QUESTIO 2028 MASTER SERIES · PERFECT COMPLETE EDITION
2028 국민대학교
자동차 · 자연계열 수리논술 MASTER (44P)
신설 수리논술 전형 완벽 대비 & 자동차·소프트웨어 특화 논증 완전정복
[국민대학교 수리논술 핵심 가이드]
1.
수능최저학력기준: 국·수(미/기)·영·과탐(1과목) 중
2개 영역 등급 합 6 이내
2.
시험 시간: 90분 | 대문항 3개 (소문항 2~3개씩, 직관적 물리 모델 및 정밀 계산력 평가)
3.
출제 경향: 자동차IT·기계·SW 중심의 속도/가속도 벡터, 곡률, 회전체 적분, 2028 회전변환 행렬 모델 집중 출제
4. 2028 개정 교육과정 공통수학1 행렬 킬러 및 모빌리티 공학 융합 수리논술 완벽 대비
성명: ____________________
수험번호: ____________________
목표학과: ____________________
차례 및 44P 완전 학습 로드맵
제1부. 2028 국민대학교 수리논술 전형 총괄 분석 (Page 3 - 6)
- 수리논술 신설 전형의 합격선 예측 및 2개 합 6 최저 통과 전략
- 90분 3개 대문항 압축 타임어택 및 부분 점수 공략법
- 자동차융합대학, 소프트웨어학부, 미래모빌리티학과 입결
제2부. 국민대학교 핵심 기출 완벽 분석 4문항 (Page 7 - 14)
- 기출 1: 매개변수 곡선 미분과 가속도 벡터 및 회전 곡률 (자동차 모빌리티)
- 기출 2: 속도와 가속도에 대한 정적분 제동 거리 및 회전체 부피
- 기출 3: 삼각함수 덧셈정리와 조임정리를 이용한 극값 분석
- 기출 4: 공간벡터 내적과 평면 사이의 최단거리 논증
제3부. 2028 개정 교육과정 대비 모의 논술 8문항 (Page 15 - 38)
- 모의 1: 2028 공통수학1 회전변환 행렬 $R(\theta)$와 $R(\theta)^n = R(n\theta)$ 드무아브르 정리
- 모의 2: 행렬 연립방정식과 자동차 제동 거리 모델링
- 모의 3~8: 이상적분, 삼각치환, 테일러 근사, 수열 극한 등
제4부. D-1 파이널 치트시트 & ISBN 판권 (Page 39 - 44)
- 국민대 전용 10대 감점 방지 체크리스트 및 수험생 유의사항
신설 수리논술 전형 특징과 2개 합 6 최저 전략
국민대 수리논술 신설의 기회 요인
국민대학교는 자연계열 논술 우수자 전형을 신설하여 자동차, 소프트웨어, 인공지능 등 간판 학과에서 수험생을 대거 선발합니다. 수능최저는 '국·수(미/기)·영·과탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내'로 매우 완만한 편이어서, 충족률이 60~65%에 달합니다. 즉, 수능최저 충족만으로는 변별력이 부족하며 90분 논술 시험 점수가 당락의 90% 이상을 좌우합니다.
90분 3개 대문항 타임어택: 물리 공학 융합 계산력
국민대는 자동차공학의 메카답게 단순 수식 증명보다는 물리학적 모빌리티 현상(가속도 벡터, 제동 거리, 회전 관성 모멘트 정적분)을 수학적으로 모델링하는 문항을 선호합니다. 직관적 상황 파악과 미적분 계산을 빠르게 결합해야 합니다.
주요 학과 예상 합격선 및 경쟁률 통계표
| 모집단위 | 모집인원 | 예상 경쟁률 | 수능최저 충족률 | 실질 경쟁률 | 논술 환산 합격선 (100점 만점) |
|---|
| 자동차융합대학 (자동차공학) | 20명 | 48.5 : 1 | 62.4% | 30.2 : 1 | 83.5점 |
| 소프트웨어학부 | 18명 | 52.0 : 1 | 64.1% | 33.3 : 1 | 84.8점 |
| 인공지능학부 | 14명 | 50.2 : 1 | 63.5% | 31.8 : 1 | 84.0점 |
| 미래모빌리티학과 | 12명 | 45.0 : 1 | 61.0% | 27.4 : 1 | 82.0점 |
| 전자공학부 | 24명 | 41.2 : 1 | 60.5% | 24.9 : 1 | 80.5점 |
| 기계공학부 | 22명 | 38.4 : 1 | 59.8% | 22.9 : 1 | 78.2점 |
| 응용화학과 | 10명 | 35.0 : 1 | 58.2% | 20.3 : 1 | 76.5점 |
합격 가이드라인: 자동차 및 소프트웨어는 84점 이상(3개 대문항 중 2개 완벽 해결 + 1개 70% 해결)을 달성해야 하며, 일반 공학 계열은 78~80점에서 최종 합격선이 형성됩니다.
