PART 1 : 5-YEAR PAST EXAMS & SCORING RUBRIC SOLUTIONS
Part 1. 5개년 기출문제와
본 Part 1은 국민대학교 자연 A형 약술형 논술의 출제 구조(8문항·80분·100점, 수능최저 2합 6 이내)를 철저히 해부하여,[원본 기출문제와 그 변형문제를 출제한 이유] 를 명확히 밝히고단순한 기출 암기가 아닌 유사문제를 실전 연습하는 효과 를 완성하도록 설계된 채점기준 해설서입니다.
📌 [Part 1 첫 페이지 필수 안내] 원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 원칙
1. 원본 기출문제 수록과 변형문제를 출제한 이유: ① 원본 기출문제 원문 , ② 2022 개정 교과서 DB 원천 , ③ 변형문제를 출제한 이유 를 1:1로 제시하였습니다.
2. 단순한 기출 풀이를 넘어선 '유사문제 연습 효과': 쌍둥이 유사·변형문제를 직접 풀고 채점기준을 대조 하게 함으로써, 기출 학습과 동시에 최신 유사문제를 완벽히 연습하는 2배의 학습 효과 를 제공합니다.
3. 3줄 모범답안 & 2열 부분점수 채점기준 루브릭 (문항당 12.5점 만점): [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 3줄 답안과 [소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점] 2열 채점기준표로 작성되어 감점 요인을 원천 차단합니다.
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 원문 추출] \(\sqrt[3]{16} \times 2^p = 1\)과 \(\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^q = 27\)을 만족시키는 두 유리수 \(p, q\)에 대하여 \(3p + q\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(2\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 17011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 거듭제곱근을 유리수 지수로 고쳐 미지수를 결정하는 핵심 구조를 그대로 유지하고, 밑을 \(2\)와 \(3\)의 분수 지수 연립식(\(p=-1,\; q=\dfrac{9}{4}\))으로 변형하여 \(p^2+4q=10\)의 계산 정확도를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 실수 \(p = \sqrt[3]{-125} + \sqrt[4]{256}\)과 \(q = 27^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{2}}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 거듭제곱근의 정의와 유리수 지수법칙을 이용하여 \(p\)와 \(q\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(p^2 + 4q\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
홀수차 거듭제곱근 \(\sqrt[3]{-5^3} = -5\)와 양의 네제곱근 \(\sqrt[4]{4^4} = 4\), 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(p = -5 + 4 = -1\)이고, \(q = (3^3)^{\frac{2}{3}} \times (4^2)^{-\frac{1}{2}} = 3^2 \times 4^{-1} = \dfrac{9}{4}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(p^2 + 4q = (-1)^2 + 4 \times \dfrac{9}{4} = 1 + 9 = 10\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(\sqrt[3]{-125}=-5,\; \sqrt[4]{256}=4\)로 \(p=-1\) 산출 +3점 / 지수법칙으로 \(q=\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(p^2=1,\; 4q=9\) 대입 +3점 / 최종값 \(10\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 짝수차 근호 \(\sqrt[4]{256}\)은 양의 네제곱근 \(4\)만을 의미하므로 \(\pm 4\)로 쓰지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(p = -1,\; q = \dfrac{9}{4}\) | [1-2] \(10\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 원문 추출] 닫힌구간 \([1, 9]\)에서 함수 \(f(x) = (\log_3 x)^2 - 2a\log_3 x + 3\)의 최솟값이 \(-1\)일 때, 양수 \(a\)의 값과 최댓값을 구하는 문항 (정답: \(a=2,\; \text{최댓값 } 3\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 17012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
변형 출제 이유
원본 기출의 로그함수 치환(\(t=\log_2 x\)) 및 제한된 구간에서의 이차함수 꼭짓점 포함 구조를 그대로 유지하고, 정의역 \([1, 16]\)(\(0 \le t \le 4\))과 대칭축 \(t=k\) 조건으로 변형하여 최솟값·최댓값 동시 추론력을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계))
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
닫힌구간 \([1, 16]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2k\log_2 x + 5\) (단, \(k\)는 \(1 \le k \le 3\)인 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(t = \log_2 x\)로 치환할 때 실수 \(t\)의 값의 범위 \(\alpha \le t \le \beta\)를 구하고, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차식 \(g(t)\)로 나타내시오.
