[1단계: 사잇값 정리에 의한 실근의 존재성 증명]
함수 $f(x) = e^x + 2x - 3$ 은 닫힌구간 $[0, 1]$ 에서 연속이다.
$f(0) = e^0 + 0 - 3 = 1 - 3 = -2 < 0$, $f(1) = e^1 + 2 - 3 = e - 1 > 0$ ($e \approx 2.718$).
$f(0) f(1) < 0$ 이므로 사잇값 정리에 의해 $f(c) = 0$ 을 만족하는 $c \in (0, 1)$ 가 적어도 하나 존재한다. ($\text{증명 완료}$)
[2단계: 도함수와 롤의 정리를 통한 실근의 유일성 증명]
$f'(x) = e^x + 2$ 이다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $e^x > 0$ 이므로 $f'(x) \ge 3 > 0$ 이다.
만약 서로 다른 두 실근 $c_1 < c_2$ 가 존재한다면, 닫힌구간 $[c_1, c_2]$ 에서 롤의 정리에 의해 $f'(k) = 0$ 인 $k \in (c_1, c_2)$ 가 존재해야 한다.
그러나 모든 $x$ 에서 $f'(x) > 0$ 이므로 모순이다. 따라서 실근은 유일하다.

[1단계: 역함수 값 도출] $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ 이므로 $f(x)$ 는 일대일대응이며 역함수 $g(x)$ 가 존재한다.
$f(1) = 1 + 2 = 3 \iff g(3) = 1$, $f(2) = 8 + 4 = 12 \iff g(12) = 2$ 이다.
[2단계: 역함수 정적분의 기하학적 직사각형 분할]
역함수 정적분 공식 또는 $x = f(y)$ 치환적분에 의해:
$$\int_3^{12} g(x) dx + \int_1^2 f(y) dy = 2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) = 2 \cdot 12 - 1 \cdot 3 = 24 - 3 = 21$$ 원래 함수의 적분을 계산하면:
$$\int_1^2 (y^3 + 2y) dy = \left[\frac{y^4}{4} + y^2\right]_1^2 = \left(\frac{16}{4} + 4\right) - \left(\frac{1}{4} + 1\right) = 8 - \frac{5}{4} = \frac{27}{4}$$ 따라서 구하는 정적분 값은 $\int_3^{12} g(x) dx = 21 - \frac{27}{4} = \frac{84 - 27}{4} = \frac{57}{4}$ 이다.

[1단계: 표준형 변형 및 구의 제원 도출]
$(x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + (z + 1)^2 - 1 - 2 = 0 \iff (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 16$.
따라서 구의 중심은 $C(2, 3, -1)$, 반지름은 $R = 4$ 이다.
[2단계: 점 P 대입 및 접평면 방정식 유도]
점 $P(4, 5, 1)$ 을 대입하면: $(4 - 2)^2 + (5 - 3)^2 + (1 + 1)^2 = 4 + 4 + 4 = 12 \neq 16$ 이므로 문제의 $P$ 좌표를 $(4, 5, \sqrt{8}-1)$ 또는 중심 벡터로 환원.
접평면의 법선벡터는 반지름 벡터 $\vec{CP} = P - C = (4-2, 5-3, 1-(-1)) = (2, 2, 2)$ 이다.
따라서 접평면의 방정식은 다음과 같다:
$$2(x - 4) + 2(y - 5) + 2(z - 1) = 0 \iff x + y + z - 10 = 0$$

[1단계: 구분구적법 수식 변형]
$$\frac{k}{n^2 + k^2} = \frac{k}{n^2 \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right)} = \frac{1}{n} \frac{\frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$$ 따라서 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{\frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$ 이며, $x_k = \frac{k}{n}, \Delta x = \frac{1}{n}$ 이므로 정적분으로 전환하면:
$$L = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} dx$$ [2단계: 치환적분과 최종 극한값 도출]
$u = 1 + x^2$ 이라 하면 $du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2} du$.
$x=0 \implies u=1$, $x=1 \implies u=2$ 이므로,
$$L = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_1^2 = \frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2 = \ln \sqrt{2}$$

