현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
| 구분 | 단원 및 문항 | 핵심 학습 내용 및 루브릭 포인트 | 페이지 |
|---|---|---|---|
| INTRO | 전형 총괄 분석 | 2028 성균관대 의약학·자연계 전형, 3합5/3합6 실질경쟁률 전략 | p. 3 |
| Part 1 실전 기출 (문제편) |
[기출 1] 미적분 | 초월함수의 테일러 근사 및 평균값 정리에 의한 부등식 증명 | p. 4 |
| [기출 2] 기하 | 공간도형의 정사영과 공간벡터 내적의 최댓값 | p. 5 | |
| [기출 3] 공통수학·행렬 | $2 \times 2$ 행렬 거듭제곱과 피보나치 선형점화식 대수 증명 | p. 6 | |
| [기출 4] 의약학 킬러 | 약동학 지수 감쇄 모델(혈중 약물 농도)과 연속확률분포 융합 | p. 7 | |
| Part 2 2028 예상 모의고사 (문제+답안지) |
[모의 1-1, 1-2] 미적분 | 치환적분 부등식 & 매개변수 곡선 회전체의 부피 | p. 8 ~ 9 |
| [모의 2-1, 2-2] 기하 | 이차곡선의 접선 & 공간상의 구와 평면의 교선 이면각 | p. 10 ~ 11 | |
| [모의 3-1, 3-2] 행렬 | 행렬 거듭제곱 귀납법 & 역행렬 존재 조건과 영인자 판별 | p. 12 ~ 13 | |
| [모의 4-1, 4-2] 의약학 | 약동학 1차 속도론 정적분 & 베이즈 정리 진단키트 신뢰도 | p. 14 ~ 15 | |
| Part 3 해설 및 루브릭 |
기출 해설 & 루브릭 (문제 1~4) | 단계별 모범 풀이 및 대학 공식 2열 세부 감점 기준표 | p. 16 ~ 23 |
| 모의고사 해설·루브릭 (8문항) | 문항별 15점 만점 모범답안 및 의약학 수석 채점 기준 | p. 24 ~ 35 | |
| 감점클리닉 & 자가진단표 | Before vs After 1점 차이 수술대 및 스코어카드 | p. 36 ~ 42 | |
| Part 4 | D-1 치트시트 & 정식판권 | 성균관대 수리논술 공식 30선 & 국립중앙도서관 정식 ISBN 등록 | p. 43 ~ 44 |
1. 수능최저 충족 시 실질 경쟁률 1/3로 급감 (52.5:1 ➔ 19.0:1):
성균관대는 수능최저학력기준(일반 3합6, 의예·약학 3합5)이 강력하여 지원자의 63.8%가 수능최저를 충족하지 못하고 탈락합니다. 따라서 최저를 맞춘 36.2%의 실질 수험생 사이에서 수리논술 답안의 감점 0점 사수가 곧 최초합격으로 직결됩니다.
2. 의약학 및 첨단학과(반도체·지능형소프트웨어)의 수학적 변별력:
성균관대는 과학논술 없이 수학 단독 3~4문항으로 진행되며, 특히 의예과 및 약학과 수험생을 변별하기 위해 단순 계산을 넘어 생명과학·약동학 모델링(지수 감쇄, 반감기, 정적분)과 초월함수의 엄밀한 극한/부등식 증명을 복합 출제합니다.
3. 2022 개정 공통수학1 [행렬] 단원의 연역적 서술 평가:
성균관대는 대수적 구조의 논리성을 중시하여, $2 \times 2$ 행렬의 곱셈 비가환성($AB \ne BA$), 거듭제곱과 수열의 점화식 연계 문항을 소문항 꼬리물기 구조로 출제합니다.
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$를 만족하는 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.
실수 전체의 집합에서 두 번 미분가능한 함수 $g(x)$에 대하여 $g''(x) > 0$이면 곡선 $y = g(x)$는 아래로 볼록하다. 또한 임의의 $x > 0$에 대하여 부등식 $\ln(1+x) < x$가 성립한다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$$
한 변의 길이가 $2$인 정사면체 $ABCD$가 있다. 삼각형 $BCD$의 무게중심을 $H$라 하면 선분 $AH$는 평면 $BCD$와 수직이다.
평면 $\alpha$와 평면 $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)라 할 때, 평면 $\alpha$ 위의 넓이가 $S$인 도형의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라 하면 $S' = S \cos \theta$이다.
