1) 로그의 밑의 변환 공식에 의하여 \(\log_{\sqrt{2}} 3 = \dfrac{\log_2 3}{\log_2 2^{\frac{1}{2}}} = 2\log_2 3 = \log_2 9\) 입니다.
2) 로그의 성질 \(x^{\log_y z} = z^{\log_y x}\) 를 이용하면 \(6^{\log_{\sqrt{2}} 3} = 6^{\log_2 9} = 9^{\log_2 6} = 3^{2\log_2 6} = 3^{\log_2 36}\) 이고, \(b^{\log_2 3} = 3^{\log_2 b}\) 입니다.
3) 주어진 등식의 좌변과 우변을 밑이 \(3\)인 지수꼴로 정리하면 다음과 같습니다. \[3^{2a} = 9^a = 6^{\log_{\sqrt{2}} 3} \div b^{\log_2 3} = 3^{\log_2 36} \div 3^{\log_2 b} = 3^{\log_2 36 - \log_2 b} = 3^{\log_2 \frac{36}{b}}\] 4) 지수끼리 비교하면 \(2a = \log_2 \dfrac{36}{b}\) 이므로 로그의 정의에 의하여 \(2^{2a} = \dfrac{36}{b}\), 즉 \(4^a \times b = 36\) 입니다.
5) \(36 = 4 \times 9 = 4^a \times b\) 를 만족시키는 두 자연수 \(a, b\)를 구하면 \(a = 1\)일 때 \(b = 9\) 이고 (\(a \ge 2\)이면 \(4^a \ge 16\)이므로 자연수 \(b\)가 존재하지 않음), 따라서 \(a = 1,\; b = 9\) 입니다.

1) 점 \(\text{A}(a, a)\)를 지나고 \(x\)축에 수직인 직선은 \(x = a\) 이므로 점 \(\text{P}\)의 좌표는 \(\text{P}(a, \log_8 a)\) 입니다. 또한 점 \(\text{A}\)를 지나고 \(y\)축에 수직인 직선은 \(y = a\) 이므로 \(2^x = a\) 에서 점 \(\text{Q}\)의 좌표는 \(\text{Q}(\log_2 a, a)\) 입니다.
2) \(a > 1\) 이므로 \(\overline{\text{AP}} = a - \log_8 a\) 이고, \(\overline{\text{AQ}} = a - \log_2 a\) 입니다. 따라서 \[\left|\overline{\text{AP}} - \overline{\text{AQ}}\right| = \left|(a - \log_8 a) - (a - \log_2 a)\right| = \log_2 a - \log_8 a = \log_2 a - \dfrac{1}{3}\log_2 a = \dfrac{2}{3}\log_2 a\] 3) \(\dfrac{2}{3}\log_2 a = k\) (\(k\)는 자연수)라 하면 \(\log_2 a = \dfrac{3}{2}k\), 즉 \(a = 2^{\frac{3k}{2}} = \sqrt{8^k}\) 입니다. \(a\)가 최소의 자연수가 되려면 \(k = 2\) 이어야 하므로 \(a = 8\) 입니다.
4) \(a = 8\) 을 대입하면 \(\text{P}(8, 1),\; \text{Q}(3, 8)\) 이므로 선분 \(\text{PQ}\)의 길이는 다음과 같습니다. \[\overline{\text{PQ}} = \sqrt{(8 - 3)^2 + (1 - 8)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}\]

1) 삼각함수의 각의 변환 공식에 의하여 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) 이고, \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta\) 입니다.
2) 주어진 방정식의 좌변을 통분하여 정리하면 다음과 같습니다. (단, \(\cos\theta \neq 0\)) \[\dfrac{1}{1 + \sin\theta} - \dfrac{1}{1 - \sin\theta} = \dfrac{(1 - \sin\theta) - (1 + \sin\theta)}{1 - \sin^2\theta} = -\dfrac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}\] 3) 우변은 \(4\tan\theta = \dfrac{4\sin\theta}{\cos\theta}\) 이므로 등식 \(-\dfrac{2\sin\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{4\sin\theta}{\cos\theta}\) 에서 \[2\sin\theta(2\cos\theta + 1) = 0 \implies \sin\theta = 0 \;\text{ 또는 }\; \cos\theta = -\dfrac{1}{2}\] 4) \(-\pi < \theta < \pi\) 범위에서 해를 구하면 \(\sin\theta = 0\) 일 때 \(\theta = 0\) 이고, \(\cos\theta = -\dfrac{1}{2}\) 일 때 \(\theta = \dfrac{2}{3}\pi\) 또는 \(\theta = -\dfrac{2}{3}\pi\) 입니다.
5) 따라서 각 \(\theta\)에 대한 \(\sin\theta\)의 값은 다음과 같습니다.
• \(\theta = 0\) 일 때 \(\sin 0 = 0\)
• \(\theta = \dfrac{2}{3}\pi\) 일 때 \(\sin\dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\theta = -\dfrac{2}{3}\pi\) 일 때 \(\sin\left(-\dfrac{2}{3}\pi\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

1) \(x \to 1\) 일 때 분모 \(\sqrt{x} - 1 \to 0\) 이고 극한값 \(b\)가 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 합니다. \[\lim_{x \to 1} \left(\sqrt{ax + 1} - \sqrt{3}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{3} = 0 \implies a + 1 = 3 \implies a = 2\] 2) \(a = 2\) 를 주어진 극한식에 대입하고 분자와 분모를 각각 유리화합니다. \[b = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\left(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)\left(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3}\right)}\] 3) 식을 정리하고 \(x - 1\) 인수를 약분하면 다음과 같습니다. \[b = \lim_{x \to 1} \dfrac{2(x - 1)\left(\sqrt{x} + 1\right)}{(x - 1)\left(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3}\right)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{2\left(\sqrt{x} + 1\right)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3}} = \dfrac{2 \times 2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\] 4) 따라서 \(a = 2,\; b = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) 입니다.

1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차를 \(d\)라 하면 일반항은 \(a_n = 1 + (n - 1)d\) 이고, \(a_n - a_{n+1} = -d\) 입니다.
2) 수열 \(\{b_n\}\)의 분모를 유리화하면 다음과 같습니다. \[b_n = \dfrac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \dfrac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n+1}}}{a_n - a_{n+1}} = -\dfrac{1}{d}\left(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n+1}}\right)\] 3) 부분합 \(S_{2025}\)에 대입하여 이웃한 항들을 소거하면 다음과 같습니다. \[S_{2025} = -\dfrac{1}{d}\left\{\left(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}\right) + \left(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_3}\right) + \cdots + \left(\sqrt{a_{2025}} - \sqrt{a_{2026}}\right)\right\}\] \[= -\dfrac{1}{d}\left(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_{2026}}\right) = -\dfrac{1}{d}\left(1 - \sqrt{1 + 2025d}\right) = 50\] 4) \(\sqrt{1 + 2025d} = 50d + 1\) 의 양변을 제곱하여 정리하면 \[1 + 2025d = (50d + 1)^2 = 2500d^2 + 100d + 1 \implies 2500d^2 = 1925d\] 5) \(d \neq 0\) 이므로 \(d = \dfrac{1925}{2500} = \dfrac{77}{100} = 0.77\) 입니다.

1) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) - 5}{x - 2} = 22\) 에서 \(x \to 2\) 일 때 분모가 \(0\)에 수렴하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 합니다. 다항함수 \(g(x)\)는 연속이므로 \(g(2) = 5\) 입니다.
2) \(g(x) = (x^3 - 3)f(x)\) 에 \(x = 2\) 를 대입하면 \[g(2) = (2^3 - 3)f(2) = 5f(2) = 5 \implies f(2) = 1\] 3) 미분계수의 정의에 의하여 \(g'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) - g(2)}{x - 2} = 22\) 입니다.
4) 곱의 미분법에 의하여 \(g'(x) = 3x^2 f(x) + (x^3 - 3)f'(x)\) 이므로 \(x = 2\) 를 대입하면 \[g'(2) = 12f(2) + 5f'(2) = 12 \times 1 + 5f'(2) = 22 \implies 5f'(2) = 10 \implies f'(2) = 2\] 5) 따라서 \(f(2) \times f'(2) = 1 \times 2 = 2\) 입니다.