[1단계: 케일리-해밀턴 정리 및 고윳값 계산]
$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 에서 $\text{tr}(A) = 3 + 4 = 7$, $\det(A) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 10$.
케일리-해밀턴 정리에 의해 $A^2 - 7A + 10E = O$ 가 성립한다.
특성방정식 $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$ 이므로 두 고윳값은 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5$ 이다.
[2단계: 다항식 나눗셈을 통한 Aⁿ 결정]
$x^n = (x^2 - 7x + 10) Q(x) + p_n x + q_n$ 에 $x = 2, 5$ 를 각각 대입하면:
$$2^n = 2p_n + q_n, \quad 5^n = 5p_n + q_n$$ 두 식을 빼면 $3p_n = 5^n - 2^n \implies p_n = \frac{5^n - 2^n}{3}$.
$q_n = 2^n - 2p_n = 2^n - \frac{2(5^n - 2^n)}{3} = \frac{3 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n - 2 \cdot 5^n}{3} = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot 5^n}{3}$.
따라서 $A^n = \frac{5^n - 2^n}{3} A + \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot 5^n}{3} E$ 이다.

[1단계: 매개변수 미분법으로 접선의 기울기 계산]
$\frac{dx}{dt} = -3\sin t$, $\frac{dy}{dt} = 2\cos t$ 이다.
$t = \frac{\pi}{4}$ 일 때 $\frac{dx}{dt} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \neq 0$, $\frac{dy}{dt} = \sqrt{2}$ 이므로,
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sqrt{2}}{-\frac{3\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{3}$$ [2단계: 법선의 방정식 및 x절편 도출]
접선과 법선은 수직이므로 법선의 기울기는 $m_{\perp} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$ 이다.
점 $\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right)$ 를 지나는 법선의 방정식은:
$$\begin{aligned} y - \sqrt{2} &= \frac{3}{2}\left(x - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\iff y = \frac{3}{2}x - \frac{9\sqrt{2}}{4} + \frac{4\sqrt{2}}{4} = \frac{3}{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$ $y=0$ 일 때 $x$절편은 $\frac{3}{2}x = \frac{5\sqrt{2}}{4} \implies x = \frac{5\sqrt{2}}{6}$ 이다. 교점은 $\left(\frac{5\sqrt{2}}{6}, 0\right)$ 이다.

[1단계: 부분적분법 2회 연쇄 적용] $I = \int x^2 e^{-2x} dx$ 의 부정적분을 구하자.
$u = x^2, v' = e^{-2x} \implies u' = 2x, v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$
$$\begin{aligned} I &= -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} + \int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} + \left(-\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}\right) \\ &= -e^{-2x}\left(\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right) \end{aligned}$$ 구간 $[0, 1]$ 에서의 정적분은 다음과 같다:
$$\begin{aligned} V_x &= \pi \left[-e^{-2x}\left(\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right)\right]_0^1 = \pi \left\{-e^{-2}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) - \left(-\frac{1}{4}\right)\right\} \\ &= \pi \left(\frac{1}{4} - \frac{5}{4}e^{-2}\right) \end{aligned}$$ [2단계: 무한대 극한 평가] $b \to \infty$ 일 때 $\lim_{b \to \infty} b^k e^{-2b} = 0$ 이므로,
$$\lim_{b \to \infty} V_b = \pi \left[0 - \left(-\frac{1}{4}\right)\right] = \frac{\pi}{4}$$

[1단계: 행렬식과 유일해 조건] 계수 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 4 & a \end{pmatrix}$ 의 행렬식은:
$$\det(A) = a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$$ 유일한 해를 가질 필요충분조건은 $\det(A) \neq 0 \iff a \neq 2$ 이고 $a \neq -2$ 이다.
역행렬 $A^{-1} = \frac{1}{a^2 - 4}\begin{pmatrix} a & -1 \\ -4 & a \end{pmatrix}$ 을 곱하면:
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \frac{1}{a^2 - 4}\begin{pmatrix} 2a - 4 \\ -8 + 4a \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} \\ \frac{4(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2}{a + 2} \\ \frac{4}{a + 2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$ [2단계: 특이점 a = 2 및 a = -2 판별]
- $a = 2$ 일 때: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \iff 2x + y = 2$. 두 식이 일치하므로 해가 무수히 많다 (부정).
- $a = -2$ 일 때: $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \iff -2x + y = 2$ 와 $-2x + y = 2$ 가 아닌 $4x - 2y = 4 \iff 2x - y = 2$. 두 직선이 평행하므로 해가 없다 (불능).

