$를 대입하면
$$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2\theta = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2\theta) = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2\theta$$

1단계와 2단계의 결과를 결합하면 다음과 같다.
$$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2\theta = (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \iff |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = |x_1 y_2 - x_2 y_1|$$
두 벡터가 이루는 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$이므로
$$S = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$$이 사선 공식(신발끈 공식)의 기하학적 근거로 완성된다.

직육면체에서 한 직선과 '만나지도 않고 평행하지도 않은' 직선이 꼬인 위치에 있다.
모서리 $AB$와 동일 평면($ABCD, ABFE$)에 있는 모서리들을 제외하면 다음과 같다.
- 수직으로 서 있는 기둥 모서리 중 $AB$와 만나지 않는 모서리: $CG, DH$
- 밑면 $EFGH$의 모서리 중 $AB$와 평행하지 않은 모서리: $EH, FG$
따라서 꼬인 위치에 있는 모서리는 $CG, DH, EH, FG$의 총 4개이다.

모서리 $AB$와 대각선 $EG$의 사이각을 구하기 위하여 한 직선을 평행이동한다.
밑면의 대각선 $EG$를 윗면으로 평행이동하면 대각선 $AC$와 일치한다 ($EG \parallel AC$).
따라서 구하는 두 직선의 사이각은 모서리 $AB$와 직선 $AC$가 이루는 각 $\theta = \angle BAC$이다.

윗면 직사각형 $ABCD$는 $AB = 2, BC = 2$인 정사각형이므로 (또는 문제 조건 $AB=2, BC=2$ 직사각형)
대각선 $AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$이다.
$$\cos\theta = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

한 모서리의 길이가 6인 정사면체 $ABCD$에서 두 면 $ABC$와 $BCD$의 교선은 모서리 $BC$이다.
모서리 $BC$의 중점을 $M$이라 하면, 정삼각형 $ABC$와 정삼각형 $BCD$에서
$$AM \perp BC, \quad DM \perp BC$$
따라서 이면각의 정의에 의하여 두 평면이 이루는 각은 $\theta = \angle AMD$이다.

한 변의 길이가 $a = 6$인 정삼각형의 높이 공식에 의하여
$$AM = DM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}$$

삼각형 $\triangle AMD$의 세 변의 길이는 $AM = 3\sqrt{3}, DM = 3\sqrt{3}, AD = 6$이다.
$$\cos\theta = \frac{AM^2 + DM^2 - AD^2}{2 \cdot AM \cdot DM} = \frac{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 6^2}{2(3\sqrt{3})(3\sqrt{3})} = \frac{27 + 27 - 36}{2 \times 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$$

정사각뿔 $A-BCDE$에서 네 옆모서리의 길이가 모두 같으므로 ($AB = AC = AD = AE = 6$)
직각삼각형 $\triangle AHB, \triangle AHC, \triangle AHD, \triangle AHE$는 빗변의 길이가 같고 높이 $AH$를 공유하므로 합동(RHS)이다.
따라서 $HB = HC = HD = HE$이므로 점 $H$는 밑면 정사각형 $BCDE$의 외심이자 두 대각선의 교점(무게중심)이다.

밑면 정사각형의 한 변의 길이가 4이므로 대각선의 길이는 $4\sqrt{2}$이다.
$$HB = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$
피타고라스 정리에 의하여 높이 $AH$는 다음과 같다.
$$AH = \sqrt{AB^2 - HB^2} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$

모서리 $CD$의 중점을 $M$이라 두면 $HM = 2$이다.
$AH \perp \text{밑면}$이고 $HM \perp CD$이므로 삼수선의 정리에 의해 $AM \perp CD$이다.
$$AM = \sqrt{AH^2 + HM^2} = \sqrt{28 + 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
따라서 이면각의 코사인은 $\cos\theta = \frac{HM}{AM} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$이다.

한 모서리의 길이가 4인 정사면체의 한 면은 한 변의 길이가 4인 정삼각형이다.
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$$

정사면체의 두 면이 이루는 이면각 $\theta$에 대하여 문제 17에서 입증된 바와 같이 $\cos\theta = \frac{1}{3}$이다.
따라서 정사영의 넓이 공식 $S' = S \cos\theta$에 대입하면
$$S' = 4\sqrt{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

꼭짓점 $A$에서 밑면 $\triangle BCD$에 내린 수선의 발 $H$는 밑면 정삼각형의 무게중심이다.
옆면 $\triangle ABC$의 정사영은 밑면 내부의 삼각형 $\triangle HBC$가 된다.
정삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점과 연결할 때 전체 면적을 정확히 3등분하므로
$$\text{넓이}(\triangle HBC) = \frac{1}{3} \text{넓이}(\triangle BCD) = \frac{1}{3} S = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
이는 정사영 공식에 의한 결과와 완벽하게 일치한다.