1) 최고차항의 계수가 \(2\)인 삼차함수를 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c\) 라 하면 도함수는 \(f'(x) = 6x^2 + 2ax + b\) 입니다.
2) 주어진 그래프에서 \(y = f'(x)\) 의 \(x\)절편이 \(-1, 1\) 이므로 \[f'(x) = 6(x + 1)(x - 1) = 6x^2 - 6 \implies a = 0,\; b = -6\] 따라서 \(f(x) = 2x^3 - 6x + c\) 입니다.
3) 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 \(f'(x) \le 0\) 이므로 함수 \(f(x)\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 감소합니다. 이 구간에서 \(f(x)f'(x) \le 0\) 이 항상 성립하려면 구간 \([-1, 1]\)에서 \(f(x) \ge 0\) 이어야 합니다.
4) \(f(x)\)가 구간 \([-1, 1]\)에서 감소하므로 최솟값은 \(x = 1\) 에서 가지며, \[f(1) = 2 - 6 + c = c - 4 \ge 0 \implies c \ge 4 \quad (\text{이때 } f(-1) = c + 4 \ge 8 > 0)\] 5) 따라서 \(c\)의 최솟값은 \(4\) 이며, \(f(3) = 2(3)^3 - 6(3) + c = 36 + c\) 의 최솟값은 \(36 + 4 = 40\) 입니다.

1) 점 \(\text{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도를 \(v(t) = x'(t)\), 가속도를 \(\alpha(t) = x''(t)\) 라 하면 \[x'(t) = 3at^2 + 2bt - 9, \qquad x''(t) = 6at + 2b\] 2) 시각 \(t = 1\) 일 때 운동 방향을 바꾸므로 \(x'(1) = 0\) 입니다. \[x'(1) = 3a + 2b - 9 = 0 \implies 3a + 2b = 9 \quad \cdots \text{㉠}\] 3) 시각 \(t = 5\) 에서의 가속도가 \(-18\) 이므로 \(x''(5) = -18\) 입니다. \[x''(5) = 30a + 2b = -18 \quad \cdots \text{㉡}\] 4) ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 \(27a = -27\) 에서 \(a = -1\) 이고, \(b = 6\) 입니다.
5) 따라서 속도 함수는 \(x'(t) = -3t^2 + 12t - 9 = -3(t - 1)(t - 3)\) 이므로, 점 \(\text{P}\)가 \(t = 1\) 이후 운동 방향을 다시 바꾸는 시각은 \(t = 3\) 입니다.

1) 피적분함수를 전개하면 \(3(t + 1)(t - 4) = 3(t^2 - 3t - 4)\) 입니다. 적분구간이 \([-x, x]\)로 대칭이므로 기함수 항 \(-9t\)의 정적분은 \(0\)이고 우함수 항만 남습니다. \[f(x) = 3\int_{-x}^{x} (t^2 - 3t - 4)\,dt = 3\int_{-x}^{x} (t^2 - 4)\,dt = 6\int_{0}^{x} (t^2 - 4)\,dt\] 2) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 미적분의 기본정리에 의하여 \[f'(x) = 6(x^2 - 4) = 6(x + 2)(x - 2)\] 3) \(f'(x) = 0\) 에서 \(x = -2\) 또는 \(x = 2\) 이며, \(x = -2\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양(\(+\))에서 음(\(-\))으로 바뀌므로 극대이고, \(x = 2\) 좌우에서 음(\(-\))에서 양(\(+\))으로 바뀌므로 극소입니다.
4) 정적분을 계산하면 \(f(x) = \left[2t^3 - 24t\right]_{0}^{x} = 2x^3 - 24x\) 이므로 \[\text{극댓값: } f(-2) = -16 + 48 = 32, \qquad \text{극솟값: } f(2) = 16 - 48 = -32\]

1) 접점의 좌표를 \((t, t^2 + a)\) 라 하면 \(y' = 2x\) 이므로 접선의 방정식은 \(y = 2t(x - t) + t^2 + a = 2tx - t^2 + a\) 입니다.
2) 이 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(0 = -t^2 + a\) 에서 \(t = \pm\sqrt{a}\) 이고, 두 접점은 \(\left(\pm\sqrt{a}, 2a\right)\), 두 접선의 방정식은 \(y = \pm 2\sqrt{a}\,x\) 입니다.
3) 도형이 \(y\)축에 대하여 대칭이므로 \(S_1\)을 정적분으로 구하면 다음과 같습니다. \[S_1 = 2\int_{0}^{\sqrt{a}} \left(x^2 + a - 2\sqrt{a}\,x\right)dx = 2\left[\dfrac{1}{3}x^3 + ax - \sqrt{a}\,x^2\right]_{0}^{\sqrt{a}} = 2\left(\dfrac{1}{3}a\sqrt{a} + a\sqrt{a} - a\sqrt{a}\right) = \dfrac{2}{3}a\sqrt{a}\] 4) 두 접점 \(\left(\pm\sqrt{a}, 2a\right)\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선의 방정식은 \(y = 2a\) 이므로 \(S_2\)를 구하면 다음과 같습니다. \[S_2 = 2\int_{0}^{\sqrt{a}} \left\{2a - (x^2 + a)\right\}dx = 2\int_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2)\,dx = 2\left[ax - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\sqrt{a}} = \dfrac{4}{3}a\sqrt{a} = 2S_1\] 따라서 \(S_2\)는 \(S_1\)의 \(2\)배가 성립합니다.

1) 소인수분해와 유리수 지수법칙을 이용하여 주어진 식의 양변을 소인수 \(2\)와 \(3\)의 거듭제곱으로 나타냅니다. \[\left(\sqrt[6]{18}\right)^b = (2 \times 3^2)^{\frac{b}{6}} = 2^{\frac{b}{6}} \times 3^{\frac{b}{3}}, \qquad 16^{\frac{1}{c}} = 2^{\frac{4}{c}}, \qquad 12 = 2^2 \times 3\] \[a \times 2^{\frac{b}{6} + \frac{4}{c}} \times 3^{\frac{b}{3}} = 2^2 \times 3\] 2) \(a, b, c\)가 모두 자연수이고 좌변과 우변에서 소인수 \(3\)의 지수를 비교하면 \(3^{\frac{b}{3}} = 3^1\) 이어야 하므로 \(b = 3\) 입니다. (만약 \(b \ge 6\) 이면 \(3^{\frac{b}{3}} \ge 9\) 가 되어 \(12\)의 약수가 될 수 없음)
3) \(b = 3\) 을 대입하면 \(a \times 2^{\frac{1}{2} + \frac{4}{c}} \times 3 = 12\), 즉 \(2^{\frac{1}{2} + \frac{4}{c}} = \dfrac{4}{a}\) 입니다.
4) 자연수 \(a\)의 값에 따라 나누어 살펴보면:
• \(a = 1\) 일 때: \(2^{\frac{1}{2} + \frac{4}{c}} = 4 = 2^2 \implies \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{c} = 2 \implies \dfrac{4}{c} = \dfrac{3}{2}\) 이므로 이를 만족하는 자연수 \(c\)는 존재하지 않습니다.
• \(a = 2\) 일 때: \(2^{\frac{1}{2} + \frac{4}{c}} = 2 = 2^1 \implies \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{c} = 1 \implies \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{2} \implies c = 8\) 이므로 자연수 조건을 만족합니다. (\(a \ge 3\) 이면 \(\dfrac{4}{a} < 2^{\frac{1}{2}}\) 이므로 불가능)
5) 따라서 조건을 만족시키는 순서쌍은 \((2, 3, 8)\) 입니다.

1) 로그의 진수 조건에 의하여 \((x + 1)^2 > 0,\; x - 1 > 0,\; x^2 - 1 > 0\) 이어야 하므로 공통 범위는 \(x > 1\) 입니다.
2) \(x > 1\) 조건 하에서 밑을 모두 \(2\)로 변환하여 정리합니다. \[\log_2(x + 1)^2 = 2\log_2(x + 1), \qquad \log_4(x - 1) = \dfrac{1}{2}\log_2(x - 1)\] \[\log_{\sqrt{2}}(x^2 - 1) = 2\log_2(x^2 - 1) = 2\log_2(x + 1) + 2\log_2(x - 1)\] 3) 이를 원래 방정식에 대입하면 다음과 같습니다. \[2\log_2(x + 1) + \dfrac{1}{2}\log_2(x - 1) = 2\log_2(x + 1) + 2\log_2(x - 1) + 3\] 4) 양변에서 \(2\log_2(x + 1)\) 을 소거하고 정리하면 \[\dfrac{3}{2}\log_2(x - 1) = -3 \implies \log_2(x - 1) = -2\] 5) 따라서 \(x - 1 = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(x = \dfrac{5}{4}\) 이며, 이는 진수 조건 \(x > 1\) 을 만족시킵니다.

