[1단계: 등차수열의 항 표현] 첫째항이 $a_1 = 2$, 공차가 $d$ 이므로 $a_2 = 2 + d$, $a_5 = 2 + 4d$ 이다.
[2단계: 등비중항 조건 적용] $a_1, a_2, a_5$ 가 등비수열을 이루므로 등비중항 성질에 의해:
$$(a_2)^2 = a_1 \cdot a_5 \iff (2 + d)^2 = 2(2 + 4d) \iff 4 + 4d + d^2 = 4 + 8d$$ $$d^2 - 4d = 0 \iff d(d - 4) = 0$$ 공비 $r \neq 1$ 이므로 $d \neq 0$, 따라서 공차 $d = 4$ 이다.
[3단계: 등차수열의 합 계산] $a_n = 2 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 2$ 이므로,
$$S_{10} = \frac{10(2 \cdot 2 + 9 \cdot 4)}{2} = 5(4 + 36) = 5 \times 40 = 200$$

[1단계: 접선의 방정식 유도] $y' = 3x^2 - 6x$ 이므로 점 $P(2, -2)$ 에서의 접선의 기울기는 $m = y'(2) = 12 - 12 = 0$ 이다.
따라서 접선 $l$ 의 방정식은 $y = -2$ 이다.
[2단계: 교점 Q의 좌표 및 넓이 계산] 삼차함수와 접선의 교점을 구하면:
$$x^3 - 3x^2 + 2 = -2 \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \iff (x - 2)^2(x + 1) = 0$$ 따라서 $P$ 가 아닌 교점 $Q$ 의 $x$좌표는 $x = -1$ 이다.
구간 $[-1, 2]$ 에서 곡선 $y \ge -2$ 이므로 둘러싸인 넓이 $S$ 는 공식에 의해:
$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4 = \frac{1}{12}(2 - (-1))^4 = \frac{3^4}{12} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}$$

[1단계: 치환 변수의 범위] $t = \log_2 x$ 이고 밑 $2 > 1$ 이므로 증가함수이다.
$1 \le x \le 16 \implies \log_2 1 \le t \le \log_2 16 \iff 0 \le t \le 4$.
[2단계: 이차함수의 표준형 및 최대·최소]
$$g(t) = t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4$$ 꼭짓점 $t = 1$ 은 구간 $[0, 4]$ 에 속하므로:
- 최솟값 $m = g(1) = 4$ (이때 $t = 1 \iff \log_2 x = 1 \iff x = 2$)
- 최댓값 $M = g(4) = (4 - 1)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$ (이때 $t = 4 \iff \log_2 x = 4 \iff x = 16$)

[1단계: 미적분 기본정리 적용] $\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)$ 이므로
$$g'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$ 따라서 $g'(x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 는 $x = 1, 3$ 이다.
[2단계: 극대·극소 판정 및 값 계산] $g'(x)$ 의 부호가 $x=1$ 에서 양에서 음으로 바뀌므로 극대, $x=3$ 에서 음에서 양으로 바뀌므로 극소이다.
- 극댓값 $g(1) = \int_0^1 (t^2 - 4t + 3) dt = \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$
- 극솟값 $g(3) = \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^3 = (9 - 18 + 9) - 0 = 0$
따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $\frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$ 이다.

[1단계: 코사인법칙으로 BC 계산]
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{3}{5} = 25 + 49 - 42 = 32$$ 따라서 $BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ 이다.
[2단계: 사인법칙 및 넓이 계산] $\cos A = \frac{3}{5}$ 이므로 $\sin A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \frac{4}{5}$ 이다.
- 외접원 반지름: $\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies 2R = \frac{4\sqrt{2}}{4/5} = 5\sqrt{2} \implies R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
- 삼각형 넓이: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin A = \frac{35}{2} \cdot \frac{4}{5} = 14$

[1단계: 역행렬 미존재 조건] $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & k-1 \end{pmatrix}$ 의 행렬식은:
$$\det(A) = k(k - 1) - 6 = k^2 - k - 6 = (k - 3)(k + 2)$$ 역행렬이 존재하지 않을 조건은 $\det(A) = 0$ 이므로 $k = 3$ 또는 $k = -2$ 이다.
[2단계: 역행렬 구하기 및 연립방정식 풀이] $k=4$ 일 때 $\det(A) = 4^2 - 4 - 6 = 6$ 이다.
$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \\ &\implies A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ 연립방정식의 해는:
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 \cdot 8 - 2 \cdot 11 \\ -3 \cdot 8 + 4 \cdot 11 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 24 - 22 \\ -24 + 44 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 \\ 20 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1/3 \\ 10/3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ 따라서 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{10}{3}$ 이다.

