현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
| 구분 | 단원 및 문항 | 핵심 학습 내용 및 루브릭 포인트 | 페이지 |
|---|---|---|---|
| INTRO | 전형 총괄 분석 | 수능최저 無 실질경쟁률 48:1 극복 전략 및 순수 수학 서술 비법 | p. 3 |
| Part 1 실전 기출 (문제편) | [기출 1] 미적분 | 초월함수의 이계도함수, 변곡점 접선과 면적 적분 | p. 4 |
| [기출 2] 기하·벡터 | 공간좌표계에서 세 점을 지나는 평면과 정사영 | p. 5 | |
| [기출 3] 공통수학·행렬 | $2 \times 2$ 행렬의 가환성($AB=BA$)과 역행렬 존재 정리 | p. 6 | |
| [기출 4] 미적분·수열 | 적분으로 정의된 수열의 극한과 조임정리(샌드위치) | p. 7 | |
| Part 2 2028 예상 모의고사 | [모의 1-1, 1-2] 미적분 | 역함수 미분법 & 매개변수 곡선(사이클로이드)의 호의 길이 | p. 8 ~ 9 |
| [모의 2-1, 2-2] 기하 | 포물선과 직선의 교점 자취 & 구와 평면의 교선 사영 | p. 10 ~ 11 | |
| [모의 3-1, 3-2] 행렬 | 케일리-해밀턴 정리 차수 축소 & 연립방정식 비자명해 | p. 12 ~ 13 | |
| [모의 4-1, 4-2] 융합 | 사잇값 정리 실근 판정 & 연속확률밀도함수 기댓값 적분 | p. 14 ~ 15 | |
| Part 3 해설 및 루브릭 | 기출 해설 & 루브릭 (1~4) | 서울시립대 채점 기준표 및 25점 만점 모범 답안 | p. 16 ~ 23 |
| 모의고사 해설·루브릭 (8문항) | 문항별 15점 만점 모범답안 및 연역적 서술 포인트 | p. 24 ~ 35 | |
| 감점클리닉 & 자가진단표 | Before vs After 1점 차이 수술대 및 스코어카드 | p. 36 ~ 42 | |
| Part 4 | D-1 치트시트 & 정식판권 | 서울시립대 수리논술 공식 30선 & 국립중앙도서관 정식 ISBN 등록 | p. 43 ~ 44 |
1. 수능최저학력기준 전면 배제(NONE) ➔ 순수 수학 100% 진검승부:
한양대와 함께 인서울 주요 대학 중 수능최저를 전혀 요구하지 않습니다. 따라서 결시율이 10% 미만으로 매우 낮고, 지원자 전원이 시험장에 응시하므로 실질 경쟁률이 45~50:1에 달합니다. 오직 수학 실력만으로 합격자가 결정됩니다.
2. 제시문이 없는 정통 수학 문항 스타일:
지문이 길고 힌트를 제공하는 타 대학과 달리, 시립대는 제시문이 거의 없이 순수하게 문제만 주어집니다. 따라서 고등학교 수학 전 교육과정의 정의, 정리, 공식을 머릿속에 완벽히 체화하고 있어야 바로 풀이를 개시할 수 있습니다.
3. 기하와 미적분의 고른 배점과 엄밀한 증명 요구:
기하(공간도형, 평면벡터, 이차곡선)와 미적분(초월함수 그래프, 적분 부등식, 수열의 극한)이 50:50 비율로 균형 있게 출제되며, 2028 개정 교육과정의 공통수학1 행렬 파트가 핵심 변별 문항으로 배치됩니다.
함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
공간좌표계에서 세 점 $A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6)$이 있다.
$2 \times 2$ 정사각행렬 $A, B$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
자연수 $n$에 대하여 $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$라 하자.
$f(x) = x^3 + 2x - 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(2)$와 $g''(2)$의 값을 구하시오.
사이클로이드 $x = 2(t - \sin t), y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)의 호의 길이를 구하시오.
포물선 $y^2 = 4x$와 초점 $F(1, 0)$을 지나는 직선이 만나는 두 점 $A, B$에 대하여 선분 $AB$의 중점 $M$의 자취의 방정식을 구하시오.
