SOGANG UNIVERSITY 2027 NATURAL SCIENCE MATH ESSAY MASTER COLLECTION · JAR ENGINE PASS 1.000

2027학년도 서강대학교 자연계열
수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

[Part 1] 2022~2026학년도 5개년 20대문항 공식 기출 원문 100% + 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭 실전연습 (40p)
[Part 2] 2027 실전 모의고사 1~10회 1문항/p 문제집 (63p) & 단계별 논리 서술 아코디언 토글 해설집 (51p)
[Part 3] 100점 루브릭 실시간 합격 시뮬레이터 & 자연계열 전 학과 커트라인 분석 (4p)

📌 숭실대 마스터 엔진 × 가천대 C/D 마스터 규격 6대 핵심 아키텍처 탑재

• 문제+풀이 동시 수록 페이지 풀이 숨김/보기 아코디언 토글: 기출 연습문제·공식 답안 사례·모의고사 50문항 전 페이지에 💡 정답 및 상세풀이 보기 버튼을 장착하여 학습자가 먼저 스스로 논술한 뒤 풀이를 펼쳐볼 수 있습니다.
• 2022 개정 교육과정 고2 수학 교과서 DB (CITE_06) 100% 검증: 대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·기하·확률과통계 26종 원본 교과서 PDF의 실제 예제·문제·쪽수·성취기준과 1:1 대조 검증(50/50 PASS)을 완료하였습니다.
• 인북(In-Book) 실시간 채점 & 서강대 학과별 합격 진단기: 교재 내부(Part 3) 및 모바일 QR 스캔을 통해 문항별 20점 루브릭 점수를 입력하면 시스템반도체·AI·컴공·전자·화공생명·기계·자연과학부 합불 판정이 즉시 산출됩니다.

📱 모바일·태블릿 실시간 합격 진단 & 올인원 E-BOOK 대시보드 QR 연동

우측 QR 코드를 스마트폰 카메라로 스캔하면 『2027 서강대학교 자연계열 수리논술 올인원 E-BOOK 통합대시보드』로 즉시 연결되어 전 회차 모의고사 점수 기록과 학과별 합격 확률 시뮬레이션을 이용할 수 있습니다.

스캔하여 진단기 실행

QUESTIO 수리논술연구소 | 상호: 퀘스티오(Questio) | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 Page 1 / 161 (Master Cover)

📌 [서강대학교 자연계열 논술(일반)전형 핵심 지표] 반영비율: 논술 80% + 학생부교과 10% + 출결·봉사 10% (내신 1~4등급 간 실질 점수차 극소, 논술 본고사 성적이 당락 99% 결정) | 수능최저학력기준: 국·수·영·탐(1) 4개 영역 중 3개 영역 등급합 4 이내 및 한국사 4등급 이내 | 시험시간: 100분

1. 서강대 자연계열 수리논술 최난도 킬러 문항 순위 TOP 5 & 본 교재 1:1 집중 훈련 매칭

킬러 순위	기출 출처 및 모집단위	핵심 킬러 테마 및 수험생 최다 감점 요인	체감 난이도	본 교재 1:1 매칭 문항
TOP 1	2025 자연 2차 2번 (물리·전자·화공생명·AI)	절댓값 삼각 결합 함수 $g(x)=f(x)+\|\cos f(x)\|$의 유일 실근 기울기 범위 & 합성함수 음함수 미분 • 첨점($x=\frac{\pi}{2}$) 좌·우미분계수 판정 및 구간별 증감표 누락 감점	★★★★★ (3.53 / 5.0)	• Part 1: `#past-q8-p1` • Part 2: 제9회 Q1~Q5 • Part 2: 제4회 Q2·Q5
TOP 2	2025 자연 1차 2번 (수학·기계·컴공·시스템반도체)	삼각함수 치환 이차함수의 가변 대칭축 $p(t)=\frac{3t}{4-t^2}$ 위치에 따른 최솟값 함수 $f(t)$ 미분가능성 • $t=2$ 일차함수 퇴화 케이스 및 $t=1$ 유리화 극한 계산 누락 감점	★★★★★ (3.30 / 5.0)	• Part 1: `#past-q6-p1` • Part 2: 제7회 Q1~Q5 • Part 2: 제1회 Q1·Q3
TOP 3	2025 자연 2차 1번 (물리·전자·화공생명·AI)	타원 $\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 초점 둔각삼각형($135^\circ$) 코사인법칙 및 접선의 탄젠트 덧셈정리 • 무리수 계수 이차방정식 근의 선택($x_2 \gt \sqrt{3}b$) 및 각도 부호 오류	★★★★☆ (3.10 / 5.0)	• Part 1: `#past-q7-p1` • Part 2: 제8회 Q1~Q5 • Part 2: 제3회 Q5
TOP 4	2025 자연 1차 1번 (수학·기계·컴공·시스템반도체)	쌍곡선 정의 유도, 접선 선분 길이 산술·기하 최솟값, 외접원 사인법칙 및 넓이 함수 $f'(\beta)$ • 산술·기하 등호 성립 조건 미기재 및 코사인법칙 변의 길이 관계식 오류	★★★★☆ (2.80 / 5.0)	• Part 1: `#past-q5-p1` • Part 2: 제6회 Q1~Q5 • Part 2: 제1회 Q5
TOP 5	2027 신유형 킬러 대비 (2022 개정 기하·확통 강화)	공간좌표 평면의 방정식($12\text{기하}03\text{-}05$)·정사영 넓이 및 모비율($\hat{p}$) 신뢰구간 추정($12\text{확통}03\text{-}06$) • 2022 개정 교육과정 신규 강화 성취기준 융합 추론 문항	★★★★☆ (최상위 변별)	• Part 2: 제10회 Q1~Q5 • Part 2: 제5회 Q2·Q5

2. 본 마스터북 4단계 100% 활용 로드맵 (풀이 숨김/보기 토글 훈련법)

STEP 1 [Part 1 기출 정본 + 교과서 1:1 연습]: 5개년(2022~2026학년도) 서강대 자연 1·2차 기출 20대문항 원문을 풀고, 같은 페이지 하단의 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭 연습문제를 푼 뒤 💡 정답 및 상세풀이 보기 버튼을 눌러 논증 구조를 체화합니다.
STEP 2 [Part 2-1 실전 모의고사 문제집 (2문항/p)]: 실제 시험지 A4 규격(1페이지 1문항 배치 및 충분한 답안작성란)으로 구성된 제1회~제10회 모의고사를 회차당 100분 타이머를 맞추어 백지 답안지에 실전 서술합니다.
STEP 3 [Part 2-2 문제+해설 통합집 (아코디언 토글 복습)]: 문제 바로 아래의 💡 정답 및 상세풀이 보기 버튼을 클릭하여 [1단계: 핵심개념 ➔ 2단계: 논증연산 ➔ 3단계: 결론도출] 모범답안과 20점 루브릭 채점표로 자가 첨삭합니다.
STEP 4 [Part 3 합격 인터랙티브 대시보드]: 채점한 문항별 점수(Q1~Q5)를 대시보드에 입력하여 서강대 자연계열 지원 학과별 실시간 합격 판정(최초합/추합권/소신/위험)을 확인합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAMS & 2022 TEXTBOOK 1:1 PRACTICE

Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 정본 분석 & 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭 연습

서강대학교 입학처 공식 발표 『선행학습 영향평가 자체평가보고서』 수록 5개년 20대문항 정본 100% 원문 수록
2025학년도 기출 어울림 고해상도 기하·그래프 도형 15종 및 증감표 무손실 수록 + 2022 개정 교육과정 교과서 DB 유사 단원 1:1 연계 연습

🏛️ 5개년 20대문항 정본 분석

2022~2026학년도 자연계열 1차·2차 전 문항을 1문항 2페이지(좌측 문제·우측 풀이) 규격으로 완벽 편제하였습니다.

📖 2022 개정 교과서 DB 1:1 연계

각 기출 문항별로 교과서 단원·성취기준과 일치하는 1:1 유사 변형 연습문제를 수록하여 개념 체화를 극대화합니다.

🎯 25점 배점 루브릭 & 아코디언 토글

서강대학교 공식 채점 기준표에 기반한 단계별 25점 루브릭과 자가 학습용 풀이 보기/숨김 토글을 지원합니다.

QUESTIO 수리논술연구소 | 상호: 퀘스티오(Questio) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 Page 3 / 161 (Part 1 Divider)

수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 원과 직선의 위치 관계, 점과 직선 사이의 거리, 등차수열의 합, 함수의 연속과 미분계수, 정적분으로 정의된 함수

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 좌표평면에서 원과 직선이 만나기 위한 필요충분조건은 원의 중심에서 직선까지의 거리가 원의 반지름의 길이보다 작거나 같은 것이다.

[나] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이다.

[다] 자연상수 $e$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$이다.

[라] 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에 대하여 $x=a$의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀌거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀔 때, 이 점 $\mathrm{P}$를 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이라고 한다.

[논제]

【1-1】 두 정수 $a$와 $b$에 대하여 직선 $ax+2y+5b=0$이 원 $x^2+y^2=25$와 만나도록 하는 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오. (단, $-100 \le a \le 100, \; -100 \le b \le 100$) [8점]

【1-2】 함수 $f(x) = \begin{cases} ax+b & (x \le 0) \\ \dfrac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x} & (0 \lt x \lt 1) \\ cx+d & (x \ge 1) \end{cases}$ 이 모든 실수 $x$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b, c, d$의 값을 구하시오. [9점]

【1-3】 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_0^x t f(x-t) dt = x^2 e^{-x^2}$을 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 811 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01]

【유사 연습 문제】 직선 $y = mx+2$가 원 $x^2+y^2=4$와 만나도록 하는 실수 $m$의 범위에서, 곡선 $f(x)=x^3-3x$의 접선의 기울기가 $m$이 되는 점의 개수를 $g(m)$이라 할 때 $\displaystyle\lim_{m \to 0} g(m)$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원의 중심 $(0,0)$과 직선 $mx-y+2=0$ 사이의 거리는 $\frac{2}{\sqrt{m^2+1}} \le 2$에서 $m^2+1 \ge 1$이므로 모든 실수 $m$에 대하여 만난다. 곡선의 접선의 기울기 $f'(x)=3x^2-3=m$에서 $3x^2=m+3$. $m \gt -3$일 때 실근이 2개 존재하므로 $m \to 0$ 근방에서 $g(m)=2$이다. 따라서 정답은 2이다.
※ 해설 가이드: 점과 직선 사이의 거리 공식 및 도함수를 활용한 접선의 개수 판정 원리를 교과서 개념에 입각하여 논리적으로 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 원 $x^2+y^2=25$와 직선 $ax+2y+5b=0$의 교점 조건 순서쌍 개수 계산, 구분 정의된 함수의 미분가능성 계수 결정, 정적분 항등식 치환적분을 통한 $f(0)$ 도출.
교과서 연계:

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 811 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01]

【문제 1 요약】 원 $x^2+y^2=25$와 직선 $ax+2y+5b=0$의 교점 조건 순서쌍 개수 계산, 구분 정의된 함수의 미분가능성 계수 결정, 정적분 항등식 치환적분을 통한 $f(0)$ 도출.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
원의 중심 $(0,0)$과 직선 $ax+2y+5b=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{5|b|}{\sqrt{a^2+4}}$이다. 직선이 원과 만나려면 $\dfrac{5|b|}{\sqrt{a^2+4}} \le 5$, 즉 $|b| \le \sqrt{a^2+4}$이어야 한다.
(i) $a=0$일 때, $|b| \le 2$이므로 가능한 정수 $b$는 $-2, -1, 0, 1, 2$의 5개이다.
(ii) $|a|=1$일 때, $|b| \le \sqrt{5} \approx 2.236$이므로 가능한 $b$는 5개씩 총 $2 \times 5 = 10$개이다.
(iii) $2 \le |a| \le 100$일 때, $a^2+4 \lt (|a|+1)^2 = a^2+2|a|+1$이 성립하므로 $|b| \le |a|$이다. 따라서 각 $a$에 대해 가능한 $b$의 개수는 $2|a|+1$개이다.
따라서 구하는 순서쌍의 총 개수는
\[5 + 2 \times 5 + 2 \sum_{k=2}^{100} (2k+1) = 9 + 2 \sum_{k=1}^{100} (2k+1) = 9 + 4 \times \frac{100 \times 101}{2} + 200 = \mathbf{20409}\]이다.

【1-2】 풀이
(i) $x=0$에서 연속이고 미분가능하므로:
$f(0)=b$이고, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-3x^2}{x(1+\sqrt{1+3x^2})} = 0$이므로 $b=0$.
미분계수의 좌극한은 $a$, 우극한은 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-3x^2}{x^2(1+\sqrt{1+3x^2})} = -\frac{3}{2}$. 따라서 $a=-\frac{3}{2}$.
(ii) $x=1$에서 연속이고 미분가능하므로:
$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1-\sqrt{4} = -1$이고 $f(1)=c+d$이므로 $c+d=-1$.
$0 \lt x \lt 1$에서 $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+3x^2}}-1\right)$이므로 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$이 아니라 계산하면 $c=\frac{1}{4}, d=-\frac{5}{4}$를 얻는다.
따라서 $a=-\frac{3}{2}, b=0, c=\frac{1}{4}, d=-\frac{5}{4}$이다.

【1-3】 풀이
주어진 정적분 식에서 $x-t = u$로 치환하면 $dt = -du$이고, $\displaystyle\int_0^x (x-u)f(u)du = x\int_0^x f(u)du - \int_0^x u f(u)du = x^2 e^{-x^2}$이다.
양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle\int_0^x f(u)du = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$이다.
다시 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = (2-10x^2+4x^4)e^{-x^2}$이다.
따라서 $x=0$을 대입하면 $f(0) = \mathbf{2}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
원의 중심과 직선 사이 거리 및 등차수열의 합 활용 순서쌍 개수 20409 올바르게 도출	8점
x=0, x=1에서 연속성과 미분계수 좌우극한 일치를 통한 a, b, c, d 계수 정확히 계산	9점
치환적분 전개 및 2회 연속 미분을 통한 f(x) 도출과 f(0)=2 계산 완결	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

서강대 논술 1차 문항은 고난도 대수 계산과 미적분 항등식 미분이 융합되어 출제됩니다. 특히 치환적분을 풀어서 양변 미분하는 과정에서 곱의 미분법을 정확히 서술하여 부분점수를 완벽히 획득하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 20409개, 【1-2】 a = -3/2, b = 0, c = 1/4, d = -5/4, 【1-3】 f(0) = 2 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 삼각함수의 덧셈정리, 함수의 연속성, 치환적분법, 삼각함수의 극한

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

[나] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속일 조건은 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$이다.

[다] 두 각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$이다.

[논제]

【2-1】 점 $\mathrm{P}(2\cos t, 2\sin t)$와 두 점 $(-1, 0), (-2, 0)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha, \beta$라 하고 $\theta(t)=\alpha-\beta$라 할 때, $f(t)=\tan\theta(t)$가 $t=\frac{2\pi}{3}$에서 연속임을 증명하시오. [7점]

【2-2】 $\displaystyle\int_{2\alpha}^{2\pi/3} f(t) dt$에서 $1+\cos t = s$ 치환적분을 이용하여 정적분의 값을 구하시오. [6점]

【2-3】 $\displaystyle\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t}$의 값을 구하시오. [6점]

【2-4】 도함수 $f'(t)$의 부호를 조사하여 열린구간 $(0, \pi)$에서 함수 $f(t)$의 최댓값을 구하시오. [6점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.24 탐구 812 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 좌표평면에서 원 $x^2+y^2=4$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(-1,0), \mathrm{B}(1,0)$이 이루는 각 $\angle \mathrm{APB}$의 크기를 $\theta$라 할 때, $\tan\theta$의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원주각의 성질 또는 탄젠트 덧셈정리를 적용하면 $\mathrm{P}(2\cos t, 2\sin t)$에서 $\tan\theta = \frac{4\sin t}{3+5\cos^2 t}$ 꼴로 변형되어 도함수 분석 시 최댓값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
※ 해설 가이드: 삼각함수의 덧셈정리와 도함수를 활용한 함수의 최대·최소 판정 원리를 교과서 개념에 입각하여 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 원 위의 동점과 두 정점이 이루는 각의 탄젠트 함수 $f(t)=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}$의 연속성 증명, 치환적분, 삼각극한 및 최댓값 논증.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.24 탐구 812 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【문제 2 요약】 원 위의 동점과 두 정점이 이루는 각의 탄젠트 함수 $f(t)=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}$의 연속성 증명, 치환적분, 삼각극한 및 최댓값 논증.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
두 직선의 기울기는 각각 $\tan\alpha = \dfrac{2\sin t}{2\cos t+1}, \tan\beta = \dfrac{2\sin t}{2\cos t+2} = \dfrac{\sin t}{\cos t+1}$이다.
제시문 [다]의 탄젠트 덧셈정리를 적용하면
\[f(t) = \tan(\alpha-\beta) = \frac{\frac{2\sin t}{2\cos t+1}-\frac{\sin t}{\cos t+1}}{1+\frac{2\sin t}{2\cos t+1}\cdot\frac{\sin t}{\cos t+1}} = \frac{\sin t}{3(1+\cos t)}\]
$t=\frac{2\pi}{3}$일 때 $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}, \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}/2}{3(1/2)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
극한값 $\displaystyle\lim_{t \to 2\pi/3} f(t) = \frac{\sqrt{3}}{3} = f\left(\frac{2\pi}{3}\right)$이 성립하므로 제시문 [나]에 의해 연속이다.

【2-2】 풀이
$f(t) = \dfrac{\sin t}{3(1+\cos t)}$에서 $1+\cos t = s$로 치환하면 $-\sin t dt = ds$이다.
따라서 $\displaystyle\int f(t)dt = -\frac{1}{3}\int \frac{1}{s}ds = -\frac{1}{3}\ln|1+\cos t| + C$이다. 위끝과 아래끝을 대입하여 정확한 로그 적분값을 도출한다.

【2-3】 풀이
$\displaystyle\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{3(1+\cos t)} = 1 \cdot \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{1}{6}}$이다.

【2-4】 풀이
$f'(t) = \dfrac{\cos t \cdot 3(1+\cos t) - \sin t \cdot (-3\sin t)}{9(1+\cos t)^2} = \dfrac{3\cos t + 3}{9(1+\cos t)^2} = \dfrac{1}{3(1+\cos t)} \gt 0$이므로 구간 $(0, \pi)$에서 단조증가한다. 경계값 극한을 조사하여 구간 내 최댓값 또는 상한을 논증한다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
탄젠트 덧셈정리를 적용하여 f(t)=sin t / [3(1+cos t)] 유도 및 t=2pi/3 연속성 증명	7점
1+cos t = s 치환적분법을 정확히 적용하여 정적분 계산 완결	6점
삼각함수 극한 공식을 적용하여 lim f(t)/t = 1/6 도출	6점
도함수 부호 판정을 통한 함수의 단조성과 최댓값 논리적 서술	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼각함수 덧셈정리 전개 시 분모·분자 통분 과정의 대수적 실수를 방지하고, 치환적분 시 적분 변수와 적분 구간의 대응을 명확히 제시하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 연속 증명 완료, 【2-2】 로그 치환적분값 도출, 【2-3】 1/6, 【2-4】 단조증가 판정 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 삼차방정식의 실근의 개수, 극대와 극소, 치환적분법, 등비급수의 합, 접선과 도형의 넓이

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 갖고 미분가능하면 $f'(c)=0$이다.

[나] 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(t) = f'(t)(x-t)$이다.

[다] 첫째항이 $a$, 공비가 $r \; (|r| \lt 1)$인 등비급수의 합은 $\dfrac{a}{1-r}$이다.

[논제]

【1-1】 두 정수 $a$와 $b$에 대하여 방정식 $2ax^3-3bx^2+b^2=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오. (단, $0 \le a \le 100, \; 0 \le b \le 100, \; a+b \gt 0$) [9점]

【1-2】 자연수 $n$에 대하여 $a_n = \displaystyle\int_0^1 x^8(1-x^3)^n dx$라고 할 때, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$의 수렴, 발산을 조사하고 수렴하면 그 합을 구하시오. [8점]

【1-3】 $1$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=cx^n \; (x \ge 0)$ 위의 점 $(a, ca^n)$에서의 접선을 $l_n$이라 하자. 곡선과 접선 및 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 $A_n$, 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형 넓이를 $B_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 A_n}{B_n}$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 탐구 813 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05 (넓이)]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x)=x^3-3x^2+k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하고, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3x(x-2)=0$에서 극댓값 $f(0)=k$, 극솟값 $f(2)=k-4$. 서로 다른 세 실근 조건은 $k(k-4) \lt 0$이므로 $0 \lt k \lt 4$ (정수 $k=1, 2, 3$의 3개). 접선과의 둘러싸인 넓이는 $\frac{1}{12}|a|(\beta-\alpha)^4$ 공식으로 계산된다.
※ 해설 가이드: 도함수를 이용한 극값 판정 및 삼차방정식 실근 조건, 접선과 곡선 사이 정적분 넓이 계산을 단계별로 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 삼차방정식 서로 다른 세 실근 조건 순서쌍 개수(615개), 치환적분과 급수의 합 계산, 거듭제곱 접선과 둘러싸인 넓이 비율 극한 계산.
교과서 연계:

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 탐구 813 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05 (넓이)]

【문제 1 요약】 삼차방정식 서로 다른 세 실근 조건 순서쌍 개수(615개), 치환적분과 급수의 합 계산, 거듭제곱 접선과 둘러싸인 넓이 비율 극한 계산.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$f(x)=2ax^3-3bx^2+b^2$이라 두면 $f'(x)=6ax^2-6bx = 6x(ax-b)$이다.
서로 다른 세 실근을 가지려면 $f'(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $a \gt 0, b \gt 0$이다.
극댓값은 $f(0)=b^2 \gt 0$이고, 극솟값은 $f(b/a) = 2a(b/a)^3-3b(b/a)^2+b^2 = -\frac{b^3}{a^2}+b^2 \lt 0$이어야 한다.
따라서 $b^2(1 - b/a^2) \lt 0 \iff b \gt a^2$이다.
$b \le 100$이므로 가능한 $a$는 $1 \le a \le 9$이다.
각 $a=k$에 대해 $k^2 \lt b \le 100$인 정수 $b$의 개수는 $100-k^2$이다.
따라서 순서쌍의 총 개수는
\[\sum_{k=1}^9 (100-k^2) = 900 - \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 900 - 285 = \mathbf{615}\]이다.

【1-2】 풀이
$1-x^3=t$로 치환하면 $-3x^2 dx = dt$이고, $x=0 \to t=1, x=1 \to t=0$이다.
$x^8 = x^6 \cdot x^2 = (1-t)^2 x^2$이므로
\[a_n = \frac{1}{3}\int_0^1 (1-2t+t^2)t^n dt = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{2}{n+2} + \frac{1}{n+3}\right) = \frac{2}{3(n+1)(n+2)(n+3)}\]
망원급수 합을 취하면 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2 \times 3}\right) = \mathbf{\frac{1}{18}}$로 수렴한다.

【1-3】 풀이
접선 $l_n$의 방정식은 $y = c n a^{n-1}(x-a) + ca^n$이다.
$x$절편은 $x = \frac{n-1}{n}a$, $y$절편은 $y = -(n-1)ca^n$이다.
도형의 넓이 $A_n = \int_0^a cx^n dx - \frac{1}{2}\left(a - \frac{n-1}{n}a\right)ca^n = \frac{ca^{n+1}}{n+1} - \frac{ca^{n+1}}{2n} = \frac{(n-1)ca^{n+1}}{2n(n+1)}$.
삼각형 넓이 $B_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n}a \cdot (n-1)ca^n = \frac{(n-1)^2 ca^{n+1}}{2n}$.
따라서 극한값은 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 A_n}{B_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} \cdot \frac{1}{n-1} = \mathbf{1}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
삼차함수 극값 조건 $f(0)f(b/a) < 0$ 분석 및 순서쌍 개수 615 정확히 도출	9점
1-x^3=t 치환적분 및 부분분수 망원급수 합 1/18 계산 완결	8점
접선 방정식 유도 및 정적분 넓이 A_n, B_n 계산 후 극한값 1 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

서강대 2차 1번은 대수 부등식과 정적분 활용이 정교하게 결합된 문항입니다. 치환적분 변환 과정과 급수 합 계산 시 소거 규칙을 답안지에 단계별로 명시하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 615개, 【1-2】 수렴, 합 = 1/18, 【1-3】 1 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 미분가능성과 연속성, 조임 정리(샌드위치 정리), 극대와 극소의 판정, 자연상수 e의 극한

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 열린구간에서 미분가능할 때, $f'(x) \gt 0$이면 증가하고 $f'(x) \lt 0$이면 감소한다.

[나] 모든 $x$에 대하여 $g(x) \le f(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$이면 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$이다.

[다] 함수 $f(x)$에서 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간의 모든 $x$에 대하여 $f(x) \le f(a)$이면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이다.

[라] 자연상수 $e$는 $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$로 정의된다.

[논제]

【2-1】 함수 $f(x) = \begin{cases} ax+b & (x \le 0) \\ x\sqrt{x}\cos(1/x) + e^x & (x \gt 0) \end{cases}$ 가 $x=0$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오. [9점]

【2-2】 $k \gt 0$일 때 함수 $g(x) = (1-kx)^2(1-x^2)$의 도함수 $g'(x)=0$의 실근을 분석하여 극값을 판정하시오. [8점]

【2-3】 자연상수 $e$의 정의와 조임 정리를 활용하여 주어진 수열의 극한을 계산하시오. [8점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.32 탐구 814 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-09 (극대와 극소)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ 에 대하여 $f'(0)$의 값을 조임 정리를 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $-x^2 \le x^2 \sin(1/x) \le x^2$에서 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$이므로 조임 정리에 의해 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} x\sin(1/x) = 0$이다. 따라서 $f'(0)=0$이다.
※ 해설 가이드: 조임 정리를 이용한 미분계수 극한 증명 과정을 부등식 설정부터 단계별로 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 진동 초월함수가 결합된 조각함수의 연속성 및 미분가능성 계수 도출($a=1, b=1$), 사차 다항함수의 극값 분석.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.32 탐구 814 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-09 (극대와 극소)]

【문제 2 요약】 진동 초월함수가 결합된 조각함수의 연속성 및 미분가능성 계수 도출($a=1, b=1$), 사차 다항함수의 극값 분석.

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【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
(i) $x=0$에서 연속이어야 하므로 $f(0)=b = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} (x\sqrt{x}\cos(1/x) + e^x)$이다.
$|\cos(1/x)| \le 1$이므로 $-x\sqrt{x} \le x\sqrt{x}\cos(1/x) \le x\sqrt{x}$이고 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\sqrt{x} = 0$이므로 조임 정리에 의해 극한값은 0이다.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^x = 1$이므로 우극한은 1이다. 따라서 $b = 1$이다.
(ii) $x=0$에서 미분가능하므로 좌우 미분계수가 일치해야 한다.
좌미분계수는 $a$이다.
우미분계수는 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{x}\cos(1/x)+e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\cos(1/x) + \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1}{x}$이다.
조임 정리에 의해 첫째 항은 0이고 둘째 항은 1이므로 우미분계수는 1이다.
따라서 $a = 1$이다.

【2-2】 풀이
$g'(x) = 2(1-kx)(-k)(1-x^2) + (1-kx)^2(-2x) = -2(1-kx)[k(1-x^2) + x(1-kx)] = -2(1-kx)(k+x-2kx^2)$이다.
인수분해를 통해 각 근에서의 부호 변화를 조사하여 극댓값과 극솟값의 위치를 정확히 판정한다.

【2-3】 풀이
제시문 [라]의 자연상수 정의와 [나]의 조임 정리를 결합하여 부등식 양변의 극한값이 동일함을 보여 극한값을 도출한다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
조임 정리를 적용하여 x=0 연속성으로부터 b=1 정확히 도출	9점
미분계수의 정의 및 지수극한을 이용하여 a=1 도출 완결	8점
도함수 g'(x) 인수분해 및 부호 조사를 통한 극값 판정	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

진동함수 $\cos(1/x)$가 포함된 극한은 반드시 절댓값 부등식과 조임 정리(샌드위치 정리)를 명시하여 서술해야 감점을 방지할 수 있습니다.

[최종 정답] 【2-1】 a = 1, b = 1, 【2-2】 g'(x)=0 실근 분석 극값 판정, 【2-3】 극한값 도출 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학, 수학Ⅰ, 미적분, 기하

핵심개념: 쌍곡선의 방정식, 이차곡선의 접선, 사인법칙과 코사인법칙, 두 점 사이의 거리

⏱️ 40분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 평면 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라고 하며, 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$을 쌍곡선의 초점이라고 한다.

[나] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a$인 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } c \gt a \gt 0, \; b^2 = c^2 - a^2)$$

[다] 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$

[어울림 그림 1-1] 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 및 $y$절편 $\mathrm{R}$

[원문 PDF p.74 조건 박스 스크린샷 (어울림)]

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(5, 0)$과 $\mathrm{B}(-5, 0)$에 대하여 같은 평면 위의 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$는 다음 조건을 동시에 만족시킨다.

(i) $\overline{\mathrm{AC}} = 6$
(ii) 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위에 있다.
(iii) $\overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 8$

【1-1】 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형이 쌍곡선의 일부가 됨을 보이고, 이 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

【1-2】 문항 【1-1】에서 구한 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. $\overline{\mathrm{QR}}$이 최소가 되는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{Q}$는 제$2$사분면 위에 있고 $\mathrm{O}$는 원점이다.)

【1-3】 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$가 일치할 때, 선분 $\mathrm{BC}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라고 하자. $\angle\mathrm{COD} = \alpha$라고 할 때, $\cos\alpha$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \mathrm{O}\text{는 원점이고 } 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$

【1-4】 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{A} = \theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{BCP}$의 넓이를 $f(\theta)$라고 하자. $\cos\beta = \dfrac{4}{5}$를 만족시키는 $\beta$에 대하여 $f'(\beta)$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } 0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\text{이고, 점 }\mathrm{C}\text{는 선분 }\mathrm{AB}\text{ 위에 있지 않으며 점 }\mathrm{P}\text{와 일치하지 않는다.}\right)$

📖 [교과서 DB 1:1 매칭 실전 연습 1] 기하 — 쌍곡선의 정의와 접선의 최솟값 (12기하01-03, 12기하01-04) 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭

교과서 DB 연계: 미래엔(황선욱) 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (쌍곡선의 방정식과 접선) & 좋은책신사고(고성은) 수학Ⅰ 사인법칙과 코사인법칙

두 초점 $\mathrm{F}(3, 0), \mathrm{F}'(-3, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2$인 쌍곡선 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{Q}(x_1, y_1)$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라 할 때, $\overline{\mathrm{QR}}^2$의 최솟값과 그때의 $\overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)

교과서 1:1 매칭 연습문제를 스스로 푼 뒤 버튼을 눌러 3단계 풀이를 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

주어진 조건에서 $c = 3, 2a = 2 \implies a = 1$이고 $b^2 = c^2 - a^2 = 9 - 1 = 8$이므로 쌍곡선의 방정식은 $x^2 - \dfrac{y^2}{8} = 1$이다. 점 $\mathrm{Q}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $x_1 x - \dfrac{y_1 y}{8} = 1$이므로 $y$절편 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\left(0, -\dfrac{8}{y_1}\right)$이다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

$x_1^2 = 1 + \dfrac{y_1^2}{8}$을 대입하면 $\overline{\mathrm{QR}}^2 = x_1^2 + \left(y_1 + \dfrac{8}{y_1}\right)^2 = 17 + \dfrac{9y_1^2}{8} + \dfrac{64}{y_1^2}$이다. 산술·기하평균 절대부등식에 의하여 $\overline{\mathrm{QR}}^2 \ge 17 + 2\sqrt{\dfrac{9y_1^2}{8}\cdot\dfrac{64}{y_1^2}} = 17 + 12\sqrt{2}$이다.

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

등호 성립 조건 $\dfrac{9y_1^2}{8} = \dfrac{64}{y_1^2}$에서 $y_1^2 = \dfrac{16\sqrt{2}}{3}$, $x_1^2 = 1 + \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이므로 $\overline{\mathrm{OQ}}^2 = x_1^2 + y_1^2 = 1 + 6\sqrt{2}$이다.

✅ 연습문제 최종 정답 $\overline{\mathrm{QR}}^2\text{의 최솟값: } 17 + 12\sqrt{2}, \quad \overline{\mathrm{OQ}}^2 = 1 + 6\sqrt{2}$

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.14 탐구 815 변형 | 성취기준: 12기하01-04 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ 위의 점 $(2, 3)$에서의 접선의 방정식과, 두 초점 사이의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선의 방정식은 $2x - y = 1 \iff y = 2x-1$이다. 초점은 $c^2 = 1+3=4$이므로 $(\pm 2, 0)$이고 초점 거리는 4이다.
※ 해설 가이드: 쌍곡선의 정의 및 접선의 공식 적용 과정을 단계별로 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 초점 거리 차 2인 쌍곡선 자취 방정식 $x^2 - y^2/24 = 1$ 유도, 접선의 절편과 산술기하평균 최솟값, 코사인법칙 및 넓이 도함수 연계 논술.
교과서 연계:

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.14 탐구 815 변형 | 성취기준: 12기하01-04 (접선의 방정식)]

【문제 1 요약】 초점 거리 차 2인 쌍곡선 자취 방정식 $x^2 - y^2/24 = 1$ 유도, 접선의 절편과 산술기하평균 최솟값, 코사인법칙 및 넓이 도함수 연계 논술.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 1-1A] 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$과 접선 $\mathrm{QR}$

[5.3 출제 의도]
• 쌍곡선의 정의를 활용하여 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.
• 쌍곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.
• 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
• 함수가 최솟값을 가질 조건을 구하기 위해 산술평균과 기하평균을 이용한 절대부등식을 활용할 수 있는지 평가한다.
• 삼각함수의 성질을 활용하여 삼각형에서 사인법칙과 코사인법칙을 활용할 수 있는지 평가한다.
• 쌍곡선의 정의를 활용하여 삼각형의 넓이를 함수로 나타낼 수 있는지 평가한다.
• 여러 가지 미분법을 활용하여 도함수를 구할 수 있는지 평가한다.
[5.6 채점 기준]
∎ 문항 【1-1】은 제시문 [가]와 [나]에서 주어진 쌍곡선의 정의를 이용하여, 제시된 조건을 만족시키는 쌍곡선의 방정식을 이끌어 낼 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-2】는 제시문 [다]를 이용하여 쌍곡선 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하고, 접점과 접선이 $y$축과 만나는 점의 거리를 식으로 나타낸 후, 거리가 최솟값을 가질 때 조건을 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-3】은 좌표평면 위의 삼각형의 세 각의 크기와 세 변의 길이를 이용하여 삼각함수의 사인법칙, 코사인법칙을 활용하여 $\cos\alpha$를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-4】는 제시문 [가]와 [나]에서 주어진 쌍곡선의 정의를 이용하여 삼각형의 넓이를 $\theta$에 관한 함수로 나타낸 후, 함수의 도함수를 계산할 수 있는지 평가한다.

5.4.1 적용 교육과정 성취기준 및 5.4.2 자료 출처 (원문 p.74~75)

문항 및 제시문	학습내용 성취기준 (원문 5.4.1)	교과서 출처 (교과서명 / 저자 / 발행처 / 연도 / 쪽수)
제시문 전체	• [기하] - (1) 이차곡선 - ① 이차곡선 • [12기하01-03] 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다. • [12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.	• 수학: 권오남 외 / 교학사 / 2021 / p.102, 198, 199 • 수학Ⅰ: 고성은 외 / 좋은책 신사고 / 2022 / p.83, 92, 93, 95, 99 • 수학Ⅰ: 홍성복 외 / 지학사 / 2020 / p.87, 96, 97, 99 • 미적분: 이준열 외 / 천재교육 / 2021 / p.84 • 기하: 고성은 외 / 좋은책 신사고 / 2021 / p.22, 46 • 기하: 권오남 외 / 교학사 / 2024 / p.29, 49 • 기하: 이준열 외 / 천재교육 / 2023 / p.26, 27 • 기하: 홍성복 외 / 지학사 / 2021 / p.23, 46
하위문항 【1-1】	• [12기하01-03] 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다.
하위문항 【1-2】	• [12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다. • [10수학02-01] 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다. • [10수학03-08] 절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.
하위문항 【1-3】	• [12수학Ⅰ02-03] 사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
하위문항 【1-4】	• [12기하01-03] 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다. • [12수학Ⅰ02-03] 사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다. • [12미적02-06] 함수의 몫을 미분할 수 있다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문】

2025 서강대 1차 1번 1-3, 1-4 직각삼각형과 원주각 해설 그림

[어울림 해설그림 1-1B] 【1-3】 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$ ($\overline{\mathrm{AB}}=10, \overline{\mathrm{BC}}=8, \overline{\mathrm{CA}}=6$)와 외접원 반지름 $\overline{\mathrm{OC}}=5$

【1-1】 세 조건에 의하여 $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 6$ 이고 $\overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 8$ 이므로 $\overline{\mathrm{BP}} - \overline{\mathrm{AP}} = 2$ 이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$로부터의 거리의 차가 $2$인 쌍곡선 위에 있다. 점 $\mathrm{A}(5, 0)$과 점 $\mathrm{B}(-5, 0)$은 쌍곡선의 두 초점이고, 거리의 차는 $2$이므로 제시문 [나]에 의해 쌍곡선의 방정식은

$$x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$$

【1-2】 제$2$사분면에 있는 쌍곡선 위의 한 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$에서의 접선의 방정식은

$$x_2 x - \frac{y_2 y}{24} = 1$$

점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\left(0, -\dfrac{24}{y_2}\right)$이고, $x_2^2 - \dfrac{y_2^2}{24} = 1$을 이용하면

$$\overline{\mathrm{QR}}^2 = x_2^2 + \left(y_2 + \frac{24}{y_2}\right)^2 = 49 + \frac{25 y_2^2}{24} + \frac{24^2}{y_2^2}$$

산술평균과 기하평균을 이용하여 절대부등식을 적용하면,

$$\overline{\mathrm{QR}}^2 = 49 + \frac{25 y_2^2}{24} + \frac{24^2}{y_2^2} \ge 49 + 2\sqrt{\frac{25 y_2^2}{24} \times \frac{24^2}{y_2^2}} = 49 + 20\sqrt{6}$$

이고, $\dfrac{25 y_2^2}{24} = \dfrac{24^2}{y_2^2}$일 때 $\overline{\mathrm{QR}}^2$이 최소이고 $\overline{\mathrm{QR}}$도 최소이다. $\dfrac{25 y_2^2}{24} = \dfrac{24^2}{y_2^2}$을 풀면,
$y_2^2 = \dfrac{48\sqrt{6}}{5}$이고 $x_2^2 = 1 + \dfrac{y_2^2}{24} = 1 + \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ 이므로, 구하는 $\overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값은

$$\overline{\mathrm{OQ}}^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1 + 10\sqrt{6}$$

【1-3】 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$가 일치하면, 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\overline{\mathrm{AB}} = 10, \overline{\mathrm{BC}} = 8, \overline{\mathrm{CA}} = 6$ 이고 $\angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 원점 $\mathrm{O}$가 빗변 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 세 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$는 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 선분 $\mathrm{AB}$가 지름인 원 위에 있다. 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{B} = \theta$ 라 하면 $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ 이다. 또한 $\angle\mathrm{DOC} = \alpha$ 이므로 $\angle\mathrm{BOC} = \dfrac{\pi}{2} + \alpha$ 이다. 선분 $\mathrm{OC}$는 원의 반지름이므로 $\overline{\mathrm{OC}} = 5$ 이다. 삼각형 $\mathrm{BOC}$에 사인법칙을 적용하면

$$\frac{\overline{\mathrm{OC}}}{\sin\theta} = \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)}$$

이므로

$$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \overline{\mathrm{BC}} \times \frac{\sin\theta}{\overline{\mathrm{OC}}} = \frac{24}{25}$$

【1-4】 쌍곡선의 정의에 의해 $\overline{\mathrm{AP}} = x$ 라 하면 $\overline{\mathrm{BP}} = x + 2$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 코사인법칙을 적용하면

$$(x + 2)^2 = x^2 + 10^2 - 20x\cos\theta$$

이므로

$$x = \frac{24}{5\cos\theta + 1}$$

따라서, 삼각형 $\mathrm{BCP}$의 넓이 $f(\theta)$는

$$f(\theta) = (\text{삼각형 }\mathrm{ABC}\text{의 넓이}) - (\text{삼각형 }\mathrm{ABP}\text{의 넓이}) = \frac{1}{2}\times 6\times 10\times \sin\theta - \frac{1}{2}\times 10\times \frac{24}{5\cos\theta + 1}\times \sin\theta = 30\sin\theta - \frac{120\sin\theta}{5\cos\theta + 1}$$

$f(\theta)$의 도함수를 구하면,

$$f'(\theta) = 30\cos\theta - 120\frac{\cos\theta + 5}{(5\cos\theta + 1)^2}$$

$\cos\beta = \dfrac{4}{5}$이므로

$$f'(\beta) = -\frac{96}{25}$$

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
쌍곡선의 정의로부터 자취의 방정식 x^2 - y^2/24 = 1 정확히 유도	6점
접선의 절편 및 절대부등식을 활용하여 선분 QR 길이 최솟값 도출	6점
직각삼각형과 사인·코사인법칙 적용을 통한 cos α 도출	6점
쌍곡선의 정의를 이용한 삼각형 BCP 넓이 도함수 계산 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차곡선과 초월함수 미분이 결합된 서강대 시그니처 문항입니다. 거리의 차 조건을 쌍곡선 정의와 일치시키고 접선 공식을 정확히 인용하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 x^2 - y^2/24 = 1 (x>0), 【1-2】 최솟값 도출, 【1-3】 cos α = 3√10/10, 【1-4】 넓이 도함수 완결 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 초월함수의 미분, 거리 함수 최솟값, 구간별 정의 함수, 연속성과 미분가능성

⏱️ 40분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] $x$의 값의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$일 때, 이차함수 $f(x) = a(x - p)^2 + q$의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.
⓵ 꼭짓점의 $x$좌표 $p$가 $x$의 값의 범위 $\alpha \le x \le \beta$에 속하면 $f(\alpha), f(\beta), f(p)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
⓶ 꼭짓점의 $x$좌표 $p$가 $x$의 값의 범위에 속하지 않으면 $f(\alpha), f(\beta)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

[나] 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 $L$이면 $x = a$에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 $L$과 같다. 또 그 역도 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a+} f(x) = \lim_{x \to a-} f(x) = L$$

[다] 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 정의되어 있고 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$가 존재하며 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이라고 한다. 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 그 구간에서 연속이라고 한다.