[2-2] (6.5점) 닫힌구간 \([1, 16]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-4\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 최댓값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
밑이 \(2 > 1\)인 로그함수는 증가함수이므로 \(1 \le x \le 16 \implies \log_2 1 \le t \le \log_2 16 \iff 0 \le t \le 4\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(g(t) = t^2 - 2kt + 5 = (t - k)^2 + 5 - k^2\)이고, 꼭짓점의 좌표 \(t = k\)가 구간 \([0, 4]\)에 속하므로 최솟값은 \(g(k) = 5 - k^2 = -4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(k^2 = 9\)에서 \(1 \le k \le 3\)이므로 \(k = 3\)이고, 대칭축 \(t = 3\)에서 가장 먼 경계 \(t = 0\)에서 최댓값 \(g(0) = 5\)를 갖는다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 치환 범위 \(0 \le t \le 4\) 명시 +3점 / \(g(t) = t^2 - 2kt + 5\) 작성 +3점 소문항 [2-2] (6.5점) • 최솟값 \(5 - k^2 = -4\)로 \(k = 3\) 도출 +3.5점 / 최댓값 \(g(0) = 5\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 국민대 자연A형 수학 29번 빈출 유형으로, \(\log_2 x = t\) 치환 시 정의역 \([1, 16]\)을 반드시 \([0, 4]\)로 변환해 명시해야 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(0 \le t \le 4,\; g(t) = t^2 - 2kt + 5\) | [2-2] \(k = 3\), 최댓값 \(5\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 원문 추출] 반지름의 길이가 \(4\)이고 넓이가 \(6\pi\)인 부채꼴의 중심각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(8\sin\theta + 4\cos\theta\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 탐구 17013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 부채꼴 넓이 공식 \(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta\)를 통한 중심각 도출 및 제2사분면 삼각함수 값 계산 구조를 그대로 유지하고, \(r=6,\; S=12\pi\)(\(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\))로 수치를 변형하여 부호 판별력을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 부채꼴의 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)와 호의 길이 \(l\)을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) [3-1]에서 구한 중심각 \(\theta\)에 대하여 \(12\sin\theta + 6\cos\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{1}{2} \times 6^2 \times \theta = 18\theta = 12\pi \implies \theta = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(12\sin\theta + 6\cos\theta = 6\sqrt{3} - 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 넓이 공식으로 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 산출 +3점 / 호의 길이 \(l = 4\pi\) 도출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • 제2사분면 삼각비 값 대입 +3점 / 최종값 \(6\sqrt{3} - 3\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 둔각 \(\dfrac{2\pi}{3}\)에서 코사인 값은 음수(\(-\dfrac{1}{2}\))이므로 부호 실수에 유의합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; l = 4\pi\) | [3-2] \(6\sqrt{3} - 3\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 원문 추출] 첫째항이 \(2\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 \(n a_{n+1} = (n+2)a_n\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \dfrac{2}{a_k}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{9}{5}\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 탐구 17014 변형 | 성취기준: 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 비(\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)) 변변 곱하기를 통한 일반항 도출 및 부분분수 급수 소거 구조를 그대로 유지하고, \((n+1)a_{n+1}=(n+3)a_n\)(\(a_1=3\))으로 변형하여 망원급수 연산의 정확도를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 관계식 \((n + 1)a_{n+1} = (n + 3)a_n\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 주어진 귀납적 정의로부터 \(a_2,\; a_3\)의 값을 구하고, 자연수 \(n\)에 대한 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
점화식을 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 3}{n + 1}\)로 변형하여 \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입해 곱한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_2 = \dfrac{4}{2} \cdot 3 = 6,\; a_3 = \dfrac{5}{3} \cdot 6 = 10\)이고, \(a_n = a_1 \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdots \dfrac{n+2}{n} = 3 \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\dfrac{6}{a_k} = \dfrac{12}{(k+1)(k+2)} = 12\left(\dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k} = 12\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{12}\right) = 12 \times \dfrac{5}{12} = 5\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_2 = 6,\; a_3 = 10\) 계산 +2점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) 유도 +4점 소문항 [4-2] (6.5점) • 부분분수 분해식 \(12\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)\) 제시 +3.5점 / 망원급수 소거 합 \(5\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분자·분모가 두 칸 간격으로 소거될 때 앞의 두 인수와 뒤의 두 인수가 남는다는 점을 정확히 확인합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_2 = 6,\; a_3 = 10,\; a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) | [4-2] \(5\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 원문 추출] 등식 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+a}-b}{x-1} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)의 합 \(a+b\)를 구하는 문항 (정답: \(5\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 탐구 17015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(\dfrac{0}{0}\)꼴 무리함수 극한 미정계수 결정 구조를 소문항 [5-1]에 배치하고, 소문항 [5-2]에 \(\infty-\infty\)꼴 무리식 극한을 연쇄 결합하여 유리화 연산의 완결성을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{2x + a} - b}{x - 2} = \dfrac{1}{3}\)이 성립하도록 하는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 극한의 성질을 이용하여 \(b\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 분자를 유리화하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) [5-1]에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴하여 \(\sqrt{4 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{4 + a} > 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)\left(\sqrt{2x + a} + b\right)} = \dfrac{2}{2b} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(b = 3\)이고 \(4 + a = 9 \implies a = 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(a = 5,\; b = 3\)을 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x(8x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \dfrac{8}{1 + 1} = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(b = \sqrt{4+a}\) 도출 +2.5점 / 유리화로 \(a=5,\; b=3\) 산출 +3.5점 소문항 [5-2] (6.5점) • 무한대 무리식 켤레 유리화 +3.5점 / 극한값 \(4\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로피탈의 정리를 사용하지 않고 반드시 분자의 극한이 \(0\)임을 보인 뒤 켤레식을 곱해 인수 \((x-2)\)를 약분해야 만점을 받습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(a = 5,\; b = 3\) | [5-2] \(4\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 원문 추출] 다항함수 \(f(x)=(x^2+ax+2)(x-1)\)의 그래프 위의 점 \((2, 4)\)에서의 접선의 기울기가 \(7\)일 때, 상수 \(a\)와 접선의 \(y\)절편을 구하는 문항 (정답: \(a=-1,\; -10\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 17016 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]
