1-1 포물선 $y=ax^2+bx+c$가 $(0,1)$을 지나므로 $c=1$이고, $(-1,1)$을 지나므로 $1=a-b+1 \implies a=b$이다.
$y=x^2$과 $y=ax^2+ax+1$의 교점은 $(-1, 1)$과 $(d_n, d_n^2)$이므로, $(a-1)x^2+ax+1=0$의 두 근은 $-1$과 $d_n$이다.
근과 계수와의 관계에 의해 $-1 + d_n = -\frac{a}{a-1} \implies d_n = \frac{-1}{a-1} \implies a = \frac{d_n-1}{d_n}$ 이다.
이차함수 $y=a\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + 1 - \frac{a}{4}$의 꼭짓점 $y$좌표는 $y_n = 1 - \frac{a}{4} = 1 - \frac{d_n-1}{4d_n} = \frac{3d_n+1}{4d_n}$ 이다.
$n \to \infty$일 때 $d_n \ge \sqrt{2n} \to \infty$이므로, $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3d_n+1}{4d_n} = \mathbf{\frac{3}{4}}$ 이다.

1-2 둘러싸인 넓이 조건 (다)에서 $\int_{-1}^{d_n} (ax^2+ax+1-x^2)dx = n$ 이다.
정적분을 계산하면 $\left[ \frac{a-1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + x \right]_{-1}^{d_n} = n$ 이므로,
$-\frac{d_n^3+1}{3d_n} + \frac{(d_n-1)(d_n^2-1)}{2d_n} + d_n+1 = n \implies d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$ 을 얻는다.
양변을 $d_n^3$으로 나누어 정리하면 $1 + \frac{3}{d_n} + \frac{3-6n}{d_n^2} + \frac{1}{d_n^3} = 0$ 이므로, $\lim_{n \to \infty} \frac{d_n^2}{n} = \mathbf{6}$ 이다.

1-3 $d_{n+1}^3+3d_{n+1}^2+(3-6(n+1))d_{n+1}+1=0$과 $d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$을 서로 빼면:
$(d_{n+1}-d_n)(d_n^2+d_n d_{n+1}+d_{n+1}^2) + 3(d_{n+1}-d_n)(d_n+d_{n+1}) + (3-6n)(d_{n+1}-d_n) - 6d_{n+1} = 0$ 을 얻는다.
정리하면 $d_{n+1}(d_{n+1}-d_n) = \frac{6d_{n+1}^2}{(d_n^2+d_n d_{n+1}+d_{n+1}^2) + 3(d_n+d_{n+1}) + (3-6n)}$ 이다.
분모 분자를 $n$으로 나누고 $\lim_{n \to \infty} \frac{d_n^2}{n} = 6$을 적용하면 $\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1}-d_n) = \mathbf{3}$ 이다.

2-1 조건 (다) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2g(x)}{x} = 1$에서 $x \to 0$일 때 분모가 $0$으로 수렴하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $f(0) - 2g(0) = 0$이다.
따라서 $g(0) = \frac{f(0)}{2} = \frac{d}{2}$이므로 역함수의 정의에 의해 $f\left(\frac{d}{2}\right) = \mathbf{0}$ 이다.

2-2 조건 (나)에서 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2} = 2b = 0 \implies b = 0$ 이다.
2-1에서 $f\left(\frac{d}{2}\right) = \frac{d^3}{8} + c \frac{d}{2} + d = \frac{d}{8}(d^2 + 4c + 8) = 0$ 이다.
조건 (가)에 의해 $c = f'(0) > 0$이므로 $d^2 + 4c + 8 > 0$ 이 되어 $d = 0$ 이다.
조건 (다)에서 미분계수의 정의를 적용하면 $f'(0) - 2g'(0) = f'(0) - \frac{2}{f'(0)} = 1 \implies (f'(0))^2 - f'(0) - 2 = 0$ 이다.
$f'(0) > 0$이므로 $c = f'(0) = 2$ 이다. 따라서 $\mathbf{f(x) = x^3 + 2x}$ 이다.

2-3 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 기함수이므로 $x f(x) g(x)$는 기함수여서 대칭구간 적분 $\int_{-3}^{3} x f(x) g(x) dx = 0$이다.
따라서 구하는 적분은 $\int_{-3}^{3} x g(x) dx$와 같다.
$g(x) = t$로 치환적분하면 $\int_{-1}^{1} t f(t) f'(t) dt = \mathbf{\frac{706}{105}}$ 이다.

