2028 인하대학교
의예과 · 자연계열 수리논술 MASTER (44P)

[문제 1-1 모범 답안]
$I = \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$.
$R_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$.
따라서 오차 $R_n - I = \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$.

[문제 1-2 모범 답안]
구간 $[x_{k-1}, x_k]$ (단, $x_k = k/n$, $\Delta x = 1/n$)에서 $f'(x) > 0$이므로 $f(x) \le f(x_k)$.
따라서 $\int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)dx \le f(x_k)\Delta x \implies \int_0^1 f(x)dx \le R_n$, 즉 $0 \le R_n - I$.
한편, $f''(x) \ge 0$이므로 곡선 $y=f(x)$는 아래로 볼록하다.
따라서 구간 $[x_{k-1}, x_k]$에서 사다리꼴의 넓이 $T_k = \frac{f(x_{k-1}) + f(x_k)}{2}\Delta x \ge \int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)dx$.
$f(x_k)\Delta x - \int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)dx \le f(x_k)\Delta x - \left( f(x_k)\Delta x - \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{2}\Delta x \right) = \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{2}\Delta x$.
이를 $k=1$부터 $n$까지 합하면 망원급수(Telescoping)에 의해,
$$R_n - I \le \sum_{k=1}^n \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{2n} = \frac{f(1) - f(0)}{2n}$$

[문제 2-1 모범 답안]
포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $A(x_1, y_1)$에서의 접선: $y_1 y = 2p(x + x_1)$.
점 $B(x_2, y_2)$에서의 접선: $y_2 y = 2p(x + x_2)$.
두 접선이 점 $P(x_0, y_0)$을 지나므로 다음 두 식이 성립한다.
(1) $y_1 y_0 = 2p(x_0 + x_1) \iff y_0 y_1 = 2p(x_1 + x_0)$
(2) $y_2 y_0 = 2p(x_0 + x_2) \iff y_0 y_2 = 2p(x_2 + x_0)$
직선 $l: y_0 y = 2p(x + x_0)$을 생각하면, 식 (1)과 (2)에 의해 점 $A(x_1, y_1)$과 점 $B(x_2, y_2)$는 모두 직선 $l$ 위의 점이다.
서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하므로, 두 접점을 잇는 할선(극선)의 방정식은 $y_0 y = 2p(x + x_0)$이다. (증명 완료)

[문제 2-2 모범 답안]
점 $P(-p, y_0)$에서의 접선 기울기를 $m$이라 하면, 접선의 방정식 $y = mx + \frac{p}{m}$.
점 $P(-p, y_0)$ 대입: $y_0 = -mp + \frac{p}{m} \implies p m^2 + y_0 m - p = 0$.
이차방정식의 두 근 $m_1, m_2$의 곱은 근과 계수의 관계에 의해 $m_1 m_2 = \frac{-p}{p} = -1$.
따라서 두 접선은 항상 수직이며 이루는 각은 $\pi/2$이다.
한편 극선의 방정식에 $x_0 = -p$를 대입하면 $y_0 y = 2p(x - p)$.
초점 $F(p, 0)$을 대입하면 $y_0(0) = 2p(p - p) = 0$이므로, $y_0$의 값에 관계없이 극선은 항상 초점 $F(p, 0)$을 지난다.

[문제 3-1 모범 답안]
$AUC = \int_0^\infty (A e^{-\alpha t} + B e^{-\beta t}) dt = \lim_{M\to\infty} \left[ -\frac{A}{\alpha}e^{-\alpha t} - \frac{B}{\beta}e^{-\beta t} \right]_0^M$.
$\alpha, \beta > 0$이므로 $M\to\infty$일 때 $e^{-\alpha M} \to 0$, $e^{-\beta M} \to 0$.
따라서 $AUC = \frac{A}{\alpha} + \frac{B}{\beta} = \frac{A\beta + B\alpha}{\alpha\beta}$.
총 청소율: $CL = \frac{D}{AUC} = \frac{D \alpha \beta}{A\beta + B\alpha}$.

[문제 3-2 모범 답안]
$\int_0^\infty t e^{-kt}dt$에서 $u=t \implies u'=1$, $v'=e^{-kt} \implies v=-\frac{1}{k}e^{-kt}$.
$\int_0^\infty t e^{-kt}dt = \left[ -\frac{t}{k}e^{-kt} \right]_0^\infty + \frac{1}{k}\int_0^\infty e^{-kt}dt = 0 + \frac{1}{k}\left[ -\frac{1}{k}e^{-kt} \right]_0^\infty = \frac{1}{k^2}$.
따라서 분자 $AUMC = \int_0^\infty t C(t)dt = \frac{A}{\alpha^2} + \frac{B}{\beta^2}$.
평균 체류 시간: $MRT = \frac{\frac{A}{\alpha^2} + \frac{B}{\beta^2}}{\frac{A}{\alpha} + \frac{B}{\beta}} = \frac{A\beta^2 + B\alpha^2}{\alpha\beta(A\beta + B\alpha)}$.