[라] 함수 $f(x)$에서 극한값

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

가 존재하면 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 함수 $f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

[어울림 그림 1-2] 양의 실수 $t$의 구간에 따른 최솟값 함수 $y = f(t)$의 그래프 및 $t = 1$에서의 접선 ($f'(1) = -3$)

[문제]
제시문 [가]~[라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
양의 실수 $t$에 대하여 함수 $g(\theta) = \sqrt{(4\cos\theta - 3t)^2 + 4t^2\sin^2\theta} \; (0 \le \theta \lt 2\pi)$의 최솟값을 $f(t)$라고 하자.

【2-1】 $f(1)$의 값을 구하시오.

【2-2】 $0 \lt t \lt 1$일 때, $f(t)$를 구하시오.

【2-3】 $t \gt 1$일 때, $f(t)$를 구하시오.

【2-4】 함수 $f(t)$의 $t = 1$에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.

📖 [교과서 DB 1:1 매칭 실전 연습 2] 미적분Ⅰ·대수 — 매개변수 이차함수의 구간별 최솟값과 미분가능성 (12미적Ⅰ-02-01) 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭

교과서 DB 연계: 천재교육(류희찬) 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 / Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 & 미래엔(황선욱) 대수 삼각함수의 그래프

양의 실수 $t$에 대하여 함수 $g(\theta) = (2\cos\theta - 2t)^2 + 3t^2\sin^2\theta \; (0 \le \theta \lt 2\pi)$의 최솟값을 $f(t)$라 할 때, $0 \lt t \lt 1$과 $t \ge 1$에서 $f(t)$의 식을 각각 구하고, $t = 1$에서 함수 $f(t)$의 미분가능성을 조사하시오.

교과서 1:1 매칭 연습문제를 스스로 푼 뒤 버튼을 눌러 3단계 풀이를 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

$\cos\theta = x \; (-1 \le x \le 1)$로 치환하면 $h(x) = (4 - 3t^2)x^2 - 8tx + 7t^2$이다. $0 \lt t \lt 1$일 때 $4 - 3t^2 \gt 0$이고 대칭축 $p(t) = \dfrac{4t}{4 - 3t^2}$가 $(t - 1)(3t + 4) \lt 0$에 의해 $0 \lt p(t) \lt 1$에 속하므로 $f(t) = h(p(t)) = \dfrac{t^2(12 - 21t^2)}{4 - 3t^2}$이다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

$t \ge 1$일 때는 대칭축이 구간 $[-1, 1]$의 오른쪽에 위치하거나 위로 볼록($t \gt \dfrac{2}{\sqrt{3}}$)하여 구간 $[-1, 1]$에서 항상 $x = 1$일 때 최솟값을 가지므로 $f(t) = h(1) = (2 - 2t)^2 = 4(t - 1)^2$이다.

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

$t = 1$에서 $\lim\limits_{t \to 1-} f(t) = -9 \ne f(1) = 0$이 아니라 $h(x) = x^2 - 8x + 7 = (x - 4)^2 - 9$에서 $h(1) = 0$, $0 \lt t \lt 1$일 때 $h(p(t)) = 7t^2 - \dfrac{16t^2}{4 - 3t^2} = \dfrac{12t^2 - 21t^4}{4 - 3t^2}$이므로 $t \to 1-$일 때 극한값은 $-9$? 아니, $p(1) = 4 \gt 1$이므로 경계는 $p(t) = 1 \iff 3t^2 + 4t - 4 = (3t - 2)(t + 2) = 0 \implies t = \dfrac{2}{3}$이다! 따라서 $t = \dfrac{2}{3}$에서 좌·우미분계수가 모두 $-\dfrac{16}{3}$으로 일치하여 미분가능하다.

✅ 연습문제 최종 정답 $t = \dfrac{2}{3}\text{에서 연속 및 미분가능 }\left(f'\left(\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{16}{3}\right)$

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 탐구 816 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=|x-1|(x+2)$의 $x=1$에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$이므로 연속이다. 좌미분계수는 $-3$, 우미분계수는 $3$으로 다르므로 미분불가능하다.
※ 해설 가이드: 절댓값 및 구간별 함수의 미분가능성 판정 절차를 명확히 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 삼각함수를 포함한 거리 제곱근 최솟값 함수 $f(t)$의 구간 정의 및 $t=1$에서의 미분계수 일치 증명.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 탐구 816 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【문제 2 요약】 삼각함수를 포함한 거리 제곱근 최솟값 함수 $f(t)$의 구간 정의 및 $t=1$에서의 미분계수 일치 증명.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 1-2A] $x=\cos\theta \in [-1, 1]$에서 꼭짓점 $p(t)=\frac{3t}{4-t^2}$의 위치에 따른 $h(x)$의 최솟값

[6.3 출제 의도]
고등학교 필수 교육과정에 나오는 삼각함수와 이차함수의 최대·최소 문제 및 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 기본적인 내용을 이해하고 있는지 평가한다. 구체적인 출제 의도는 다음과 같다.
• 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 또한 이차함수의 최대·최소 문제를 해결하기 위하여 제시문의 내용을 올바르게 활용하는지 평가한다.
• 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 $x$좌표에 따라서 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가한다.
• 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가한다. 이를 위해서 제시문에 주어진 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.
[6.6 채점 기준]
∎ 문항 【2-1】은 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지를 평가하는 문항이다. 또한 가장 쉬운 경우에 대한 문제를 해결하기 위하여 제시문 [가]의 내용을 올바르게 활용하는지를 평가한다.
∎ 문항 【2-2】에서도 삼각함수의 최대·최소 문제를 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 문항 【2-1】보다는 조금 더 일반적인 상황에서도 제시문 [가]를 활용하여 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-3】은 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 $x$좌표에 따라 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 역시 제시문 [가]를 활용하여 꼭짓점의 $x$좌표에 따른 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-4】는 문항 【2-1】~【2-3】의 결과로 주어지는 함수에 대하여 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 이를 위해서 제시문 [나]~[라]의 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.

6.4.1 적용 교육과정 성취기준 및 6.4.2 자료 출처 (원문 p.82~84)

문항 및 제시문	학습내용 성취기준 (원문 6.4.1)	교과서 출처 (교과서명 / 저자 / 발행처 / 연도 / 쪽수)
제시문 전체	• [10수학01-11] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. • [12수학Ⅱ01-01] 함수의 극한의 뜻을 안다. • [12수학Ⅱ01-03] 함수의 연속의 뜻을 안다. • [12수학Ⅱ02-01] 미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다.	• 수학: 권오남 외 / 교학사 / 2020 / p.65, 66 • 수학: 홍성복 외 / 지학사 / 2020 / p.73, 74 • 수학Ⅰ: 고성은 외 / 좋은책신사고 / 2020 / p.70, 73 • 수학Ⅰ: 황선욱 외 / 미래엔 / 2021 / p.75, 78 • 수학Ⅱ: 고성은 외 / 좋은책신사고 / 2024 / p.11, 31, 55 • 수학Ⅱ: 이준열 외 / 천재교육 / 2024 / p.12, 31, 55 • 미적분: 김원경 외 / 비상교육 / 2020 / p.76, 80 • 미적분: 류희찬 외 / 천재교과서 / 2020 / p.97, 104
하위문항 【2-1】·【2-2】·【2-3】	• [10수학01-11] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. • [12수학Ⅰ02-02] 삼각함수의 뜻을 알고, 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수의 그래프를 그릴 수 있다.
하위문항 【2-4】	• [12수학Ⅱ01-01] 함수의 극한의 뜻을 안다. • [12수학Ⅱ01-03] 함수의 연속의 뜻을 안다. • [12수학Ⅱ02-01] 미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다. • [12미적02-06] 함수의 몫을 미분할 수 있다. • [12미적02-07] 합성함수를 미분할 수 있다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문】

[어울림 해설그림 1-2B] 【2-4】 $t=1$에서 좌·우극한 $1$ 및 좌·우미분계수 $-3$ 일치 확인

$x = \cos\theta$ ($0 \le \theta \lt 2\pi$), $h(x) = \{g(\theta)\}^2$이라 하면, $-1 \le x \le 1$이고

$$h(x) = (4x - 3t)^2 + 4t^2(1 - x^2) = 4(4 - t^2)x^2 - 24tx + 13t^2$$

이므로 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값의 양의 제곱근이 $f(t)$가 된다. 제시문 [가]를 이용하여, 아래 【2-1】, 【2-2】, 【2-3】의 예시답안에서 $t = 1$, $0 \lt t \lt 1$, $t \gt 1$인 경우에 대하여 $f(t)$를 각각 구한다.

【2-1】 $t = 1$이라고 하면,

$$h(x) = 12x^2 - 24x + 13 = 12(x - 1)^2 + 1$$

이므로 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $1$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 따라서 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$는 최솟값 $h(1) = 1$을 가진다. 그러므로

$$f(1) = \sqrt{1} = 1$$

【2-2】 $0 \lt t \lt 1$이라고 하자. 그러면 $4 - t^2 \gt 0$이고

$$h(x) = 4(4 - t^2)\left(x - \frac{3t}{4 - t^2}\right)^2 + \frac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}$$

이므로 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $\dfrac{3t}{4 - t^2}$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 또한 $t^2 + 3t - 4 = (t - 1)(t + 4) \lt 0$이므로 $0 \lt \dfrac{3t}{4 - t^2} \lt 1$이다. 따라서 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값은 $h\left(\dfrac{3t}{4 - t^2}\right) = \dfrac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}$ 따라서

$$f(t) = \frac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}}$$

【2-3】 $t \gt 1$이라고 하자. 이때 $t^2 + 3t - 4 = (t - 1)(t + 4) \gt 0$이다.
(i) $t = 2$인 경우: $h(x) = -48x + 52$이므로 함수 $h(x)$는 기울기가 $-48$인 일차함수이다. 따라서 구간 $[-1, 1]$에서의 함수 $h(x)$는 최솟값 $h(1) = 4$를 가진다. 따라서 $f(2) = \sqrt{4} = 2$
(ii) $1 \lt t \lt 2$인 경우: $h(x) = 4(4 - t^2)\left(x - \dfrac{3t}{4 - t^2}\right)^2 + \dfrac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}$ 이므로 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $\dfrac{3t}{4 - t^2}$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. $\dfrac{3t}{4 - t^2} \gt 1$이므로 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값은 $h(1) = (4 - 3t)^2$이다. 따라서 $f(t) = \sqrt{(4 - 3t)^2} = |4 - 3t|$
(iii) $t \gt 2$인 경우: 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $\dfrac{3t}{4 - t^2}$이고 최고차항의 계수가 음인 이차함수이다. $\dfrac{3t}{4 - t^2} \lt 0$이므로 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값은 $h(1) = (4 - 3t)^2$이다. 그러므로 $f(t) = \sqrt{(4 - 3t)^2} = |4 - 3t|$
(i), (ii), (iii)을 종합하면, $t \gt 1$일 때, $f(t) = |4 - 3t|$

【2-4】 문항 【2-1】~【2-3】의 예시답안으로부터 $f(t) = \begin{cases} \dfrac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} & (0 \lt t \lt 1) \\quad 4 - 3t & \left(1 \le t \lt \dfrac{4}{3}\right) \end{cases}$
(i) $t = 1$에서의 연속성을 조사하면, $\lim\limits_{t \to 1-} f(t) = \lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} = 1, \quad \lim\limits_{t \to 1+} f(t) = \lim\limits_{t \to 1+} (4 - 3t) = 1, \quad f(1) = 1$ 이므로 제시문 [나]와 [다]에 의해, 함수 $f(t)$는 $t = 1$에서 연속이다.
(ii) 함수 $f(t)$의 $t = 1$에서의 미분가능성을 조사한다. 우선 $\lim\limits_{t \to 1+} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \lim\limits_{t \to 1+} \dfrac{(4 - 3t) - 1}{t - 1} = -3$
또한, $0 \lt t \lt 1$일 때

$$\frac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \frac{1}{t - 1}\left(\frac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} - 1\right) = \frac{t\sqrt{16 - 13t^2} - \sqrt{4 - t^2}}{(t - 1)\sqrt{4 - t^2}} = \frac{t^2(16 - 13t^2) - (4 - t^2)}{(t - 1)\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)} = \frac{(4 - 13t^2)(t + 1)}{\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)}$$

이므로 $\lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{(4 - 13t^2)(t + 1)}{\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)} = -3$ 따라서 제시문 [나]와 [라]에 의하여, 함수 $f(t)$는 $t = 1$에서 미분가능하다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
t=1일 때 삼각치환을 통해 f(1) = 0 정확히 계산	6점
0 < t < 1 구간에서 꼭짓점 조건에 따른 f(t) 유도	6점
t > 1 구간에서 f(t) 식 논리적 도출	6점
t=1에서 미분계수 정의를 통한 연속성 및 미분가능성 증명 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경계점에서의 미분가능성 증명 시 도함수의 극한이 아닌 미분계수의 정의 식을 명시하여 서술해야 감점을 피할 수 있습니다.

[최종 정답] 【2-1】 f(1) = 0, 【2-2】 f(t) 구간식 유도, 【2-3】 f(t) = 0, 【2-4】 f'(1) = 0 미분가능 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 타원의 정의와 초점 거리, 피타고라스 정리, 코사인법칙, 삼각함수의 덧셈정리

⏱️ 40분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } a \gt c \gt 0, \; b^2 = a^2 - c^2)$$

[나] 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$

[다] $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \quad \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

[어울림 그림 2-1] 타원 $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(\angle\mathrm{F'PF}=90^\circ)$와 점 $\mathrm{Q}(\angle\mathrm{F'FQ}=135^\circ)$에서의 접선 및 $\angle\mathrm{FQR}=\theta$

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

두 초점이 $\mathrm{F}(\sqrt{3}b, 0), \mathrm{F}'(-\sqrt{3}b, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킨다. 문항 【1-1】과 【1-2】에 답하시오. (단, $b \gt 0$이고 $x_1 \gt 0, y_1 \gt 0$)

【1-1】 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1$이고 $\overline{\mathrm{FP}} = l_2$라고 할 때, $l_1$과 $l_2$의 곱 $l_1 l_2$를 구하시오. 또한 $l_1$과 $l_2$를 각각 구하시오.

【1-2】 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

두 초점이 $\mathrm{F}(\sqrt{3}b, 0), \mathrm{F}'(-\sqrt{3}b, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$가 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{FQ} = 135^\circ$를 만족시킨다. 문항 【1-3】과 【1-4】에 답하시오. (단, $b \gt 0$이고 $x_2 \gt 0, y_2 \gt 0$)

【1-3】 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} = l_3$이고 $\overline{\mathrm{FQ}} = l_4$라고 할 때, $l_3$과 $l_4$를 각각 구하시오.

【1-4】 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. $\angle\mathrm{FQR} = \theta$라고 할 때, $\tan\theta$를 구하시오.

📖 [교과서 DB 1:1 매칭 실전 연습 3] 기하·미적분Ⅱ — 타원의 초점 직각삼각형과 접선의 덧셈정리 (12기하01-02, 12미적Ⅱ-01-03) 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭

교과서 DB 연계: 좋은책신사고(고성은) 기하 Ⅰ-1. 타원의 방정식 & 비상교육(김원경) 미적분Ⅱ 삼각함수의 덧셈정리

두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$가 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킬 때, $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}}\cdot\overline{\mathrm{FP}}$의 값과 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 $x$절편을 구하시오.

교과서 1:1 매칭 연습문제를 스스로 푼 뒤 버튼을 눌러 3단계 풀이를 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

타원의 장축의 길이는 $2a = 6$, 초점 거리 $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$이다. $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1, \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 하면 타원의 정의에 의해 $l_1 + l_2 = 6$이고 피타고라스 정리에 의해 $l_1^2 + l_2^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$이다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

$(l_1 + l_2)^2 - 2l_1 l_2 = 36 - 2l_1 l_2 = 20$으로부터 $l_1 l_2 = 8$이다. 또한 직각삼각형 넓이 관계 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = \dfrac{1}{2}(2c)y_1$에서 $y_1 = \dfrac{4}{\sqrt{5}}$이고, 타원 식에 대입하면 $x_1 = 3\sqrt{1 - \dfrac{16}{20}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}$이다.

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

점 $\mathrm{P}\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{9} + \dfrac{y_1 y}{4} = 1$이므로 $y = 0$을 대입하면 접선의 $x$절편은 $x = \dfrac{9}{x_1} = 3\sqrt{5}$이다.

✅ 연습문제 최종 정답 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}}\cdot\overline{\mathrm{FP}} = 8, \quad \text{접선의 } x\text{절편: } 3\sqrt{5}$

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03) PDF p.11 탐구 817 변형 | 성취기준: 12대수03-06 (귀납적 정의)]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$의 두 초점 $\mathrm{F, F'}$과 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\angle \mathrm{FPF'}=90^\circ$일 때 삼각형 $\mathrm{PFF'}$의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $l_1+l_2=10$, $l_1^2+l_2^2=(2c)^2=36$. $(l_1+l_2)^2 = l_1^2+l_2^2+2l_1 l_2 = 100 \implies 2l_1 l_2 = 64 \implies S = \frac{1}{2}l_1 l_2 = 16$이다.
※ 해설 가이드: 타원의 정의와 피타고라스 정리의 대수적 결합을 통한 삼각형 넓이 계산 서술.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 타원의 정의와 초점 삼각형 직각 조건에 따른 거리 계산 및 탄젠트 덧셈정리를 통한 $\tan\theta$ 도출.
교과서 연계:

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03) PDF p.11 탐구 817 변형 | 성취기준: 12대수03-06 (귀납적 정의)]

【문제 1 요약】 타원의 정의와 초점 삼각형 직각 조건에 따른 거리 계산 및 탄젠트 덧셈정리를 통한 $\tan\theta$ 도출.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 2-1A] 타원 $\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$와 초점 삼각형

[7.3 출제 의도]
• 주어진 조건에 맞는 타원을 좌표평면 위에 그릴 수 있는지 평가한다.
• 타원에 대한 기본적인 성질을 이용하고 이를 이용하여 타원 위의 점들과의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
• 수직인 두 직선의 기울기의 곱을 알고 있는지 평가한다.
• 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 이를 적절히 구할 수 있는지 평가한다.
[7.6 채점 기준]
∎ 문항 【1-1】은 제시문 [가]의 타원의 정의로부터 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 두 초점까지의 거리의 합을 구하고 직각삼각형의 피타고라스 정리를 이용하여 두 거리의 곱을 구할 수 있는지 평가한다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 각 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-2】는 두 직선이 수직일 때 두 직선의 기울기의 곱이 $-1$임을 이용하여 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-3】은 점 $\mathrm{Q}$와 두 초점으로 이루어진 삼각형에 대하여 코사인법칙을 적용하여 점 $\mathrm{Q}$에서 두 초점까지의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-4】는 제시문 [나]의 공식을 이용하여 점 $\mathrm{Q}$에서 접선의 방정식을 구하고, 이 접선이 $x$축과 만나는 점, 초점 $\mathrm{F}$, 점 $\mathrm{Q}$로 이루어진 삼각형에 대하여 제시문 [다]의 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트 값을 구할 수 있는지 평가한다.

7.4.1 적용 교육과정 성취기준 및 7.4.2 자료 출처 (원문 p.91~92)

문항 및 제시문	학습내용 성취기준 (원문 7.4.1)	교과서 출처 (교과서명 / 저자 / 발행처 / 연도 / 쪽수)
제시문 전체	• [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다. • [12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다. • [12미적02-03] 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.	• 수학: 고성은 외 / 좋은책 신사고 / 2021 / p.124 • 수학: 이준열 외 / 천재교육 / 2021 / p.130 • 수학Ⅰ: 류희찬 외 / 천재교과서 / 2022 / p.102 • 수학Ⅰ: 박교식 외 / 동아출판 / 2021 / p.89~90 • 미적분: 권오남 / 교학사 / 2024 / p.67 • 미적분: 황선욱 외 / 미래엔 / 2020 / p.67 • 기하: 권오남 외 / 교학사 / 2024 / p.21, 43 • 기하: 홍성복 외 / 지학사 / 2021 / p.17, 42
하위문항 【1-1】	• [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.
하위문항 【1-2】	• [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다. • [10수학02-04] 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.
하위문항 【1-3】	• [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다. • [12수학Ⅰ02-03] 사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
하위문항 【1-4】	• [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다. • [12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다. • [12미적02-03] 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문】

2025 서강대 2차 1번 1-3, 1-4 접선과 각도 덧셈정리 해설 그림

[어울림 해설그림 2-1B] 【1-4】 점 $\mathrm{Q}$에서 내린 수선의 발 $\mathrm{S}(x_2,0)$, $\angle\mathrm{QRS}=\alpha$와 $\theta = 135^\circ - \alpha$

【1-1】 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$가 직각 삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 $l_1^2 + l_2^2 = (2\sqrt{3}b)^2 = 12b^2$이다. 따라서

$$(l_1 + l_2)^2 - 2l_1 l_2 = l_1^2 + l_2^2 = 12b^2$$

이다. 타원의 정의에 의하여 $l_1 + l_2 = 4b$이므로, $(4b)^2 - 2l_1 l_2 = 12b^2$이고 $l_1 l_2 = 2b^2$이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 $l_1$과 $l_2$는 $t$에 관한 이차방정식 $t^2 - (4b)t + 2b^2 = 0$의 근이다. 이를 풀면, $t = 2b \pm \sqrt{2}b$이고 $l_1 \gt l_2$이므로

$$l_1 = (2 + \sqrt{2})b, \qquad l_2 = (2 - \sqrt{2})b$$

【1-2】 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$가 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위에 있으므로

$$\frac{x_1^2}{4b^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \quad \text{--- (a)}$$

$\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$이므로 두 점 $\mathrm{F}'$와 $\mathrm{P}$를 지나는 직선의 기울기 $\dfrac{y_1}{x_1 + \sqrt{3}b}$과 두 점 $\mathrm{F}$와 $\mathrm{P}$를 지나는 직선의 기울기 $\dfrac{y_1}{x_1 - \sqrt{3}b}$은 $\dfrac{y_1}{x_1 + \sqrt{3}b} \times \dfrac{y_1}{x_1 - \sqrt{3}b} = -1$을 만족시킨다. 따라서

$$x_1^2 = 3b^2 - y_1^2 \quad \text{--- (b)}$$

식 (b)를 식 (a)에 대입하면 $\dfrac{3b^2 - y_1^2}{4b^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1$이므로 $3y_1^2 = b^2$이다. $y_1 \gt 0$이므로 $y_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}b$이고 식 (b)에 대입하면 $x_1^2 = 3b^2 - y_1^2 = 3b^2 - \dfrac{1}{3}b^2 = \dfrac{8}{3}b^2$이다. $x_1 \gt 0$이므로 $x_1 = \sqrt{\dfrac{8}{3}}b = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}b$ 이다. 따라서

$$(x_1, y_1) = \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}b, \; \frac{\sqrt{3}}{3}b\right)$$

【1-3】 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{FQ} = 135^\circ$이다. 삼각형 $\mathrm{QF}'\mathrm{F}$에 코사인법칙을 적용하면

$$l_3^2 = l_4^2 + (2\sqrt{3}b)^2 - 2l_4(2\sqrt{3}b)\cos 135^\circ = l_4^2 + 12b^2 + 2\sqrt{6}b l_4$$

$l_3 + l_4 = 4b$이므로 $l_3 = 4b - l_4$를 위의 식에 대입하면 $(4b - l_4)^2 = l_4^2 + 12b^2 + 2\sqrt{6}b l_4$이고 좌변을 전개한 후 계산하면 $l_4 = \dfrac{4}{8 + 2\sqrt{6}}b = \dfrac{4 - \sqrt{6}}{5}b$이고 $l_3 = \dfrac{16 + \sqrt{6}}{5}b$이다.

【1-4】 두 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$와 $\mathrm{F}(c, 0)$을 지나는 직선은 기울기가 $\tan 45^\circ = 1$이므로 $y = x - \sqrt{3}b$이다. 따라서 $y_2 = x_2 - \sqrt{3}b \text{ --- (c)}$
또한 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$는 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위에 있으므로 $\dfrac{x_2^2}{4b^2} + \dfrac{y_2^2}{b^2} = 1 \text{ --- (d)}$을 만족시킨다. 식 (c)를 (d)에 대입하여 정리하면 $5x_2^2 - 8\sqrt{3}b x_2 + 8b^2 = 0$이므로 이차방정식의 근의 공식에 의해 $x_2 = \dfrac{1}{5}(4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{2})b$이다. $x_2 \gt \sqrt{3}b$이어야 하므로 $x_2 = \dfrac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{5}b$이고 식 (c)에 대입하면 $y_2 = \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}b$이다. 따라서 $\mathrm{Q}(x_2, y_2) = \mathrm{Q}\left(\dfrac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{5}b, \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}b\right)$
제시문 [나]에 의하여 점 $\mathrm{Q}$에서 접선의 방정식은 $\dfrac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{10b}x + \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5b}y = 1$
$y = 0$일 때 $x = (2\sqrt{3} - \sqrt{2})b$이므로 점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 $x_3 = (2\sqrt{3} - \sqrt{2})b$이다. 점 $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 점 $\mathrm{S}(x_2, 0)$라 하고 $\angle\mathrm{QRS} = \alpha$라고 하면 $\tan\alpha = \dfrac{y_2}{x_3 - x_2} = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$이다. $\theta = 135^\circ - \alpha$이므로 제시문 [다]로부터

$$\tan\theta = \tan(135^\circ - \alpha) = \frac{\tan 135^\circ - \tan\alpha}{1 + \tan 135^\circ \tan\alpha} = \frac{-1 - \tan\alpha}{1 - \tan\alpha} = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{3}$$

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
타원의 정의와 피타고라스 정리를 통한 l1, l2 계산	6점
기울기 수직 조건 및 타원 방정식을 활용하여 점 P의 좌표 결정	6점
초점 삼각형 코사인법칙 적용을 통한 l3, l4 길이 계산	6점
접선의 방정식과 탄젠트 덧셈정리를 통한 각도 계산 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

타원의 기하학적 정의와 대수적 방정식을 연립할 때 미지수 소거 과정을 명확히 밝히십시오.

[최종 정답] 【1-1】 l1=(2+√2)b, l2=(2-√2)b, 【1-2】 P((2√6/3)b, (√3/3)b), 【1-3】 l3, l4 도출, 【1-4】 tan θ = √3/2 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학, 수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 삼각함수 절댓값 결합 함수, 정적분의 주기성, 미분불가능성, 합성함수 미분법

⏱️ 40분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \lt f(x_2)$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 증가한다고 한다.
또 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \gt f(x_2)$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 감소한다고 한다.

[나] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때
① 열린구간 $(a, b)$에서 $f'(x) \gt 0$이면 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가한다.
② 열린구간 $(a, b)$에서 $f'(x) \lt 0$이면 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 감소한다.

[다] 함수 $y = f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $a + \Delta x$까지 변할 때, 평균변화율은

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

이다. 여기서 $\Delta x \to 0$일 때, 평균변화율의 극한값

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

가 존재하면 함수 $y = f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 $y = f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 함수 $y = f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

2025 서강대 자연 2차 2번 g(x)=x+|cos x|와 직선의 교점

[어울림 그림 2-2] $g(x) = x + |\cos x|$의 그래프와 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$를 지나는 직선 $y = k\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}$

[원문 PDF p.99 조건 박스 스크린샷 (어울림)]

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(i) $f(x) \le g(x)$ (ii) $\{g(x) - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1$

【2-1】 함수 $f(x)$가 $f(x) = 10x$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

【2-2】 함수 $f(x)$가 $f(x) = x$일 때, 함수 $g(x)$가 열린구간 $(0, \pi)$에서 미분가능한지 조사하시오. 또한 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 증가함을 보이시오.

【2-3】 함수 $f(x)$가 $f(x) = x$일 때, 방정식 $g(x) - kx + \dfrac{\pi}{2}(k - 1) = 0$이 $0 \le x \le \pi$에서 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 양의 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

【2-4】 함수 $g(x)$가 $g(x) = x$일 때, $f'(a) = \dfrac{2}{3}$를 만족시키는 실수 $a$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1\right)$

📖 [교과서 DB 1:1 매칭 실전 연습 4] 미적분Ⅱ — 주기함수의 정적분과 음함수·합성함수의 미분법 (12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-03-02) 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭

교과서 DB 연계: 지학사(홍성복) 미적분Ⅱ Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 & 미래엔(황선욱) 미적분Ⅱ Ⅲ-2. 정적분의 활용

모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$이고 $\{g(x) - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1$을 만족시키는 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여, $f(x) = 6x$일 때 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

교과서 1:1 매칭 연습문제를 스스로 푼 뒤 버튼을 눌러 3단계 풀이를 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

조건 $\{g(x) - f(x)\}^2 = 1 - \sin^2 f(x) = \cos^2 f(x)$와 $g(x) \ge f(x)$에 의하여 $g(x) = f(x) + |\cos f(x)|$이다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

$f(x) = 6x$를 대입하면 $g(x) = 6x + |\cos 6x|$이므로 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} 6x\,dx + \int_{0}^{\pi} |\cos 6x|\,dx = \left[3x^2\right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} |\cos 6x|\,dx$이다.

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

함수 $y = |\cos 6x|$는 주기가 $\dfrac{\pi}{6}$인 주기함수이므로 구간 $[0, \pi]$에서 $6$개의 주기가 반복된다. 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} |\cos 6x|\,dx = 12\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \cos 6x\,dx = 12\cdot\dfrac{1}{6} = 2$이므로 구하는 정적분의 값은 $3\pi^2 + 2$이다.

✅ 연습문제 최종 정답 $3\pi^2 + 2$

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.12 탐구 818 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02 (치환적분)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x+|\sin x|$에 대하여 $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)dx$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_0^{2\pi} x dx + \int_0^{2\pi} |\sin x|dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{2\pi} + 2\int_0^\pi \sin x dx = 2\pi^2 + 4$이다.
※ 해설 가이드: 절댓값 기호를 포함한 함수의 구간별 적분 및 주기성 활용 원리를 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 함수 $g(x)=f(x)+|\cos f(x)|$의 주기적 정적분($5\pi^2+2$), 첨점 미분불가능성, 유일 실근 기울기 범위 및 합성함수 미분.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.12 탐구 818 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02 (치환적분)]

【문제 2 요약】 함수 $g(x)=f(x)+|\cos f(x)|$의 주기적 정적분($5\pi^2+2$), 첨점 미분불가능성, 유일 실근 기울기 범위 및 합성함수 미분.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 2-2A] 【2-1】 주기가 $\frac{\pi}{10}$인 $y=|\cos 10x|$의 $[0, \pi]$ 정적분

[8.3 출제 의도]
• 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.
• 미분계수의 정의를 이용하여 함수의 미분가능성을 조사할 수 있는지, 도함수를 활용하여 함수의 증가 또는 감소를 판단할 수 있는지 평가한다.
• 도함수를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지 평가한다.
• 합성함수의 미분법 및 삼각함수 미분을 활용하여 함수 $f(x)$의 미분계수가 특정한 값이 되는 $x$의 값을 구할 수 있는지 평가한다.
[8.6 채점 기준]
∎ 문항 【2-1】은 조건을 만족하는 함수 $g(x)$를 구하고 다항함수 및 삼각함수의 적분법 및 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-2】는 제시문 [다]를 바탕으로 미분계수의 정의로부터 구간에서의 함수의 미분가능성을 조사하고 제시문 [나]를 이용하여 함수 $g(x)$가 증가함수임을 보일 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-3】은 도함수를 활용하여 주어진 구간에서 방정식이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 양의 실수 $k$의 범위를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-4】는 조건을 만족하는 함수 $f(x)$에 대하여 합성함수의 미분법을 활용하여 미분계수 $f'(a)$가 $\dfrac{2}{3}$가 되는 실수 $a$의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항이다. 특히, 함수 $f(x)$를 직접 구하지 않고 합성함수 미분법을 이용하여 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$를 구하고 $f'(a) = \dfrac{2}{3}$의 값을 갖는 $a$의 값을 주어진 범위에서 찾을 수 있는지 평가한다.

8.4.1 적용 교육과정 성취기준 및 8.4.2 자료 출처 (원문 p.99~100)

문항 및 제시문	학습내용 성취기준 (원문 8.4.1)	교과서 출처 (교과서명 / 저자 / 발행처 / 연도 / 쪽수)
제시문 / 【2-1】	• [12수학Ⅱ02-08] 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 판정 • [12수학Ⅱ02-01] 미분계수의 뜻과 값 • [12수학Ⅰ02-02] 삼각함수의 그래프 • [12수학Ⅱ03-04] 다항함수의 정적분 • [12미적03-03] 여러 가지 함수의 정적분	• 수학Ⅰ: 이준열 외(천재 2021 p.82, 91), 박교식 외(동아 2021 p.72, 82) • 수학Ⅱ: 고성은 외(신사고 p.53~124), 김원경 외(비상 p.51~117), 배종숙 외(금성 p.55~126), 이준열 외(천재 p.53~124), 홍성복 외(지학사 p.54~132), 황선욱 외(미래엔 p.53~125) • 미적분: 김원경 외(비상 p.67~124), 권오남 외(교학사 p.74~143), 류희찬 외(천재 p.80~159), 홍성복 외(지학사 p.73~142)
【2-2】~【2-4】	• [12미적02-05] 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다. • [12미적02-13] 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다. • [12미적02-07] 합성함수를 미분할 수 있다.

8.7 답안 사례 (1/2) — 공통 식 및 【2-1】·【2-2】 (원문 p.104~105)

공식 답안 사례(【2-1】·【2-2】)를 확인하려면 우측 버튼을 클릭하세요.

주어진 조건에 의해, $g(x) = f(x) + \sqrt{1 - \sin^2 f(x)} = f(x) + |\cos f(x)|$이다.

【2-1】 $f(x) = 10x$이므로 $g(x) = 10x + |\cos 10x|$이고 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} (10x + |\cos 10x|)\,dx = 5\pi^2 + \int_{0}^{\pi} |\cos 10x|\,dx$
$y = |\cos 10x|$는 주기가 $\dfrac{\pi}{10}$인 주기함수이므로 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} |\cos 10x|\,dx = 10\int_{0}^{\frac{\pi}{10}} |\cos 10x|\,dx = 10\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{20}} \cos 10x\,dx - \int_{\frac{\pi}{20}}^{\frac{\pi}{10}} \cos 10x\,dx\right) = 2$
따라서 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx = 5\pi^2 + 2$

【2-2】 $g(x) = x + |\cos x| = \begin{cases} x + \cos x & \left(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\right) \\ x - \cos x & \left(\dfrac{\pi}{2} \lt x \le \pi\right) \end{cases}$ 이므로 함수 $g(x)$는 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$와 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$에서 미분가능하다. $x = \dfrac{\pi}{2}$에서의 미분가능성을 조사하면 $\lim\limits_{h \to 0-} \dfrac{g\left(\frac{\pi}{2} + h\right) - g\left(\frac{\pi}{2}\right)}{h} = \lim\limits_{h \to 0-} \dfrac{h - \sin h}{h} = 0, \quad \lim\limits_{h \to 0+} \dfrac{g\left(\frac{\pi}{2} + h\right) - g\left(\frac{\pi}{2}\right)}{h} = \lim\limits_{h \to 0+} \dfrac{h + \sin h}{h} = 2$ 이므로 제시문 [다]에 의해 $x = \dfrac{\pi}{2}$에서 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$는 닫힌구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 연속이고 열린구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 $g'(x) = 1 - \sin x \gt 0$이므로 제시문 [나]에 의해 닫힌구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 증가한다. 또한, $g(x)$는 닫힌구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 연속이고 열린구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$에서 $g'(x) = 1 + \sin x \gt 0$이므로, 닫힌구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 증가한다. 따라서 $g(x)$는 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 증가한다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문】

[원문 p.105 증감표 스크린샷 (어울림)] $0 \lt k \lt 1$일 때 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$에서 $h(x)$의 증감

[원문 p.106 증감표 스크린샷 (어울림)] $1 \lt k \lt 2$일 때 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 $h(x)$의 증감

【2-3】 $h(x) = g(x) - kx + \dfrac{\pi}{2}(k - 1)$이라고 하자. $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} = 0$이므로 $x = \dfrac{\pi}{2}$는 방정식 $h(x) = 0$의 근이다. 따라서 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$와 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 방정식 $h(x) = 0$의 근이 존재하지 않는 양의 실수 $k$의 범위를 구하면 된다.

(1) 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$의 경우: $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$이면 $h'(x) = 1 - \sin x - k$이다.
(1-1) $k \ge 1$일 때, 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 $h'(x) \lt 0$이므로 함수 $h(x)$는 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 감소한다. 따라서 $0 \le x \lt \dfrac{\pi}{2}$일 때, $h(x) \gt h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖지 않는다.
(1-2) $0 \lt k \lt 1$일 때, $h'(\alpha) = 1 - \sin\alpha - k = 0$이 되는 $\alpha$가 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에 존재하고 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 함수 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$	$1 + \dfrac{\pi}{2}(k-1)$	$\nearrow$	$h(\alpha)$	$\searrow$	$0$

$0 \lt k \le 1 - \dfrac{2}{\pi}$이면 $h(0) \le 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$이 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖는다. $1 - \dfrac{2}{\pi} \lt k \lt 1$이면 $h(0) \gt 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$이 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖지 않는다. 따라서 (1-1)과 (1-2)에 의해 $k \gt 1 - \dfrac{2}{\pi}$일 때, 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖지 않는다.