피보나치 수열 $\{F_n\}$은 $F_1 = 1, F_2 = 1$ 및 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ($n \ge 1$)으로 정의된다. 행렬 $Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $Q$의 거듭제곱은 피보나치 수열의 항들과 밀접한 관계를 갖는다.
$2 \times 2$ 행렬 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $\det(M) = ad - bc$를 행렬식이라 정의하며, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$가 성립한다.
환자에게 정맥 주사로 약물 $D$를 1회 투여했을 때 시간 $t$ ($t \ge 0$, 단위: 시간)에서의 혈중 약물 농도 $C(t)$는 지수 감쇄 법칙 $C(t) = C_0 e^{-kt}$를 따른다. 여기서 $C_0$는 투여 직후 초기 농도, $k$는 약물 제거 속도 상수($k > 0$)이다.
일정한 시간 간격 $\tau$마다 동일한 용량의 약물을 반복 투여할 때, $n$번째 투여 직후의 혈중 최고 농도를 $C_{\max, n}$, $n$번째 투여 직전(투여 후 $\tau$ 시간 경과)의 혈중 최저 농도를 $C_{\min, n}$이라 한다. 치료 효과를 안전하게 유지하기 위해서는 유효 혈중 농도 구간 $[C_{\text{eff}}, C_{\text{tox}}]$를 유지해야 한다.
$f(t) = \ln(1+t)$는 $[0, x]$에서 연속이고 $(0, x)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 $\frac{\ln(1+x)-\ln 1}{x} = f'(c) = \frac{1}{1+c}$인 $c \in (0, x)$가 존재한다.
$0 < c < x$이므로 $\frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+c} < 1$이다. 따라서 $\frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x)}{x} < 1 \iff \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$가 성립한다. (단, $x > 0$이다.)
$\ln a_n = n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$이다. 함수 $g(x) = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ ($x \ge 1$)의 도함수는 $g'(x) = \ln(1+1/x) - \frac{1}{x+1}$이다. 1-1의 부등식에서 $x$ 대신 $1/x$을 대입하면 $\ln(1+1/x) > \frac{1/x}{1+1/x} = \frac{1}{x+1}$이므로 $g'(x) > 0$이다. 따라서 $a_n$은 증가수열이다.
1-1의 부등식 $x - \frac{x^2}{1+x} < \ln(1+x) < x$에서 $\frac{x^2}{1+x} > x - \ln(1+x) > 0$이다. 2차 전개 부등식을 적용하면 $\lim_{x \to 0} \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$이 성립한다.
한 변이 $2$인 정삼각형 $BCD$의 높이는 $\sqrt{3}$, 무게중심 $H$에 대해 $BH = \frac{2\sqrt{3}}{3}$이다. $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4 - 4/3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$이다.
변 $BC$의 중점을 $E$라 하면 $AE = \sqrt{3}, HE = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 이면각 $\cos\theta = \frac{HE}{AE} = \frac{\sqrt{3}/3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$이다.
$M$은 $AB$의 중점, $N$은 $CD$의 중점이므로 선분 $MN$은 두 모서리 $AB$와 $CD$에 모두 수직이다. $MN = \sqrt{AN^2 - AM^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2}$이다.
$M$에서 평면 $BCD$에 내린 수선의 발의 높이는 $\frac{1}{2}AH = \frac{\sqrt{6}}{3}$이므로, $\sin\phi = \frac{\sqrt{6}/3}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
내접구의 중심은 $H$ 선분 상에 있으며 반지름 $r = \frac{1}{4}AH = \frac{\sqrt{6}}{6}$이다. 구의 정사영은 반지름이 $r$인 원이므로 넓이는 $S' = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2 = \frac{\pi}{6}$이다.
(i) $n=1$일 때 $Q^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1 \\ F_1 & F_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 성립.
(ii) $n=k$ 가정 시 $Q^{k+1} = Q^k Q = \begin{pmatrix} F_{k+1} & F_k \\ F_k & F_{k-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{k+1}+F_k & F_{k+1} \\ F_k+F_{k-1} & F_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{k+2} & F_{k+1} \\ F_{k+1} & F_k \end{pmatrix}$이므로 모든 자연수에 대해 성립한다.
$\det(Q) = 1 \times 0 - 1 \times 1 = -1$이다. 따라서 $\det(Q^n) = (\det Q)^n = (-1)^n$이다. 3-1에 의해 $\det(Q^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$이므로 $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$이 성립한다.
