[1단계: 일반항 도출 및 음수 항 판별]
$a_n = 44 + (n - 1)(-3) = -3n + 47$.
$a_n < 0 \iff -3n + 47 < 0 \iff 3n > 47 \iff n > 15.66\dots$
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제16항이다.
[2단계: 합의 최댓값 Sn 계산]
제15항까지는 양수($a_{15} = 2$)이고 제16항부터 음수($a_{16} = -1$)이므로 $n = 15$ 일 때 $S_n$ 은 최대이다.
$$S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = \frac{15(44 + 2)}{2} = \frac{15 \times 46}{2} = 15 \times 23 = 345$$

[1단계: 접선의 방정식 유도] $y' = 2x - 4$ 이므로 점 $P(3, 0)$ 에서의 접선의 기울기는 $m = 6 - 4 = 2$ 이다.
접선 $l$ 의 방정식: $y - 0 = 2(x - 3) \iff y = 2x - 6$.
[2단계: 둘러싸인 넓이 계산] $x \in [0, 3]$ 에서 곡선이 접선 위에 있으므로 넓이 $S$ 는:
$$S = \int_0^3 \left[(x^2 - 4x + 3) - (2x - 6)\right] dx = \int_0^3 (x^2 - 6x + 9) dx = \int_0^3 (x - 3)^2 dx$$ $$S = \left[\frac{(x - 3)^3}{3}\right]_0^3 = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9$$

[1단계: 치환 및 이차방정식 수립] $t = 2^x > 0$ 이라 두면 방정식은 $t^2 - 4t + k = 0$ 이다.
[2단계: 서로 다른 두 양의 실근 조건] $x$ 가 서로 다른 두 실근을 가지려면 $t$ 에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
① 판별식: $D/4 = (-2)^2 - k = 4 - k > 0 \iff k < 4$
② 두 근의 합: $\alpha + \beta = 4 > 0$ (항상 만족)
③ 두 근의 곱: $\alpha \beta = k > 0$
따라서 구하는 $k$ 의 범위는 $0 < k < 4$ 이다.

[1단계: 도함수 및 극값 위치] $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2) = 0$.
$x = 1, 2$ 이며 부호 변화에 의해 $x=1$ 에서 극대, $x=2$ 에서 극소이다.
- 극댓값: $f(1) = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$
- 극솟값: $f(2) = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$
[2단계: 극대·극소 차이] $6 - 5 = 1$.

[1단계: 케일리-해밀턴 정리 유도] $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 에서 $\text{tr}(A) = 5$, $\det(A) = 4 - 6 = -2$.
따라서 $A^2 - 5A - 2E = O$ 가 성립한다.
[2단계: A³ 계산] $A^2 = 5A + 2E$ 이므로 양변에 $A$ 를 곱하면:
$$A^3 = 5A^2 + 2A = 5(5A + 2E) + 2A = 25A + 10E + 2A = 27A + 10E$$ 따라서 $p = 27, q = 10$ 이다.

[1단계: 대각선 AC를 이용한 코사인법칙] $\angle B = \theta \implies \angle D = \pi - \theta$.
$AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2(3)(2)\cos\theta = 13 - 12\cos\theta$.
$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)\cos(\pi - \theta) = 25 + 24\cos\theta$.
$13 - 12\cos\theta = 25 + 24\cos\theta \iff 36\cos\theta = -12 \iff \cos\theta = -\frac{1}{3}$.
[2단계: 사각형 넓이 계산] $\sin\theta = \sqrt{1 - 1/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$S = \frac{1}{2}(3)(2)\sin\theta + \frac{1}{2}(3)(4)\sin(\pi-\theta) = (3 + 6)\sin\theta = 9 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 6\sqrt{2}$.

[1단계: 위치 함수 및 원점 복귀 시각]
$x(t) = \int_0^t (6u - 2u^2) du = 3t^2 - \frac{2}{3}t^3 = t^2\left(3 - \frac{2}{3}t\right) = 0$.
$t > 0$ 이므로 원점에 복귀하는 시각은 $3 - \frac{2}{3}t = 0 \iff t = \frac{9}{2} = 4.5$ 초이다.
[2단계: 운동 방향 전환 시각 및 이동 거리]
$v(t) = 2t(3 - t) = 0 \iff t = 3$ 에서 방향을 바꾼다.
이때까지 움직인 거리는 $x(3) = 3(3^2) - \frac{2}{3}(27) = 27 - 18 = 9$ 이다.

