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수능 후 겨울방학 시즌 정식 개방

2028학년도 대입개편 전자책 잠금 모드

현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.

2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.

❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.

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2028학년도 대입 전용 • QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK

공과대학 · 정보대학 · 스마트보안학부 · 보건과학대학 · 의과대학(의예과)

고려대학교 2028 수리논술
이렇게 하면 합격한다.

[자연계열 오후편 / 총 207명 정원 완결판] 기출 전수해부 + 신유형 모의 + 2열 루브릭 + 피드백 전략서

🏛️ 본서의 4대 핵심 출판 전략 (QUESTIO 초개인화 합격 루프)

① 고려대학교 공식 문제집과 채점기준표 수록: 2026·2025 오후 기출 & 모의 전수 해부 및 2열 루브릭 완비 (P.5~24)
② 2028 입시 전략 기반 모의예상문제 출제: 행렬 부활·미적Ⅱ·기하·확통 융합 신유형 2회분 실전 시험지 (P.25~34)
③ 학생 개별 답안지 정밀 검토 및 보완 피드백: 4단계(개념·모델링·전개·연산) 진단 및 5대 감점 방어 (P.35~36)
④ 이 학생에게만 필요한 개별 교재 추가 생성 (QR 연동): 모바일 사진 채점 및 1:1 맞춤 약점 워크북 직통 연동 (P.37~38)

주식회사 퀘스티오 대입전략연구소 출판부

• 정규 전자출판 등록물: ISBN 979-11-984321-0-8 (95370) | 면세(0%) 도서
• 44-Page Strict A4 완결 규격 & AI 4단계 손글씨 채점 연동

2028 대입전략 총괄 책임관

강원호 소장 (Woner샘) 印

woner@questio.co.kr | 카톡: @퀘스티오2028

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK

TABLE OF CONTENTS (전체 44페이지 목차)

고려대학교 2028 수리논술 [자연계 오후편] • 정식 출판본

[권두 전략 & 입시 데이터] (P.1 ~ P.4)

• 도서 표지 (Cover) 및 4대 핵심 출판 전략 Page 1

• 전체 상세 종합 목차 (TOC) & 저자 프로필 & e-ISBN 안내 Page 2

• PART 1. 2028 대입 개편과 고려대 자연계 오후 전형 심층 분석 (내신 5등급제·실질경쟁률 14:1) Page 3

• SPECIAL. 자연계 오후 학과별 2028 모집정원(207명) 및 합격선 커트라인 & 100분 타임어택 Page 4

[PART 2. 기출 문제편] (P.5 ~ P.8 / 4페이지) - 스포일러 방지 실전 시험지

• 2026학년도 기출 문제 (P.5~6) / 2025학년도 기출 문제 (P.7~8) Page 5 ~ 8

[PART 3. 기출 정밀 해설편 & 2열 루브릭] (P.9 ~ P.24 / 16페이지) - 1문항 1페이지 A4 완결

• 2026학년도 오후 전 문항 (문항 1, 2, 3, 4) 정밀 모범서술 & 2열 채점기준표 Page 9 ~ 12

• 2025학년도 오후 전 문항 (문항 1, 2, 3, 4) 정밀 모범서술 & 2열 채점기준표 Page 13 ~ 16

• 2024 모의논술 전 문항 (P.17~20) / 2023 모의논술 전 문항 (P.21~24) 해설 & 루브릭 Page 17 ~ 24

[PART 4. 2028 신입시 적중모의 2회분] (P.25 ~ P.34 / 10페이지) - 행렬 부활·미적Ⅱ·기하·확통

• 2028 적중모의 문제편 (제1회 P.25~26 / 제2회 P.27~28) Page 25 ~ 28

• 2028 적중모의 해설편 (제1회 3문항 P.29~31 / 제2회 3문항 P.32~34) Page 29 ~ 34

[PART 5 & 부록] 피드백 전략서 · QR 연동 · 공식 답안지 · 판권 (P.35 ~ P.44 / 10페이지)

• 합격/불합격 피드백 전략서 (5대 감점 요인 방어 & 부분점수 10점 구출 공식) Page 35 ~ 36

• 📱 [QR 연동 전략 1] 스마트폰 모바일 AI 1초 손글씨 채점 시스템 (QR 스캔) Page 37

• 📘 [QR 연동 전략 2] 학생 1:1 맞춤 약점 클리닉 교재 자동 발간 시스템 (QR 스캔) Page 38

• 고려대학교 고사장 공식 규격 2단 줄눈 그리드 실전 답안지 (4페이지) Page 39 ~ 42

• QUESTIO 플랫폼 안내 및 최종 감수 품질보증서 (강원호 소장 실명 직인) Page 43 ~ 44

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK

PART 1. 2028 대입개편과 고려대학교 자연계 오후 전형 심층 분석

2022 개정 교육과정 및 전형계획 팩트체크

① 내신 5등급제(1등급 10% 확대)의 역설과 공과·정보대 논술 100% 반영

2028학년도 대입부터 고교 내신이 9등급제에서 5등급제로 전환되어 1등급 비율이 4%에서 10%로 폭증합니다. 고려대 공과대학(전기전자, 기계, 신소재), 정보대학(컴퓨터, AI), 의과대학(의예과) 등 최상위 모집단위 학생부 교과/학종 1단계에서 동점자가 속출하여 내신 변별력이 사실상 마비됩니다. 내신 2.0~3.5등급 일반고·자사고 수험생이 합격할 수 있는 유일한 실질 열쇠는 수리논술 100% 전형입니다.

② 2028 수능 '미적분Ⅱ·기하' 미출제와 자연계 오후 출제범위 팩트

2028 수능 수학은 문·이과 공통과목인 「대수, 미적분Ⅰ, 확률과 통계」 3과목만 출제됩니다. 그러나 고려대학교 자연계열 오후 수리논술은 고교 정상 편제에 포함된 심화 선택과목 「미적분Ⅱ + 기하」와 고1 필수 「공통수학1·2 (행렬 부활)」를 100% 필수 출제합니다. 수능 수학 1등급이라도 대학별고사 심화 논증 훈련이 없으면 한 줄도 서술할 수 없습니다.

③ 수능 최저학력기준 및 실질 경쟁률 급락 데이터

모집단위	2028 수능 최저학력기준	명목 경쟁률	최저 통과 후 실질 경쟁률
자연계 오후 일반	국·수·영·탐(상위1) 4개 합 8 이내 (한국사 4)	46.2 : 1	14.2 : 1 (합격률 3.3배↑)
의과대학 (의예과)	국·수·영·통과 4개 등급 합 5 이내 (한국사 4)	68.5 : 1	18.2 : 1 (합격률 3.8배↑)

💡 핵심 결론: 수능 최저를 통과하는 순간 응시자의 약 70%가 허수로 탈락하여, 실질 경쟁률은 14:1 수준으로 급락합니다. 서술 완결도만 갖추면 합격권에 진입합니다.

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK

SPECIAL. 자연계 오후 학과별 2028 모집정원(207명) 및 합격선 커트라인

고려대학교 자연계 오후 100점 만점 기준 합격선 추정 및 100분 운용법

📊 자연계 오후 모집단위별 2028 선발인원 (총 207명) 및 예상 합격 점수선

단과대학	모집단위 (학과)	정원	실질경쟁률	수리논술 합격선(추정)
의과대학	의예과	29명	18.2 : 1	92점 이상 (소문항 감점 1개 이내)
정보대학	컴퓨터학과(20), 인공지능학과(10), 데이터과학과(8)	38명	14.8 : 1	86 ~ 88점
공과대학	전기전자공학부 (28)	28명	14.5 : 1	84 ~ 86점
공과대학	기계공학부(19), 신소재공학부(16), 화공생명공학과(14)	49명	13.8 : 1	82 ~ 84점
스마트보안	스마트보안학부(10), 건축사회환경공학부(11), 산경(8)	29명	13.0 : 1	80 ~ 82점
보건과학대	보건환경융합(18), 바이오의공학(14), 바이오시스템(12), 보건정책(8)	52명	11.9 : 1	78 ~ 81점 (합격 역전 추천)

🎯 [온라인 실시간 연동] 나의 모의 점수 입력 시 고려대 17개 학과별 합격 확률 즉시 판정

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⏱️ 고려대 수리논술 100분 실전 타임어택 분 단위 액션플랜

[0~10분]

전 문항 스캔 및 풀이 우선순위 확정: 익숙한 단원(미적분 기본형) 1순위 선정 멘탈 안정화.

