고려대학교 2028 수리논술
이렇게 하면 합격한다.

[1-1] $y = (x + a/2)^2 - a^2/4$이므로 꼭짓점 $y_n = -a^2/4$이다. $n \to \infty$이면 $d_n \to \infty$이므로 $\lim a = \lim (1 - 1/d_n) = 1$이다. 따라서 $\mathbf{\lim y_n = -1/4}$.
[1-2] 두 교점을 $\alpha, \beta$ ($\beta - \alpha = d_n$)라 하면 넓이 $S_n = \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{1}{6}d_n^3$이다. 식 양변을 $nd_n$으로 나누면 $\frac{d_n^2}{n} + \frac{3d_n}{n} + \frac{3}{n} - 6 + \frac{1}{nd_n} = 0$이므로 $\mathbf{\lim \frac{d_n^2}{n} = 6}$.
[1-3] $d_{n+1}^2 - d_n^2 = (d_{n+1}-d_n)(d_{n+1}+d_n) \to 6$이고 $d_{n+1}/d_n \to 1$이므로 $\mathbf{\lim d_{n+1}(d_{n+1}-d_n) = 3}$.

[2-1] 기함수 조건 (나)에 의해 $a=c=0 \implies f(x) = x^3 + bx$이다. $f'(0) = b = 2$이므로 $\mathbf{f(x) = x^3 + 2x}$. $f(1) = 3$이므로 역함수 정의에 의해 $\mathbf{g(3) = 1}$.
[2-2] $x$는 기함수이고 $g(x)$도 기함수이므로 곱 $x g(x)$는 **우함수(짝함수)**이다.
따라서 $\int_{-3}^{3} x g(x) dx = 2 \int_{0}^{3} x g(x) dx$이다.
$g(x) = t \iff x = f(t) = t^3 + 2t$, $dx = (3t^2 + 2)dt$로 치환하면 구간은 $[0, 3] \to [0, 1]$이다.
$$\begin{aligned} 2 \int_{0}^{1} (t^3 + 2t) \cdot t \cdot (3t^2 + 2) dt &= 2 \int_{0}^{1} (3t^6 + 8t^4 + 4t^2) dt = 2\left(\frac{3}{7} + \frac{8}{5} + \frac{4}{3}\right) \\ &= \mathbf{\frac{706}{105}} \end{aligned}$$

[1-1] $f'(x) = e^x - 1$이므로 $x=0$에서 유일한 극솟값 $f(0) = 1 - k < 0$ ($k > 1$)을 갖는다.
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$이므로 사잇값 정리에 의해 구간 $(0, \infty)$에서 양의 실근 $\alpha$, 구간 $(-\infty, 0)$에서 음의 실근 $\beta$가 각각 유일하게 존재한다.
[1-2] $e^\alpha - \alpha = k$, $e^\beta - \beta = k$에서 음함수 미분법으로 $\frac{d\alpha}{dk} = \frac{1}{e^\alpha - 1} > 0$, $\frac{d\beta}{dk} = \frac{1}{e^\beta - 1} < 0$이다.
따라서 $\frac{d(\alpha - \beta)}{dk} > 0$이므로 $\alpha - \beta$는 순증가한다.
$\alpha = \ln(k + \alpha)$이므로 $\frac{\alpha}{\ln k} = \frac{\ln k + \ln(1 + \alpha/k)}{\ln k} \to \mathbf{1}$.

[1-1] $n=1$일 때 성립. $n=k$일 때 $A^k = \begin{pmatrix} 2^k & 2^k-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이라 가정하면 $A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 2^k \cdot 2 & 2^k + (2^k-1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 2^{k+1}-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이 성립한다.
[1-2] $b_n + 1 = 2^n$이므로 $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (x/2)^n$이다.
등비급수이므로 수렴반경은 $|x/2| < 1 \iff |x| < 2$이다.
$g(x) = \frac{x/2}{1 - x/2} = \frac{x}{2 - x} = -1 + \frac{2}{2 - x}$이다.
따라서 $\int_{0}^{1} g(x) dx = \int_{0}^{1} \left(-1 + \frac{2}{2-x}\right) dx = \left[-x - 2\ln(2-x)\right]_{0}^{1} = \mathbf{2\ln 2 - 1}$.

[2-1] 접선식 $t y = 2(x + t^2/4)$에서 $y=0 \implies x = -t^2/4$이므로 $Q(-t^2/4, 0, 0)$이다.
$PQ^2 = (t^2/2)^2 + t^2 = \frac{t^4}{4} + t^2$이므로 $\mathbf{PQ = \frac{t}{2}\sqrt{t^2 + 4}}$.
[2-2] 이면각 $\theta = 60^\circ$이므로 $\cos 60^\circ = 1/2$이다.
단면화된 타원의 단축 길이는 원통의 지름 $2r$로 불변이나, 경사각에 의해 장축 길이는 $\frac{2r}{\cos 60^\circ} = 4r$로 2배 확대된다.
따라서 장축과 단축의 비는 $4r : 2r = \mathbf{2 : 1}$이며, 정사영 면적비는 원형 면적으로 복원되어 $\mathbf{S' / S = 1/2}$을 만족한다.

[3-1] $n$점에 도달하는 사건은 (i) $n-1$점에서 앞면(1점)을 얻는 경우와 (ii) $n-2$점에서 뒷면(2점)을 얻는 경우의 상호 배반 사건이다.
전확률 공식에 의해 $p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n-2}$가 성립한다.
[3-2] 특성방정식 $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \iff (x - 1)(x + 1/2) = 0$이므로 특성근은 $1, -1/2$이다.
따라서 $p_n - p_{n-1} = -\frac{1}{2}(p_{n-1} - p_{n-2})$의 계차수열 구조를 갖는다.
$p_1 - p_0 = 1/2 - 1 = -1/2$이므로 $p_n - p_{n-1} = (-1/2)^n$이다.
양변을 축차대입하여 합하면 $p_n = p_0 + \sum_{k=1}^{n} (-1/2)^k = 1 + \frac{-1/2(1 - (-1/2)^n)}{1 - (-1/2)} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$이다.
따라서 극한값은 $\mathbf{\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{2}{3}}$이다.