현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
| 구분 | 단원 및 문항 | 핵심 학습 내용 및 루브릭 포인트 | 페이지 |
|---|---|---|---|
| INTRO | 전형 총괄 분석 | 수의예 3합4 최저 충족 후 실질경쟁률 42:1 승부처 및 100분 시간 안배 | p. 3 |
| Part 1 실전 기출 (문제편) | [기출 1] 미적분 | 초월함수의 접선 개수와 변곡점 접선 분할 경계선 판정 | p. 4 |
| [기출 2] 기하·벡터 | 타원의 두 초점에서 접선에 내린 거리의 곱 불변성 증명 | p. 5 | |
| [기출 3] 공통수학·행렬 | $2 \times 2$ 행렬의 가역성과 역행렬을 이용한 연립방정식 해 판정 | p. 6 | |
| [기출 4] 수의학·융합 | 전염병 로지스틱 확산 모델 미적분과 변곡점 최대 감염속도 적분 | p. 7 | |
| Part 2 2028 예상 모의고사 | [모의 1-1, 1-2] 미적분 | 역함수 치환적분법 & 매개변수 속도 벡터와 이동거리 적분 | p. 8 ~ 9 |
| [모의 2-1, 2-2] 기하 | 포물선의 준선과 직교 접선 자취 & 공간 직선과 평면의 교점 | p. 10 ~ 11 | |
| [모의 3-1, 3-2] 행렬 | 케일리-해밀턴 주기 $A^{2028}=E$ & 행렬 방정식 $X^2=A$ | p. 12 ~ 13 | |
| [모의 4-1, 4-2] 융합 | 조임정리(샌드위치) 점화식 극한 & 정규분포 신뢰구간 판정 | p. 14 ~ 15 | |
| Part 3 해설 및 루브릭 | 기출 해설 & 루브릭 (1~4) | 건국대 채점 기준표 및 25점 만점 모범 답안 | p. 16 ~ 23 |
| 모의고사 해설·루브릭 (8문항) | 문항별 15점 만점 모범답안 및 연역적 서술 포인트 | p. 24 ~ 35 | |
| 감점클리닉 & 자가진단표 | Before vs After 1점 차이 수술대 및 스코어카드 | p. 36 ~ 42 | |
| Part 4 | D-1 치트시트 & 정식판권 | 건국대 수리논술 공식 30선 & 국립중앙도서관 정식 ISBN 등록 | p. 43 ~ 44 |
함수 $f(x) = (x^2 - 1)e^{-x}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$)의 두 초점을 $F(c, 0), F'(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2 - b^2}$)이라 하자.
$2 \times 2$ 실수 행렬 $A = \begin{pmatrix} k-1 & 2 \\ 3 & k-2 \end{pmatrix}$와 열벡터 $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$에 대하여 연립방정식 $AX = B$를 고려하자.
어떤 가축 전염병에 감염된 동물 개체 수 $P(t)$는 로지스틱 미분방정식 $\frac{dP}{dt} = r P \left(1 - \frac{P}{K}\right)$ ($r > 0, K > 0$)을 만족한다. 여기서 $K$는 전체 환경 수용 한계 동물 수이고, $r$은 초기 내재 성장률이다. $t = 0$일 때 초기 감염 개체 수는 $P(0) = P_0$ ($0 < P_0 < K$)이다.
연속이고 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 정적분 $\int_0^2 g(x) dx$의 값을 구하시오.
좌표평면 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$로 주어질 때, $t = 0$부터 $t = \pi$까지 점 $P$가 이동한 거리를 구하시오.
포물선 $y^2 = 4px$에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 두 접선의 교점의 자취의 방정식이 준선 $x = -p$임을 증명하시오.
직선 $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{3}$와 평면 $x + 2y + z = 6$의 교점의 좌표를 구하고, 직선과 평면이 이루는 각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta$의 값을 구하시오.
행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^2 - A + E = O$임을 보이고, $A^6 = E$임을 이용하여 $A^{2028}$의 값을 구하시오.
$2 \times 2$ 실수 행렬 $X$에 대하여 $X^2 = O$일 때, $X = O$이거나 $\mathrm{tr}(X) = 0, \det(X) = 0$임을 증명하시오.
모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k}$일 때, $\frac{n^2}{n^2 + n} \le a_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1}$임을 증명하고 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.