[1단계: 부분분수 분해] $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{(n+2)-n}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$.
[2단계: 망원급수 합 계산]
$$\sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{1}{2}\left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{12}\right)\right]$$ $$= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} - \frac{23}{132}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{198 - 23}{132}\right) = \frac{175}{264}$$

[1단계: 등비수열 합 공식 적용] $0 < e^{-kT} < 1$ 이므로 등비수열 합에 의해:
$$C_n = C_0 \frac{1 - (e^{-kT})^n}{1 - e^{-kT}} = C_0 \frac{1 - e^{-nkT}}{1 - e^{-kT}}$$ [2단계: 정상 상태 농도 및 투여 주기 T 유도] $n \to \infty$ 일 때 $\lim_{n \to \infty} e^{-nkT} = 0$ 이므로 정상 상태 최고 농도는 $C_{\max,\infty} = \frac{C_0}{1 - e^{-kT}}$ 이다.
다음 투여 직전의 최저 농도는 $C_{\min,\infty} = C_{\max,\infty} e^{-kT} = \frac{C_0 e^{-kT}}{1 - e^{-kT}}$ 이다.
유효 농도 범위를 유지하려면 $C_{\max,\infty} \le C_{\max}$ 이어야 하므로 $\frac{C_0}{1 - e^{-kT}} \le C_{\max} \iff 1 - e^{-kT} \ge \frac{C_0}{C_{\max}} \iff e^{-kT} \le 1 - \frac{C_0}{C_{\max}}$.
따라서 $T \ge -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C_0}{C_{\max}}\right)$ 이다.

[1단계: 역행렬 계산] $\det(A) = 0.5 \times 0.6 - 0.2 \times 0.3 = 0.30 - 0.06 = 0.24 = \frac{6}{25}$.
$$\begin{aligned} A^{-1} &= \frac{1}{0.24}\begin{pmatrix} 0.6 & -0.2 \\ -0.3 & 0.5 \end{pmatrix} \\ &= \frac{25}{6}\begin{pmatrix} 0.6 & -0.2 \\ -0.3 & 0.5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2.5 & -5/6 \\ -5/4 & 25/12 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ [2단계: 특성방정식 및 거듭제곱 극한] $(\lambda - 0.5)(\lambda - 0.6) - 0.06 = \lambda^2 - 1.1\lambda + 0.24 = (\lambda - 0.8)(\lambda - 0.3) = 0$.
두 고윳값은 $\lambda_1 = 0.8, \lambda_2 = 0.3$ 이며 둘 다 절댓값이 1보다 작다 ($|\lambda| < 1$).
따라서 $\lim_{n \to \infty} A^n = O$ (영행렬) 이다.

[1단계: 라인위버-버크 역수 선형화]
$$\frac{1}{v} = \frac{K_m\left(1 + \frac{I}{K_i}\right) + S}{V_{\max} S} = \frac{K_m\left(1 + \frac{I}{K_i}\right)}{V_{\max}} \frac{1}{S} + \frac{1}{V_{\max}}$$ [2단계: 저해제 농도 증가에 따른 변화 서술]
- $y$절편은 $\frac{1}{V_{\max}}$ 로서 저해제 농도 $I$ 에 무관하게 일정하다.
- 기울기는 $\frac{K_m}{V_{\max}}\left(1 + \frac{I}{K_i}\right)$ 이므로 $I$ 가 증가함에 따라 선형적으로 증가한다. (즉, 최대 반응속도는 불변이나 겉보기 $K_m$ 이 증가하여 친화도가 떨어진다.)

[1단계: 전확률 정리 및 사후확률 P(D|T⁺)]
$P(D) = 0.02, P(D^c) = 0.98, P(T^+|D) = 0.95, P(T^+|D^c) = 1 - 0.90 = 0.10$.
전체 양성 확률: $P(T^+) = 0.02 \times 0.95 + 0.98 \times 0.10 = 0.019 + 0.098 = 0.117$.
사후확률: $P(D|T^+) = \frac{0.019}{0.117} = \frac{19}{117} \approx 0.1624 \quad (16.24\%)$.
[2단계: 위양성률] 정상인이 양성 판정을 받을 확률은 $P(T^+|D^c) = 1 - \text{특이도} = 1 - 0.90 = 0.10$ ($10\%$).