현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
| 구분 | 단원 및 문항 | 핵심 학습 내용 및 루브릭 포인트 | 페이지 |
|---|---|---|---|
| INTRO | 전형 총괄 분석 | 수능최저 無 90분 타임어택 합격 전략 및 증명 평가 비중 | p. 3 |
| Part 1 실전 기출 (문제편) | [기출 1] 미적분 | 이계도함수와 변곡점의 접선 성질, 초월함수 적분 | p. 4 |
| [기출 2] 기하 | 공간도형의 입체 단면적과 회전체 부피 카발리에리 원리 | p. 5 | |
| [기출 3] 공통수학·행렬 | $2 \times 2$ 행렬 거듭제곱과 선형점화식의 일반항 도출 | p. 6 | |
| [기출 4] 미적·확통 | 점화식과 수열의 극한, 무한급수의 수렴 판정 | p. 7 | |
| Part 2 2028 예상 모의고사 | [모의 1-1, 1-2] 미적분 | 역함수 미분법 & 매개변수 곡선 길이와 곡률 | p. 8 ~ 9 |
| [모의 2-1, 2-2] 기하 | 쌍곡선의 점근선 성질 & 구와 평면의 교선 사영 | p. 10 ~ 11 | |
| [모의 3-1, 3-2] 행렬 | 행렬 곱셈 비가환성 & 역행렬 존재 조건과 영인자 | p. 12 ~ 13 | |
| [모의 4-1, 4-2] 융합 | 평균값 정리의 심층 활용 & 연속확률분포 기댓값 | p. 14 ~ 15 | |
| Part 3 해설 및 루브릭 | 기출 해설 & 루브릭 (1~4) | 한양대 교수 채점 기준표 및 감점 0점 모범 답안 | p. 16 ~ 23 |
| 모의고사 해설·루브릭 (8문항) | 문항별 15점 만점 모범답안 및 연역적 서술 포인트 | p. 24 ~ 35 | |
| 감점클리닉 & 자가진단표 | Before vs After 1점 차이 수술대 및 스코어카드 | p. 36 ~ 42 | |
| Part 4 | D-1 치트시트 & 정식판권 | 한양대 수리논술 공식 30선 & 국립중앙도서관 정식 ISBN 등록 | p. 43 ~ 44 |
1. 수능최저 전면 배제(NONE) ➔ 수학적 증명력의 끝판왕:
수능최저가 없으므로 결시율이 극히 낮고 실질 경쟁률이 60:1을 웃돕니다. 따라서 단순한 계산 문제나 정형화된 문제는 전혀 출제되지 않으며, 수학적 정리의 증명과 입체 기하학적 추론 능력을 극도로 평가합니다.
2. 90분 타임어택과 높은 서술 밀도:
120분을 주는 연세대나 100분을 주는 성균관대에 비해 시험시간이 90분으로 가장 짧습니다. 문항당 30분 이내에 직관을 논리적 수식으로 빠르게 옮겨내는 필속과 논리 압축력이 합격의 핵심입니다.
3. 공학적 직관과 카발리에리의 원리/입체적분 출제 전통:
한양공대의 전통답게 입체도형의 단면적을 적분하여 부피를 구하거나, 회전체의 표면적 및 호의 길이를 다루는 고난도 기하·미적 융합 문항이 빈출됩니다.
실수 전체에서 두 번 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a) = 0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면 점 $(a, f(a))$를 변곡점이라 한다. 변곡점에서의 접선은 곡선을 뚫고 지나간다.
두 입체도형을 평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이가 항상 같으면 두 입체의 부피는 같다(카발리에리의 원리). 높이가 $h$인 입체도형을 밑면으로부터 거리 $x$인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(x)$라 하면 부피는 $V = \int_0^h S(x) dx$이다.
연립점화식 $x_{n+1} = a x_n + b y_n$, $y_{n+1} = c x_n + d y_n$은 행렬 표현 $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$으로 나타낼 수 있다.
함수 $f(x)$가 $[1, \infty)$에서 양수이고 연속이며 감소할 때, 급수 $\sum_{n=1}^\infty f(n)$과 이상적분 $\int_1^\infty f(x)dx$는 동시에 수렴하거나 발산한다(코시 적분판정법).
$f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(5)$와 $g''(5)$의 값을 구하시오. (단, 미분가능성을 명시하시오.)
사이클로이드 $x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$)의 한 아치의 길이를 구하시오.
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 임의의 점 $P$에서의 접선이 두 점근선과 만나는 점을 $Q, R$이라 할 때, 선분 $QR$의 중점이 점 $P$임을 증명하시오.
구 $x^2 + y^2 + z^2 = 16$과 평면 $2x + y + 2z = 6$의 교선인 원 $C$의 중심 좌표, 반지름 및 $xy$평면 위로의 정사영 넓이를 구하시오.
모든 $2 \times 2$ 행렬 $B$에 대하여 $AB = BA$를 만족하는 행렬 $A$는 반드시 단위행렬 $E$의 실수배 $A = kE$ ($k \in \mathbb{R}$) 형태뿐임을 증명하시오.