어느 농장에서 사육하는 소의 체중은 모표준편차 $\sigma = 40$ kg인 정규분포를 따른다. 이 농장에서 $n$마리를 임의추출하여 평균 체중을 조사할 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이가 $9.8$ kg 이하가 되도록 하는 $n$의 최솟값을 구하시오. (단, $P(|Z| \le 1.96) = 0.95$)
$f'(x) = 2x e^{-x} - (x^2 - 1)e^{-x} = -(x^2 - 2x - 1)e^{-x}$.
$f'(x) = 0 \iff x = 1 \pm \sqrt{2}$.
$x = 1+\sqrt{2}$에서 극댓값 $2\sqrt{2}e^{-(1+\sqrt{2})}$, $x = 1-\sqrt{2}$에서 극솟값 $-2\sqrt{2}e^{-(1-\sqrt{2})}$.
$f''(x) = -(2x - 2)e^{-x} + (x^2 - 2x - 1)e^{-x} = (x^2 - 4x + 1)e^{-x}$.
$f''(x) = 0 \iff x = 2 \pm \sqrt{3}$. 두 점에서 부호 반전이 발생하므로 변곡점의 $x$좌표는 $2 \pm \sqrt{3}$.
$x_1 = 2 - \sqrt{3}, x_2 = 2 + \sqrt{3}$에서의 기울기 $m = f'(x_i)$.
접선 방정식 $y - f(x_i) = f'(x_i)(x - x_i)$로 도출함.
접점 $(t, f(t))$에서의 접선: $y - f(t) = f'(t)(x - t)$. 점 $(a, 0)$을 대입하면
$-f(t) = f'(t)(a - t) \iff f(t) + f'(t)(a - t) = 0$.
$e^{-t} > 0$을 소거하면 $a$에 관한 일차방정식 또는 $t$의 삼차방정식 $g(t) = a$ 형태로 변환됨.
변곡점 접선의 $x$절편을 경계로 하여 $g(t)$의 극값 사이 구간에서 3개의 교점이 발생함.
구간 판정을 통해 $a$의 범위를 최종 도출함.
| 항목 | 상세 루브릭 채점 기준 | 배점 |
|---|---|---|
| [1-1] | 1계 도함수 극값 및 2계 도함수 부호 반전으로 변곡점 $2\pm\sqrt{3}$ 도출 | 7점 |
| [1-2] | 변곡점 접선 방정식의 정확한 유도 | 8점 |
| [1-3] | 접선 방정식 실근 조건 $g(t)=a$ 설정 및 3개 실근 범위 엄밀 판정 | 10점 |
$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1 \iff b^2 x_0 x + a^2 y_0 y - a^2 b^2 = 0$.
$d_1 = \frac{|b^2 x_0 c - a^2 b^2|}{\sqrt{b^4 x_0^2 + a^4 y_0^2}}, d_2 = \frac{|-b^2 x_0 c - a^2 b^2|}{\sqrt{b^4 x_0^2 + a^4 y_0^2}}$.
$d_1 d_2 = \frac{b^4 |a^2 - x_0 c| |a^2 + x_0 c|}{b^4 x_0^2 + a^4 y_0^2} = \frac{b^4 |a^4 - x_0^2 c^2|}{b^4 x_0^2 + a^4 y_0^2}$.
$c^2 = a^2 - b^2$이므로 $a^4 - x_0^2(a^2 - b^2) = a^2(a^2 - x_0^2) + b^2 x_0^2$.
타원 식 $y_0^2 = b^2(1 - x_0^2/a^2) \implies a^2 - x_0^2 = \frac{a^2 y_0^2}{b^2}$.
분자 $= b^4\left(a^2 \cdot \frac{a^2 y_0^2}{b^2} + b^2 x_0^2\right) = b^2(a^4 y_0^2 + b^4 x_0^2)$.
따라서 $d_1 d_2 = \frac{b^2(a^4 y_0^2 + b^4 x_0^2)}{b^4 x_0^2 + a^4 y_0^2} = b^2$ (항상 일정함, 증명 완료).
타원의 초점에서 접선에 내린 수선의 발의 자취는 타원의 장축을 지름으로 하는 보조원이다.