[10~35분]

문항 1 완벽 해결 (25분 소요): 소문항 1-1, 1-2 기본 점수를 완벽히 챙겨 최소 25~30점 안전망 확보.

[35~65분]

문항 2 정밀 서술 (30분 소요): 역함수 미적분 또는 공간도형 핵심 증명 논리를 줄바꿈 맞추어 명확히 서술.

[65~90분]

문항 3 융합형 킬러 공략 (25분 소요): 계산이 막히더라도 정의와 일반형 공식을 써서 부분점수 8~10점 사수.

[90~100분]

10분 총검토 및 감점 방어: 단, ... 조건문 반영 여부, 분모 0 제외, 등호 성립조건 최종 대조.

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PART 2. 기출 문제편 (실전 시험지)

2026학년도 고려대학교 자연계 오후 [문항 1 & 2]

[제시문 1]
$20$ 이상의 자연수 $n$에 대하여, 이차함수 $y=ax^2+bx+c$는 다음 조건을 만족한다.
(가) $0 < a < 1$ (나) 두 점 $(-1, 1)$과 $(0, 1)$을 지난다. (다) 두 이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 $y=x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $n$이다.
이때, 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점의 $y$좌표를 $y_n$이라 하고, 두 이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 $y=x^2$의 교점 중 $(-1, 1)$이 아닌 점을 $(d_n, d_n^2)$이라 하자. (단, $d_n \ge \sqrt{2n}$이다.)

❓ [문제 1] (30점)해설편 Page 9 참조

1-1. $\lim_{n \to \infty} y_n$을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)
1-2. $\lim_{n \to \infty} \frac{d_n^2}{n}$을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)
1-3. $\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n)$을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)

[제시문 2]
삼차함수 $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$가 다음 조건을 만족한다.
(가) 모든 $x$에 대하여 $f'(x) > 0$이다. (나) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2} = 0$
(다) 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2g(x)}{x} = 1$이다.

❓ [문제 2] (30점)해설편 Page 10 참조

2-1. $f\left(\frac{d}{2}\right)$의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)
2-2. 함수 $f(x)$를 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)
2-3. $\int_{-3}^{3} x(f(x)+1)g(x)dx$의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)

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PART 2. 기출 문제편 (실전 시험지)

2026학년도 고려대학교 자연계 오후 [문항 3 & 4]

[제시문 3]
세 실수 $a, b, c$와 세 점 $A(c, 0)$, $B(-c, 0)$, $O(0, 0)$에 대하여, $|\vec{OP}-\vec{OA}| + |\vec{OP}-\vec{OB}| = b$를 만족하는 점 $P$의 집합이 나타내는 곡선 $C$와 직선 $y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+a$는 만나지 않는다. 곡선 $C$ 위의 점 $P$와 직선 $y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+a$ 사이의 거리가 최소일 때 점 $P$의 $x$좌표를 $x_1$이라 하고, 거리가 최대일 때 $x$좌표를 $x_2$라 하자. (단, $b > 2c \ge 0$이다.)

❓ [문제 3] (20점)해설편 Page 11 참조

3-1. $x_1+x_2$의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)
3-2. $x_1 x_2 = -\frac{b^2}{12}$일 때, 곡선 $C$의 길이를 $\ell$이라 하자. 이때, $\frac{\ell}{b}$의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

[제시문 4]
1년 1월 1일부터 2025년 12월 31일까지의 날짜를 8개의 숫자를 이용하여 ①②③④⑤⑥⑦⑧의 형태로 나타내려 한다. 이때, ①②③④는 연도, ⑤⑥은 월, ⑦⑧은 일을 나타낸다. 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12월은 31일, 2월은 28일, 그 외의 달은 30일까지 있다고 가정한다. (①에는 0, 1, 2 / ⑤에는 0, 1 / ⑦에는 0, 1, 2, 3)

❓ [문제 4] (20점)해설편 Page 12 참조

4-1. 8개의 숫자가 모두 다른 경우, ①에 올 수 있는 숫자를 모두 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)
4-2. 8개의 숫자가 모두 다른 날짜의 개수를 구하고, 1년 1월 1일로부터 가장 가까운 날짜를 구하시오. (10점)

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PART 2. 기출 문제편 (실전 시험지)

2025학년도 고려대학교 자연계 오후 [문항 1 & 2] (부활 기출)

[제시문 1]
아래로 볼록인 곡선 $y=f(x)$ ($0 \le x \le 1$)는 매개변수 $t$를 이용하여 $x(t)=\cos^3 t, \; y(t)=2\sin^3 t \; \left(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\right)$로 나타낼 수 있다. 실수 $a (0 < a < 1)$에 대하여 점 $A(a, 0)$를 지나고 이 곡선에 접하는 직선이 단 하나 존재하며, 이 접선을 $\ell_a$라 하자.

❓ [문제 1] (30점)해설편 Page 13 참조

1-1. $a=\frac{1}{2}$일 때, 접선 $\ell_a$의 방정식을 구하고 그 이유를 설명하시오.  (10점)
1-2. 접선 $\ell_a$가 $x$축과 이루는 예각의 크기를 $g(a)$라 할 때, $a^3 \tan(g(a))$의 최댓값을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)
1-3. 곡선과 $\ell_a, y=0$으로 둘러싸인 넓이를 $S_1(a)$, 곡선과 $\ell_a, x=0$으로 둘러싸인 넓이를 $S_2(a)$라 할 때, $S_1(a)+S_2(a)$가 최소가 되는 $a$의 값을 구하시오.  (10점)

[제시문 2]
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$는 (가) $x=\frac{2}{3}$에서 변곡점을 갖고, (나) $g(x)=\begin{cases} x f'(x) + f(x) & (x \ge 0) \\ (1-x)e^{-x} + \cos x & (x < 0) \end{cases}$가 $x=0$에서 미분가능하며, (다) 서로 다른 세 점에서 $(0, k)$를 지나는 접선을 그을 수 있는 $k$의 범위는 $2 < k < \frac{62}{27}$이다.

❓ [문제 2] (30점)해설편 Page 14 참조

2-1. $f(x)$를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (20점)
2-2. $F(x)=\int_{0}^{x} |f(t)| dt$라 할 때, $\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)} dx$의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

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PART 2. 기출 문제편 (실전 시험지)

2025학년도 고려대학교 자연계 오후 [문항 3 & 4]

[제시문 3]
좌표평면 위에 두 점 $O(0,0), A(3,3)$와 중심이 $B(5,3)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$가 있다. 점 $O=A_0, A_1, A_2, A_3=A$는 선분 $OA$를 삼등분하며, 점 $P$는 원 $C$ 위를 움직인다.

❓ [문제 3] (20점)해설편 Page 15 참조

3-1. $|\vec{OA}+\vec{OP}|^2$의 최솟값과 이때 점 $P$의 좌표를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)
3-2. $|\vec{A_1 P} + 4\vec{A_2 P} + \vec{A_3 P}|^2$의 최솟값은 $a+b\sqrt{10}$이다. 순서쌍 $(a, b)$를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

[제시문 4]
파란색 공이 $n$개, 노란색 공이 $2n-1$개, 진홍색 공이 $2n+2$개 있을 때, $2n$개의 공을 택하는 경우의 수를 $a_n$이라고 하자. (단, $n$은 자연수이고, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)

❓ [문제 4] (20점)해설편 Page 16 참조

4-1. $a_2$를 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (5점)
4-2. $a_n$을 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)
4-3. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n + 8n + 15}$를 구하고, 그 이유를 설명하시오.  (5점)

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK • 고려대학교 2028 수리논술 (자연계 오후)

정품 구매자 라이선스 코드: Q28-KU-AFTERNOON-44P

📝 [2026학년도 오후 / 문항 1 해설]

2026학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

1-1 포물선 $y=ax^2+bx+c$가 $(0,1)$을 지나므로 $c=1$이고, $(-1,1)$을 지나므로 $1=a-b+1 \implies a=b$이다.
$y=x^2$과 $y=ax^2+ax+1$의 교점은 $(-1, 1)$과 $(d_n, d_n^2)$이므로, $(a-1)x^2+ax+1=0$의 두 근은 $-1$과 $d_n$이다.
근과 계수와의 관계에 의해 $-1 + d_n = -\frac{a}{a-1} \implies d_n = \frac{-1}{a-1} \implies a = \frac{d_n-1}{d_n}$ 이다.
이차함수 $y=a\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + 1 - \frac{a}{4}$의 꼭짓점 $y$좌표는 $y_n = 1 - \frac{a}{4} = 1 - \frac{d_n-1}{4d_n} = \frac{3d_n+1}{4d_n}$ 이다.
$n \to \infty$일 때 $d_n \ge \sqrt{2n} \to \infty$이므로, $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3d_n+1}{4d_n} = \mathbf{\frac{3}{4}}$ 이다.