$Q^2 = Q + E, Q^3 = 2Q + E, Q^4 = 3Q + 2E$ 등으로부터 일반항 $Q^n = F_n Q + F_{n-1} E$이다. 따라서 $Q^{2028} = F_{2028} Q + F_{2027} E$이다.
$C(t_{1/2}) = C_0 e^{-k t_{1/2}} = \frac{1}{2}C_0 \implies e^{-k t_{1/2}} = \frac{1}{2} \implies t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$이다.
$C_{\max, n} = C_0 + C_0 e^{-k\tau} + \cdots + C_0 e^{-(n-1)k\tau}$는 첫째항 $C_0$, 공비 $e^{-k\tau}$인 등비수열의 합이다. $k > 0, \tau > 0$에서 $0 < e^{-k\tau} < 1$이므로 무한등비급수가 수렴한다.
$$C_{\max} = \lim_{n \to \infty} C_{\max, n} = \frac{C_0}{1 - e^{-k\tau}}, \quad C_{\min} = C_{\max} e^{-k\tau} = \frac{C_0 e^{-k\tau}}{1 - e^{-k\tau}}$$
정상 상태의 한 주기 동안 $C_{\text{ss}}(t) = C_{\max} e^{-kt}$ ($0 \le t \le \tau$)이다.
$$\begin{aligned} C_{\text{avg}} &= \frac{1}{\tau}\int_0^\tau \frac{C_0}{1-e^{-k\tau}} e^{-kt} dt = \frac{C_0}{\tau(1-e^{-k\tau})} \left[ -\frac{1}{k}e^{-kt} \right]_0^\tau \\ &= \frac{C_0}{\tau(1-e^{-k\tau})} \frac{1-e^{-k\tau}}{k} = \frac{C_0}{k\tau} \end{aligned}$$
| 문항 | 채점 기준 및 세부 평가 요소 | 배점 | 감점 요인 |
|---|---|---|---|
| 1-1 | 함수 $\ln(1+t)$의 구간 연속성·미분가능성 선언 및 평균값 정리 적용 | 4점 | 조건 누락 -2점 |
| 부등식 $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$ 양변 완벽 증명 | 4점 | 증명 비약 -2점 | |
| 1-2 | 로그 취하여 $g(x) = x\ln(1+1/x)$ 도함수 유도 | 4점 | 미분 실수 -2점 |
| 1-1 부등식을 활용하여 $g'(x) > 0$ 판정 및 증가 증명 | 5점 | 연계 실패 -3점 | |
| 1-3 | 부등식 조작을 통한 상한과 하한 설정 | 4점 | 로피탈 사용 -3점 |
| 샌드위치 정리에 의한 최종 극한값 $1/2$ 도출 | 4점 | 정리명 생략 -1점 |
| 문항 | 채점 기준 및 세부 평가 요소 | 배점 | 감점 요인 |
|---|---|---|---|
| 2-1 | 피타고라스 정리를 통한 높이 $AH = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ 산출 | 3점 | 계산 실수 -1점 |
| 중선 선분비로 이면각 $\cos\theta = 1/3$ 유도 | 4점 | 과정 누락 -2점 | |
| 2-2 | 공통수선 길이 $MN = \sqrt{2}$ 정확 산출 | 4점 | 수직 증명생략 -2점 |
| 평면과 직선이 이루는 각 $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 유도 | 5점 | 오답 시 -3점 | |
| 2-3 | 내접구 반지름 $r = \frac{\sqrt{6}}{6}$ 산출 | 4점 | 공식 오류 -2점 |
| 구의 정사영 넓이 $\pi/6$ 완벽 도출 (대원 정사영 원리) | 5점 | $\cos\theta$ 곱하면 -4점 |
| 문항 | 채점 기준 및 세부 평가 요소 | 배점 | 감점 요인 |
|---|---|---|---|
| 3-1 | $n=1$ 초기조건 확인 및 $n=k$ 귀납 가정 | 3점 | 가정 누락 -1점 |
| $Q^{k+1}$ 행렬 곱셈 전개와 피보나치 점화식 완벽 증명 | 5점 | 점화식 생략 -2점 | |
| 3-2 | $\det(Q^n) = (\det Q)^n = (-1)^n$ 유도 | 4점 | 성질 미명시 -2점 |
| 행렬식 성분 계산과 결합하여 카시니 항등식 증명 | 4점 | 부호 실수 -2점 | |
| 3-3 | $Q^2 = Q+E$ 주기성 및 차수 낮추기 점화식 도출 | 4점 | 과정 비약 -2점 |
| $Q^{2028} = F_{2028}Q + F_{2027}E$ 완벽 표현 | 5점 | 첨자 실수 -2점 |
| 문항 | 채점 기준 및 세부 평가 요소 | 배점 | 감점 요인 |
|---|---|---|---|
| 4-1 | 지수방정식 $e^{-kt_{1/2}} = 1/2$ 수식화 | 3점 | 식 미제시 -1점 |
| 반감기 $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ 정확 도출 | 3점 | 오답 시 -2점 | |
| 4-2 | 반복 투여 누적 농도의 등비수열 합 수식화 | 5점 | 공비 실수 -3점 |
| 수렴 조건 $0 < e^{-k\tau} < 1$ 명시 및 $C_{\max}, C_{\min}$ 도출 | 5점 | 수렴조건 누락 -2점 | |
| 4-3 | 함수의 평균값 정의 정적분식 $\frac{1}{\tau}\int_0^\tau C(t)dt$ 선언 | 4점 | 공식 누락 -2점 |
| 정적분 계산 및 소거를 통한 $\frac{C_0}{k\tau}$ 일치 증명 | 5점 | 계산 비약 -2점 |
$1+x^2 = t$라 두면 $2x dx = dt \implies x dx = \frac{1}{2}dt$이다. $x=0 \to t=1, x=1 \to t=2$이다.