(2) 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$의 경우: $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$에서 $h'(x) = 1 + \sin x - k$이다.
(2-1) $0 \lt k \le 1$일 때, 함수 $h(x)$는 구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 증가하므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.
(2-2) $k \ge 2$일 때, 함수 $h(x)$는 구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 감소하므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.
(2-3) $1 \lt k \lt 2$일 때, $h'(\beta) = 1 + \sin\beta - k = 0$이 되는 $\beta$가 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$에 존재하고 구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 함수 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$\pi$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$	$0$	$\nearrow$	$h(\beta)$	$\searrow$	$1 + \dfrac{\pi}{2}(1-k)$

$1 + \dfrac{2}{\pi} \le k \lt 2$이면 $h(\pi) \le 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖는다. $1 \lt k \lt 1 + \dfrac{2}{\pi}$이면 $h(\pi) \gt 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다. 따라서 (2-1), (2-2), (2-3)에 의해 $0 \lt k \lt 1 + \dfrac{2}{\pi}$ 또는 $k \ge 2$일 때, 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.
경우 (1)과 (2)에 의해 방정식 $h(x) = 0$이 구간 $[0, \pi]$에서 오직 한 개의 근을 갖는 양의 실수 $k$의 값의 범위는

$$1 - \frac{2}{\pi} \lt k \lt 1 + \frac{2}{\pi} \quad \text{또는} \quad k \ge 2$$

【2-4】 $g(x) = x$이므로 $x = f(x) + |\cos f(x)|$이다. $\{x - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1$의 양변을 $x$로 미분하면 $2\{x - f(x)\}\{1 - f'(x)\} + 2f'(x)\sin f(x)\cos f(x) = 0$이고, $x - f(x) = |\cos f(x)|$이므로 $|\cos f(x)|\{1 - f'(x)\} + f'(x)\sin f(x)\cos f(x) = 0$이다. 따라서 $x = a$와 $f'(a) = \dfrac{2}{3}$를 대입하면 $|\cos f(a)| + 2\sin f(a)\cos f(a) = 0$이고 만약 $\cos f(x)$가 $0$이 아니면 $f'(x) = \dfrac{|\cos f(x)|}{|\cos f(x)| - \sin f(x)\cos f(x)}$이다.
(1) $\cos f(a) = 0$이면 $f(a) = a - |\cos f(a)| = a$이므로 $\cos a = 0$이 된다. 하지만 $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1$에서 $\cos a = 0$이 되는 $a$는 존재하지 않는다.
(2) $\cos f(a) \gt 0$이면 $\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{1 - \sin f(a)}$이므로 $\sin f(a) = -\dfrac{1}{2}$이고 $\cos f(a) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 한편 $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1$이고 $f(a) = a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt f(a) \lt \pi + 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 하지만 이 범위에서 $\sin f(a) = -\dfrac{1}{2}$과 $\cos f(a) \gt 0$을 모두 만족시키는 $f(a)$는 존재하지 않는다.
(3) $\cos f(a) \lt 0$일 때, $\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{1 + \sin f(a)}$이므로 $\sin f(a) = \dfrac{1}{2}$이고 $\cos f(a) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 한편 $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1$이고 $f(a) = a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt f(a) \lt \pi + 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 따라서 $f(a) = \dfrac{5\pi}{6}$이고

$$a = f(a) + |\cos f(a)| = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
주기성을 활용한 치환적분으로 정적분 값 5π^2 + 2 계산	6점
미분계수의 정의 및 도함수를 활용하여 증가함수 및 미분가능성 증명	6점
도함수 부호 조사 및 증감표를 활용하여 유일 실근 k의 범위 도출	6점
합성함수 미분법을 올바르게 적용하여 실수 a의 값 계산 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값이 포함된 함수의 미분가능성은 반드시 좌미분계수와 우미분계수를 각각 수식으로 명시하여 비교하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 5π^2 + 2, 【2-2】 미분불가능 및 증가함수 증명, 【2-3】 1-2/π < k < 1+2/π, 【2-4】 a = 3π/8 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 삼차함수의 그래프, 변곡점에서의 접선, 접선의 개수, 함수의 극대와 극소

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 삼차함수 $f(x)$의 그래프 밖의 점에서 그은 접선의 개수는 변곡점에서의 접선과 곡선 자체에 의해 영역이 구분된다.

[나] 함수 $f(x)$가 극값을 가질 조건은 도함수 $f'(x)=0$이 서로 다른 실근을 갖고 부호가 바뀌는 것이다.

[논제]

【1-1】 삼차함수 $f(x)=x^3-3x$의 변곡점의 좌표와 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하시오. [8점]

【1-2】 점 $(a, b)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선이 오직 1개 존재하기 위한 점 $(a, b)$의 영역을 구하시오. [8점]

【1-3】 점 $(0, k)$에서 그은 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 탐구 819 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07 (극대와 극소)]

【유사 연습 문제】 점 $(0, a)$에서 곡선 $y=x^3-3x^2+2$에 그은 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 상수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접점 $(t, t^3-3t^2+2)$에서의 접선이 $(0,a)$를 지나므로 $a = -2t^3+3t^2+2$. 이 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 극댓값 3, 극솟값 2 사이인 $2 \lt a \lt 3$이다.
※ 해설 가이드: 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 세우고 실근의 개수로 환원하는 과정을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 삼차함수 변곡점 접선($y=-3x$), 접선의 개수 영역 판정 및 3개 접선 조건($-2 \lt k \lt 2$).
교과서 연계:

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 탐구 819 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07 (극대와 극소)]

【문제 1 요약】 삼차함수 변곡점 접선($y=-3x$), 접선의 개수 영역 판정 및 3개 접선 조건($-2 \lt k \lt 2$).

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$f'(x)=3x^2-3, f''(x)=6x$. $f''(x)=0$에서 변곡점은 $(0, 0)$이다.
변곡접선의 기울기는 $f'(0)=-3$이므로 접선의 방정식은 $\mathbf{y = -3x}$이다.

【1-2】 풀이
접점 $(t, t^3-3t)$에서 접선은 $y - (t^3-3t) = (3t^2-3)(x-t)$이다.
점 $(a, b)$를 대입하면 $2t^3 - 3at^2 + (b+3a) = 0$. 이 삼차방정식의 실근이 오직 1개인 조건은 변곡접선과 곡선 사이 영역이다.

【1-3】 풀이
$a=0$일 때 $2t^3 + k = 0 \implies t^3 = -k/2$. 문제 조건에 따라 삼차함수 극대·극소 범위를 분석하면 $\mathbf{-2 \lt k \lt 2}$를 얻는다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
이계도함수를 활용하여 변곡점 (0,0) 및 변곡접선 y=-3x 정확히 도출	8점
접점 매개변수 삼차방정식 수립 및 접선 1개 조건 영역 도출	8점
극대·극소 판정을 통한 실수 k의 범위 -2 < k < 2 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

접선의 개수 문제는 접점의 $x$좌표 $t$에 관한 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수 문제로 환원하여 논리적으로 서술하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 변곡점 (0,0), 접선 y = -3x, 【1-2】 영역 서술, 【1-3】 -2 < k < 2 서강대학교 100점 만점 기준 25점

미적분

핵심개념: 지수함수와 로그함수의 미분, 삼각함수의 극한, 치환적분법

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$의 도함수가 연속이면 $\displaystyle\int f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + C$이다.

[나] 삼각함수의 극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \; \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$이다.

[논제]

【2-1】 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x - 2x}{x^2}$의 값을 구하시오. [8점]

【2-2】 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} dx$의 값을 구하시오. [8점]

【2-3】 부등식 $\displaystyle\int_0^x e^{t^2} dt \ge x$가 모든 $x \ge 0$에서 성립함을 도함수를 이용하여 증명하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.16 탐구 820 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02 (치환적분)]

【유사 연습 문제】 $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx$의 값과 극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 치환적분 $\frac{1}{2}\ln 2$와 테일러/도함수 정의에 의해 $\frac{1}{2}$이다.
※ 해설 가이드: 치환적분 변수 변환 및 도함수를 이용한 함수의 증감 판정을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 초월함수 부정형 극한값 계산(5/2), $1+\sin^2 x=t$ 치환적분($\frac{1}{2}\ln 2$), 정적분 함수 부등식 증명.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.16 탐구 820 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02 (치환적분)]

【문제 2 요약】 초월함수 부정형 극한값 계산(5/2), $1+\sin^2 x=t$ 치환적분($\frac{1}{2}\ln 2$), 정적분 함수 부등식 증명.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
식을 분리하면 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2} + \frac{1-\cos x}{x^2}\right)$이다.
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1-2x}{x^2} = \frac{4}{2} = 2$이고 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$이므로 합은 $\mathbf{\frac{5}{2}}$이다.

【2-2】 풀이
$1+\sin^2 x = t$로 치환하면 $2\sin x \cos x dx = dt$이다.
$x=0 \to t=1, x=\pi/2 \to t=2$이므로
$\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{2t} dt = \left[\frac{1}{2}\ln t\right]_1^2 = \mathbf{\frac{1}{2}\ln 2}$이다.

【2-3】 풀이
$h(x) = \displaystyle\int_0^x e^{t^2} dt - x$라 두면 $h(0)=0$이다.
$h'(x) = e^{x^2} - 1$이다. $x \ge 0$일 때 $x^2 \ge 0$이므로 $e^{x^2} \ge 1 \implies h'(x) \ge 0$이다.
따라서 $h(x)$는 $x \ge 0$에서 증가하므로 $h(x) \ge h(0) = 0$이다. 즉 성립한다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
초월함수 극한 식을 분리하여 극한값 5/2 정확히 계산	8점
1+sin^2 x = t 치환적분을 적용하여 (1/2)ln 2 도출	8점
차함수 h(x) 설정 및 도함수 부호 조사를 통한 부등식 증명 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부등식 증명 시 차함수 $h(x)$를 설정하고 $h'(x) \ge 0$과 초기 조건 $h(0)=0$을 연결하는 논리 구조를 명시하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 5/2, 【2-2】 (1/2)ln 2, 【2-3】 h(x)>=0 증명 완결 서강대학교 100점 만점 기준 25점

미적분

핵심개념: 수열의 극한, 등비급수의 수렴과 발산, 부등식과 샌드위치 정리

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le b_n \le c_n$이고 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$이면 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = L$이다.

[나] 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a r^{n-1}$은 $|r| \lt 1$일 때 수렴하고 그 합은 $\dfrac{a}{1-r}$이다.

[논제]

【1-1】 수열 $a_n = \dfrac{2^n + 3^n}{2^{n+1} + 3^{n+1}}$의 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$을 구하시오. [8점]

【1-2】 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x-1}{2}\right)^n$이 수렴하기 위한 실수 $x$의 범위를 구하시오. [8점]

【1-3】 부등식 $\dfrac{n^2}{n^3+n} \le x_n \le \dfrac{n^2}{n^3+1}$을 만족하는 수열 $x_n$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n x_n$의 값을 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 821 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01 (수열의 극한)]

【유사 연습 문제】 수열 $a_n$에 대하여 $3n-1 \le n a_n \le 3n+2$일 때 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 양변을 $n$으로 나누면 $3 - 1/n \le a_n \le 3 + 2/n$이고 극한값은 3이다.
※ 해설 가이드: 샌드위치 정리 및 등비급수 수렴 조건 $-1 < r < 1$ 서술.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 등비수열 극한(1/3), 등비급수 수렴조건($-1 \lt x \lt 3$), 샌드위치 정리를 통한 수열 극한(1).
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 821 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01 (수열의 극한)]

【문제 1 요약】 등비수열 극한(1/3), 등비급수 수렴조건($-1 \lt x \lt 3$), 샌드위치 정리를 통한 수열 극한(1).

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
분모·분자를 밑이 가장 큰 $3^{n+1}$로 나누면:
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3}(2/3)^n + \frac{1}{3}}{2(2/3)^n + 1} = \frac{1/3}{1} = \mathbf{\frac{1}{3}}$이다.

【1-2】 풀이
공비가 $r = \frac{x-1}{2}$이므로 등비급수 수렴 조건은 $-1 \lt \frac{x-1}{2} \lt 1$이다.
양변에 2를 곱하면 $-2 \lt x-1 \lt 2 \iff \mathbf{-1 \lt x \lt 3}$이다.

【1-3】 풀이
각 변에 $n$을 곱하면 $\dfrac{n^3}{n^3+n} \le n x_n \le \dfrac{n^3}{n^3+1}$이다.
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+n} = 1, \; \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+1} = 1$이므로 제시문 [가]에 의해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n x_n = \mathbf{1}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
최고차항 계수 비를 적용하여 등비수열 극한값 1/3 도출	8점
등비급수 수렴조건 $-1 < r < 1$을 정확히 적용하여 $-1 < x < 3$ 도출	8점
샌드위치 정리를 적용하여 극한값 1 증명 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등비급수 수렴 조건에서 등호 제외($-1 \lt r \lt 1$) 여부를 정확히 점검하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 1/3, 【1-2】 -1 < x < 3, 【1-3】 1 서강대학교 100점 만점 기준 25점

미적분

핵심개념: 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법, 음함수의 미분법, 접선의 방정식

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 매개변수 $t$로 나타내어진 함수 $x=f(t), y=g(t)$에 대하여 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$ (단, $f'(t) \neq 0$)이다.

[나] 음함수 $F(x, y)=0$에서 $y$를 $x$의 함수로 보고 양변을 $x$에 대하여 미분한다.

[논제]

【2-1】 매개변수 $x=t-\sin t, y=1-\cos t$로 나타내어진 곡선에 대하여 $t=\pi/2$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [8점]

【2-2】 음함수 $x^2 + xy + y^2 = 3$ 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [8점]

【2-3】 매개변수 곡선에서 속도 벡터의 크기(속력)가 최대가 되는 순간의 가속도를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 822 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01]

【유사 연습 문제】 곡선 $x=t^2+1, y=t^3-t$에 대하여 $t=1$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{dx}{dt}=2t=2, \frac{dy}{dt}=3t^2-1=2 \implies \frac{dy}{dx}=1$. 점은 $(2, 0)$이므로 접선은 $y = x-2$이다.
※ 해설 가이드: 매개변수 미분법 공식 및 접선의 방정식 도출을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 사이클로이드 매개변수 접선($y = x - \pi/2 + 2$), 음함수 미분 접선($y = -x + 2$), 속도와 가속도.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 822 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01]

【문제 2 요약】 사이클로이드 매개변수 접선($y = x - \pi/2 + 2$), 음함수 미분 접선($y = -x + 2$), 속도와 가속도.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
$\dfrac{dx}{dt} = 1-\cos t, \dfrac{dy}{dt} = \sin t$이다.
$t=\pi/2$일 때 $x = \pi/2-1, y = 1$이고, 기울기는 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{1-\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{1} = 1$이다.
따라서 접선은 $y - 1 = 1 \cdot (x - (\pi/2 - 1)) \iff \mathbf{y = x - \frac{\pi}{2} + 2}$이다.

【2-2】 풀이
양변을 $x$에 대하여 미분하면 $2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$이다.
점 $(1, 1)$을 대입하면 $2 + 1 + \frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} = 0 \iff 3\frac{dy}{dx} = -3 \iff \frac{dy}{dx} = -1$.
따라서 접선은 $y - 1 = -1(x - 1) \iff \mathbf{y = -x + 2}$이다.

【2-3】 풀이
속도 벡터 $(1-\cos t, \sin t)$의 크기는 $v(t) = \sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{2-2\cos t}$이다.
$\cos t = -1$일 때 최대 속력 2를 가지므로 $t=\pi$이다.
가속도 벡터는 $(\sin t, \cos t)$이므로 $t=\pi$일 때 가속도는 $(0, -1)$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
매개변수 미분법 공식을 적용하여 사이클로이드 접선 방정식 유도	8점
음함수 미분법을 적용하여 점 (1,1)에서의 접선 y=-x+2 도출	8점
속력 최대 조건 분석 및 가속도 벡터 계산 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

매개변수 미분 시 $dx/dt$와 $dy/dt$의 분모·분자 위치를 혼동하지 않도록 주의하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 y = x - π/2 + 2, 【2-2】 y = -x + 2, 【2-3】 가속도 (0, -1) 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅱ

핵심개념: 함수의 극한과 연속, 미분계수의 정의, 다항함수의 결정

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속일 조건은 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$이다.

[나] 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^n} = \alpha \neq 0$이면 $f(x)$의 최고차항은 $\alpha x^n$이다.

[논제]

【1-1】 다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^2} = 1, \; \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$을 만족할 때, $f(x)$를 구하시오. [8점]

【1-2】 함수 $g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge 1) \\ k(x-1) & (x \lt 1) \end{cases}$ 이 $x=1$에서 미분가능하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [8점]

【1-3】 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.30 탐구 823 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04 (연속함수)]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2}=3, \lim_{x \to 2}\frac{f(x)}{x-2}=4$일 때 $f(3)$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x)=3(x-2)(x-k)$. $\lim_{x \to 2} 3(x-k)=4 \implies 3(2-k)=4 \implies k=2/3$. $f(3)=3(1)(7/3)=7$.
※ 해설 가이드: 다항함수의 차수 및 계수 결정 조건을 차례로 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 다항함수 결정($f(x)=2x^2-x-1$), 미분가능성 계수($k=3$), 이차곡선 둘러싸인 넓이(9/8).
교과서 연계:

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.30 탐구 823 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04 (연속함수)]

【문제 1 요약】 다항함수 결정($f(x)=2x^2-x-1$), 미분가능성 계수($k=3$), 이차곡선 둘러싸인 넓이(9/8).

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
조건에 의해 $f(x)$는 최고차항이 $2x^2$인 이차함수이다.
$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$에서 분모가 0으로 가므로 분자 $f(1)=0$이다. 따라서 $f(x)=2(x-1)(x-c)$로 둘 수 있다.
극한식에 대입하면 $\displaystyle\lim_{x \to 1} 2(x-c) = 2(1-c) = 3 \implies 1-c = \frac{3}{2} \implies c = -\frac{1}{2}$.
따라서 $f(x) = 2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right) = \mathbf{2x^2 - x - 1}$이다.

【1-2】 풀이
$f(1)=0$이고 $x \to 1^-$일 때 $g(1)=0$이므로 연속이다.
우미분계수는 $f'(1) = 4(1)-1 = 3$이고, 좌미분계수는 $k$이다.
미분가능하려면 좌우 미분계수가 일치해야 하므로 $\mathbf{k = 3}$이다.

【1-3】 풀이
$f(x)=0$의 두 근은 $x = -1/2$과 $x = 1$이다.
이차곡선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이 공식에 의해
$S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{2}{6}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^3 = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} = \mathbf{\frac{9}{8}}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
극한 조건을 분석하여 이차함수 f(x)=2x^2-x-1 정확히 결정	8점
좌우 미분계수 일치 조건을 통해 상수 k=3 도출	8점
이차곡선과 x축 사이의 정적분 넓이 9/8 계산 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

다항함수 결정 시 0/0 꼴 부정형의 성질과 미분계수의 기하학적 정의를 명시하여 서술하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 f(x) = 2x^2 - x - 1, 【1-2】 k = 3, 【1-3】 넓이 = 9/8 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 정적분으로 정의된 함수, 평균값 정리, 사잇값 정리

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)dx = f(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

[나] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a)f(b) \lt 0$이면 $f(c)=0$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

[논제]

【2-1】 함수 $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2-2t)dt$의 극값을 구하시오. [8점]

【2-2】 열린구간 $(0, 3)$에서 정적분의 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$의 값을 구하시오. [8점]

【2-3】 방정식 $F(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 탐구 824 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06 (평균값 정리)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x^2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = \frac{9}{3}=3 = 2c \implies c = 3/2$.
※ 해설 가이드: 정적분 미분 및 평균값 정리, 실근 개수 판정 서술.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 정적분 함수 극값(극대 0, 극소 -4/3), 적분의 평균값 정리 만족하는 상수 $c$, 서로 다른 세 실근 조건.
교과서 연계:

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 탐구 824 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06 (평균값 정리)]

【문제 2 요약】 정적분 함수 극값(극대 0, 극소 -4/3), 적분의 평균값 정리 만족하는 상수 $c$, 서로 다른 세 실근 조건.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
$F'(x) = x^2-2x = x(x-2)$이다.
$F'(x)=0$에서 $x=0$에서 극댓값 $F(0)=\mathbf{0}$, $x=2$에서 극솟값 $F(2) = \left[\frac{t^3}{3}-t^2\right]_0^2 = \frac{8}{3}-4 = \mathbf{-\frac{4}{3}}$을 갖는다.

【2-2】 풀이
$\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 (t^2-2t)dt = \frac{1}{3}\left[\frac{t^3}{3}-t^2\right]_0^3 = \frac{1}{3}(9-9) = 0$.
$c^2-2c = 0$에서 $c \in (0, 3)$이므로 $\mathbf{c = 2}$이다.

【2-3】 풀이
$y=F(x)$의 그래프에서 극댓값이 0, 극솟값이 $-4/3$이므로 서로 다른 세 실근 조건은 $\mathbf{-\frac{4}{3} \lt k \lt 0}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
도함수 F'(x)=x(x-2)로부터 극댓값 0, 극솟값 -4/3 정확히 도출	8점
적분의 평균값 정리 공식 적용 및 c=2 계산	8점
극대·극소 조건을 이용한 k의 범위 -4/3 < k < 0 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정적분으로 정의된 함수는 미분과 동시에 아래끝 대입값 $F(0)=0$을 항상 확인하여 그래프를 작성하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 극댓값 0, 극솟값 -4/3, 【2-2】 c = 2, 【2-3】 -4/3 < k < 0 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅰ

핵심개념: 수열의 귀납적 정의, 점화식과 일반항, 시그마의 성질

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 첫째항과 이웃하는 항들 사이의 관계식(점화식)으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$에 대하여 $a_1 = S_1, \; a_n = S_n - S_{n-1} \; (n \ge 2)$이다.

[논제]

【1-1】 $a_1 = 1, \; a_{n+1} = 2a_n + 1$로 정의된 수열의 일반항 $a_n$을 구하시오. [8점]

【1-2】 $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = 1000$을 넘는 최소의 자연수 $n$을 구하시오. [8점]

【1-3】 수열 $\{b_n\}$이 $b_1 = 2, \; b_{n+1} = b_n + 2n$을 만족할 때 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k$를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03) PDF p.14 탐구 825 변형 | 성취기준: 12대수03-06 (귀납적 정의)]

【유사 연습 문제】 수열 $a_1=2, a_{n+1}=3a_n-2$의 일반항을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_{n+1}-1 = 3(a_n-1) \implies a_n-1 = 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1}+1$.
※ 해설 가이드: 점화식 변형 및 등비수열 합 계산 서술.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 선형 점화식 일반항($a_n = 2^n - 1$), 부분합 부등식($n=10$), 계차수열 합 계산.
교과서 연계:

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03) PDF p.14 탐구 825 변형 | 성취기준: 12대수03-06 (귀납적 정의)]

【문제 1 요약】 선형 점화식 일반항($a_n = 2^n - 1$), 부분합 부등식($n=10$), 계차수열 합 계산.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$a_{n+1}+1 = 2(a_n+1)$로 변형하면, 첫째항이 $a_1+1 = 2$이고 공비가 2인 등비수열이다.
따라서 $a_n+1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies \mathbf{a_n = 2^n - 1}$이다.

【1-2】 풀이
$\displaystyle\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \frac{2(2^n-1)}{2-1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$.
$n=9$일 때 $2^{10}-2-9 = 1024-11 = 1013 \gt 1000$이므로 최소 자연수는 $\mathbf{n = 9}$이다.

【1-3】 풀이
계차수열 공식에 의해 $b_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + n(n-1) = n^2-n+2$.
$\sum_{k=1}^{10} (k^2-k+2) = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - \frac{10 \times 11}{2} + 20 = 385 - 55 + 20 = \mathbf{350}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
점화식을 등비수열 꼴로 변형하여 일반항 a_n = 2^n - 1 도출	8점
합 공식 적용 및 부등식 만족 최소 자연수 n=9 계산	8점
계차수열 공식 적용 및 시그마 계산을 통한 합 350 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

점화식 변형 시 특성방정식을 이용한 상수 결정 과정을 생략하지 말고 명시하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 a_n = 2^n - 1, 【1-2】 n = 9, 【1-3】 350 서강대학교 100점 만점 기준 25점

미적분

핵심개념: 초월함수의 그래프, 이계도함수와 변곡점, 점근선과 접선의 개수

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$의 곡선의 오목과 볼록은 $f''(x)$의 부호로 판정한다.

[나] 함수 $f(x)$의 그래프 개형을 그릴 때 점근선 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)$를 조사한다.

[논제]

【2-1】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극값과 변곡점을 구하시오. [8점]

【2-2】 곡선 $y=f(x)$의 점근선을 구하고 그래프의 개형을 그리시오. [8점]

【2-3】 원점을 지나는 직선 $y=mx$와 곡선 $y=f(x)$가 서로 다른 두 점에서 만나는 실수 $m$의 범위를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.30 탐구 826 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-09 (극대와 극소)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x^2 e^{-x}$의 변곡점의 $x$좌표를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}, f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}=0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2}$.
※ 해설 가이드: 도함수와 이계도함수 계산 및 변곡점 판정을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 함수 $f(x)=x e^{-x}$의 극댓값(1/e), 변곡점(2, 2/e^2), 점근선($y=0$), 접선 기울기 범위($0 \lt m \lt 1$).
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.30 탐구 826 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-09 (극대와 극소)]

【문제 2 요약】 함수 $f(x)=x e^{-x}$의 극댓값(1/e), 변곡점(2, 2/e^2), 점근선($y=0$), 접선 기울기 범위($0 \lt m \lt 1$).

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
$f'(x) = (1-x)e^{-x}$이므로 $x=1$에서 극댓값 $f(1) = \mathbf{\frac{1}{e}}$을 갖는다.
$f''(x) = (x-2)e^{-x}$이므로 $x=2$에서 변곡점 $\mathbf{\left(2, \frac{2}{e^2}\right)}$을 갖는다.

【2-2】 풀이
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0$이므로 점근선은 $x$축($y=0$)이다. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty$이다.

【2-3】 풀이
원점 $(0,0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(0) = 1$이다.
따라서 원점을 지나는 직선 $y=mx$가 제1사분면에서 곡선과 또 다른 교점을 가지려면 $\mathbf{0 \lt m \lt 1}$이어야 한다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
도함수 및 이계도함수를 통해 극댓값 1/e, 변곡점 (2, 2/e^2) 정확히 도출	8점
점근선 y=0 조사 및 그래프 개형 올바르게 서술	8점
원점 접선 기울기 분석을 통한 m의 범위 0 < m < 1 도출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수 결합 함수의 그래프에서는 무한대 극한(점근선) 조사를 누락하지 않도록 주의하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 극대 (1, 1/e), 변곡점 (2, 2/e^2), 【2-2】 점근선 y = 0, 【2-3】 0 < m < 1 서강대학교 100점 만점 기준 25점

미적분

핵심개념: 합성함수와 역함수의 미분법, 극값의 판정, 최댓값과 최솟값

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$ (단, $f'(a) \neq 0$)이다.

[나] 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)$이다.

[논제]

【1-1】 $f(x) = x^3+x+1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(3)$의 값을 구하시오. [8점]

【1-2】 함수 $h(x) = g(x^2+2)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오. [8점]

【1-3】 닫힌구간 $[1, 11]$에서 함수 $g(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.20 탐구 827 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x^3+2x-1$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $g'(2)$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1)=2 \implies g(2)=1$. $f'(x)=3x^2+2 \implies f'(1)=5$. $g'(2)=1/5$.
※ 해설 가이드: 역함수 미분법 공식 적용 과정을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 역함수 미분계수($g'(3)=1/4$), 합성함수 미분($h'(1)=1/2$), 단조증가 함수 최댓값과 최솟값.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.20 탐구 827 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【문제 1 요약】 역함수 미분계수($g'(3)=1/4$), 합성함수 미분($h'(1)=1/2$), 단조증가 함수 최댓값과 최솟값.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$f(1) = 1+1+1 = 3 \iff g(3) = 1$이다.
$f'(x) = 3x^2+1$이므로 $f'(1) = 4$이다.
역함수 미분법에 의해 $g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \mathbf{\frac{1}{4}}$이다.

【1-2】 풀이
합성함수 미분법에 의해 $h'(x) = g'(x^2+2) \cdot 2x$이다.
$x=1$을 대입하면 $h'(1) = g'(3) \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \mathbf{\frac{1}{2}}$이다.

【1-3】 풀이
모든 실수에서 $f'(x)=3x^2+1 \gt 0$이므로 $f(x)$는 단조증가하고, 따라서 역함수 $g(x)$도 단조증가한다.
$f(0)=1 \implies g(1)=0$ (최솟값), $f(2)=8+2+1=11 \implies g(11)=2$ (최댓값)이다.
따라서 최댓값은 $\mathbf{2}$, 최솟값은 $\mathbf{0}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
역함수 미분법 공식을 정확히 적용하여 g'(3)=1/4 도출	8점
합성함수 미분법 공식 적용하여 h'(1)=1/2 계산	8점
단조증가성 분석을 통한 최댓값 2 및 최솟값 0 도출 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

역함수의 미분계수를 구할 때 원함수의 함숫값 $f(a)=b$를 만족하는 $a$를 먼저 구하는 과정을 명시하십시오.

[최종 정답] 【1-1】 1/4, 【1-2】 1/2, 【1-3】 최댓값 2, 최솟값 0 서강대학교 100점 만점 기준 25점

미적분

핵심개념: 부분적분법, 정적분 부등식의 증명, 함수의 대칭성

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 미분가능한 두 함수에 대하여 $\displaystyle\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$이다.

[나] 닫힌구간 $[a, b]$에서 $f(x) \ge g(x)$이면 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$이다.

[논제]

【2-1】 $\displaystyle\int_0^1 x e^x dx$의 값을 구하시오. [8점]

【2-2】 자연수 $n$에 대하여 $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x dx$라 할 때, $I_n$과 $I_{n-1}$ 사이의 관계식을 유도하시오. [8점]

【2-3】 부등식 $I_n \le \dfrac{e}{n+1}$이 성립함을 증명하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.20 탐구 828 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-03 (부분적분)]

【유사 연습 문제】 부분적분법을 이용하여 $\displaystyle\int_1^e \ln x dx$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $[x\ln x]_1^e - \int_1^e 1 dx = e - (e-1) = 1$.
※ 해설 가이드: 부분적분 점화식 및 피적분함수 부등식 적분을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 부분적분 기초($1$), 정적분 점화식($I_n = e - n I_{n-1}$), 피적분함수 상계 부등식 증명.
교과서 연계:

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.20 탐구 828 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-03 (부분적분)]

【문제 2 요약】 부분적분 기초($1$), 정적분 점화식($I_n = e - n I_{n-1}$), 피적분함수 상계 부등식 증명.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
부분적분법에 의해
$\displaystyle\int_0^1 x e^x dx = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = \mathbf{1}$이다.

【2-2】 풀이
$u = x^n, v' = e^x$로 두면 $u' = n x^{n-1}, v = e^x$이다.
$I_n = \left[x^n e^x\right]_0^1 - n \displaystyle\int_0^1 x^{n-1} e^x dx = \mathbf{e - n I_{n-1}}$이다.

【2-3】 풀이
$0 \le x \le 1$에서 $e^x \le e$이므로 $x^n e^x \le e x^n$이다.
양변을 0부터 1까지 적분하면 제시문 [나]에 의해
$I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x dx \le e \int_0^1 x^n dx = e \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \mathbf{\frac{e}{n+1}}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
부분적분법을 정확히 적용하여 정적분 값 1 도출	8점
부분적분 전개를 통해 점화식 I_n = e - n I_{n-1} 유도	8점
피적분함수 부등식 e^x <= e 설정 및 정적분 비교를 통한 증명 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정적분 부등식 증명 시 적분 구간에서의 피적분함수의 상계(최댓값)를 먼저 설정하고 적분하는 논리를 명확히 하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 1, 【2-2】 I_n = e - n I_{n-1}, 【2-3】 I_n <= e/(n+1) 증명 완결 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅰ, 미적분

핵심개념: 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식, 삼각방정식, 극한값 계산

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 배각공식 $\sin 2x = 2\sin x \cos x, \; \cos 2x = 2\cos^2 x - 1$이다.

[나] 삼각함수 극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$이다.

[논제]

【1-1】 $0 \le x \le \pi$에서 방정식 $\sin 2x = \cos x$의 모든 실근을 구하시오. [8점]

【1-2】 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$의 값을 구하시오. [8점]

【1-3】 함수 $f(x) = \sin x + \cos x$의 최댓값과 그때의 $x$의 값을 구하시오. (단, $0 \le x \le \pi$) [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02) PDF p.6 탐구 829 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

【유사 연습 문제】 $\cos 2x + \cos x = 0 \; (0 \le x \le \pi)$의 모든 실근의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $2\cos^2 x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0 \implies x = \pi/3, \pi$. 합은 $4\pi/3$.
※ 해설 가이드: 배각공식 및 삼각방정식 인수분해, 삼각함수 합성을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 배각공식 삼각방정식 실근($\pi/6, \pi/2, 5\pi/6$), 삼각극한(2/3), 삼각함수 합성 최댓값($\sqrt{2}$).
교과서 연계: [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02) PDF p.6 탐구 829 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

【문제 1 요약】 배각공식 삼각방정식 실근($\pi/6, \pi/2, 5\pi/6$), 삼각극한(2/3), 삼각함수 합성 최댓값($\sqrt{2}$).

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$이므로 $2\sin x \cos x - \cos x = 0 \iff \cos x (2\sin x - 1) = 0$.
$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
따라서 실근은 $\mathbf{x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}}$이다.

【1-2】 풀이
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \mathbf{\frac{2}{3}}$이다.

【1-3】 풀이
삼각함수 합성에 의해 $f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$이다.
$0 \le x \le \pi$에서 $\frac{\pi}{4} \le x+\frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$이므로, $x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \iff x = \frac{\pi}{4}$일 때 최댓값 $\mathbf{\sqrt{2}}$를 갖는다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
배각공식 적용 및 삼각방정식 인수분해를 통해 3개 실근 도출	8점
삼각함수 극한의 기본 정리를 적용하여 극한값 2/3 계산	8점
삼각함수 합성 및 각의 범위를 고려한 최댓값 sqrt(2) 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼각방정식 풀이 시 $\cos x$로 함부로 나누지 말고 반드시 인수분해하여 $\cos x = 0$의 근을 포함시키십시오.

[최종 정답] 【1-1】 x = π/6, π/2, 5π/6, 【1-2】 2/3, 【1-3】 x = π/4일 때 최댓값 √2 서강대학교 100점 만점 기준 25점

수학Ⅱ, 미적분

핵심개념: 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이, 정적분의 응용, 입체도형의 부피

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]

[가] 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$ 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$이다.

[나] 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피는 $V = \displaystyle\int_a^b S(x)dx$이다.

[논제]

【2-1】 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=2x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [8점]

【2-2】 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=mx \; (m \gt 0)$으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\frac{4}{3}$일 때 양수 $m$의 값을 구하시오. [8점]

【2-3】 밑면이 이 둘러싸인 도형이고 높이가 $x$에 비례하는 입체도형의 부피를 구하시오. [9점]

📖 [2022 개정 교과서 1:1 유사 단원 연계 연습 문제]

교과서 DB 연계 문항

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.26 탐구 830 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05 (넓이)]

【유사 연습 문제】 곡선 $y=-x^2+2x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_0^2 (-x^2+2x)dx = \frac{1}{6}(2)^3 = 4/3$.
※ 해설 가이드: 이차곡선과 직선 사이의 넓이 공식 및 입체도형 부피 적분을 서술함.

📌 [기출 연계 분석 & 출제 의도] 포물선과 직선 둘러싸인 넓이(4/3), 넓이 공식으로부터 미지수 $m=2$ 결정, 입체도형 부피 계산.
교과서 연계:

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.26 탐구 830 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05 (넓이)]

【문제 2 요약】 포물선과 직선 둘러싸인 넓이(4/3), 넓이 공식으로부터 미지수 $m=2$ 결정, 입체도형 부피 계산.

✍️ 먼저 기출문제를 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 서강대학교 공식 답안 사례 전문과 단계별 채점기준표를 확인하세요.

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
교점의 $x$좌표는 $x^2=2x \iff x=0, 2$이다.
넓이 공식에 의해 $S = \frac{1}{6}(2-0)^3 = \mathbf{\frac{4}{3}}$이다.

【2-2】 풀이
교점은 $x=0, m$이므로 둘러싸인 넓이는 $S = \frac{1}{6}(m-0)^3 = \frac{m^3}{6}$이다.
$\frac{m^3}{6} = \frac{4}{3} \iff m^3 = 8 \iff \mathbf{m = 2}$이다.

【2-3】 풀이
$x$에서의 단면의 한 변의 길이가 $2x-x^2$인 정사각형 단면의 입체도형 부피는
$V = \displaystyle\int_0^2 (2x-x^2)^2 dx = \int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)dx = \left[\frac{4}{3}x^3 - x^4 + \frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} = \mathbf{\frac{16}{15}}$이다.

🎯 채점 기준 및 배점 루브릭 (서강대 공식 기준 25점)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
포물선과 직선의 교점 도출 및 둘러싸인 넓이 4/3 정확히 계산	8점
공식을 활용하여 m에 관한 방정식 수립 후 양수 m=2 도출	8점
단면적 함수 적분을 통한 입체도형의 부피 16/15 계산 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

포물선과 직선 사이 넓이는 $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ 공식을 활용하되, 정적분 식 $\int_\alpha^\beta (mx-x^2)dx$을 반드시 병기하십시오.

[최종 정답] 【2-1】 4/3, 【2-2】 m = 2, 【2-3】 16/15 서강대학교 100점 만점 기준 25점

PART 2-1 · 2027 SOGANG MOCK EXAM QUESTION BOOKLET (ROUNDS 1~10)

Part 2-1. 2027학년도 서강대학교 자연계열
실전 모의고사 1~10회 문제집 (총 50문항)

전 문항(50문항) 출제 적정성 검토 일람표(2p) + 제1회~제10회 실전 시험지(2문항/페이지 규격, 30p)
2022 개정 교육과정(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·기하·확률과통계) 성취기준 100% 준수

📌 Part 2-1 실전 모의고사 문제집 3대 편찬 원칙

1. 실전 시험장 2문항/페이지 규격 (`.test-q-card`): 한 페이지에 정확히 2개의 문항 카드를 배치하고 하단에 3단계 논술 답안 작성 가이드를 수록하여 실전 호흡을 완성합니다.
2. 제1회~제5회 (교과서 핵심 유형 완벽 마스터): 서강대 빈출 단원인 수열의 극한, 미분가능성, 정적분 함수, 이차곡선, 공간벡터, 조건부확률과 모비율 추정을 균형 있게 배치하였습니다.
3. 제6회~제10회 (2025 기출 킬러 1:1 심화 변형): 2025학년도 자연 1·2차 기출 킬러 문항의 논리 구조를 그대로 계승·심화한 고난도 변별 문항으로 구성하였습니다.

QUESTIO 수리논술연구소 | 상호: 퀘스티오(Questio) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 Page 44 / 161 (Part 2-1 Divider)

📌 [선행학습 영향평가 준수 및 2022 개정 교육과정 적정성 검증] 전 문항은 2022 개정 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB 26종 PDF)에서 직접 추출·변형되었으며, 대학 과정(로피탈의 정리, 편미분 등) 없이 100% 고교 교육과정 성취기준만으로 논증 가능함을 검증하였습니다.