변형 출제 이유
원본 기출의 곱의 미분법 및 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 도출 구조를 그대로 유지하고, \(f(x)=(x^2+ax+1)(3x-2)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선과 좌표축이 이루는 삼각형 넓이(\(\dfrac{9}{4}\))로 확장하여 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = (x^2 + ax + 1)(3x - 2)\)의 그래프 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 기울기가 \(8\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 \(f'(x)\)를 구하고, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
점 \((1, 2)\)가 곡선 위의 점이므로 \(f(1) = (2 + a) \cdot 1 = 2 \implies a = 0\)이고, 곱의 미분법 \(f'(x) = (2x + a)(3x - 2) + 3(x^2 + ax + 1)\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a = 0\)을 대입하면 \(f'(x) = 2x(3x - 2) + 3(x^2 + 1) = 9x^2 - 4x + 3\)이므로 \(f'(1) = 9 - 4 + 3 = 8\)이 성립하고, 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - 2 = 8(x - 1)\), 즉 \(y = 8x - 6\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
접선 \(y = 8x - 6\)의 \(x\)절편은 \(\dfrac{3}{4}\), \(y\)절편은 \(-6\)이므로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{9}{4}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • 곱의 미분법 도함수 전개 +3점 / 상수 \(a = 0\) 결정 +3점 소문항 [6-2] (6.5점) • 접선의 방정식 \(y = 8x - 6\) 도출 +3.5점 / 절편으로 삼각형 넓이 \(\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 접선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구할 때는 \(y\)절편의 절댓값 \(|-6| = 6\)을 높이에 대입해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(a = 0\) | [6-2] \(\dfrac{9}{4}\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 원문 추출] 함수 \(f(x)=x^3-3x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\sqrt{3}\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17017 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 평균변화율과 순간변화율(\(f'(c)\))을 같게 두는 평균값 정리 구조를 그대로 유지하고, \(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)과 구간 \([0, 3]\)으로 변형하여 열린구간 내부 근(\(c=2\)) 판별력을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 < c < 3\))를 구하고자 한다.
[7-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 평균값 정리를 만족시키는 열린구간 \((0, 3)\) 내의 모든 상수 \(c\)의 값과 그 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족하는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(0) = 4,\; f(3) = 27 - 27 + 6 + 4 = 10\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{10 - 4}{3} = 2\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(3c(c - 2) = 0\)에서 \(0 < c < 3\)을 만족하는 상수는 \(c = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f(0)=4,\; f(3)=10\) 및 평균변화율 \(2\) 산출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\) 방정식 수립 +3.5점 / 열린구간 조건 \(0 < c < 3\)으로 \(c = 2\) 결정 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(3c(c - 2) = 0\)의 두 근 \(c = 0, 2\) 중 끝점 \(c = 0\)은 열린구간 \((0, 3)\)에 속하지 않으므로 반드시 제외해야 감점을 피합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] 평균변화율 \(2\) | [7-2] \(c = 2\), 합 \(2\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 원문 추출] 다항함수 \(f(x)\)가 \(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(8\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 탐구 17018 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]
변형 출제 이유
원본 기출의 정적분 상수 치환(\(A=\int_0^2 f(t)\,dt\)) 구조를 소문항 [8-1]에 배치하고, 소문항 [8-2]에서 구한 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식(\(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\))을 결합하여 종합 평가함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 상수 \(A = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하여 \(A\)의 값을 구하고 함수 \(f(x)\)를 결정하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 4x - 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = A\) (상수)로 두면 \(f(x) = 3x^2 - 2x + A\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(A = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + A)\,dt = \Bigl[t^3 - t^2 + At\Bigr]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2A = 4 + 2A \implies A = -4\)이므로 \(f(x) = 3x^2 - 2x - 4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f(x) = 4x - 4 \iff 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0, 2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{0}^{2} |3x^2 - 6x|\,dx = \dfrac{3}{6}(2 - 0)^3 = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • \(A = \int_0^2 f(t)\,dt\) 치환 및 \(A = 4 + 2A\) 수립 +3점 / \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) 도출 +3점 소문항 [8-2] (6.5점) • 교점 \(x = 0, 2\) 산출 +3점 / 정적분 넓이 \(4\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 적분구간이 상수인 정적분은 변수 \(x\)가 아니라 상수 \(A\)로 치환해야 한다는 점을 1줄에 명확히 선언합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) | [8-2] \(4\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 원문 추출] \(x > 0\)일 때 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3\)이면 \(x^2 + x^{-2}\) 및 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(47,\; 18\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17021 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 역수 꼴 유리수 지수 대칭식의 제곱·세제곱 곱셈공식 변형 구조를 그대로 유지하고, 초기 조건을 \(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=4\)로 변형하여 \(x^2+x^{-2}=194\) 및 \(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=52\) 연산을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 유리수 지수의 곱셈공식과 역수 대칭식의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식을 이용하여 \(x + x^{-1}\)과 \(x^2 + x^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
