$f(t)=e^t, g(t)=t$는 $[0, x]$에서 연속이고 $(0, x)$에서 미분가능하며 $g'(t)=1 \ne 0$이다. 코시 평균값 정리에 의해 $\frac{e^x - e^0}{x - 0} = \frac{e^c}{1}$인 $c \in (0, x)$가 존재한다. $c > 0$이므로 $e^c > e^0 = 1$이다. 따라서 $\frac{e^x - 1}{x} > 1 \implies e^x > 1 + x$ ($x > 0$)이다.

$f(t) = e^t - 1 - t$, $g(t) = t^2$을 두면 $f(0)=0, g(0)=0$. $g'(t) = 2t \ne 0$ ($t>0$). 코시 평균값 정리에 의해 $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{e^{c_1} - 1}{2c_1}$인 $c_1 \in (0, x)$가 존재한다. (1-1)의 결과에 의해 $e^{c_1} > 1 + c_1 \implies e^{c_1}-1 > c_1$. 따라서 $\frac{e^{c_1}-1}{2c_1} > \frac{c_1}{2c_1} = \frac{1}{2}$. 양변에 $x^2>0$을 곱하면 $e^x - 1 - x > \frac{x^2}{2} \iff e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$.

$P(n): e^x > \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$이라 하자. $n=1, 2$일 때 성립함을 보였다. $n=m$일 때 성립한다고 가정하면, $f(t) = e^t - \sum_{k=0}^m \frac{t^k}{k!}$, $g(t) = t^{m+1}$에 코시 평균값 정리를 적용하면 $\frac{f(x)}{x^{m+1}} = \frac{f'(c)}{(m+1)c^m} = \frac{e^c - \sum_{k=0}^{m-1} \frac{c^k}{k!}}{(m+1)c^m} > \frac{c^m / m!}{(m+1)c^m} = \frac{1}{(m+1)!}$. 따라서 $f(x) > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} \implies e^x > \sum_{k=0}^{m+1} \frac{x^k}{k!}$. 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 성립한다.

타원의 방정식 $F(x, y) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0$의 그레이디언트 또는 접선의 방정식 $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$의 계수비로부터 법선벡터는 $\vec{n} = \left( \frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2} \right)$이다.

초점거리 $r_1 = |\vec{PF}| = a - \frac{c}{a}x_0$, $r_2 = |\vec{PF'}| = a + \frac{c}{a}x_0$. 점 $P$가 접선 방향으로 미소 이동 $d\vec{r} = (dx, dy)$할 때 타원의 정의에 의해 $d(r_1 + r_2) = 0$. 미분 연쇄법칙에 의해 $\nabla r_1 \cdot d\vec{r} + \nabla r_2 \cdot d\vec{r} = 0 \iff (\frac{\vec{PF}}{r_1} + \frac{\vec{PF'}}{r_2}) \cdot d\vec{r} = 0$. $d\vec{r}$은 접선 방향 벡터이므로, $\vec{u} = \frac{\vec{PF}}{r_1} + \frac{\vec{PF'}}{r_2}$는 접선에 수직인 법선 방향이다.

법선벡터 $\vec{n}$은 두 단위벡터 $\frac{\vec{PF}}{r_1}$과 $\frac{\vec{PF'}}{r_2}$의 합 벡터와 나란하므로 마름모의 대각선 성질에 의해 두 초점을 향하는 벡터가 이루는 각을 정확히 이등분한다. 따라서 접선과 선분 $PF$가 이루는 각(입사각의 여각)과 접선과 선분 $PF'$이 이루는 각(반사각의 여각)이 같다. 페르마의 최소 시간 원리에 의해 한 초점에서 출발한 빛은 거울 역할을 하는 타원에 반사된 후 반드시 다른 초점에 모이게 된다.