[문제 4-1 모범 답안]
$\vec{a} = (1, 2, 0)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$.
외적 $\vec{a} \times \vec{b} = (2\cdot 2 - 0\cdot 1, 0\cdot 0 - 1\cdot 2, 1\cdot 1 - 2\cdot 0) = (4, -2, 1)$.
스칼라 삼중적: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (4, -2, 1) \cdot (2, 0, 1) = 4(2) + (-2)(0) + 1(1) = 8 + 0 + 1 = 9$.
사면체의 부피 $V = \frac{1}{6}|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

[문제 4-2 모범 답안]
벡터 $\vec{a}, \vec{b}$가 이루는 밑면 평행사변형의 넓이 $S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.
밑면 삼각형의 넓이는 $S_{\triangle} = \frac{1}{2}S = \frac{\sqrt{21}}{2}$.
사면체의 부피 $V = \frac{1}{3} S_{\triangle} h \implies \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right) h \implies \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{21}}{6} h$.
따라서 높이 $h = CH = \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$.

[모범 답안]
$a+d = 4+1 = 5$, $ad-bc = 4 - (-2) = 6$. 따라서 $A^2 - 5A + 6E = O$.
$A^n = p_n A + q_n E$. $A^{n+1} = p_n A^2 + q_n A = p_n(5A - 6E) + q_n A = (5p_n + q_n)A - 6p_n E$.
따라서 $p_{n+1} = 5p_n + q_n$, $q_{n+1} = -6p_n$.
$q_n = -6p_{n-1}$이므로 대입하면 $p_{n+1} = 5p_n - 6p_{n-1}$ ($n \ge 2$).
특성방정식 $t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t-2)(t-3) = 0 \implies p_n = C_1 2^n + C_2 3^n$.
$p_1 = 1, p_2 = 5 \implies C_1 = -1, C_2 = 1$. 따라서 $p_n = 3^n - 2^n$.
$q_n = -6p_{n-1} = -6(3^{n-1} - 2^{n-1}) = -2\cdot 3^n + 3\cdot 2^n$.
$A^n = p_n A + q_n E = (3^n - 2^n)\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} + (-2\cdot 3^n + 3\cdot 2^n)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
$(1, 1)$ 성분: $4(3^n - 2^n) + (-2\cdot 3^n + 3\cdot 2^n) = 2\cdot 3^n - 2^n$.

[모범 답안]
$X = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{pmatrix}$라 두고 $MX = E$를 풀면,
$A X_{11} + B X_{21} = E$, $A X_{12} + B X_{22} = O$, $D X_{21} = O \implies X_{21} = O$, $D X_{22} = E \implies X_{22} = D^{-1}$.
따라서 $A X_{11} = E \implies X_{11} = A^{-1}$.
$A X_{12} + B D^{-1} = O \implies X_{12} = -A^{-1} B D^{-1}$. (증명 완료)
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
$B D^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
$X_{12} = -A^{-1}BD^{-1} = -\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

[모범 답안] $x^2+1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$.
$x=-1 \implies B=2$. $x=-2 \implies C=5$. $x=0 \implies 1 = 2A + 4 + 5 \implies A=-4$.
$$\begin{aligned} \int_0^1 \left( \frac{-4}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{5}{x+2} \right) dx &= \left[ -4\ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + 5\ln|x+2| \right]_0^1 \\ &= 5\ln(3/2) - 4\ln 2 + 1 \end{aligned}$$

[모범 답안] $V = \pi \int_0^1 x^2 dy = \pi \int_0^1 (e^y)^2 dy = \pi \int_0^1 e^{2y} dy = \pi \left[ \frac{e^{2y}}{2} \right]_0^1 = \frac{\pi(e^2-1)}{2}$.

[모범 답안] $x = \tan\theta, dx = \sec^2\theta d\theta$. 구간 $[0, \pi/4]$.
$\int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta} d\theta = \int_0^{\pi/4} \cos^2\theta d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.

[모범 답안] $\frac{1}{k} < \int_{k-1}^k \frac{1}{x} dx$ ($k \ge 2$). 합하면 $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < \int_1^n \frac{1}{x}dx = \ln n$.
양변에 1을 더하면 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1 + \ln n \implies \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n < 1$.

[모범 답안] $\vec{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$. 속력 $|\vec{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$.
$s = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} dt = 2\sqrt{2}\pi$.

[모범 답안] $T(t) - 20 = (100-20)e^{-kt} = 80e^{-kt}$.
$T(10) = 20 + 80e^{-10k} = 60 \implies e^{-10k} = 1/2 \implies k = \frac{\ln 2}{10}$.
$T(t) = 30 \implies 80e^{-kt} = 10 \implies e^{-kt} = 1/8 = (1/2)^3 \implies kt = 3\ln 2$.
$t = \frac{3\ln 2}{k} = 30$분.