행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^3 - 5A^2 - 2A$의 값을 구하고, $A^{-1}$을 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 구하시오.
두 함수 $f(x) = \sin x, g(x) = x$에 대하여 $[0, x]$ ($x > 0$)에서 코시 평균값 정리를 적용하여, $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$임을 증명하시오.
확률밀도함수가 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ ($x \ge 0, \lambda > 0$)인 확률변수 $X$에 대하여, 임의의 $s, t > 0$에 대해 $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$가 성립함을 증명하시오.
$f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$, $f''(x) = \frac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2)2(1+x^2)2x}{(1+x^2)^4} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1+x^2)^3}$이다.
$f''(x)=0$의 근은 $x = 0, \pm\sqrt{3}$이며 좌우에서 부호가 바뀌므로 변곡점은 $(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$이다. 원점에서의 접선은 $f'(0)=1$이므로 $y = x$이다.
$x > 0$일 때 $1+x^2 > 1$이므로 $\frac{x}{1+x^2} < x$가 성립한다.
$$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2$$
$[0, 1]$에서 $y=x$가 곡선보다 위에 있으므로 대칭성에 의해 넓이는 $2 \int_0^1 (x - \frac{x}{1+x^2}) dx = 2 [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)]_0^1 = 1 - \ln 2$이다.
밑면 중심을 원점으로 하고 $x$축을 잡으면, 거리 $x$에서의 단면은 직각이등변삼각형이다. 밑변의 길이는 $y = \sqrt{r^2-x^2}$이고 높이도 $y$이므로 단면적은 $S(x) = \frac{1}{2}(r^2-x^2)$이다.
$$V = \int_{-r}^r \frac{1}{2}(r^2-x^2) dx = 2 \int_0^r \frac{1}{2}(r^2-x^2) dx = \left[ r^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^r = \frac{2}{3}r^3$$
평면 $z = t$ ($-1 \le t \le 1$)로 자르면 $x^2 \le 1-t^2$이고 $y^2 \le 1-t^2$이므로 단면은 한 변의 길이가 $2\sqrt{1-t^2}$인 정사각형이다. 단면적은 $S(t) = 4(1-t^2)$이다.
$$V = \int_{-1}^1 4(1-t^2) dt = 8 \left[ t - \frac{1}{3}t^3 \right]_0^1 = 8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$$
단면 정사각형의 한 변의 길이는 $2\sqrt{1-t^2}$이므로 둘레의 길이는 $4 \times 2\sqrt{1-t^2} = 8\sqrt{1-t^2}$이다.
$\det(P) = 2(-1) - 1(1) = -3$이므로 $P^{-1} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$이다.
$$\begin{aligned} A^n &= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \cdot 5^n + 2^n & 2 \cdot 5^n - 2 \cdot 2^n \\ 5^n - 2^n & 5^n + 2 \cdot 2^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$
$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^{n-1} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 5^{n-1} + 2^{n-1} \\ 5^{n-1} - 2^{n-1} \end{pmatrix}$이다. 양변을 $5^{n-1}$로 나누면 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$이다.
$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$: $p=1$일 때 $[\ln x]_1^\infty = \infty$ 발산. $p \ne 1$일 때 $\left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty$은 $1-p < 0 \iff p > 1$일 때만 $\frac{1}{p-1}$로 수렴한다.
$s_{n+1} - s_n = \frac{1}{n+1} - \ln(n+1) + \ln n = \frac{1}{n+1} - \int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx < 0$이므로 단조감소. 또한 $s_n > 0$으로 아래로 유계이므로 단조수렴정리에 의해 극한 $\gamma$가 존재한다.
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \sum (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) = 1$이므로 $C = 1$이다. $E(X) = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1} = \infty$로 발산한다.
| 문항 | 채점 기준 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|---|
| 1-1 | 이계도함수 $f''(x)$ 유도 및 세 변곡점 $(0, 0), (\pm\sqrt{3}, \pm\sqrt{3}/4)$ 도출 | 7점 | 부호 미확인 -2점 |
| 1-2 | 부등식 성립 증명 및 치환적분 $\frac{1}{2}\ln 2$ 도출 | 9점 | 치환 과정 비약 -3점 |
| 1-3 | 대칭성 활용 둘러싸인 넓이 $1 - \ln 2$ 완벽 도출 | 9점 | 적분구간 오류 -3점 |
| 문항 | 채점 기준 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|---|
| 2-1 | 단면 직각삼각형 넓이 식 $S(x)$ 유도 및 부피 $2/3 r^3$ 도출 | 8점 | 적분식 미명시 -3점 |
| 2-2 | 정사각형 단면 $4(1-t^2)$ 유도 및 스타인메츠 부피 $16/3$ 도출 | 9점 | 대칭 적분 실수 -3점 |
| 2-3 | 단면 둘레 $8\sqrt{1-t^2}$ 정확 산출 | 8점 | 오답 시 -4점 |
| 문항 | 채점 기준 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|---|
| 3-1 | 가역행렬 $P$의 판별식 및 역행렬 $P^{-1}$ 정확 도출 | 7점 | 부호 실수 -2점 |
| 3-2 | $A^n = P D^n P^{-1}$ 행렬 곱셈 전개 및 4개 성분 도출 | 9점 | 곱셈 순서 뒤바꿈 -4점 |
| 3-3 | 최고차항 $5^{n-1}$ 계수 비교를 통한 극한값 $2$ 도출 | 9점 | 오답 시 -4점 |
| 문항 | 채점 기준 | 배점 | 감점 |
|---|---|---|---|
| 4-1 | 이상적분 계산을 통한 $p>1$ 수렴조건 증명 | 8점 | $p=1$ 분리누락 -2점 |
| 4-2 | 차분 부등식 적분 해석 및 단조수렴정리 극한 존재 증명 | 9점 | 유계성 미언급 -3점 |
| 4-3 | 망원급수 합으로 $C=1$ 및 기댓값 조화급수 발산 증명 | 8점 | 발산 논거 부족 -2점 |
$f(1)=5$, $f'(x)=3x^2+3 \implies f'(1)=6$. $g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{6}$. $g''(5) = -\frac{f''(1)}{(f'(1))^3} = -\frac{6}{6^3} = -\frac{1}{36}$.
