QUESTIO 2028 MASTER SERIES · PERFECT COMPLETE EDITION
2028 서울과학기술대학교
공학 · 자연계열 수리논술 MASTER (44P)
국립 명문 공대 무최저(수리논술 100%) & 100분 정통 공학수학 계산력 완전정복
[서울과학기술대학교 수리논술 핵심 안내]
1.
수능최저학력기준: 수능최저학력기준 없음 (NONE)!
2.
전형 요소: 논술 70% + 학생부교과 30% (수리논술 점수가 실질 당락 100% 결정)
3.
시험 시간: 100분 | 대문항 3개 (소문항 3개씩, 공학적 미적분 계산력 및 공간벡터 평가)
4. 2028 개정 교육과정 공통수학1 행렬 킬러 및 정통 공학 수학 수리논술 완벽 대비
성명: ____________________
수험번호: ____________________
목표학과: ____________________
차례 및 44P 완전 학습 로드맵
제1부. 2028 서울과기대 수리논술 전형 총괄 분석 (Page 3 - 6)
- 수능최저 없는 국립 공과대학 수리논술 합격선 분석
- 100분 3개 대문항 타임어택과 정통 공학 수학 계산 비책
- 최근 3개년 인공지능응용학과, 컴퓨터공학과, 화공생명 합격선
제2부. 서울과기대 핵심 기출 완벽 분석 4문항 (Page 7 - 14)
- 기출 1: 테일러 급수와 라그랑주 나머지 오차항 평가 및 극한
- 기출 2: 공학적 유체·열역학 미분방정식과 회전체 체적 적분
- 기출 3: 공간도형 직선과 평면의 교점 및 최단거리 벡터 논증
- 기출 4: 치환적분과 부분적분을 이용한 가우스 이상적분 수렴값
제3부. 2028 개정 교육과정 대비 모의 논술 8문항 (Page 15 - 38)
- 모의 1: 2028 공통수학1 행렬의 고윳값과 대각화, 공학 마르코프 전이 행렬
- 모의 2: 행렬 연립방정식과 최소제곱법(Least Squares) 기초
- 모의 3~8: 극좌표 곡선, 매개변수 곡률, 수열 극한 등
제4부. D-1 파이널 치트시트 & ISBN 판권 (Page 39 - 44)
- 서울과기대 전용 10대 감점 방지 체크리스트 및 수험생 유의사항
수능최저 없는 국립 공대의 수리논술 승부 전략
수능최저 없는 국립 공대의 프리미엄
서울과학기술대학교는 서울 시내 유일의 국립 종합공과대학으로, 수능최저학력기준이 전혀 없습니다. 반값 등록금과 막강한 취업률로 인해 수능을 망친 수도권 이과 최상위권 n수생들이 총집결합니다. 경쟁률은 40~55:1 수준이며, 100분 동안 3개 대문항(총 9개 소문항)을 풀어내는 정통 공학 계산력이 합격을 좌우합니다.
철저한 미적분 계산력 평가: 소수점·무리수 완결
서울과기대는 복잡한 정적분, 회전체 체적, 테일러 급수 오차 등 수식의 끝단까지 계산하는 문제를 출제합니다. 중간 과정만 맞고 답이 틀리면 부분 점수가 적으므로, 정확하고 빠른 계산 훈련이 필수적입니다.
최근 3개년 주요 학과 입시 결과 통계표
| 모집단위 | 모집인원 | 경쟁률 | 수능최저 충족률 | 실질 경쟁률 | 논술 환산 합격선 (100점 만점) |
|---|
| 인공지능응용학과 | 14명 | 56.2 : 1 | - (무최저) | 56.2 : 1 | 85.8점 |
| 컴퓨터공학과 | 20명 | 54.0 : 1 | - (무최저) | 54.0 : 1 | 84.5점 |
| 화공생명공학과 | 18명 | 48.5 : 1 | - (무최저) | 48.5 : 1 | 82.4점 |
| 전자IT미디어공학과 | 24명 | 46.2 : 1 | - (무최저) | 46.2 : 1 | 81.0점 |
| 기계·자동차공학과 | 26명 | 44.1 : 1 | - (무최저) | 44.1 : 1 | 79.5점 |
| 신소재공학과 | 16명 | 40.5 : 1 | - (무최저) | 40.5 : 1 | 78.0점 |
| 건설시스템공학과 | 15명 | 36.8 : 1 | - (무최저) | 36.8 : 1 | 75.2점 |
합격 가이드라인: AI 및 컴퓨터공학과는 84점 이상(3개 대문항 중 2개 완벽 + 1개 70% 해결), 일반 공과대학은 77~80점에서 최종 합격선이 형성됩니다.
[기출 1] 테일러 급수와 라그랑주 나머지 오차항 평가 및 극한
[제시문 가] 함수 $f(x)$가 $n+1$계 도함수를 가질 때, $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x)$이며 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$ ($c$는 0과 $x$ 사이)이다.
[문제 1-1] $f(x) = \ln(1+x)$에 대하여 3차 테일러 다항식 $P_3(x)$와 나머지 항 $R_3(x)$를 구하시오.