1) 각의 합이 \(\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{8\pi}{16}\) 가 되는 두 항끼리 짝을 지어 묶어줍니다. \[\left(\sin^2\dfrac{\pi}{16} + \sin^2\dfrac{7\pi}{16}\right) + \left(\sin^2\dfrac{2\pi}{16} + \sin^2\dfrac{6\pi}{16}\right) + \left(\sin^2\dfrac{3\pi}{16} + \sin^2\dfrac{5\pi}{16}\right) + \sin^2\dfrac{4\pi}{16}\] 2) 여각 공식 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta\) 에 의하여 \[\sin\dfrac{7\pi}{16} = \cos\dfrac{\pi}{16}, \qquad \sin\dfrac{6\pi}{16} = \cos\dfrac{2\pi}{16}, \qquad \sin\dfrac{5\pi}{16} = \cos\dfrac{3\pi}{16}\] 3) 삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 을 적용하면 앞의 세 괄호는 모두 \(1\)이 됩니다.
4) 마지막 항은 \(\sin^2\dfrac{4\pi}{16} = \sin^2\dfrac{\pi}{4} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}\) 이므로 전체 식의 값은 다음과 같습니다. \[1 + 1 + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\]

1) \(x \to 3\) 일 때 분자 \(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3} \to 0\) 이고 \(b \neq 0\) 이므로 분모도 \(0\)에 수렴해야 합니다. \[\lim_{x \to 3} (x^2 - ax - 3) = 9 - 3a - 3 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = 2\] 2) \(a = 2\) 를 대입하면 분모는 \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\) 로 인수분해됩니다.
3) 곱셈공식 \(A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)\) 을 이용하여 분모와 분자에 \(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9}\) 를 곱해 유리화합니다. \[b = \lim_{x \to 3} \dfrac{\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9}\right)}{(x - 3)(x + 1)\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9}\right)} = \lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{(x - 3)(x + 1)\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9}\right)}\] 4) \(x - 3\) 을 약분하고 \(x = 3\) 을 대입하면 다음과 같습니다. \[b = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{(x + 1)\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9}\right)} = \dfrac{1}{4 \times 3\sqrt[3]{9}} = \dfrac{\sqrt[3]{3}}{36}\] 따라서 \(a = 2,\; b = \dfrac{\sqrt[3]{3}}{36}\) 입니다.

1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비를 \(r\)이라 하면 \(a_{2025} = a_1 r^{2024}\) 이고, 짝수 거듭제곱 \(r^2 > 0\) 이므로 홀수 번째 항들은 모두 양수입니다.
2) 첫째항 \(a_1\)과 제\(2025\)항 \(a_{2025}\)의 한가운데 항의 번호는 \(\dfrac{1 + 2025}{2} = 1013\) 입니다. 등비중항의 성질에 의하여 \[a_{1013} = \sqrt{a_1 \cdot a_{2025}} = \sqrt{2025 \times 1} = 45\] 3) 다시 제\(1013\)항 \(a_{1013}\)과 제\(2025\)항 \(a_{2025}\)의 한가운데 항의 번호는 \(\dfrac{1013 + 2025}{2} = 1519\) 입니다.
4) 등비중항의 성질을 한 번 더 적용하면 다음과 같습니다. \[a_{1519} = \sqrt{a_{1013} \cdot a_{2025}} = \sqrt{45 \times 1} = 3\sqrt{5}\]

1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수를 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) 라 놓으면 곡선 \(y = f(x)\) 가 점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(f(0) = c = 0\) 입니다.
2) 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\) 이고, 점 \((0, 0)\)에서의 접선의 기울기가 \(2\)이므로 \(f'(0) = b = 2\) 입니다. 따라서 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 2x\) 입니다.
3) \(g(x) = (x^3 + 1)f(x)\) 라 놓고 곱의 미분법을 적용하면 \[g'(x) = 3x^2 f(x) + (x^3 + 1)f'(x)\] 4) 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((-1, 0)\)에서의 접선의 기울기가 \(3\)이므로 \(g'(-1) = 3\) 입니다. \[g'(-1) = 3(-1)^2 f(-1) + 0 = 3f(-1) = 3 \implies f(-1) = 1\] 5) \(f(-1) = -1 + a - 2 = 1\) 에서 \(a = 4\) 이므로 구하는 삼차함수는 \(f(x) = x^3 + 4x^2 + 2x\) 입니다.

1) 두 점 \(\text{A}(3, 0),\; \text{B}(0, -4)\) 를 지나는 직선 \(\text{AB}\)의 기울기는 \(\dfrac{0 - (-4)}{3 - 0} = \dfrac{4}{3}\) 입니다.
2) 선분 \(\text{AB}\)의 길이는 일정하므로, 삼각형 \(\text{PAB}\)의 넓이가 최소가 되려면 곡선 위의 점 \(\text{P}\)에서 직선 \(\text{AB}\)까지의 거리가 최소가 되어야 합니다. 이는 점 \(\text{P}\)에서의 접선의 기울기가 직선 \(\text{AB}\)의 기울기 \(\dfrac{4}{3}\) 와 같을 때입니다.
3) \(y = \dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{4}{3}x\) 를 미분하여 기울기가 \(\dfrac{4}{3}\) 인 점을 찾으면 \[y' = \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} \implies x = 0,\; y = 0\] 따라서 넓이가 최소일 때의 점 \(\text{P}\)는 원점 \(\text{P}(0, 0)\) 입니다.
4) 세 꼭짓점이 \(\text{P}(0, 0),\; \text{A}(3, 0),\; \text{B}(0, -4)\) 인 직각삼각형 \(\text{PAB}\)의 넓이의 최솟값은 다음과 같습니다. \[\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\]

1) 주어진 관계식을 \(x_2 - x_1 = t^3 - 3t^2 - 9t + 30\) 으로 정리하고 양변을 \(t\)에 대하여 미분합니다. \[\dfrac{dx_2}{dt} - \dfrac{dx_1}{dt} = 3t^2 - 6t - 9 = 3(t + 1)(t - 3)\] 2) 두 점 \(\text{P}, \text{Q}\)의 속도가 같아지는 시각은 \(\dfrac{dx_2}{dt} - \dfrac{dx_1}{dt} = 0\) 및 \(t \ge 0\) 에서 \(t = 3\) 입니다. 이때 두 점 사이의 거리는 다음과 같습니다. \[|x_2 - x_1|_{t=3} = |27 - 27 - 27 + 30| = 3\] 3) 속도 관계식을 한 번 더 \(t\)에 대하여 미분하면 가속도의 차는 \[\dfrac{d^2 x_2}{dt^2} - \dfrac{d^2 x_1}{dt^2} = 6t - 6 = 0 \implies t = 1\] 4) \(t = 1\) 일 때 두 점 사이의 거리는 \(|x_2 - x_1|_{t=1} = |1 - 3 - 9 + 30| = 19\) 이므로, 구하는 두 거리의 합은 \(3 + 19 = 22\) 입니다.

