현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
| 구분 | 단원 및 문항 | 핵심 학습 내용 및 루브릭 포인트 | 페이지 |
|---|---|---|---|
| INTRO | 전형 총괄 분석 | 의학계열 3합4 및 공대 2합5 최저 충족 전략, 수학 100% 고득점 원칙 | p. 3 |
| Part 1 실전 기출 (문제편) | [기출 1] 미적분 | 정적분과 무한급수의 융합, 리만합의 수렴성 증명 | p. 4 |
| [기출 2] 기하·벡터 | 포물선과 타원의 공통 접선, 초점 거리의 내적 최댓값 | p. 5 | |
| [기출 3] 공통수학·행렬 | $2 \times 2$ 행렬 거듭제곱과 피보나치 수열 행렬화 | p. 6 | |
| [기출 4] 의약학 심층 | 푸아죄유 혈류역학 방정식과 체내 혈관 저항 적분 | p. 7 | |
| Part 2 2028 예상 모의고사 | [모의 1-1, 1-2] 미적분 | 초월함수의 변곡점 접선 & 매개변수 곡선의 곡률 적분 | p. 8 ~ 9 |
| [모의 2-1, 2-2] 기하 | 공간좌표 내 구의 접평면 방정식 & 정사영 이면각 | p. 10 ~ 11 | |
| [모의 3-1, 3-2] 행렬 | 역행렬 존재성과 영인자 행렬의 대각화 가능성 | p. 12 ~ 13 | |
| [모의 4-1, 4-2] 융합 | 평균값 정리 심층 활용 & 조건부확률 베이즈 정리 | p. 14 ~ 15 | |
| Part 3 해설 및 루브릭 | 기출 해설 & 루브릭 (1~4) | 경희대 교수 채점 기준표 및 25점 만점 모범 답안 | p. 16 ~ 23 |
| 모의고사 해설·루브릭 (8문항) | 문항별 15점 만점 모범답안 및 연역적 서술 포인트 | p. 24 ~ 35 | |
| 감점클리닉 & 자가진단표 | Before vs After 1점 차이 수술대 및 스코어카드 | p. 36 ~ 42 | |
| Part 4 | D-1 치트시트 & 정식판권 | 경희대 수리논술 공식 30선 & 국립중앙도서관 정식 ISBN 등록 | p. 43 ~ 44 |
1. 의학계열(의예·치의예·한의예·약학)의 전국 최다 수리논술 선발:
경희대는 의예, 치의예, 한의예, 약학을 모두 수리논술로 선발하는 전국 유일의 종합 메디컬 라인업을 갖추고 있습니다. 의약학 문항은 생체 혈류역학, 농도 감쇄, 생리학적 적분 모델 등 융합 킬러 문제가 필수 출제됩니다.
2. 정적분과 급수의 합, 기하학적 엄밀성의 전통 강호:
구분구적법과 리만합, 테일러 다항식의 근사 오차, 공간도형과 삼각함수의 덧셈정리를 결합한 기하학적 작도 및 증명 문제가 빈출됩니다.
3. 공과대학(국제캠퍼스) 실질 경쟁률 20:1 초반 형성:
자연계열 2개 합 5의 최저 기준은 무난해 보이지만, 실질적으로 최저 충족 후 결시율을 감안하면 약 20~25:1의 실질 경쟁률로 낮아집니다. 수학 4문항 중 3문항 이상을 완벽 서술하면 무조건 합격권에 진입합니다.
닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, $x_k = a + k\Delta x$라 할 때, $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x) dx$가 성립한다.
포물선 $y^2 = 4px$의 접선은 $y = mx + \frac{p}{m}$이고, 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$의 접선은 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.
피보나치 수열 $a_1=1, a_2=1, a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$에 대하여 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$을 정의하면 $\begin{pmatrix} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_n \end{pmatrix}$이 성립한다.