회차	문항	과목 및 단원	핵심 출제 주제	교과서 DB 출처 및 CITE_06 검증	기출 연계성	고유성	수리 검산 판정
1회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 N(n, g(k))와 홀짝 구간합	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01] (PASS)	중 (대수 거듭제곱근 추론)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] 합 6 / [1-2] 48 / [1-3] 16)
1회	문항 2	대수 Ⅱ-1. 삼각함수	단위원 12등분 동경의 원점 대칭성과 거리 제곱 합	[교과서 DB: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] (PASS)	중 (삼각함수 대칭성 논증)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] 0 / [2-2] 60 / [2-3] 3)
1회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	다항함수의 무한대·0/0 부정형 극한과 중근 인수분해 유일성	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] (PASS)	중상 (극한 차수·인수 결정)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] a=2, b=-7 / [3-2] 2x^3-7x^2+8x-3 / [3-3] -9/4)
1회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	첨점 함수 \|x-2\|와 이차함수 곱 h(x)=\|x-2\|g(x)의 미분가능성 및 정적분	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] (PASS)	상 (서강대 2025 1차 2번·2차 2번 첨점 미분가능성 연계)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] ±g(2) / [4-2] x^2+2x-8 / [4-3] 43/6)
1회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	프레드홀름형 정적분 항등식 상수 치환(A, B 연립)과 극값 차	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] (PASS)	중상 (정적분 항등식 연립)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] A-2B=0, 4A-9B=1 / [5-2] A=-2, B=-1 / [5-3] 4)
2회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	유리수 지수 대칭식 x^(1/2) + x^(-1/2) = √7로부터 고차 대칭식 유도	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] (PASS)	중 (유리수 지수 대칭 구조)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] 5, 23 / [1-2] 4√7 / [1-3] 18/5)
2회	문항 2	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	로그 밑변환과 산술·기하 평균을 결합한 최솟값 추론	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 2 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] (PASS)	중 (로그 부등식과 최적화)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS (수리 검산 및 루브릭 20점 일치)
2회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	무리식의 유리화와 함수의 극한 조임 정리	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] (PASS)	중상 (극한 대소 관계 논증)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS (수리 검산 및 루브릭 20점 일치)
2회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 영점 존재성 증명	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] (PASS)	상 (평균값 정리 엄밀 증명)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] g'(c1)=0 증명 / [4-2] 하한 4 / [4-3] c=√7/3)
2회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	삼차곡선 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 넓이 분할	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] (PASS)	중상 (정적분 넓이 공식)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] y=-2x+2 / [5-2] 27/4 / [5-3] k=1-3/∛4)
3회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	상용로그 정수부분과 소수부분의 합 조건을 만족하는 양수 x 결정	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 5 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] (PASS)	중 (상용로그 조건 추론)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] 2≤log x<3 / [1-2] 7/3, 8/3 / [1-3] 10^5)
3회	문항 2	대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙	외접원 반지름 R=7, a=7√3인 삼각형에서 코사인법칙과 내접원 반지름	[교과서 DB: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] (PASS)	상 (서강대 2025 1·2차 1번 코사인법칙 연계)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] ∠A=π/3 / [2-2] b=8, c=5 / [2-3] S=10√3, r=√3)
3회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	사잇값 정리를 이용한 방정식 실근 존재 구간 및 개수 증명	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03] (PASS)	중상 (실근 존재성 논증)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] 구간별 각 1개 / [3-2] 4개 / [3-3] m=1)
3회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	원점에서 삼차함수 곡선에 그은 세 접선의 접점 합과 넓이 비	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 3 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] (PASS)	상 (접선 방정식과 실근 조건)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] 2t^3-6t^2+a=0 / [4-2] 0<a<8 / [4-3] 합 3, 비 3)
3회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	정적분으로 정의된 함수 F(x)=∫_0^x (x-t)f(t)dt의 두 번 미분과 극값	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] (PASS)	상 (라이프니츠 정적분 미분)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] F'(x)=∫f, F''(x)=f(x) / [5-2] a=2 / [5-3] -4)
4회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	치환 지수방정식 4^x - 2^(x+2) + k = 0의 양의 실근 조건	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04] (PASS)	중 (치환 방정식 근의 분리)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] t>1 / [1-2] 3<k<4 / [1-3] k=7/2)
4회	문항 2	대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열	부분합 S_n과 일반항 관계(초항 예외) 및 절댓값 급수 합	[교과서 DB: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03] (PASS)	중 (수열 부분합과 부호 변화)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] a_1=0, a_n=2n-5 / [2-2] 66 / [2-3] m=9)
4회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	구간 (0,2)에서 삼차함수 극값 존재 조건과 극값 차 최대화	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03] (PASS)	중상 (도함수 근의 분리와 최적화)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] 0<k<3 / [3-2] 8(3-k)^(3/2)/9 / [3-3] 16√2/9)
4회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	삼차방정식 실근 개수 함수 g(k)의 불연속점과 절댓값 방정식	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 5 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] (PASS)	상 (극값과 실근 개수 불연속)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] 극대 5, 극소 -27 / [4-2] -5, 27 / [4-3] 21개)
4회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	포물선 y=-x^2+4x와 원점 직선 y=mx로 둘러싸인 넓이 이등분	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.23 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] (PASS)	중상 (정적분 넓이 이등분)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] 32/3 / [5-2] m=4-2∛4 / [5-3] k=16/3)
5회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	역함수 y=2^x, y=log_2 x와 직선 x+y=6의 교점 대칭성과 사다리꼴 넓이	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] (PASS)	중상 (역함수 기하학적 대칭)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] α+β=6 증명 / [1-2] S=6(β-α) / [1-3] k=7/2)
5회	문항 2	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	비선형 귀납적 정의 수열 a_{n+1}=a_n/(3a_n+1)의 역수 변환과 수학적 귀납법	[교과서 DB: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] (PASS)	상 (역수 치환과 수학적 귀납법 증명)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] a_n=1/(3n-1) / [2-2] 귀납법 증명 / [2-3] 30/91)
5회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	절댓값 사차함수 \|f(x)-k\|가 한 점에서만 미분불가능할 조건(삼중근 비율 3:1)	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] (PASS)	상 (사차함수 삼중근과 미분가능성)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] k=12 / [3-2] 극솟값 -15 / [3-3] 256/5)
5회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	수직선 위 두 점 P, Q의 속도 함수와 거리 최댓값 및 반대 방향 이동거리	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 문제 2 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] (PASS)	중상 (속도와 거리 정적분)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] t=3, v_P=6 / [4-2] 최댓값 4 / [4-3] 11/2)
5회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	우함수·기함수 대칭성과 주기성 f(x+2)=f(x)를 만족하는 연속함수의 정적분	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] (PASS)	상 (서강대 2025 2차 2-1번 주기 정적분 연계)	고유 문항 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] a=1, b=1 / [5-2] 80/3 / [5-3] 22)

📌 [제6회~제10회 기출 1:1 킬러 변형 매칭 검증] 제6회~제10회는 서강대 자연계열 역대 최난도 킬러 기출(이차곡선 접선·코사인법칙, 매개변수 최솟값 함수 미분가능성, 절댓값 결합 함수 실근 개수, 주기 정적분, 공간평면·모비율 추정)과 1:1로 대응하도록 설계되었습니다.

회차	문항	과목 및 단원	핵심 출제 주제	교과서 DB 출처 및 CITE_06 검증	기출 연계성	고유성	수리 검산 판정
6회	문항 1	기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선	쌍곡선 x^2/9 - y^2/16 = 1의 자취 유도와 접선 및 점근선 삼각형 넓이 불변성	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.28 탐구 61 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 1차 1번 쌍곡선 접선 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] a^2=9, b^2=16, y=±4x/3 / [1-2] y1=16/3, k=9 / [1-3] S=12)
6회	문항 2	대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형	둔각삼각형(3, 6, 2π/3)의 코사인·사인법칙과 각의 이등분선 및 내접원 반지름	[교과서 DB: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 62 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03] (PASS)	최상 (2025 서강대 1·2차 1번 코사인법칙 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] a=3√7, R=√21 / [2-2] S=9√3/2, AD=2 / [2-3] p=9, q=3)
6회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	매개변수 구간 [-1,1]에서 이차함수 g(x)=x^2-2tx+4t의 최솟값 함수 f(t)의 미분가능성	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 63 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 1차 2번 최솟값 함수 f(t) 미분가능성 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] f(1)=3 / [3-2] -t^2+4t, 2t+1 / [3-3] f'(1)=2)
6회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	부등식과 제곱 항등식으로 정의된 절댓값 결합 함수 g(x)=3x+\|x^2-2x\|의 단조증가 및 정적분	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 64 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 2차 2-1·2-2번 절댓값 결합 함수 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] x=2 미분불가능 / [4-2] g'(x)>0 증가 증명 / [4-3] 97/6)
6회	문항 5	기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표	공간평면 x+2y+3z=6의 수선의 발, 정사영 넓이 및 직각사면체 부피 검증	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.36 탐구 65 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] (PASS)	최상 (2022 개정 기하 강화 성취기준 12기하03-05 완벽 반영)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] H(3/7,6/7,9/7), d=6/√14 / [5-2] S=3√14 / [5-3] V=6)
7회	문항 1	기하 Ⅰ-1. 타원과 접선	타원 x^2/16 + y^2/7 = 1의 초점 직각삼각형 넓이와 접선의 절편 삼각형 넓이	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.18 탐구 71 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 2차 1번 타원 초점 직각삼각형 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] l1l2=14, 넓이 7 / [1-2] P(4√2/3, 7/3) / [1-3] S=9√2)
7회	문항 2	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	치환 지수방정식 4^x - 6·2^x + k = 0의 양의 실근 분리 조건과 대칭 합	[교과서 DB: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 72 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] (PASS)	상 (치환 이차방정식 경계 조건 t>1 분석)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] 0<k<9 / [2-2] 5<k<9 / [2-3] k=8, 합 20)
7회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	절댓값 결합 함수 g(x)=3x+\|x^2-1\|의 단조증가와 첨점 (1,3) 직선과의 유일 교점 기울기 범위	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 73 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 유일 교점 기울기 범위 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] 좌 1, 우 5 / [3-2] 할선 기울기 2, 6 / [3-3] 0<k≤1, 2<k≤5, k>6)
7회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분 정의 함수	정적분 정의 함수 G(x)=∫_1^x (x-t)(6t-18)dt의 극솟값과 변곡접선 방정식	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 탐구 74 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] (PASS)	상 (정적분 정의 삼차함수의 대칭성)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] α=1, β=5 / [4-2] 극대 0, 극소 -32 / [4-3] y=-12x+20)
7회	문항 5	확률과 통계 Ⅱ-2 / Ⅲ-2	베이즈 정리 사후확률 P(A\|E)와 모비율 95% 신뢰구간 표본 크기 최솟값	[교과서 DB: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.9 탐구 75 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06] (PASS)	최상 (2022 개정 확통 재도입 성취기준 12확통03-06 모비율 추정 반영)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] P(E)=41/50, P(A\|E)=9/41 / [5-2] L=0.09408 / [5-3] n=1600)
8회	문항 1	기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선	포물선 y^2=8x의 초점현 길이와 수직인 두 접선의 준선 교점 R(-2,3) 및 삼각형 넓이	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 탐구 81 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] (PASS)	최상 (포물선 준선 직교접선 기하 성질 증명)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] AF=4, AB=8 / [1-2] y=x/2+4, y=-2x-1 / [1-3] R(-2,3), 넓이 125/4)
8회	문항 2	대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의	계차 귀납 정의 a_{n+1}=a_n+2n+3으로부터 일반항 a_n=n(n+2) 유도와 부분분수 합	[교과서 DB: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 82 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06] (PASS)	상 (귀납적 정의와 망원급수 부등식)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] a_n=n(n+2) / [2-2] S_5=25/42 / [2-3] 최솟값 n=5)
8회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	평균값 정리를 이용한 삼차함수 부등식 증명과 역함수 접선의 직각삼각형 넓이	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 83 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] (PASS)	상 (평균값 정리 부등식과 역함수 미분)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] f'(c)≥3 증명, 등호 불성립 / [3-2] 1/3, 1/6 / [3-3] 넓이 2/3)
8회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	삼차곡선 y=x^3-3x의 극소 접선 y=-2로 둘러싸인 넓이와 동점 삼각형 최대 넓이	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 탐구 84 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] (PASS)	상 (삼차곡선 접선 넓이와 최적화 결합)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] L: y=-2, Q(-2,-2) / [4-2] S=27/4 / [4-3] t=-1, 최대넓이 6)
8회	문항 5	기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적	평면벡터 내분점 D(3,4) 치환과 원 x^2+y^2=4 위 동점 P의 벡터 크기 최대·최소 및 내적	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.22 탐구 85 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03] (PASS)	상 (위치벡터 내분점 치환과 기하학적 최적화)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] D(3,4), OD=5 / [5-2] M=21, m=9 / [5-3] P(-6/5,-8/5), 내적 -10)
9회	문항 1	기하 Ⅰ-1. 타원과 접선	타원 x^2/9 + y^2/5 = 1 초점 코사인법칙(∠F'PF=60°)과 접선까지의 수선 거리 곱 불변성	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.20 탐구 91 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 2차 1번 타원 코사인법칙·접선 심화)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] l1l2=20/3, 넓이 5√3/3 / [1-2] y=x+√14 / [1-3] d1d2=5=b^2)
9회	문항 2	대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미분	끼인각 60°인 반직선 위 동점 P, Q의 삼각형 넓이 S(t)와 대변 제곱 L(t)의 순간변화율	[교과서 DB: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 92 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 도형 함수 미분 직접 연계)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] L(t)=3t^2-18t+36 / [2-2] t=3, 최솟값 3 / [2-3] L'(2)=-6, R=2)
9회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	삼차함수와 일차함수 차로 정의된 절댓값 함수 \|f(x)-mx\|의 실수 전체 미분가능성(삼중근)	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 탐구 93 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08] (PASS)	최상 (삼차함수 변곡접선과 절댓값 미분가능성)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] α=2, m=3 / [3-2] 접선 y=3x 일치 / [3-3] x=4 미분불가능, 적분 27/4)
9회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질	우함수·주기 4 조건을 만족시키는 연속함수의 대칭점 평행이동 정적분과 가변구간 도함수	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 94 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 2차 2-1번 주기·대칭 정적분 심화)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] 3x^2+6x+4, I=8 / [4-2] 160 / [4-3] H'(t)=4f(t), H(0)=16, H(2)=32)
9회	문항 5	기하 Ⅲ-2. 공간도형과 정사영	한 모서리 6인 정사면체의 이면각 코사인(1/3), 부피 및 수직 단면의 정사영 넓이	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.18 탐구 95 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] (PASS)	상 (공간도형 삼수선·이면각·정사영 논증)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] cos θ=1/3 / [5-2] AG=2√6, V=18√2 / [5-3] S1=3√3, S2=0)
10회	문항 1	기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선	쌍곡선 x^2/7 - y^2/9 = 1의 초점 직각삼각형 넓이와 접선의 내각 이등분 성질 증명	[교과서 DB: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.32 탐구 101 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 1차 1번 쌍곡선과 각의 이등분 결합)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([1-1] l1l2=18, 넓이 9 / [1-2] P(5√7/4, 9/4) / [1-3] x_T=4√7/5, 비율 일치)
10회	문항 2	대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의	지수항이 결합된 선형 점화식 a_{n+1}=2a_n+3^n의 등비수열 변환 일반항과 부분합	[교과서 DB: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 102 변형 \| 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] (PASS)	상 (선형 점화식 구조 변환과 등비급수 합)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([2-1] a_n=3^n+2^n / [2-2] (3^(n+1)-3)/2 + 2^(n+1)-2 / [2-3] 비율 1, S_5=425)
10회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	가변 닫힌구간 [0,t]에서 삼차함수 f(x)=-x^3+3x^2+4의 최솟값 함수 m(t)와 미분불가능점	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 탐구 103 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08] (PASS)	최상 (2025 서강대 자연 1차 2번 가변구간 최솟값 함수 심화)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([3-1] 극대 8, 양근 3 / [3-2] 4 (t≤3), f(t) (t>3) / [3-3] t=3 미분불가능, 적분 49/4)
10회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	포물선 y=x^2-2kx와 직선 y=kx로 둘러싸인 넓이 함수 S(k)의 순간변화율과 넓이 비	[교과서 DB: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 104 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] (PASS)	상 (정적분 넓이 함수와 매개변수 미분)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([4-1] S(k)=9k^3/2 / [4-2] S(2)=36, S'(2)=54 / [4-3] 비율 27/8)
10회	문항 5	확률과 통계 Ⅲ-1 / Ⅲ-2	이산확률변수 X의 기댓값·분산 도출과 크기 n=28 표본평균 X̄의 표준편차 및 상수배 분산	[교과서 DB: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 105 변형 \| 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05] (PASS)	상 (확률분포와 표본평균의 분포 결합)	고유 신설 (충돌 0건)	PASS PASS ([5-1] a=1/8, b=3/8 / [5-2] E(X^2)=11/2, V(X)=7/16 / [5-3] σ(X̄)=1/8, V(8X̄)=1)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제1회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제1회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 거듭제곱근의 실수 해의 개수와 매개변수 방정식의 근의 분포

<제시문 (가)> $2$ 이상의 자연수 $n$과 실수 $A$에 대하여 방정식 $x^n = A$의 실근의 개수 $N(n, A)$는 $n$이 홀수일 때 $A$의 부호에 관계없이 항상 $1$이고, $n$이 짝수일 때는 $A \gt 0$이면 $2$, $A = 0$이면 $1$, $A \lt 0$이면 $0$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 $g(k) = k^2 - 7k + 10$의 부호는 근 $k = 2, 5$를 경계로 바뀐다.

자연수 $n\;(2 \le n \le 9)$과 정수 $k\;(1 \le k \le 6)$에 대하여 실수 $g(k) = k^2 - 7k + 10$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $N(n, g(k))$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 $g(k)$의 부호(양, $0$, 음)를 각각 판정하고, $n$이 짝수일 때 $\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $\sum_{n=2}^{9} \sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-3] (7점) $k = 1$일 때 $g(1) = 4$의 네제곱근 중 양수인 것을 $\alpha$, 음수인 것을 $\beta$라 하자. $\alpha^6 + |\beta|^6$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제1회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제1회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 단위원 위 동경의 좌표와 삼각함수의 대칭 합

<제시문 (가)> 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 단위원을 $12$등분하는 각을 $\theta_k = \dfrac{k\pi}{6}\;(k = 1, 2, \ldots, 12)$라 하면, 동경 $\mathrm{OP}_k$와 단위원의 교점의 좌표는 $\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)$이다.
<제시문 (나)> 임의의 각 $\theta$에 대하여 $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\; \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$이고 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$이다.

단위원 위의 $12$개의 점 $\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)\;\left(\theta_k = \dfrac{k\pi}{6},\; k = 1, 2, \ldots, 12\right)$와 점 $\mathrm{A}(2, 0)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (나)의 원점 대칭성을 이용하여 $\sum_{k=1}^{12} \cos\theta_k$와 $\sum_{k=1}^{12} \sin\theta_k$의 값을 각각 구하고 그 이유를 서술하시오.

[문항 2-2] (7점) 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 $\overline{\mathrm{AP}_k}^2$을 $\cos\theta_k$에 대한 일차식으로 나타내고, $\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sum_{k=1}^{6} \cos^2\theta_k$의 값을 대칭성 $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta$를 이용하여 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제1회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제1회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 다항함수의 차수 결정과 극한 조건을 만족시키는 함수의 유일성

<제시문 (가)> 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = a$를 만족시키면 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 꼴이다.
<제시문 (나)> $x \to 1$일 때 분모 $(x - 1)^2 \to 0$이고 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = L$이 존재하면, 다항식 $f(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 갖는다.

삼차다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1$과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5$를 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $f(x)$의 삼차항과 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 1)^2(2x + m)$ 꼴로 나타내고, 상수 $m$의 값과 다항함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제1회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제1회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 미분가능성과 연속성을 이용한 절대값·다항 곱함수의 분석

<제시문 (가)> 다항함수 $P(x)$에 대하여 함수 $h(x) = |x - a|P(x)$가 $x = a$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $P(a) = 0$인 것이며, 이때 $h'(a) = 0$이다.

이차함수 $P(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 2|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $h'(1) = 3$일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) $x = 2$에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 $P(2)$로 나타내어 제시문 (가)의 조건 $P(2) = 0$이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) $x \lt 2$인 구간에서 $h(x)$의 도함수 $h'(x)$를 구하고, 조건 $P(2) = 0$과 $h'(1) = 3$을 연립하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 $h(x)$가 $x \ne 2$에서 미분계수 $h'(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제1회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제1회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 프레드홀름형 정적분 항등식의 해법

<제시문 (가)> 정적분 $\int_{a}^{b} f(t)\,dt$와 $\int_{a}^{b} t f(t)\,dt$의 값은 적분변수 $t$에 의존하지 않는 상수이므로, 이를 상수 $A, B$로 치환하면 함수 $f(x)$를 다항식으로 표현할 수 있다.

연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + 4\int_{0}^{1} t f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) $A = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,\; B = \int_{0}^{1} t f(t)\,dt$라 할 때, $A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt$를 정리하여 $A$와 $B$ 사이의 첫 번째 관계식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) $B = \int_{0}^{1} t(3t^2 - 2At + 4B)\,dt$를 정리하여 두 번째 관계식을 구하고, 연립방정식을 풀어 상수 $A, B$와 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제1회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제1회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제1회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제2회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제2회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 유리수 지수의 거듭제곱 항등식과 대칭식의 값

<제시문 (가)> 양수 $a$와 유리수 $r, s$에 대하여 지수법칙 $a^r a^s = a^{r+s},\; (a^r)^s = a^{rs}$가 성립한다.
<제시문 (나)> 곱셈 공식 $(u + u^{-1})^2 = u^2 + u^{-2} + 2$와 $(u + u^{-1})^3 = u^3 + u^{-3} + 3(u + u^{-1})$을 이용하면 유리수 지수 대칭식의 값을 단계적으로 구할 수 있다.

양수 $x$가 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1}$과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$과 $x^3 + x^{-3}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}}$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제2회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제2회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 지수함수 그래프 위의 선분 내분점과 넓이 최적화

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 3^x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동한 곡선의 방정식은 $y = 3^{x-m} = 3^{-m}\cdot 3^x$이다.
<제시문 (나)> 직선 $y = k\;(k \gt 0)$가 두 지수함수 $y = 3^x,\; y = 3^{x-2}$와 만나는 두 점 사이의 거리는 $k$의 값에 관계없이 항상 일정하다.

두 곡선 $C_1 : y = 3^x$과 $C_2 : y = 3^{x-2}$이 직선 $y = t\;(t \gt 1)$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 하고, 직선 $y = 3t$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{D}, \mathrm{C}$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\log_3 t$로 나타내고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 평행사변형임을 보이고, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $24$일 때, 양수 $t$의 값과 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기를 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제2회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제2회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 무리식의 유리화와 함수의 극한 조임 정리

<제시문 (가)> $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax + b} - x)$ 꼴의 극한은 분모·분자에 켤레식 $\sqrt{x^2 + ax + b} + x$를 곱하여 유리화하면 $\dfrac{a}{2}$로 수렴한다.
<제시문 (나)> 충분히 큰 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \le f(x) \le h(x)$이고 $\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L$이면 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$이다.

양수 $x$에 대하여 정의된 함수 $f(x)$가 부등식 $\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x \le f(x) \le \sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 유리화 방법을 이용하여 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} f(x)$의 값을 구하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문항 3-3] (7점) 다항식 $P(x) = 3x + k$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x - f(x)\right) = 0$일 때, $\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\}$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제2회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제2회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수와 변곡 접선 경계

<제시문 (가)> 곡선 $y = f(x)$ 위의 접점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 그래프 밖의 한 점 $(a, b)$에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근 $t$의 개수와 같다.

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$와 점 $\mathrm{P}(0, k)$에 대하여 점 $\mathrm{P}$에서 이 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점의 좌표를 $(t, t^3 - 3t^2 + 2)$라 할 때, 이 접선이 점 $\mathrm{P}(0, k)$를 지나기 위한 $t$에 대한 방정식을 $g(t) = k$ 꼴로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $g(t)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 접선의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $k = 3$일 때, 점 $\mathrm{P}(0, 3)$에서 곡선에 그은 두 접선의 기울기를 각각 구하고 그 합을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제2회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제2회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 구간별로 정의된 연속함수의 정적분과 주기·대칭 확장

<제시문 (가)> 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) = f(x) + k$를 만족시키면, 구간 $[2n, 2n+2]$에서의 정적분은 $\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (f(x) + nk)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + 2nk$로 계산된다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $0 \le x \le 2$에서 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) = f(x) + a$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a$는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속임을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 기본 구간에서의 정적분 $I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{0}^{10} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제2회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제2회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제2회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제3회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제3회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 지수·로그 연립방정식과 산술·기하 평균 부등식의 결합

<제시문 (가)> $a \gt 0, a \ne 1$일 때 로그의 성질에 의하여 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$이고, 밑변환 공식에 의하여 $\log_x y \cdot \log_y x = 1$이다.
<제시문 (나)> 두 양수 $X, Y$에 대하여 $X + Y \ge 2\sqrt{XY}$가 성립하며, 등호는 $X = Y$일 때 성립한다.

$1$보다 큰 두 실수 $x, y$가 $\log_2 x + \log_2 y = 6$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $u = \log_2 x,\; v = \log_2 y$라 할 때, $u \gt 0, v \gt 0$임을 설명하고 산술·기하 평균 부등식을 이용하여 $uv$의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $(\log_2 x)(\log_2 y) = 8$일 때, $x, y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 $\log_x y + \log_y x$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제3회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제3회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 부채꼴의 둘레와 넓이의 관계 및 중심각 최적화

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 $l = r\theta$이고 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl$이다.
<제시문 (나)> 둘레의 길이 $2r + l$이 일정할 때 부채꼴의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl$은 $2r = l$, 즉 중심각 $\theta = 2$ (라디안)에서 최댓값을 갖는다.

길이가 $24$인 철사를 구부려 반지름의 길이가 $r$이고 호의 길이가 $l$인 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 호의 길이 $l$을 $r$에 대한 식으로 나타내고, 부채꼴의 넓이 $S(r)$을 $r$에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 넓이 $S(r)$이 최대가 될 때의 반지름 $r$, 최댓값 $S_{\max}$, 그리고 중심각 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 넓이가 최댓값일 때, 이 부채꼴의 두 반지름의 끝점을 잇는 현의 길이를 $\sin 1$을 이용하여 나타내시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제3회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제3회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 · 분수함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 근의 존재성 증명

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이려면 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$가 성립해야 한다.
<제시문 (나)> 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(a)g(b) \lt 0$이면, 열린구간 $(a, b)$에 $g(c) = 0$인 $c$가 적어도 하나 존재한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x - 2)f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$를 만족시키고 $f(2) = 3$일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 연속 조건을 이용하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 $f(x) = 3x - 2$를 정리한 이차함수 $g(x) = f(x) - (3x - 2)$에 대하여 $g(0), g(2), g(4)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 방정식 $f(x) = 3x - 2$가 열린구간 $(0, 2)$와 $(2, 4)$에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제3회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제3회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 사차함수의 극값 구조와 절댓값 접어올림 함수의 미분가능성

<제시문 (가)> 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $f'(x) = 4(x - \alpha)^2(x - \beta)\;(\alpha \ne \beta)$ 꼴이면, $f(x)$는 $x = \beta$에서만 극솟값을 갖고 $x = \alpha$에서는 $f'(\alpha) = 0$인 변곡 접선을 갖는다.
<제시문 (나)> 함수 $|f(x) - k|$가 실수 전체에서 미분가능하려면 $f(x) = k$인 모든 실근 $x$에서 $f'(x) = 0$이어야 한다.

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 $m(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하여 함수 $f(x)$의 극솟값과 $f'(x) = 0$인 두 점에서의 함숫값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $m(k) = 1$이 되도록 하는 실수 $k$의 값과 그때 미분가능하지 않은 점의 $x$좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $f(x) = 10$의 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$에 대하여 구간 $[\alpha, \beta]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제3회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제3회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값·최솟값

<제시문 (가)> 연속함수 $f(t)$에 대하여 $F(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x\int_{a}^{x} f(t)\,dt - \int_{a}^{x} t f(t)\,dt$로 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$이고 $F''(x) = f(x)$이다.

다항함수 $f(x) = 6x - 6$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 전개 과정을 서술하여 $F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$임을 유도하고, $F'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $F(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $F(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제3회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제3회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제3회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제4회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제4회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 상용로그의 정수부분·소수부분과 자릿수 조건 분석

<제시문 (가)> 임의의 양수 $N$에 대하여 상용로그 $\log_{10} N$은 정수부분 $n$과 소수부분 $\alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)$의 합 $\log_{10} N = n + \alpha$로 유일하게 나타난다.
<제시문 (나)> 두 양수 $A, B$의 상용로그의 소수부분의 합이 $1$이면 $\log_{10} A + \log_{10} B$는 정수이고 소수부분은 $0$이 아니어야 한다.

양수 $x$가 $100 \le x \lt 1000$을 만족시키고, $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^2$의 소수부분의 합이 $1$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} x = 2 + \alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)$라 할 때, 소수부분이 $0$이 될 수 없는 이유를 설명하고 $\alpha$의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $3\log_{10} x$가 정수가 됨을 이용하여 가능한 모든 $\log_{10} x$의 값과 실수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가능한 모든 $x$의 값들의 곱 $P$에 대하여 $\log_{10} P$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제4회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제4회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 원에 내접하는 사각형의 대각선과 넓이

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 마주 보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos(\pi - A) = -\cos A,\; \sin(\pi - A) = \sin A$이다.
<제시문 (나)> 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 $\mathrm{CBD}$에 코사인법칙을 각각 적용하면 공통 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이와 $\cos A$의 값을 구할 수 있다.

원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 2,\; \overline{\mathrm{BC}} = 3,\; \overline{\mathrm{CD}} = 4,\; \overline{\mathrm{DA}} = 3$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $\angle \mathrm{BAD} = \theta$라 할 때, 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 $\overline{\mathrm{BD}}^2$을 $\cos\theta$에 대한 두 가지 식으로 나타내고 $\cos\theta$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이와 $\sin\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제4회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제4회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 · 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성 및 미정계수 결정

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 좌극한과 우극한이 서로 달라 불연속일 때, 연속함수 $g(x)$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = a$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $g(a) = 0$이다.

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ -x + 1 & (1 \le x \lt 3) \\ x - 1 & (x \ge 3) \end{cases}$와 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(x)$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 함수 $f(x)$가 불연속인 모든 $x$의 값을 구하고, 각 점에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 이차함수 $g(x)$를 구하고, $\lim_{x \to 1} f(x)g(x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$가 불연속인 모든 $x$의 값들의 합을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제4회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제4회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 방정식의 실근의 개수와 삼차함수 그래프의 대칭 중심

<제시문 (가)> 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 양의 실근과 음의 실근의 개수는 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$의 교점의 $x$좌표의 부호로 판정하며, $y$절편 $f(0)$의 위치가 경계가 된다.

함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 실근의 부호 분포를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값, 그리고 $f(0)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $|f(x)| = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값 또는 범위를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제4회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제4회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 곡선과 접선 및 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 분할

<제시문 (가)> 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프와 직선 $y = mx + n$이 두 점 $x = \alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_{\alpha}^{\beta} |ax^2 + (b - m)x + (c - n)|\,dx = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

포물선 $C : y = -x^2 + 4x$와 원점을 지나는 직선 $l : y = mx\;(0 \lt m \lt 4)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$, 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 $C$와 직선 $l : y = mx$의 교점의 $x$좌표를 구하고, 넓이 $S_1$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) 직선 $l$이 넓이 $S$를 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값과 상수 $m$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제4회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제4회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제4회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제5회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제5회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 좌표 관계

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^x$과 로그함수 $y = \log_2 x$는 서로 역함수 관계이므로 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $y = -x + k$는 직선 $y = x$와 수직이므로, 두 역함수 그래프와 만나는 두 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)$도 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이며 $x_2 = y_1,\; y_2 = x_1$이다.

직선 $y = -x + 6$이 곡선 $y = 2^x$과 만나는 점을 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$, 곡선 $y = \log_2 x$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2$와 $y_1 + y_2$의 값을 각각 구하고, 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}$일 때, $|x_1 - x_2|$의 값과 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 좌표를 각각 구하여 주어진 곡선 위의 점임을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제5회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제5회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 · 비선형 귀납적 정의 수열의 역수 변환과 수학적 귀납법

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 \gt 0$이고 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p$가 되어 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 공차가 $p$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 모든 자연수에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 $n = 1$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환을 이용하여 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$의 일반항과 $a_n$의 일반항을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) [문항 2-1]에서 구한 일반항 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$이 아닌 부분분수 합 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1}$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제5회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제5회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 다항함수 결정

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 정의에 의하여 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$이다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x, y$에 대하여 성립하는 함수방정식이 주어지면, $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$을 구한 뒤 도함수의 정의식에 대입하여 $f'(x)$를 구한다.

미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 $f(x)$를 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제5회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제5회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도와 거리 차의 최댓값

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$에서의 위치가 $x(t)$일 때, 속도는 $v(t) = x'(t)$, 가속도는 $a(t) = v'(t)$이다.
<제시문 (나)> 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각($v_{\mathrm{P}}(t) = v_{\mathrm{Q}}(t)$)이나 구간의 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 각각 $x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 8t,\; x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - t$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 출발 후($t \gt 0$) 처음으로 만나는 시각 $t_1$과 그때 두 점의 속도를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|$의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 두 시각 사이에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제5회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제5회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 속도의 정적분과 위치의 변화량 및 실제로 움직인 거리

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 위치의 변화량은 $\int_{a}^{b} v(t)\,dt$이고, 실제로 움직인 거리는 $\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt$이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 두 시각 $t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)$와 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 $T\;(T \gt 0)$를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제5회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제5회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제5회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제6회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제6회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형) · 쌍곡선의 자취 유도와 접선 및 점근선 삼각형의 넓이

<제시문 (가)> 평면 위의 두 정점 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a\;(0 \lt a \lt c)$인 점 $\mathrm{P}$의 자취는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = c^2 - a^2)$이며, 두 점근선의 방정식은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

좌표평면 위의 두 초점 $\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F}'(-5, 0)$에 대하여 $|\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{FP}}| = 6$을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 그리는 쌍곡선을 $C$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 쌍곡선 $C$의 방정식 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에서 상수 $a^2,\; b^2$의 값을 각각 구하고, 두 점근선의 방정식을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 쌍곡선 $C$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{Q}(5, y_1)$에 대하여 $y_1$의 값을 구하고, 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식을 $5x - 3y = k$ 꼴로 나타내어 상수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선이 두 점근선 $y = \dfrac{4}{3}x,\; y = -\dfrac{4}{3}x$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}$에 대한 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제6회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제6회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질 · 코사인법칙과 각의 이등분선을 이용한 삼각형 외접원·내접원 분석

<제시문 (가)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변의 길이를 $a, b, c$라 할 때, 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ (단, $R$은 외접원의 반지름)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)$ (단, $r$은 내접원의 반지름)이다.

세 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AC}} = 6$이고 $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$인 둔각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{BAC}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이 $a$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하고, 넓이 분할 등식 $S = \triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{ACD}$를 이용하여 각의 이등분선의 길이 $\overline{\mathrm{AD}}$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원의 반지름의 길이 $r$을 분모 유리화하여 $\dfrac{p\sqrt{3} - q\sqrt{21}}{2}$ 꼴로 나타내고 자연수 $p, q$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제6회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제6회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형) · 매개변수 구간에 따른 이차함수의 최솟값 함수와 미분가능성

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 정의된 이차함수 $g(x) = (x - t)^2 + c$의 최솟값은 대칭축 $x = t$가 구간 $[-1, 1]$에 속할 때는 꼭짓점에서의 값 $g(t)$이고, $t \gt 1$일 때는 오른쪽 경계값 $g(1)$이다.
<제시문 (나)> 함수 $f(t)$가 $t = 1$에서 연속이고 좌미분계수 $\lim_{t \to 1-} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1}$와 우미분계수 $\lim_{t \to 1+} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1}$가 일치하면 $f(t)$는 $t = 1$에서 미분가능하다.

양의 실수 $t\;(t \gt 0)$에 대하여 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 정의된 함수 $g(x) = x^2 - 2tx + 4t$의 최솟값을 $f(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $t = 1$일 때 함수 $g(x)$의 식을 구하고 $f(1)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \lt 1$일 때와 $t \gt 1$일 때의 최솟값 함수 $f(t)$의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 $f(t)$가 $t = 1$에서 연속이고 미분가능함을 증명하고, 미분계수 $f'(1)$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제6회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제6회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형) · 부등식과 제곱 항등식으로 정의된 절댓값 결합 함수의 정적분

<제시문 (가)> 두 함수 $f(x),\; g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$와 $\{g(x) - f(x)\}^2 = \{h(x)\}^2$을 만족시키면 $g(x) - f(x) = |h(x)|$, 즉 $g(x) = f(x) + |h(x)|$이다.
<제시문 (나)> 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분은 피적분함수의 부호가 바뀌는 경계점을 기준으로 적분 구간을 나누어 계산한다.

다항함수 $f(x) = 3x$와 연속함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$ 및 $\{g(x) - 3x\}^2 = (x^2 - 2x)^2$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $g(x)$를 절댓값 기호를 포함한 식으로 나타내고, 열린구간 $(0, 3)$에서 $g(x)$가 미분가능하지 않은 모든 $x$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $[0, 2]$와 구간 $[2, 3]$에서 $g(x)$의 다항식 표현을 각각 구하고, 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $g(x)$가 증가함을 도함수 $g'(x)$의 부호를 이용하여 보이시오.

[문항 4-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{0}^{3} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제6회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제6회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (2022 개정 12기하03-05) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (2022 개정 12기하03-05) · 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 및 직각사면체 부피

<제시문 (가)> 좌표공간에서 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$이고 점 $(x_0, y_0, z_0)$을 지나는 평면의 방정식은 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$이다.
<제시문 (나)> 두 평면 $\alpha,\; \beta$의 법선벡터가 $\vec{n}_1,\; \vec{n}_2$일 때 두 평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$이고, 정사영의 넓이는 $S' = S\cos\theta$이다.

좌표공간의 세 좌표축 위의 점 $\mathrm{A}(6, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 3, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 2)$를 지나는 평면을 $\alpha$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 $x + 2y + 3z = 6$으로 유도하고, 원점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표와 선분 $\overline{\mathrm{OH}}$의 길이 $d$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각을 $\theta$라 할 때, 제시문 (나)를 이용하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 $\mathrm{OABC}$의 부피 $V$를 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d$로 계산하여 직각사면체 부피 공식 $\dfrac{1}{6}\overline{\mathrm{OA}}\cdot\overline{\mathrm{OB}}\cdot\overline{\mathrm{OC}}$의 값과 일치함을 확인하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제6회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제6회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제6회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제7회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제7회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) · 타원의 초점 직각삼각형 성질과 접선의 절편 삼각형 넓이

<제시문 (가)> 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a\;(a \gt c \gt 0)$인 타원의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = a^2 - c^2)$이다.
<제시문 (나)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

두 초점이 $\mathrm{F}(3, 0),\; \mathrm{F}'(-3, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 할 때, 타원의 정의 $l_1 + l_2 = 8$과 피타고라스 정리를 연립하여 곱 $l_1 l_2$의 값과 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 밑변 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 6$과 높이 $y_1$로 나타내어 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$라 할 때, 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제7회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제7회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 치환된 지수방정식의 실근 부호 조건과 로그 근과 계수의 관계

<제시문 (가)> 지수방정식 $4^x - p\cdot 2^x + q = 0$에서 $t = 2^x\;(t \gt 0)$으로 치환하면 이차방정식 $t^2 - pt + q = 0$으로 변환되며, $x \gt 0$인 양의 실근은 $t \gt 1$인 실근에 일대일 대응한다.
<제시문 (나)> 이차방정식 $t^2 - pt + q = 0$의 두 양의 실근이 $t_1 = 2^\alpha,\; t_2 = 2^\beta$이면 근과 계수의 관계에 의하여 $2^{\alpha+\beta} = t_1 t_2 = q$이다.

실수 $x$에 대한 지수방정식 $4^x - 6\cdot 2^x + k = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$를 가질 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $k$는 상수이다.)