1) 함수 \(f(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x)\) 를 만족시키므로 주기가 \(2\)인 주기함수입니다.
2) 주기가 \(2\)인 연속함수는 길이가 \(2\)인 임의의 구간에서의 정적분 값이 항상 같으므로 \[\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 1\] 3) 정적분의 구간 분할 성질과 주기성에 의하여 구하는 정적분은 다음과 같습니다. \[\int_{0}^{10} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{4} f(x)\,dx + \int_{4}^{6} f(x)\,dx + \int_{6}^{8} f(x)\,dx + \int_{8}^{10} f(x)\,dx\] \[= 5\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 5 \times 1 = 5\]

1) \(t = 1\) 주변에서 \(f(x) > 0\) 이고 \(S(1) = 0\) 입니다. 주어진 극한식을 미분계수의 정의 형태로 변형하면 다음과 같습니다. \[\lim_{h \to 0} \dfrac{S(1 + 2h) - S(1 - 3h)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\{S(1 + 2h) - S(1)\} - \{S(1 - 3h) - S(1)\}}{h}\] \[= 2\lim_{h \to 0} \dfrac{S(1 + 2h) - S(1)}{2h} + 3\lim_{h \to 0} \dfrac{S(1 - 3h) - S(1)}{-3h} = 2S'(1) + 3S'(1) = 5S'(1)\] 2) \(S(t) = \displaystyle\int_{1}^{t} f(x)\,dx\) 이므로 미적분의 기본정리에 의하여 양변을 \(t\)에 대하여 미분하면 \(S'(t) = f(t)\) 입니다.
3) 따라서 \(S'(1) = f(1) = 2\) 이므로 구하는 극한값은 다음과 같습니다. \[5S'(1) = 5f(1) = 5 \times 2 = 10\]

1) 교점 \(\text{P}(b, 1)\)이 곡선 \(y = 2^x - 2\) 위의 점이므로 \(x = b,\; y = 1\) 을 대입하면 \[2^b - 2 = 1 \implies 2^b = 3 \implies b = \log_2 3\] 2) 또한 점 \(\text{P}(b, 1)\)이 곡선 \(y = 9a^x\) 위의 점이므로 대입하면 \[9a^b = 1 \implies a^b = \dfrac{1}{9} = 3^{-2}\] 3) \(b = \log_2 3\) 을 대입하고 로그의 성질 \(a^{\log_2 3} = 3^{\log_2 a}\) 를 적용하면 \[a^{\log_2 3} = 3^{\log_2 a} = 3^{-2} \implies \log_2 a = -2\] 4) 따라서 \(a = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}\) 이고, \(b = \log_2 3\) 입니다.

1) 삼각형 \(\text{ABD}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(r\)이라 하면 외접원의 넓이가 \(\pi r^2 = \pi\) 이므로 \(r = 1\) 입니다.
2) 삼각형 \(\text{ABD}\)에서 사인법칙을 적용하면 \[\dfrac{\overline{\text{BD}}}{\sin\text{A}} = 2r \implies \overline{\text{BD}} = 2 \times 1 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\] 3) 삼각형 \(\text{BCD}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 하고 삼각형 \(\text{BCD}\)에서 사인법칙을 적용하면 \[\dfrac{\overline{\text{BD}}}{\sin\text{C}} = 2R \implies \dfrac{\sqrt{3}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6} = 2R \implies R = \dfrac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\] 4) 따라서 삼각형 \(\text{BCD}\)의 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = \dfrac{3}{2}\pi\) 입니다.

1) \(x \to 2\) 일 때 분모 \(\sqrt{x} - \sqrt{2} \to 0\) 이고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 합니다. \[\lim_{x \to 2} \left(\sqrt{x + a} - \sqrt{b}\right) = \sqrt{2 + a} - \sqrt{b} = 0 \implies b = 2 + a\] 2) \(b = 2 + a\) 를 대입하고 분자와 분모를 각각 유리화하면 다음과 같습니다. \[\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + a} - \sqrt{2 + a}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right)}{(x - 2)\left(\sqrt{x + a} + \sqrt{2 + a}\right)}\] 3) \(x - 2\) 를 약분하고 \(x = 2\) 를 대입하면 \[\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2 + a}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + a}} = 2 \implies \sqrt{2 + a} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies 2 + a = \dfrac{1}{2}\] 4) 따라서 \(a = -\dfrac{3}{2}\) 이고, \(b = 2 + a = \dfrac{1}{2}\) 입니다.

1) 기울기가 \(m\)이고 \(y\)절편이 \(-3\)인 직선의 방정식은 \(y = mx - 3\) 입니다.
2) 곡선 \(y = x^4\) 위의 접점의 좌표를 \((a, a^4)\) 이라 하면 \(y' = 4x^3\) 이므로 접선의 기울기는 \(m = 4a^3\) 입니다. 따라서 접선의 방정식은 \(y = 4a^3 x - 3\) 으로 쓸 수 있습니다.
3) 이 직선이 접점 \((a, a^4)\) 을 지나므로 대입하면 \[a^4 = 4a^3 \cdot a - 3 \implies 3a^4 = 3 \implies a^4 = 1 \implies a = 1 \;\text{ 또는 }\; a = -1\] 4) 따라서 구하는 기울기 \(m = 4a^3\) 의 값은 \(m = 4\) 또는 \(m = -4\) 입니다.

1) 이차함수 \(y = 3x^2 - 6x + k = 3(x - 1)^2 + k - 3\) 의 그래프는 직선 \(x = 1\) 에 대하여 대칭입니다.
2) 두 도형의 넓이의 비가 \(\text{A} : \text{B} = 1 : 2\) 이고 곡선이 대칭축 \(x = 1\) 에 대하여 대칭이므로, 구간 \([0, 1]\)에서 \(x\)축 아래쪽 부분의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\text{B} = \text{A}\) 가 됩니다.
3) 따라서 구간 \([0, 1]\)에서 함수 \(y = 3x^2 - 6x + k\) 의 정적분 값은 \(0\)이 됩니다. \[\int_{0}^{1} (3x^2 - 6x + k)\,dx = \text{A} - \dfrac{1}{2}\text{B} = 0\] 4) 정적분을 계산하면 다음과 같습니다. \[\left[x^3 - 3x^2 + kx\right]_{0}^{1} = 1 - 3 + k = 0 \implies k = 2\]

1) 로그의 밑의 변환 공식에 의하여 \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\log_2 7} = \log_7 2\) 이고, \(\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\log_3 7} = \log_7 3\) 입니다.
2) 따라서 두 식을 더하면 \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \log_7 2 + \log_7 3 = \log_7 6\] 3) 주어진 등식의 좌변에 대입하여 정리하면 \[49^{\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)} = 49^{\log_7 6} = 7^{2\log_7 6} = 7^{\log_7 36} = 36 = 6^2\] 4) 우변을 밑이 \(6\)인 거듭제곱으로 나타내면 \(\left(6\sqrt[3]{6}\right)^a = \left(6^{\frac{4}{3}}\right)^a = 6^{\frac{4}{3}a}\) 이므로 \[6^2 = 6^{\frac{4}{3}a} \implies 2 = \dfrac{4}{3}a \implies a = \dfrac{3}{2}\]

1) 대각선 \(\overline{\text{BD}} = a\) (\(a > 0\))라 놓고 삼각형 \(\text{BCD}\)에서 코사인법칙을 적용하면 \[\left(\sqrt{7}\right)^2 = a^2 + 2^2 - 2 \cdot a \cdot 2\cos\dfrac{\pi}{3} \implies 7 = a^2 + 4 - 2a\] \[a^2 - 2a - 3 = (a + 1)(a - 3) = 0 \implies a = 3\] 2) 삼각형 \(\text{ABD}\)에서 세 변의 길이가 \(\overline{\text{AB}} = 4,\; \overline{\text{BD}} = 3,\; \overline{\text{AD}} = 5\) 이므로 \(4^2 + 3^2 = 5^2\) 이 성립합니다. 피타고라스 정리의 역에 의하여 \(\angle\text{ABD} = \dfrac{\pi}{2}\) 인 직각삼각형이므로 \[\triangle\text{ABD} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\] 3) 삼각형 \(\text{BCD}\)의 넓이는 \(\triangle\text{BCD} = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 입니다.
4) 따라서 사각형 \(\text{ABCD}\)의 넓이는 \(\triangle\text{ABD} + \triangle\text{BCD} = 6 + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 입니다.

1) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\) 에서 연속이므로 좌극한과 우극한(함숫값)이 같아야 합니다. \[\lim_{x \to 1^-} (x + a) = f(1) = 1 + b\sin\dfrac{\pi}{6} \implies 1 + a = 1 + \dfrac{1}{2}b \implies b = 2a\] 2) 또한 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x)\) 이고 \(x = 2\) 에서 연속이므로 \(f(2) = f(0)\) 이 성립합니다. \[\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = f(0) \implies 1 + b\sin\dfrac{\pi}{3} = a \implies 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}b = a\] 3) \(b = 2a\) 를 대입하면 \(1 + \sqrt{3}a = a\), 즉 \((\sqrt{3} - 1)a = -1\) 이므로 \[a = -\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = -\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\] 4) 따라서 \(b = 2a = -1 - \sqrt{3}\) 입니다.