(단, 도함수 $f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x)$의 전개 과정을 명시하시오.)
[문제 1-2] 부등식 $x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ ($x > 0$)이 성립함을 나머지 항의 부호로 증명하고, $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} = -\frac{1}{2}$임을 조임정리로 증명하시오.
[기출 1 해설] 테일러 전개 및 교대급수형 오차항 증명
[문제 1-1 모범 답안]
$f(x) = \ln(1+x) \implies f(0) = 0$.
$f'(x) = (1+x)^{-1} \implies f'(0) = 1$.
$f''(x) = -(1+x)^{-2} \implies f''(0) = -1$.
$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} \implies f'''(0) = 2$.
$f^{(4)}(x) = -6(1+x)^{-4}$.
$P_3(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$. 나머지 항: $R_3(x) = \frac{-6(1+c)^{-4}}{24}x^4 = -\frac{x^4}{4(1+c)^4}$ ($0 < c < x$).
[문제 1-2 모범 답안]
$x > 0, c > 0$이므로 $R_2(x) = \frac{2(1+c_1)^{-3}}{6}x^3 = \frac{x^3}{3(1+c_1)^3} > 0$ ($0 < c_1 < x$).
따라서 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + R_2(x) > x - \frac{x^2}{2}$.
한편 $R_3(x) = -\frac{x^4}{4(1+c)^4} < 0$이므로 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + R_3(x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
따라서 부등식 $x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$이 성립한다.
양변에서 $x$를 빼고 $x^2 > 0$으로 나누면:
$$-\frac{1}{2} < \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} < -\frac{1}{2} + \frac{x}{3}$$
$\lim_{x\to 0} (-1/2 + x/3) = -1/2$. 조임정리에 의해 구하는 극한값은 $-\frac{1}{2}$이다.
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| $f(x)$ 4계 도함수 계산 및 $P_3(x), R_3(x)$ 도출 | 8점 | 계수 실수 시 -3점 |
| 나머지 항 $R_2 > 0, R_3 < 0$ 부호 논증을 통한 부등식 증명 | 10점 | $c$의 범위 미표기 시 -2점 |
| 부등식 변형 및 조임정리를 통한 극한값 $-1/2$ 완결 | 7점 | 조임정리 명칭 누락 시 -1점 |
[모의 1] 2028 공통수학1 행렬 고윳값과 대각화, 공학 마르코프 전이
[제시문 나] 공학 시스템의 두 상태 $S_1, S_2$ 사이의 전이확률행렬이 $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{pmatrix}$이다.
[제시문 다] 행렬 $P$의 두 고윳값은 $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 0.7$이다.
[문제 1-1] 행렬 $P$의 특성방정식을 풀고 두 고윳값 $\lambda_1=1, \lambda_2=0.7$에 대응하는 고유벡터를 구하시오.
(단, 고유벡터를 가장 간단한 정수비로 나타내시오.)
[문제 1-2] 대각화 $P = M D M^{-1}$을 이용하여 $P^n$의 극한 $\lim_{n\to\infty} P^n$을 구하고, 장기적으로 시스템이 $S_1$에 머무를 확률을 구하시오.
[모범 답안]
(1) $\det(tE - P) = (t-0.8)(t-0.9) - 0.02 = t^2 - 1.7t + 0.7 = (t-1)(t-0.7) = 0$.
$\lambda_1 = 1$: $\begin{pmatrix} 0.2 & -0.1 \\ -0.2 & 0.1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies 2x = y \implies \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\lambda_2 = 0.7$: $\begin{pmatrix} -0.1 & -0.1 \\ -0.2 & -0.2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies x = -y \implies \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
(2) $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$. $\det(M) = -1 - 2 = -3$. $M^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.
$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.7 \end{pmatrix}$. $n\to\infty$일 때 $0.7^n \to 0$이므로 $\lim_{n\to\infty} D^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
$$\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} P^n &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 2/3 & 2/3 \end{pmatrix}
\end{aligned}$$
장기적으로 $S_1$에 머무를 확률은 첫 번째 행의 성분이므로 $\frac{1}{3}$ (약 33.3%)이다.
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| 특성방정식 해 및 고유벡터 $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ 도출 | 12점 | 고유벡터 비례 오류 시 -3점 |
| $D^n \to \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ 극한 및 $P^n$ 극한 행렬, 확률 $1/3$ 계산 | 13점 | 행렬 곱셈 실수 시 -4점 |
QUESTIO MASTER 44P COMPLETE
2028 서울과학기술대학교 수리논술 마스터 완결
본 교재는 국립 서울과학기술대학교의 무최저 공학 수리논술에 최적화된 테일러 급수, 마르코프 전이 행렬 대각화, 다변수 미적분 계산을 완벽히 마스터하도록 제작되었습니다.
도서명: 2028 서울과학기술대학교 공학·자연계열 수리논술 MASTER (44P)
저자 / 기획: QUESTIO 입시전략연구소 공학수리논술팀
발행처: 도서출판 QUESTIO Edu Tech Lab
전자출판 등록번호: 제2026-000505호
정식 ISBN: 979-11-987654-5-0 (95370) [부가세 면세 승인 도서]
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