평면 $\alpha$ 위의 도형 $F$를 평면 $\beta$ 위로 정사영시킨 도형 $F'$의 넓이가 $S'$일 때, $S' = S \cos\theta$이다.
문제에서 정사영 $F'$는 반지름이 2인 원이므로 $S' = \pi (2^2) = 4\pi$이다.
두 평면이 이루는 각이 $\theta = 60^\circ$이므로 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$이다.
$$S = \frac{S'}{\cos 60^\circ} = \frac{4\pi}{1/2} = 8\pi$$

평면의 교선에 평행한 방향의 길이는 정사영에 의해 변하지 않으므로 단축의 길이는 원의 지름과 같다.
$$2b = 2(2) = 4 \implies b = 2$$
교선에 수직인 방향의 길이는 $\cos 60^\circ$배로 축소되어 4가 된 것이므로, 원래의 장축 길이는
$$2a = \frac{4}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{1/2} = 8 \implies a = 4$$

장축의 반지름이 $a = 4$, 단축의 반지름이 $b = 2$인 타원의 넓이는
$$\text{Area} = \pi a b = \pi \times 4 \times 2 = 8\pi$$
이는 1단계에서 정사영 역공식으로 구한 넓이 $8\pi$와 완벽하게 일치한다.

좌표공간에서 점 $(x, y, z)$를 $zx$평면에 대하여 대칭이동하면 $y$좌표의 부호만 반대로 바뀐다.
$$P(2, -3, -4)$$

중점 $P(2, -3, -4)$에서 $z$축에 내린 수선의 발은 $H(0, 0, -4)$이다.
구의 반지름 $r$은 중심 $P$에서 접하는 $z$축까지의 거리이므로
$$r = PH = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (-4 - (-4))^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13}$$

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z + 4)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$$

주어진 구의 방정식: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 6z - 11 = 0$.
$$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 6z + 9) = 11 + 1 + 4 + 9$$
$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 25$$
따라서 구의 중심은 $C(1, 2, -3)$이고 반지름은 $R = 5$이다.

$z = 0$을 구의 표준형 방정식에 대입한다.
$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 25 \iff (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 9 = 25$$
$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$$

교선은 중심이 $(1, 2, 0)$이고 반지름이 $r = \sqrt{16} = 4$인 원이다.
$$S = \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi$$

구의 중심 $C(1, 2, 3)$에서 평면 $\alpha: x + 2y - 2z + 10 = 0$까지의 거리 $d$는
$$d = \frac{|1(1) + 2(2) - 2(3) + 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 4 - 6 + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$$

평면의 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 2, -2)$이다.
점 $C(1, 2, 3)$을 지나고 법선벡터에 평행한 직선의 매개변수 방정식은
$$(x, y, z) = (1 + t, 2 + 2t, 3 - 2t)$$

직선의 좌표를 평면 방정식에 대입한다.
$$(1 + t) + 2(2 + 2t) - 2(3 - 2t) + 10 = 0$$
$$1 + t + 4 + 4t - 6 + 4t + 10 = 0 \iff 9t + 9 = 0 \iff t = -1$$
$t = -1$을 대입하면 수선의 발 $H$의 좌표는
$$H(1 - 1, 2 - 2, 3 - 2(-1)) = (0, 0, 5)$$

구의 중심 $C(0, 0, 0)$, 반지름 $R = 5$이다.
평면 $\alpha: 2x - 2y + z - 12 = 0$까지의 거리 $d$는
$$d = \frac{|2(0) - 2(0) + 1(0) - 12|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{12}{3} = 4$$

$d = 4 < R = 5$이므로 구와 평면은 만나서 원을 형성한다.
원의 반지름 $r$은 $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$이다.
따라서 교선인 원의 넓이는 $S = \pi r^2 = 9\pi$이다.

구의 중심에서 평면까지의 거리 $d = 4$에 반지름 $R = 5$를 더하거나 뺀다.
- 최댓값: $M = d + R = 4 + 5 = 9$
- 최솟값: $m = |d - R| = |4 - 5| = 1$ (구의 중심이 평면과 점 사이에 있지 않을 때의 최단 접근 거리)

두 점 $A(4, 0, 0), B(0, 4, 0)$에 대하여 선분 $AB$의 길이는
$$AB = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}$$
직선 $AB$는 $xy$평면 상에서 $x + y = 4, z = 0$이다.

원점 $(0, 0)$에서 직선 $x + y - 4 = 0$까지의 거리는 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해
$$d_0 = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$

구 $S$는 중심이 원점이고 반지름이 $R = 3$이다.
구 위의 임의의 점 $P$에서 직선 $AB$까지의 거리를 $h$라 하면, 삼각부등식에 의하여
$$h \le d_0 + R = 2\sqrt{2} + 3$$
등호는 원점에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발과 원점을 잇는 직선의 반대 방향으로 구면과 만나는 점에서 성립한다.
삼각형 $PAB$의 밑변은 $AB = 4\sqrt{2}$로 고정되어 있으므로, 넓이의 최댓값은
$$S_{\max} = \frac{1}{2} \times AB \times h_{\max} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times (2\sqrt{2} + 3) = 2\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 3) = 8 + 6\sqrt{2}$$