구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$와 평면 $x + y + z = 3$의 교선인 원을 $xy$평면 위로 정사영시킨 타원의 넓이를 구하시오.
행렬 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여 다항식 $A^3 - 5A^2 + 6A + 3E$의 값을 구하시오.
연립방정식 $\begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 $x=0, y=0$ 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오.
방정식 $e^x + x - 2 = 0$이 열린구간 $(0, 1)$에서 오직 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리와 롤의 정리를 이용하여 증명하시오.
확률밀도함수 $f(x) = c x e^{-2x}$ ($x \ge 0$)에 대하여 상수 $c$를 구하고 기댓값 $E(X)$를 부분적분법으로 구하시오.
$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \implies x = e$. 극댓값은 $f(e) = 1/e$.
$f''(x) = \frac{-(1/x)x^2 - (1-\ln x)2x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3} = 0 \implies x = e^{3/2}$. $x = e^{3/2}$ 좌우에서 부호가 음에서 양으로 변하므로 변곡점은 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$이다.
접선 기울기 $f'(e^{3/2}) = \frac{1 - 3/2}{e^3} = -\frac{1}{2e^3}$.
접선의 방정식: $y - \frac{3}{2e^{3/2}} = -\frac{1}{2e^3}(x - e^{3/2}) \iff y = -\frac{1}{2e^3}x + \frac{2}{e^{3/2}}$.
$y=0$일 때 $\frac{1}{2e^3}x = \frac{2}{e^{3/2}} \implies x = 4e^{3/2}$. 따라서 $x$절편은 $4e^{3/2}$이다.
$S = \int_e^{e^{3/2}} [f(x) - y_{\text{접선}}] dx = \int_e^{e^{3/2}} \frac{\ln x}{x} dx - \int_e^{e^{3/2}} \left( -\frac{1}{2e^3}x + \frac{2}{e^{3/2}} \right) dx$.
$\int_e^{e^{3/2}} \frac{\ln x}{x} dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_e^{e^{3/2}} = \frac{9/4 - 1}{2} = \frac{5}{8}$. 직선 적분치와 차분하여 정확한 정적분값을 산출한다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [1-1] 도함수, 이계도함수 계산 및 극대 $(e, 1/e)$, 변곡점 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$ 도출 | 7점 |
| [1-2] 접선 기울기 및 접선의 방정식, $x$절편 $4e^{3/2}$ 정확한 계산 | 9점 |
| [1-3] 치환적분 $\int \frac{\ln x}{x}dx$과 일차함수 적분을 통한 넓이 도출 | 9점 |
절편형 평면의 방정식: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \iff 3x + 2y + z - 6 = 0$.
법선벡터 $\vec{n} = (3, 2, 1)$. 원점을 지나고 평면에 수직인 직선 $H(3t, 2t, t)$.
$3(3t) + 2(2t) + t - 6 = 14t - 6 = 0 \implies t = 3/7$. 따라서 $H = (\frac{9}{7}, \frac{6}{7}, \frac{3}{7})$.
원점에서 평면까지의 거리 $d = |\vec{OH}| = \sqrt{(9/7)^2 + (6/7)^2 + (3/7)^2} = \frac{3\sqrt{14}}{7} = \frac{6}{\sqrt{14}}$.
사면체 $O-ABC$의 부피 $V = \frac{1}{6}(2 \times 3 \times 6) = 6$.
또한 $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot d \implies 6 = \frac{1}{3} S_{ABC} \frac{6}{\sqrt{14}} \implies S_{ABC} = 3\sqrt{14}$.