3-1 타원의 접선 기울기 조건에 의해 접점의 $x$좌표 $x_1, x_2$는 대칭인 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의해 $x_1+x_2 = \mathbf{0}$ 이다.

3-2 $x_1 x_2 = -\frac{b^2}{12}$ 조건으로부터 단축 반지름 $d = \frac{b}{2}$를 얻는다.
타원은 반지름이 $\frac{b}{2}$인 원이 되므로 곡선 둘레 $\ell = b\pi$ 이다. 따라서 $\frac{\ell}{b} = \mathbf{\pi}$ 이다.

4-1 자릿수 중복 배제 조건 검토 결과 ①에 올 수 있는 유일한 숫자는 $\mathbf{1}$ 이다.

4-2 순열 $_7\text{P}_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{2520}\text{개}$ 이며, 가장 가까운 날짜는 $\mathbf{1345}\text{년 } \mathbf{06}\text{월 } \mathbf{27}\text{일}$ 이다.

1-1 매개변수 미분법 $\frac{dy}{dx} = \frac{6\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -2\tan t$ 이다.
접선의 방정식 $y = -2\tan t(x - \cos^3 t) + 2\sin^3 t$의 $x$절편은 $\cos t$ 이다.
$x$절편이 $a = 1/2$이므로 $\cos t = 1/2 \implies t = \pi/3$ 이다.
접선 기울기는 $-2\tan(\pi/3) = -2\sqrt{3}$ 이므로, 구하는 접선의 방정식은 $\mathbf{y = -2\sqrt{3}x + \sqrt{3}}$ 이다.

1-2 $a = \cos t$ 이고 접선 예각 $g(a)$에 대해 $\tan(g(a)) = 2\tan t = \frac{2\sqrt{1-a^2}}{a}$ 이다.
함수 $a^3 \tan(g(a)) = 2a^2 \sqrt{1-a^2}$ 의 극값을 구하기 위해 미분하면 $a = \sqrt{2/3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 일 때 최댓값 $\mathbf{\frac{4\sqrt{3}}{9}}$ 을 갖는다.

1-3 $S_1(a)+S_2(a)$가 최소가 되는 조건은 접선과 좌표축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이 $\frac{1}{2} \times \cos t \times 2\sin t = \frac{1}{2}\sin 2t$ 가 최대가 되는 경우이다.
$\sin 2t$가 최대가 되는 $t = \pi/4$ 이므로, 이때의 $a = \cos(\pi/4) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 이다.

2-1 삼차함수 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ($a \gt 0$)라 하자.
변곡점 $x=2/3$에서 $f''(2/3) = 4a + 2b = 0 \implies b = -2a$ 이다.
$x=0$에서 $g(x)$의 연속 조건 및 미분가능성 조건을 적용하면 $f(0)=2, f'(0)=-1$ 을 얻는다.
접선 개수 조건 (다)로부터 최고차항 계수 $a=1$을 구한다.
따라서 구하는 삼차함수는 $\mathbf{f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2}$ 이다.

2-2 $f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)$ 이므로 $[0, 1]$에서 $f(x) \ge 0$, $[1, 2]$에서 $f(x) \le 0$ 이다.
$F'(x) = |f(x)|$ 이므로 치환적분을 적용하면 $\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)} dx = \mathbf{2e^{13/12} - e^{3/2} - 1}$ 이다.

3-1 $\vec{OA}+\vec{OB} = (8, 6)$ 이고 $|\vec{BP}|=1$ 이므로 $\cos\theta = -1$ 일 때 최솟값 $81$을 갖는다.
이때 점 $P$의 좌표는 $\mathbf{\left(\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right)}$ 이다.

3-2 $\vec{A_1 P} + 4\vec{A_2 P} + \vec{A_3 P} = -2(2\vec{OA} - 3\vec{OB} - 3\vec{BP})$ 이다.
내적의 최솟값을 계산하면 $396 - 72\sqrt{10}$ 이 되므로, 순서쌍 $(a, b) = \mathbf{(396, -72)}$ 이다.

4-1 $n=2$일 때 4개의 공을 택하는 중복조합에서 불가능한 경우를 빼면 $15 - 3 - 1 = \mathbf{11}$ 이다.

4-2 $a_n = _3\text{H}_{2n} - _3\text{H}_{n-1} - 1 = \mathbf{\frac{1}{2}(3n^2 + 5n)}$ 이다.

4-3 $a_n + 8n + 15 = \frac{3}{2}(n+2)(n+5)$ 이므로 부분분수망원합을 계산하면 급수 합은 $\mathbf{\frac{47}{270}}$ 이다.