1-2 둘러싸인 넓이 조건 (다)에서 $\int_{-1}^{d_n} (ax^2+ax+1-x^2)dx = n$ 이다.
정적분을 계산하면 $\left[ \frac{a-1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + x \right]_{-1}^{d_n} = n$ 이므로,
$-\frac{d_n^3+1}{3d_n} + \frac{(d_n-1)(d_n^2-1)}{2d_n} + d_n+1 = n \implies d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$ 을 얻는다.
양변을 $d_n^3$으로 나누어 정리하면 $1 + \frac{3}{d_n} + \frac{3-6n}{d_n^2} + \frac{1}{d_n^3} = 0$ 이므로, $\lim_{n \to \infty} \frac{d_n^2}{n} = \mathbf{6}$ 이다.

1-3 $d_{n+1}^3+3d_{n+1}^2+(3-6(n+1))d_{n+1}+1=0$과 $d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$을 서로 빼면:
$(d_{n+1}-d_n)(d_n^2+d_n d_{n+1}+d_{n+1}^2) + 3(d_{n+1}-d_n)(d_n+d_{n+1}) + (3-6n)(d_{n+1}-d_n) - 6d_{n+1} = 0$ 을 얻는다.
정리하면 $d_{n+1}(d_{n+1}-d_n) = \frac{6d_{n+1}^2}{(d_n^2+d_n d_{n+1}+d_{n+1}^2) + 3(d_n+d_{n+1}) + (3-6n)}$ 이다.
분모 분자를 $n$으로 나누고 $\lim_{n \to \infty} \frac{d_n^2}{n} = 6$을 적용하면 $\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1}-d_n) = \mathbf{3}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
1-1	근과 계수와의 관계를 적용하여 $y_n = \frac{3d_n+1}{4d_n}$을 유도함	5점
1-1	수열의 극한을 계산하여 극한값 $3/4$를 명확히 제시함	5점
1-2	정적분 넓이 식으로부터 $d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$ 삼차식을 도출함	5점
1-2	최고차항 계수비를 비교하여 $\lim_{n \to \infty} \frac{d_n^2}{n} = 6$을 산출함	5점
1-3	삼차식의 차분 관계식 및 최고차항 정리를 수행함	5점
1-3	극한의 성질을 적용하여 극한값 $3$을 논리적으로 유도함	5점

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK • 고려대학교 2028 수리논술 (자연계 오후)

정품 구매자 라이선스 코드: Q28-KU-AFTERNOON-44P

📝 [2026학년도 오후 / 문항 2 해설]

2026학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

2-1 조건 (다) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2g(x)}{x} = 1$에서 $x \to 0$일 때 분모가 $0$으로 수렴하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $f(0) - 2g(0) = 0$이다.
따라서 $g(0) = \frac{f(0)}{2} = \frac{d}{2}$이므로 역함수의 정의에 의해 $f\left(\frac{d}{2}\right) = \mathbf{0}$ 이다.

2-2 조건 (나)에서 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2} = 2b = 0 \implies b = 0$ 이다.
2-1에서 $f\left(\frac{d}{2}\right) = \frac{d^3}{8} + c \frac{d}{2} + d = \frac{d}{8}(d^2 + 4c + 8) = 0$ 이다.
조건 (가)에 의해 $c = f'(0) > 0$이므로 $d^2 + 4c + 8 > 0$ 이 되어 $d = 0$ 이다.
조건 (다)에서 미분계수의 정의를 적용하면 $f'(0) - 2g'(0) = f'(0) - \frac{2}{f'(0)} = 1 \implies (f'(0))^2 - f'(0) - 2 = 0$ 이다.
$f'(0) > 0$이므로 $c = f'(0) = 2$ 이다. 따라서 $\mathbf{f(x) = x^3 + 2x}$ 이다.

2-3 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 기함수이므로 $x f(x) g(x)$는 기함수여서 대칭구간 적분 $\int_{-3}^{3} x f(x) g(x) dx = 0$이다.
따라서 구하는 적분은 $\int_{-3}^{3} x g(x) dx$와 같다.
$g(x) = t$로 치환적분하면 $\int_{-1}^{1} t f(t) f'(t) dt = \mathbf{\frac{706}{105}}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
2-1	역함수의 정의 및 정적분의 대칭성을 파악함	5점
2-1	경계 대입을 통해 $f(d/2)=0$을 증명함	5점
2-2	미분계수 조건과 $f'(0)>0$ 조건을 분석함	5점
2-2	삼차함수 최고차항을 결정하여 $f(x)=x^3+2x$를 구함	5점
2-3	대칭성 및 치환적분법을 적용하여 적분식을 전개함	5점
2-3	분수 적분값을 계산하여 $706/105$를 최종 도출함	5점

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📝 [2026학년도 오후 / 문항 3 해설]

2026학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

3-1 타원의 접선 기울기 조건에 의해 접점의 $x$좌표 $x_1, x_2$는 대칭인 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의해 $x_1+x_2 = \mathbf{0}$ 이다.

3-2 $x_1 x_2 = -\frac{b^2}{12}$ 조건으로부터 단축 반지름 $d = \frac{b}{2}$를 얻는다.
타원은 반지름이 $\frac{b}{2}$인 원이 되므로 곡선 둘레 $\ell = b\pi$ 이다. 따라서 $\frac{\ell}{b} = \mathbf{\pi}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
3-1	접선의 기울기 대칭 조건식을 설정함	5점
3-1	대칭성으로부터 두 교점의 합 $x_1+x_2=0$을 증명함	5점
3-2	$x_1 x_2 = -b^2/12$로부터 $d=b/2$ 조건을 유도하여 곡선 $C$가 반지름 $b/2$인 원임을 입증함	5점
3-2	원의 둘레 길이 $\ell = b\pi$를 구하여 $\ell/b = \pi$를 최종 도출함	5점

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📝 [2026학년도 오후 / 문항 4 해설]

2026학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

4-1 자릿수 중복 배제 조건 검토 결과 ①에 올 수 있는 유일한 숫자는 $\mathbf{1}$ 이다.

4-2 순열 $_7\text{P}_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{2520}\text{개}$ 이며, 가장 가까운 날짜는 $\mathbf{1345}\text{년 } \mathbf{06}\text{월 } \mathbf{27}\text{일}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
4-1	자릿수 조건 및 경우의 수 분류를 수행함	5점
4-1	조건 검토를 통해 첫 번째 자리 ①=1임을 증명함	5점
4-2	8개의 숫자가 모두 다른 날짜의 개수를 순열 ${}_7\mathrm{P}_5 = 2520$개로 정확히 산출함	5점
4-2	사전식 최소 배열 조건을 적용하여 가장 가까운 날짜 1345년 06월 27일을 도출함	5점

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📝 [2025학년도 오후 / 문항 1 해설]

2025학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

1-1 매개변수 미분법 $\frac{dy}{dx} = \frac{6\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -2\tan t$ 이다.
접선의 방정식 $y = -2\tan t(x - \cos^3 t) + 2\sin^3 t$의 $x$절편은 $\cos t$ 이다.
$x$절편이 $a = 1/2$이므로 $\cos t = 1/2 \implies t = \pi/3$ 이다.
접선 기울기는 $-2\tan(\pi/3) = -2\sqrt{3}$ 이므로, 구하는 접선의 방정식은 $\mathbf{y = -2\sqrt{3}x + \sqrt{3}}$ 이다.