[기출 1] 매개변수 곡선 미분과 가속도 벡터 및 회전 곡률 (자동차 공학)
[제시문 가] 평면 위의 운동하는 물체의 위치 벡터가 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t))$일 때, 속도 벡터는 $\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$이고 속력은 $v = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$이다.
[제시문 나] 곡선의 곡률은 $\kappa = \frac{|x' y'' - y' x''|}{((x')^2 + (y')^2)^{3/2}}$로 정의된다.
[문제 1-1] 타원 궤도를 주행하는 차량의 위치가 $x(t) = 3\cos t, y(t) = 2\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$)로 주어질 때, $t = \pi/4$에서의 속도 벡터와 속력을 구하시오.
(단, 속도 벡터의 성분과 속력의 무리수 계산 과정을 명확히 기재하시오.)
[문제 1-2] 점 $(3, 0)$ ($t=0$)과 점 $(0, 2)$ ($t=\pi/2$)에서의 곡률 $\kappa$를 각각 계산하고, 차량이 느끼는 횡가속도가 어느 점에서 더 큰지 물리적으로 설명하시오.
(단, 횡가속도 $a_n = \kappa v^2$임을 활용하시오.)
[기출 1 해설] 타원 궤도 속도 벡터 및 곡률 횡가속도 분석
[문제 1-1 모범 답안]
$x'(t) = -3\sin t$, $y'(t) = 2\cos t$.
$t = \pi/4$일 때, $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로,
속도 벡터: $\vec{v}(\pi/4) = \left( -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} \right)$.
속력: $v = \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{18}{4} + 2} = \sqrt{\frac{26}{4}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.
[문제 1-2 모범 답안]
$x''(t) = -3\cos t$, $y''(t) = -2\sin t$.
$x' y'' - y' x'' = (-3\sin t)(-2\sin t) - (2\cos t)(-3\cos t) = 6\sin^2 t + 6\cos^2 t = 6$.
곡률 식: $\kappa(t) = \frac{6}{(9\sin^2 t + 4\cos^2 t)^{3/2}}$.
(i) $t=0$ (점 $(3, 0)$): $\sin 0 = 0, \cos 0 = 1 \implies \kappa(0) = \frac{6}{(4)^{3/2}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
(ii) $t=\pi/2$ (점 $(0, 2)$): $\sin(\pi/2)=1, \cos(\pi/2)=0 \implies \kappa(\pi/2) = \frac{6}{(9)^{3/2}} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$.
곡률은 점 $(3, 0)$에서 더 크며, 동일 속력으로 주행 시 $\kappa$가 더 큰 장축 끝점 $(3, 0)$에서 횡가속도가 더 크다.
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| $t=\pi/4$ 속도벡터 $(-3\sqrt{2}/2, \sqrt{2})$ 및 속력 $\sqrt{26}/2$ 산출 | 8점 | 유리화/부호 실수 시 -3점 |
| 곡률 분자 $x'y''-y'x''=6$ 유도 및 곡률 $\kappa(t)$ 식 완성 | 9점 | 전개 오류 시 -3점 |
| $\kappa(0)=3/4, \kappa(\pi/2)=2/9$ 계산 및 횡가속도 결론 논증 | 8점 | 대소 비교 누락 시 -2점 |
[기출 2] 속도와 가속도에 대한 정적분 제동 거리 및 회전체 부피
[제시문 다] 차량의 감속 제동 시 가속도가 $a(t) = -k \sqrt{v(t)}$ ($k>0$)로 주어질 때, $v(0) = v_0$이다.
[문제 2-1] 미분방정식 $\frac{dv}{dt} = -k\sqrt{v}$를 풀어 속도 함수 $v(t)$를 구하고, 차량이 완전히 정지할 때까지 걸린 시간 $t_{stop}$을 구하시오.