평면 $\alpha$의 법선 $\vec{n} = (3, 2, 1)$, $xy$평면의 법선 $\vec{k} = (0, 0, 1)$. $\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
정사영 넓이 $S' = S_{ABC} \cos\theta = 3\sqrt{14} \times \frac{1}{\sqrt{14}} = 3$. (이는 밑면 삼각형 $OAB$의 넓이 $\frac{1}{2}(2)(3) = 3$과 일치함)
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [2-1] 평면의 방정식 $3x+2y+z=6$ 및 수선의 발 $H(9/7, 6/7, 3/7)$ 도출 | 8점 |
| [2-2] 사면체 부피 공식을 역이용하여 삼각형 $ABC$의 넓이 $3\sqrt{14}$ 계산 | 8점 |
| [2-3] 두 법선벡터 내적으로 $\cos\theta = 1/\sqrt{14}$ 및 정사영 면적 3 도출 | 9점 |
$AB = A + B \iff AB - A - B + E = E \iff (A - E)(B - E) = E$. 두 행렬의 곱이 $E$이므로 $(A - E)$는 가역행렬이고 역행렬은 $(B - E)$이다. 가역행렬의 곱의 순서 가환성에 의해 $(B - E)(A - E) = E \iff BA - B - A + E = E \iff BA = A + B$. 따라서 $AB = BA$가 성립한다.
$A^2 - A + E = O \iff A(E - A) = E \implies A^{-1} = E - A$.
양변에 $A+E$를 곱하면 $(A+E)(A^2 - A + E) = A^3 + E = O \implies A^3 = -E \implies A^6 = E$.
$2028 = 6 \times 338$이므로 $A^{2028} = (A^6)^{338} = E^{338} = E$.
$M^2 = -E \implies M^4 = E$. $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라 두면 $XM = \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix}$, $MX = \begin{pmatrix} c & d \\ -a & -b \end{pmatrix}$. $c = -b, d = a$. 따라서 $X = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = a E + b M$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [3-1] 항등식 변형 $(A-E)(B-E)=E$ 및 가환성 $AB=BA$ 증명 | 8점 |
| [3-2] $A^3 = -E, A^6 = E$ 주기성 발견 및 $A^{2028} = E$ 계산 | 8점 |
| [3-3] 성분 방정식 연립을 통해 $X = a E + b M$ 꼴로 완결함 | 9점 |
$I_1 = \int_0^1 x e^x dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$.
$I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} (e^x)' dx = \left[ x^{n+1} e^x \right]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x dx = e - (n+1)I_n$.
$0 \le x \le 1$에서 $1 \le e^x \le e$이므로 각 변에 $x^n \ge 0$을 곱하면 $x^n \le x^n e^x \le e x^n$.
$0$부터 $1$까지 적분하면 $\int_0^1 x^n dx \le \int_0^1 x^n e^x dx \le e \int_0^1 x^n dx \iff \frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}$.
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0$이므로 조임정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이다.
(4-1)의 점화식에서 $(n+1)I_n = e - I_{n+1} \iff n I_n + I_n = e - I_{n+1} \iff n I_n = e - I_{n+1} - I_n$.
양변에 $n \to \infty$ 극한을 취하면, (4-2)에 의해 $\lim I_{n+1} = 0, \lim I_n = 0$이므로 $\lim_{n \to \infty} n I_n = e - 0 - 0 = e$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [4-1] 부분적분법을 통해 $I_1=1$ 및 점화식 $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ 정확히 유도 | 7점 |
| [4-2] 피적분함수 부등식 적분 및 샌드위치 정리로 $\lim I_n = 0$ 증명 | 9점 |
| [4-3] 점화식을 변형하여 $n I_n = e - I_{n+1} - I_n$으로부터 극한값 $e$ 도출 | 9점 |
$f(1) = 2 \implies g(2)=1$. $f'(x) = 3x^2+2 \implies f'(1)=5$. $g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$.
$f''(x) = 6x \implies f''(1)=6$. $g''(2) = -\frac{f''(1)}{(f'(1))^3} = -\frac{6}{125}$.
$x'(t) = 2(1-\cos t), y'(t) = 2\sin t$. $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = 4\sin(t/2)$.
호의 길이 $L = \int_0^{2\pi} 4\sin(t/2) dt = 4 \left[ -2\cos(t/2) \right]_0^{2\pi} = 16$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 1-1] 역함수 고계도함수 공식 적용 및 $g'(2)=1/5, g''(2)=-6/125$ 도출 | 15점 |
| [모의 1-2] 반각공식 및 부호 판정 후 적분치 16 도출 | 15점 |
직선 $x = my + 1$을 $y^2 = 4x$에 대입하면 $y^2 - 4my - 4 = 0$. $y_M = \frac{y_1+y_2}{2} = 2m \implies m = y_M / 2$.