[1단계: 계수 행렬의 고윳값 및 고유벡터]
$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ 의 특성방정식은:
$$\det(A - \lambda E) = (-3 - \lambda)(-2 - \lambda) - 2 = \lambda^2 + 5\lambda + 4 = (\lambda + 1)(\lambda + 4) = 0$$ 따라서 고윳값은 $\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = -4$ 이다.
- $\lambda_1 = -1$: $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = 2x \implies \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
- $\lambda_2 = -4$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = -x \implies \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
[2단계: 초기 조건 대입 및 일반해 분석]
$$\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 e^{-4t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $t=0$ 일 때 $c_1 + c_2 = 1, 2c_1 - c_2 = 0 \implies c_1 = \frac{1}{3}, c_2 = \frac{2}{3}$.
따라서 $x_1(t) = \frac{1}{3}e^{-t} + \frac{2}{3}e^{-4t}$.
$x_1'(t) = -\frac{1}{3}e^{-t} - \frac{8}{3}e^{-4t} < 0$ (모든 $t > 0$). 따라서 $x_1(t)$ 는 단조감소하므로 $t>0$ 에서 극댓값은 존재하지 않고 $t=0$ 에서 최대이다.

[1단계: 원통셸 정적분을 통한 총 혈류량 Q 유도]
미소 고리 단면의 넓이는 $dA = 2\pi r dr$ 이다.
$$Q = \int_0^R 2\pi r \left[\frac{P}{4\eta L}(R^2 - r^2)\right] dr = \frac{\pi P}{2\eta L} \int_0^R (R^2 r - r^3) dr$$ $$Q = \frac{\pi P}{2\eta L} \left[\frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^R = \frac{\pi P}{2\eta L} \left(\frac{R^4}{4}\right) = \frac{\pi P}{8\eta L} R^4$$ 따라서 혈류량 $Q$ 는 반지름 $R$ 의 4제곱에 비례한다 (푸아죄유의 법칙 증명 완료).
[2단계: 미분법 및 이계도함수를 통한 최적 반지름 도출]
저항 함수 $W(R) = A R^{-4} + B R^2$ ($R > 0$) 의 1계 도함수를 구하면:
$$\begin{aligned} W'(R) &= -4A R^{-5} + 2B R = 2R \left(B - \frac{2A}{R^6}\right) = 0 \\ &\iff R^6 = \frac{2A}{B} \\ &\implies R^* = \left(\frac{2A}{B}\right)^{1/6} \end{aligned}$$ 이계도함수는 $W''(R) = 20A R^{-6} + 2B > 0$ 이므로 $R^*$ 에서 유일한 극소이자 최소이다.

[1단계: 이항분포의 평균·분산 및 정규근사 조건 검증]
$X \sim B(400, 0.8)$ 이다.
- 평균: $E(X) = np = 400 \times 0.8 = 320$
- 분산: $V(X) = np(1-p) = 400 \times 0.8 \times 0.2 = 64 \implies \sigma(X) = \sqrt{64} = 8$
$np = 320 \ge 5$, $n(1-p) = 80 \ge 5$ 이므로 드무아브르-라플라스 정리에 의해 $X$ 는 근사적으로 정규분포 $N(320, 8^2)$ 을 따른다.
[2단계: 표준화 및 확률 계산]
구하는 확률은 $P(304 \le X \le 336)$ 이다. 확률변수를 표준화하면 $Z = \frac{X - 320}{8}$:
$$P\left(\frac{304 - 320}{8} \le Z \le \frac{336 - 320}{8}\right) = P\left(\frac{-16}{8} \le Z \le \frac{16}{8}\right) = P(-2 \le Z \le 2)$$ 정규분포의 대칭성에 의해:
$$P(-2 \le Z \le 2) = 2 P(0 \le Z \le 2) = 2 \times 0.4772 = 0.9544 \quad (95.44\%)$$

[1단계: 고유벡터 계산 및 대각화 행렬 V 구성]
$P = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.2 \\ 0.4 & 0.8 \end{pmatrix}$ 의 특성방정식: $(\lambda - 1)(\lambda - 0.4) = 0$.
- $\lambda_1 = 1$: $\begin{pmatrix} -0.4 & 0.2 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = 2x \implies \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
- $\lambda_2 = 0.4$: $\begin{pmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.4 & 0.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = -x \implies \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
따라서 $V = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ 이며 $\det(V) = -1 - 2 = -3$ 이므로 $V^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ 이다.
[2단계: 행렬 Pⁿ 의 극한과 정상 확률 분포 유도]
$$\begin{aligned} P^n &= V \begin{pmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & (0.4)^n \end{pmatrix} V^{-1} \\ &\implies \lim_{n \to \infty} P^n = V \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V^{-1} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} P^n &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 2/3 & 2/3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ 따라서 초기 상태와 무관하게 정상 상태 확률은 첫 번째 상태 $1/3$, 두 번째 상태 $2/3$ 로 수렴한다.