$$I = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} x dx = \frac{1}{2}\int_1^2 \frac{t-1}{t} dt = \frac{1}{2} [t - \ln t]_1^2 = \frac{1}{2}(1 - \ln 2)$$
또한 $x \in [0, 1]$에서 $1 \le 1+x^2 \le 2$이므로 $\frac{1}{2} \le \frac{1}{1+x^2} \le 1$이다. 양변에 $x^3 \ge 0$을 곱하면 $\frac{x^3}{2} \le \frac{x^3}{1+x^2} \le x^3$이다.
각 변을 $[0, 1]$에서 적분하면 $\int_0^1 \frac{x^3}{2}dx \le I \le \int_0^1 x^3 dx \implies \frac{1}{8} \le I \le \frac{1}{4}$이다. 실제로 $\frac{1-\ln 2}{2} \approx \frac{0.3068}{2} = 0.1534 \in [0.125, 0.25]$이다.
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 치환적분 전개 및 $I = \frac{1-\ln 2}{2}$ 도출 | 7점 | -3점 |
| 부등식 적분을 통한 $1/8 \le I \le 1/4$ 증명 | 8점 | -3점 |
$V = \pi \int_0^1 y^2 dx = \pi \int_0^1 x e^{-2x} dx$이다. 부분적분법: $u = x, v' = e^{-2x}$로 두면 $u'=1, v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$이다.
$$\begin{aligned} V &= \pi \left( \left[ -\frac{1}{2}x e^{-2x} \right]_0^1 + \frac{1}{2}\int_0^1 e^{-2x} dx \right) = \pi \left( -\frac{1}{2e^2} + \frac{1}{2}\left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_0^1 \right) \\ &= \pi \left( -\frac{1}{2e^2} - \frac{1}{4e^2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi(e^2 - 3)}{4e^2} \end{aligned}$$
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 회전체 부피 공식 $V = \pi \int y^2 dx$ 선언 | 5점 | -2점 |
| 부분적분 적분 전개 및 부호 처리 | 5점 | -2점 |
| 최종 부피 $\frac{\pi(e^2-3)}{4e^2}$ 도출 | 5점 | -2점 |
포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x+x_1)$이다.
$y=0$일 때 $2p(x+x_1)=0 \implies x = -x_1$이므로 $x$절편 $T$의 좌표는 $(-x_1, 0)$이다.
초점 $F(p, 0)$에 대하여 선분 $FT$의 길이는 $p - (-x_1) = x_1 + p$이다.
포물선의 정의에 의해 점 $P$에서 준선 $x = -p$까지의 거리는 $x_1 - (-p) = x_1 + p$이므로 선분 $FP$의 길이도 $x_1 + p$이다.
따라서 $|FP| = |FT| = x_1 + p$이므로 삼각형 $FPT$는 이등변삼각형이다.
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 접선 방정식 및 $T(-x_1, 0)$ 유도 | 5점 | -2점 |
| 선분 $FT = x_1+p$ 산출 | 5점 | -2점 |
| 포물선 정의 $FP = x_1+p$ 증명 완결 | 5점 | -2점 |
구 $S$의 중심 $O(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha: x+y+z=3$까지의 거리는 $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$이다.