1) 도함수의 정의를 이용하여 주어진 극한식의 좌변을 정리하면 다음과 같습니다. \[\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x - h)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x - h) - f(x)}{-h} = 2f'(x)\] 2) 따라서 \(2f'(x) = 3x^3 - 4x^2 + 6\) 이 성립하며, 양변에 \(x = 2\) 를 대입하면 \[2f'(2) = 3(2)^3 - 4(2)^2 + 6 = 24 - 16 + 6 = 14 \implies f'(2) = 7\] 3) 함수 \(g(x) = (x^2 + 2x)f(x)\) 에 곱의 미분법을 적용하면 \[g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\] 4) \(x = 2\) 를 대입하고 \(f(2) = 1,\; f'(2) = 7\) 을 이용하면 다음과 같습니다. \[g'(2) = 6f(2) + 8f'(2) = 6 \times 1 + 8 \times 7 = 6 + 56 = 62\]

1) 두 정적분의 적분구간이 \([0, 3]\)으로 같으므로 정적분의 성질을 이용하여 하나의 정적분으로 합칩니다. \[\int_{0}^{3} \dfrac{x^4}{x^2 + 1}\,dx - \int_{0}^{3} \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \int_{0}^{3} \dfrac{x^4 - 1}{x^2 + 1}\,dx\] 2) 분자 \(x^4 - 1\) 을 합차공식으로 인수분해하여 분모 \(x^2 + 1\) 과 약분합니다. \[\int_{0}^{3} \dfrac{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}{x^2 + 1}\,dx = \int_{0}^{3} (x^2 - 1)\,dx\] 3) 정적분을 계산하면 다음과 같습니다. \[\left[\dfrac{1}{3}x^3 - x\right]_{0}^{3} = \left(\dfrac{27}{3} - 3\right) - 0 = 9 - 3 = 6\]

1) 점 \(\text{C}\)는 두 점 \(\text{A}\!\left(0, 8\sqrt{2}\right)\)와 \(\text{B}(a, 0)\)을 잇는 선분 \(\text{AB}\)를 \(3 : 1\) 로 내분하는 점이므로 내분점 공식에 의하여 \[\text{C}\!\left(\dfrac{3a + 0}{3 + 1},\; \dfrac{0 + 8\sqrt{2}}{3 + 1}\right) = \text{C}\!\left(\dfrac{3}{4}a,\; 2\sqrt{2}\right)\] 2) 점 \(\text{C}\)가 곡선 \(y = 4^{x - 2}\) 위의 점이므로 좌표를 대입하면 \[2\sqrt{2} = 4^{\frac{3}{4}a - 2} \implies 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}a - 4}\] 3) 지수를 비교하면 \(\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}a - 4 \implies \dfrac{3}{2}a = \dfrac{11}{2} \implies a = \dfrac{11}{3}\) 입니다.
4) 따라서 점 \(\text{C}\)의 \(x\)좌표는 \(\dfrac{3}{4}a = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{11}{3} = \dfrac{11}{4}\) 입니다.
[별해] 점 \(\text{C}\)의 \(x\)좌표를 \(p\)라 하면 \(\text{C}\!\left(p, 4^{p-2}\right)\) 이고, \(y\)좌표의 \(3:1\) 내분 관계 \(\dfrac{3 \times 0 + 1 \times 8\sqrt{2}}{3 + 1} = 4^{p-2}\) 로부터 \(2^{\frac{3}{2}} = 2^{2p-4} \implies 2p - 4 = \dfrac{3}{2} \implies p = \dfrac{11}{4}\) 입니다.

1) 점 \(\text{A}(0, \log_3 ab)\)가 직선 \(y = 4x - 1\) 위에 있으므로 \(x = 0,\; y = \log_3 ab\) 를 대입하면 \[\log_3 ab = 4 \times 0 - 1 = -1 \implies ab = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \quad \cdots \text{㉠}\] 2) 점 \(\text{B}\!\left(1, \log_3 \dfrac{b}{a}\right)\)가 직선 \(y = 4x - 1\) 위에 있으므로 \(x = 1,\; y = \log_3 \dfrac{b}{a}\) 를 대입하면 \[\log_3 \dfrac{b}{a} = 4 \times 1 - 1 = 3 \implies \dfrac{b}{a} = 3^3 = 27 \quad \cdots \text{㉡}\] 3) ㉠과 ㉡의 양변을 변변 곱하면 \(b^2 = \dfrac{1}{3} \times 27 = 9\) 이고, \(b > 0\) 이므로 \(b = 3\) 입니다.
4) \(b = 3\) 을 ㉠에 대입하면 \(a = \dfrac{1}{3b} = \dfrac{1}{9}\) 입니다.

1) 빈칸 ①: \(\triangle\text{ABC}\)가 \(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BC}}\) 인 이등변삼각형이므로 \[\overline{\text{BC}} = \dfrac{\overline{\text{AC}}}{2\cos\frac{\pi}{6}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \quad \Longrightarrow \quad \text{①} = 2\] 2) 빈칸 ②: \(\triangle\text{ABC} \sim \triangle\text{EDC}\) 의 닮음비 \(\overline{\text{BC}} : \overline{\text{AC}} = \overline{\text{CD}} : \overline{\text{CE}}\) 에서 \[\overline{\text{CE}} = \dfrac{\overline{\text{AC}} \times \overline{\text{CD}}}{\overline{\text{BC}}} = \dfrac{2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}}{2} = 6 \quad \Longrightarrow \quad \text{②} = 6\] 3) 빈칸 ③: \(\angle\text{ACE} = \pi - \angle\text{ACB} = \dfrac{5\pi}{6}\) 이므로 \(\triangle\text{ACE}\)에 코사인법칙을 적용하면 \[\overline{\text{AE}}^2 = \overline{\text{AC}}^2 + \overline{\text{CE}}^2 - 2\overline{\text{AC}}\cdot\overline{\text{CE}}\cos\dfrac{5\pi}{6} = \left(2\sqrt{3}\right)^2 + 6^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 12 + 36 + 36 = 84\] \[\overline{\text{AE}} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \quad \Longrightarrow \quad \text{③} = 2\sqrt{21} \;\left(\text{또는 }\sqrt{84}\right)\] 4) 빈칸 ④: 이등변삼각형 \(\triangle\text{ABC}\)에서 \(\angle\text{ABC} = \pi - 2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}\) 이므로 \(\triangle\text{ABE}\)에 사인법칙을 적용하면 외접원의 지름 \(2R\)은 \[2R = \dfrac{\overline{\text{AE}}}{\sin(\angle\text{ABE})} = \dfrac{2\sqrt{21}}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{7} \quad \Longrightarrow \quad \text{④} = 4\sqrt{7}\]

1) 시그마를 전개하고 로그의 덧셈 성질을 이용하여 진수의 곱으로 나타냅니다. \[\sum_{n=1}^{14} \log_2\left(\log_{n+1}(n + 2)\right) = \log_2(\log_2 3) + \log_2(\log_3 4) + \log_2(\log_4 5) + \cdots + \log_2(\log_{15} 16)\] \[= \log_2\left(\log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \cdots \times \log_{15} 16\right)\] 2) 밑의 변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_2 b}{\log_2 a}\) 를 적용하여 이웃한 항의 분모와 분자를 소거합니다. \[= \log_2\left(\log_2 3 \times \dfrac{\log_2 4}{\log_2 3} \times \dfrac{\log_2 5}{\log_2 4} \times \cdots \times \dfrac{\log_2 16}{\log_2 15}\right) = \log_2(\log_2 16)\] 3) \(\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4\) 이므로 구하는 값은 \(\log_2 4 = 2\) 입니다.