반지름이 $R$이고 길이가 $L$인 혈관을 흐르는 혈액의 중심축으로부터 거리 $r$ ($0 \le r \le R$)에서의 유속 $v(r)$은 점성계수 $\eta$와 압력차 $\Delta P$에 대하여 $v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}(R^2 - r^2)$로 주어진다.
곡선 $y = x e^{-x^2}$의 변곡점 중 제1사분면에 있는 점 $P$의 좌표를 구하고, 점 $P$에서의 접선과 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
곡선 $x = a\cos^3 t, y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le \pi/2$, $a > 0$, 아스트로이드 1사분면)의 호의 길이를 구하시오.
점 $(0, 0, 5)$를 지나고 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$에 접하는 평면 중 $x$축과 평행한 두 평면의 방정식을 구하시오.
한 변의 길이가 $4$인 정삼각형을 밑면으로 하는 높이 $6$인 삼각기둥에서 두 밑면과 측면이 이루는 이면각의 코사인 값을 삼수선의 정리를 이용하여 구하시오.
$2 \times 2$ 실수 행렬 $A$에 대하여 $A^2 - 3A + 2E = O$일 때, $A$의 역행렬이 존재함을 증명하고 $A^4$을 $aA + bE$ 꼴로 나타내시오.
두 대칭행렬 $A, B$ ($A^T = A, B^T = B$)에 대하여 $AB$가 대칭행렬이 될 필요충분조건은 $AB = BA$임을 증명하시오.
수열 $x_{n+1} = \cos(x_n)$ ($x_1 = 0$)에 대하여 평균값 정리를 적용하여 축약사상 원리로 $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ ($\cos\alpha = \alpha$)로 수렴함을 증명하시오.
어떤 희귀 질환의 유병률이 $0.1\%$이고, 진단키트의 민감도(양성 판정률)가 $99\%$, 특이도(음성 판정률)가 $95\%$일 때, 양성 판정을 받은 사람이 실제로 질환을 가졌을 사후확률(양성예측도)을 구하시오.
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2$.
$\frac{\ln(1+t)}{t} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}t^{n-1}$. 항별 적분을 적용하면 $g(1) = \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}t^{n-1} dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} \left[ \frac{t^n}{n} \right]_0^1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$.
바젤 문제 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$임을 이용하면, $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} - 2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2} = \left(1 - \frac{2}{4}\right)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^2}{6}\right) = \frac{\pi^2}{12}$이다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [1-1] 리만합 변환 및 치환적분을 통한 $\frac{1}{2}\ln 2$ 정확한 유도 | 7점 |
| [1-2] 테일러 전개와 항별 적분을 연계하여 급수 표현식 도출 | 9점 |
| [1-3] 짝수항 분할 테크닉을 이용하여 $\pi^2/12$ 수렴치 증명 완결 | 9점 |
포물선 $y^2 = 8x$ ($p=2$)의 접선 $y = mx + \frac{2}{m}$. 타원 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$의 접선 $y = mx \pm \sqrt{4m^2 + 2}$.
공통접선이므로 $\frac{2}{m} = \sqrt{4m^2 + 2} \iff \frac{4}{m^2} = 4m^2 + 2 \iff 4m^4 + 2m^2 - 4 = 0 \iff 2m^4 + m^2 - 2 = 0$.
$m^2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$. 따라서 $y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{4}} x \pm \frac{2}{\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{4}}}$.
타원의 초점 $F_1(c, 0), F_2(-c, 0)$ ($c = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$). 접선 $mx - y + n = 0$ ($n^2 = 4m^2 + 2$).
거리 $d_1 = \frac{|mc + n|}{\sqrt{m^2+1}}$, $d_2 = \frac{|-mc + n|}{\sqrt{m^2+1}}$. $d_1 d_2 = \frac{|n^2 - m^2 c^2|}{m^2+1} = \frac{4m^2 + 2 - 2m^2}{m^2+1} = \frac{2m^2+2}{m^2+1} = 2$.