$X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$라 하자. $AX = \begin{pmatrix} x+2z & y+2w \\ 3x+4z & 3y+4w \end{pmatrix}$, $XA = \begin{pmatrix} x+3y & 2x+4y \\ z+3w & 2z+4w \end{pmatrix}$. 두 행렬이 같으므로 $x+2z = x+3y \implies 2z = 3y \implies z = \frac{3}{2}y$. 또한 $y+2w = 2x+4y \implies 2x - 2w + 3y = 0 \implies w - x = \frac{3}{2}y$. 따라서 $X = \begin{pmatrix} x & y \\ \frac{3}{2}y & x+\frac{3}{2}y \end{pmatrix} = \frac{y}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} + x E = \frac{y}{2}(A - E) + x E = \frac{y}{2}A + (x - \frac{y}{2})E$. 실수 $p = \frac{y}{2}, q = x - \frac{y}{2}$로 두면 $X = p A + q E$가 성립한다.

$\text{tr}(A) = 1+4 = 5$, $\det(A) = 1(4) - 2(3) = -2$. 케일리-해밀턴 정리에 의해 $A^2 - 5A - 2E = O$. 양변에 $A^{-1}$을 곱하면 $A - 5E - 2A^{-1} = O \implies A^{-1} = \frac{1}{2}A - \frac{5}{2}E$.

$AM = MA$의 양변의 좌측과 우측에 $A^{-1}$을 곱하자. $A^{-1}(AM)A^{-1} = A^{-1}(MA)A^{-1}$. 결합법칙에 의해 $(A^{-1}A)MA^{-1} = A^{-1}M(AA^{-1}) \iff E M A^{-1} = A^{-1} M E \iff M A^{-1} = A^{-1} M$. 따라서 $A^{-1}$과 $M$도 가환이다.

$b_n = \frac{1}{n} > 0$, $b_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = b_n$, $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$이므로 라이프니츠 교대급수 판정법에 의해 수렴한다.
$S_{2m+2} - S_{2m} = \frac{1}{2m+1} - \frac{1}{2m+2} > 0$이므로 짝수 부분합은 단조증가한다. $S_{2m+1} - S_{2m-1} = -\frac{1}{2m} + \frac{1}{2m+1} < 0$이므로 홀수 부분합은 단조감소한다. 또한 $S_{2m} < S_{2m+1}$이므로 두 부분합은 동일한 극한값 $S$로 수렴한다.

$f(x) = \ln(1+x)$에 대해 $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^k + \frac{(-t)^n}{1+t}$을 $0$부터 $x$까지 적분하면 $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k + R_n(x)$. $x=1$을 대입하면 나머지 항 $|R_n(1)| \le \frac{1}{n+1} \to 0$이므로 급수의 합은 $\ln(1+1) = \ln 2$이다.

교대급수의 오차 추정 정리에 의해 $|S - S_N| \le b_{N+1} = \frac{1}{N+1}$. 조건 $\frac{1}{N+1} < 10^{-3} = \frac{1}{1000} \iff N+1 > 1000 \iff N > 999$. 따라서 조건을 만족하는 최소 자연수 $N = 1000$이다.

$x^3 + y^3 - 3xy = 0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $3x^2 + 3y^2 y' - 3y - 3x y' = 0 \iff y'(y^2 - x) = y - x^2 \iff y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$. 점 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$를 대입하면 분모, 분자가 동일한 절댓값 부호 반대이므로 $y' = \frac{3/2 - 9/4}{9/4 - 3/2} = \frac{-3/4}{3/4} = -1$. 따라서 접선의 방정식은 $y - \frac{3}{2} = - (x - \frac{3}{2}) \iff y = -x + 3$.

$F'(x) = (x-1)e^{-x}$. $e^{-x}>0$이므로 $x=1$에서 좌우 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 $x=1$에서 극솟값 $F(1) = \int_0^1 (t-1)e^{-t} dt = \left[ -(t-1)e^{-t} \right]_0^1 - \int_0^1 e^{-t} dt = -1 + (e^{-1}-1) = e^{-1}-2$를 갖는다.
$F''(x) = e^{-x} - (x-1)e^{-x} = (2-x)e^{-x}$. $x=2$에서 $F''(x)=0$이고 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $x=2$이다.

