📝 [오전 / 문항 1 해설]
2025학년도 고려대학교
💡 상세 해설 및 모범 답안
1-1 조건 (마)에서 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$를 미분하면 $g'(x) = 1 - 4f(x)$ 이다.
$x=\frac{1}{2}$에서 극값을 가지므로 $g'\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 4f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \mathbf{\frac{1}{4}}$ 이다.
$x=\frac{1}{2}$에서 극값을 가지므로 $g'\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 4f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \mathbf{\frac{1}{4}}$ 이다.
1-2 $A = \int_{0}^{1/2} f(x)dx$, $B = \int_{1/2}^{1} f(x)dx$라 하자.조건 (라)에서 부분적분법을 적용하면: $$\begin{aligned} \int_{0}^{1/2} x f'(x) dx &= \left[ x f(x) \right]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} f(x) dx = \frac{1}{8} - A = \frac{13}{192} \\ &\implies A = \frac{11}{192} \end{aligned}$$ 조건 (마)에서: $$\begin{aligned} g\left(\frac{1}{2}\right) &= \int_{0}^{1/2} (1-f(t))dt + 3 \int_{1/2}^{1} f(t)dt = \frac{1}{2} - A + 3B = \frac{61}{48} \\ &\implies B = \frac{53}{192} \end{aligned}$$ 조건 (다)에 따라 $f(x)$는 증가함수이므로 $x \in [0, 1/2]$에서 $f(x) \le 1/4$, $x \in [1/2, 1]$에서 $f(x) \ge 1/4$ 이다.
따라서 $\int_{0}^{1} |f(x)-\frac{1}{4}| dx = (\frac{1}{8}-A) + (B-\frac{1}{8}) = B - A = \frac{53-11}{192} = \mathbf{\frac{7}{32}}$ 이다.
1-3 정적분과 급수의 합 관계 및 $f(x)=t$ 치환적분을 적용하면:
$$\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|f\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)-\frac{k}{n}\right| f'\left(\frac{k}{n}\right) &= \int_{0}^{1} |f(f(x))-x| f'(x) dx \\
&= \int_{0}^{1} |f(t)-f^{-1}(t)| dt = 2 \int_{0}^{1} (x-f(x)) dx \\
&= 1 - 2(A+B) = 1 - 2\left(\frac{64}{192}\right) = \mathbf{\frac{1}{3}}
\end{aligned}$$
이다.
🎯 채점 기준 및 배점
| 하위문항 | 평가 단계 및 핵심 서술 요소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1-1 | $g'(x)=1-4f(x)$ 도출 및 극값 조건에서 $f(1/2)=1/4$ 제시 | 5점 |
| 1-2 | 부분적분 적용으로 정적분 값 $A = 11/192$ 도출 | 5점 |
| 조건 (마)로부터 정적분 값 $B = 53/192$ 산출 | 5점 | |
| 증가함수 조건에서 절댓값 적분을 $7/32$로 최종 산출 | 5점 | |
| 1-3 | 급수식을 정적분 표현식으로 전환함 | 5점 |
| 치환적분 및 역함수 대칭성을 적용함 | 5점 | |
| 적분값을 $1 - 2(A+B)$로 전환하여 $1/3$을 최종 유도함 | 5점 |
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