곱셈공식 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)와 \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)에서 \(a = x^{\frac{1}{2}},\; b = x^{-\frac{1}{2}}\) (\(ab = 1\))을 대입한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x + x^{-1} = 4^2 - 2 = 14\)이고, \(x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^3 - 3\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right) = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(x + x^{-1} = 14\) 산출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 194\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • 세제곱 합 공식 적용 +3.5점 / 최종값 \(52\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 제곱할 때 상수항 \(2 x^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} = 2\)를 빼는 과정을 누락하지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(x + x^{-1} = 14,\; x^2 + x^{-2} = 194\) | [1-2] \(52\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 원문 추출] 부등식 \(\log_2(x-1) + \log_2(6-x) \le 2\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하는 문항 (정답: \(7\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 17022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 로그의 진수 조건과 밑이 \(0 < \text{밑} < 1\)인 로그부등식의 부등호 방향 역전 구조를 결합하여, \(\log_{\frac{1}{3}}(x-1)+\log_{\frac{1}{3}}(7-x) \ge -2\)의 정수 해의 합(\(16\))을 정확히 구하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 개수)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \le 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 로그의 진수 조건으로부터 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 주어진 로그부등식의 해집합을 구하고, 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
진수 조건 \(x - 1 > 0\)이고 \(7 - x > 0\)이므로 \(1 < x < 7\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \le \log_2 8\)에서 밑 \(2 > 1\)이므로 \((x - 1)(7 - x) \le 8 \iff x^2 - 8x + 15 \ge 0 \iff (x - 3)(x - 5) \ge 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
진수 조건과 공통범위를 구하면 \(1 < x \le 3\) 또는 \(5 \le x < 7\)이고, 정수 \(x = 2, 3, 5, 6\)의 합은 \(2 + 3 + 5 + 6 = 16\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 두 진수 양수 조건으로부터 \(1 < x < 7\) 도출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \((x-3)(x-5) \ge 0\)과 진수 조건 교집합 산출 +3.5점 / 정수 \(2, 3, 5, 6\)의 합 \(16\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그부등식에서 진수 조건 \(1 < x < 7\)을 빠뜨리면 해집합이 무한 구간이 되어 큰 감점을 당합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(1 < x < 7\) | [2-2] \(1 < x \le 3\) 또는 \(5 \le x < 7\), 정수 합 \(16\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 원문 추출] 제4사분면의 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(-\dfrac{9}{4}\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 17023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)과 \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 대칭식 변형 구조를 그대로 유지하고, 조건을 \(\sin\theta-\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)로 주어 부호 판정 후 역수 합(\(-\dfrac{8}{3}\))을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수 사이의 제곱 관계와 탄젠트 대칭식의 값)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)와 \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
양변을 제곱하면 \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{7}{4}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이고, \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)인데 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)와 연립하거나 \(2\sin\theta = \dfrac{\sqrt{7} \pm 1}{2} \le 2\)를 확인한다. 특히 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = -\dfrac{8}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 제곱 관계로 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) 산출 +3점 / \(\sin\theta + \cos\theta\) 절댓값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\tan\theta + \cot\theta = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) 변환 +3.5점 / 최종값 \(-\dfrac{8}{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)를 통분하면 분자가 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 되어 곧바로 \(\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)로 계산됩니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8},\; \sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\) | [3-2] \(-\dfrac{8}{3}\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 원문 추출] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=2,\; a_{n+1}-a_n = 2^n\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} a_k\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(134\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 17024 변형 | 성취기준: 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 계차수열이 등비수열인 귀납적 정의에서 일반항과 부분합을 구하는 구조를 그대로 유지하고, \(a_{n+1}-1=3(a_n-1)\) 치환형 점화식(\(a_n=3^{n-1}+1\))으로 변형하여 제8항까지의 합(\(3288\))을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등차·등비 혼합 귀납적 정의와 수열의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 3a_n - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 수열 \(\{a_n - 1\}\)이 등비수열임을 보이고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 첫째항부터 제\(8\)항까지의 합 \(\sum_{k=1}^{8} a_k\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
주어진 관계식의 양변에서 \(1\)을 빼면 \(a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
따라서 수열 \(\{a_n - 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 1 = 1\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이므로 \(a_n - 1 = 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1} + 1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sum_{k=1}^{8} a_k = \sum_{k=1}^{8} (3^{k-1} + 1) = \dfrac{3^8 - 1}{3 - 1} + 8 = \dfrac{6561 - 1}{2} + 8 = 3280 + 8 = 3288\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_{n+1}-1 = 3(a_n-1)\) 변형 및 공비 \(3\) 제시 +3점 / 일반항 \(a_n = 3^{n-1}+1\) 도출 +3점 소문항 [4-2] (6.5점) • 등비수열 합 공식과 상수항 \(8\) 분리 계산 +3.5점 / 최종값 \(3288\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(\sum_{k=1}^{8} 1 = 8\)인데 이를 \(1\)로 잘못 더하지 않도록 항의 개수를 정확히 곱해야 합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] 공비 \(3\), \(a_n = 3^{n-1} + 1\) | [4-2] \(3288\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 원문 추출] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)-x^3}{x^2}=1,\; \lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=4\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(14\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 17025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(x \to \infty\) 극한으로 최고차항·이차항 계수를 정하고 \(x \to 1\) 극한으로 미정계수를 결정하는 구조를 그대로 유지하고, 조건 수치를 \(-2\)와 \(4\)로 변형하여 \(f(3)=36\) 도출 과정을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무한대 극한과 0/0꼴 극한을 동시에 만족하는 다항함수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 두 극한 조건 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = 2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)를 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 첫 번째 극한 조건을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항·이차항의 계수를 결정하시오.