1-1 $f(x)$는 구간별로 다음과 같이 정의된다.
$$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge c+2) \\ -x+c+3 & (c \le x \lt c+2) \\ 3 & (b \le x \lt c) \\ x-b+3 & (b-1 \le x \lt b) \\ 2 & (x \lt b-1) \end{cases}$$ 미분불가능한 점의 후보는 $x = b-1, b, c, c+2$의 4개이다. $f(x)$가 3개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 $b=c$ 이어야 한다.
따라서 구하는 조건은 $\mathbf{b = c}$ 이다.

1-2 $h(x) = \sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1$은 $[-2, -1], [-1, 1], [1, 2]$ 구간에서 꺾인 선으로 $x = -2, -1, 1, 2$에서 미분불가능하다.
$f(x) = (x-a)(x-b)h(x)$가 2개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 $(x-a)(x-b)$가 이들 중 2개의 미분불가능점을 상쇄시켜야 하므로 $(a, b)$는 $(-2, -1), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 1), (-1, 2), (1, 2)$ 및 역순서쌍이다.
이 중 $f(0) = ab \gt 0$을 만족하는 순서쌍은 $\mathbf{(a,b) \in \{(1,2), (-1,-2), (-2,-1), (2,1)\}}$ 이다.

1-3 $h(x) = f(x)-ax-b$의 교점 분석에서 $a \gt 0$일 때 $b \lt a+1$ 및 $b \gt 2a$, $a \lt 0$일 때 $b \lt -a+1$ 및 $b \gt -2a$ 조건이 도출된다.
이를 $a-b$ 평면에 도시하면 밑변 $1$, 높이 $1$인 삼각형 2개가 형성되므로 영역의 면적은 $\mathbf{1}$ 이다.

2-1 변곡점 $x = -\frac{p}{3}$에서 접선 기울기 $f'\left(-\frac{p}{3}\right) = -\frac{p^2}{3}+q = -1 \implies p^2 = 3(q+1)$ 이므로 $p=3k, q=3k^2-1, r=k^3$ ($k$는 0 아닌 정수)을 얻는다.
$pqr = 3k^4(3k^2-1)$ 은 $k = \pm 1$일 때 최솟값 $6$을 갖는다.
이때의 삼차함수는 $\mathbf{f(x) = x^3+3x^2+2x+1}$ 및 $\mathbf{f(x) = x^3-3x^2+2x-1}$ 이다.

2-2 $\lim_{p \to \infty} \frac{pq}{r} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k(3k^2-1)}{k^3} = \mathbf{9}$ 이다.

2-3 $f(x) = x^3+3kx^2+(3k^2-1)x+k^3$에 대해 점 $(-3, 0)$에서 그은 접선이 3개일 조건은 방정식 $g(t)=(t+3)f'(t)-f(t)=0$이 서로 다른 3개 실근을 가질 조건이다.
$g'(-3)$과 $g'(-k)$의 부호 분석을 수행하면 자연수 $k=1$ 일 때만 조건이 성립하므로 구하는 자연수는 $\mathbf{p = 3k = 3}$ 이다.

3-1 $|\vec{b_i}| = 2\sin\left(\frac{\pi i}{n+1}\right)$ 이며 두 벡터 사이 각은 $\frac{\pi(i-j)}{n+1}$ 이다.
$n=7$일 때 $\vec{b_2} \cdot \vec{b_5} = \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\left(2\sin\frac{5\pi}{8}\right)\cos\frac{3\pi}{8} = \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)\sin\frac{\pi}{8} = 2\left(\sin\frac{\pi}{4}\right)^2 = \mathbf{1}$ 이다.

3-2 내적의 합을 정적분과 급수의 합 공식으로 변환하면 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} = 2\pi \int_0^1 \sin(2\pi x)dx = 0$ 이다.
나머지 항도 샌드위치 정리에 의해 $0$으로 수렴하므로 구하는 극한값은 $\mathbf{0}$ 이다.

4-1 비복원추출에서 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑을 확률은 전체 공 중 진홍색 공의 비율과 같으므로 $\mathbf{\frac{4}{9}}$ 이다.

4-2 확률변수 $X$의 확률분포는 $P(X=100) = \frac{20}{72}$, $P(X=200) = \frac{20}{72}$, $P(X=300) = \frac{12}{72}$ 이다.
기댓값 $E[X] = 100\times\frac{20}{72} + 200\times\frac{20}{72} + 300\times\frac{12}{72} = \mathbf{\frac{400}{3}}\text{ (만 원)}$ 이다.