[1단계: 운동 방향 전환 시각] $v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$ 이므로
$t=1, 3$ 에서 속도의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1$ 및 $t = 3$ 이다.
[2단계: 총 이동 거리 적분] $0 \le t \le 1$ 에서 $v(t) \ge 0$, $1 \le t \le 3$ 에서 $v(t) \le 0$ 이므로,
$$s = \int_0^3 |v(t)| dt = \int_0^1 (3t^2 - 12t + 9) dt - \int_1^3 (3t^2 - 12t + 9) dt$$ - $t \in [0, 1]$ 적분: $\left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_0^1 = 1 - 6 + 9 = 4$
- $t \in [1, 3]$ 이차곡선 넓이 공식: $\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{3}{6}(3 - 1)^3 = \frac{1}{2} \times 8 = 4$
따라서 총 움직인 거리는 $s = 4 + 4 = 8$ 이다.

[1단계: 수열의 항 순차 나열 및 주기성 발견]
- $a_1 = 1 \le 4 \implies a_2 = 1 + 3 = 4$
- $a_2 = 4 \le 4 \implies a_3 = 4 + 3 = 7$
- $a_3 = 7 > 4 \implies a_4 = 7 - 4 = 3$
- $a_4 = 3 \le 4 \implies a_5 = 3 + 3 = 6$
- $a_5 = 6 > 4 \implies a_6 = 6 - 4 = 2$
- $a_6 = 2 \le 4 \implies a_7 = 2 + 3 = 5$
- $a_7 = 5 > 4 \implies a_8 = 5 - 4 = 1 = a_1$
따라서 수열은 주기가 $p = 7$ 로 반복된다. 한 주기의 원소는 $(1, 4, 7, 3, 6, 2, 5)$ 이다.
[2단계: 50개 항의 합 계산] 한 주기의 합은 $1 + 4 + 7 + 3 + 6 + 2 + 5 = 28$ 이다.
$50 = 7 \times 7 + 1$ 이므로 주기가 7번 반복되고 첫 번째 항이 1개 더 더해진다:
$$\sum_{k=1}^{50} a_k = 7 \times 28 + a_1 = 196 + 1 = 197$$

[1단계: 변수분리형 미분방정식 풀이 및 반감기] $\frac{1}{C} dC = -k dt$ 의 양변을 적분하면 $\ln C = -kt + D$.
$t=0$ 일 때 $C(0) = C_0$ 이므로 $C(t) = C_0 e^{-kt}$ 이다.
반감기 $t_{1/2}$ 는 $C(t_{1/2}) = \frac{1}{2}C_0 \iff e^{-k t_{1/2}} = \frac{1}{2} \iff t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ 이다.
[2단계: 주기적 투여와 무한 등비급수 정상 상태 농도] 주기 $T$ 마다 반복 투여할 때, $n$회 투여 직후의 농도는 이전 투여분들이 감쇄된 것과 새 투여량 $C_0$ 의 합이다:
$$C_{\max, n} = C_0 + C_0 e^{-kT} + C_0 e^{-2kT} + \dots + C_0 e^{-(n-1)kT} = C_0 \sum_{j=0}^{n-1} \left(e^{-kT}\right)^j$$ 공비가 $r = e^{-kT}$ 이고 $k>0, T>0$ 이므로 $0 < r < 1$ 이다. 등비수열의 합 공식에 의해:
$$C_{\max, n} = C_0 \frac{1 - e^{-nkT}}{1 - e^{-kT}}$$ $n \to \infty$ 일 때 $\lim_{n \to \infty} e^{-nkT} = 0$ 이므로 정상 상태 최고 농도는 다음과 같다:
$$C_{\max, \infty} = \frac{C_0}{1 - e^{-kT}}$$