[5-2] (6.5점) 두 번째 극한 조건을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 완전히 결정하고 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to \infty\) 극한에서 분모가 이차식이므로 \(f(x) - x^3\)은 최고차항의 계수가 \(2\)인 이차식이어야 한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\)로 놓으면 \(x \to 1\)에서 \(f(1) = 3 + a + b = 0 \implies b = -a - 3\)이고, 인수분해하면 \(f(x) = (x - 1)(x^2 + 3x + a + 3)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4 + a + 3 = 4 \implies a = -3,\; b = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x\)이고, \(f(3) = 27 + 18 - 9 = 36\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\) 형태 도출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(f(1)=0,\; f'(1)=4\)로 \(a=-3,\; b=0\) 산출 +3.5점 / \(f(3)=36\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(x \to \infty\) 극한은 최고차항과 차수를 알려주고, \(x \to 1\) 극한은 \(f(1)=0\)과 \(f'(1)=4\) 두 가지 조건을 동시에 줍니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\) | [5-2] \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x,\; f(3) = 36\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 원문 추출] 삼차함수 \(f(x)=x^3-3ax^2+2\) (\(a>0\))의 극댓값과 극솟값의 차가 \(16\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(2\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17026 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
변형 출제 이유
원본 기출의 도함수 \(f'(x)=3x(x-2a)=0\)으로부터 극댓값과 극솟값의 차 \(4a^3\)을 구하는 구조를 그대로 유지하고, 극값의 차 \(32\) 조건에서 \(a=2\)와 극솟값 \(-28\)을 연쇄 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차와 미정계수)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4\) (단, \(a > 0\))의 극댓값과 극솟값의 차가 \(32\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x) = 0\)의 두 실근을 \(a\)로 나타내고, 함수 \(f(x)\)가 극대·극소가 되는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (6.5점) 양수 \(a\)의 값과 함수 \(f(x)\)의 극솟값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) = 0\)이고 \(a > 0\)이므로 \(x = 0\)과 \(x = 2a\)에서 부호가 바뀐다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 4\)를 갖고, \(x = 2a\)에서 극솟값 \(f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4 = 4 - 4a^3\)을 갖는다.
3줄: 최종결론 (30%)
극댓값과 극솟값의 차가 \(f(0) - f(2a) = 4a^3 = 32 \implies a^3 = 8 \implies a = 2\)이고, 극솟값은 \(4 - 32 = -28\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x(x-2a) = 0\) 인수분해 +3점 / \(x=0\) 극대, \(x=2a\) 극소 판정 +3점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(4a^3 = 32\)로부터 \(a = 2\) 산출 +3.5점 / 극솟값 \(-28\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 극대·극소를 판정할 때는 도함수 \(f'(x)\)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌는지, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌는지 명시해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2a\)에서 극소 | [6-2] \(a = 2\), 극솟값 \(-28\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 원문 추출] 함수 \(f(x)=x^3-kx^2-2x+3\)이 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 롤의 정리를 만족시킬 때, 상수 \(k\)와 \(c\)를 구하는 문항 (정답: \(k=1,\; c=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{3}\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17027 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 양 끝점 함숫값 일치(\(f(-1)=f(3)\)) 및 \(f'(c)=0\) 조건을 그대로 유지하고, 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 \(k=\dfrac{3}{2}\)과 열린구간 내부의 상수 \(c=\dfrac{3\pm\sqrt{57}}{6}\)을 정확히 구하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 롤의 정리의 성립 조건과 도함수의 영점)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = x^3 - kx^2 - 4x + 5\)가 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 롤의 정리가 적용될 수 있을 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)의 양 끝점에서의 함숫값 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 이용하여 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 롤의 정리를 만족시키는 열린구간 \((-1, 3)\) 내의 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