원 $C$의 반지름 $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}$이므로 원 $C$의 넓이는 $S = \pi r^2 = 6\pi$이다.
평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n_\alpha} = (1, 1, 1)$, $xy$평면의 법선벡터 $\vec{n_{xy}} = (0, 0, 1)$ 사이의 각 $\theta$에 대해 $\cos\theta = \frac{|\vec{n_\alpha}\cdot\vec{n_{xy}}|}{|\vec{n_\alpha}||\vec{n_{xy}}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
정사영 공식에 의해 구하는 넓이는 $S' = S \cos\theta = 6\pi \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\pi$이다.
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 원점과 평면 거리 $d$ 및 원 넓이 $6\pi$ 계산 | 5점 | -2점 |
| 두 평면의 이면각 $\cos\theta = \sqrt{3}/3$ 유도 | 5점 | -2점 |
| 정사영 넓이 $2\sqrt{3}\pi$ 정확 산출 | 5점 | -2점 |
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 2E + N$이다.
$N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$이다.
$2E$와 $N$은 곱셈에 대해 교환 가능($(2E)N = N(2E) = 2N$)하므로 이항정리를 적용할 수 있다.
$$\begin{aligned} A^n &= (2E + N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2E)^{n-k} N^k = \binom{n}{0}(2E)^n + \binom{n}{1}(2E)^{n-1}N + O \\ &= 2^n E + n 2^{n-1} N \end{aligned}$$
따라서 $A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$이다. (단, $n$은 자연수이다.)
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| $N^2 = O$ 멱영성 증명 | 4점 | -2점 |
| 교환가능성 선언 및 이항정리 전개 | 6점 | -3점 |
| 행렬 $A^n$ 성분 완벽 도출 | 5점 | -2점 |
[1] 구체적인 영인자 예: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ne O$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ne O$에 대하여 $AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$이다.
[2] $A$의 역행렬 비존재 귀류법 증명: $A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재한다고 가정하자. 등식 $AB = O$의 양변 왼쪽에 $A^{-1}$을 곱하면 $A^{-1}(AB) = A^{-1}O$이다. 행렬 곱셈의 결합법칙에 의해 $(A^{-1}A)B = O \implies EB = O \implies B = O$이다. 이는 $B \ne O$라는 전제 조건에 모순이다. 따라서 $A$의 역행렬은 존재하지 않는다.
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 타당한 영인자 반례 $A, B$ 제시 | 5점 | -2점 |
| 귀류법 가정 설정 및 좌곱 결합법칙 전개 | 5점 | -2점 |
| $B=O$ 모순 도출 및 결론 완결 | 5점 | -2점 |
$K = \frac{k_a F D}{V(k_a - k_e)}$라 두면 $C(t) = K(e^{-k_e t} - e^{-k_a t})$이다. 도함수를 구하면 $C'(t) = K(-k_e e^{-k_e t} + k_a e^{-k_a t})$이다.
$C'(t) = 0 \iff k_a e^{-k_a t} = k_e e^{-k_e t} \iff \frac{k_a}{k_e} = e^{(k_a - k_e)t}$이다. 양변에 자연로그를 취하면 $\ln\left(\frac{k_a}{k_e}\right) = (k_a - k_e)t$이다.
$$t_{\max} = \frac{\ln(k_a / k_e)}{k_a - k_e}$$
$0 < t < t_{\max}$에서 $C'(t) > 0$, $t > t_{\max}$에서 $C'(t) < 0$이므로 $t = t_{\max}$에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 도함수 $C'(t)$ 계산 및 영점 방정식 유도 | 5점 | -2점 |
| 로그를 취하여 $t_{\max} = \frac{\ln(k_a/k_e)}{k_a-k_e}$ 산출 | 5점 | -2점 |
| 증감표 또는 부호 판정을 통한 최댓값 입증 | 5점 | -2점 |
질병 발병 사건 $D$, 양성 판정 사건 $+$라 하자. 주어진 조건: $P(D) = 0.005, P(D^c) = 0.995$.
민감도: $P(+|D) = 0.99$, 특이도: $P(-|D^c) = 0.98 \implies P(+|D^c) = 0.02$이다.
전확률 정리에 의해 양성 판정 확률 $P(+)$는 $P(+) = P(D)P(+|D) + P(D^c)P(+|D^c) = 0.005 \times 0.99 + 0.995 \times 0.02 = 0.00495 + 0.0199 = 0.02485$이다.