1-1 조건 (가)-(i)에서 $\lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h} \ln\left(1+\frac{1}{h}\right) = \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} = 1$ 이므로 최고차항 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)=x^2+cx+d$ 형태이다.
조건 (가)-(ii)에서 정적분 극한 $\lim_{h \to 0} \frac{\frac{c}{2}((h+\sin h)^2 - h^2) + d \sin h}{h^2} = 3$ 을 계산하면 $\frac{3c}{2} = 3 \implies c=2$, $d=0$ 을 얻는다.
따라서 이차함수는 $\mathbf{f(x) = x^2 + 2x}$ 이다.

1-2 직선 $y=k(x)=((\beta+\alpha+2)x - \alpha\beta)$ 에 대하여 정적분 $\int_{\alpha}^{\beta} (k(x)-f(x))dx = \frac{(\beta-\alpha)^3}{6} = \frac{1}{6}$ 이므로 $\beta-\alpha=1$ 이다.
포물선 $y=-(x-a)^2+b$ 와 $y=f(x)$의 교점의 $x$좌표가 $\alpha, \beta$이므로 근과 계수의 관계 $\alpha+\beta = a-1$, $\alpha\beta = \frac{a^2-b}{2}$ 에 $\beta=\alpha+1$을 대입하여 정리하면 $\mathbf{b = \frac{1}{2}a^2 + a}$ 이다.

2-1 $g(x) = (3a^2-1)x - 2a^3 - a$ 이다.
$k(x) = f(x)-g(x) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 + a = 0$ 의 극값 분석에서 $a \gt 0$일 때 극솟값 $k(a) = a \gt 0$, $a \lt 0$일 때 극댓값 $k(a) = a \lt 0$이므로 $y=k(x)$는 항상 $x$축과 단 하나의 교점만 갖는다.

2-2 $a \gt 0$일 때 $k(-a) = 4a^3+a \gt 0$이고 $\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty$이므로 교점 $h(a) \lt -a$ 이다. 양변에 $-a \lt 0$를 곱하면 $-a h(a) \gt a^2$ 이 성립한다.
$a \lt 0$일 때 $k(-a) = 4a^3+a \lt 0$이고 $\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty$이므로 교점 $h(a) \gt -a$ 이다. 양변에 $-a \gt 0$를 곱하면 $-a h(a) \gt a^2$ 이 성립한다.

2-3 $(h(a))^3 - 3a^2 h(a) + 2a^3 + a = 0$ 양변을 $a^3$으로 나누면 $\left(\frac{h(a)}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{h(a)}{a}\right) + 2 + \frac{1}{a^2} = 0$ 이다.
$X = \lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a}$라 할 때 $X^3 - 3X + 2 = (X-1)^2(X+2) = 0$ 이고, 2-2에 의해 $X \le -1$이므로 $\mathbf{\lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a} = -2}$ 이다.

3-1 점 $A$를 지나고 $\vec{AB_1}$에 평행한 직선 $L$에 대하여 $\vec{AB_3}$를 대칭이동한 벡터를 $\vec{AB_3'}$이라 하자.
주어진 표현식의 최솟값은 $|\vec{AB_2}-\vec{AB_3'}|^2$ 의 값과 같다.
$|\vec{AB_2}| = \sqrt{2}$, $|\vec{AB_3'}| = 2\cos(\pi/8)$ 이며 반각공식 $(\cos(\pi/8))^2 = \frac{1+\sqrt{2}/2}{2}$ 를 적용하면
$|\vec{AB_2}-\vec{AB_3'}|^2 = 2 + (2+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(2\sin(3\pi/8)\cos(3\pi/8)) = \mathbf{2+\sqrt{2}}$ 이다.

4-1 부품 정상 사건을 $A, B, C$라 하자.
회로가 작동할 확률 $P(\text{작동}) = P(A \cap C) + P(A^c \cap B \cap C) = \frac{4}{5}\times\frac{9}{10} + \frac{1}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{9}{10} = \frac{171}{200}$ 이다.
회로가 작동하지 않을 확률 $P(\text{작동 안함}) = 1 - \frac{171}{200} = \frac{29}{200}$ 이다.
부품 A가 불량이고 회로가 작동하지 않을 확률 $P(A^c \text{ 이고 작동 안함}) = P(A^c) - P(A^c \cap B \cap C) = \frac{1}{5} - \frac{27}{200} = \frac{13}{200}$ 이다.
따라서 조건부확률 $P(A \text{불량} | \text{작동 안함}) = \frac{13/200}{29/200} = \mathbf{\frac{13}{29}}$ 이다.