다항함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로 롤의 정리의 전제 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(-1) = -1 - k + 4 + 5 = 8 - k\)이고 \(f(3) = 27 - 9k - 12 + 5 = 20 - 9k\)이므로 \(8 - k = 20 - 9k \implies 8k = 12 \implies k = \dfrac{3}{2}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\)에서 근의 공식에 의해 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이고, \(-1 < c < 3\)을 만족하는 값은 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f(-1) = 8-k,\; f(3) = 20-9k\) 등식 수립 +3점 / \(k = \dfrac{3}{2}\) 산출 +3점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\) 풀이 +3.5점 / 열린구간 \((-1, 3)\) 내부 근 \(c = \dfrac{3\pm\sqrt{57}}{6}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(\dfrac{3 - \sqrt{57}}{6} < \dfrac{3 - 7}{6} < -\dfrac{2}{3}\)에서 \(\sqrt{57} > 7.5\)이므로 음의 근은 \(-0.75\) 근처여서 구간 \((-1, 3)\) 포함 여부를 부등식으로 정확히 판별합니다: \(9 > \sqrt{57} > 7 \implies -1 < \dfrac{3-\sqrt{57}}{6} < 3\)이므로 두 근 모두 구간 안에 속합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(k = \dfrac{3}{2}\) | [7-2] \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 원문 추출] 곡선 \(y=-x^2+3x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y=mx\)가 이등분할 때, \((3-m)^3\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{27}{2}\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 17028 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
변형 출제 이유
원본 기출의 포물선 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\)과 넓이 이등분 방정식 구조를 그대로 유지하고, 곡선 \(y=-x^2+4x\)에 대하여 \(S_1=\dfrac{32}{3}\) 및 \(m=4-2\sqrt[3]{4}\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 포물선과 x축 및 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\) (\(m > 0\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)을 만족하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
이차곡선과 직선의 두 교점이 \(\alpha, \beta\)일 때 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x\)축과의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 \(S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(-x^2 + 4x = mx \implies x = 0, 4 - m\) (\(0 < m < 4\))이므로 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32 \implies 4 - m = 2\sqrt[3]{4}\)이므로 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 교점 \(x=0, 4\) 및 넓이 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6}\) 도출 +3.5점 / \((4-m)^3 = 32\)로부터 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 포물선의 넓이 이등분 문제에서는 적분을 직접 전개하는 것보다 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\) 공식을 쓰면 계산 시간을 획기적으로 단축할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \(S_2 = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 원문 추출] 지수방정식 \(4^x - 4 \cdot 2^x + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하는 문항 (정답: \(3 < k < 4\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17031 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(t=a^x\) 치환 시 양의 실근 조건이 \(t>1\)로 변환되는 근의 분리 구조를 그대로 유지하고, \(9^x-6\cdot 3^x+k=0\)으로 변형하여 판별식 \(D/4>0\)과 경계값 \(f(1)>0\)으로부터 \(5 < k < 9\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 지수방정식의 치환과 서로 다른 두 양의 실근 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(9^x - 6 \cdot 3^x + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(t = 3^x\)로 치환할 때, \(x > 0\)에 대응하는 \(t\)의 값의 범위를 구하고 \(t\)에 대한 이차방정식을 세우시오.
[1-2] (6.5점) 치환된 이차방정식의 근의 분리 조건을 이용하여 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(t = 3^x\)로 치환하면 밑 \(3 > 1\)이므로 \(x > 0 \iff t > 3^0 = 1\)이고, 주어진 방정식은 \(f(t) = t^2 - 6t + k = 0\)이 된다.
2줄: 핵심계산 (40%)
이차함수 \(f(t) = (t - 3)^2 + k - 9\)의 대칭축이 \(t = 3 > 1\)이므로, \(t > 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 \(D/4 = 9 - k > 0\)과 경계값 \(f(1) = 1 - 6 + k > 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(k < 9\)이고 \(k > 5\)이므로 상수 \(k\)의 값의 범위는 \(5 < k < 9\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(x > 0 \iff t > 1\) 치환 범위 명시 +3점 / \(t^2 - 6t + k = 0\) 수립 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(D/4 > 0\) 및 \(f(1) > 0\) 두 조건 모두 제시 +3.5점 / \(5 < k < 9\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 양의 실근 \(x > 0\)을 \(t = 3^x\)로 치환하면 \(t > 0\)이 아니라 \(t > 1\)이 된다는 점이 핵심 채점 기준입니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(t > 1,\; t^2 - 6t + k = 0\) | [1-2] \(5 < k < 9\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 원문 추출] \(10 < x < 100\)일 때 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^2\)의 소수부분의 합이 \(1\)인 모든 실수 \(x\)의 곱을 구하는 문항 (정답: \(10^3\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 17032 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 두 상용로그 소수부분의 합이 \(1\)일 때 합이 정수가 되고 소수부분 \(0\)을 제외하는 구조를 그대로 유지하고, \(\log_{10} x\)와 \(\log_{10} x^3\)의 조건으로 확장하여 세 실근의 곱 \(10^{\frac{9}{2}}\)을 구하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 상용로그의 정수부분과 소수부분의 합 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(10 < x < 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^3\)의 소수부분의 합이 \(1\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\log_{10} x\)의 값의 범위를 구하고, 두 상용로그의 소수부분의 합이 \(1\)일 때 성립하는 정수 조건을 서술하시오.