$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos t)^2 + a^2\sin^2 t} dt = \int_0^{2\pi} 2a\sin(t/2)dt = [-4a\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 8a$.
접선 $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1$과 점근선 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 연립 교점 $Q, R$의 중점이 $(x_0, y_0) = P$임을 대수적으로 증명.
거리 $d = 2$, 반지름 $r = 2\sqrt{3}$, 원 넓이 $S = 12\pi$. 법선벡터 내적으로 $\cos\theta = 2/3$. 정사영 넓이 $S' = 12\pi \times \frac{2}{3} = 8\pi$.
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대해 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 대입하여 $b=c=0, a=d$ 유도, $A=kE$ 증명.
$A^2 - 5A - 2E = O \implies A^3 - 5A^2 - 2A = A(A^2 - 5A - 2E) = O$. $A(A-5E) = 2E \implies A^{-1} = \frac{1}{2}(A-5E)$.
$\frac{\sin x - x}{-x^3/6}$ 분수식에 코시 평균값 정리 2회 적용하여 도함수 극한이 $1/6$으로 수렴함을 연역적으로 증명.
$P(X>t) = \int_t^\infty \lambda e^{-\lambda x}dx = e^{-\lambda t}$. $\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t)$ 증명 완료.
한양대는 90분 안에 3개 대문항을 풀어야 하므로, 1번 문제에서 계산에 집착하다 2번, 3번을 백지로 내는 비율이 45%에 달합니다. 모르는 문항은 15분 이상 붙잡지 말고 다음 문항으로 넘어가 부분점수를 긁어모으십시오.
$A^n = P D^n P^{-1}$에서 $P$와 $P^{-1}$의 좌우 위치를 바꾸어 쓰면 완전히 엉뚱한 행렬이 나와 9점 중 0점 처리됩니다.
단면을 자르는 기준 축($x$축 vs $z$축)과 적분 변수가 불일치하여 3차원 적분 계산이 꼬이는 경우 감점.
$\int_1^\infty$를 쓰면서 $\lim_{b\to\infty}\int_1^b$ 형태를 취하지 않고 무한대를 직접 대입하면 감점.
$f''(x)=0$ 근만 구하고 바로 변곡점이라 선언하는 실수.
| 평가 항목 | 점검 내용 | 평가 |
|---|---|---|
| 수능최저 무관 | 수능최저가 없음을 의식하고 만점 목표로 서술했는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 정리 명칭 | 사잇값·평균값·카발리에리 원리 명칭을 명시했는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 평가 항목 | 점검 내용 | 평가 |
|---|---|---|
| 행렬 곱셈 순서 | $P$와 $P^{-1}$ 좌우 곱셈을 혼동하지 않았는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 입체 적분 | 대칭 구간 $2\int_0^a$ 적용 시 2배수를 빠뜨리지 않았는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 평가 항목 | 점검 내용 | 평가 |
|---|---|---|
| 90분 안배 | 90분 내에 전 문항 답안을 완결했는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 가독성 | 글씨가 또박또박하고 수식 전개가 정돈되었는가? | [ 상 / 중 / 하 ] |
| 도 서 명 | [44-Page 완결본] 2028 한양대학교 수리논술 이렇게 하면 합격한다 (자연계열 C1) |
| 저자 및 감수 | 강원호 (Woner 소장) / 주식회사 퀘스티오 수리논술전략평의회 |
| 발 행 처 | 주식회사 퀘스티오 (Questio Inc.) |
| 전자출판 ISBN | 979-11-984420-3-9 (95370) [국립중앙도서관 정식 등록] |
| 세무 세부 구분 | 부가가치세법 제26조 제1항 제18호에 의거 부가가치세 면세 (0%) 및 도서소득공제(30%) 적용 |
| 인쇄 DRM 정책 | 2-Tier DRM (화면 캡처 방지 워터마크 + A4 1회 정품 인쇄 권한 부여) |
| 고객지원 & 채점 | https://questio.co.kr • 이메일: support@questio.co.kr |