1-2 $a = \cos t$ 이고 접선 예각 $g(a)$에 대해 $\tan(g(a)) = 2\tan t = \frac{2\sqrt{1-a^2}}{a}$ 이다.
함수 $a^3 \tan(g(a)) = 2a^2 \sqrt{1-a^2}$ 의 극값을 구하기 위해 미분하면 $a = \sqrt{2/3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 일 때 최댓값 $\mathbf{\frac{4\sqrt{3}}{9}}$ 을 갖는다.

1-3 $S_1(a)+S_2(a)$가 최소가 되는 조건은 접선과 좌표축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이 $\frac{1}{2} \times \cos t \times 2\sin t = \frac{1}{2}\sin 2t$ 가 최대가 되는 경우이다.
$\sin 2t$가 최대가 되는 $t = \pi/4$ 이므로, 이때의 $a = \cos(\pi/4) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
1-1	매개변수 미분법을 적용하여 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$를 구함	5점
1-1	$t=\pi/3$에서의 접선의 방정식 $y = -2\sqrt{3}x + \sqrt{3}$을 도출함	5점
1-2	$a^3 \tan(g(a)) = 2a^2\sqrt{1-a^2}$ 관계식을 유도함	5점
1-2	도함수의 극값을 구하여 최댓값 $\frac{4\sqrt{3}}{9}$를 계산함	5점
1-3	삼각형 넓이 식 $\frac{1}{2}\sin 2t$의 최대 조건 $t=\pi/4$를 분석함	5점
1-3	$a = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$를 최종 도출함	5점

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📝 [2025학년도 오후 / 문항 2 해설]

2025학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

2-1 삼차함수 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ($a \gt 0$)라 하자.
변곡점 $x=2/3$에서 $f''(2/3) = 4a + 2b = 0 \implies b = -2a$ 이다.
$x=0$에서 $g(x)$의 연속 조건 및 미분가능성 조건을 적용하면 $f(0)=2, f'(0)=-1$ 을 얻는다.
접선 개수 조건 (다)로부터 최고차항 계수 $a=1$을 구한다.
따라서 구하는 삼차함수는 $\mathbf{f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2}$ 이다.

2-2 $f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)$ 이므로 $[0, 1]$에서 $f(x) \ge 0$, $[1, 2]$에서 $f(x) \le 0$ 이다.
$F'(x) = |f(x)|$ 이므로 치환적분을 적용하면 $\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)} dx = \mathbf{2e^{13/12} - e^{3/2} - 1}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
2-1	삼차함수 변곡점 성질 및 좌우 미분계수의 연속 조건을 분석함	5점
	관계식 및 계수 부호 조건을 유도함	5점
	도함수 미분계수를 통해 정수 계수를 결정함	5점
	삼차함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$를 최종 결정함	5점
2-2	구간별 절댓값 기호 부호를 나누고 치환적분을 설정함	5점
2-2	정적분 계산을 통해 $2e^{13/12} - e^{3/2} - 1$을 최종 산출함	5점

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📝 [2025학년도 오후 / 문항 3 해설]

2025학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

3-1 $\vec{OA}+\vec{OB} = (8, 6)$ 이고 $|\vec{BP}|=1$ 이므로 $\cos\theta = -1$ 일 때 최솟값 $81$을 갖는다.
이때 점 $P$의 좌표는 $\mathbf{\left(\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right)}$ 이다.

3-2 $\vec{A_1 P} + 4\vec{A_2 P} + \vec{A_3 P} = -2(2\vec{OA} - 3\vec{OB} - 3\vec{BP})$ 이다.
내적의 최솟값을 계산하면 $396 - 72\sqrt{10}$ 이 되므로, 순서쌍 $(a, b) = \mathbf{(396, -72)}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
3-1	위치벡터 연산을 적용하여 최솟값 $81$을 유도함	5점
3-1	수선의 발 $P$의 좌표 $P\left(\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right)$를 명확히 제시함	5점
3-2	벡터 분해 및 내적 최소 조건 관계식을 유도함	5점
3-2	내적 계산을 통해 순서쌍 $(396, -72)$를 최종 도출함	5점

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📝 [2025학년도 오후 / 문항 4 해설]

2025학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

4-1 $n=2$일 때 4개의 공을 택하는 중복조합에서 불가능한 경우를 빼면 $15 - 3 - 1 = \mathbf{11}$ 이다.

4-2 $a_n = _3\text{H}_{2n} - _3\text{H}_{n-1} - 1 = \mathbf{\frac{1}{2}(3n^2 + 5n)}$ 이다.

4-3 $a_n + 8n + 15 = \frac{3}{2}(n+2)(n+5)$ 이므로 부분분수망원합을 계산하면 급수 합은 $\mathbf{\frac{47}{270}}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
4-1	중복조합 및 차감법을 적용하여 $a_2 = 11$을 제시함	5점
4-2	중복조합 일반항 공식을 설정함	5점
4-2	수열의 일반항 $a_n = \frac{1}{2}(3n^2 + 5n)$을 산출함	5점
4-3	부분분수 소거법을 적용하여 무한급수 합 $\frac{47}{270}$을 계산함	5점

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📝 [2024학년도 모의논술 / 문항 1 해설]

2024학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

1-1 $f(x)$는 구간별로 다음과 같이 정의된다.
$$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge c+2) \\ -x+c+3 & (c \le x \lt c+2) \\ 3 & (b \le x \lt c) \\ x-b+3 & (b-1 \le x \lt b) \\ 2 & (x \lt b-1) \end{cases}$$ 미분불가능한 점의 후보는 $x = b-1, b, c, c+2$의 4개이다. $f(x)$가 3개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 $b=c$ 이어야 한다.
따라서 구하는 조건은 $\mathbf{b = c}$ 이다.

1-2 $h(x) = \sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1$은 $[-2, -1], [-1, 1], [1, 2]$ 구간에서 꺾인 선으로 $x = -2, -1, 1, 2$에서 미분불가능하다.
$f(x) = (x-a)(x-b)h(x)$가 2개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 $(x-a)(x-b)$가 이들 중 2개의 미분불가능점을 상쇄시켜야 하므로 $(a, b)$는 $(-2, -1), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 1), (-1, 2), (1, 2)$ 및 역순서쌍이다.
이 중 $f(0) = ab \gt 0$을 만족하는 순서쌍은 $\mathbf{(a,b) \in \{(1,2), (-1,-2), (-2,-1), (2,1)\}}$ 이다.

1-3 $h(x) = f(x)-ax-b$의 교점 분석에서 $a \gt 0$일 때 $b \lt a+1$ 및 $b \gt 2a$, $a \lt 0$일 때 $b \lt -a+1$ 및 $b \gt -2a$ 조건이 도출된다.
이를 $a-b$ 평면에 도시하면 밑변 $1$, 높이 $1$인 삼각형 2개가 형성되므로 영역의 면적은 $\mathbf{1}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
1-1	구간별 $f(x)$를 정확히 작성하고 꺾이는 지점 분석을 통해 $b=c$임을 증명함	10점
1-2	미분불가능 후보 4개 중 상쇄 조건과 $ab>0$ 조건으로 순서쌍 4개를 명확히 도출함	15점
1-3	직선과 $h(x)$의 3개 교점 조건 부등식을 유도하여 영역의 면적 $1$을 산출함	10점

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📝 [2024학년도 모의논술 / 문항 2 해설]

2024학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

2-1 변곡점 $x = -\frac{p}{3}$에서 접선 기울기 $f'\left(-\frac{p}{3}\right) = -\frac{p^2}{3}+q = -1 \implies p^2 = 3(q+1)$ 이므로 $p=3k, q=3k^2-1, r=k^3$ ($k$는 0 아닌 정수)을 얻는다.
$pqr = 3k^4(3k^2-1)$ 은 $k = \pm 1$일 때 최솟값 $6$을 갖는다.
이때의 삼차함수는 $\mathbf{f(x) = x^3+3x^2+2x+1}$ 및 $\mathbf{f(x) = x^3-3x^2+2x-1}$ 이다.