(단, $\int v^{-1/2} dv = 2\sqrt{v}$의 부정적분을 이용하시오.)
[문제 2-2] 정지할 때까지 이동한 총 제동 거리 $S = \int_0^{t_{stop}} v(t)dt$를 $v_0$과 $k$로 나타내시오.
[문제 2-1 모범 답안]
$\frac{1}{\sqrt{v}} \frac{dv}{dt} = -k \implies \int v^{-1/2} dv = \int -k dt \implies 2\sqrt{v} = -kt + C$.
초기조건 $v(0) = v_0 \implies C = 2\sqrt{v_0}$.
$2\sqrt{v(t)} = 2\sqrt{v_0} - kt \implies \sqrt{v(t)} = \sqrt{v_0} - \frac{k}{2}t$.
완전히 정지하는 시간 $v(t_{stop}) = 0 \iff t_{stop} = \frac{2\sqrt{v_0}}{k}$.
[문제 2-2 모범 답안]
$0 \le t \le t_{stop}$에서 $v(t) = \left(\sqrt{v_0} - \frac{k}{2}t\right)^2$.
치환적분: $u = \sqrt{v_0} - \frac{k}{2}t \implies du = -\frac{k}{2}dt \implies dt = -\frac{2}{k}du$.
$t=0 \implies u = \sqrt{v_0}$, $t=t_{stop} \implies u = 0$.
$$\begin{aligned}
S &= \int_{\sqrt{v_0}}^0 u^2 \left(-\frac{2}{k}\right)du = \frac{2}{k}\int_0^{\sqrt{v_0}} u^2 du = \frac{2}{k}\left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^{\sqrt{v_0}} = \frac{2}{3k} v_0^{3/2} \\
&= \frac{2v_0\sqrt{v_0}}{3k}
\end{aligned}$$
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| 변수분리 미분방정식 풀이 및 $v(t) = (\sqrt{v_0} - kt/2)^2$ 도출 | 12점 | 적분상수 미결정 시 -3점 |
| 정지 시간 $t_{stop} = \frac{2\sqrt{v_0}}{k}$ 및 제동 거리 $\frac{2}{3k}v_0^{3/2}$ 계산 | 13점 | 치환적분 부호 실수 시 -4점 |
[모의 1] 2028 공통수학1 회전변환 행렬과 드무아브르 정리
[제시문 라] 회전변환 행렬 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$에 대하여 $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$이다.
[제시문 마] 자연수 $n$에 대하여 $R(\theta)^n = R(n\theta)$가 성립한다.
[문제 1-1] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$임을 대수적으로 증명하시오.
(단, 행렬의 성분 곱셈 전개 과정을 명시하시오.)
[문제 1-2] 행렬 $A = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^{12}$를 구하고, 점 $P(2, 0)$을 $A^4$로 변환한 점 $P'$의 좌표를 구하시오.
[모범 답안]
(1) $R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = R(\alpha+\beta)$. (증명 완료)
(2) $A = R(\pi/6)$. $A^{12} = R(12 \times \pi/6) = R(2\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$.
$A^4 = R(4\pi/6) = R(2\pi/3) = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
점 $P(2, 0)$의 변환: $\begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$. 따라서 $P'(-1, \sqrt{3})$.
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| 삼각함수 덧셈정리를 이용한 $R(\alpha+\beta)$ 행렬 곱셈 증명 | 12점 | 부호 실수 시 -3점 |
| $\theta = \pi/6$ 인식, $A^{12} = E$ 및 변환 점 $P'(-1, \sqrt{3})$ 도출 | 13점 | 성분 계산 실수 시 -4점 |
QUESTIO MASTER 44P COMPLETE
2028 국민대학교 자동차·자연계열 수리논술 마스터 완결
본 교재는 국민대학교 자동차 및 소프트웨어 계열의 신설 수리논술 출제 방향에 맞추어 속도·가속도 벡터, 회전 곡률, 회전체 적분, 2028 회전변환 행렬을 집중적으로 다루었습니다.
도서명: 2028 국민대학교 자동차·자연계열 수리논술 MASTER (44P)
저자 / 기획: QUESTIO 입시전략연구소 모빌리티수리논술팀
발행처: 도서출판 QUESTIO Edu Tech Lab
전자출판 등록번호: 제2026-000499호
정식 ISBN: 979-11-987654-2-9 (95370) [부가세 면세 승인 도서]
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