현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
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함수 $f(x) = (x^2 - 1)e^{-x}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$)의 두 초점을 $F(c, 0), F'(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2 - b^2}$)이라 하자.
$2 \times 2$ 실수 행렬 $A = \begin{pmatrix} k-1 & 2 \\ 3 & k-2 \end{pmatrix}$와 열벡터 $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$에 대하여 연립방정식 $AX = B$를 고려하자.
어떤 가축 전염병에 감염된 동물 개체 수 $P(t)$는 로지스틱 미분방정식 $\frac{dP}{dt} = r P \left(1 - \frac{P}{K}\right)$ ($r > 0, K > 0$)을 만족한다. $P(0) = P_0$ ($0 < P_0 < K$)이다.
연속이고 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 정적분 $\int_0^2 g(x) dx$의 값을 구하시오.
좌표평면 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$일 때, $t = 0$부터 $t = \pi$까지 이동거리를 구하시오.
포물선 $y^2 = 4px$에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 두 접선의 교점의 자취의 방정식이 준선 $x = -p$임을 증명하시오.
직선 $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{3}$와 평면 $x + 2y + z = 6$의 교점의 좌표를 구하고, 직선과 평면이 이루는 각 $\theta$의 $\sin\theta$를 구하시오.
행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^2 - A + E = O$임을 보이고, $A^6 = E$임을 이용하여 $A^{2028}$의 값을 구하시오.
$2 \times 2$ 실수 행렬 $X$에 대하여 $X^2 = O$일 때, $X = O$이거나 $\mathrm{tr}(X) = 0, \det(X) = 0$임을 증명하시오.
모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k}$일 때, $\frac{n^2}{n^2 + n} \le a_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1}$임을 증명하고 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.
모표준편차 $\sigma = 40$ kg인 정규분포에서 $n$마리를 표본추출할 때, $95\%$ 신뢰구간 길이가 $9.8$ kg 이하가 되도록 하는 $n$의 최솟값을 구하시오.