중심 $C(1, 2, 3)$에서 평면 $2x - y + 2z - 1 = 0$까지의 거리 $d = \frac{|2(1) - 2 + 2(3) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{5}{3}$이 아니라 $|2 - 2 + 6 - 1| = 5 \implies d = 5/3$. 구의 방정식은 $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \frac{25}{9}$.
접점 $H$는 중심 $C$에서 평면 법선벡터 $\vec{n} = (2, -1, 2)$ 방향으로 $\pm \frac{5}{3} \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ 이동한 점이다. $H = (1, 2, 3) - \frac{5}{9}(2, -1, 2) = (-\frac{1}{9}, \frac{23}{9}, \frac{17}{9})$.

기울기 $m$인 접선의 방정식은 $y = mx + \frac{p}{m} \iff m^2 x - m y + p = 0$. 준선 $x = -p$ 위의 점 $(-p, y_0)$을 지나므로 $-p m^2 - y_0 m + p = 0 \iff p m^2 + y_0 m - p = 0$. $p \ne 0$이므로 판별식 $D = y_0^2 + 4p^2 > 0$으로 항상 서로 다른 두 실근 $m_1, m_2$를 갖는다. 근과 계수의 관계에 의해 두 기울기의 곱 $m_1 m_2 = \frac{-p}{p} = -1$이다. 따라서 준선 위의 임의의 점에서 그은 두 접선은 항상 서로 수직이다.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$에서 $\text{tr}(A)=4, \det(A)=3$. 따라서 $A^2 - 4A + 3E = O$. 다항식 $P(A) = A^4 - 4A^3 + 4A^2 - 4A + 5E$를 $A^2 - 4A + 3E$로 나누면 $P(A) = (A^2 - 4A + 3E)(A^2 + E) + 2E$. $A^2 - 4A + 3E = O$이므로 $P(A) = O \cdot (A^2 + E) + 2E = 2E = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

연립방정식 $M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 $x=0, y=0$ 이외의 해(비자명해)를 가질 필요충분조건은 역행렬 $M^{-1}$이 존재하지 않는 것이다. 즉 $\det(M) = 0$이어야 한다.
$\det \begin{pmatrix} k-1 & 2 \\ 2 & k-4 \end{pmatrix} = (k-1)(k-4) - 4 = k^2 - 5k + 4 - 4 = k(k-5) = 0$. 따라서 구하는 실수 $k$의 값은 $k = 0$ 또는 $k = 5$이다.

$f(x) = x^3 - 3x + k$라 하면 $f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. 열린구간 $(-1, 1)$에서 $x^2 < 1$이므로 항상 $f'(x) < 0$이다. 즉 $f'(x) = 0$인 점이 존재하지 않는다. 롤의 정리의 대우에 의해 구간 $(-1, 1)$에서 $f(x)=0$은 2개 이상의 실근을 가질 수 없다. 따라서 오직 하나의 실근을 가지려면 사잇값 정리에 의해 $f(-1)f(1) < 0$이어야 한다. $f(-1) = -1 + 3 + k = k + 2$, $f(1) = 1 - 3 + k = k - 2$. 따라서 $(k+2)(k-2) < 0 \iff -2 < k < 2$.

$\int_0^\pi k\sin x dx = k \left[ -\cos x \right]_0^\pi = 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$.
중앙값 $m$은 $\int_0^m \frac{1}{2}\sin x dx = \frac{1}{2}(1 - \cos m) = \frac{1}{2} \iff \cos m = 0 \implies m = \frac{\pi}{2}$.
기댓값 $E(X) = \int_0^\pi x \cdot \frac{1}{2}\sin x dx = \frac{1}{2} \left( \left[ -x\cos x \right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx \right) = \frac{1}{2}(\pi + 0) = \frac{\pi}{2}$. (함수 대칭성으로도 자명함)