2028학년도 대입개편 전자책 잠금 모드

현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.

2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.

❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.

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2028 의·약·간호 & 첨단IT 자연계열

QUESTIO 수리논술 마스터 총서 제28권

2028 가톨릭대학교
자연·의약학계열 수리논술
44P 완결 마스터 워크북

의예·약학·간호·인공지능·자연과학·공학 통합 정밀 대비

★ 2028 가톨릭대 수리논술 핵심 팩트체크

수능최저학력기준:
- 일반 자연/공학/인공지능: 없음 (수능최저 전면 면제)
- 약학과: 3개 영역 등급 합 5 이내
- 의예과: 3개 영역 등급 합 4 이내 및 과탐 필수
- 간호학과: 3개 영역 등급 합 7 이내
고사 시간: 90분 (대문항 3개, 각 소문항 2~3개)
출제 과목: 2028 공통수학1(행렬), 수학I, 수학II, 미적분
문항 특징: 제시문 기반 논리 유도 및 의약학 연계 미적분 융합

발행처: QUESTIO 대입수학연구소 | 국립중앙도서관 정식 전자출판 ISBN 979-11-93820-31-5 (95370)
본 워크북은 2028 개정 교육과정 및 가톨릭대학교 공식 출제 요강을 100% 준수합니다.

1. 전형 특징 및 트랙별 합격 전략

가톨릭대학교는 일반 자연/공학 트랙(수능최저 없음)과 의예·약학·간호 트랙(수능최저 적용)으로 이원화되어 있습니다. 공통수학1의 행렬 단원이 2028 개정에 따라 복원되면서, 행렬의 거듭제곱 및 일차변환 기초 개념이 의약학 신호 처리 및 자연계 미적분 문제에 융합 출제됩니다.

2. 2028 개정 교육과정 출제 배점 분석

과목	출제 주요 테마	비중	배점 구조
공통수학1	행렬의 연산, 역행렬의 존재 조건, 이차방정식	대문항 1번	30점
수학 I	삼각함수의 그래프 및 덧셈, 수열의 귀납적 정의	대문항 2번	35점
수학 II / 미적분	함수의 연속과 사잇값 정리, 치환적분, 정적분 극값	대문항 3번	35점

3. 가톨릭대 채점관의 감점 방지 3대 수칙

수칙 1 [검은색 단서 조항 엄수]: 문제 하단 (단, $a>0$), (단, $x \ge 0$) 조건을 서술에 반영하지 않으면 부분점수 최대 4점 감점.

수칙 2 [제시문 정리의 명시적 인용]: "제시문 [가]의 사잇값 정리에 의하여..."와 같이 정리 명칭을 서술 첫 줄에 명기할 것.

수칙 3 [완전한 수식 문장 서술]: 중간 계산 과정을 생략하지 않고 3단계 논증으로 정리할 것.

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (30점)

[제시문 가] 이차정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $ad-bc \neq 0$일 때, $A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재하며 $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$이다.
[제시문 나] 행렬 $A$에 대하여 $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$가 성립한다.

행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$에 대하여:
[1-1] 행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$을 구하시오. (10점)
[1-2] 등식 $A^2 - 6A + 5E = O$가 성립함을 보이고, $A^4$의 모든 성분의 합을 구하시오. (20점)

(단, $E$는 단위행렬이고 $O$는 영행렬이다.)

■ [문제 1] 행렬 연산 및 거듭제곱 해설 & 2열 루브릭 (30점 만점)

[1-1 모범 답안 (10점)]
행렬식 $ad-bc = 2 \times 4 - 1 \times 3 = 8 - 3 = 5 \neq 0$이므로 역행렬이 존재한다.
$A^{-1} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 & -1/5 \\ -3/5 & 2/5 \end{pmatrix}$이다.

[1-2 모범 답안 (20점)]
$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 18 & 19 \end{pmatrix}$
$A^2 - 6A + 5E = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 18 & 19 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 6 \\ 18 & 24 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$ 성립.
$A^2 = 6A - 5E$이므로 양변을 제곱하면
$A^4 = (6A - 5E)^2 = 36A^2 - 60A + 25E = 36(6A - 5E) - 60A + 25E = 156A - 155E$
$156A - 155E = 156 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 155 & 0 \\ 0 & 155 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 312 - 155 & 156 \\ 468 & 624 - 155 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 157 & 156 \\ 468 & 469 \end{pmatrix}$
모든 성분의 합은 $157 + 156 + 468 + 469 = 1250$이다.

채점 기준	배점
[1-1] 역행렬 $A^{-1} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ 도출	10점
[1-2] 케일리-해밀턴 정리 검증 및 $A^2 = 6A - 5E$ 도출	8점
[1-2] 차수 축소 $A^4 = 156A - 155E$ 및 합 $1250$ 산출	12점

가톨릭대 자연/의약학 논술 고득점 가이드

1. 행렬 차수 축소법

$A^2 = pA + qE$ 유도 후 거듭제곱 전개
$A^4 = (pA+qE)^2 = p^2 A^2 + 2pqA + q^2 E$ 대입
모든 성분의 합 공식: $S(A^n)$ 규칙성 추적

2. 의약학 미적분 논증

사잇값 정리: $f(a)f(b) < 0 \implies$ 실근 존재
평균값 정리: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$
음함수 미분법: $\dfrac{dy}{dx}$ 계산 및 접선