1) 이등변삼각형 \(\text{ABC}\)에서 밑변의 길이는 \(\overline{\text{BC}} = 2a\), 높이는 \(\overline{\text{AO}} = k\) 이고, 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{AC}} = \sqrt{a^2 + k^2}\) 입니다.
2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 밑변과 높이로 구한 값과 내접원의 반지름 \(r\)을 이용하여 구한 값은 서로 같으므로 \[\dfrac{1}{2} \times 2a \times k = \dfrac{1}{2} \times r \times \left(2a + 2\sqrt{a^2 + k^2}\right) \implies ak = r\left(a + \sqrt{a^2 + k^2}\right)\] 3) 따라서 \(\dfrac{a}{r} = \dfrac{a + \sqrt{a^2 + k^2}}{k}\) 이므로 \(a \to 0^+\) 일 때의 극한값을 구하면 다음과 같습니다. \[\lim_{a \to 0^+} \dfrac{a}{r} = \lim_{a \to 0^+} \dfrac{a + \sqrt{a^2 + k^2}}{k} = \dfrac{0 + \sqrt{k^2}}{k} = \dfrac{k}{k} = 1 \quad (\because k > 0)\]

1) \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 2}{x} = 3\) 에서 \(x \to 0\) 일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴해야 합니다. 다항함수 \(f(x)\)는 연속이므로 \(f(0) = 2\) 입니다.
2) 마찬가지로 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)g(x) - 4}{x} = 4\) 에서 \(f(0)g(0) = 4\) 이므로 \(g(0) = \dfrac{4}{f(0)} = 2\) 입니다.
3) 미분계수의 정의에 의하여 \(f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = 3\) 입니다.
4) \(h(x) = f(x)g(x)\) 라 놓으면 \(h'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)g(x) - f(0)g(0)}{x} = 4\) 이고, 곱의 미분법에 의해 \(h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) 이므로 \[4 = h'(0) = f'(0)g(0) + f(0)g'(0) = 3 \times 2 + 2g'(0) = 6 + 2g'(0) \implies g'(0) = -1\]

1) \(f'(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - 3ax\) 이므로 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\) 입니다. \(x = 0\) 을 대입하여 접선의 \(y\)절편 \(g(t)\)를 구하면 \[g(t) = f(t) - tf'(t) = \left(\dfrac{1}{2}t^3 - \dfrac{3}{2}at^2\right) - t\left(\dfrac{3}{2}t^2 - 3at\right) = -t^3 + \dfrac{3}{2}at^2\] 2) \(g(t)\)를 \(t\)에 대하여 미분하면 \[g'(t) = -3t^2 + 3at = 3t(a - t) = 0 \implies t = 0 \;\text{ 또는 }\; t = a\] 3) 양수 \(a\)에 대하여 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 극값과 양 끝점의 함숫값을 비교하면 \[g(0) = 0, \qquad g(a) = -a^3 + \dfrac{3}{2}a^3 = \dfrac{1}{2}a^3, \qquad g(-a) = a^3 + \dfrac{3}{2}a^3 = \dfrac{5}{2}a^3\] 4) 따라서 구간 \([-a, a]\)에서 \(g(t)\)의 최댓값은 \(g(-a) = \dfrac{5}{2}a^3\) 이며, \[\dfrac{5}{2}a^3 = 20 \implies a^3 = 8 \implies a = 2 \quad (\because a > 0)\]

1) \(f'(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ge 0\) 이므로 함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 증가하며 역함수 \(g(x)\)가 존재합니다.
2) 증가함수 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\)의 그래프의 교점은 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)의 교점과 일치합니다. \[\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x = x \implies x^3 - 6x^2 + 9x = x(x - 3)^2 = 0 \implies x = 0 \;\text{ 또는 }\; x = 3\text{ (중근)}\] 3) 구간 \([0, 3]\)에서 \(f(x) \ge x\) 이고 두 곡선은 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로 둘러싸인 부분의 넓이는 다음과 같습니다. \[S = 2\int_{0}^{3} \left\{\left(\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\right) - x\right\}dx = 2\int_{0}^{3} \left(\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\right)dx\] \[= 2\left[\dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_{0}^{3} = 2\left(\dfrac{81}{12} - 18 + \dfrac{27}{2}\right) = 54\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{9}{2}\]

1) 주어진 등식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[4x - f(x) = 2x\int_{1}^{2} f(t)\,dt + \int_{0}^{1} f(t)\,dt \implies f(x) = \left(4 - 2\int_{1}^{2} f(t)\,dt\right)x - \int_{0}^{1} f(t)\,dt\] 따라서 \(f(x)\)는 일차함수이므로 \(f(x) = ax + b\) (\(a, b\)는 상수)로 놓을 수 있으며, 이때 \[a = 4 - 2\int_{1}^{2} (at + b)\,dt, \qquad b = -\int_{0}^{1} (at + b)\,dt\] 2) 각 정적분을 계산하여 \(a, b\)에 대한 연립방정식을 세우면 \[a = 4 - 2\left[\dfrac{1}{2}at^2 + bt\right]_{1}^{2} = 4 - 2\left(\dfrac{3}{2}a + b\right) = 4 - 3a - 2b \implies 2a + b = 2 \quad \cdots \text{㉠}\] \[b = -\left[\dfrac{1}{2}at^2 + bt\right]_{0}^{1} = -\dfrac{1}{2}a - b \implies 2b = -\dfrac{1}{2}a \implies b = -\dfrac{1}{4}a \quad \cdots \text{㉡}\] 3) ㉠과 ㉡을 연립하면 \(2a - \dfrac{1}{4}a = \dfrac{7}{4}a = 2\) 에서 \(a = \dfrac{8}{7},\; b = -\dfrac{2}{7}\) 이므로 \(f(x) = \dfrac{8}{7}x - \dfrac{2}{7}\) 입니다.

1) 원점을 출발한 시각 \(t\)에서의 두 점 \(\text{P}, \text{Q}\)의 위치를 각각 \(x_1(t), x_2(t)\)라 하면 \[x_1(t) = \int_{0}^{t} (2t - t^2)\,dt = t^2 - \dfrac{1}{3}t^3, \qquad x_2(t) = \int_{0}^{t} (2t^2 - 6t)\,dt = \dfrac{2}{3}t^3 - 3t^2\] 2) 두 점이 출발 후 다시 만나는 시각은 \(x_1(t) = x_2(t)\) (\(t > 0\))일 때이므로 \[t^2 - \dfrac{1}{3}t^3 = \dfrac{2}{3}t^3 - 3t^2 \implies t^3 - 4t^2 = t^2(t - 4) = 0 \implies t = 4\] 3) \(v_1(t) = 2t - t^2 = t(2 - t)\) 이므로 \(0 \le t \le 2\) 에서 \(v_1(t) \ge 0\) 이고, \(2 \le t \le 4\) 에서 \(v_1(t) \le 0\) 입니다.
4) 따라서 \(t = 0\) 부터 \(t = 4\) 까지 점 \(\text{P}\)가 움직인 거리는 다음과 같습니다. \[\int_{0}^{4} |v_1(t)|\,dt = \int_{0}^{2} (2t - t^2)\,dt - \int_{2}^{4} (2t - t^2)\,dt = \left[t^2 - \dfrac{1}{3}t^3\right]_{0}^{2} - \left[t^2 - \dfrac{1}{3}t^3\right]_{2}^{4}\] \[= \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - \left\{\left(16 - \dfrac{64}{3}\right) - \left(4 - \dfrac{8}{3}\right)\right\} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{20}{3} = 8\]

1) 곡선 \(y = 9^{x - 2}\) 을 \(y\)축에 대하여 대칭이동하면 \(y = 9^{-x - 2}\) 이고, 이를 다시 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼 평행이동하면 \[f(x) = 9^{-(x - a) - 2} = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{(x - a) + 2}\] 2) 곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x + 8}\) 을 \(x\)축의 방향으로 \(a^2\)만큼 평행이동하면 \[g(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2(x - a^2) + 8} = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x - a^2 + 4}\] 3) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\) 이므로 지수끼리 비교하면 \[x - a + 2 = x - a^2 + 4 \implies a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) = 0\] 4) \(a > 0\) 이므로 \(a = 2\) 입니다.

1) 두 직선 \(y = (\log_3 2)x\) 와 \(y = (\log_8 a)x\) 가 서로 수직이므로 두 기울기의 곱은 \(-1\) 입니다. \[\log_3 2 \times \log_8 a = -1\] 2) 로그의 성질과 밑의 변환 공식을 적용하면 \[\log_3 2 \times \log_{2^3} a = \dfrac{\log 2}{\log 3} \times \dfrac{\log a}{3\log 2} = \dfrac{\log a}{3\log 3} = \dfrac{1}{3}\log_3 a = -1 \implies \log_3 a = -3\] 3) 따라서 로그의 정의에 의하여 \(a = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}\) 입니다.