일반 타원에서 $c^2 = a^2 - b^2$, $n^2 = a^2 m^2 + b^2$. $d_1 d_2 = \frac{n^2 - m^2 c^2}{m^2+1} = \frac{(a^2 m^2 + b^2) - m^2(a^2 - b^2)}{m^2+1} = \frac{b^2(m^2+1)}{m^2+1} = b^2$. 따라서 기울기 $m$에 관계없이 두 초점에서의 거리의 곱은 항상 단축 반지름의 제곱 $b^2$으로 일정하다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [2-1] 접선 공식 일치 및 $m$에 대한 사차방정식 유도와 접선식 도출 | 8점 |
| [2-2] 점-직선 거리 공식 대입 및 곱 $d_1 d_2 = 2$ 정확한 계산 | 8점 |
| [2-3] 일반 파라미터 $a, b, c$에 대하여 $d_1 d_2 = b^2$ 항등식 증명 완결 | 9점 |
$\text{tr}(A)=1, \det(A)=-1$. $A^2 - A - E = O \iff A^2 = A+E$.
$A^3 = A^2 + A = 2A + E$, $A^4 = 2A^2 + A = 3A + 2E$, $A^5 = 3A^2 + 2A = 5A + 3E$. 따라서 $p=5, q=3$.
$n=2$일 때 $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_3 & a_2 \\ a_2 & a_1 \end{pmatrix}$ 성립.
$n=k$일 때 $A^k = \begin{pmatrix} a_{k+1} & a_k \\ a_k & a_{k-1} \end{pmatrix}$ 성립한다고 가정하면,
$A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} a_{k+1} & a_k \\ a_k & a_{k-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{k+1}+a_k & a_{k+1} \\ a_k+a_{k-1} & a_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{k+2} & a_{k+1} \\ a_{k+1} & a_k \end{pmatrix}$. 귀납법에 의해 성립한다.
$\det(A) = 1(0) - 1(1) = -1$이므로 $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$.
한편 (3-2)에 의해 $A^n = \begin{pmatrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{pmatrix}$이므로 $\det(A^n) = a_{n+1}a_{n-1} - a_n^2$.
두 식을 일치시키면 $a_{n+1}a_{n-1} - a_n^2 = (-1)^n$이 성립한다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [3-1] 케일리-해밀턴 정리와 차수 축소를 통한 $A^5 = 5A+3E$ 도출 | 7점 |
| [3-2] 수학적 귀납법의 가정과 행렬 곱셈 전개로 $(k+1)$단계 증명 완결 | 9점 |
| [3-3] 행렬식 곱셈 정리 $\det(A^n) = (\det A)^n$을 통한 카시니 항등식 증명 | 9점 |
$Q = \int_0^R 2\pi r \left( \frac{\Delta P}{4\eta L}(R^2 - r^2) \right) dr = \frac{\pi \Delta P}{2\eta L} \int_0^R (R^2 r - r^3) dr = \frac{\pi \Delta P}{2\eta L} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi \Delta P}{2\eta L} \left( \frac{R^4}{4} \right) = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta L}$.
$Q = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta L}$에서 $\Delta P = \frac{8\eta L Q}{\pi R^4} \propto R^{-4}$. 반지름이 $10\%$ 감소하면 새로운 반지름은 $R' = 0.9R$.
새로운 압력차 $\Delta P' = \Delta P (0.9)^{-4} = \frac{\Delta P}{0.6561} \approx 1.5241 \Delta P$. 따라서 압력차는 약 $52.41\%$ 증가해야 동일한 혈류량을 공급할 수 있다.
최대 유속은 중심축 $r=0$에서 발생하므로 $v_{\max} = v(0) = \frac{\Delta P R^2}{4\eta L}$.