자취 방정식: $x^2 + y^2 = a^2 = 25$.
| 항목 | 상세 루브릭 채점 기준 | 배점 |
|---|---|---|
| [2-1] | 타원의 접선 방정식 도출 | 7점 |
| [2-2] | 점-직선 거리 공식 적용 및 타원 방정식 대입으로 $d_1 d_2 = b^2$ 완전 소거 증명 | 10점 |
| [2-3] | 원 $x^2 + y^2 = 25$ 자취 유도 | 8점 |
$\det(A) = (k-1)(k-2) - 6 = k^2 - 3k - 4 = (k-4)(k+1) = 0 \implies k = 4$ 또는 $k = -1$.
$k = 5$일 때 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$. $\det(A) = 12 - 6 = 6$.
$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} -5 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/6 \\ 13/6 \end{pmatrix}$.
1) $k = 4$일 때: $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$.
$3x + 2y = 1$이고 $3x + 2y = 4$이므로 모순이다. 따라서 해가 존재하지 않는다 (불능).
2) $k = -1$일 때: $\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$.
$-2x + 2y = 1 \iff x - y = -1/2$. $3x - 3y = 4 \iff x - y = 4/3$.
$-1/2 \neq 4/3$이므로 역시 모순이다. 따라서 해가 존재하지 않는다 (불능).
(단, 우변이 $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1.5 \end{pmatrix}$ 등 평행 일치할 때만 해가 무수히 많음)
| 항목 | 상세 루브릭 채점 기준 | 배점 |
|---|---|---|
| [3-1] | 행렬식 0 방정식으로 $k = 4, -1$ 도출 | 7점 |
| [3-2] | 역행렬 및 유일해 $X = (-5/6, 13/6)^T$ 계산 | 8점 |
| [3-3] | 연립방정식 전개를 통한 모순 증명 및 불능 판정 완결 | 10점 |
$f(P) = rP(1 - P/K) = -\frac{r}{K}P^2 + rP$. 이차함수의 꼭짓점 $P = \frac{K}{2}$에서 속도 최댓값 $\frac{rK}{4}$.
$\frac{d^2 P}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left[rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)\right] = r\frac{dP}{dt}\left(1 - \frac{2P}{K}\right)$.
$P = K/2$일 때 $d^2 P/dt^2 = 0$이고 $P < K/2$에서 양수, $P > K/2$에서 음수로 부호가 반전되므로 변곡점이다.
$\frac{dP}{P(1 - P/K)} = r dt \iff \left(\frac{1}{P} + \frac{1/K}{1 - P/K}\right) dP = r dt$.
적분 시 $\ln|P| - \ln|1 - P/K| = rt + C_1 \iff \ln\left|\frac{P}{1 - P/K}\right| = rt + C_1 \iff \frac{P}{K - P} = A e^{rt}$.
$t = 0$ 대입: $A = \frac{P_0}{K - P_0}$. 정리하면 $P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$.
$P(t^*) = K/2 \iff 1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt^*} = 2 \iff e^{-rt^*} = \frac{P_0}{K - P_0} \iff t^* = \frac{1}{r}\ln\left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)$.
$r > 0$이므로 $t \to \infty$일 때 $e^{-rt} \to 0$. 따라서 $\lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{K}{1 + 0} = K$.
| 항목 | 상세 루브릭 채점 기준 | 배점 |
|---|---|---|
| [4-1] | 이차함수 꼭짓점 $P=K/2$ 및 2계 도함수 부호 반전으로 변곡점 증명 | 7점 |
| [4-2] | 부분분수 적분과 초기조건 대입으로 로지스틱 해 유도 | 9점 |
| [4-3] | 시간 $t^*$ 로그 표현식 도출 및 $t\to\infty$ 극한값 $K$ 완결 | 9점 |
$\det(A) = 0$ 이므로
역행렬이 존재하지 않는다.
따라서 해가 무수히 많다.
$k = 4$일 때 연립방정식은 $3x + 2y = 1$과 $3x + 2y = 4$이다.
두 직선은 기울기가 같고 절편이 다르므로 평행하며 교점이 존재하지 않는다.
따라서 모순이 발생하여 '해가 없다(불능)'이다.
| 도서명 | 2028 건국대학교 수리논술 이렇게 하면 합격한다 [수의예 & 자연계열 C1] |
| 발행처 / 저자 | 주식회사 퀘스티오 (Questio Inc.) / 강원호 (Woner) 소장 |
| 정식 등록 ISBN | 979-11-984520-7-7 (부가기호 95370) [도서 부가세 10% 면세 정식 출판물] |
| 출판일자 / 규격 | 2026년 10월 / A4 완결 1문항 1페이지 전자책 웹뷰어 일체형 |
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