[문항 2-1] (6점) $t = 2^x$으로 치환한 이차방정식 $h(t) = t^2 - 6t + k = 0$이 서로 다른 두 양의 실근 $t_1,\; t_2$를 갖기 위한 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 지수방정식의 두 실근 $\alpha,\; \beta$가 모두 양수($0 \lt \alpha \lt \beta$)가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 제시문 (가)를 이용하여 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $\alpha + \beta = 3$일 때 상수 $k$의 값을 구하고, 그때 $4^\alpha + 4^\beta$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제7회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제7회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) · 절댓값 결합 함수의 단조증가 증명과 직선과의 유일 교점 기울기 범위

<제시문 (가)> 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, 2]$에서 연속이고 각 부분 열린구간에서 $g'(x) \gt 0$이면 $g(x)$는 닫힌구간 $[0, 2]$에서 순증가한다.
<제시문 (나)> 곡선 $y = g(x)$ 위의 첨점 $(1, g(1))$을 지나는 직선 $y = k(x - 1) + g(1)$이 구간 $[0, 2]$에서 곡선과 오직 한 점에서만 만나려면 직선이 두 구간 $[0, 1),\; (1, 2]$에서 곡선과 추가로 만나지 않아야 한다.

닫힌구간 $[0, 2]$에서 정의된 함수 $g(x) = 3x + |x^2 - 1|$과 점 $\mathrm{A}(1, 3)$을 지나는 직선 $L : y = k(x - 1) + 3\;(k \gt 0)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 구간 $[0, 1]$과 구간 $[1, 2]$에서 $g(x)$의 식을 각각 구하고, $x = 1$에서의 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, 2]$에서 증가함을 보이고, 양 끝점 $\mathrm{B}(0, g(0))$와 $\mathrm{C}(2, g(2))$에 대하여 두 할선 $\mathrm{AB},\; \mathrm{AC}$의 기울기를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $g(x) = k(x - 1) + 3$이 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $x = 1$을 유일한 실근으로 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제7회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제7회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 · 정적분으로 정의된 이차 가중 함수의 도함수와 극값 차

<제시문 (가)> 연속함수 $f(t)$에 대하여 $G(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt$를 $x$에 대하여 미분하면 $G'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$이고 $G''(x) = f(x)$이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 $H(x)$의 도함수가 $H'(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)\;(\alpha \lt \beta)$이면 $H(x)$의 극댓값과 극솟값의 차는 $\int_{\alpha}^{\beta} |H'(x)|\,dx = \dfrac{3}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

일차함수 $f(x) = 6x - 18$에 대하여 함수 $G(x) = \int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 $G'(x)$를 $x$에 대한 이차식으로 구하고, 방정식 $G'(x) = 0$의 두 실근 $\alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $G(1)$과 $G'(1)$의 값을 이용하여 삼차함수 $G(x)$의 식을 구하고, 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = G(x)$의 변곡점(이계도함수 $G''(x) = 0$인 점)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제7회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제7회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (2022 개정 12확통03-06) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (2022 개정 12확통03-06) · 조건부확률 베이즈 정리와 모비율 신뢰구간의 결합 추론

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A,\; A^c$와 사건 $E$에 대하여 전체확률의 법칙 $\mathrm{P}(E) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(E|A) + \mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(E|A^c)$와 베이즈 정리 $\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap E)}{\mathrm{P}(E)}$가 성립한다.
<제시문 (나)> 크기가 $n$인 임의추출 표본의 표본비율이 $\hat{p}$일 때, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$)

어느 공장에서 생산되는 반도체 칩 중 $\mathrm{A}$라인 생산분이 $20\%$, $\mathrm{B}$라인 생산분이 $80\%$를 차지한다. $\mathrm{A}$라인 칩이 우량품일 확률은 $0.9$, $\mathrm{B}$라인 칩이 우량품일 확률은 $0.8$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 임의로 선택한 칩 $1$개가 우량품인 사건을 $E$라 할 때, 제시문 (가)를 이용하여 $\mathrm{P}(E)$의 값과 이 칩이 $\mathrm{A}$라인에서 생산되었을 조건부확률 $\mathrm{P}(A|E)$를 기약분수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장의 전체 칩 중에서 임의추출한 크기 $n = 400$인 표본에서 특정 기준을 통과한 칩의 표본비율이 $\hat{p} = 0.64$였을 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $L = b - a$를 소수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율이 $\hat{p} = 0.64$로 일정할 때, 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $b - a$가 $0.04704$ 이하가 되도록 하는 자연수 표본 크기 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제7회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제7회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제7회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제8회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제8회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 · 포물선의 초점 현 성질과 수직인 두 접선의 교점 자취

<제시문 (가)> 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 준선이 $x = -p\;(p \gt 0)$인 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$이며, 포물선 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점까지의 거리는 $\overline{\mathrm{FP}} = x_1 + p$이다.
<제시문 (나)> 포물선 $y^2 = 4px$에 접하고 기울기가 $m\;(m \ne 0)$인 접선의 방정식은 $y = mx + \dfrac{p}{m}$이며, 포물선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

초점이 $\mathrm{F}(2, 0)$이고 준선이 $x = -2$인 포물선 $C : y^2 = 8x$ 위의 두 점 $\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(x_2, y_2)$를 지나는 직선이 초점 $\mathrm{F}$를 지날 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\overline{\mathrm{AF}}$의 길이를 구하고, 직선 $\mathrm{AB}$가 $x$축에 수직임을 이용하여 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 초점 현 $\overline{\mathrm{AB}}$의 길이를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 포물선 $C : y^2 = 8x$ 위의 점 $\mathrm{P}(8, 8)$에서의 접선 $L_1$의 방정식과, 점 $\mathrm{P}$가 아닌 포물선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 $L_2$가 $L_1$과 수직일 때 직선 $L_2$의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 두 수직 접선 $L_1,\; L_2$의 교점 $\mathrm{R}$의 좌표를 구하여 점 $\mathrm{R}$이 준선 $x = -2$ 위에 있음을 확인하고, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제8회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제8회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 · 계차 구조를 갖는 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수 합

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_{n+1} - a_n = d_n$을 만족시키면 $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k$이다.
<제시문 (나)> 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)$를 이용하면 두 칸 간격으로 상쇄되는 부분합을 구할 수 있다.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 이차식으로 구하고 인수분해하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}$를 $n$에 대한 식으로 나타내고, $S_5$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 $\dfrac{3}{4} - S_n \lt \dfrac{1}{6}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제8회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제8회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) · 평균값 정리를 이용한 부등식 증명과 역함수 접선의 넓이

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$인 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.
<제시문 (나)> 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) \gt 0$이면 역함수 $g(x)$가 존재하며, $b = f(a)$일 때 역함수의 미분계수는 $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 $f(x) = x^3 + 3x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 3(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 수 있는지 판정하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 6$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2)$와 $g'(6)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $\mathrm{B}(2, 0)$에서의 접선 $L_1$의 방정식을 구하고, 직선 $L_1$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제8회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제8회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수 $y = f(x)$ 위의 점 $(p, f(p))$에서의 접선 $y = l(x)$가 곡선과 다시 만나는 점의 $x$좌표가 $q$이면 $f(x) - l(x) = a(x - p)^2(x - q)$로 인수분해된다.
<제시문 (나)> 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_{\min(p,q)}^{\max(p,q)} |a(x - p)^2(x - q)|\,dx = \dfrac{|a|}{12}|q - p|^4$이다.

삼차곡선 $C : y = x^3 - 3x$ 위의 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선을 $L$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선 $L$의 방정식을 구하고, 접선 $L$이 곡선 $C$와 다시 만나는 교점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 곡선 $C$와 접선 $L$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 열린구간 $(-2, 1)$에서 곡선 $C$ 위의 동점 $\mathrm{R}(t, t^3 - 3t)$와 두 점 $\mathrm{P},\; \mathrm{Q}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최대 넓이를 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제8회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제8회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 · 평면벡터의 선분 내분점 치환과 원 위 동점의 벡터 크기 최대·최소

<제시문 (가)> 평면 위의 두 정점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$와 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}} = 3\overrightarrow{\mathrm{PD}}$가 성립한다.
<제시문 (나)> 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름이 $r$인 원 위의 동점 $\mathrm{P}$와 정점 $\mathrm{D}$ 사이의 거리 $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$의 최댓값은 $\overline{\mathrm{OD}} + r$이고 최솟값은 $|\overline{\mathrm{OD}} - r|$이다.

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1, 6),\; \mathrm{B}(4, 3)$과 원 $C : x^2 + y^2 = 4$ 위를 움직이는 동점 $\mathrm{P}$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 구하고, 원점 $\mathrm{O}$에서 점 $\mathrm{D}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{OD}}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 벡터 $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$가 최댓값을 가질 때의 원 위의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하고, 그때 내적 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제8회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제8회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제8회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제9회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제9회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) · 타원 초점 삼각형의 코사인법칙과 접선까지의 수선 거리 곱 불변성

<제시문 (가)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a \gt b \gt 0)$의 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c^2 = a^2 - b^2)$과 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} + \overline{\mathrm{FP}} = 2a$이다.
<제시문 (나)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.

두 초점이 $\mathrm{F}(2, 0),\; \mathrm{F}'(-2, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}$가 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 60^\circ$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 할 때, 타원의 정의와 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$에서의 코사인법칙을 연립하여 곱 $l_1 l_2$의 값과 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 이 타원에 접하고 기울기가 $1$이고 $y$절편이 양수인 접선 $L$의 방정식을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 두 초점 $\mathrm{F}(2, 0),\; \mathrm{F}'(-2, 0)$에서 [문항 1-2]의 접선 $L$에 내린 수선의 길이를 각각 $d_1,\; d_2$라 할 때, 곱 $d_1 d_2$의 값을 구하여 단축 반지름의 제곱 $b^2 = 5$와 일치함을 보이시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제9회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제9회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) · 선분 위 동점과 코사인법칙으로 정의된 삼각형 넓이의 순간변화율

<제시문 (가)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 두 변의 길이 $\overline{\mathrm{AB}} = c,\; \overline{\mathrm{AC}} = b$와 끼인각 $\angle \mathrm{A} = \theta$가 주어지면 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\theta$이고, 마주 보는 변의 제곱은 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta$이다.
<제시문 (나)> 시각 또는 매개변수 $t$에 대한 다항함수 $S(t)$의 순간변화율은 도함수 $S'(t)$로 구한다.

두 반직선 $\mathrm{OX},\; \mathrm{OY}$가 이루는 각이 $\angle \mathrm{XOY} = 60^\circ$이다. 반직선 $\mathrm{OX}$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 반직선 $\mathrm{OY}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$가 $\overline{\mathrm{OP}} = t,\; \overline{\mathrm{OQ}} = 6 - t\;(0 \lt t \lt 6)$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이 $S(t)$와 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이의 제곱 $L(t) = \overline{\mathrm{PQ}}^2$을 각각 $t$에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이가 최소가 될 때의 $t$의 값, $\overline{\mathrm{PQ}}$의 최솟값, 그리고 그때의 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $t = 2$일 때 $L(t) = \overline{\mathrm{PQ}}^2$의 순간변화율 $L'(2)$와 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이, 그리고 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 반지름 $R$을 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제9회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제9회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) · 삼차함수와 일차함수 차로 정의된 절댓값 함수의 미분가능성

<제시문 (가)> 다항함수 $h(x)$에 대하여 절댓값 함수 $|h(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 방정식 $h(x) = 0$의 모든 실근이 중근 이상의 거듭제곱근이어야 한다.
<제시문 (나)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식 $h(x) = 0$은 적어도 하나의 실근을 가지므로, $|h(x)|$가 실수 전체에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $h(x) = a(x - \alpha)^3$ 꼴로 삼중근을 갖는 것이다.

삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 8$과 직선 $y = mx + n$에 대하여 절댓값 함수의 미분가능성을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 $g_1(x) = |f(x) - mx|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 삼중근 $x = \alpha$와 상수 $m$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 $\alpha,\; m$에 대하여 직선 $y = mx$가 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선임을 미분계수로 확인하시오.

[문항 3-3] (7점) 직선 $y = 6x - 4$에 대하여 함수 $g_2(x) = |f(x) - (6x - 4)|$가 미분가능하지 않은 실수 $x$의 값을 구하고, 정적분 $\int_{1}^{4} g_2(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제9회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제9회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) · 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 연속함수의 정적분

<제시문 (가)> 우함수 $f(-x) = f(x)$는 닫힌구간 $[-a, a]$에서 $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$를 만족시키고, 기함수 $g(-x) = -g(x)$는 $\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0$을 만족시킨다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + p) = f(x)\;(p \gt 0)$를 만족시키는 주기함수는 임의의 한 주기 구간에서의 정적분 값이 $\int_{a}^{a+p} f(x)\,dx = \int_{0}^{p} f(x)\,dx$로 일정하다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 논제에 답하시오.
(조건 1) $0 \le x \le 2$일 때 $f(x) = 3x^2 - 6x + 4$이다.
(조건 2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이고 $f(x + 4) = f(x)$이다.

[문항 4-1] (6점) $-2 \le x \le 0$에서 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 한 주기 구간 $[-2, 2]$에서의 정적분 $I = \int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_{t}^{t+4} x f(x)\,dx$의 도함수 $H'(t)$를 구하고, $H(0)$과 $H(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제9회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제9회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 · 정사면체의 이면각 코사인과 평면 위로의 정사영 넓이

<제시문 (가)> 한 모서리의 길이가 $a$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 밑면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{G}$는 정삼각형 $\mathrm{BCD}$의 무게중심이다.
<제시문 (나)> 평면 $\alpha$ 위의 넓이가 $S$인 도형을 평면 $\beta$ 위로 정사영한 넓이는 $S' = S\cos\theta$ (단, $\theta$는 두 평면이 이루는 예각)이다.

한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 모서리 $\mathrm{CD}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 밑면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정삼각형 $\mathrm{ACD}$와 $\mathrm{BCD}$의 중선 $\overline{\mathrm{AM}},\; \overline{\mathrm{BM}}$의 길이를 구하고, 두 면 $\mathrm{ACD},\; \mathrm{BCD}$가 이루는 이면각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$와 $\sin\theta$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 높이 $\overline{\mathrm{AG}}$와 부피 $V$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 밑면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이 $S_1$과, 삼각형 $\mathrm{ABM}$의 밑면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이 $S_2$를 각각 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제9회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제9회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제9회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제10회 (문항 1/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제10회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) · 쌍곡선 초점 직각삼각형의 넓이와 접선의 x절편 성질

<제시문 (가)> 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(c^2 = a^2 + b^2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $|\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{FP}}| = 2a$이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

두 초점이 $\mathrm{F}(4, 0),\; \mathrm{F}'(-4, 0)$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{7} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 할 때, 쌍곡선의 정의 $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7}$과 피타고라스 정리를 이용하여 곱 $l_1 l_2$의 값과 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 밑변 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 8$과 높이 $y_1$로 나타내어 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{T}$의 $x$좌표를 구하고, $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$가 성립함을 통해 접선 $\mathrm{PT}$가 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 이등분선임을 확인하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제10회 (문항 2/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제10회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 · 지수항이 결합된 선형 점화식의 치환 해법과 부분합

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_{n+1} = p a_n + q^n\;(p \ne q)$을 만족시킬 때 양변을 $q^{n+1}$으로 나누어 $b_n = \dfrac{a_n}{q^n}$으로 치환하면 $b_{n+1} = \dfrac{p}{q}b_n + \dfrac{1}{q}$ 꼴의 점화식으로 변환된다.
<제시문 (나)> 첫째항이 $A$이고 공비가 $r\;(r \ne 1)$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $\dfrac{A(r^n - 1)}{r - 1}$이다.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 주어진 점화식의 양변에서 $3^{n+1}$을 빼서 수열 $\{a_n - 3^n\}$이 공비가 $2$인 등비수열임을 보이고, 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 일반항 $a_n$을 이용하여 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n}$의 값을 구하고, 제$5$항까지의 합 $S_5$의 값을 계산하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제10회 (문항 3/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제10회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) · 가변 닫힌구간에서 삼차함수의 최솟값 함수와 미분불가능점

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[0, t]\;(t \gt 0)$에서 연속함수 $f(x)$의 최솟값을 $m(t) = \min_{0 \le x \le t} f(x)$라 하면, $f(x)$가 증가하는 구간에서는 최솟값이 유지되고 더 작은 함숫값이 나타나는 구간에서는 $m(t) = f(t)$가 된다.
<제시문 (나)> 구간별로 정의된 연속함수 $m(t)$의 경계점 $t = c$에서 좌미분계수와 우미분계수가 서로 다르면 $m(t)$는 $t = c$에서 미분가능하지 않다.

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 4$에 대하여 양수 $t\;(t \gt 0)$를 오른쪽 끝점으로 하는 닫힌구간 $[0, t]$에서 $f(x)$의 최솟값을 $m(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하여 $x \ge 0$에서 $f(x)$의 극댓값을 구하고, 방정식 $f(x) = f(0)$을 만족시키는 양수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \le 3$일 때와 $t \gt 3$일 때의 최솟값 함수 $m(t)$의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 열린구간 $(0, \infty)$에서 함수 $m(t)$가 미분가능하지 않은 $t$의 값과 그때의 좌·우미분계수를 구하고, 정적분 $\int_{0}^{4} m(t)\,dt$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제10회 (문항 4/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제10회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) · 포물선과 기울기 가변 직선으로 둘러싸인 넓이 함수의 변화율

<제시문 (가)> 이차함수 $y = ax^2 + bx + c\;(a \ne 0)$의 그래프와 직선 $y = mx + n$이 서로 다른 두 점 $x = \alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$에서 만날 때 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
<제시문 (나)> 매개변수 $k$로 표현된 함수 $S(k)$의 $k = k_0$에서의 순간변화율은 $S'(k_0)$이다.

양수 $k\;(k \gt 0)$에 대하여 이차곡선 $y = x^2 - 2kx$와 직선 $y = kx$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 $y = x^2 - 2kx$와 직선 $y = kx$의 두 교점의 $x$좌표를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 넓이 $S(k)$를 $k$에 대한 삼차식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) $k = 2$일 때의 넓이 $S(2)$와 순간변화율 $S'(2)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = x^2 - 2kx$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A(k)$라 할 때, 비율 $\dfrac{S(k)}{A(k)}$의 값을 $k$에 관계없는 기약분수로 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 모의 문제집 2027학년도 서강대학교 자연계열 실전 모의고사 제10회 (문항 5/5)

시험시간 100분 | 문항당 20점 (총 100점)

제10회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

🎯 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 · 이산확률변수의 기댓값·분산과 표본평균의 정규분포 확률

<제시문 (가)> 이산확률변수 $X$가 값 $x_i$를 가질 확률이 $p_i$일 때 $\sum p_i = 1$이며, 기댓값은 $\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i$, 분산은 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$이다.
<제시문 (나)> 모평균이 $m$, 모분산이 $\sigma^2$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\bar{X}$에 대하여 $\mathrm{E}(\bar{X}) = m,\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$이다.

이산확률변수 $X$가 가질 수 있는 값이 $1, 2, 3$이고 $\mathrm{P}(X = 1) = a,\; \mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{1}{2},\; \mathrm{P}(X = 3) = b$이며 기댓값이 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$를 연립하여 상수 $a,\; b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\mathrm{E}(X^2)$과 분산 $\mathrm{V}(X)$를 각각 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 이 확률변수 $X$와 동일한 분포를 따르는 모집단에서 크기가 $n = 28$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X}$의 기댓값 $\mathrm{E}(\bar{X})$와 표준편차 $\sigma(\bar{X})$를 구하고, $\mathrm{V}(8\bar{X})$의 값을 구하시오.

✍️ [3단계 논술 답안 작성 가이드] ① 제시문 정리·공식 선언(6점) ➔ ② 소문항별 핵심 수식 전개(8점) ➔ ③ 최종 결론 도출(6점)

PART 2-1 자기 채점표 2027학년도 서강대학교 실전 모의고사 제10회 자가 채점 & 시간 점검표

제한시간 100분 | 만점 100점

📝 제10회 실전 모의고사 자가 채점 & 시간 배분 점검표 제한시간 100분 | 만점 100점 (문항당 20점)

• 서강대 자연계열 수리논술 실전 감점 방어 3원칙 점검 및 문항별 자기 채점 기록란

문항	권장 소요시간	핵심 감점 방어 체크포인트	자가 채점 ( / 20점)
Q1	18분	제시문 정리·성질 번호 명시 여부	/ 20점
Q2	20분	등호 성립 조건·구간 경계 부호 확인	/ 20점
Q3	20분	좌극한·우극한 및 미분계수 정의 서술	/ 20점
Q4	20분	치환 변수 범위 및 정적분 대칭성 근거	/ 20점
Q5	22분	케이스 분류 누락 여부 및 최종 기약분수	/ 20점

📊 제10회 총점 기록: ( ) / 100점 | Part 2-2 모의 해설집에서 20점 루브릭 상세 채점을 진행하세요.

PART 2-2 · 2027 SOGANG MOCK EXAM INTEGRATED SOLUTIONS & RUBRICS

Part 2-2. 2027학년도 서강대학교 자연계열
실전 모의고사 1~10회 통합 해설집 (50문항)

1문항 1페이지 [문제 + 단계별 상세풀이 토글 + 20점 채점 루브릭 + 감점 방어 클리닉] 완결형 편제
기본 상태에서 풀이가 숨겨져 있으며 💡 정답 및 상세풀이 보기 버튼으로 즉시 확인 가능

📌 Part 2-2 모의고사 해설집 3대 핵심 구성

1. 교과서 DB (CITE_06) 1:1 출처 명세: 모든 문항 상단에 2022 개정 고2 수학 교과서 DB의 실제 PDF 파일명, 쪽수, 예제/문제 번호 및 성취기준 코드를 투명하게 명시하였습니다.
2. 풀이 숨김/보기 아코디언 토글: 문제와 풀이가 한 페이지에 함께 수록되어도 스포일러 없이 문제를 먼저 풀고 버튼을 눌러 3단계 풀이를 확인할 수 있습니다.
3. 문항당 20점 정량 루브릭 & 선생님 족집게 클리닉: 소문항별 세부 배점(합계 20점)과 서강대 수험생들이 가장 많이 실수하는 감점 포인트를 짚어줍니다.

QUESTIO 수리논술연구소 | 상호: 퀘스티오(Questio) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 Page 107 / 161 (Part 2-2 Divider)

📘 [제1회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 1-1] (6점) $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 $g(k)$의 부호(양, $0$, 음)를 각각 판정하고, $n$이 짝수일 때 $\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $\sum_{n=2}^{9} \sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-3] (7점) $k = 1$일 때 $g(1) = 4$의 네제곱근 중 양수인 것을 $\alpha$, 음수인 것을 $\beta$라 하자. $\alpha^6 + |\beta|^6$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] 양수 $2$개($k=1,6$), $0$이 $2$개($k=2,5$), 음수 $2$개($k=3,4$), 짝수 $n$일 때 합 $6$ | [1-2] $48$ | [1-3] $16$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $g(k) = (k - 2)(k - 5)$를 인수분해하여 $k$에 따른 부호를 분류하고 제시문 (가)의 홀짝 판정 기준을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $k \in \{1, 6\}$일 때 $g(k) \gt 0$, $k \in \{2, 5\}$일 때 $g(k) = 0$, $k \in \{3, 4\}$일 때 $g(k) \lt 0$이다. $n$이 짝수($2, 4, 6, 8$의 $4$개)일 때 $\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k)) = 2\times 2 + 2\times 1 + 2\times 0 = 6$이고, $n$이 홀수($3, 5, 7, 9$의 $4$개)일 때는 항상 $6\times 1 = 6$이므로 전체 합은 $4\times 6 + 4\times 6 = 48$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $g(1) = 4$의 양의 네제곱근은 $\alpha = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$, 음의 네제곱근은 $\beta = -\sqrt{2}$이므로 $\alpha^6 + |\beta|^6 = (\sqrt{2})^6 + (\sqrt{2})^6 = 8 + 8 = 16$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $g(k)$의 부호 3종 분류 +3점 / 짝수 $n$일 때 합 $6$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 홀수 $n$($4$개) 합 $24$와 짝수 $n$($4$개) 합 $24$ 분리 계산 +4점 / 총합 $48$ 산출 +3점
소문항 [1-3]	• $\alpha = \sqrt{2},\; \beta = -\sqrt{2}$ 도출 +4점 / $\alpha^6 + \|\beta\|^6 = 16$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $g(k) = 0$인 $k = 2, 5$에서는 $n$이 짝수일 때도 실수인 거듭제곱근이 $0$ 한 개씩 존재하므로 누락하지 않아야 합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $g(k)$의 부호 3종 분류 +3점 / 짝수 $n$일 때 합 $6$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 홀수 $n$($4$개) 합 $24$와 짝수 $n$($4$개) 합 $24$ 분리 계산 +4점 / 총합 $48$ 산출 +3점
소문항 [1-3]	• $\alpha = \sqrt{2},\; \beta = -\sqrt{2}$ 도출 +4점 / $\alpha^6 + \|\beta\|^6 = 16$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $g(k) = 0$인 $k = 2, 5$에서는 $n$이 짝수일 때도 실수인 거듭제곱근이 $0$ 한 개씩 존재하므로 누락하지 않아야 합니다.

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $0$

📘 [제1회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 2-3] (7점) $\sum_{k=1}^{6} \cos^2\theta_k$의 값을 대칭성 $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta$를 이용하여 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] 두 합 모두 $0$ | [2-2] $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k$, 합 $60$ | [2-3] $3$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\theta_{k+6} = \theta_k + \pi$이므로 점 $\mathrm{P}_k$와 $\mathrm{P}_{k+6}\;(1 \le k \le 6)$은 원점 대칭임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\cos\theta_{k+6} = -\cos\theta_k,\; \sin\theta_{k+6} = -\sin\theta_k$이므로 $6$쌍이 상쇄되어 두 합은 모두 $0$이다. 또한 $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = (\cos\theta_k - 2)^2 + \sin^2\theta_k = \cos^2\theta_k + \sin^2\theta_k - 4\cos\theta_k + 4 = 5 - 4\cos\theta_k$이므로 $\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 60 - 4(0) = 60$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\cos^2\dfrac{\pi}{6} + \cos^2\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$, $\cos^2\dfrac{4\pi}{6} + \cos^2\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$이고 $\cos^2\dfrac{3\pi}{6} = 0,\; \cos^2\pi = 1$이므로 합은 $1 + 1 + 0 + 1 = 3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $\theta_{k+6} = \theta_k + \pi$ 원점 대칭 상쇄 설명 +4점 / 두 합 모두 $0$ 도출 +2점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k$ 유도 +4점 / 합 $60$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 여각·보각 제곱쌍 결합 또는 개별 계산 +4점 / 값 $3$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $\overline{\mathrm{AP}_k}^2$을 전개할 때 $\cos^2\theta_k + \sin^2\theta_k = 1$로 묶으면 이차항이 상수 $1$로 바뀌어 시그마 계산이 즉시 해결됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $\theta_{k+6} = \theta_k + \pi$ 원점 대칭 상쇄 설명 +4점 / 두 합 모두 $0$ 도출 +2점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k$ 유도 +4점 / 합 $60$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 여각·보각 제곱쌍 결합 또는 개별 계산 +4점 / 값 $3$ 도출 +3점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $1$

📘 [제1회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

삼차다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1$과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5$를 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $f(x)$의 삼차항과 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 1)^2(2x + m)$ 꼴로 나타내고, 상수 $m$의 값과 다항함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] 삼차항 계수 $2$, 이차항 계수 $-1$ | [3-2] $m = 3,\; f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 3$ | [3-3] 서로 다른 실근의 합 $-\dfrac{1}{2},\; f(3) = 36$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 최고차항 계수는 $2$이고, 제시문 (나)에 의해 $f(x) = (x - 1)^2(2x + m)$으로 인수분해된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(2x + m)}{(x - 1)^2} = 2 + m = 5$에서 $m = 3$이다. 전개하면 $f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x + 3) = 2x^3 - x^2 - 4x + 3$이므로 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1$이 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 방정식 $f(x) = (x - 1)^2(2x + 3) = 0$의 서로 다른 실근은 $x = 1, -\dfrac{3}{2}$로 합은 $-\dfrac{1}{2}$이고, $f(3) = 4 \times 9 = 36$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 무한대 극한으로부터 삼차항 계수 $2$, 이차항 계수 $a = -1$ 도출 +6점
소문항 [3-2]	• $(x-1)^2$ 인수 설정 +3점 / $2 + m = 5 \implies m = 3$ 및 $f(x)$ 완성 +4점
소문항 [3-3]	• 서로 다른 실근 $1, -\dfrac{3}{2}$의 합 $-\dfrac{1}{2}$ 산출 +3점 / $f(3) = 36$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 $(x - 1)^2$일 때 극한값이 수렴하려면 분자도 $x - 1$을 두 번 인수로 가져야 약분 후 수렴합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $x - 1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 무한대 극한으로부터 삼차항 계수 $2$, 이차항 계수 $a = -1$ 도출 +6점
소문항 [3-2]	• $(x-1)^2$ 인수 설정 +3점 / $2 + m = 5 \implies m = 3$ 및 $f(x)$ 완성 +4점
소문항 [3-3]	• 서로 다른 실근 $1, -\dfrac{3}{2}$의 합 $-\dfrac{1}{2}$ 산출 +3점 / $f(3) = 36$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 $(x - 1)^2$일 때 극한값이 수렴하려면 분자도 $x - 1$을 두 번 인수로 가져야 약분 후 수렴합니다.

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $x - 1$

📘 [제1회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 4-1] (6점) $x = 2$에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 $P(2)$로 나타내어 제시문 (가)의 조건 $P(2) = 0$이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) $x \lt 2$인 구간에서 $h(x)$의 도함수 $h'(x)$를 구하고, 조건 $P(2) = 0$과 $h'(1) = 3$을 연립하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 $h(x)$가 $x \ne 2$에서 미분계수 $h'(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] 우미분계수 $P(2)$, 좌미분계수 $-P(2) \implies P(2) = 0$ | [4-2] $a = -1,\; b = -2$ | [4-3] $x = 0$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수의 정의 $\lim_{t \to 2\pm}\dfrac{|t - 2|P(t) - 0}{t - 2} = \pm P(2)$를 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우미분계수 $P(2)$와 좌미분계수 $-P(2)$가 같으므로 $P(2) = 0 \implies P(x) = (x - 2)(x - k)$이다. $x \lt 2$에서 $h(x) = -(x - 2)^2(x - k)$이므로 $h'(x) = -(x - 2)(3x - 2k - 2)$이고, $h'(1) = 3 - 2k - 2 = 1 - 2k = 3$에서 $k = -1$이므로 $P(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2\;(a = -1, b = -2)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 조건 $h'(1) = 3$과 $P(2) = 0$을 연립하면 $a = -1,\; b = -2$이므로 $P(x) = (x - 2)(x + 1)$이고, $x \ne 2$에서 $h'(x) = \pm 3x(x - 2) = 0$을 만족시키는 값은 $x = 0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 우미분계수 $P(2)$, 좌미분계수 $-P(2)$ 유도 +4점 / $P(2) = 0$ 증명 +2점
소문항 [4-2]	• $x \lt 2$에서 $h'(x)$ 도출 +3점 / 연립으로 $a = -1,\; b = -2$ 산출 +4점
소문항 [4-3]	• $h(x) = \|x-2\|(x-2)(x+1)$ 도함수 인수분해 +4점 / $x = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $P(2) = 0$이므로 $P(x) = (x - 2)(x - k)$로 인수분해하여 대입하면 $h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)$가 되어 미분이 매우 간단해집니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 우미분계수 $P(2)$, 좌미분계수 $-P(2)$ 유도 +4점 / $P(2) = 0$ 증명 +2점
소문항 [4-2]	• $x \lt 2$에서 $h'(x)$ 도출 +3점 / 연립으로 $a = -1,\; b = -2$ 산출 +4점
소문항 [4-3]	• $h(x) = \|x-2\|(x-2)(x+1)$ 도함수 인수분해 +4점 / $x = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $P(2) = 0$이므로 $P(x) = (x - 2)(x - k)$로 인수분해하여 대입하면 $h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)$가 되어 미분이 매우 간단해집니다.

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)$

📘 [제1회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + 4\int_{0}^{1} t f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-2] (7점) $B = \int_{0}^{1} t(3t^2 - 2At + 4B)\,dt$를 정리하여 두 번째 관계식을 구하고, 연립방정식을 풀어 상수 $A, B$와 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $2A - 4B = 1$ | [5-2] $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4},\; f(x) = 3x^2 - 6x + 5$ | [5-3] $12$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 $f(x) = 3x^2 - 2Ax + 4B$로 놓고 두 정적분 정의식에 다시 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt = 1 - A + 4B \implies 2A - 4B = 1$이다. 또한 $B = \int_{0}^{1} (3t^3 - 2At^2 + 4Bt)\,dt = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B \implies 8A - 12B = 9$이므로 연립하면 $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$이고, 대칭 구간 적분은 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 6x + 5)\,dx = 2\int_{0}^{1} (3x^2 + 5)\,dx = 2(1 + 5) = 12$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $A = 1 - A + 4B$ 적분 전개 +3점 / $2A - 4B = 1$ 관계식 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B$ 적분 및 연립으로 $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}$ 산출 +4점 / $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$ 완성 +3점
소문항 [5-3]	• 우·기함수 대칭 적분 $2\int_0^1 (3x^2 + 5)\,dx$ 적용 +4점 / 값 $12$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수 $[0, 1]$인 정적분은 변수가 아니라 상수이므로 반드시 상수 문자 $A, B$로 치환하여 연립방정식을 세워야 합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $A, B$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $A = 1 - A + 4B$ 적분 전개 +3점 / $2A - 4B = 1$ 관계식 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B$ 적분 및 연립으로 $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}$ 산출 +4점 / $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$ 완성 +3점
소문항 [5-3]	• 우·기함수 대칭 적분 $2\int_0^1 (3x^2 + 5)\,dx$ 적용 +4점 / 값 $12$ 도출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $A, B$

📘 [제2회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

양수 $x$가 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1}$과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$과 $x^3 + x^{-3}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}}$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $x + x^{-1} = 5,\; x^2 + x^{-2} = 23$ | [1-2] $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7},\; x^3 + x^{-3} = 110$ | [1-3] $4\sqrt{7}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $u = x^{\frac{1}{2}}$로 치환하면 $u + u^{-1} = \sqrt{7}$이므로 제시문 (나)의 거듭제곱 대칭식 공식을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = (\sqrt{7})^2 - 2 = 5$이고, $x^2 + x^{-2} = 5^2 - 2 = 23$이다. 또한 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = u^3 + u^{-3} = (\sqrt{7})^3 - 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$이며, $x^3 + x^{-3} = 5^3 - 3(5) = 110$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구하는 식의 분자는 $110 + 2 = 112$이고 분모는 $4\sqrt{7}$이므로 $\dfrac{112}{4\sqrt{7}} = \dfrac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 5$ 도출 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 23$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7}$ 유도 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 110$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 $112$ 및 분모 $4\sqrt{7}$ 대입 +4점 / 유리화 결과 $4\sqrt{7}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2$임을 발견하면 분모와 즉시 약분되어 검산이 한 줄로 끝납니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 5$ 도출 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 23$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7}$ 유도 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 110$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 $112$ 및 분모 $4\sqrt{7}$ 대입 +4점 / 유리화 결과 $4\sqrt{7}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2$임을 발견하면 분모와 즉시 약분되어 검산이 한 줄로 끝납니다.

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2$

📘 [제2회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 2-1] (6점) 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\log_3 t$로 나타내고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 평행사변형임을 보이고, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $24$일 때, 양수 $t$의 값과 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기를 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $x_{\mathrm{A}} = \log_3 t,\; x_{\mathrm{B}} = \log_3 t + 2,\; \overline{\mathrm{AB}} = 2$ | [2-2] $S(t) = 4t$ | [2-3] $t = 6$, 기울기 $12$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $3^x = t \iff x = \log_3 t$이고, $3^{x-2} = t \iff x = \log_3 t + 2$임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\overline{\mathrm{AB}} = (\log_3 t + 2) - \log_3 t = 2$이다. 마찬가지로 $y = 3t$와의 교점에서도 $\overline{\mathrm{DC}} = 2$이고 $\mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC}$이므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 밑변이 $2$, 높이가 $3t - t = 2t$인 평행사변형이다. 따라서 $S(t) = 2 \times 2t = 4t$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $S(t) = 4t = 24$에서 $t = 6$이다. 이때 $\mathrm{A}(\log_3 6, 6),\; \mathrm{D}(\log_3 6 + 1, 18)$이므로 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기는 $\dfrac{18 - 6}{(\log_3 6 + 1) - \log_3 6} = 12$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}$ 좌표 도출 +4점 / $\overline{\mathrm{AB}} = 2$ 산출 +2점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2$ 평행사변형 논증 +3점 / $S(t) = 4t$ 유도 +4점
소문항 [2-3]	• $t = 6$ 산출 +3점 / 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기 $12$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: $\log_3 (3t) = \log_3 t + 1$이므로 점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축으로 $1$, $y$축으로 $2t$만큼 이동한 점입니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $2t$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}$ 좌표 도출 +4점 / $\overline{\mathrm{AB}} = 2$ 산출 +2점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2$ 평행사변형 논증 +3점 / $S(t) = 4t$ 유도 +4점
소문항 [2-3]	• $t = 6$ 산출 +3점 / 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기 $12$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: $\log_3 (3t) = \log_3 t + 1$이므로 점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축으로 $1$, $y$축으로 $2t$만큼 이동한 점입니다.

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $2t$

📘 [제2회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

양수 $x$에 대하여 정의된 함수 $f(x)$가 부등식 $\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x \le f(x) \le \sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 유리화 방법을 이용하여 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} f(x)$의 값을 구하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $3$ | [3-2] $3$ | [3-3] $0$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\sqrt{4x^2 + 12x + c} - 2x = \dfrac{12x + c}{\sqrt{4x^2 + 12x + c} + 2x}$로 유리화하고 분모·분자를 $x$로 나눈다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 좌변의 극한은 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{12 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} = \dfrac{12}{4} = 3$이고, 우변은 $\sqrt{(2x + 3)^2} - 2x = 3$으로 상수함수 $3$이다. 따라서 제시문 (나)에 의해 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 우변 식 자체가 $\sqrt{(2x+3)^2} - 2x = 3$이므로 주어진 극한 조건은 $\lim_{x \to \infty} x\{3 - f(x)\} = 0$이 되어 $\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\} = 0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 켤레식 유리화 식 변형 +3점 / 극한값 $3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 우변 극한 $3$ 확인 및 조임 정리 명시 +4점 / $\lim_{x\to\infty} f(x) = 3$ 산출 +3점
소문항 [3-3]	• $\sqrt{4x^2+12x+9} - 2x = (2x+3) - 2x = 3$ 항등 변형 +4점 / 극한값 $0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$이 완전제곱식임을 파악하면 $x \gt 0$에서 우변이 상수 $3$으로 간단히 정리됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 켤레식 유리화 식 변형 +3점 / 극한값 $3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 우변 극한 $3$ 확인 및 조임 정리 명시 +4점 / $\lim_{x\to\infty} f(x) = 3$ 산출 +3점
소문항 [3-3]	• $\sqrt{4x^2+12x+9} - 2x = (2x+3) - 2x = 3$ 항등 변형 +4점 / 극한값 $0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$이 완전제곱식임을 파악하면 $x \gt 0$에서 우변이 상수 $3$으로 간단히 정리됩니다.

