2028학년도 대입개편 전자책 잠금 모드

현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.

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2028 인서울 명문 여대 자연·약학 수리논술

QUESTIO 수리논술 마스터 총서 제31권

2028 숙명여자대학교
자연·약학계열 수리논술
44P 완결 마스터 워크북

인서울 상위권 Tier 2 핵심 · 자연계열(2합 5) & 약학부(3합 5) 완벽 대비

★ 2028 숙명여대 자연계열 수리논술 팩트체크

수능최저학력기준:
- 자연계열: 국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (수학 필수)
- 약학부: 국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 등급 합 5 이내 (수학 포함)
고사 시간: 100분 완결형 (대문항 3개, 각 소문항 2~3개)
출제 범위: 2028 공통수학1(행렬), 수학I, 수학II, 미적분
문항 특징: 제시문의 수학적 정의를 정확히 분석하고 연역적으로 서술하는 정통 논증형
주요 학과: 약학부, 첨단소재전자융합공학부, 인공지능공학부, 컴퓨터과학전공, 화공생명공학부

발행처: QUESTIO 대입수학연구소 | 국립중앙도서관 정식 전자출판 ISBN 979-11-93820-34-6 (95370)
본 워크북은 2028 개정 교육과정 및 숙명여자대학교 공식 출제 요강을 100% 준수합니다.

1. 전형 특징 및 지원 전략

숙명여자대학교는 인서울 상위권(Tier 2)의 대표 여대로, 자연계열 및 첨단공학부, 약학부에서 논술 실질 비중이 매우 높습니다. **자연계 2합 5, 약학부 3합 5**라는 수능최저 기준이 설정되어 있어 수능최저 충족 시 실질 경쟁률이 1/3 수준으로 대폭 하락합니다. 100분 동안 3개의 대문항을 풀며, 제시문에 주어진 정의를 바탕으로 논리적인 단계별 증명을 전개해야 합니다.

2. 2028 개정 교육과정 출제 배점 분석

과목	출제 주요 테마	비중	배점 구조
공통수학1	행렬의 연산, 역행렬의 존재 조건, 거듭제곱과 점화식	대문항 1번 연계	30점
수학 I	지수·로그(약물 농도), 삼각함수, 수열의 극한	대문항 1번/2번	30~35점
수학 II / 미적분	함수의 연속성과 미분가능성, 정적분 극값, 치환적분	대문항 2번/3번	35~40점

3. 숙명여대 채점관이 강조하는 감점 방지 3대 수칙

수칙 1 [검은색 단서 조항 엄수]: 문제 하단 (단, $x > 0$), (단, $n$은 자연수) 조건을 서술에 반영하지 않고 음수 해를 배제하지 않으면 3점 감점.

수칙 2 [제시문 정의의 연역적 인용]: "제시문 [가]의 평균값 정리에 의하여..."와 같이 정리 명칭과 구간을 풀이 서두에 밝힐 것.

수칙 3 [완결된 수식 문장 서술]: 수식을 나열만 하지 말고 접속사("따라서", "이때")를 통해 인과관계를 완성할 것.

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 소문항에 답하시오. (30점)

[제시문 가] 이차정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $ad-bc \neq 0$일 때, $A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재하며 $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$이다.
[제시문 나] 두 행렬 $A, B$에 대하여 $AB = BA$가 성립하면 자연수 $n$에 대하여 $(AB)^n = A^n B^n$이 성립한다.

행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$에 대하여:
[1-1] 행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$을 구하시오. (10점)
[1-2] 자연수 $n$에 대하여 $B^n$을 구하고, 행렬 $A = E + B$임을 이용하여 $A^n$을 구하시오. (20점)

(단, $E$는 단위행렬이고 이항정리를 활용할 수 있다.)

■ [문제 1] 행렬 연산 및 이항정리 거듭제곱 해설 & 2열 루브릭 (30점 만점)

[1-1 모범 답안 (10점)]
행렬식 $ad-bc = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 3 \neq 0$이므로 역행렬이 존재한다.
$A^{-1} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$이다.

[1-2 모범 답안 (20점)]
$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2B$
수학적 귀납법에 의해 $B^n = 2^{n-1} B = \begin{pmatrix} 2^{n-1} & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1} \end{pmatrix}$이다.
행렬 $E$와 $B$는 교환가능($EB = BE = B$)하므로 이항정리를 적용할 수 있다.
$A^n = (E + B)^n = E + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} B^k = E + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} 2^{k-1} B = E + \dfrac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} 2^k \right] B$
$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} 2^k = (1+2)^n - 1 = 3^n - 1$이므로,
$A^n = E + \dfrac{3^n - 1}{2} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \dfrac{3^n - 1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{3^n + 1}{2} & \dfrac{3^n - 1}{2} \\ \dfrac{3^n - 1}{2} & \dfrac{3^n + 1}{2} \end{pmatrix}$이다.

채점 기준	배점
[1-1] 역행렬 공식 적용 및 $A^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ 도출	10점
[1-2] $B^n = 2^{n-1}B$ 규칙성 유도	8점
[1-2] 이항정리를 활용한 $A^n = \begin{pmatrix} (3^n+1)/2 & (3^n-1)/2 \\ (3^n-1)/2 & (3^n+1)/2 \end{pmatrix}$ 정확한 도출	12점

숙명여대 수리논술 고득점 가이드

1. 행렬의 이항정리 테크닉

$A = cE + B$ 분해 후 $B^2 = kB$ 형태 파악
$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} k^k = (1+k)^n - 1$ 공식 활용
행렬 곱셈 $AB=BA$ 교환성 사전 증명 필수

2. 약학/자연 미적분 논증

미분계수의 정의식과 극한 계산 과정 분리
변곡점 판정: $f''(x) = 0$ 좌우 부호 변화 명시
정적분 구간 대칭성(우함수/기함수) 적극 활용