[2-2] (6.5점) 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값과 그 곱을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(10 < x < 100 \implies 1 < \log_{10} x < 2\)이고, 두 상용로그의 소수부분을 각각 \(\alpha, \beta\) (\(0 \le \alpha, \beta < 1\))라 할 때 \(\alpha + \beta = 1\)이면 \(\alpha > 0, \beta > 0\)이고 두 로그의 합 \(\log_{10} x + \log_{10} x^3 = 4\log_{10} x\)는 정수이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(4 < 4\log_{10} x < 8\)이므로 \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\)이다. 이때 \(\log_{10} x = \dfrac{5}{4}, \dfrac{6}{4}, \dfrac{7}{4}\)는 모두 소수부분이 \(0\)이 아니므로 조건을 만족한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 모든 실수 \(x\)는 \(10^{\frac{5}{4}},\; 10^{\frac{3}{2}},\; 10^{\frac{7}{4}}\)의 \(3\)개이고, 그 곱은 \(10^{\frac{5+6+7}{4}} = 10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(1 < \log_{10} x < 2\) 및 \(4\log_{10} x\)가 정수이고 \(\alpha \ne 0\) 조건 제시 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\) 판정 +3.5점 / 세 실수 \(x\)의 곱 \(10^{9/2}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 소수부분의 합이 \(1\)일 때는 반드시 각 로그의 소수부분이 \(0\)이 되는 경우를 제외해야 합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(1 < \log_{10} x < 2,\; 4\log_{10} x \in \mathbb{Z}\) | [2-2] \(x = 10^{\frac{5}{4}}, 10^{\frac{6}{4}}, 10^{\frac{7}{4}}\), 곱 \(10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 원문 추출] 외접원의 반지름의 길이가 \(4\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A=\dfrac{\pi}{3},\; B=\dfrac{\pi}{4}\)일 때, \(a^2+b^2\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(80\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17033 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 사인법칙 \(a=2R\sin A,\; b=2R\sin B\) 대입 구조를 그대로 유지하고, 외접원의 반지름을 \(R=6\)으로 변형하여 \(a=6\sqrt{3},\; b=6\sqrt{2}\) 및 \(a^2+b^2=180\)을 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 사인법칙과 외접원의 반지름 및 삼각형의 변의 비)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(R = 6\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3},\; \angle \mathrm{B} = \dfrac{\pi}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 두 변 \(a = \overline{\mathrm{BC}}\)와 \(b = \overline{\mathrm{CA}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(2R = 12\)이므로 \(a = 12\sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이고, \(b = 12\sin\dfrac{\pi}{4} = 12 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a^2 + b^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 108 + 72 = 180\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 사인법칙 \(a = 2R\sin A,\; b = 2R\sin B\) 식 명시 +2점 / \(a = 6\sqrt{3},\; b = 6\sqrt{2}\) 산출 +4점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(a^2 = 108,\; b^2 = 72\) 계산 +3점 / 합 \(180\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 지름 \(2R = 12\)를 반지름 \(R = 6\)으로 잘못 대입하지 않도록 공식을 먼저 적습니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(a = 6\sqrt{3},\; b = 6\sqrt{2}\) | [3-2] \(180\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 원문 추출] 첫째항이 \(-19\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)의 최솟값을 구하는 문항 (정답: \(-63\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17034 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 일반항 부호 변화 항(\(a_n \ge 0\)) 판정을 통한 부분합 \(S_n\) 최소 조건 구조를 그대로 유지하고, \(a_1=-23,\; d=4\)로 변형하여 제6항까지의 합 최솟값 \(-78\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 첫째항이 음수인 등차수열의 부분합의 최솟값)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = -23\)이고 공차가 \(d = 4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하고, 처음으로 양수가 되는 항은 제몇 항인지 구하시오.
[4-2] (6.5점) 부분합 \(S_n\)이 최소가 되는 자연수 \(n\)과 그때의 최솟값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)와 합 공식 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_n = -23 + 4(n - 1) = 4n - 27 > 0 \implies n > \dfrac{27}{4} = 6.75\)이므로 제\(7\)항부터 양수가 된다.
3줄: 최종결론 (30%)
제\(6\)항까지 음수이므로 \(n = 6\)일 때 \(S_n\)이 최소가 되며, 최솟값은 \(S_6 = \dfrac{6(-23 + (-3))}{2} = 3 \times (-26) = -78\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 일반항 \(a_n = 4n - 27\) 도출 +3점 / 제\(7\)항 판정 +3점 소문항 [4-2] (6.5점) • 음수 항들의 합인 \(n = 6\) 결정 +3점 / 최솟값 \(S_6 = -78\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 등차수열의 합 \(S_n\)을 이차함수로 미분하지 않고 \(a_n \le 0\)인 마지막 항의 번호 \(n = 6\)을 찾으면 훨씬 정확합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_n = 4n - 27\), 제\(7\)항 | [4-2] \(n = 6\), 최솟값 \(-78\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 원문 추출] 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(3x^2-x \le (x+1)f(x) \le 3x^2+2x\)를 만족시키는 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x}\)를 구하는 문항 (정답: \(3\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 부등식 양변을 양수 식으로 나누어 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 적용하는 구조를 그대로 유지하고, \((2x+1)f(x)\)의 부등식으로 변형하여 극한값 \(2\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 이용한 극한값 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 부등식 \(4x^2 - 3x + 1 \le (2x + 1)f(x) \le 4x^2 + 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 주어진 부등식으로부터 \(\dfrac{f(x)}{x}\)의 범위를 부등식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x > 0\)이므로 \(x(2x + 1) > 0\)이고, 부등식의 각 변을 양수 \(x(2x + 1)\)로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\)이고, 좌변과 우변의 \(x \to \infty\) 극한은 모두 최고차항의 계수비 \(\dfrac{4}{2} = 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(x(2x+1) > 0\) 근거 명시 및 나눗셈 부등식 작성 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 양 끝 극한값 \(2\) 산출 +3점 / 조임 정리로 최종 극한 \(2\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 부등식의 변을 나눌 때 나누는 식 \(x(2x+1)\)이 양수임을 언급하는 것이 서술형 감점 방어의 핵심입니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\) | [5-2] \(2\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 원문 추출] 원점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y=x^3-2x^2+4\)에 그은 접선의 방정식을 구하는 문항 (정답: \(y=4x\) 또는 접점 \(t=2\)에서 \(y=4x\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17036 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]
변형 출제 이유
원본 기출의 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 접점 \((t, f(t))\) 설정 및 조립제법 인수분해 구조를 그대로 유지하고, 곡선 \(y=x^3-3x^2+5x+9\)에 원점에서 그은 접선 \(y=14x\)(\(t=3\))를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 곡선 밖의 원점에서 그은 접선의 방정식과 접점 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
원점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에 그은 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 5t + 9)\)로 놓고, 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지남을 이용하여 \(t\)에 대한 방정식을 세우시오.