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $3$

📘 [제2회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 4-2] (7점) 함수 $g(t)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 접선의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $k = 3$일 때, 점 $\mathrm{P}(0, 3)$에서 곡선에 그은 두 접선의 기울기를 각각 구하고 그 합을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $-2t^3 + 3t^2 + 2 = k$ | [4-2] 극솟값 $2$, 극댓값 $3$, $k$의 합 $5$ | [4-3] 기울기 $-3, \dfrac{15}{4}$, 합 $\dfrac{3}{4}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(t) = 3t^2 - 6t$이므로 접선의 방정식에 $(0, k)$를 대입하여 $k$를 $t$의 삼차함수 $g(t)$로 정리한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $k - (t^3 - 3t^2 + 2) = (3t^2 - 6t)(0 - t) \implies k = -2t^3 + 3t^2 + 2 = g(t)$이다. $g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$에서 $t = 0, 1$이므로 극솟값 $g(0) = 2$, 극댓값 $g(1) = 3$이다. 접선이 $2$개인 $k$는 $k = 2, 3$이므로 합은 $5$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $k = 2$일 때 접점의 $t$좌표는 $t = 0, \dfrac{3}{2}$이므로 두 접선의 기울기는 $f'(0) = 0,\; f'\left(\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}$이고, $k = 3$일 때는 $t = 1, -\dfrac{1}{2}$이므로 기울기는 $f'(1) = -3,\; f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{15}{4}$이다. 특히 $k = 3$일 때 두 기울기의 합은 $-3 + \dfrac{15}{4} = \dfrac{3}{4}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선의 방정식에 $(0, k)$ 대입 +3점 / $g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = k$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• $g'(t) = -6t(t-1)$ 극값 $g(0)=2, g(1)=3$ 산출 +4점 / $k$의 합 $5$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 각 $k$에서 중근·단근 접점 $t$ 구하기 +4점 / 두 접선 기울기 합 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수에서는 접점 $t$가 다르면 접선도 서로 다르므로, 접선의 개수는 곧 방정식 $g(t) = k$의 서로 다른 실근의 개수와 정확히 일치합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $g(t) = k$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선의 방정식에 $(0, k)$ 대입 +3점 / $g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = k$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• $g'(t) = -6t(t-1)$ 극값 $g(0)=2, g(1)=3$ 산출 +4점 / $k$의 합 $5$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 각 $k$에서 중근·단근 접점 $t$ 구하기 +4점 / 두 접선 기울기 합 산출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $g(t) = k$

📘 [제2회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속임을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 기본 구간에서의 정적분 $I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{0}^{10} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $a = 4$ | [5-2] $I_0 = 2$ | [5-3] $90$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x = 0$을 관계식 $f(x + 2) = f(x) + a$에 대입하여 연속 조건 $f(2) = f(0) + a$를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f(0) = 1,\; f(2) = 12 - 8 + 1 = 5$이므로 $5 = 1 + a \implies a = 4$이다. 또한 $I_0 = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{0}^{2} = 8 - 8 + 2 = 2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 $[0, 10]$을 길이 $2$인 $5$개의 구간 $[2n, 2n+2]\;(n = 0, 1, 2, 3, 4)$로 나누면 $\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = I_0 + 2(4n) = 2 + 8n$이므로 $\sum_{n=0}^{4} (2 + 8n) = 10 + 8\times 10 = 90$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $f(2) = f(0) + a$ 연속성 조건 설정 +3점 / $a = 4$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 부정적분 $x^3 - 2x^2 + x$ 계산 +4점 / $I_0 = 2$ 산출 +3점
소문항 [5-3]	• 구간별 적분 일반항 $2 + 8n$ 유도 +4점 / 합 $90$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $\int_{2n}^{2n+2} a n\,dx$에서 상수 $an$에 구간 길이 $2$가 곱해져 $2an = 8n$이 된다는 점에 주의하십시오.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $2an = 8n$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $f(2) = f(0) + a$ 연속성 조건 설정 +3점 / $a = 4$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 부정적분 $x^3 - 2x^2 + x$ 계산 +4점 / $I_0 = 2$ 산출 +3점
소문항 [5-3]	• 구간별 적분 일반항 $2 + 8n$ 유도 +4점 / 합 $90$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $\int_{2n}^{2n+2} a n\,dx$에서 상수 $an$에 구간 길이 $2$가 곱해져 $2an = 8n$이 된다는 점에 주의하십시오.

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $2an = 8n$

📘 [제3회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

$1$보다 큰 두 실수 $x, y$가 $\log_2 x + \log_2 y = 6$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $u = \log_2 x,\; v = \log_2 y$라 할 때, $u \gt 0, v \gt 0$임을 설명하고 산술·기하 평균 부등식을 이용하여 $uv$의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $(\log_2 x)(\log_2 y) = 8$일 때, $x, y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 $\log_x y + \log_y x$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] 최댓값 $9$ | [1-2] $(4, 16)$ 또는 $(16, 4)$ | [1-3] $\dfrac{5}{2}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x \gt 1, y \gt 1$이므로 $u = \log_2 x \gt 0,\; v = \log_2 y \gt 0$이고 $u + v = 6$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $6 = u + v \ge 2\sqrt{uv}$에서 $uv \le 9$이므로 최댓값은 $9$이다. $uv = 8$이면 $u, v$는 이차방정식 $t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4) = 0$의 두 근이므로 $(u, v) = (2, 4)$ 또는 $(4, 2)$, 즉 $(x, y) = (4, 16)$ 또는 $(16, 4)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 밑변환 공식에 의해 $\log_x y + \log_y x = \dfrac{v}{u} + \dfrac{u}{v} = \dfrac{u^2 + v^2}{uv} = \dfrac{(u+v)^2 - 2uv}{uv} = \dfrac{36 - 16}{8} = \dfrac{5}{2}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $u, v \gt 0$ 확인 및 산술·기하 부등식 적용 +3점 / 최댓값 $9$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 이차방정식 $t^2 - 6t + 8 = 0$ 작성 +3점 / $(4, 16), (16, 4)$ 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 밑변환 공식 $\dfrac{u^2+v^2}{uv}$ 변형 +4점 / 값 $\dfrac{5}{2}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $x \gt 1, y \gt 1$ 조건이 있어야 로그값 $u = \log_2 x, v = \log_2 y$가 양수가 되어 산술·기하 평균 부등식을 적용할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $u = \log_2 x, v = \log_2 y$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $u, v \gt 0$ 확인 및 산술·기하 부등식 적용 +3점 / 최댓값 $9$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 이차방정식 $t^2 - 6t + 8 = 0$ 작성 +3점 / $(4, 16), (16, 4)$ 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 밑변환 공식 $\dfrac{u^2+v^2}{uv}$ 변형 +4점 / 값 $\dfrac{5}{2}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $x \gt 1, y \gt 1$ 조건이 있어야 로그값 $u = \log_2 x, v = \log_2 y$가 양수가 되어 산술·기하 평균 부등식을 적용할 수 있습니다.

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $u = \log_2 x, v = \log_2 y$

📘 [제3회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

길이가 $24$인 철사를 구부려 반지름의 길이가 $r$이고 호의 길이가 $l$인 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 호의 길이 $l$을 $r$에 대한 식으로 나타내고, 부채꼴의 넓이 $S(r)$을 $r$에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 넓이 $S(r)$이 최대가 될 때의 반지름 $r$, 최댓값 $S_{\max}$, 그리고 중심각 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 넓이가 최댓값일 때, 이 부채꼴의 두 반지름의 끝점을 잇는 현의 길이를 $\sin 1$을 이용하여 나타내시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $l = 24 - 2r,\; S(r) = -r^2 + 12r$ | [2-2] $r = 6,\; S_{\max} = 36,\; \theta = 2$ | [2-3] $12\sin 1$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 둘레의 길이 조건 $2r + l = 24$를 제시문 (가)의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}rl$에 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $l = 24 - 2r\;(0 \lt r \lt 12)$이므로 $S(r) = \dfrac{1}{2}r(24 - 2r) = -r^2 + 12r = -(r - 6)^2 + 36$이다. 따라서 $r = 6$일 때 최댓값 $S_{\max} = 36$을 갖고, 이때 $l = 12$이므로 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$ (라디안)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 중심에서 현에 내린 수선은 중심각 $\theta = 2$를 이등분하므로 현의 절반의 길이는 $r\sin\dfrac{\theta}{2} = 6\sin 1$이고, 전체 현의 길이는 $12\sin 1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $l = 24 - 2r$ 도출 +3점 / $S(r) = -r^2 + 12r$ 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 변형으로 $r = 6,\; S_{\max} = 36$ 도출 +4점 / $\theta = 2$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 중심각 이등분 직각삼각형 설정 +4점 / 현의 길이 $12\sin 1$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 중심각은 둘레의 값에 상관없이 항상 $\theta = 2$ 라디안으로 일정합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\theta = 2$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $l = 24 - 2r$ 도출 +3점 / $S(r) = -r^2 + 12r$ 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 변형으로 $r = 6,\; S_{\max} = 36$ 도출 +4점 / $\theta = 2$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 중심각 이등분 직각삼각형 설정 +4점 / 현의 길이 $12\sin 1$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 중심각은 둘레의 값에 상관없이 항상 $\theta = 2$ 라디안으로 일정합니다.

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $\theta = 2$

📘 [제3회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 연속 조건을 이용하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 $f(x) = 3x - 2$를 정리한 이차함수 $g(x) = f(x) - (3x - 2)$에 대하여 $g(0), g(2), g(4)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 방정식 $f(x) = 3x - 2$가 열린구간 $(0, 2)$와 $(2, 4)$에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $a = 3,\; b = -2,\; f(x) = x^2 - x + 1$ | [3-2] $g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3$ | [3-3] $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$ 사잇값 정리

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x \ne 2$에서 $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + ax + b}{x - 2}$이고, $x = 2$에서 연속이므로 $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우변 다항식이 $(x - 2)f(x)$와 항등식이므로 $f(x) = x^2 - x + c$로 놓으면 $f(2) = 4 - 2 + c = 3$에서 $c = 1$이다. 따라서 $f(x) = x^2 - x + 1$이고 전개하면 $(x - 2)(x^2 - x + 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$이므로 $a = 3,\; b = -2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $g(x) = f(x) - (3x - 2) = x^2 - 4x + 3$이므로 $g(0) = 3 \gt 0,\; g(2) = -1 \lt 0,\; g(4) = 3 \gt 0$이다. 다항함수 $g(x)$는 연속이고 $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $(0, 2)$와 $(2, 4)$에 각각 적어도 하나의 실근이 존재한다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(x) = x^2 - x + 1$ 유도 +3점 / $a = 3,\; b = -2$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• $g(x) = x^2 - 4x + 3$ 정리 +3점 / $g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 다항함수의 연속성 명시 및 $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$ 제시 +4점 / 사잇값 정리 결론 서술 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사잇값 정리 서술 시 함수 $g(x)$가 해당 닫힌구간에서 연속이라는 전제 조건을 반드시 첫 문장에 명시해야 감점을 피할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $g(x)$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(x) = x^2 - x + 1$ 유도 +3점 / $a = 3,\; b = -2$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• $g(x) = x^2 - 4x + 3$ 정리 +3점 / $g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 다항함수의 연속성 명시 및 $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$ 제시 +4점 / 사잇값 정리 결론 서술 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $g(x)$

📘 [제3회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하여 함수 $f(x)$의 극솟값과 $f'(x) = 0$인 두 점에서의 함숫값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $m(k) = 1$이 되도록 하는 실수 $k$의 값과 그때 미분가능하지 않은 점의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $f(0) = 10$, 극솟값 $f(3) = -17$ | [4-2] $k = 10$, 미분불가능 점 $x = 4$ | [4-3] $27$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$으로 인수분해하여 그래프의 개형을 파악한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f'(x) = 0$에서 $x = 0$ (중근) 또는 $x = 3$이다. 따라서 $f(0) = 10$이고 극솟값은 $f(3) = 81 - 108 + 10 = -17$이다. $k = 10$일 때 $f(x) - 10 = x^3(x - 4) = 0$의 근은 $x = 0$ (삼중근, $f'(0) = 0$이므로 미분가능)과 $x = 4$ (단근, $f'(4) \ne 0$이므로 미분불가능)이므로 $m(10) = 1$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $f(x) = 10$의 두 실근은 $\alpha = 0, \beta = 4$이고, 구간 $[0, 4]$에서 최댓값은 $f(0) = f(4) = 10$, 최솟값은 극솟값 $f(3) = -17$이므로 차는 $10 - (-17) = 27$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $f'(x) = 4x^2(x-3)$ 인수분해 +3점 / $f(0)=10,\; f(3)=-17$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 삼중근 $x=0$ 미분가능성 판정 +4점 / $k=10,\; x=4$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 구간 $[0, 4]$ 최댓값 $10$, 최솟값 $-17$ 비교 +4점 / 차 $27$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼중근 $x = 0$에서는 그래프가 직선 $y = 10$을 뚫고 지나가지만 접선의 기울기가 $0$이므로 접어 올려도 우미분계수와 좌미분계수가 모두 $0$이 되어 미분가능합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $f'(x) = 4x^2(x-3)$ 인수분해 +3점 / $f(0)=10,\; f(3)=-17$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 삼중근 $x=0$ 미분가능성 판정 +4점 / $k=10,\; x=4$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 구간 $[0, 4]$ 최댓값 $10$, 최솟값 $-17$ 비교 +4점 / 차 $27$ 산출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $0$

📘 [제3회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

다항함수 $f(x) = 6x - 6$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 전개 과정을 서술하여 $F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$임을 유도하고, $F'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $F(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $F(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $F'(x) = 3x^2 - 6x$ | [5-2] 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(2) = -4$ | [5-3] $-4$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수 $t$에 대하여 $x$를 상수로 묶어낸 뒤 곱의 미분법을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt + x f(x) - x f(x) = \int_{0}^{x} (6t - 6)\,dt = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$이다. 또한 $F(0) = 0$이므로 $F(x) = x^3 - 3x^2$이고, 극댓값은 $F(0) = 0$, 극솟값은 $F(2) = 8 - 12 = -4$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 $[-1, 3]$에서 양 끝점 함숫값은 $F(-1) = -4,\; F(3) = 0$이므로 최댓값은 $0$, 최솟값은 $-4$이며 두 값의 합은 $-4$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 곱의 미분법으로 $F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ 유도 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 6x$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• $F(x) = x^3 - 3x^2$ 적분 상수 결정 +3점 / 극댓값 $0$, 극솟값 $-4$ 도출 +4점
소문항 [5-3]	• 구간 양 끝점 $F(-1)=-4, F(3)=0$ 비교 +4점 / 합 $-4$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)f(t)$를 바로 $x$로 미분할 수 없으므로 반드시 $x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$로 전개한 뒤 미분해야 합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 곱의 미분법으로 $F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ 유도 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 6x$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• $F(x) = x^3 - 3x^2$ 적분 상수 결정 +3점 / 극댓값 $0$, 극솟값 $-4$ 도출 +4점
소문항 [5-3]	• 구간 양 끝점 $F(-1)=-4, F(3)=0$ 비교 +4점 / 합 $-4$ 산출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$

📘 [제4회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

양수 $x$가 $100 \le x \lt 1000$을 만족시키고, $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^2$의 소수부분의 합이 $1$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} x = 2 + \alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)$라 할 때, 소수부분이 $0$이 될 수 없는 이유를 설명하고 $\alpha$의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $3\log_{10} x$가 정수가 됨을 이용하여 가능한 모든 $\log_{10} x$의 값과 실수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가능한 모든 $x$의 값들의 곱 $P$에 대하여 $\log_{10} P$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $\alpha = 0$이면 소수부분 합이 $0 \ne 1$이므로 $0 \lt \alpha \lt 1$ | [1-2] $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$ | [1-3] $5$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $100 \le x \lt 1000 \iff 2 \le \log_{10} x \lt 3$이므로 $\log_{10} x = 2 + \alpha$로 놓는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\alpha = 0$이면 $\log_{10} x^2 = 4$의 소수부분도 $0$이어서 합이 $0 \ne 1$이므로 $0 \lt \alpha \lt 1$이다. 두 소수부분의 합이 $1$이므로 $\log_{10} x + \log_{10} x^2 = 3\log_{10} x = 6 + 3\alpha$가 정수가 되어야 하며, $0 \lt 3\alpha \lt 3$에서 $3\alpha = 1, 2$, 즉 $\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 $\log_{10} x = \dfrac{7}{3}, \dfrac{8}{3}$이고 $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$이며, 곱 $P = 10^5$이므로 $\log_{10} P = 5$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $\alpha = 0$ 모순 검증 +3점 / $0 \lt \alpha \lt 1$ 범위 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $3\log_{10} x$ 정수 조건으로 $\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$ 도출 +4점 / $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$ 산출 +3점
소문항 [1-3]	• $\log_{10} P = \dfrac{7}{3} + \dfrac{8}{3}$ 계산 +4점 / 값 $5$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 소수부분의 합이 $1$인 문제에서는 반드시 소수부분이 $0$이 되는 경계값($\alpha = 0$ 또는 $\alpha = \dfrac{1}{2}$)을 대입하여 조건 위배 여부를 검증해야 합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\alpha = \dfrac{1}{2}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $\alpha = 0$ 모순 검증 +3점 / $0 \lt \alpha \lt 1$ 범위 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $3\log_{10} x$ 정수 조건으로 $\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$ 도출 +4점 / $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$ 산출 +3점
소문항 [1-3]	• $\log_{10} P = \dfrac{7}{3} + \dfrac{8}{3}$ 계산 +4점 / 값 $5$ 도출 +3점

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\alpha = \dfrac{1}{2}$

📘 [제4회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 2-2] (7점) 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이와 $\sin\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ | [2-2] $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ | [2-3] $S = 6\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\angle \mathrm{BCD} = \pi - \theta$이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABD}, \mathrm{CBD}$에서 코사인법칙을 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 2^2 + 3^2 - 12\cos\theta = 13 - 12\cos\theta$이고, $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 4^2 - 24\cos(\pi - \theta) = 25 + 24\cos\theta$이다. 연립하면 $36\cos\theta = -12 \implies \cos\theta = -\dfrac{1}{3}$이므로 $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{13 + 4} = \sqrt{17}$이고 $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}(2\cdot 3 + 3\cdot 4)\sin\theta = 9 \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 6\sqrt{2}$이고, 사인법칙에 의해 $R = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{2\sin\theta} = \dfrac{\sqrt{17}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 두 코사인법칙 식 수립 +3점 / $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17}$ 산출 +3점 / $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 도출 +4점
소문항 [2-3]	• 넓이 $S = 6\sqrt{2}$ 계산 +3점 / 사인법칙으로 $R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 원에 내접하는 사각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$로 묶어 한 번에 계산하면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\dfrac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 두 코사인법칙 식 수립 +3점 / $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17}$ 산출 +3점 / $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 도출 +4점
소문항 [2-3]	• 넓이 $S = 6\sqrt{2}$ 계산 +3점 / 사인법칙으로 $R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 원에 내접하는 사각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$로 묶어 한 번에 계산하면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $\dfrac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$

📘 [제4회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 3-1] (6점) 함수 $f(x)$가 불연속인 모든 $x$의 값을 구하고, 각 점에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 이차함수 $g(x)$를 구하고, $\lim_{x \to 1} f(x)g(x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$가 불연속인 모든 $x$의 값들의 합을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $x = 1, 3$에서 불연속 | [3-2] $g(x) = x^2 - 4x + 3$, 극한값 $0$ | [3-3] 불연속점 $x = -2, 1$, 합 $-1$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 구간 경계점 $x = 1, 3$에서의 좌·우극한을 조사하여 불연속점을 찾는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x = 1$에서 좌극한 $3 \ne$ 우극한 $0$이고, $x = 3$에서 좌극한 $-2 \ne$ 우극한 $2$이므로 $f(x)$는 $x = 1, 3$에서 불연속이다. 따라서 $g(1) = g(3) = 0$이므로 $g(x) = (x - 1)(x - 3)$이고 $\lim_{x \to 1} f(x)g(x) = 0$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$는 $f(x)$가 불연속이거나 $f(x) = 0$인 점에서 불연속이 된다. $x \lt 1$에서 $f(x) = x + 2 = 0 \implies x = -2$, $1 \le x \lt 3$에서 $f(x) = -x + 1 = 0 \implies x = 1$, $x = 3$에서는 좌·우극한이 모두 $0$이고 $h(3) = 0$이어서 연속이므로 불연속점은 $x = -2, 1$이며 합은 $-1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $x = 1$ (좌 $3$, 우 $0$) 및 $x = 3$ (좌 $-2$, 우 $2$) 조사 +6점
소문항 [3-2]	• $g(1)=g(3)=0$으로부터 $g(x)=(x-1)(x-3)$ 도출 +4점 / 극한값 $0$ 산출 +3점
소문항 [3-3]	• 분모 $f(x)=0$인 $x=-2, 1$ 및 $x=3$ 연속성 판정 +4점 / 불연속점 합 $-1$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $h(x) = \dfrac{(x-1)(x-3)}{f(x)}$에서 $x = 3$은 분자가 $0$이고 분모가 $\pm 2 \ne 0$이므로 연속이지만, $x = 1$은 우극한에서 분모 $f(1) = 0$이 되어 정의되지 않으므로 불연속입니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $f(1) = 0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $x = 1$ (좌 $3$, 우 $0$) 및 $x = 3$ (좌 $-2$, 우 $2$) 조사 +6점
소문항 [3-2]	• $g(1)=g(3)=0$으로부터 $g(x)=(x-1)(x-3)$ 도출 +4점 / 극한값 $0$ 산출 +3점
소문항 [3-3]	• 분모 $f(x)=0$인 $x=-2, 1$ 및 $x=3$ 연속성 판정 +4점 / 불연속점 합 $-1$ 도출 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $f(1) = 0$

📘 [제4회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 실근의 부호 분포를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값, 그리고 $f(0)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $|f(x)| = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값 또는 범위를 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] 극댓값 $f(1) = 5$, 극솟값 $f(2) = 4,\; f(0) = 0$ | [4-2] $4 \lt k \lt 5$ | [4-3] $4 \lt k \lt 5$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0$으로부터 극값과 개형을 조사한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 극댓값은 $f(1) = 5$, 극솟값은 $f(2) = 4$이고 $f(0) = 0$이다. $x \gt 0$에서 $f(x) \gt 0$이므로 $f(x) = k$가 서로 다른 세 양의 실근을 가질 범위는 $4 \lt k \lt 5$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $|f(x)|$의 그래프는 $x \lt 0$에서 감소만 하고 $x \gt 0$에서 극댓값 $5$, 극솟값 $4$를 갖는다. 따라서 직선 $y = k$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $x \lt 0$에서 $1$개, $x \gt 0$에서 $3$개의 교점을 가져야 하므로 $4 \lt k \lt 5$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $f'(x) = 6(x-1)(x-2)$ 인수분해 +2점 / $f(1)=5, f(2)=4, f(0)=0$ 산출 +4점
소문항 [4-2]	• $x \gt 0$ 구간 그래프 개형 분석 +4점 / $4 \lt k \lt 5$ 범위 도출 +3점
소문항 [4-3]	• $\|f(x)\|$의 $x \lt 0$ 단조감소와 $x \gt 0$ 교점 개수 결합 +4점 / $4 \lt k \lt 5$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: $x \lt 0$에서 $f(x) \lt 0$이므로 접어 올린 $|f(x)|$는 $x \lt 0$에서 모든 양수 $k \gt 0$에 대해 항상 $1$개의 교점을 추가로 갖습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $f'(x) = 6(x-1)(x-2)$ 인수분해 +2점 / $f(1)=5, f(2)=4, f(0)=0$ 산출 +4점
소문항 [4-2]	• $x \gt 0$ 구간 그래프 개형 분석 +4점 / $4 \lt k \lt 5$ 범위 도출 +3점
소문항 [4-3]	• $\|f(x)\|$의 $x \lt 0$ 단조감소와 $x \gt 0$ 교점 개수 결합 +4점 / $4 \lt k \lt 5$ 도출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $1$

📘 [제4회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 $C$와 직선 $l : y = mx$의 교점의 $x$좌표를 구하고, 넓이 $S_1$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) 직선 $l$이 넓이 $S$를 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값과 상수 $m$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $S = \dfrac{32}{3}$ | [5-2] $x = 0, 4 - m,\; S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$ | [5-3] $(4 - m)^3 = 32,\; m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 포물선 $y = -x(x - 4)$와 $x$축의 교점은 $x = 0, 4$이고, 직선 $y = mx$와의 교점은 $x = 0, 4 - m$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}$이고, $S_1 = \int_{0}^{4-m} (-x^2 + (4 - m)x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $S_1 = \dfrac{1}{2}S$에서 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32$이므로 $4 - m = 2\sqrt[3]{4}$, 즉 $m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{32}{3}$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 교점 $x = 0, 4-m$ 산출 +3점 / $S_1 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• $(4-m)^3 = 32$ 도출 +4점 / $m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적분 계산 과정과 함께 병기하면 서술형 배점과 계산 정확도를 동시에 확보할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{32}{3}$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 교점 $x = 0, 4-m$ 산출 +3점 / $S_1 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• $(4-m)^3 = 32$ 도출 +4점 / $m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$ 산출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$

📘 [제5회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 1-3] (7점) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; \mathrm{M}(3, 3)$ | [1-2] $|x_1 - x_2| = 2,\; \mathrm{P}(2, 4),\; \mathrm{Q}(4, 2)$ | [1-3] $6$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$는 직선 $y = x$에 대칭이므로 $x_2 = y_1$이고, 직선 $y = -x + 6$ 위의 점이므로 $x_1 + y_1 = 6$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x_1 + x_2 = x_1 + y_1 = 6,\; y_1 + y_2 = 6$이므로 중점은 $\mathrm{M}(3, 3)$이다. 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 사이 거리는 $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2}|x_1 - x_2| = 2\sqrt{2}$에서 $|x_1 - x_2| = 2$이다. $x_1 \lt x_2$이므로 $x_1 = 2, x_2 = 4$이고 실제로 $2^2 = 4,\; \log_2 4 = 2$가 성립하여 $\mathrm{P}(2, 4),\; \mathrm{Q}(4, 2)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $x + y - 6 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 6$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x_2 = y_1$ 대칭성으로 $x_1 + x_2 = 6$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(3, 3)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $\|x_1 - x_2\| = 2$ 도출 +3점 / $\mathrm{P}(2, 4), \mathrm{Q}(4, 2)$ 확인 +4점
소문항 [1-3]	• 높이 $3\sqrt{2}$ 또는 사선식 계산 +4점 / 넓이 $6$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 위에서 두 점의 $x$좌표 차가 $d$이면 두 점 사이의 거리는 항상 $\sqrt{2}d$가 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\sqrt{2}d$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x_2 = y_1$ 대칭성으로 $x_1 + x_2 = 6$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(3, 3)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $\|x_1 - x_2\| = 2$ 도출 +3점 / $\mathrm{P}(2, 4), \mathrm{Q}(4, 2)$ 확인 +4점
소문항 [1-3]	• 높이 $3\sqrt{2}$ 또는 사선식 계산 +4점 / 넓이 $6$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 위에서 두 점의 $x$좌표 차가 $d$이면 두 점 사이의 거리는 항상 $\sqrt{2}d$가 됩니다.

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\sqrt{2}d$

📘 [제5회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환을 이용하여 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$의 일반항과 $a_n$의 일반항을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$이 아닌 부분분수 합 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1}$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $\dfrac{1}{a_n} = 3n - 1,\; a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $\dfrac{5}{32}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하면 $b_1 = 2$이고 $b_{n+1} = b_n + 3$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $b_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$이므로 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이다. (i) $n = 1$일 때 $a_1 = \dfrac{1}{2}$ 성립. (ii) $n = k$일 때 $a_k = \dfrac{1}{3k - 1}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{\frac{1}{3k-1}}{\frac{3}{3k-1} + 1} = \dfrac{1}{3 + 3k - 1} = \dfrac{1}{3(k+1) - 1}$이므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{(3n - 1)(3n + 2)} = \dfrac{1}{3}\sum_{n=1}^{10} \left(\dfrac{1}{3n - 1} - \dfrac{1}{3n + 2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{32}\right) = \dfrac{5}{32}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 $b_{n+1} - b_n = 3$ 유도 +3점 / $a_n = \dfrac{1}{3n-1}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $n=1$ 확인 +2점 / $n=k$ 가정 후 $a_{k+1}$ 대입 증명 +5점
소문항 [2-3]	• 부분분수 변형 $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)$ +4점 / 값 $\dfrac{5}{32}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 변형하면 $3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 되어 부분분수 분해가 점화식 자체에서 바로 유도됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 $b_{n+1} - b_n = 3$ 유도 +3점 / $a_n = \dfrac{1}{3n-1}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $n=1$ 확인 +2점 / $n=k$ 가정 후 $a_{k+1}$ 대입 증명 +5점
소문항 [2-3]	• 부분분수 변형 $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)$ +4점 / 값 $\dfrac{5}{32}$ 산출 +3점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$

📘 [제5회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 $f(x)$를 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 + 4$ | [3-2] $f(x) = x^3 + 4x + 2$, 접선 $y = 7x$ | [3-3] $4$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4$이다. 적분하면 $f(x) = x^3 + 4x + 2$이고, $f(1) = 7,\; f'(1) = 7$이므로 접선은 $y = 7x$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(0) = 2$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 3x^2 + 4$ 유도 +4점
소문항 [3-2]	• $f(x) = x^3 + 4x + 2$ 적분 완성 +4점 / 접선 $y = 7x$ 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 변형 $\dfrac{1}{4}f'(2)$ +4점 / 값 $4$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 함수방정식에서 도함수 정의를 쓸 때 반드시 상수 $-2$를 $-f(0)$으로 바꾸어 $\dfrac{f(h) - f(0)}{h} \to f'(0)$ 꼴을 명시해야 만점을 받습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\dfrac{f(h) - f(0)}{h} \to f'(0)$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(0) = 2$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 3x^2 + 4$ 유도 +4점
소문항 [3-2]	• $f(x) = x^3 + 4x + 2$ 적분 완성 +4점 / 접선 $y = 7x$ 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 변형 $\dfrac{1}{4}f'(2)$ +4점 / 값 $4$ 산출 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $\dfrac{f(h) - f(0)}{h} \to f'(0)$

📘 [제5회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 4-1] (6점) 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 출발 후($t \gt 0$) 처음으로 만나는 시각 $t_1$과 그때 두 점의 속도를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|$의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 두 시각 사이에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 3,\; v_{\mathrm{P}}(3) = 5,\; v_{\mathrm{Q}}(3) = 5$ | [4-2] $4$ | [4-3] $t = \dfrac{5}{3}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치의 차 함수를 $h(t) = x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2$으로 정의한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $h(t) = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 3$이다. 이때 $v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 10t + 8,\; v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t - 1$이므로 $v_{\mathrm{P}}(3) = 5,\; v_{\mathrm{Q}}(3) = 5$이다. 또한 $h'(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1$일 때 $D(1) = h(1) = 4$가 구간 $[0, 3]$에서의 최댓값이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $v_{\mathrm{P}}(t) = (3t - 4)(t - 2) = 0$이므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = \dfrac{4}{3}, 2$이고, 가속도 $a_{\mathrm{P}}(t) = 6t - 10 = 0$이 되는 시각은 $t = \dfrac{5}{3}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t(t-3)^2 = 0$으로부터 $t_1 = 3$ 도출 +3점 / $v_{\mathrm{P}}(3)=v_{\mathrm{Q}}(3)=5$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t-1)(t-3) = 0$ 극점 조사 +4점 / 최댓값 $D(1) = 4$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 운동 방향 전환 시각 $\dfrac{4}{3}, 2$ 확인 +3점 / $a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10=0 \implies t=\dfrac{5}{3}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: $t = 3$에서 $h(t) = t(t - 3)^2$이 중근을 가지므로 두 점은 만나는 순간 속도도 똑같이 $5$가 되어 스치듯 접하고 지나갑니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $5$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t(t-3)^2 = 0$으로부터 $t_1 = 3$ 도출 +3점 / $v_{\mathrm{P}}(3)=v_{\mathrm{Q}}(3)=5$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t-1)(t-3) = 0$ 극점 조사 +4점 / 최댓값 $D(1) = 4$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 운동 방향 전환 시각 $\dfrac{4}{3}, 2$ 확인 +3점 / $a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10=0 \implies t=\dfrac{5}{3}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: $t = 3$에서 $h(t) = t(t - 3)^2$이 중근을 가지므로 두 점은 만나는 순간 속도도 똑같이 $5$가 되어 스치듯 접하고 지나갑니다.

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $5$

📘 [제5회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 두 시각 $t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)$와 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 $T\;(T \gt 0)$를 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $t_1 = 1$ (위치 $4$), $t_2 = 3$ (위치 $0$) | [5-2] 위치 변화량 $4$, 움직인 거리 $12$ | [5-3] $T = 3$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$으로부터 속도의 부호 변화와 위치 함수 $x(t) = \int_{0}^{t} v(s)\,ds$를 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2$이므로 $t_1 = 1$에서 위치는 $x(1) = 4$, $t_2 = 3$에서 위치는 $x(3) = 0$이다. $t = 0$에서 $t = 4$까지 위치 변화량은 $x(4) - x(0) = 4$이고, 움직인 거리는 $\int_{0}^{1} v(t)\,dt - \int_{1}^{3} v(t)\,dt + \int_{3}^{4} v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $x(T) = T(T - 3)^2 = 0\;(T \gt 0)$을 만족시키는 시각은 $T = 3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $t_1 = 1, t_2 = 3$ 도출 +3점 / 위치 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 위치 변화량 $x(4) = 4$ 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 거리 $12$ 도출 +4점
소문항 [5-3]	• $x(T) = T(T-3)^2 = 0$ 인수분해 +4점 / $T = 3$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 실제로 움직인 거리는 각 운동 방향 전환 시각에서의 위치의 차의 절댓값의 합 $|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)| = 4 + 4 + 4 = 12$로도 빠르게 검산할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)| = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $t_1 = 1, t_2 = 3$ 도출 +3점 / 위치 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 위치 변화량 $x(4) = 4$ 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 거리 $12$ 도출 +4점
소문항 [5-3]	• $x(T) = T(T-3)^2 = 0$ 인수분해 +4점 / $T = 3$ 산출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)| = 4 + 4 + 4 = 12$

📘 [제6회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $a^2 = 9,\; b^2 = 16$, 점근선 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ | [1-2] $y_1 = \dfrac{16}{3},\; k = 9$ | [1-3] $\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right),\; S = 12$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 거리의 차 $2a = 6$에서 $a = 3\;(a^2 = 9)$이고, $c = 5$이므로 $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16\;(b = 4)$이다. 따라서 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$이고 두 점근선은 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] $x_1 = 5$를 쌍곡선 방정식에 대입하면 $\dfrac{25}{9} - \dfrac{y_1^2}{16} = 1 \implies \dfrac{y_1^2}{16} = \dfrac{16}{9}$이고 $y_1 \gt 0$이므로 $y_1 = \dfrac{16}{3}$이다. 제시문 (나)에 의해 접선은 $\dfrac{5x}{9} - \dfrac{(16/3)y}{16} = 1 \iff 5x - 3y = 9$이므로 $k = 9$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선 $5x - 3y = 9$와 $y = \dfrac{4}{3}x$를 연립하면 $5x - 4x = 9 \implies x = 9,\; y = 12$이므로 $\mathrm{A}(9, 12)$이다. 또한 $y = -\dfrac{4}{3}x$와 연립하면 $5x + 4x = 9 \implies x = 1,\; y = -\dfrac{4}{3}$이므로 $\mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)$이다. 따라서 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\left|9\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right) - 12\cdot 1\right| = \dfrac{1}{2}|-24| = 12$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $a^2 = 9,\; b^2 = 16$ 산출 +3점 / 점근선 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $y_1 = \dfrac{16}{3}$ 계산 +3점 / 접선 $5x - 3y = 9\;(k=9)$ 유도 +4점
소문항 [1-3]	• 교점 $\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)$ 도출 +4점 / 넓이 $S = 12$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 임의의 점에서의 접선과 두 점근선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 항상 $ab = 3\times 4 = 12$로 일정합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $ab = 3\times 4 = 12$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $a^2 = 9,\; b^2 = 16$ 산출 +3점 / 점근선 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $y_1 = \dfrac{16}{3}$ 계산 +3점 / 접선 $5x - 3y = 9\;(k=9)$ 유도 +4점
소문항 [1-3]	• 교점 $\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)$ 도출 +4점 / 넓이 $S = 12$ 산출 +3점

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $ab = 3\times 4 = 12$

📘 [제6회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이 $a$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 3\sqrt{7},\; R = \sqrt{21}$ | [2-2] $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2},\; \overline{\mathrm{AD}} = 2$ | [2-3] $r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}\;(p = 9,\; q = 3)$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 코사인법칙에 의해 $a^2 = 3^2 + 6^2 - 2\cdot 3\cdot 6\cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 36 + 18 = 63$이므로 $a = 3\sqrt{7}$이다. 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{3\sqrt{7}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{21}$이므로 $R = \sqrt{21}$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 전체 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$이다. 또한 $\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAD} = \dfrac{\pi}{3}$이므로 $\dfrac{9\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}(3 + 6)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\overline{\mathrm{AD}}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] 내접원의 반지름 $r$은 $\dfrac{1}{2}r(9 + 3\sqrt{7}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$에서 $r = \dfrac{9\sqrt{3}}{9 + 3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{3}(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 $a = 3\sqrt{7}$ 산출 +3점 / 사인법칙으로 $R = \sqrt{21}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 넓이 $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 계산 +3점 / 넓이 분할로 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$ 유도 +4점
소문항 [2-3]	• 둘레 $9 + 3\sqrt{7}$ 대입 +3점 / 분모 유리화로 $r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 내각의 이등분선 $\overline{\mathrm{AD}}$의 길이는 두 삼각형 $\triangle\mathrm{ABD},\; \triangle\mathrm{ACD}$의 넓이의 합이 전체 넓이와 같다는 등식을 세우면 가장 빠르게 구할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\triangle\mathrm{ABD},\; \triangle\mathrm{ACD}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 $a = 3\sqrt{7}$ 산출 +3점 / 사인법칙으로 $R = \sqrt{21}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 넓이 $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 계산 +3점 / 넓이 분할로 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$ 유도 +4점
소문항 [2-3]	• 둘레 $9 + 3\sqrt{7}$ 대입 +3점 / 분모 유리화로 $r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}$ 도출 +4점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $\triangle\mathrm{ABD},\; \triangle\mathrm{ACD}$

📘 [제6회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

양의 실수 $t\;(t \gt 0)$에 대하여 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 정의된 함수 $g(x) = x^2 - 2tx + 4t$의 최솟값을 $f(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $t = 1$일 때 함수 $g(x)$의 식을 구하고 $f(1)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \lt 1$일 때와 $t \gt 1$일 때의 최솟값 함수 $f(t)$의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 $f(t)$가 $t = 1$에서 연속이고 미분가능함을 증명하고, 미분계수 $f'(1)$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(1) = 3$ | [3-2] $0 \lt t \lt 1$일 때 $f(t) = -t^2 + 4t$, $t \gt 1$일 때 $f(t) = 2t + 1$ | [3-3] 좌·우미분계수 모두 $2$로 일치하여 미분가능, $f'(1) = 2$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $g(x) = (x - t)^2 - t^2 + 4t$로 완전제곱식으로 변형한다. $t = 1$일 때 $g(x) = (x - 1)^2 + 3$이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 최솟값은 $x = 1$일 때 $f(1) = 3$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] (i) $0 \lt t \lt 1$일 때는 꼭짓점 $x = t$가 구간 $[-1, 1]$ 안에 속하므로 최솟값은 $f(t) = g(t) = -t^2 + 4t$이다. (ii) $t \gt 1$일 때는 꼭짓점 $x = t$가 구간의 오른쪽에 있으므로 구간 $[-1, 1]$에서 $g(x)$는 감소하여 $x = 1$에서 최솟값 $f(t) = g(1) = 1 - 2t + 4t = 2t + 1$을 갖는다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] $\lim_{t \to 1-} (-t^2 + 4t) = 3 = \lim_{t \to 1+} (2t + 1) = f(1)$이므로 $t = 1$에서 연속이다. 또한 좌미분계수는 $\lim_{t \to 1-} (-2t + 4) = 2$이고 우미분계수는 $2$로 서로 일치하므로 $t = 1$에서 미분가능하며 $f'(1) = 2$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $g(x) = (x-1)^2 + 3$ 변형 +3점 / $f(1) = 3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• $0 \lt t \lt 1$에서 $f(t) = -t^2 + 4t$ 도출 +4점 / $t \gt 1$에서 $f(t) = 2t + 1$ 산출 +3점
소문항 [3-3]	• $t=1$ 연속성 확인 +3점 / 좌·우미분계수 $2$ 일치 증명 및 $f'(1) = 2$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 서강대 자연계열 1차 2번 기출과 동일한 구조로, 이차함수의 대칭축 $x = t$가 구간 경계 $x = 1$을 통과할 때 곡선 $-t^2 + 4t$에 접선 $2t + 1$이 매끄럽게 이어지므로 경계점에서 미분가능합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $2t + 1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $g(x) = (x-1)^2 + 3$ 변형 +3점 / $f(1) = 3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• $0 \lt t \lt 1$에서 $f(t) = -t^2 + 4t$ 도출 +4점 / $t \gt 1$에서 $f(t) = 2t + 1$ 산출 +3점
소문항 [3-3]	• $t=1$ 연속성 확인 +3점 / 좌·우미분계수 $2$ 일치 증명 및 $f'(1) = 2$ 도출 +4점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $2t + 1$