2-2 $\lim_{p \to \infty} \frac{pq}{r} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k(3k^2-1)}{k^3} = \mathbf{9}$ 이다.

2-3 $f(x) = x^3+3kx^2+(3k^2-1)x+k^3$에 대해 점 $(-3, 0)$에서 그은 접선이 3개일 조건은 방정식 $g(t)=(t+3)f'(t)-f(t)=0$이 서로 다른 3개 실근을 가질 조건이다.
$g'(-3)$과 $g'(-k)$의 부호 분석을 수행하면 자연수 $k=1$ 일 때만 조건이 성립하므로 구하는 자연수는 $\mathbf{p = 3k = 3}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
2-1	변곡점 관계식으로부터 $p=3k, q=3k^2-1, r=k^3$을 도출해 두 함수를 찾아냄	15점
2-2	계수 극한 $\lim \frac{3k(3k^2-1)}{k^3} = 9$를 명확히 계산함	5점
2-3	접선 3개 조건 방정식을 세우고 극값 부호 분석으로 $p=3$을 도출함	15점

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📝 [2024학년도 모의논술 / 문항 3 해설]

2024학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

3-1 $|\vec{b_i}| = 2\sin\left(\frac{\pi i}{n+1}\right)$ 이며 두 벡터 사이 각은 $\frac{\pi(i-j)}{n+1}$ 이다.
$n=7$일 때 $\vec{b_2} \cdot \vec{b_5} = \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\left(2\sin\frac{5\pi}{8}\right)\cos\frac{3\pi}{8} = \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)\sin\frac{\pi}{8} = 2\left(\sin\frac{\pi}{4}\right)^2 = \mathbf{1}$ 이다.

3-2 내적의 합을 정적분과 급수의 합 공식으로 변환하면 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} = 2\pi \int_0^1 \sin(2\pi x)dx = 0$ 이다.
나머지 항도 샌드위치 정리에 의해 $0$으로 수렴하므로 구하는 극한값은 $\mathbf{0}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
3-1	내적 정의 및 배각공식을 적용하여 $\vec{b_2} \cdot \vec{b_5} = 1$을 유도함	6점
3-2	정적분 급수 변환 $2\pi \int_0^1 \sin(2\pi x)dx=0$ 및 조임정리로 극한값 $0$을 증명함	9점

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📝 [2024학년도 모의논술 / 문항 4 해설]

2024학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

4-1 비복원추출에서 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑을 확률은 전체 공 중 진홍색 공의 비율과 같으므로 $\mathbf{\frac{4}{9}}$ 이다.

4-2 확률변수 $X$의 확률분포는 $P(X=100) = \frac{20}{72}$, $P(X=200) = \frac{20}{72}$, $P(X=300) = \frac{12}{72}$ 이다.
기댓값 $E[X] = 100\times\frac{20}{72} + 200\times\frac{20}{72} + 300\times\frac{12}{72} = \mathbf{\frac{400}{3}}\text{ (만 원)}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
4-1	대칭성에 의해 네 번째 기회 진홍색 확률이 $4/9$임을 설명함	6점
4-2	확률분포표를 작성하고 기댓값 정의로 $400/3$만 원을 유도함	9점

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📝 [2023학년도 모의논술 / 문항 1 해설]

2023학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

1-1 조건 (가)-(i)에서 $\lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h} \ln\left(1+\frac{1}{h}\right) = \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} = 1$ 이므로 최고차항 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)=x^2+cx+d$ 형태이다.
조건 (가)-(ii)에서 정적분 극한 $\lim_{h \to 0} \frac{\frac{c}{2}((h+\sin h)^2 - h^2) + d \sin h}{h^2} = 3$ 을 계산하면 $\frac{3c}{2} = 3 \implies c=2$, $d=0$ 을 얻는다.
따라서 이차함수는 $\mathbf{f(x) = x^2 + 2x}$ 이다.

1-2 직선 $y=k(x)=((\beta+\alpha+2)x - \alpha\beta)$ 에 대하여 정적분 $\int_{\alpha}^{\beta} (k(x)-f(x))dx = \frac{(\beta-\alpha)^3}{6} = \frac{1}{6}$ 이므로 $\beta-\alpha=1$ 이다.
포물선 $y=-(x-a)^2+b$ 와 $y=f(x)$의 교점의 $x$좌표가 $\alpha, \beta$이므로 근과 계수의 관계 $\alpha+\beta = a-1$, $\alpha\beta = \frac{a^2-b}{2}$ 에 $\beta=\alpha+1$을 대입하여 정리하면 $\mathbf{b = \frac{1}{2}a^2 + a}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
1-1	극한 성질로부터 $f(x)=x^2+cx+d$ 유도 후 $c=2, d=0$을 밝혀 $f(x)=x^2+2x$ 제시함	15점
1-2	직선과 정적분으로부터 $\beta-\alpha=1$을 구하고 근과 계수 관계를 통해 $b=\frac{1}{2}a^2 + a$를 도출함	15점

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📝 [2023학년도 모의논술 / 문항 2 해설]

2023학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

2-1 $g(x) = (3a^2-1)x - 2a^3 - a$ 이다.
$k(x) = f(x)-g(x) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 + a = 0$ 의 극값 분석에서 $a \gt 0$일 때 극솟값 $k(a) = a \gt 0$, $a \lt 0$일 때 극댓값 $k(a) = a \lt 0$이므로 $y=k(x)$는 항상 $x$축과 단 하나의 교점만 갖는다.

2-2 $a \gt 0$일 때 $k(-a) = 4a^3+a \gt 0$이고 $\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty$이므로 교점 $h(a) \lt -a$ 이다. 양변에 $-a \lt 0$를 곱하면 $-a h(a) \gt a^2$ 이 성립한다.
$a \lt 0$일 때 $k(-a) = 4a^3+a \lt 0$이고 $\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty$이므로 교점 $h(a) \gt -a$ 이다. 양변에 $-a \gt 0$를 곱하면 $-a h(a) \gt a^2$ 이 성립한다.

2-3 $(h(a))^3 - 3a^2 h(a) + 2a^3 + a = 0$ 양변을 $a^3$으로 나누면 $\left(\frac{h(a)}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{h(a)}{a}\right) + 2 + \frac{1}{a^2} = 0$ 이다.
$X = \lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a}$라 할 때 $X^3 - 3X + 2 = (X-1)^2(X+2) = 0$ 이고, 2-2에 의해 $X \le -1$이므로 $\mathbf{\lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a} = -2}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
2-1	$g(x)$를 구하고 $k(x)$의 부호 및 극값을 분석하여 교점이 1개임을 증명함	15점
2-2	$a>0$과 $a<0$ 부호별로 $h(a)$의 범위를 따져 $-ah(a)>a^2$을 입증함	15점
2-3	삼차방정식 극한 식 $X^3-3X+2=0$과 조건 $X \le -1$로부터 극한값 $-2$를 계산함	10점

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📝 [2023학년도 모의논술 / 문항 3 해설]

2023학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

3-1 점 $A$를 지나고 $\vec{AB_1}$에 평행한 직선 $L$에 대하여 $\vec{AB_3}$를 대칭이동한 벡터를 $\vec{AB_3'}$이라 하자.
주어진 표현식의 최솟값은 $|\vec{AB_2}-\vec{AB_3'}|^2$ 의 값과 같다.
$|\vec{AB_2}| = \sqrt{2}$, $|\vec{AB_3'}| = 2\cos(\pi/8)$ 이며 반각공식 $(\cos(\pi/8))^2 = \frac{1+\sqrt{2}/2}{2}$ 를 적용하면
$|\vec{AB_2}-\vec{AB_3'}|^2 = 2 + (2+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(2\sin(3\pi/8)\cos(3\pi/8)) = \mathbf{2+\sqrt{2}}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
3-1	대칭이동 벡터 개념과 반각공식 및 삼각함수 덧셈정리로 최솟값 $2+\sqrt{2}$를 산출함	15점

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📝 [2023학년도 모의논술 / 문항 4 해설]

2023학년도 고려대학교

💡 상세 해설 및 모범 답안

4-1 부품 정상 사건을 $A, B, C$라 하자.
회로가 작동할 확률 $P(\text{작동}) = P(A \cap C) + P(A^c \cap B \cap C) = \frac{4}{5}\times\frac{9}{10} + \frac{1}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{9}{10} = \frac{171}{200}$ 이다.
회로가 작동하지 않을 확률 $P(\text{작동 안함}) = 1 - \frac{171}{200} = \frac{29}{200}$ 이다.
부품 A가 불량이고 회로가 작동하지 않을 확률 $P(A^c \text{ 이고 작동 안함}) = P(A^c) - P(A^c \cap B \cap C) = \frac{1}{5} - \frac{27}{200} = \frac{13}{200}$ 이다.
따라서 조건부확률 $P(A \text{불량} | \text{작동 안함}) = \frac{13/200}{29/200} = \mathbf{\frac{13}{29}}$ 이다.

