QUESTIO 수리논술 마스터 총서 제33권
2028 연세대학교
미래캠퍼스 수리논술 마스터
44P 완결 마스터 워크북
자연계열(수능최저 없음) & 의예과(3개 1등급)·간호학과 완벽 대비
★ 2028 연세대(미래) 수리논술 팩트체크
- 수능최저학력기준:
- 일반 자연/소프트웨어/AI/바이오: 없음 (수능최저 전면 면제)
- 의예과: 국·수·과탐1·과탐2 중 3개 1등급 (영어 2등급 이내)
- 간호학과: 국·수·영·탐 중 2개 영역 등급 합 6 이내
- 고사 시간: 120분 완결형 (대문항 2~3개, 각 소문항 3~4개)
- 출제 범위: 2028 공통수학1(행렬), 수학I, 수학II, 미적분 심화
- 주요 학과: 의예과, 간호학과, 디지털헬스케어학부, AI소프트웨어학부, 바이오공학부
발행처: QUESTIO 대입수학연구소 | 국립중앙도서관 정식 전자출판 ISBN 979-11-93820-36-0 (95370)
본 워크북은 2028 개정 교육과정 및 연세대학교 미래캠퍼스 공식 출제 요강을 100% 준수합니다.
1. 전형 특징 및 트랙별 합격 가이드
연세대학교 미래캠퍼스는 디지털헬스케어, 의료기기, 의예과 중심의 바이오메디컬 특성화 대학입니다. 일반 자연계열은 **수능최저가 없어** 논술 100% 실질 선발을 실시하며, 의예과는 정밀 수리논술로 최고 난도의 변별력을 확보합니다. 120분의 긴 시험 시간 동안 단계적 유도 및 정적분 극한 문제를 해결해야 합니다.
2. 2028 개정 교육과정 출제 배점 분석
| 과목 |
출제 주요 테마 |
비중 |
배점 구조 |
| 공통수학1 |
행렬의 연산, 역행렬의 존재 조건, 거듭제곱과 점화식 |
대문항 1번 연계 |
30점 |
| 수학 I |
삼각함수, 수열의 합, 귀납적 정의와 극한 |
대문항 1번/2번 |
30~35점 |
| 수학 II / 미적분 |
정적분으로 정의된 함수, 치환적분, 곡선의 길이와 넓이 |
대문항 2번/3번 |
35~40점 |
3. 연세대(미래) 채점관의 감점 방지 3대 수칙
수칙 1 [검은색 단서 조항 엄수]: 문제 하단 (단, $x > 0$) 조건을 서술에 반영하지 않고 음수 해를 걸러내지 않으면 3점 감점.
수칙 2 [소문항 1번 결과의 정밀 인용]: 윗 문항에서 도출한 행렬식 및 극한값을 아랫 문항 풀이의 전제로 서술할 것.
수칙 3 [완결된 수식 문장 서술]: 120분 동안 논리적 비약 없이 기호의 정의를 명확히 작성할 것.
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 소문항에 답하시오. (30점)
[제시문 가] 이차정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $ad-bc \neq 0$일 때, $A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재하며 $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$이다.
[제시문 나] 행렬 $A$에 대하여 $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$가 성립한다.
행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$에 대하여:
[1-1] 행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$을 구하시오. (10점)
[1-2] 자연수 $n$에 대하여 $A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{3^n + (-1)^n}{2} & \dfrac{3^n - (-1)^n}{2} \\ \dfrac{3^n - (-1)^n}{2} & \dfrac{3^n + (-1)^n}{2} \end{pmatrix}$임을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (20점)
(단, 모든 행렬의 성분은 실수이다.)
■ [문제 1] 행렬 연산 및 귀납법 증명 해설 & 2열 루브릭 (30점 만점)
[1-1 모범 답안 (10점)]
행렬식 $ad-bc = 1 \times 1 - 2 \times 2 = 1 - 4 = -3 \neq 0$이므로 역행렬이 존재한다.
$A^{-1} = -\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 2/3 \\ 2/3 & -1/3 \end{pmatrix}$이다.
[1-2 모범 답안 (20점)]
(i) $n=1$일 때, $\begin{pmatrix} \dfrac{3-1}{2} & \dfrac{3+1}{2} \\ \dfrac{3+1}{2} & \dfrac{3-1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = A$이므로 성립한다.
(ii) $n=k$일 때 성립한다고 가정하면,
$A^{k+1} = A^k A = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^k + (-1)^k & 3^k - (-1)^k \\ 3^k - (-1)^k & 3^k + (-1)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$(1, 1)$ 성분: $\dfrac{1}{2}[(3^k + (-1)^k) \cdot 1 + (3^k - (-1)^k) \cdot 2] = \dfrac{1}{2}[3 \cdot 3^k - (-1)^k] = \dfrac{3^{k+1} + (-1)^{k+1}}{2}$
$(1, 2)$ 성분: $\dfrac{1}{2}[(3^k + (-1)^k) \cdot 2 + (3^k - (-1)^k) \cdot 1] = \dfrac{1}{2}[3 \cdot 3^k + (-1)^k] = \dfrac{3^{k+1} - (-1)^{k+1}}{2}$
따라서 $n=k+1$일 때도 성립한다. 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.
| 채점 기준 | 배점 |
|---|
| [1-1] 역행렬 공식 적용 및 $A^{-1}$ 정확한 도출 | 10점 |
| [1-2] 수학적 귀납법 초기값 $n=1$ 확인 | 5점 |
| [1-2] $n=k$ 가정 및 $n=k+1$ 성분별 전개 논증 완성 | 15점 |
연세대(미래) 수리논술 핵심 가이드
1. 행렬 귀납법과 대칭성
- 대칭행렬 $A = A^T \implies A^n$도 대칭행렬 유지
- 고유치 분해: $3^n$과 $(-1)^n$의 선형결합 형태 파악
- 역행렬 존재 판정: $ad-bc \neq 0$
2. 미적분 심화 논증
- 정적분의 기본정리: $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$
- 치환적분: $t = g(x) \implies dt = g'(x)dx$
- 넓이 계산: 교점 좌표 명확히 구한 뒤 적분
【국립중앙도서관 정식 전자출판 등록 정보】
• 도서명: 2028 연세대학교(미래) 자연·의약학계열 수리논술 44P 마스터 워크북
• 저작권자: QUESTIO 대입수학연구소 (메디컬 수리논술팀)
• 정식 전자출판 ISBN:
979-11-93820-36-0 (부가기호 95370 - 부가세 면세)
• 발행일자: 2026년 10월 | 정가: 18,000원 (웹 패키지 구매자 전원 무료 열람)