📘 [제6회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

다항함수 $f(x) = 3x$와 연속함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$ 및 $\{g(x) - 3x\}^2 = (x^2 - 2x)^2$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{0}^{3} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $g(x) = 3x + |x^2 - 2x|$, 미분불가능점 $x = 2$ | [4-2] $[0, 2]$에서 $-x^2 + 5x$, $[2, 3]$에서 $x^2 + x$, $g'(x) \gt 0$이므로 증가 | [4-3] $\dfrac{97}{6}$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $g(x) - 3x \ge 0$이므로 $g(x) = 3x + |x^2 - 2x| = 3x + |x(x - 2)|$이다. 열린구간 $(0, 3)$에서 $x^2 - 2x = 0$의 단근인 $x = 2$에서 좌미분계수는 $3 - 2 = 1$, 우미분계수는 $3 + 2 = 5$로 서로 달라 미분가능하지 않다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] $0 \le x \le 2$에서는 $x^2 - 2x \le 0$이므로 $g(x) = 3x - (x^2 - 2x) = -x^2 + 5x$이고 $g'(x) = -2x + 5 \ge 1 \gt 0$이다. $2 \le x \le 3$에서는 $x^2 - 2x \ge 0$이므로 $g(x) = x^2 + x$이고 $g'(x) = 2x + 1 \ge 5 \gt 0$이다. 따라서 $[0, 3]$에서 연속이고 각 구간에서 증가하므로 $[0, 3]$ 전체에서 증가한다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] $\int_{0}^{3} g(x)\,dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 5x)\,dx + \int_{2}^{3} (x^2 + x)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{0}^{2} + \left[\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2}\right]_{2}^{3} = \left(-\dfrac{8}{3} + 10\right) + \left(\dfrac{19}{3} + \dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{22}{3} + \dfrac{53}{6} = \dfrac{97}{6}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $g(x) = 3x + \|x^2 - 2x\|$ 유도 +3점 / 첨점 $x = 2$ 미분불가능 판정 +3점
소문항 [4-2]	• 두 구간 다항식 표현 도출 +3점 / 각 구간 $g'(x) \gt 0$ 및 연속성으로 증가 증명 +4점
소문항 [4-3]	• 구간 $[0, 2]$ 적분값 $\dfrac{22}{3}$ 및 $[2, 3]$ 적분값 $\dfrac{53}{6}$ 계산 +4점 / 합 $\dfrac{97}{6}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 $x = 2$에서 함수 $g(x)$는 미분가능하지 않지만 연속이고 좌·우 구간에서 모두 도함수가 양수이므로 닫힌구간 $[0, 3]$ 전체에서 순증가함수가 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $[0, 3]$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $g(x) = 3x + \|x^2 - 2x\|$ 유도 +3점 / 첨점 $x = 2$ 미분불가능 판정 +3점
소문항 [4-2]	• 두 구간 다항식 표현 도출 +3점 / 각 구간 $g'(x) \gt 0$ 및 연속성으로 증가 증명 +4점
소문항 [4-3]	• 구간 $[0, 2]$ 적분값 $\dfrac{22}{3}$ 및 $[2, 3]$ 적분값 $\dfrac{53}{6}$ 계산 +4점 / 합 $\dfrac{97}{6}$ 산출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $[0, 3]$

📘 [제6회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

좌표공간의 세 좌표축 위의 점 $\mathrm{A}(6, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 3, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 2)$를 지나는 평면을 $\alpha$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right),\; d = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$ | [5-2] $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}},\; S = 3\sqrt{14}$ | [5-3] $V = 6$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 세 절편이 $6, 3, 2$이므로 평면 $\alpha$의 방정식은 $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1 \iff x + 2y + 3z = 6$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 2, 3)$이다. 수선의 발 $\mathrm{H}(t, 2t, 3t)$를 평면에 대입하면 $14t = 6 \implies t = \dfrac{3}{7}$이므로 $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right)$이고 $d = \dfrac{6}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $xy$평면의 법선벡터는 $\vec{e}_3 = (0, 0, 1)$이므로 $\cos\theta = \dfrac{|(1,2,3)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{14}\cdot 1} = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 $xy$평면 위로의 정사영인 직각삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $S' = \dfrac{1}{2}\times 6\times 3 = 9$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{9}{3/\sqrt{14}} = 3\sqrt{14}$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 사면체 $\mathrm{OABC}$의 부피는 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = \dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{14} \times \dfrac{6}{\sqrt{14}} = 6$이며, 이는 직각사면체 부피 공식 $\dfrac{1}{6}\times 6\times 3\times 2 = 6$과 정확히 일치한다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+2y+3z=6$ 및 $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right)$ 도출 +3점 / $d = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$ 계산 +3점 / 정사영 공식으로 $S = 3\sqrt{14}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• $V = \dfrac{1}{3} S\cdot d = 6$ 계산 +4점 / 직각사면체 부피 $6$ 일치 검증 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 세 좌표축의 절편이 $a, b, c$인 직각사면체 $\mathrm{OABC}$의 부피는 항상 $V = \dfrac{1}{6}abc$이므로 정사영으로 구한 $S$와 $d$의 곱을 즉시 검산할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $d$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+2y+3z=6$ 및 $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right)$ 도출 +3점 / $d = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$ 계산 +3점 / 정사영 공식으로 $S = 3\sqrt{14}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• $V = \dfrac{1}{3} S\cdot d = 6$ 계산 +4점 / 직각사면체 부피 $6$ 일치 검증 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $d$

📘 [제7회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $l_1 l_2 = 14$, 넓이 $7$ | [1-2] $\mathrm{P}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{7}{3}\right)$ | [1-3] $S = 9\sqrt{2}$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 타원의 장축 길이는 $2a = 8$이므로 $l_1 + l_2 = 8$이고, 직각삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$에서 $l_1^2 + l_2^2 = \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 6^2 = 36$이다. 따라서 $2l_1 l_2 = 8^2 - 36 = 28 \implies l_1 l_2 = 14$이고 넓이는 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = 7$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 6\times y_1 = 3y_1 = 7$이므로 $y_1 = \dfrac{7}{3}$이다. 타원 방정식에 대입하면 $\dfrac{x_1^2}{16} = 1 - \dfrac{49/9}{7} = \dfrac{2}{9}$이고 $x_1 \gt 0$이므로 $x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$, 즉 $\mathrm{P}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{7}{3}\right)$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{16} + \dfrac{y_1 y}{7} = 1$이므로 $x$절편은 $x_{\mathrm{A}} = \dfrac{16}{x_1} = \dfrac{16}{4\sqrt{2}/3} = 6\sqrt{2}$, $y$절편은 $y_{\mathrm{B}} = \dfrac{7}{y_1} = 3$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 3 = 9\sqrt{2}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $l_1 + l_2 = 8,\; l_1^2 + l_2^2 = 36$ 연립 +3점 / $l_1 l_2 = 14$ 및 넓이 $7$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• 높이 $y_1 = \dfrac{7}{3}$ 도출 +3점 / 타원 식 대입으로 $x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 절편 $x_{\mathrm{A}} = 6\sqrt{2},\; y_{\mathrm{B}} = 3$ 도출 +4점 / 넓이 $S = 9\sqrt{2}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 타원 위의 초점 직각삼각형 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$의 넓이는 항상 $b^2 = 7$과 같다는 성질을 알고 있으면 $y_1 = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{7}{3}$을 즉시 검산할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $y_1 = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{7}{3}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $l_1 + l_2 = 8,\; l_1^2 + l_2^2 = 36$ 연립 +3점 / $l_1 l_2 = 14$ 및 넓이 $7$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• 높이 $y_1 = \dfrac{7}{3}$ 도출 +3점 / 타원 식 대입으로 $x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 절편 $x_{\mathrm{A}} = 6\sqrt{2},\; y_{\mathrm{B}} = 3$ 도출 +4점 / 넓이 $S = 9\sqrt{2}$ 산출 +3점

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $y_1 = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{7}{3}$

📘 [제7회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 2-3] (7점) $\alpha + \beta = 3$일 때 상수 $k$의 값을 구하고, 그때 $4^\alpha + 4^\beta$의 값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $0 \lt k \lt 9$ | [2-2] $5 \lt k \lt 9$ | [2-3] $k = 8,\; 4^\alpha + 4^\beta = 20$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 치환된 방정식 $t^2 - 6t + k = 0$은 대칭축이 $t = 3 \gt 0$이므로 서로 다른 두 양의 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 $D/4 = 9 - k \gt 0$과 $h(0) = k \gt 0$, 즉 $0 \lt k \lt 9$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 두 실근 $\alpha,\; \beta$가 모두 양수가 되려면 $t_1 = 2^\alpha \gt 1,\; t_2 = 2^\beta \gt 1$이어야 한다. 대칭축 $t = 3 \gt 1$이고 $D/4 = 9 - k \gt 0$이므로 경계 조건 $h(1) = 1 - 6 + k = k - 5 \gt 0$을 연립하면 $5 \lt k \lt 9$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 $t_1 t_2 = 2^{\alpha+\beta} = 2^3 = 8$이므로 $k = 8$이다. 또한 $t_1 + t_2 = 6$이므로 $4^\alpha + 4^\beta = t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 36 - 16 = 20$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 판별식 $9 - k \gt 0$ 및 $h(0) = k \gt 0$ 설정 +3점 / $0 \lt k \lt 9$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $x \gt 0 \iff t \gt 1$ 변환 및 $h(1) = k - 5 \gt 0$ 도출 +4점 / $5 \lt k \lt 9$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• $k = 2^3 = 8$ 도출 +3점 / $t_1^2 + t_2^2 = 36 - 16 = 20$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: $x \gt 0$이라는 조건을 치환 변수 $t = 2^x$에 적용할 때 $t \gt 0$이 아니라 $t \gt 2^0 = 1$로 경계가 바뀐다는 점이 근의 분리의 핵심입니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $t \gt 2^0 = 1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 판별식 $9 - k \gt 0$ 및 $h(0) = k \gt 0$ 설정 +3점 / $0 \lt k \lt 9$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $x \gt 0 \iff t \gt 1$ 변환 및 $h(1) = k - 5 \gt 0$ 도출 +4점 / $5 \lt k \lt 9$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• $k = 2^3 = 8$ 도출 +3점 / $t_1^2 + t_2^2 = 36 - 16 = 20$ 계산 +4점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $t \gt 2^0 = 1$

📘 [제7회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 3-1] (6점) 구간 $[0, 1]$과 구간 $[1, 2]$에서 $g(x)$의 식을 각각 구하고, $x = 1$에서의 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $g(x) = k(x - 1) + 3$이 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $x = 1$을 유일한 실근으로 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] 좌미분계수 $1$, 우미분계수 $5$ | [3-2] 할선 $\mathrm{AB}$ 기울기 $2$, 할선 $\mathrm{AC}$ 기울기 $6$ | [3-3] $2 \lt k \lt 5$ 또는 $k \gt 6$ (경계 포함 조건 분석)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $0 \le x \le 1$에서는 $g(x) = -x^2 + 3x + 1$이므로 $g'(x) = -2x + 3$이고 좌미분계수는 $g'_{-}(1) = 1$이다. $1 \le x \le 2$에서는 $g(x) = x^2 + 3x - 1$이므로 $g'(x) = 2x + 3$이고 우미분계수는 $g'_{+}(1) = 5$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $[0, 1)$에서 $g'(x) = -2x + 3 \gt 1 \gt 0$이고 $(1, 2]$에서 $g'(x) = 2x + 3 \gt 5 \gt 0$이므로 $g(x)$는 $[0, 2]$에서 증가한다. 또한 $\mathrm{B}(0, 1),\; \mathrm{A}(1, 3),\; \mathrm{C}(2, 9)$이므로 할선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\dfrac{3 - 1}{1 - 0} = 2$, 할선 $\mathrm{AC}$의 기울기는 $\dfrac{9 - 3}{2 - 1} = 6$이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] (i) $0 \le x \lt 1$에서 $-x^2 + 3x + 1 = k(x - 1) + 3 \iff (x - 1)(x + k - 2) = 0$이므로 $x = 2 - k$가 $[0, 1)$에 속하지 않으려면 $2 - k \lt 0$ 또는 $2 - k \ge 1$, 즉 $k \gt 2$ 또는 $0 \lt k \le 1$이다. (ii) $1 \lt x \le 2$에서 $x^2 + 3x - 1 = k(x - 1) + 3 \iff (x - 1)(x + 4 - k) = 0$이므로 $x = k - 4$가 $(1, 2]$에 속하지 않으려면 $k - 4 \le 1$ 또는 $k - 4 \gt 2$, 즉 $k \le 5$ 또는 $k \gt 6$이다. (i)과 (ii)의 공통범위는 $0 \lt k \le 1$ 또는 $2 \lt k \le 5$ 또는 $k \gt 6$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 구간별 다항식 정리 +2점 / 좌미분계수 $1$, 우미분계수 $5$ 도출 +4점
소문항 [3-2]	• $g'(x) \gt 0$ 증가 논증 +3점 / 할선 $\mathrm{AB}$ 기울기 $2$, 할선 $\mathrm{AC}$ 기울기 $6$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $[0, 1)$ 조건($0 \lt k \le 1$ 또는 $k \gt 2$) 및 $(1, 2]$ 조건($k \le 5$ 또는 $k \gt 6$) 도출 +4점 / 공통범위 완성 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 서강대 자연 2차 2-3번 기출의 핵심 아이디어를 다항함수로 구현한 문항으로, 첨점 $\mathrm{A}(1, 3)$에서의 접선 기울기($1, 5$)와 양 끝점 할선 기울기($2, 6$)가 유일 교점의 경계가 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $2, 6$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 구간별 다항식 정리 +2점 / 좌미분계수 $1$, 우미분계수 $5$ 도출 +4점
소문항 [3-2]	• $g'(x) \gt 0$ 증가 논증 +3점 / 할선 $\mathrm{AB}$ 기울기 $2$, 할선 $\mathrm{AC}$ 기울기 $6$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $[0, 1)$ 조건($0 \lt k \le 1$ 또는 $k \gt 2$) 및 $(1, 2]$ 조건($k \le 5$ 또는 $k \gt 6$) 도출 +4점 / 공통범위 완성 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $2, 6$

📘 [제7회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

일차함수 $f(x) = 6x - 18$에 대하여 함수 $G(x) = \int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-2] (7점) $G(1)$과 $G'(1)$의 값을 이용하여 삼차함수 $G(x)$의 식을 구하고, 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = G(x)$의 변곡점(이계도함수 $G''(x) = 0$인 점)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15,\; \alpha = 1,\; \beta = 5$ | [4-2] 극댓값 $G(1) = 0$, 극솟값 $G(5) = -32$ | [4-3] $y = -12x + 20$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] 제시문 (가)에 의해 $G'(x) = \int_{1}^{x} (6t - 18)\,dt = \left[3t^2 - 18t\right]_{1}^{x} = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x - 1)(x - 5)$이다. 따라서 $G'(x) = 0$의 두 실근은 $\alpha = 1,\; \beta = 5$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15$를 적분하고 $G(1) = 0$을 대입하면 $G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$이다. 따라서 극댓값은 $G(1) = 0$이고, 극솟값은 $G(5) = 125 - 225 + 75 - 7 = -32$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] $G''(x) = f(x) = 6x - 18 = 0$에서 $x = 3$이다. 이때 $G(3) = 27 - 81 + 45 - 7 = -16$이고 접선의 기울기는 $G'(3) = 27 - 54 + 15 = -12$이므로 접선의 방정식은 $y - (-16) = -12(x - 3) \implies y = -12x + 20$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15$ 유도 +3점 / $\alpha = 1,\; \beta = 5$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• $G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ 완성 +3점 / 극댓값 $0$, 극솟값 $-32$ 도출 +4점
소문항 [4-3]	• $G''(3) = 0$으로부터 $(3, -16)$ 및 $G'(3) = -12$ 계산 +4점 / 접선 $y = -12x + 20$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 정적분 아래끝이 $1$이므로 적분 계산 없이도 $G(1) = 0$과 $G'(1) = 0$이 성립하여 $G(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 갖는 삼차함수 $G(x) = (x - 1)^2(x - 7)$이 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $G(x) = (x - 1)^2(x - 7)$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15$ 유도 +3점 / $\alpha = 1,\; \beta = 5$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• $G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ 완성 +3점 / 극댓값 $0$, 극솟값 $-32$ 도출 +4점
소문항 [4-3]	• $G''(3) = 0$으로부터 $(3, -16)$ 및 $G'(3) = -12$ 계산 +4점 / 접선 $y = -12x + 20$ 도출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $G(x) = (x - 1)^2(x - 7)$

📘 [제7회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50},\; \mathrm{P}(A|E) = \dfrac{9}{41}$ | [5-2] $L = 0.09408$ | [5-3] $n = 1600$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] $\mathrm{P}(A \cap E) = 0.2\times 0.9 = 0.18$이고 $\mathrm{P}(B \cap E) = 0.8\times 0.8 = 0.64$이므로 $\mathrm{P}(E) = 0.18 + 0.64 = 0.82 = \dfrac{41}{50}$이다. 따라서 $\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{0.18}{0.82} = \dfrac{9}{41}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})} = \sqrt{0.64\times 0.36} = 0.8\times 0.6 = 0.48$이고 $\sqrt{n} = 20$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{20} = 3.92\times 0.024 = 0.09408$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 신뢰구간의 길이 $2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{\sqrt{n}} = \dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704$에서 $\sqrt{n} \ge \dfrac{1.8816}{0.04704} = 40$이므로 $n \ge 1600$, 즉 최솟값은 $1600$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50}$ 산출 +3점 / 베이즈 정리로 $\mathrm{P}(A\|E) = \dfrac{9}{41}$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 표준오차 $\dfrac{0.48}{20} = 0.024$ 계산 +3점 / 길이 $L = 0.09408$ 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 부등식 $\dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704$ 수립 +4점 / $\sqrt{n} \ge 40 \implies n = 1600$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 모비율 신뢰구간의 길이는 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$에 비례하므로, 신뢰구간의 길이를 절반($0.09408 \to 0.04704$)으로 줄이려면 표본의 크기 $n$은 $4$배($400 \to 1600$)가 되어야 합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $400 \to 1600$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50}$ 산출 +3점 / 베이즈 정리로 $\mathrm{P}(A\|E) = \dfrac{9}{41}$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 표준오차 $\dfrac{0.48}{20} = 0.024$ 계산 +3점 / 길이 $L = 0.09408$ 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 부등식 $\dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704$ 수립 +4점 / $\sqrt{n} \ge 40 \implies n = 1600$ 도출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $400 \to 1600$

📘 [제8회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $\overline{\mathrm{AF}} = 4,\; \mathrm{B}(2, -4),\; \overline{\mathrm{AB}} = 8$ | [1-2] $L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4,\; L_2 : y = -2x - 1$ | [1-3] $\mathrm{R}(-2, 3)$, 넓이 $\dfrac{125}{4}$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] $p = 2$이므로 $\overline{\mathrm{AF}} = x_1 + p = 2 + 2 = 4$이다. $\mathrm{A}(2, 4)$와 $\mathrm{F}(2, 0)$의 $x$좌표가 같으므로 직선 $\mathrm{AB}$는 $x = 2$이고, 대칭점 $\mathrm{B}(2, -4)$이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 점 $\mathrm{P}(8, 8)$에서의 접선 $L_1$은 $8y = 4(x + 8) \iff y = \dfrac{1}{2}x + 4$로 기울기가 $m_1 = \dfrac{1}{2}$이다. $L_1$과 수직인 접선 $L_2$의 기울기는 $m_2 = -2$이므로 제시문 (나)에 의해 $L_2 : y = -2x + \dfrac{2}{-2} = -2x - 1$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] $L_1$과 $L_2$를 연립하면 $\dfrac{1}{2}x + 4 = -2x - 1 \implies \dfrac{5}{2}x = -5 \implies x = -2,\; y = 3$이므로 $\mathrm{R}(-2, 3)$은 준선 $x = -2$ 위에 있다. 접점 $\mathrm{Q}$는 $-2y = 4(x + x_2)$에서 $\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)$이고, 직각삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 $\overline{\mathrm{PR}} = \sqrt{10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5},\; \overline{\mathrm{QR}} = \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + (-5)^2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 5\sqrt{5}\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2} = \dfrac{125}{4}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $\overline{\mathrm{AF}} = 4$ 산출 +2점 / $\mathrm{B}(2, -4)$ 및 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$ 도출 +4점
소문항 [1-2]	• $L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4$ 유도 +3점 / 수직 기울기 $-2$로부터 $L_2 : y = -2x - 1$ 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 교점 $\mathrm{R}(-2, 3)$ 및 $\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)$ 도출 +4점 / 직각삼각형 넓이 $\dfrac{125}{4}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 $y^2 = 4px$에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점은 항상 준선 $x = -p$ 위에 존재하며, 두 접점을 잇는 현은 초점 $\mathrm{F}(p, 0)$를 지납니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\mathrm{F}(p, 0)$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $\overline{\mathrm{AF}} = 4$ 산출 +2점 / $\mathrm{B}(2, -4)$ 및 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$ 도출 +4점
소문항 [1-2]	• $L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4$ 유도 +3점 / 수직 기울기 $-2$로부터 $L_2 : y = -2x - 1$ 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 교점 $\mathrm{R}(-2, 3)$ 및 $\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)$ 도출 +4점 / 직각삼각형 넓이 $\dfrac{125}{4}$ 산출 +3점

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\mathrm{F}(p, 0)$

📘 [제8회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 이차식으로 구하고 인수분해하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}$를 $n$에 대한 식으로 나타내고, $S_5$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 $\dfrac{3}{4} - S_n \lt \dfrac{1}{6}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $a_n = n(n + 2)$ | [2-2] $S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)},\; S_5 = \dfrac{25}{42}$ | [2-3] $n = 5$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3) = 3 + (n - 1)n + 3(n - 1) = n^2 + 2n = n(n + 2)$이며, $n = 1$일 때도 $a_1 = 1\times 3 = 3$으로 성립한다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] $\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)$이므로 $S_n = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{n + 2}\right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}$이다. $n = 5$를 대입하면 $S_5 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{84} = \dfrac{50}{84} = \dfrac{25}{42}$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] $\dfrac{3}{4} - S_n = \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)} \lt \dfrac{1}{6} \iff (n + 1)(n + 2) \gt 3(2n + 3) \iff n^2 - 3n - 7 \gt 0$이다. $n = 4$일 때 $16 - 12 - 7 = -3 \lt 0$이고 $n = 5$일 때 $25 - 15 - 7 = 3 \gt 0$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $5$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 계차 합 $\sum_{k=1}^{n-1}(2k+3)$ 계산 +3점 / $a_n = n(n+2)$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$ 유도 +4점 / $S_5 = \dfrac{25}{42}$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• $\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)} \lt \dfrac{1}{6}$ 정리 +4점 / 최솟값 $n = 5$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 $k(k+2)$인 부분분수 합에서는 앞의 두 항 $1 + \dfrac{1}{2}$과 뒤의 두 항 $-\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}$이 남는다는 점을 기억하십시오.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $-\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 계차 합 $\sum_{k=1}^{n-1}(2k+3)$ 계산 +3점 / $a_n = n(n+2)$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• $S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$ 유도 +4점 / $S_5 = \dfrac{25}{42}$ 산출 +3점
소문항 [2-3]	• $\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)} \lt \dfrac{1}{6}$ 정리 +4점 / 최솟값 $n = 5$ 도출 +3점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $-\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}$

📘 [제8회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 $f(x) = x^3 + 3x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 6$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2)$와 $g'(6)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3$ 증명, $x_1 \lt x_2$에서 항상 등호 불성립 | [3-2] $g'(2) = \dfrac{1}{3},\; g'(6) = \dfrac{1}{6}$ | [3-3] $L_1 : y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$, 넓이 $\dfrac{2}{3}$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3\;(x_1 \lt c \lt x_2)$이므로 양변에 $x_2 - x_1 \gt 0$을 곱하면 $f(x_2) - f(x_1) \ge 3(x_2 - x_1)$이다. 특히 $(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2) \gt 0$이므로 실제로는 항상 $f(x_2) - f(x_1) \gt 3(x_2 - x_1)$이 성립한다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $f'(x) = 3x^2 + 3$이므로 $f'(0) = 3,\; f'(1) = 6$이다. 제시문 (나)에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{3}$이고 $g'(6) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{6}$이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] 점 $\mathrm{B}(2, 0)$에서의 접선 $L_1$은 $y = \dfrac{1}{3}(x - 2) = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$이고, 점 $\mathrm{A}(6, 1)$에서의 접선 $L_2$는 $y - 1 = \dfrac{1}{6}(x - 6) \implies y = \dfrac{1}{6}x$이다. $L_1$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 직각삼각형의 절편은 $(2, 0),\; \left(0, -\dfrac{2}{3}\right)$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 2\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 $f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3$ 적용 +4점 / 부등식 유도 및 등호 판정 +2점
소문항 [3-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{3}$ 산출 +3점 / $g'(6) = \dfrac{1}{6}$ 도출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ 유도 +4점 / 넓이 $\dfrac{2}{3}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수 $y = g(x)$의 그래프를 직접 구하지 않고도 $g(b) = a \iff f(a) = b$와 $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$만으로 역함수 위의 모든 접선을 정확히 구할 수 있습니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 $f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3$ 적용 +4점 / 부등식 유도 및 등호 판정 +2점
소문항 [3-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{3}$ 산출 +3점 / $g'(6) = \dfrac{1}{6}$ 도출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ 유도 +4점 / 넓이 $\dfrac{2}{3}$ 산출 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$

📘 [제8회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

삼차곡선 $C : y = x^3 - 3x$ 위의 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선을 $L$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선 $L$의 방정식을 구하고, 접선 $L$이 곡선 $C$와 다시 만나는 교점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 곡선 $C$와 접선 $L$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 계산하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $L : y = -2,\; \mathrm{Q}(-2, -2)$ | [4-2] $S = \dfrac{27}{4}$ | [4-3] $t = -1$, 최대 넓이 $6$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $f'(x) = 3x^2 - 3$이므로 $f'(1) = 0$이어서 접선 $L$의 방정식은 $y = -2$이다. $x^3 - 3x = -2 \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0$이므로 다시 만나는 교점은 $\mathrm{Q}(-2, -2)$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 구간 $[-2, 1]$에서 $x^3 - 3x \ge -2$이므로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 선분 $\mathrm{PQ}$는 직선 $y = -2$ 위의 길이 $1 - (-2) = 3$인 수평선분이므로, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 최대가 되려면 높이 $(t^3 - 3t) - (-2)$가 최대가 되어야 한다. 구간 $(-2, 1)$에서 $f'(t) = 3(t + 1)(t - 1) = 0$인 극대점은 $t = -1$이고 이때 $f(-1) = 2$이므로 최대 높이는 $2 - (-2) = 4$, 최대 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선 $L : y = -2$ 유도 +3점 / 인수분해로 $\mathrm{Q}(-2, -2)$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 정적분 $\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx$ 전개 +4점 / 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• 극대점 $t = -1,\; f(-1) = 2$ 도출 +4점 / 최대 넓이 $\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 $\mathrm{P}(1, -2)$는 극소점이므로 접선 $L : y = -2$는 $x$축에 평행한 수평접선이 되어 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 밑변 $\overline{\mathrm{PQ}} = 3$과 높이 계산이 매우 직관적입니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\overline{\mathrm{PQ}} = 3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선 $L : y = -2$ 유도 +3점 / 인수분해로 $\mathrm{Q}(-2, -2)$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 정적분 $\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx$ 전개 +4점 / 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• 극대점 $t = -1,\; f(-1) = 2$ 도출 +4점 / 최대 넓이 $\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6$ 산출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $\overline{\mathrm{PQ}} = 3$

📘 [제8회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1, 6),\; \mathrm{B}(4, 3)$과 원 $C : x^2 + y^2 = 4$ 위를 움직이는 동점 $\mathrm{P}$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 벡터 $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $\mathrm{D}(3, 4),\; \overline{\mathrm{OD}} = 5$ | [5-2] $M = 21,\; m = 9$ | [5-3] $\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$, 내적 $-10$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left(\dfrac{2\cdot 4 + 1\cdot 1}{3}, \dfrac{2\cdot 3 + 1\cdot 6}{3}\right) = (3, 4)$이고, $\overline{\mathrm{OD}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}| = 3|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$이고 원 $C$의 반지름은 $r = 2$이다. 따라서 $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$의 최댓값은 $5 + 2 = 7$, 최솟값은 $5 - 2 = 3$이므로 $M = 3\times 7 = 21,\; m = 3\times 3 = 9$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$가 최대일 때 점 $\mathrm{P}$는 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 점 $\mathrm{D}(3, 4)$의 정반대 방향에 있으므로 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$이다. 이때 두 벡터는 반대 방향이므로 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} = -2\times 5 = -10$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 내분점 $\mathrm{D}(3, 4)$ 산출 +3점 / $\overline{\mathrm{OD}} = 5$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $3\|\overrightarrow{\mathrm{PD}}\|$ 변형 및 $r = 2$ 적용 +3점 / $M = 21,\; m = 9$ 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 반대 방향 단위벡터로 $\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$ 도출 +4점 / 내적 $-10$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 시점이 동점 $\mathrm{P}$인 일차결합 벡터 $p\overrightarrow{\mathrm{PA}} + q\overrightarrow{\mathrm{PB}}$는 항상 내분점 $\mathrm{D}$를 도입하여 $(p + q)\overrightarrow{\mathrm{PD}}$로 단일 벡터화하면 기하학적 최대·최소가 즉시 해결됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $(p + q)\overrightarrow{\mathrm{PD}}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 내분점 $\mathrm{D}(3, 4)$ 산출 +3점 / $\overline{\mathrm{OD}} = 5$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $3\|\overrightarrow{\mathrm{PD}}\|$ 변형 및 $r = 2$ 적용 +3점 / $M = 21,\; m = 9$ 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 반대 방향 단위벡터로 $\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$ 도출 +4점 / 내적 $-10$ 산출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $(p + q)\overrightarrow{\mathrm{PD}}$

📘 [제9회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 1-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 이 타원에 접하고 기울기가 $1$이고 $y$절편이 양수인 접선 $L$의 방정식을 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$, 넓이 $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ | [1-2] $L : y = x + \sqrt{14}$ | [1-3] $d_1 d_2 = 5$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 장축 길이가 $2a = 6$이므로 $l_1 + l_2 = 6$이다. 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 16 = l_1^2 + l_2^2 - l_1 l_2 = (l_1 + l_2)^2 - 3l_1 l_2 = 36 - 3l_1 l_2$이므로 $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$이고, 넓이는 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 \sin 60^\circ = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] $a^2 = 9,\; b^2 = 5,\; m = 1$을 제시문 (나)의 접선 공식에 대입하면 $\sqrt{a^2 m^2 + b^2} = \sqrt{9 + 5} = \sqrt{14}$이고 $y$절편이 양수이므로 $L : y = x + \sqrt{14}$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 직선 $x - y + \sqrt{14} = 0$에서 두 초점 $(2, 0),\; (-2, 0)$까지의 거리는 $d_1 = \dfrac{|2 + \sqrt{14}|}{\sqrt{2}},\; d_2 = \dfrac{|-2 + \sqrt{14}|}{\sqrt{2}}$이다. 따라서 $d_1 d_2 = \dfrac{(\sqrt{14})^2 - 2^2}{2} = \dfrac{14 - 4}{2} = 5 = b^2$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $36 - 3l_1 l_2 = 16$으로부터 $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$ 도출 +3점 / 넓이 $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $\sqrt{9(1)^2 + 5} = \sqrt{14}$ 계산 +3점 / $L : y = x + \sqrt{14}$ 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 점과 직선 거리 $d_1,\; d_2$ 식 수립 +4점 / 합차공식으로 $d_1 d_2 = 5$ 유도 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 타원의 두 초점에서 임의의 접선에 내린 두 수선의 길이의 곱 $d_1 d_2$는 접선의 기울기 $m$에 관계없이 항상 $b^2$으로 일정합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $b^2$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $36 - 3l_1 l_2 = 16$으로부터 $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$ 도출 +3점 / 넓이 $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $\sqrt{9(1)^2 + 5} = \sqrt{14}$ 계산 +3점 / $L : y = x + \sqrt{14}$ 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 점과 직선 거리 $d_1,\; d_2$ 식 수립 +4점 / 합차공식으로 $d_1 d_2 = 5$ 유도 +3점

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $b^2$

📘 [제9회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2),\; L(t) = 3t^2 - 18t + 36$ | [2-2] $t = 3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min} = 3,\; S(3) = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $L'(2) = -6,\; \overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3},\; R = 2$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] $S(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)$이다. 또한 코사인법칙에 의해 $L(t) = t^2 + (6 - t)^2 - 2t(6 - t)\cos 60^\circ = 2t^2 - 12t + 36 - (6t - t^2) = 3t^2 - 18t + 36$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] $L(t) = 3(t - 3)^2 + 9$이므로 $t = 3$일 때 $L(t)$는 최솟값 $9$, 즉 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 최솟값은 $3$이고, 이때 넓이는 $S(3) = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] $L'(t) = 6t - 18$이므로 $L'(2) = -6$이다. $t = 2$일 때 $L(2) = 12 - 36 + 36 = 12$이므로 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}$이고, 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 4 \implies R = 2$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)$ 도출 +3점 / 코사인법칙으로 $L(t) = 3t^2 - 18t + 36$ 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 $3(t-3)^2 + 9$ 변형 +3점 / $t=3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min}=3,\; S(3)=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ 산출 +4점
소문항 [2-3]	• $L'(2) = -6$ 및 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}$ 계산 +4점 / 사인법칙으로 $R = 2$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 변의 길이의 합 $t + (6 - t) = 6$이 일정할 때 $t = 3$에서 삼각형 $\mathrm{OPQ}$는 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형이 되어 넓이는 최대, 마주 보는 변의 길이는 최소가 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)$ 도출 +3점 / 코사인법칙으로 $L(t) = 3t^2 - 18t + 36$ 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 $3(t-3)^2 + 9$ 변형 +3점 / $t=3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min}=3,\; S(3)=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ 산출 +4점
소문항 [2-3]	• $L'(2) = -6$ 및 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}$ 계산 +4점 / 사인법칙으로 $R = 2$ 도출 +3점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $3$

📘 [제9회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 8$과 직선 $y = mx + n$에 대하여 절댓값 함수의 미분가능성을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] $\alpha = 2,\; m = 3$ | [3-2] $f(2) = 6,\; f'(2) = 3$이므로 접선 $y = 3x$ 일치 | [3-3] $x = 4$에서만 미분불가능, 정적분 $\dfrac{27}{4}$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $(x - \alpha)^3 = x^3 - 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x - \alpha^3$를 $f(x) - mx = x^3 - 6x^2 + (15 - m)x - 8$과 계수 비교하면 $-3\alpha = -6 \implies \alpha = 2$이고 $-\alpha^3 = -8$이 성립한다. 일차항 계수 비교 $15 - m = 3\alpha^2 = 12$에서 $m = 3$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $\alpha = 2$일 때 $f(2) = 8 - 24 + 30 - 8 = 6$이고, $f'(x) = 3x^2 - 12x + 15$에서 $f'(2) = 12 - 24 + 15 = 3$이므로 점 $(2, 6)$에서의 접선은 $y - 6 = 3(x - 2) \implies y = 3x$로 일치한다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] $h(x) = f(x) - (6x - 4) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)^2(x - 4)$이다. $x = 1$은 중근이므로 미분가능하고, 단근인 $x = 4$에서만 미분가능하지 않다. 또한 구간 $[1, 4]$에서 $h(x) \le 0$이므로 $\int_{1}^{4} g_2(x)\,dx = \int_{1}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 9x + 4)\,dx = \dfrac{1}{12}(4 - 1)^4 = \dfrac{27}{4}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $(x - \alpha)^3$ 계수 비교로 $\alpha = 2$ 도출 +3점 / $15 - m = 12 \implies m = 3$ 산출 +3점
소문항 [3-2]	• $f(2) = 6,\; f'(2) = 3$ 계산 +4점 / 접선 방정식 $y = 3x$ 일치 확인 +3점
소문항 [3-3]	• $(x-1)^2(x-4)$ 인수분해 및 $x = 4$ 미분불가능 판정 +4점 / 정적분 $\dfrac{27}{4}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차다항식 $h(x)$가 $(x-1)^2(x-4)$로 인수분해될 때 중근 $x=1$에서는 그래프가 $x$축에 접하므로 절댓값을 씌워도 미분가능하고, 관통하는 단근 $x=4$에서만 첨점이 생깁니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $x=4$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $(x - \alpha)^3$ 계수 비교로 $\alpha = 2$ 도출 +3점 / $15 - m = 12 \implies m = 3$ 산출 +3점
소문항 [3-2]	• $f(2) = 6,\; f'(2) = 3$ 계산 +4점 / 접선 방정식 $y = 3x$ 일치 확인 +3점
소문항 [3-3]	• $(x-1)^2(x-4)$ 인수분해 및 $x = 4$ 미분불가능 판정 +4점 / 정적분 $\dfrac{27}{4}$ 산출 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $x=4$

📘 [제9회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 4-1] (6점) $-2 \le x \le 0$에서 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 한 주기 구간 $[-2, 2]$에서의 정적분 $I = \int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_{t}^{t+4} x f(x)\,dx$의 도함수 $H'(t)$를 구하고, $H(0)$과 $H(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] $-2 \le x \le 0$에서 $3x^2 + 6x + 4,\; I = 8$ | [4-2] $160$ | [4-3] $H'(t) = 4f(t),\; H(0) = 16,\; H(2) = 32$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $-2 \le x \le 0$이면 $0 \le -x \le 2$이므로 $f(x) = f(-x) = 3(-x)^2 - 6(-x) + 4 = 3x^2 + 6x + 4$이다. 우함수 성질에 의해 $I = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 6x + 4)\,dx = 2\left[x^3 - 3x^2 + 4x\right]_{0}^{2} = 2(8 - 12 + 8) = 8$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 주기 $4$에 의해 $\int_{-6}^{10} f(x)\,dx = 4I = 32$이다. 또한 $x = u + 2$로 평행이동하면 $f(u + 2)$는 $u = 0$에 대하여 대칭($f(2 - u) = f(u - 2) = f(u + 2)$)이므로 $\int_{-6}^{10} (x - 2)f(x)\,dx = \int_{-8}^{8} u f(u + 2)\,du = 0$이다. 따라서 $\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx = \int_{-6}^{10} (x - 2)f(x)\,dx + 5\int_{-6}^{10} f(x)\,dx = 0 + 5\times 32 = 160$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] $H'(t) = (t + 4)f(t + 4) - t f(t) = (t + 4)f(t) - t f(t) = 4f(t)$이다. $x = 2$ 대칭성에 의해 $\int_{0}^{4} (x - 2)f(x)\,dx = 0$이므로 $H(0) = \int_{0}^{4} x f(x)\,dx = 2\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 2\times 8 = 16$이다. 또한 $H(2) - H(0) = \int_{0}^{2} 4f(t)\,dt = 4\times 4 = 16$이므로 $H(2) = 16 + 16 = 32$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $f(x) = 3x^2 + 6x + 4$ 유도 +3점 / 한 주기 적분 $I = 8$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• $4$주기 적분 $32$ 및 대칭점 $x = 2$ 분리 +4점 / $5\times 32 = 160$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• $H'(t) = 4f(t)$ 유도 +3점 / $H(0) = 16,\; H(2) = 32$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 우함수이면서 주기가 $4$인 함수는 $x = 0$뿐 아니라 $x = 2$의 모든 정수배에서도 대칭축을 가지므로, 구간 $[-6, 10]$의 중점 $x = 2$를 기준으로 $(x - 2)f(x)$의 정적분이 $0$이 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $f(x) = 3x^2 + 6x + 4$ 유도 +3점 / 한 주기 적분 $I = 8$ 산출 +3점
소문항 [4-2]	• $4$주기 적분 $32$ 및 대칭점 $x = 2$ 분리 +4점 / $5\times 32 = 160$ 도출 +3점
소문항 [4-3]	• $H'(t) = 4f(t)$ 유도 +3점 / $H(0) = 16,\; H(2) = 32$ 산출 +4점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $0$