1) \(\triangle\text{ABC}\)가 한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형이므로 \(\overline{\text{AC}} = 1\) 이고, 점 \(\text{C}\)가 선분 \(\text{AD}\)의 \(1 : 4\) 내분점이므로 \(\overline{\text{CD}} = 4\) 입니다.
2) 맞꼭지각으로 \(\angle\text{DCE} = \angle\text{ACB} = \dfrac{\pi}{3}\) 이고, 호 \(\text{AE}\)에 대한 원주각의 성질에 의하여 \(\angle\text{CDE} = \angle\text{ADE} = \angle\text{ABE} = \dfrac{\pi}{3}\) 이므로 \(\triangle\text{DEC}\)도 정삼각형입니다. 따라서 \(\overline{\text{CE}} = \overline{\text{CD}} = 4\) 입니다.
3) \(\angle\text{ACE} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}\) 이므로 \(\triangle\text{ACE}\)에 코사인법칙을 적용하면 \[\overline{\text{AE}}^2 = \overline{\text{AC}}^2 + \overline{\text{CE}}^2 - 2\overline{\text{AC}}\cdot\overline{\text{CE}}\cos(\angle\text{ACE}) = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos\dfrac{2\pi}{3}\] \[= 1 + 16 - 8 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 21 \implies \overline{\text{AE}} = \sqrt{21}\]

1) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 \[a_n + b_n = -\dfrac{1}{n}, \qquad a_n b_n = -n - 1 = -(n + 1)\] 2) 구하는 합의 일반항을 통분하여 대입하면 \[\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{1}{b_n} = \dfrac{a_n + b_n}{a_n b_n} = \dfrac{-\frac{1}{n}}{-(n + 1)} = \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}\] 3) 부분분수로 분해한 식을 시그마에 대입하여 이웃한 항을 소거하면 다음과 같습니다. \[\sum_{n=1}^{10} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}\right) = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11}\right) = 1 - \dfrac{1}{11} = \dfrac{10}{11}\]

1) 원점 \(\text{O}(0, 0)\)과 점 \(\text{P}(t, t^2)\)을 지나는 직선 \(\text{OP}\)의 기울기는 \(\dfrac{t^2}{t} = t\) 입니다. 직선 \(l\)은 점 \(\text{P}(t, t^2)\)을 지나고 직선 \(\text{OP}\)에 수직이므로 기울기가 \(-\dfrac{1}{t}\) 이며, 방정식은 다음과 같습니다. \[y - t^2 = -\dfrac{1}{t}(x - t)\] 2) 직선 \(l\)의 방정식에 \(x = 0\) 을 대입하면 \(y = t^2 + 1\) 이므로 \(\text{A}(0, t^2 + 1)\) 이고, \(\overline{\text{OA}} = t^2 + 1\) 입니다.
3) \(\overline{\text{OP}} = \sqrt{t^2 + t^4}\) 이므로 유리화를 통해 극한값을 계산하면 다음과 같습니다. \[\lim_{t \to \infty} \left(\overline{\text{OA}} - \overline{\text{OP}}\right) = \lim_{t \to \infty} \left(t^2 + 1 - \sqrt{t^2 + t^4}\right) = \lim_{t \to \infty} \dfrac{(t^2 + 1)^2 - (t^2 + t^4)}{t^2 + 1 + \sqrt{t^2 + t^4}}\] \[= \lim_{t \to \infty} \dfrac{t^2 + 1}{t^2 + 1 + \sqrt{t^4 + t^2}} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}\]

1) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 5}{x - 1} = \dfrac{1}{2}g(1)\) 에서 \(x \to 1\) 일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴해야 하며, 다항함수 \(f(x)\)는 연속이므로 \(f(1) = 5\) 입니다.
2) 미분계수의 정의에 의하여 \(f'(1) = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{1}{2}g(1)\) 입니다.
3) \(f(x)g(x) = x^4 + x^3 + 6x^2 + 4x + 8\) 에 \(x = 1\) 을 대입하면 \(f(1)g(1) = 1 + 1 + 6 + 4 + 8 = 20\) 이므로 \(g(1) = \dfrac{20}{5} = 4\) 이고, \(f'(1) = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2\) 입니다.
4) 주어진 항등식의 양변을 미분하면 \[f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 4\] 5) 양변에 \(x = 1\) 을 대입하면 \(f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = 4 + 3 + 12 + 4 = 23\) 이므로 \[2 \times 4 + 5g'(1) = 23 \implies 5g'(1) = 15 \implies g'(1) = 3\]

1) 사차함수 \(f(x)\)가 \(x = 0, k, 2k\) 에서 극값을 가지므로 도함수 \(f'(x)\)는 \(x, x - k, x - 2k\) 를 인수로 가집니다. \[f'(x) = x^3 - 6x^2 + 2ax + b = x(x - k)(x - 2k)\] 2) \(f'(0) = 0\) 에서 \(b = 0\) 입니다.
3) \(x^2 - 6x + 2a = (x - k)(x - 2k) = x^2 - 3kx + 2k^2\) 의 계수를 비교하면 \[3k = 6 \implies k = 2, \qquad 2a = 2k^2 = 8 \implies a = 4\] 따라서 \(f'(x) = x(x - 2)(x - 4)\) 이고, \(f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\) 입니다.
4) \(x = 0, 4\) 에서 극소이고 \(x = 2\) 에서 극대이므로 \[\text{극솟값: } f(0) = 0,\; f(4) = 64 - 128 + 64 = 0, \qquad \text{극댓값: } f(2) = 4 - 16 + 16 = 4\]

1) 곡선 \(y = x^3 - 2x^2\) 위의 \(x = 1\) 인 접점의 좌표는 \((1, -1)\) 이고, 도함수 \(y' = 3x^2 - 4x\) 에 \(x = 1\) 을 대입하면 접선의 기울기는 \(3 - 4 = -1\) 입니다. 따라서 접선의 방정식은 \[y - (-1) = -1(x - 1) \implies y = -x\] 2) 직선 \(y = -x\) 가 \(x = -1\) 에서 곡선 \(y = x^2 + ax + b\) 에 접하므로, \(y' = 2x + a\) 에 \(x = -1\) 을 대입한 미분계수가 \(-1\) 이어야 합니다. \[-2 + a = -1 \implies a = 1\] 3) 또한 접점의 좌표가 \((-1, 1)\) 이므로 곡선 \(y = x^2 + ax + b\) 에 대입하면 \[1 = (-1)^2 - a + b = 1 - 1 + b \implies b = 1\]

1) 곡선 \(y = (x - 1)^2\) 과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이 \(S_2\)를 구하면 \[S_2 = \int_{0}^{1} (x - 1)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - 1)^3\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}\] 2) 두 곡선 \(y = (x - 1)^2\) 과 \(y = kx^2 + 1\) 의 교점의 \(x\)좌표를 구하면 \[(x - 1)^2 = kx^2 + 1 \implies (1 - k)x^2 - 2x = 0 \implies x = 0 \;\text{ 또는 }\; x = \dfrac{2}{1 - k}\] 3) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 \(S_1\)을 정적분으로 구하면 \[S_1 = \int_{0}^{\frac{2}{1-k}} \left\{-(1 - k)x^2 + 2x\right\}dx = \left[-\dfrac{1}{3}(1 - k)x^3 + x^2\right]_{0}^{\frac{2}{1-k}} = -\dfrac{8}{3(1 - k)^2} + \dfrac{4}{(1 - k)^2} = \dfrac{4}{3(1 - k)^2}\] 4) \(S_1 = 9S_2\) 이므로 \(\dfrac{4}{3(1 - k)^2} = 9 \times \dfrac{1}{3} = 3 \implies (1 - k)^2 = \dfrac{4}{9}\) 이고, \(0 \lt k \lt 1\) 에서 \(1 - k = \dfrac{2}{3}\) 이므로 \(k = \dfrac{1}{3}\) 입니다.

1) 주어진 등식의 양변에 \(x = 1\) 을 대입하면 좌변은 \(0\)이므로 \[0 = 1 + 2a + b \implies 2a + b + 1 = 0 \quad \cdots \text{㉠}\] 2) 좌변을 전개하여 \(x^2\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt - \int_{1}^{x} t^2 f(t)\,dt = x^4 + 2ax^3 + bx^2\) 으로 놓고 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[2x\int_{1}^{x} f(t)\,dt + x^2 f(x) - x^2 f(x) = 4x^3 + 6ax^2 + 2bx \implies \int_{1}^{x} f(t)\,dt = 2x^2 + 3ax + b\] 3) 위 식의 양변에 \(x = 1\) 을 대입하면 \(0 = 2 + 3a + b \implies 3a + b + 2 = 0\) 이고, 이를 ㉠과 연립하여 풀면 \(a = -1,\; b = 1\) 입니다. 따라서 \[\int_{1}^{x} f(t)\,dt = 2x^2 - 3x + 1 \quad (\text{또는 } f(x) = 4x - 3)\] 4) 양변에 \(x = 0\) 을 대입하면 \(\displaystyle\int_{1}^{0} f(t)\,dt = 1\) 이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = -1\) 입니다.