[1단계: 라인위버-버크 역수 선형화]
$$\begin{aligned} v &= \frac{V_{\max} S}{K_m + S} \\ &\iff \frac{1}{v} = \frac{K_m + S}{V_{\max} S} = \frac{K_m}{V_{\max}} \frac{1}{S} + \frac{1}{V_{\max}} \end{aligned}$$ 이는 $Y = \frac{1}{v}$, $X = \frac{1}{S}$ 에 대한 일차함수 $Y = \frac{K_m}{V_{\max}} X + \frac{1}{V_{\max}}$ 이다.
- $y$절편 $\frac{1}{V_{\max}}$ 의 역수는 효소의 최대 반응속도 $V_{\max}$ 를 의미한다.
- $x$절편은 $-\frac{1}{K_m}$ 로서 기질 친화도 상수 $K_m$ 의 음의 역수를 나타낸다.
[2단계: 효소 효율 함수의 단조감소 증명] $E(S) = \frac{V_{\max}}{K_m + S}$ 의 몫의 미분법을 적용하면:
$$E'(S) = -\frac{V_{\max}}{(K_m + S)^2}$$ $V_{\max} > 0$ 이고 모든 $S > 0$ 에 대하여 $(K_m + S)^2 > 0$ 이므로 $E'(S) < 0$ 이다.
따라서 도함수가 항상 음수이므로 효소 효율 함수 $E(S)$ 는 $S > 0$ 에서 엄격히 단조감소한다.

[1단계: 베이즈 정리를 통한 사후확률 P(D|T⁺) 계산]
주어진 조건: $P(D) = 0.01$, $P(D^c) = 0.99$, $P(T^+|D) = 0.98$, $P(T^-|D^c) = 0.95 \implies P(T^+|D^c) = 0.05$.
전확률 정리에 의해 양성 판정 확률 $P(T^+)$ 는:
$$P(T^+) = P(D)P(T^+|D) + P(D^c)P(T^+|D^c) = 0.01 \times 0.98 + 0.99 \times 0.05 = 0.0098 + 0.0495 = 0.0593$$ 양성 판정자가 실제 질환자일 확률은:
$$P(D|T^+) = \frac{P(D \cap T^+)}{P(T^+)} = \frac{0.0098}{0.0593} = \frac{98}{593} \approx 0.1653 \quad (16.53\%)$$ [2단계: 사후확률 50% 이상을 위한 특이도 조건] 특이도를 $s_p = P(T^-|D^c)$ 라 하면 $P(T^+|D^c) = 1 - s_p$ 이다.
$$\begin{aligned} P(D|T^+) &= \frac{0.01 \times 0.98}{0.01 \times 0.98 + 0.99(1 - s_p)} \ge \frac{1}{2} \\ &\iff 0.0098 \ge 0.99(1 - s_p) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 1 - s_p \le \frac{0.0098}{0.99} &= \frac{98}{9900} \approx 0.009899 \\ &\iff s_p \ge 1 - 0.0099 = 0.9901 \quad (99.01\%) \end{aligned}$$

[1단계: 케일리-해밀턴 정리 적용] $M = \begin{pmatrix} 0.7 & 0 \\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix}$ 에서
$\text{tr}(M) = 0.7 + 0.8 = 1.5$, $\det(M) = 0.7 \times 0.8 - 0 \times 0.3 = 0.56$ 이다.
케일리-해밀턴 정리에 의해 $M^2 - 1.5 M + 0.56 E = O$ 가 성립한다. ($\text{증명 완료}$)
[2단계: 행렬 Mⁿ 및 감염군 소멸 증명] 특성다항식의 근은 $\lambda_1 = 0.7, \lambda_2 = 0.8$ 이다.
$x^n = (x^2 - 1.5x + 0.56)Q(x) + a_n x + b_n$ 에 $x=0.8, 0.7$ 을 대입하면:
$0.8 a_n + b_n = (0.8)^n$, $0.7 a_n + b_n = (0.7)^n \implies 0.1 a_n = (0.8)^n - (0.7)^n \implies a_n = 10\left[(0.8)^n - (0.7)^n\right]$.
따라서 $M^n = a_n M + b_n E$ 의 모든 원소는 $(0.8)^n$ 과 $(0.7)^n$ 의 일차결합이다.
$0 < 0.7 < 0.8 < 1$ 이므로 $\lim_{n \to \infty} (0.8)^n = 0$ 이며 $\lim_{n \to \infty} (0.7)^n = 0$ 이다.
따라서 $\lim_{n \to \infty} M^n = O$ 이며, 감염군 $I_n$ 은 $n \to \infty$ 일 때 반드시 0으로 수렴하여 전염병이 종식된다.