2028 수리논술 기초과정
교과서와 함께 대학별고사: 초월함수의 미적분
[수능 공통수학 이수자를 위한 기초 25제 완결판]

주어진 등비수열의 공비는 $r = \frac{1}{3}$이다.
$|r| = \left|\frac{1}{3}\right| < 1$이므로 주어진 무한등비급수는 수렴한다.

첫째항 $a = 2$, 공비 $r = \frac{1}{3}$이므로 합 공식 $S = \frac{a}{1-r}$에 대입한다.
$$S = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$$

주어진 식의 분모와 분자에 $\sqrt{n^2 + 4n} + n$을 곱한다.
$$\sqrt{n^2+4n}-n = \frac{(\sqrt{n^2+4n}-n)(\sqrt{n^2+4n}+n)}{\sqrt{n^2+4n}+n} = \frac{(n^2+4n) - n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n} = \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}$$

분모·분자를 $n$($>0$)으로 나눈다.
$$\lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$$

$\sin 3x$의 각도가 $3x$이므로 분모에 $3x$가 오도록 계수를 조정한다.
$$\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x} \times \frac{3}{2}$$

$x \to 0$일 때 $3x \to 0$이므로 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x} = 1$이다.
$$\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \times \frac{3}{2} \right) = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$

$$0.272727\dots = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + \dots = \frac{27}{100} + \frac{27}{100^2} + \frac{27}{100^3} + \dots$$
이는 첫째항 $a = \frac{27}{100}$, 공비 $r = \frac{1}{100}$인 무한등비급수이다.

$|r| = \frac{1}{100} < 1$이므로
$$S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

구간 $[0, 1]$에서 $x_k = \frac{k}{n}$, $\Delta x = \frac{1}{n}$로 설정하면
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} x dx$$

$$\int_{0}^{1} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$

$$\frac{d}{dx}(e^{2x}) = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$$
$$\frac{d}{dx}(\ln(x+1)) = \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' = \frac{1}{x+1}$$
$$f'(x) = 2e^{2x} + \frac{1}{x+1}$$

$$f'(0) = 2e^{0} + \frac{1}{0+1} = 2(1) + 1 = 3$$

$$u = x \implies u' = 1, \quad v = x^2+1 \implies v' = 2x$$
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$

분모 $(x^2+1)^2 > 0$이므로 분자가 0이어야 한다.
$$1 - x^2 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1$$

$u = 2x+1$이라 두면 $y = u^4$이다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 2 = 8u^3 = 8(2x+1)^3$$

$$x = 1 \implies 2x+1 = 3$$
$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1} = 8 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$$

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)' + (\cos x)' = \cos x - \sin x$$

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\pi/4} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
따라서 접선의 기울기는 0 (수평접선)이다.

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$
$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \iff 2y \frac{dy}{dx} = -2x \iff \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \quad (y \ne 0)$$

$$x = 3, y = 4 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

$$y' = e^x \implies m = \left. y' \right|_{x=0} = e^0 = 1$$

기울기가 $m = 1$이고 점 $(0, 1)$을 지나므로
$$y - 1 = 1(x - 0) \iff y = x + 1$$

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) = 0 \iff x = -1, 1$$

- $x < -1$: $f'>0$ (증가)
- $-1 < x < 1$: $f'<0$ (감소)
- $x > 1$: $f'>0$ (증가)
따라서 $x=-1$에서 극대, $x=1$에서 극소이다.
극댓값: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
극솟값: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$$f'(x) = 1 \cdot e^x + x e^x = (x+1)e^x$$
$e^x > 0$이므로 $f'(x)=0 \iff x = -1$.
$x < -1$에서 $f'<0$, $x > -1$에서 $f'>0$이므로 $x=-1$에서 극솟값 $f(-1) = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$을 갖는다.

$$f''(x) = 1 \cdot e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$$
$f''(x) = 0 \iff x = -2$. 좌우에서 $f''$의 부호가 바뀌므로 변곡점은 $(-2, f(-2)) = \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right)$이다.

$$f(x) = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$$
따라서 꼭짓점은 $(1, 2)$이다.