1) \(f(1) + f(-1) = \dfrac{10}{3}\) 에 \(f(x) = a^x\) 를 대입하면 \[a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{10}{3} \implies 3a^2 - 10a + 3 = (3a - 1)(a - 3) = 0 \implies a = 3 \;\text{ 또는 }\; a = \dfrac{1}{3}\] 2) 만약 \(a = 3\) 이면 \(f(x) = 3^x\) 은 실수 전체에서 증가하는 함수이고 \(y = -x + 3\) 은 감소하는 직선이므로 오직 한 점에서만 만납니다. 반면 \(0 \lt a \lt 1\) 인 \(a = \dfrac{1}{3}\) 일 때는 오른쪽 그래프와 같이 곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) 이 직선 \(y = -x + 3\) 과 서로 다른 두 점에서 만납니다.
3) 따라서 \(a = \dfrac{1}{3}\) 이고 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) 이므로 \[f(-2) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9\]

1) 삼각함수의 관계식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 식으로 정리합니다. \[f(x) = 2(1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = -2\sin^2 x - \sin x + 3\] 2) \(\sin x = t\) 로 치환하면 \(-1 \le t \le 1\) 이고, 주어진 함수는 \(t\)에 대한 이차함수가 됩니다. \[y = -2t^2 - t + 3 = -2\left(t + \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{25}{8} \quad (-1 \le t \le 1)\] 3) 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 꼭짓점 \(t = -\dfrac{1}{4}\) 이 구간에 포함되므로:
• \(t = -\dfrac{1}{4}\) 일 때 최댓값은 \(\dfrac{25}{8}\) 입니다.
• \(t = 1\) 일 때 최솟값은 \(-2(1)^2 - 1 + 3 = 0\) 입니다.

1) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) 이고 \(\lim_{x \to \infty} \{f(x) - 2g(x)\} = 10\) 이므로, 극한의 성질에 의하여 \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2g(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)} - 2\right\} = 0 \implies \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 2\] 2) 구하고자 하는 극한식의 분모와 분자를 각각 \(g(x)\)로 나누어 계산하면 다음과 같습니다. \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{2f(x) + g(x)}{3f(x) - 5g(x)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2\dfrac{f(x)}{g(x)} + 1}{3\dfrac{f(x)}{g(x)} - 5} = \dfrac{2 \times 2 + 1}{3 \times 2 - 5} = \dfrac{5}{1} = 5\]

1) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{3f(x) - 2}{x^2 - 4} = 6\) 에서 \(x \to 2\) 일 때 분모 \(x^2 - 4 \to 0\) 이므로 분자도 \(3f(x) - 2 \to 0\) 이어야 합니다. 다항함수 \(f(x)\)는 연속이므로 \(f(2) = \dfrac{2}{3}\) 입니다.
2) 주어진 극한식을 미분계수의 정의를 이용하여 변형하면 \[6 = \lim_{x \to 2} \dfrac{3\{f(x) - f(2)\}}{(x + 2)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{3}{x + 2} \cdot \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \dfrac{3}{4}f'(2) \implies f'(2) = 8\] 3) 구하고자 하는 극한식을 정리하여 대입하면 다음과 같습니다. \[\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) + (3h - 1)f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\{f(2 + h) - f(2)\} + 3hf(2)}{h} = f'(2) + 3f(2) = 8 + 3 \times \dfrac{2}{3} = 10\]

1) 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 연립하면 \[(x + 1)(x^2 - 4) = x^2 - 4 \implies x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -2,\; 0,\; 2\] 2) 오른쪽 그래프와 같이 구간 \([-2, 0]\)에서는 \((x + 1)(x^2 - 4) \ge x^2 - 4\) 이고, 구간 \([0, 2]\)에서는 \(x^2 - 4 \ge (x + 1)(x^2 - 4)\) 입니다.
3) 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 \(S_1 + S_2\)는 기함수의 대칭성에 의하여 다음과 같습니다. \[S_1 + S_2 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx + \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx = -2\int_{0}^{2} (x^3 - 4x)\,dx\] \[= -2\left[\dfrac{1}{4}x^4 - 2x^2\right]_{0}^{2} = -2(4 - 8) = 8\]

1) 함수 \(y = \log_3(kx - 3k^2 + 5)\) 의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표가 \(4\)이므로, 이 그래프는 점 \((4, 0)\)을 지납니다. \[0 = \log_3(4k - 3k^2 + 5)\] 2) 로그의 정의에 의하여 진수가 \(3^0 = 1\) 이어야 하므로 \[4k - 3k^2 + 5 = 1 \implies 3k^2 - 4k - 4 = (3k + 2)(k - 2) = 0 \implies k = 2 \;\text{ 또는 }\; k = -\dfrac{2}{3}\] 3) \(k > 0\) 이므로 \(k = 2\) 입니다.

1) 주어진 식 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\) 의 양변을 제곱하고 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 을 적용하면 \[(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\] \[\implies \sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} - 1\right) = -\dfrac{3}{8}\] 2) 곱셈공식의 변형(또는 인수분해 공식)에 대입하면 다음과 같습니다. \[\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta)\] \[= \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 3 \times \left(-\dfrac{3}{8}\right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{11}{16}\]

1) \(f(x) = (x - \alpha)(x - \beta) + (x - \beta)(x - \gamma) + (x - \gamma)(x - \alpha)\) 라 놓으면 \(f(x)\)는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속입니다.
2) 조건 \(\alpha < \beta < \gamma\) 에 의하여 \(x = \alpha, \beta, \gamma\) 에서의 함숫값의 부호를 조사하면 \[f(\alpha) = (\alpha - \beta)(\alpha - \gamma) > 0, \qquad f(\beta) = (\beta - \gamma)(\beta - \alpha) < 0, \qquad f(\gamma) = (\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) > 0\] 3) \(f(\alpha)f(\beta) < 0\) 이고 \(f(\beta)f(\gamma) < 0\) 이므로, 사잇값 정리에 의하여 방정식 \(f(x) = 0\) 은 열린구간 \((\alpha, \beta)\)와 \((\beta, \gamma)\)에서 각각 적어도 하나의 실근을 가지며, 이차방정식이므로 서로 다른 두 실근을 가집니다.
[별해] 전개한 이차방정식 \(3x^2 - 2(\alpha + \beta + \gamma)x + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = 0\) 의 판별식은 \(\dfrac{D}{4} = \dfrac{1}{2}\left\{(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2\right\} > 0\) 이므로 서로 다른 두 실근을 가집니다.

1) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x + 1)f(x)}{x - 1} = -2\) 에서 \(x \to 1\) 일 때 분모 \(x - 1 \to 0\) 이므로 분자 \((x + 1)f(x) \to 0\) 이어야 하며, 다항함수 \(f(x)\)의 연속성에 의해 \(2f(1) = 0 \implies f(1) = 0\) 입니다.
2) 미분계수의 정의를 적용하면 \[-2 = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x + 1)\{f(x) - f(1)\}}{x - 1} = 2f'(1) \implies f'(1) = -1\] 3) 함수 \(g(x) = (x^2 + x + 1)f(x)\) 에 곱의 미분법을 적용하면 \[g'(x) = (2x + 1)f(x) + (x^2 + x + 1)f'(x)\] 4) \(x = 1\) 을 대입하면 \(g'(1) = 3f(1) + 3f'(1) = 3 \times 0 + 3 \times (-1) = -3\) 입니다.

1) 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 연립하면 \[x^3 - 2x^2 = x^2 - 2x \implies x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 0,\; 1,\; 2\] 2) 오른쪽 그래프와 같이 구간 \([0, 1]\)에서는 \(x^3 - 2x^2 \ge x^2 - 2x\) 이고, 구간 \([1, 2]\)에서는 \(x^2 - 2x \ge x^3 - 2x^2\) 입니다.
3) 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 다음과 같습니다. \[S = \int_{0}^{1} \left\{(x^3 - 2x^2) - (x^2 - 2x)\right\}dx + \int_{1}^{2} \left\{(x^2 - 2x) - (x^3 - 2x^2)\right\}dx\] \[= \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{0}^{1} - \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{1}^{2} = 2\left(\dfrac{1}{4} - 1 + 1\right) - \left(\dfrac{16}{4} - 8 + 4\right) = \dfrac{1}{2}\]