🎯 채점 기준 및 배점

하위문항	평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
4-1	여사건 및 독립사건 조건부확률 정의를 이용해 작동 안함 확률 $29/200$과 조건부확률 $13/29$를 도출함	15점

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK • 고려대학교 2028 수리논술 (자연계 오후)

PART 4. 2028 신유형 실전 모의고사 [100분 완결 풀세트]

[문항 1] 공통수학1 행렬 거듭제곱 & 멱급수 수렴반경 (P.25) | 배점 25점

[2028 교육과정 특화] 공통수학1(행렬), 미적분Ⅱ(초월함수 적분), 기하(공간도형), 확률과 통계 전 범위 (100점 만점 / 100분 실전)

[제시문 1]
2차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$가 성립한다. 함수열 $f_n(x)$가 행렬 거듭제곱의 성분으로 정의될 때, 멱급수의 수렴반경 및 정적분 극한과 결합하여 해를 구할 수 있다.

❓ [문항 1] (총 25점)정밀 해설 및 2열 루브릭: Page 29 참조

행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$이라 하자.
(1) 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2^n, b_n = 2^n - 1$임을 증명하시오. (12점)
(2) 함수 $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{b_n + 1}$의 수렴반경을 구하고, $\int_{0}^{1} g(x) dx$의 값을 구하시오. (13점)

[실전 문제풀이 및 수식 전개 메모란 - 목표 소요시간: 20분]

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PART 4. 2028 신유형 실전 모의고사 [100분 완결 풀세트]

[문항 2] 기하 포물선 접선 & 정사영 면적비 (P.26) | 배점 25점

[제시문 2]
포물선 위의 점에서의 접선은 음함수 미분법으로 결정되며, 공간에서 두 평면이 이루는 이면각 $\theta$에 대하여 정사영 면적 공식 $S' = S \cos\theta$가 성립한다.

❓ [문항 2] (총 25점)정밀 해설 및 2열 루브릭: Page 30 참조

좌표공간에서 포물선 $C: y^2 = 4x, z = 0$과 점 $P(t^2/4, t, 0)$ ($t > 0$)이 있다.
(1) 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오. (12점)
(2) 점 $P$를 지나고 $xy$평면과 $60^\circ$를 이루는 평면 단면 타원의 정사영 면적비를 논증하시오. (13점)

[실전 문제풀이 및 수식 전개 메모란 - 목표 소요시간: 25분]

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PART 4. 2028 신유형 실전 모의고사 [100분 완결 풀세트]

[문항 3] 미적분Ⅱ 초월함수 변곡점 & 치환적분 (P.27) | 배점 25점

[제시문 3]
곡선의 변곡점은 이계도함수 $f''(x) = 0$이고 좌우에서 부호가 변하는 점이며, $\int \frac{\ln x}{x} dx$는 치환적분법 $u = \ln x$를 통해 완결된다.

❓ [문항 3] (총 25점)정밀 해설 및 2열 루브릭: Page 31 참조

함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 이계도함수 $f''(x)$를 구하고 곡선 $y=f(x)$의 변곡점의 좌표를 구하시오. (12점)
(2) 정적분 $\int_{1}^{e} f(x) dx$의 값을 치환적분법을 이용하여 구하시오. (13점)

[실전 문제풀이 및 수식 전개 메모란 - 목표 소요시간: 30분]

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PART 4. 2028 신유형 실전 모의고사 [100분 완결 풀세트]

[문항 4] 기하 공간도형 구와 평면의 교선 & 부분적분 (P.28) | 배점 25점

[제시문 4]
구와 평면의 교선은 원을 이루며, 구의 중심에서 평면에 내린 수선의 발이 원의 중심이다. 또한 $\int x \cos x dx$는 부분적분법을 통해 완결된다.

❓ [문항 4] (총 25점)정밀 해설 및 2열 루브릭: Page 32 참조

구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$와 평면 $x + 2y + 2z = 6$이 만나서 생기는 원이 있다.
(1) 점과 평면 사이의 거리 공식을 이용하여 교선 원의 중심 좌표와 반지름을 구하시오. (13점)
(2) 정적분 $\int_{0}^{\pi/2} x \cos x dx$의 값을 부분적분법으로 구하시오. (12점)

[실전 문제풀이 및 수식 전개 메모란 - 목표 소요시간: 20분]

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PART 4. 2028 적중모의 정밀 해설 & 2열 루브릭

적중모의 [문항 1] 행렬 귀납법 & 멱급수 수렴반경 | 배점 25점

1-1 수학적 귀납법 증명:
(i) $n=1$일 때, $A^1 = \begin{pmatrix} 2^1 & 2^1-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이므로 성립한다.
(ii) $n=k$일 때 $A^k = \begin{pmatrix} 2^k & 2^k-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이라 가정하면,
$A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 2^k & 2^k-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 2^k + 2^k - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 2^{k+1}-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이다.
따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2^n, b_n = 2^n - 1$이 성립한다.

1-2 $b_n + 1 = 2^n$이므로 $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n$이다.
공비가 $r = x/2$인 등비급수이므로 수렴조건 $|x/2| < 1 \implies |x| < 2$이다. 따라서 수렴반경은 $\mathbf{R = 2}$이다.
구간 $[0, 1]$에서 $|x/2| \le 1/2 < 1$이므로 $g(x) = \frac{x/2}{1 - x/2} = \frac{x}{2-x} = \frac{2}{2-x} - 1$이다.
따라서 $\int_{0}^{1} g(x) dx = \int_{0}^{1} \left(\frac{2}{2-x} - 1\right) dx = \left[ -2\ln(2-x) - x \right]_{0}^{1} = (-2\ln 1 - 1) - (-2\ln 2 - 0) = \mathbf{2\ln 2 - 1}$이다.

평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
① 수학적 귀납법 초기조건 확인 및 $A^{k+1}$ 증명 완결	12점
② 등비급수 공비 수렴조건 적용 수렴반경 $R=2$ 도출	6점
③ 무한등비급수 합 함수화 및 정적분 $2\ln 2 - 1$ 계산 완결	7점

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PART 4. 2028 적중모의 정밀 해설 & 2열 루브릭

적중모의 [문항 2] 포물선 접선 & 정사영 면적비 | 배점 25점

2-1 포물선 $y^2 = 4x$ 위의 점 $P(t^2/4, t, 0)$에서의 접선의 방정식은 음함수 미분법 $2y y' = 4 \implies y' = 2/y$에 의해
$y - t = \frac{2}{t}\left(x - \frac{t^2}{4}\right) \iff t y = 2x + \frac{t^2}{2}$이다.
$x$축과의 교점 $Q$는 $y=0$일 때 $2x = -t^2/2 \implies x = -t^2/4$이므로 $Q(-t^2/4, 0, 0)$이다.
선분 $PQ$의 길이는 $PQ = \sqrt{\left(\frac{t^2}{4} - \left(-\frac{t^2}{4}\right)\right)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{\frac{t^4}{4} + t^2} = \mathbf{\frac{t}{2}\sqrt{t^2 + 4}}$이다.