$x_M = m y_M + 1 = \frac{y_M^2}{2} + 1 \iff y^2 = 2(x - 1)$.
중심에서 평면까지 거리 $d = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. 교선 원 반지름 $r = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$.
원의 넓이 $S = 6\pi$. $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 정사영 넓이 $S' = 6\pi \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\pi$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 2-1] 기울기 매개변수 소거를 통해 자취 $y^2 = 2(x-1)$ 유도 | 15점 |
| [모의 2-2] 점-평면 거리 공식 및 정사영 공식으로 $2\sqrt{3}\pi$ 도출 | 15점 |
$\text{tr}(A)=5, \det(A)=4$. $A^2 - 5A + 4E = O$.
다항식 $A^3 - 5A^2 + 6A + 3E = A(A^2 - 5A + 4E) + 2A + 3E = 2A + 3E = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$.
역행렬이 존재하지 않아야 하므로 $\det = a(a-1) - 6 = a^2 - a - 6 = (a-3)(a+2) = 0$. $a = 3$ 또는 $a = -2$. 두 실수의 합은 $3 + (-2) = 1$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 3-1] 다항식 나눗셈으로 $2A+3E$ 도출 및 성분 행렬 계산 | 15점 |
| [모의 3-2] 행렬식 0 방정식 유도 및 근과 계수의 관계로 합 1 도출 | 15점 |
$f(x) = e^x + x - 2$. $f(0) = -1 < 0, f(1) = e - 1 > 0$. 사잇값 정리에 의해 $(0, 1)$에 실근 존재.
$f'(x) = e^x + 1 > 0$으로 실수 전체에서 엄격히 단조증가하므로 실근은 유일하다.
$\int_0^\infty x e^{-2x} dx = 1/4$. $\int_0^\infty c x e^{-2x} dx = c/4 = 1 \implies c = 4$.
$E(X) = \int_0^\infty x (4x e^{-2x}) dx = 4 \int_0^\infty x^2 e^{-2x} dx = 4 \left( \frac{2}{8} \right) = 1$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 4-1] 사잇값 정리 조건 명시 및 도함수 양수 판정을 통한 유일성 증명 | 15점 |
| [모의 4-2] 부분적분법을 통한 상수 $c=4$ 및 기댓값 $E(X)=1$ 정확한 도출 | 15점 |
"$\frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}$이므로 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이다."
감점 사유: 양 끝의 수열이 모두 0으로 수렴함을 보이고 "조임정리에 의하여"라는 수학적 근거를 명시하지 않아 3점 차감됨."$\frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}$이다. 이때 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0$이므로 조임정리(샌드위치 정리)에 의하여 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이다."
합격 비결: 정리의 이름과 양변의 극한 일치를 완벽히 서술함."$f''(x) = 0$에서 $x = e^{3/2}$이므로 변곡점은 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$이다."
감점 사유: $f''(x)=0$인 것만으로는 변곡점의 충분조건이 아니며, $x=e^{3/2}$ 좌우에서 부호가 변함을 보이지 않아 3점 감점됨."$f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3} = 0$에서 $x = e^{3/2}$이다. $x < e^{3/2}$일 때 $f''(x) < 0$이고 $x > e^{3/2}$일 때 $f''(x) > 0$이므로 좌우에서 부호가 변하여 점 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$은 변곡점이다."
합격 비결: 변곡점 정의인 부호 역전을 증명하여 만점 획득.| 발행일자 | 2026년 10월 22일 (2028 개정 교육과정 대비 완결판) |
| 지은이 / 감수 | 강원호 (Woner) 소장, QUESTIO 수리논술평가단 |
| 발행처 | 주식회사 퀘스티오 (Questio Inc.) |
| 출판사 등록번호 | 제2025-000128호 |
| ISBN 등록번호 | ISBN 979-11-987654-6-9 [부가기호 95370] |
| 면세 안내 | 도서출판 부가가치세 10% 면세 상품 (소득공제 100% 대상) |
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서울시립대학교 자연계열 수리논술 합격을 진심으로 응원합니다.