- 꼭짓점: $x = 1 \in [0, 3] \implies f(1) = 2$ (최소)
- 왼쪽 끝: $f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$
- 오른쪽 끝: $f(3) = 9 - 6 + 3 = 6$ (최대)
따라서 최댓값은 6, 최솟값은 2이다.

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$f'(x) = 2x \implies f'(c) = 2c$$
$$2c = 4 \iff c = 2$$
$c = 2$는 열린구간 $(1, 3)$에 속하므로 평균값 정리를 만족한다.

합성함수 미분의 역과정으로 지수의 계수 3의 역수 $\frac{1}{3}$을 곱한다.
$$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C_1$$

$x>0$이므로 $\ln |x| = \ln x$이다.
$$\int \frac{2}{x} dx = 2\int \frac{1}{x} dx = 2\ln x + C_2$$

$t = x^2 + 1$로 두면 $\frac{dt}{dx} = 2x \iff dt = 2x dx$.
구간: $x=0 \implies t=1$, $x=1 \implies t=1^2+1=2$.

$$\int_{0}^{1} 2x(x^2+1)^2 dx = \int_{1}^{2} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$$

$$\int \cos x dx = \sin x + C$$

$$\int_{0}^{\pi/2} \cos x dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin 0 = 1 - 0 = 1$$

$$u = x \implies u' = 1, \quad v' = e^x \implies v = e^x$$

$$\int_{0}^{1} x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_{0}^{1} 1 \cdot e^x dx = (1\cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1$$

$$u = \ln x \implies u' = \frac{1}{x}, \quad v' = 1 \implies v = x$$
$$\int \ln x dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\ln x - x + C$$

$$\int_{1}^{e} \ln x dx = [x\ln x - x]_1^e = (e\ln e - e) - (1\ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$

구간 $[0, 1]$에서 $e^x > 0$이므로 구하는 넓이 $S$는
$$S = \int_{0}^{1} e^x dx$$

$$S = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$$

$$x = x^2 \iff x^2 - x = 0 \iff x(x-1) = 0 \iff x = 0, 1$$

$0 \le x \le 1$에서 $x \ge x^2$이므로
$$S = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

$$v(t) = 2t - 4 = 0 \iff 2t = 4 \iff t = 2$$

- $0 \le t \le 2$에서 $v(t) \le 0$이므로 $|v(t)| = -(2t-4) = 4-2t$.
- $2 \le t \le 3$에서 $v(t) \ge 0$이므로 $|v(t)| = 2t-4$.
$$s = \int_{0}^{2} (4-2t) dt + \int_{2}^{3} (2t-4) dt$$
첫 번째 적분: $[4t - t^2]_0^2 = 8 - 4 = 4$.
두 번째 적분: $[t^2 - 4t]_2^3 = (9-12) - (4-8) = -3 - (-4) = 1$.
총 이동 거리: $s = 4 + 1 = 5$.

미적분의 기본정리에 의하여
$$g'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} (2t - 4) dt = 2x - 4$$

$$g'(x) = 2x - 4 = 0 \iff x = 2$$
$x < 2$에서 $g'<0$, $x > 2$에서 $g'>0$이므로 $x=2$에서 극소이다.
$$g(2) = \int_{1}^{2} (2t - 4) dt = [t^2 - 4t]_1^2 = (4 - 8) - (1 - 4) = -4 - (-3) = -1$$

한 변의 길이가 $\sqrt{x}$인 정사각형이므로
$$S(x) = (\sqrt{x})^2 = x \quad (0 \le x \le 4)$$

$$V = \int_{0}^{4} S(x) dx = \int_{0}^{4} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \frac{4^2}{2} - 0 = \frac{16}{2} = 8$$