베이즈 정리에 의해 양성일 때 실제 환자일 확률은:
$$P(D|+) = \frac{P(D \cap +)}{P(+)} = \frac{0.00495}{0.02485} = \frac{495}{2485} = \frac{99}{497} \approx 19.92\%$$
| 평가 항목 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|
| 표본공간 분할 및 조건부확률 기호 정의 | 5점 | -2점 |
| 전확률 정리 $P(+) = 0.02485$ 전개 | 5점 | -2점 |
| 최종 예측도 $99/497$ 도출 | 5점 | -2점 |
성균관대 수리논술은 고교 교육과정 내의 엄밀한 극한 판정을 평가합니다. 로피탈 정리를 써서 답만 구하면 채점 기준표상 '교육과정 외 풀이 감점' 규정에 따라 최소 50%의 점수가 깎입니다. 반드시 평균값 정리나 삼각함수/초월함수 기본 극한 부등식을 조작하여 유도하십시오.
BAD: 로피탈 정리에 의해 $\lim_{x\to 0} \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} = \lim \frac{1-1/(1+x)}{2x} = 1/2$.
GOOD: 평균값 정리로 도출한 부등식 $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$를 양변 조작하여 샌드위치 정리로 $1/2$을 증명한다.
약동학 및 무한반복 모델에서 무한급수 합 공식 $\frac{a}{1-r}$을 쓸 때, 공비 $r = e^{-k\tau}$가 $0 < r < 1$임을 수식으로 확인하지 않고 바로 공식을 대입하면 2점이 감점됩니다.
"$k > 0, \tau > 0$이므로 $k\tau > 0 \implies 0 < e^{-k\tau} < 1$이다. 따라서 무한등비급수는 수렴하며 합은 $\cdots$이다."와 같이 공비의 범위를 1줄 반드시 서술하십시오.
평면 위의 다각형은 정사영 시 $S \cos\theta$가 되지만, 구는 모든 방향에서 보았을 때 단면이 대원(반지름 $r$인 원)이므로 정사영도 항상 넓이 $\pi r^2$인 원입니다. 여기에 $\cos\theta$를 곱하는 실수가 의외로 최상위권에서도 빈번합니다.
입체도형을 평면에 정사영할 때는 '빛의 진행 방향과 수직인 최대 단면의 형태'를 반드시 기하학적으로 규명하고 공식을 적용하십시오.
$(2E+N)^n$을 전개할 때 $2E$와 $N$이 교환 가능하다는 사실을 쓰지 않고 바로 조합 기호를 쓰면 감점됩니다.
미분하여 0이 되는 근을 구하고 바로 '이때 최대가 된다'고 결론내리면 극대 판정 미흡으로 2점 감점됩니다. 반드시 좌우 부호 변화를 밝히십시오.
| 평가 항목 | 자가 점검 질문 | 평가 |
|---|---|---|
| 수능최저 대비 | 국수영탐 중 3합6(의약학 3합5)을 안정적으로 모의평가에서 달성하고 있는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 정리 전제조건 | 평균값·사잇값 정리를 쓸 때 연속성과 미분가능성을 적었는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 수렴조건 확인 | 무한등비급수 합 공식을 쓸 때 공비 $|r|<1$을 선언하였는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 평가 항목 | 자가 점검 질문 | 평가 |
|---|---|---|
| 치환적분 구간 | 치환 시 적분 변수와 구간을 동시에 변경했는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 행렬 연산 순서 | 좌곱과 우곱을 혼동하여 곱셈 순서를 뒤바꾸지 않았는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 의약학 수치 계산 | 약동학 지수함수 반감기 식을 정확히 전개했는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 평가 항목 | 자가 점검 질문 | 평가 |
|---|---|---|
| 시간 안배 | 100분 내에 3~4개 대문항을 모두 작성하였는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 가독성 | 수식과 한글 설명문이 조화롭고 깔끔한가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 결론 명문화 | 최종 답에 박스 또는 '따라서...' 결론 처리를 하였는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 도 서 명 | [44-Page 완결본] 2028 성균관대학교 수리논술 이렇게 하면 합격한다 (의약학·자연계열 C1) |
| 저자 및 감수 | 강원호 (Woner 소장) / 주식회사 퀘스티오 수리논술전략평의회 |
| 발 행 처 | 주식회사 퀘스티오 (Questio Inc.) |
| 전자출판 ISBN | 979-11-984420-2-2 (95370) [국립중앙도서관 정식 등록] |
| 세무 세부 구분 | 부가가치세법 제26조 제1항 제18호에 의거 부가가치세 면세 (0%) 및 도서소득공제(30%) 적용 |
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