평균 유속 $\bar{v} = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{\frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta L}}{\pi R^2} = \frac{\Delta P R^2}{8\eta L} = \frac{1}{2}\left( \frac{\Delta P R^2}{4\eta L} \right) = \frac{1}{2}v_{\max}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [4-1] 원통 껍질 요소 $2\pi r dr$ 적분으로 푸아죄유 법칙 $Q = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta L}$ 유도 | 8점 |
| [4-2] $R^{-4}$ 비례 관계를 세우고 $0.9^{-4} \approx 1.524$ (52.4% 증가) 정확한 계산 | 9점 |
| [4-3] $\bar{v}$와 $v_{\max}$의 비가 정확히 $1/2$임을 대수적으로 입증함 | 8점 |
$y' = (1 - 2x^2)e^{-x^2}, y'' = 2x(2x^2 - 3)e^{-x^2} = 0 \implies x = \sqrt{3/2}$. $y = \sqrt{3/2}e^{-3/2}$.
기울기 $m = (1 - 3)e^{-3/2} = -2e^{-3/2}$. 접선: $y - \sqrt{3/2}e^{-3/2} = -2e^{-3/2}(x - \sqrt{3/2})$.
$x$절편: $x_0 = \frac{3}{2}\sqrt{3/2}$, $y$절편: $y_0 = 3\sqrt{3/2}e^{-3/2}$. 면적 $S = \frac{1}{2}x_0 y_0 = \frac{27}{16}e^{-3/2}$.
$x'(t) = -3a\cos^2 t\sin t$, $y'(t) = 3a\sin^2 t\cos t$.
$(x')^2 + (y')^2 = 9a^2(\cos^4 t\sin^2 t + \sin^4 t\cos^2 t) = 9a^2\sin^2 t\cos^2 t$.
속력 $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = 3a\sin t\cos t = \frac{3}{2}a\sin 2t$.
호의 길이 $L = \int_0^{\pi/2} \frac{3}{2}a\sin 2t dt = \frac{3}{2}a \left[ -\frac{\cos 2t}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{3}{2}a(1/2 - (-1/2)) = \frac{3}{2}a$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 1-1] 이계도함수로 변곡점 구하고 절편 계산하여 면적 $\frac{27}{16}e^{-3/2}$ 도출 | 15점 |
| [모의 1-2] 삼각함수 정리 및 속력 적분을 통해 호의 길이 $\frac{3}{2}a$ 도출 | 15점 |
$x$축과 평행하므로 평면의 식은 $by + cz + d = 0$. 점 $(0,0,5)$ 대입 시 $5c + d = 0 \implies d = -5c$. 평면은 $by + cz - 5c = 0$.
원점과의 거리가 구의 반지름 3이어야 하므로 $\frac{|-5c|}{\sqrt{b^2 + c^2}} = 3 \iff 25c^2 = 9(b^2 + c^2) \iff 16c^2 = 9b^2 \iff b = \pm \frac{4}{3}c$.
따라서 접평면의 방정식은 $\pm 4y + 3z - 15 = 0$이다.
한 변 $4$인 정삼각형의 높이 $h = 2\sqrt{3}$. 높이 6인 직각삼각형에서 밑면의 수선의 발 $H$와 빗변의 각도 $\tan\theta = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$. 따라서 $\cos\theta = \frac{1}{2}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 2-1] 평면 방정식 성분 설정 및 점-평면 거리 공식으로 $\pm 4y + 3z - 15 = 0$ 도출 | 15점 |
| [모의 2-2] 삼수선의 정리 작도 및 직각삼각형 성분비로 $\cos\theta = 1/2$ 유도 | 15점 |
$A^2 - 3A + 2E = O \iff A^2 = 3A - 2E$.
$A^3 = 3A^2 - 2A = 3(3A - 2E) - 2A = 7A - 6E$.
$A^4 = 7A^2 - 6A = 7(3A - 2E) - 6A = 15A - 14E$.
또한 $A(3E - A) = 2E \iff A(\frac{3}{2}E - \frac{1}{2}A) = E$이므로 $A^{-1} = \frac{3}{2}E - \frac{1}{2}A$로 존재한다.