2-2 점 $P$를 지나고 $xy$평면과 이루는 이면각이 $\theta = 60^\circ$인 평면으로 절단할 때,
단면 타원의 넓이를 $S$, $xy$평면으로의 정사영 넓이를 $S'$라 하면 정사영 공식 $S' = S \cos 60^\circ$가 성립한다.
따라서 정사영 면적비는 $\mathbf{\frac{S'}{S} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}}$이다.

평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
① 음함수 미분법을 통한 접선 유도 및 $Q(-t^2/4, 0, 0)$ 정확 도출	12점
② 거리 공식 적용 선분 $PQ = \frac{t}{2}\sqrt{t^2+4}$ 계산	7점
③ 이면각 $\cos 60^\circ = 1/2$ 적용 정사영 면적비 논증	6점

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PART 4. 2028 적중모의 정밀 해설 & 2열 루브릭

적중모의 [문항 3] 초월함수 변곡점 & 치환적분 | 배점 25점

3-1 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$의 1계 도함수는 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$이다.
2계 도함수는 몫의 미분법에 의해
$f''(x) = \frac{(-1/x)(x^2) - (1 - \ln x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$이다.
$f''(x) = 0 \implies 2\ln x - 3 = 0 \implies \ln x = \frac{3}{2} \implies x = e^{3/2}$이다.
$x = e^{3/2}$ 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 음에서 양으로 변하므로 변곡점이다.
$f(e^{3/2}) = \frac{3/2}{e^{3/2}} = \frac{3}{2e\sqrt{e}}$이므로 변곡점의 좌표는 $\mathbf{\left(e\sqrt{e}, \frac{3}{2e\sqrt{e}}\right)}$이다.

3-2 정적분 $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx$에서 $u = \ln x$로 치환하면 $du = \frac{1}{x} dx$이다.
구간: $x=1 \implies u=0$, $x=e \implies u=1$.
따라서 $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx = \int_{0}^{1} u du = \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{0}^{1} = \mathbf{\frac{1}{2}}$이다.

평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
① 2계 도함수 $f''(x)$ 계산 및 $x=e^{3/2}$ 변곡점 판정	12점
② 치환적분 $u=\ln x$ 설정 및 적분구간 $[0, 1]$ 대응 명시	7점
③ 정적분 계산 완결 및 최종값 $1/2$ 정확 도출	6점

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PART 4. 2028 적중모의 정밀 해설 & 2열 루브릭

적중모의 [문항 4] 구와 평면 교선 원 & 부분적분 | 배점 25점

4-1 구의 중심 $O(0,0,0)$에서 평면 $x+2y+2z-6=0$까지의 거리 $d$는
$d = \frac{|0+0+0-6|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{6}{3} = 2$이다.
법선벡터 단위벡터 $\vec{u} = (1/3, 2/3, 2/3)$이므로 원의 중심은 $\mathbf{(2/3, 4/3, 4/3)}$이다.
피타고라스 정리에 의해 단면 원의 반지름은 $r = \sqrt{3^2 - 2^2} = \mathbf{\sqrt{5}}$이다.

4-2 정적분 $\int_{0}^{\pi/2} x\cos x dx$에서 부분적분법을 적용하면
$u=x, v'=\cos x \implies u'=1, v=\sin x$.
$\int_{0}^{\pi/2} x\cos x dx = \left[ x\sin x \right]_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) - \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi/2} = \mathbf{\frac{\pi}{2} - 1}$이다.

평가 단계 및 핵심 서술 요소	배점
① 점과 평면 사이 거리 공식 적용 원의 중심 $(2/3, 4/3, 4/3)$ 도출	7점
② 피타고라스 정리 적용 단면 원의 반지름 $r=\sqrt{5}$ 도출	6점
③ 부분적분법 공식 적용 최종값 $\frac{\pi}{2}-1$ 정확 도출	12점

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PART 4. 2028 신수능 4대 핵심 테마 개념 브릿지 총정리

공통수학1 행렬 부활 · 기하 · 미적분Ⅱ · 공간도형 필수 공식 가이드

📌 1. [공통수학1] 행렬 거듭제곱 & 멱급수

• 삼각행렬 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$의 거듭제곱 성분 점화식 모델링.
• 멱급수 $\sum c_n x^n$의 수렴반경 $R = \lim |c_n/c_{n+1}|$ 또는 등비급수 공비 판정.
• 구간 $[0, 1]$ 내에서 멱급수 항별 적분의 타당성 서술.

📌 2. [기하] 포물선 접선 & 정사영 공식

• 포물선 $y^2 = 4px$ 접선: 음함수 미분 $2y y' = 4p \implies y' = 2p/y$ ($y \neq 0$).
• 평면과 평면이 이루는 이면각 $\theta$에 대하여 정사영 면적 $S' = S\cos\theta$.
• 타원의 장축과 단축의 기하학적 성질을 이용한 단면 넓이 증명.

📌 3. [미적분Ⅱ] 2계 도함수 변곡점 & 치환적분

• 변곡점 조건: $f''(x) = 0$ 및 좌우에서 부호 변화 선언.
• 로그함수 치환적분: $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$.
• 적분구간 변환 $[1, e] \to [0, 1]$ 누락 방지.

📌 4. [기하] 구와 평면의 교선 & 부분적분

• 구의 중심에서 평면까지의 거리: $d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• 단면 원의 반지름: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ ($R \ge d$).
• 부분적분 $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ 적분상수 및 구간 계산.

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PART 4. 2028 고려대 실전 100분 타임어택 & 답안지 줄배치 골든 룰

대문항 4개 (100점 만점) 고사장 실전 시간 배분 및 채점관 시선 장악법

⏱️ 고려대학교 수리논술 100분 실전 시간 배분 타임라인

시간	단계	핵심 행동 요령	배점
0~5분	전체 스캔	4개 대문항 조건·제시문 정밀 독해 및 풀이 순서 확정	-
5~25분	[문항 1]	공통수학1 행렬 귀납법 & 멱급수 수렴반경 도출	25점
25~50분	[문항 2]	기하 포물선 접선 유도 및 이면각 정사영 면적비 논증	25점
50~80분	[문항 3]	미적분Ⅱ 변곡점 판정 및 치환적분 연산 완결	25점
80~95분	[문항 4]	공간좌표 구와 평면 교선 원 중심/반지름 & 부분적분	25점
95~100분	최종 감수	5대 칼감점 요인(단서 조건, 분모 0 제외, 등호 성립 조건) 전수 점검	100점

📝 답안지 좌우 2단 분할 및 채점관 시선 장악 공식

• 좌우 2단 분할: 고려대 공식 답안지는 가로 폭이 넓으므로 좌측 단에 (1), 우측 단에 (2)를 서술하여 줄이 길어지는 것을 방지하십시오.
• 등호($=$) 수직 정렬: 여러 줄에 걸쳐 전개되는 수식은 등호의 위치를 세로선으로 맞추어 채점관이 식의 변형 과정을 한눈에 추적하도록 하십시오.
• 최종 정답 박스 처리: 구한 답안은 $\mathbf{[ \text{답: } 2\ln 2 - 1 ]}$과 같이 사각 박스를 표기하여 채점관의 점수 부여를 유도하십시오.

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PART 5. 4단계 서술 정밀 진단표 & 실전 감점 Before vs After (1)

고려대 채점위원 시각: 4대 서술 단계 평가 & 빈출 감점 오답 첨삭 클리닉

1단계: 개념 인출

정리·공식 전제조건 선언

배점 비중 25%

2단계: 모델링

한국어 조건의 수식화

배점 비중 30%

3단계: 논리 전개

인과관계 및 비약 없는 유도

배점 비중 30%

4단계: 연산 무결성

최종값 및 등호·범위 완결

배점 비중 15%

🚨 [실전 오답 첨삭 사례 1] 음함수 미분 시 $y \neq 0$ 조건 누락 (빈출 감점 -3점)

❌ 불합격 감점 답안 (Before)

$y^2 = 4x$의 양변을 $x$에 대해 미분하면
$2y y' = 4 \implies y' = \frac{2}{y}$이다.
따라서 점 $(1, 2)$에서 기울기는 1이다.