📘 [제9회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 5-2] (7점) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 높이 $\overline{\mathrm{AG}}$와 부피 $V$를 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ | [5-2] $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6},\; V = 18\sqrt{2}$ | [5-3] $S_1 = 3\sqrt{3},\; S_2 = 0$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형의 높이는 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}$이다. 무게중심 $\mathrm{G}$는 $\overline{\mathrm{BM}}$을 $2 : 1$로 내분하므로 $\overline{\mathrm{GM}} = \sqrt{3}$이고, 직각삼각형 $\mathrm{AGM}$에서 $\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{GM}}}{\overline{\mathrm{AM}}} = \dfrac{1}{3}$, $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] 높이는 $\overline{\mathrm{AG}} = \overline{\mathrm{AM}}\sin\theta = 3\sqrt{3}\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{6}$이다. 밑면 $\triangle\mathrm{BCD}$의 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2 = 9\sqrt{3}$이므로 부피는 $V = \dfrac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 2\sqrt{6} = 18\sqrt{2}$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] $\triangle\mathrm{ACD}$의 넓이는 $9\sqrt{3}$이므로 밑면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영 넓이는 $S_1 = 9\sqrt{3}\cos\theta = 3\sqrt{3}$이다. 한편 $\overline{\mathrm{CD}} \perp \overline{\mathrm{AM}}$이고 $\overline{\mathrm{CD}} \perp \overline{\mathrm{BM}}$이므로 평면 $\mathrm{ABM}$은 밑면 $\mathrm{BCD}$에 수직이다. 따라서 $\triangle\mathrm{ABM}$의 밑면 위로의 정사영은 선분 $\mathrm{BM}$이 되어 넓이는 $S_2 = 0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}$ 산출 +2점 / $\cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 도출 +4점
소문항 [5-2]	• 높이 $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6}$ 계산 +3점 / 부피 $V = 18\sqrt{2}$ 산출 +4점
소문항 [5-3]	• $S_1 = 9\sqrt{3}\times\dfrac{1}{3} = 3\sqrt{3}$ 산출 +4점 / 수직 평면 논증으로 $S_2 = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 정사면체에서 마주 보는 모서리 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$는 서로 수직이고 평면 $\mathrm{ABM}$은 밑면 $\mathrm{BCD}$와 수직($90^\circ$)을 이루므로 정사영이 선분으로 축퇴되어 넓이가 $0$이 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $0$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}$ 산출 +2점 / $\cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 도출 +4점
소문항 [5-2]	• 높이 $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6}$ 계산 +3점 / 부피 $V = 18\sqrt{2}$ 산출 +4점
소문항 [5-3]	• $S_1 = 9\sqrt{3}\times\dfrac{1}{3} = 3\sqrt{3}$ 산출 +4점 / 수직 평면 논증으로 $S_2 = 0$ 도출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $0$

📘 [제10회 문항 1 문제 및 제시문] (배점 20점)

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [1-1] $l_1 l_2 = 18$, 넓이 $9$ | [1-2] $\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}, \dfrac{9}{4}\right)$ | [1-3] $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$, $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$ 성립

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 주축 길이가 $2a = 2\sqrt{7}$이므로 $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7}$이고 $l_1^2 + l_2^2 = \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 64$이다. 따라서 $2l_1 l_2 = 64 - 28 = 36 \implies l_1 l_2 = 18$이고 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = 9$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 넓이 $\dfrac{1}{2}\times 8\times y_1 = 4y_1 = 9$에서 $y_1 = \dfrac{9}{4}$이다. 쌍곡선 식에 대입하면 $\dfrac{x_1^2}{7} = 1 + \dfrac{81/16}{9} = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}$이고 $x_1 \gt 0$이므로 $x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}$, 즉 $\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}, \dfrac{9}{4}\right)$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선 $\dfrac{x_1 x}{7} - \dfrac{y_1 y}{9} = 1$의 $x$절편은 $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{7}{x_1} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$이다. 또한 $(l_1 + l_2)^2 = 64 + 36 = 100 \implies l_1 + l_2 = 10$이므로 $l_1 = 5 + \sqrt{7},\; l_2 = 5 - \sqrt{7}$이고, $\dfrac{\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{FT}}} = \dfrac{4 + 4\sqrt{7}/5}{4 - 4\sqrt{7}/5} = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{5 - \sqrt{7}} = \dfrac{l_1}{l_2}$가 성립하여 접선 $\mathrm{PT}$는 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$를 이등분한다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7},\; l_1^2 + l_2^2 = 64$ 연립 +3점 / $l_1 l_2 = 18$ 및 넓이 $9$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $y_1 = \dfrac{9}{4}$ 도출 +3점 / $x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$ 산출 +3점 / $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$ 비율 일치 증명 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선은 항상 두 초점 반경 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}},\; \overline{\mathrm{FP}}$가 이루는 각 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 내각의 이등분선이라는 광학적 성질을 대수적으로 증명한 문항입니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7},\; l_1^2 + l_2^2 = 64$ 연립 +3점 / $l_1 l_2 = 18$ 및 넓이 $9$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $y_1 = \dfrac{9}{4}$ 도출 +3점 / $x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$ 산출 +3점 / $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$ 비율 일치 증명 +4점

✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$

📘 [제10회 문항 2 문제 및 제시문] (배점 20점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 일반항 $a_n$을 이용하여 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n}$의 값을 구하고, 제$5$항까지의 합 $S_5$의 값을 계산하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [2-1] $a_n = 3^n + 2^n$ | [2-2] $S_n = \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 2^{n+1} - 2$ | [2-3] $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1,\; S_5 = 425$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2a_n + 3^n - 3\cdot 3^n = 2(a_n - 3^n)$으로 변형하면, 수열 $\{a_n - 3^n\}$은 첫째항이 $a_1 - 3 = 2$이고 공비가 $2$인 등비수열이다. 따라서 $a_n - 3^n = 2\cdot 2^{n-1} = 2^n$이므로 $a_n = 3^n + 2^n$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] $S_n = \sum_{k=1}^{n} (3^k + 2^k) = \dfrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} + \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 2^{n+1} - 2$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] $a_n = 3^n + 2^n$이므로 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1$이다. $n = 5$를 대입하면 $S_5 = \dfrac{3^6 - 3}{2} + 2^6 - 2 = 363 + 62 = 425$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)$ 변형 +3점 / 일반항 $a_n = 3^n + 2^n$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 등비수열 합 공식 각각 적용 +4점 / $S_n = \dfrac{3^{n+1}-3}{2} + 2^{n+1} - 2$ 완성 +3점
소문항 [2-3]	• 항등식 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1$ 확인 +3점 / $S_5 = 363 + 62 = 425$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$의 양변에서 $3^{n+1}$을 빼면 $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)$으로 즉시 인수분해되어 두 등비수열의 합 $3^n + 2^n$으로 표현됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $3^n + 2^n$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)$ 변형 +3점 / 일반항 $a_n = 3^n + 2^n$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 등비수열 합 공식 각각 적용 +4점 / $S_n = \dfrac{3^{n+1}-3}{2} + 2^{n+1} - 2$ 완성 +3점
소문항 [2-3]	• 항등식 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1$ 확인 +3점 / $S_5 = 363 + 62 = 425$ 산출 +4점

✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $3^n + 2^n$

📘 [제10회 문항 3 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 3-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하여 $x \ge 0$에서 $f(x)$의 극댓값을 구하고, 방정식 $f(x) = f(0)$을 만족시키는 양수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \le 3$일 때와 $t \gt 3$일 때의 최솟값 함수 $m(t)$의 식을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [3-1] 극댓값 $f(2) = 8$, 양의 실근 $x = 3$ | [3-2] $0 \lt t \le 3$에서 $m(t) = 4$, $t \gt 3$에서 $m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$ | [3-3] $t = 3$ 미분불가능 (좌 $0$, 우 $-9$), 정적분 $\dfrac{49}{4}$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$이므로 $x = 0$에서 극소($f(0) = 4$), $x = 2$에서 극댓값 $f(2) = -8 + 12 + 4 = 8$을 갖는다. 또한 $f(x) = 4 \iff -x^2(x - 3) = 0$이므로 양의 실근은 $x = 3$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $0 \le x \le 3$에서는 $f(x) \ge 4 = f(0)$이므로 $0 \lt t \le 3$일 때 최솟값은 항상 $m(t) = f(0) = 4$이다. 반면 $t \gt 3$일 때는 $f(t) \lt 4$이고 $f$가 순감소하므로 $m(t) = f(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] $t = 3$에서 좌미분계수는 $0$이고 우미분계수는 $f'(3) = -27 + 18 = -9$로 서로 다르므로 $t = 3$에서 미분가능하지 않다. 또한 $\int_{0}^{4} m(t)\,dt = \int_{0}^{3} 4\,dt + \int_{3}^{4} (-t^3 + 3t^2 + 4)\,dt = 12 + \left[-\dfrac{t^4}{4} + t^3 + 4t\right]_{3}^{4} = 12 + \left(16 - \dfrac{63}{4}\right) = \dfrac{49}{4}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f'(x) = -3x(x-2)$ 및 극댓값 $f(2) = 8$ 산출 +3점 / $f(x)=4$의 양근 $x = 3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• $0 \lt t \le 3$에서 $m(t) = 4$ 도출 +3점 / $t \gt 3$에서 $m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $t = 3$ 좌미분계수 $0$, 우미분계수 $-9$ 비교 +4점 / 정적분 $\dfrac{49}{4}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간 $[0, 3]$에서는 시작점 $f(0) = 4$가 최솟값으로 유지되다가 $t = 3$을 지나는 순간 $f(t)$가 $4$보다 작아지면서 $m(t) = f(t)$로 꺾이므로 $t = 3$에서 첨점이 발생합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $t = 3$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f'(x) = -3x(x-2)$ 및 극댓값 $f(2) = 8$ 산출 +3점 / $f(x)=4$의 양근 $x = 3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• $0 \lt t \le 3$에서 $m(t) = 4$ 도출 +3점 / $t \gt 3$에서 $m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $t = 3$ 좌미분계수 $0$, 우미분계수 $-9$ 비교 +4점 / 정적분 $\dfrac{49}{4}$ 산출 +3점

✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $t = 3$

📘 [제10회 문항 4 문제 및 제시문] (배점 20점)

양수 $k\;(k \gt 0)$에 대하여 이차곡선 $y = x^2 - 2kx$와 직선 $y = kx$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-2] (7점) $k = 2$일 때의 넓이 $S(2)$와 순간변화율 $S'(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [4-1] 교점 $x = 0, 3k,\; S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$ | [4-2] $S(2) = 36,\; S'(2) = 54$ | [4-3] $\dfrac{S(k)}{A(k)} = \dfrac{27}{8}$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $x^2 - 2kx = kx \iff x(x - 3k) = 0$이므로 두 교점의 $x$좌표는 $0,\; 3k$이다. 제시문 (가)에 의해 $S(k) = \int_{0}^{3k} (3kx - x^2)\,dx = \dfrac{1}{6}(3k - 0)^3 = \dfrac{9}{2}k^3$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] $S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$에서 $S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2$이다. 따라서 $k = 2$를 대입하면 $S(2) = \dfrac{9}{2}\times 8 = 36$이고 $S'(2) = \dfrac{27}{2}\times 4 = 54$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 곡선 $y = x^2 - 2kx = x(x - 2k)$와 $x$축의 교점은 $0,\; 2k$이므로 $A(k) = \dfrac{1}{6}(2k)^3 = \dfrac{4}{3}k^3$이다. 따라서 $\dfrac{S(k)}{A(k)} = \dfrac{(9/2)k^3}{(4/3)k^3} = \dfrac{27}{8}$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 교점 $x = 0,\; 3k$ 도출 +2점 / 정적분으로 $S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$ 산출 +4점
소문항 [4-2]	• $S(2) = 36$ 계산 +3점 / 도함수 $S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2$으로부터 $S'(2) = 54$ 도출 +4점
소문항 [4-3]	• $A(k) = \dfrac{4}{3}k^3$ 산출 +4점 / 비율 $\dfrac{27}{8}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이는 두 교점 사이의 수평거리 $\beta - \alpha$의 세제곱에 비례하므로, $3k$와 $2k$의 넓이 비는 즉시 $3^3 : 2^3 = 27 : 8$이 됩니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $3^3 : 2^3 = 27 : 8$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 교점 $x = 0,\; 3k$ 도출 +2점 / 정적분으로 $S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$ 산출 +4점
소문항 [4-2]	• $S(2) = 36$ 계산 +3점 / 도함수 $S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2$으로부터 $S'(2) = 54$ 도출 +4점
소문항 [4-3]	• $A(k) = \dfrac{4}{3}k^3$ 산출 +4점 / 비율 $\dfrac{27}{8}$ 도출 +3점

✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $3^3 : 2^3 = 27 : 8$

📘 [제10회 문항 5 문제 및 제시문] (배점 20점)

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$를 연립하여 상수 $a,\; b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\mathrm{E}(X^2)$과 분산 $\mathrm{V}(X)$를 각각 기약분수로 구하시오.

✍️ 먼저 답안지에 스스로 논술한 뒤 버튼을 눌러 단계별 논리 서술 모범답안과 25점 루브릭을 확인하세요.

1단계: 논증 설계 및 핵심 개념 적용

🎯 모범 정답 : [5-1] $a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}$ | [5-2] $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2},\; \mathrm{V}(X) = \dfrac{7}{16}$ | [5-3] $\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8},\; \mathrm{V}(8\bar{X}) = 1$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] $a + \dfrac{1}{2} + b = 1 \implies a + b = \dfrac{1}{2}$이고, $\mathrm{E}(X) = a + 1 + 3b = \dfrac{9}{4} \implies a + 3b = \dfrac{5}{4}$이다. 두 식을 빼면 $2b = \dfrac{3}{4} \implies b = \dfrac{3}{8}$이고 $a = \dfrac{1}{8}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $\mathrm{E}(X^2) = 1^2\cdot\dfrac{1}{8} + 2^2\cdot\dfrac{1}{2} + 3^2\cdot\dfrac{3}{8} = \dfrac{1 + 16 + 27}{8} = \dfrac{44}{8} = \dfrac{11}{2}$이다. 따라서 $\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 = \dfrac{88 - 81}{16} = \dfrac{7}{16}$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 $\mathrm{E}(\bar{X}) = \mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$이고 $\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\mathrm{V}(X)}{28} = \dfrac{7/16}{28} = \dfrac{1}{64}$이므로 표준편차는 $\sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}$이다. 또한 $\mathrm{V}(8\bar{X}) = 8^2\mathrm{V}(\bar{X}) = 64\times \dfrac{1}{64} = 1$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $a + b = \dfrac{1}{2},\; a + 3b = \dfrac{5}{4}$ 연립 +3점 / $a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2}$ 계산 +3점 / $\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \dfrac{81}{16} = \dfrac{7}{16}$ 도출 +4점
소문항 [5-3]	• $\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}$ 산출 +4점 / $\mathrm{V}(8\bar{X}) = 64\times\dfrac{1}{64} = 1$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 표본평균 $\bar{X}$의 분산은 $\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$이고 상수배의 분산은 $\mathrm{V}(c\bar{X}) = c^2\mathrm{V}(\bar{X})$임을 결합하여 정확히 계산합니다.

2단계: 심화 유도 및 논리적 연산 과정

3단계: 결론 도출 및 답안 완성

소문항별 논증 과정을 종합하면 최종 결론은 $\mathrm{V}(c\bar{X}) = c^2\mathrm{V}(\bar{X})$이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $a + b = \dfrac{1}{2},\; a + 3b = \dfrac{5}{4}$ 연립 +3점 / $a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2}$ 계산 +3점 / $\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \dfrac{81}{16} = \dfrac{7}{16}$ 도출 +4점
소문항 [5-3]	• $\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}$ 산출 +4점 / $\mathrm{V}(8\bar{X}) = 64\times\dfrac{1}{64} = 1$ 도출 +3점

✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $\mathrm{V}(c\bar{X}) = c^2\mathrm{V}(\bar{X})$

📌 [사용 방법] 아래에서 응시한 모의고사 회차와 지원 희망 학과, 문항별 자가 채점 점수(문항당 0~20점)를 입력하면 서강대학교 자연계열 공식 반영비율(논술 80% + 학생부 20%) 및 학과별 합격선 대비 실시간 합격 예측 판정과 취약 단원 클리닉이 즉시 작동합니다.

① 응시 모의고사 회차

② 지원 희망 모집단위

③ 학생부 교과 등급

④ 수능최저 (3합 4 이내) 충족 (국수영탐 3합 4)

문항 1 (20점)

문항 2 (20점)

문항 3 (20점)

문항 4 (20점)

문항 5 (20점)

논술 원점수 (100점 만점) / 환산 총점 (논술80+교과20)

논술 86.0점 | 환산 88.5점

🟢 안정 합격권 (최초합 예측)

선택 학과 합격선 대비 +1.5점 우위

🤖 AI 문항별 취약점 진단 및 서강대 맞춤 보완 처방전

• 현재 진단 결과: 전 문항 고른 득점을 기록 중이나, 문항 5 (기하·미적분 킬러 추론)에서 부분 감점(-4점)이 발생하였습니다. Part 1의 #past-q1-p3 및 #past-q4-p3 공식 답안 사례를 통해 등호 성립 조건과 구간 경계 서술을 보완하시기 바랍니다.

📈 서강대학교 자연계열 수리논술 득점대별 합격 전략 가이드

논술 득점 구간	합격 가능성 판정	핵심 학습 처방 및 실전 답안 보완 전략
88점 ~ 100점	🟢 전 학과 최초합격권	시스템반도체·AI·컴공 최상위 학과 안정권. 제6~10회 킬러 변형 회차로 계산 실수 방어 훈련 유지.
82점 ~ 87점	🟡 적정·소신 합격권	전자·화공생명·기계·자연과학부 합격권. 4번째 소문항(【1-4】, 【2-4】)에서 부분점수 4~6점 추가 확보 필수.
81점 이하	🔴 집중 보완 필요	제1~5회 기본·표준 모의고사의 단계별 정석 논술 풀이(개념 적용 30% + 논증 연산 40% + 결론 도출 30%) 템플릿 암기 및 재서술.

📌 [서강대 자연계열 학과별 실질 경쟁률 및 커트라인 분석] 서강대는 수능최저학력기준(국·수·영·탐(1) 3합 4 이내) 충족 시 명목 경쟁률(30~42:1) 대비 실질 경쟁률이 약 1/3 수준(9~13:1)으로 급감합니다. Page 100에서 입력한 논술 점수가 아래 표의 우측 [내 점수 실시간 판정] 열에 자동 반영됩니다.

모집단위 (학과명)	시험 구분	명목 경쟁률	실질 경쟁률	합격 안정컷 (100점 만점)	내 점수 실시간 판정 (Live)
시스템반도체공학과 SK하이닉스 계약학과	자연 1차	42.5 : 1	13.2 : 1	87.5점	🟡 추합·경합권 (-1.5점)
인공지능학과	자연 2차	39.8 : 1	12.4 : 1	86.5점	🟡 적정 합격권 (-0.5점)
컴퓨터공학과	자연 1차	38.2 : 1	11.8 : 1	86.0점	🟢 안정 합격권 (+0.0점)
화공생명공학과	자연 2차	35.4 : 1	11.0 : 1	84.5점	🟢 안정 합격권 (+1.5점)
전자공학과	자연 2차	34.6 : 1	10.7 : 1	84.0점	🟢 안정 합격권 (+2.0점)
기계공학과	자연 1차	32.1 : 1	9.9 : 1	83.0점	🟢 최초 합격권 (+3.0점)
수학과	자연 1차	29.5 : 1	9.1 : 1	81.5점	🟢 최초 합격권 (+4.5점)
물리학과·화학과·생명과학과	자연 2차	28.4 : 1	8.8 : 1	80.5점	🟢 최초 합격권 (+5.5점)

📋 서강대 수리논술 시험장 시간 배분(100분) & 감점 제로(Zero) 최종 체크리스트

1. 100분 골든타임 배분 원칙:
• 00분 ~ 10분 (전체 스캔 및 제시문 매핑): 모든 소문항이 어떤 제시문([가]~[라])의 정리를 요구하는지 문제지 여백에 먼저 표시합니다.
• 10분 ~ 50분 (대문항 1번 완결): 【1-1】~【1-3】을 25분 내에 정확히 서술하고, 【1-4】에 15분을 투자하여 도함수·극한 식을 명확히 전개합니다.
• 50분 ~ 95분 (대문항 2번 완결): 서강대 변별력의 핵심인 【2-3】·【2-4】에서 구간별 케이스 분류표(증감표)와 좌·우극한/미분계수 일치 식을 빠짐없이 작성합니다.
• 95분 ~ 100분 (최종 검산): 산술·기하평균의 등호 성립 조건, 치환 변수의 정의역 범위, 최종 답안의 부호·기약분수 여부를 점검합니다.

📌 인쇄본 교재로 학습하는 수험생도 스마트폰 카메라로 아래 QR 코드를 스캔하면 『2027 서강대학교 자연계열 수리논술 올인원 E-BOOK 통합대시보드』 및 『합격진단 피드백 리포트』를 모바일에서 즉시 이용할 수 있습니다.

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• 연결 URL: https://questio.co.kr/서강대학교_2027_수리논술_올인원_EBOOK_통합대시보드.html
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카메라로 QR 스캔

📝 제1회 ~ 제10회 실전 모의고사 회차별 누적 득점 기록표 (Self-Tracking Sheet)

회차	응시 일자	Q1 (20)	Q2 (20)	Q3 (20)	Q4 (20)	Q5 (20)	총점 ( / 100점) 및 목표 학과 판정
제1회							/ 100점
제2회							/ 100점
제3회							/ 100점
제4회							/ 100점
제5회							/ 100점
제6회							/ 100점
제7회							/ 100점
제8회							/ 100점
제9회							/ 100점
제10회							/ 100점

2027 SOGANG UNIVERSITY ADMISSION PLEDGE · QUESTIO MASTER COLLECTION

🎓 2027학년도 서강대학교 자연계열
수리논술 최종 합격 서약서

"그대 서강의 자랑이듯, 서강 그대의 자랑이어라 (Be as proud of Sogang as Sogang is proud of you)"
본 마스터북의 기출 20대문항(2022~2026학년도 5개년)과 실전 모의고사 10회분(50문항)을 완주한 당신이 2027학년도 서강의 주인공입니다.

✍️ 수험생 최종 합격 다짐 및 서약

1. 나는 본 교재에 수록된 2022~2026학년도(5개년) 서강대학교 자연계열 기출 20대문항과 실전 모의고사 10회분(50문항)의 모든 제시문과 논증 과정을 백지 위에 스스로 재현할 수 있을 때까지 반복 훈련하겠습니다.
2. 나는 실전 시험장에서 [1단계: 핵심개념 ➔ 2단계: 논증연산 ➔ 3단계: 결론도출]의 3단계 서술 원칙과 등호 성립 조건·구간 경계 검증을 철저히 지켜 감점 없는 완벽한 답안을 작성하겠습니다.

• 지원 목표 모집단위: 서강대학교 ( ) 학과
• 목표 논술 득점: 100점 만점 중 ( ) 점 이상 | 서약자 성명: ( ) (서명)

• 발행처: 퀘스티오(Questio) 수리논술연구소 | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449
• 공식 플랫폼: https://questio.co.kr | 검증 엔진: REA × Argon × JEV Trinity Engine (PASS 1.000)

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\alpha\)	\(\cdots\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(h'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h(x)\)	\(1 + \dfrac{\pi}{2}(k-1)\)	\(\nearrow\)	\(h(\alpha)\)	\(\searrow\)	\(0\)

\(x\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\cdots\)	\(\beta\)	\(\cdots\)	\(\pi\)
\(h'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(h(\beta)\)	\(\searrow\)	\(1 + \dfrac{\pi}{2}(1-k)\)

2027학년도 서강대학교 자연계열
수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

📌 숭실대 마스터 엔진 × 가천대 C/D 마스터 규격 6대 핵심 아키텍처 탑재

📱 모바일·태블릿 실시간 합격 진단 & 올인원 E-BOOK 대시보드 QR 연동

Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 정본 분석 & 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭 연습

🏛️ 5개년 20대문항 정본 분석

📖 2022 개정 교과서 DB 1:1 연계

🎯 25점 배점 루브릭 & 아코디언 토글

5. 문항카드 5 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 1번

5. 문항카드 5 (자연계열 1차 1번) — 5.3 출제 의도 · 5.4 출제 근거 · 5.6 채점 기준

5. 문항카드 5 (자연계열 1차 1번) — 5.7 답안 사례 (원문 100% 수록)

6. 문항카드 6 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 2번

6. 문항카드 6 (자연계열 1차 2번) — 6.3 출제 의도 · 6.4 출제 근거 · 6.6 채점 기준

6. 문항카드 6 (자연계열 1차 2번) — 6.7 답안 사례 (원문 100% 수록)

7. 문항카드 7 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 1번

7. 문항카드 7 (자연계열 2차 1번) — 7.3 출제 의도 · 7.4 출제 근거 · 7.6 채점 기준

7. 문항카드 7 (자연계열 2차 1번) — 7.7 답안 사례 (원문 100% 수록)

8. 문항카드 8 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 2번

8. 문항카드 8 (자연계열 2차 2번) — 8.3~8.6 및 8.7 답안 사례 【2-1】·【2-2】

8. 문항카드 8 (자연계열 2차 2번) — 8.7 답안 사례 【2-3】·【2-4】 (원문 100% 수록)

Part 2-1. 2027학년도 서강대학교 자연계열
실전 모의고사 1~10회 문제집 (총 50문항)

📌 Part 2-1 실전 모의고사 문제집 3대 편찬 원칙

Part 2-2. 2027학년도 서강대학교 자연계열
실전 모의고사 1~10회 통합 해설집 (50문항)

📌 Part 2-2 모의고사 해설집 3대 핵심 구성

🚀 2027 서강대 수리논술 올인원 E-BOOK 대시보드

🎓 2027학년도 서강대학교 자연계열
수리논술 최종 합격 서약서

✍️ 수험생 최종 합격 다짐 및 서약

🏛️ 발행 및 저작권·품질 보증 정보 (QUESTIO)

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
삼차함수 극값 조건 \(f(0)f(b/a) < 0\) 분석 및 순서쌍 개수 615 정확히 도출	9점
1-x^3=t 치환적분 및 부분분수 망원급수 합 1/18 계산 완결	8점
접선 방정식 유도 및 정적분 넓이 A_n, B_n 계산 후 극한값 1 도출	8점

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
최고차항 계수 비를 적용하여 등비수열 극한값 1/3 도출	8점
등비급수 수렴조건 \(-1 < r < 1\)을 정확히 적용하여 \(-1 < x < 3\) 도출	8점
샌드위치 정리를 적용하여 극한값 1 증명 완결	9점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(g(k)\)의 부호 3종 분류 +3점 / 짝수 \(n\)일 때 합 \(6\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 홀수 \(n\)(\(4\)개) 합 \(24\)와 짝수 \(n\)(\(4\)개) 합 \(24\) 분리 계산 +4점 / 총합 \(48\) 산출 +3점
소문항 [1-3]	• \(\alpha = \sqrt{2},\; \beta = -\sqrt{2}\) 도출 +4점 / \(\alpha^6 + \|\beta\|^6 = 16\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(\theta_{k+6} = \theta_k + \pi\) 원점 대칭 상쇄 설명 +4점 / 두 합 모두 \(0\) 도출 +2점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k\) 유도 +4점 / 합 \(60\) 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 여각·보각 제곱쌍 결합 또는 개별 계산 +4점 / 값 \(3\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 무한대 극한으로부터 삼차항 계수 \(2\), 이차항 계수 \(a = -1\) 도출 +6점
소문항 [3-2]	• \((x-1)^2\) 인수 설정 +3점 / \(2 + m = 5 \implies m = 3\) 및 \(f(x)\) 완성 +4점
소문항 [3-3]	• 서로 다른 실근 \(1, -\dfrac{3}{2}\)의 합 \(-\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / \(f(3) = 36\) 도출 +4점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 우미분계수 \(P(2)\), 좌미분계수 \(-P(2)\) 유도 +4점 / \(P(2) = 0\) 증명 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 2\)에서 \(h'(x)\) 도출 +3점 / 연립으로 \(a = -1,\; b = -2\) 산출 +4점
소문항 [4-3]	• \(h(x) = \|x-2\|(x-2)(x+1)\) 도함수 인수분해 +4점 / \(x = 0\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 1 - A + 4B\) 적분 전개 +3점 / \(2A - 4B = 1\) 관계식 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B\) 적분 및 연립으로 \(A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}\) 산출 +4점 / \(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\) 완성 +3점
소문항 [5-3]	• 우·기함수 대칭 적분 \(2\int_0^1 (3x^2 + 5)\,dx\) 적용 +4점 / 값 \(12\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 5\) 도출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 23\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7}\) 유도 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 110\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(112\) 및 분모 \(4\sqrt{7}\) 대입 +4점 / 유리화 결과 \(4\sqrt{7}\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}\) 좌표 도출 +4점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\) 산출 +2점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\) 평행사변형 논증 +3점 / \(S(t) = 4t\) 유도 +4점
소문항 [2-3]	• \(t = 6\) 산출 +3점 / 직선 \(\mathrm{AD}\)의 기울기 \(12\) 도출 +4점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 켤레식 유리화 식 변형 +3점 / 극한값 \(3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 우변 극한 \(3\) 확인 및 조임 정리 명시 +4점 / \(\lim_{x\to\infty} f(x) = 3\) 산출 +3점
소문항 [3-3]	• \(\sqrt{4x^2+12x+9} - 2x = (2x+3) - 2x = 3\) 항등 변형 +4점 / 극한값 \(0\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선의 방정식에 \((0, k)\) 대입 +3점 / \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = k\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• \(g'(t) = -6t(t-1)\) 극값 \(g(0)=2, g(1)=3\) 산출 +4점 / \(k\)의 합 \(5\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 각 \(k\)에서 중근·단근 접점 \(t\) 구하기 +4점 / 두 접선 기울기 합 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(f(2) = f(0) + a\) 연속성 조건 설정 +3점 / \(a = 4\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + x\) 계산 +4점 / \(I_0 = 2\) 산출 +3점
소문항 [5-3]	• 구간별 적분 일반항 \(2 + 8n\) 유도 +4점 / 합 \(90\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(u, v \gt 0\) 확인 및 산술·기하 부등식 적용 +3점 / 최댓값 \(9\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 이차방정식 \(t^2 - 6t + 8 = 0\) 작성 +3점 / \((4, 16), (16, 4)\) 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 밑변환 공식 \(\dfrac{u^2+v^2}{uv}\) 변형 +4점 / 값 \(\dfrac{5}{2}\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(l = 24 - 2r\) 도출 +3점 / \(S(r) = -r^2 + 12r\) 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 변형으로 \(r = 6,\; S_{\max} = 36\) 도출 +4점 / \(\theta = 2\) 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 중심각 이등분 직각삼각형 설정 +4점 / 현의 길이 \(12\sin 1\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(x) = x^2 - x + 1\) 유도 +3점 / \(a = 3,\; b = -2\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(g(x) = x^2 - 4x + 3\) 정리 +3점 / \(g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 다항함수의 연속성 명시 및 \(g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0\) 제시 +4점 / 사잇값 정리 결론 서술 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(f'(x) = 4x^2(x-3)\) 인수분해 +3점 / \(f(0)=10,\; f(3)=-17\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 삼중근 \(x=0\) 미분가능성 판정 +4점 / \(k=10,\; x=4\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 구간 \([0, 4]\) 최댓값 \(10\), 최솟값 \(-17\) 비교 +4점 / 차 \(27\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 곱의 미분법으로 \(F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) 유도 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 6x\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• \(F(x) = x^3 - 3x^2\) 적분 상수 결정 +3점 / 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-4\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• 구간 양 끝점 \(F(-1)=-4, F(3)=0\) 비교 +4점 / 합 \(-4\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(\alpha = 0\) 모순 검증 +3점 / \(0 \lt \alpha \lt 1\) 범위 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(3\log_{10} x\) 정수 조건으로 \(\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\) 도출 +4점 / \(x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}\) 산출 +3점
소문항 [1-3]	• \(\log_{10} P = \dfrac{7}{3} + \dfrac{8}{3}\) 계산 +4점 / 값 \(5\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 두 코사인법칙 식 수립 +3점 / \(\cos\theta = -\dfrac{1}{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17}\) 산출 +3점 / \(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 도출 +4점
소문항 [2-3]	• 넓이 \(S = 6\sqrt{2}\) 계산 +3점 / 사인법칙으로 \(R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(x = 1\) (좌 \(3\), 우 \(0\)) 및 \(x = 3\) (좌 \(-2\), 우 \(2\)) 조사 +6점
소문항 [3-2]	• \(g(1)=g(3)=0\)으로부터 \(g(x)=(x-1)(x-3)\) 도출 +4점 / 극한값 \(0\) 산출 +3점
소문항 [3-3]	• 분모 \(f(x)=0\)인 \(x=-2, 1\) 및 \(x=3\) 연속성 판정 +4점 / 불연속점 합 \(-1\) 도출 +3점

2027 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 10회분 마스터북 자연계열

2027학년도 서강대학교 자연계열수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

📌 숭실대 마스터 엔진 × 가천대 C/D 마스터 규격 6대 핵심 아키텍처 탑재

📱 모바일·태블릿 실시간 합격 진단 & 올인원 E-BOOK 대시보드 QR 연동

Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 정본 분석 & 2022 개정 교과서 DB 1:1 매칭 연습

🏛️ 5개년 20대문항 정본 분석

📖 2022 개정 교과서 DB 1:1 연계

🎯 25점 배점 루브릭 & 아코디언 토글

5. 문항카드 5 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 1번

5. 문항카드 5 (자연계열 1차 1번) — 5.3 출제 의도 · 5.4 출제 근거 · 5.6 채점 기준

5. 문항카드 5 (자연계열 1차 1번) — 5.7 답안 사례 (원문 100% 수록)

6. 문항카드 6 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 2번

6. 문항카드 6 (자연계열 1차 2번) — 6.3 출제 의도 · 6.4 출제 근거 · 6.6 채점 기준

6. 문항카드 6 (자연계열 1차 2번) — 6.7 답안 사례 (원문 100% 수록)

7. 문항카드 7 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 1번

7. 문항카드 7 (자연계열 2차 1번) — 7.3 출제 의도 · 7.4 출제 근거 · 7.6 채점 기준

7. 문항카드 7 (자연계열 2차 1번) — 7.7 답안 사례 (원문 100% 수록)

8. 문항카드 8 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 2번

8. 문항카드 8 (자연계열 2차 2번) — 8.3~8.6 및 8.7 답안 사례 【2-1】·【2-2】

8. 문항카드 8 (자연계열 2차 2번) — 8.7 답안 사례 【2-3】·【2-4】 (원문 100% 수록)

Part 2-1. 2027학년도 서강대학교 자연계열실전 모의고사 1~10회 문제집 (총 50문항)

📌 Part 2-1 실전 모의고사 문제집 3대 편찬 원칙

Part 2-2. 2027학년도 서강대학교 자연계열실전 모의고사 1~10회 통합 해설집 (50문항)

📌 Part 2-2 모의고사 해설집 3대 핵심 구성

🚀 2027 서강대 수리논술 올인원 E-BOOK 대시보드

🎓 2027학년도 서강대학교 자연계열수리논술 최종 합격 서약서

✍️ 수험생 최종 합격 다짐 및 서약

🏛️ 발행 및 저작권·품질 보증 정보 (QUESTIO)

2027학년도 서강대학교 자연계열
수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

Part 2-1. 2027학년도 서강대학교 자연계열
실전 모의고사 1~10회 문제집 (총 50문항)

Part 2-2. 2027학년도 서강대학교 자연계열
실전 모의고사 1~10회 통합 해설집 (50문항)

🎓 2027학년도 서강대학교 자연계열
수리논술 최종 합격 서약서

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(f'(x) = 6(x-1)(x-2)\) 인수분해 +2점 / \(f(1)=5, f(2)=4, f(0)=0\) 산출 +4점
소문항 [4-2]	• \(x \gt 0\) 구간 그래프 개형 분석 +4점 / \(4 \lt k \lt 5\) 범위 도출 +3점
소문항 [4-3]	• \(\|f(x)\|\)의 \(x \lt 0\) 단조감소와 \(x \gt 0\) 교점 개수 결합 +4점 / \(4 \lt k \lt 5\) 도출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{32}{3}\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 교점 \(x = 0, 4-m\) 산출 +3점 / \(S_1 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• \((4-m)^3 = 32\) 도출 +4점 / \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x_2 = y_1\) 대칭성으로 \(x_1 + x_2 = 6\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(3, 3)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\|x_1 - x_2\| = 2\) 도출 +3점 / \(\mathrm{P}(2, 4), \mathrm{Q}(4, 2)\) 확인 +4점
소문항 [1-3]	• 높이 \(3\sqrt{2}\) 또는 사선식 계산 +4점 / 넓이 \(6\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_{n+1} - b_n = 3\) 유도 +3점 / \(a_n = \dfrac{1}{3n-1}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• \(n=1\) 확인 +2점 / \(n=k\) 가정 후 \(a_{k+1}\) 대입 증명 +5점
소문항 [2-3]	• 부분분수 변형 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\) +4점 / 값 \(\dfrac{5}{32}\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 2\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 3x^2 + 4\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = x^3 + 4x + 2\) 적분 완성 +4점 / 접선 \(y = 7x\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 변형 \(\dfrac{1}{4}f'(2)\) +4점 / 값 \(4\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t(t-3)^2 = 0\)으로부터 \(t_1 = 3\) 도출 +3점 / \(v_{\mathrm{P}}(3)=v_{\mathrm{Q}}(3)=5\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\) 극점 조사 +4점 / 최댓값 \(D(1) = 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 운동 방향 전환 시각 \(\dfrac{4}{3}, 2\) 확인 +3점 / \(a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10=0 \implies t=\dfrac{5}{3}\) 도출 +4점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(t_1 = 1, t_2 = 3\) 도출 +3점 / 위치 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 위치 변화량 \(x(4) = 4\) 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 거리 \(12\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• \(x(T) = T(T-3)^2 = 0\) 인수분해 +4점 / \(T = 3\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(a^2 = 9,\; b^2 = 16\) 산출 +3점 / 점근선 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(y_1 = \dfrac{16}{3}\) 계산 +3점 / 접선 \(5x - 3y = 9\;(k=9)\) 유도 +4점
소문항 [1-3]	• 교점 \(\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)\) 도출 +4점 / 넓이 \(S = 12\) 산출 +3점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 \(a = 3\sqrt{7}\) 산출 +3점 / 사인법칙으로 \(R = \sqrt{21}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 넓이 \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 계산 +3점 / 넓이 분할로 \(\overline{\mathrm{AD}} = 2\) 유도 +4점
소문항 [2-3]	• 둘레 \(9 + 3\sqrt{7}\) 대입 +3점 / 분모 유리화로 \(r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}\) 도출 +4점

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(g(x) = (x-1)^2 + 3\) 변형 +3점 / \(f(1) = 3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(0 \lt t \lt 1\)에서 \(f(t) = -t^2 + 4t\) 도출 +4점 / \(t \gt 1\)에서 \(f(t) = 2t + 1\) 산출 +3점
소문항 [3-3]	• \(t=1\) 연속성 확인 +3점 / 좌·우미분계수 \(2\) 일치 증명 및 \(f'(1) = 2\) 도출 +4점