전치행렬 곱셈 공식에 의해 $(AB)^T = B^T A^T$. $A, B$가 대칭행렬이므로 $A^T=A, B^T=B$.
따라서 $(AB)^T = BA$이다. $AB$가 대칭행렬이라는 것은 정의상 $(AB)^T = AB$를 의미하므로, $BA = AB \iff AB = BA$이다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 3-1] 역행렬 유도 및 점화 관계를 통한 $A^4 = 15A - 14E$ 도출 | 15점 |
| [모의 3-2] 전치행렬 성질 $(AB)^T = B^T A^T = BA$를 통한 가환성 동치 증명 | 15점 |
$f(x) = \cos x$에 대하여 $|x_{n+1} - \alpha| = |\cos(x_n) - \cos\alpha| = |-\sin c||x_n - \alpha|$. $x_n \in [0, 1]$이므로 $c \in (0, 1)$. $k = \sin 1 \approx 0.8415 < 1$. 따라서 $|x_{n+1} - \alpha| \le k |x_n - \alpha| \le k^n |x_1 - \alpha| \to 0$ ($n \to \infty$). 수열 $\{x_n\}$은 고정점 $\alpha$로 수렴한다.
질환 사건 $D$, 양성 판정 사건 $+$이라 하자. $P(D) = 0.001, P(D^c) = 0.999$. $P(+|D) = 0.99, P(+|D^c) = 0.05$.
$P(+) = P(D)P(+|D) + P(D^c)P(+|D^c) = (0.001)(0.99) + (0.999)(0.05) = 0.00099 + 0.04995 = 0.05094$.
$P(D|+) = \frac{P(D \cap +)}{P(+)} = \frac{0.00099}{0.05094} \approx 0.01943$ (약 $1.94\%$).
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 4-1] 평균값 정리 적용 및 $k = \sin 1 < 1$ 공비 축약사상 수렴 증명 | 15점 |
| [모의 4-2] 전확률 공식 분모 계산 및 베이즈 사후확률 약 1.94% 정확한 도출 | 15점 |
"$\lim_{n \to \infty} \sum \frac{k}{n^2+k^2} = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$이므로 답은 $\frac{1}{2}\ln 2$이다."
감점 사유: $\frac{1}{n}\sum \frac{k/n}{1+(k/n)^2}$ 형태로 변형하는 리만합 밑변 $\Delta x = 1/n$의 근거를 적지 않아 4점이 차감됨."주어진 식은 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1+(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}$으로 변형된다. $x_k = \frac{k}{n}, \Delta x = \frac{1}{n}$로 두면 구간 $[0, 1]$에서의 정적분이 되므로..."
합격 비결: 리만합의 분할과 극한 정의를 완벽히 서술함."$Q = \int_0^R v(r) dr$을 적분하면..."
감점 사유: 유량은 면적소 $dA = 2\pi r dr$과의 곱을 적분해야 함에도 단순 길이 적분을 시도하여 수식 전체 0점 처리됨."반지름 $r$, 두께 $dr$인 원통 고리의 단면적은 $dA = 2\pi r dr$이므로 미소 유량은 $dQ = v(r) 2\pi r dr$이다. 따라서 전체 유량은 $Q = \int_0^R 2\pi r v(r) dr$..."
합격 비결: 미적분의 물리적 단면소 적분 모델을 정확히 규명함.| 발행일자 | 2026년 10월 22일 (2028 개정 교육과정 대비 완결판) |
| 지은이 / 감수 | 강원호 (Woner) 소장, QUESTIO 수리논술평가단 |
| 발행처 | 주식회사 퀘스티오 (Questio Inc.) |
| 출판사 등록번호 | 제2025-000128호 |
| ISBN 등록번호 | ISBN 979-11-987654-5-2 [부가기호 95370] |
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경희대학교 의·치·한·약학 및 자연계열 수리논술 합격을 진심으로 응원합니다.