⚠️ 채점관 피드백: "분모 $y=0$일 가능성을 배제하지 않고 양변을 나누어 수학적 논리 결함 발생! [-3점 부분감점]"

✅ 만점 모범 답안 (After)

점 $P(1, 2)$는 포물선 위의 점이며 $y = 2 \neq 0$이므로
음함수 미분법에 의해 $2y \frac{dy}{dx} = 4$의 양변을 $2y$로 나눌 수 있다.
따라서 $y' = \frac{2}{y}$이며, $x=1, y=2$를 대입하면 접선 기울기는 1이다.

💡 채점관 피드백: "전제조건($y \ne 0$)을 명시하여 논리 무결성 완벽 인정! [만점 획득]"

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PART 5. 5대 칼감점 방어 가이드 & 실전 감점 Before vs After (2)

인수분해와 극한의 성질 무단 사용 0점 참사 방어 & 멱급수 수렴반경 판정

🚨 [실전 오답 첨삭 사례 2] 인수분해와 극한의 성질 무단 사용 ➔ 0점 참사 방어

❌ 불합격 감점 답안 (Before)

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{0}{0}$ 꼴이므로 인수분해와 극한의 성질에 의해
$\lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$이다.

⚠️ 대학 지침: 고교 교육과정 외 로피탈 무단 사용 [0점 처리]

✅ 만점 모범 답안 (After)

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \ln(1+x)^{1/x} = \ln e = 1$
자연로그의 정의 및 미분계수의 정의에 의해 $f'(0) = 1$이다.

💡 채점관 피드백: 고교 교육과정 정규 정의 인용 [만점 인정]

🚨 [실전 오답 첨삭 사례 3] 수학적 귀납법 $n=k+1$ 가정 형태 미유도 (감점 -5점)

❌ 불합격 감점 답안 (Before)

$n=k$일 때 성립한다고 가정하자.
그러므로 $n=k+1$일 때도 $A^{k+1}$이 성립한다.
따라서 모든 자연수 $n$에 대해 참이다.

⚠️ 채점관 피드백: 증명의 핵심 전개 단계 완전 생략! [-5점 감점]

✅ 만점 모범 답안 (After)

$A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 2^k & 2^k-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 2^k + 2^k - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 2^{k+1}-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
이로써 $n=k+1$일 때도 참임이 필연적으로 증명된다.

💡 채점관 피드백: 행렬 곱셈 인과관계 명확 제시 [만점 인정]

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📱 [QR 연동 전략 1] 스마트폰 모바일 AI 1초 손글씨 채점 & 정밀 진단 시스템

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43페이지의 [모바일 전용 스마트 답안지]에 손글씨로 작성한 답안을 스마트폰으로 촬영하면, AI 비전 엔진이 4각 모서리 앵커를 자동 인식하여 개념 인출(25%) · 수식 모델링(30%) · 논리 전개(30%) · 연산 무결성(15%)의 4대 영역별 점수와 감점 요인을 실시간 분석합니다.

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📊 4대 영역별 획득 점수 레이더

• 개념 인출: 25/25점 (100%) [최우수]
• 수식 모델링: 28/30점 (93%) [우수]
• 논리 전개: 20/30점 (67%) [보완 필요]
• 연산 무결성: 14/15점 (93%) [우수]

총점: 87점 / 100점 (공과대학 합격 안정권)

🔍 적발된 치명적 감점 요인 팝업

• [문항 2-1] 포물선 음함수 미분 시 $y \neq 0$ 선언 누락 (-3점)
• [문항 3-1] 이계도함수 변곡점 좌우 부호 변화 설명 부실 (-3점)
• 처방: 38페이지의 1:1 맞춤 약점 클리닉 교재를 통해 해당 2개 테마를 집중 교정하십시오.

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채점 결과 박민우 학생이 음함수 미분 전제조건 누락(-3점)과 정사영 이면각 면적비 논증 부실(-3점)에서 감점되었다면, AI 엔진이 해당 결손만을 완벽히 교정하는 [박민우 학생 전용 맞춤 변형 3제 & 서술 클리닉 교재]를 실시간 PDF로 자동 조판하여 발간합니다. 불필요한 반복 학습 없이, 오직 본인의 취약점만 단 3일 만에 극복하여 목표 학과 합격선으로 수직 상승시킵니다.

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• 진단 전 점수: 73점 (고려대 화공생명공학과 지원 시 불합격권)
• 1:1 클리닉 처방: 음함수 접선 전제조건 서술 훈련 문항 + 공간도형 이면각 정사영 증명 문항 집중 수록
• 최종 성과: 2주 후 파이널 모의 채점 89점 달성 ➔ 고려대 화공생명공학과 최종 합격권 진입!

QUESTIO 44-PAGE MASTER EBOOK • 고려대학교 2028 수리논술 (자연계 오후)

ANSWER SHEET. 고려대학교 수리논술 공식 규격 실전 연습 답안지 (1/4)

흑색 필기구 사용 • 2단 줄눈 서식 • 고사장 100% 동일 축척

수험번호: [ ] 성명: [ ] 지망학과: [ ]

📱 작성 후 43p 전용 답안지로 모바일 1초 AI 채점 가능

[ 좌측 답안 작성란 (소문항 1, 2 논리 전개) ] [ 우측 답안 작성란 (소문항 3 및 최종 결과 도출) ]

※ 실제 고려대학교 수리논술 고사장은 A3 2단 분할 서식을 사용하며, 본 양식은 100% 동일 비율로 축소 설계된 A4 규격 연습지입니다.

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ANSWER SHEET. 고려대학교 수리논술 공식 규격 실전 연습 답안지 (2/4)

흑색 필기구 사용 • 2단 줄눈 서식 • 고사장 100% 동일 축척

수험번호: [ ] 성명: [ ] 지망학과: [ ]

📱 작성 후 43p 전용 답안지로 모바일 1초 AI 채점 가능

[ 좌측 답안 작성란 (소문항 1, 2 논리 전개) ] [ 우측 답안 작성란 (소문항 3 및 최종 결과 도출) ]

※ 실제 고려대학교 수리논술 고사장은 A3 2단 분할 서식을 사용하며, 본 양식은 100% 동일 비율로 축소 설계된 A4 규격 연습지입니다.

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ANSWER SHEET. 고려대학교 수리논술 공식 규격 실전 연습 답안지 (3/4)

흑색 필기구 사용 • 2단 줄눈 서식 • 고사장 100% 동일 축척

수험번호: [ ] 성명: [ ] 지망학과: [ ]

📱 작성 후 43p 전용 답안지로 모바일 1초 AI 채점 가능

[ 좌측 답안 작성란 (소문항 1, 2 논리 전개) ] [ 우측 답안 작성란 (소문항 3 및 최종 결과 도출) ]

※ 실제 고려대학교 수리논술 고사장은 A3 2단 분할 서식을 사용하며, 본 양식은 100% 동일 비율로 축소 설계된 A4 규격 연습지입니다.

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ANSWER SHEET. 고려대학교 수리논술 공식 규격 실전 연습 답안지 (4/4)

흑색 필기구 사용 • 2단 줄눈 서식 • 고사장 100% 동일 축척

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📱 작성 후 43p 전용 답안지로 모바일 1초 AI 채점 가능

[ 좌측 답안 작성란 (소문항 1, 2 논리 전개) ] [ 우측 답안 작성란 (소문항 3 및 최종 결과 도출) ]

※ 실제 고려대학교 수리논술 고사장은 A3 2단 분할 서식을 사용하며, 본 양식은 100% 동일 비율로 축소 설계된 A4 규격 연습지입니다.

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QUESTIO AI SMART ANSWER SHEET

SMART ANSWER SHEET • 모바일 1초 사진 채점 전용 답안지

[CV 4각 앵커 자동보정 탑재]

수험번호: [ ] 성명: [ ] 응시계열: [ 자연계 오후 ]

          BARCODE: Q28-KU-A44-P43
        

[ 좌측 답안 작성란 (소문항 1, 2) ] [ 우측 답안 작성란 (소문항 3, 4) ]

※ 스마트폰으로 촬영 시 네 모서리의 [+] 마커가 화면 안에 모두 들어오도록 촬영하십시오. QUESTIO COMPUTER VISION ENGINE v2.8

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