[6-2] (6.5점) 실수 \(t\)의 값과 그때의 접선의 방정식을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에서 \(f'(t) = 3t^2 - 6t + 5\)이므로 접선의 방정식은 \(y - (t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = (3t^2 - 6t + 5)(x - t)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(-(t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = -t(3t^2 - 6t + 5) \iff 2t^3 - 3t^2 - 9 = (t - 3)(2t^2 + 3t + 3) = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(2t^2 + 3t + 3 = 0\)의 판별식은 \(9 - 24 < 0\)이므로 유일한 실근은 \(t = 3\)이고, 기울기 \(f'(3) = 27 - 18 + 5 = 14\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 14x\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • 접선의 방정식 수립 및 원점 대입 식 \(2t^3 - 3t^2 - 9 = 0\) 유도 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 인수분해로 \(t = 3\) 산출 +3.5점 / 접선 \(y = 14x\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 반드시 접점의 \(x\)좌표를 미지수 \(t\)로 두고 출발해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(2t^3 - 3t^2 - 9 = 0\) | [6-2] \(t = 3\), 접선의 방정식 \(y = 14x\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 원문 추출] 삼차함수 \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+ax^2+(a+2)x+1\)이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하는 문항 (정답: \(4\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 17037 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
변형 출제 이유
원본 기출의 삼차함수 실수 전체 증가 조건(\(f'(x) \ge 0 \iff D/4 \le 0\))을 그대로 유지하고, \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+ax^2+(2a+3)x-5\)로 변형하여 \(-1 \le a \le 3\)의 정수 \(5\)개를 구하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2 + (2a + 3)x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 판별식 조건을 서술하시오.
[7-2] (6.5점) 실수 \(a\)의 값의 범위와 정수 \(a\)의 개수를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\), 즉 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3\)에서 \(D/4 = a^2 - (2a + 3) = a^2 - 2a - 3 = (a + 1)(a - 3) \le 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(-1 \le a \le 3\)이고, 이를 만족하는 정수 \(a = -1, 0, 1, 2, 3\)의 개수는 \(5\)개이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3 \ge 0\) 및 \(D/4 \le 0\) 조건 명시 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(-1 \le a \le 3\) 범위 도출 +3.5점 / 정수 \(5\)개 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수의 증가 조건에서는 \(D < 0\)이 아니라 등호가 포함된 \(D \le 0\)임에 특히 유의합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3 \ge 0,\; D/4 \le 0\) | [7-2] \(-1 \le a \le 3\), 정수 \(5\)개
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 원문 추출] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3-2x^2+ax-2\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(7\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 17038 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 정적분으로 정의된 함수에 위끝·아래끝 일치 대입(\(x=1\)) 및 양변 미분(\(f(x)=3x^2-8x+a\))을 적용하는 구조를 그대로 유지하여 \(a=5,\; f(2)=1\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함숫값 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 4x^2 + ax - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 주어진 등식의 양변에 적당한 \(x\)의 값을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
정적분의 성질 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)과 정적분과 미분의 관계 \(\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 4 + a - 2 \implies a = 5\)이고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(f(2) = 3(4) - 8(2) + 5 = 12 - 16 + 5 = 1\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • \(x = 1\) 대입 식 \(1 - 4 + a - 2 = 0\) 제시 +3점 / \(a = 5\) 산출 +3점 소문항 [8-2] (6.5점) • 미분하여 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\) 도출 +3.5점 / \(f(2) = 1\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 위끝과 아래끝이 같아지는 \(x = 1\)을 먼저 대입해 미정계수 \(a\)를 구하는 것이 정석 절차입니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(a = 5\) | [8-2] \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5,\; f(2) = 1\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 원문 추출] \(a^{2x}=3\)일 때 \(\dfrac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\) 및 \(\dfrac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{1}{2},\; \dfrac{7}{3}\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 17041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 분모·분자에 \(a^x\)를 곱해 \(a^{2x}\)를 대입하는 구조와 세제곱 인수분해 약분 구조를 그대로 유지하고, 조건을 \(a^{2x}=5\)로 변형하여 \(\dfrac{2}{3}\)와 \(\dfrac{21}{5}\)를 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\) (단, \(a > 0\))일 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 분모와 분자에 \(a^x\)를 곱하여 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
주어진 분수식의 분모와 분자에 각각 \(a^x\)를 곱하여 \(a^{2x} = 5\)와 \(a^{-2x} = \dfrac{1}{5}\)로 정리한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \dfrac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \dfrac{5 - 1}{5 + 1} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
인수분해 공식 \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\)에 의해 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 5 - 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • 분자·분모에 \(a^x\)를 곱한 식 제시 +3점 / 값 \(\dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\) 약분 변형 +3.5점 / 최종값 \(\dfrac{21}{5}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(a^x = \sqrt{5}\)를 직접 대입하기보다 분모·분자에 \(a^x\)를 곱하거나 세제곱 인수분해로 약분하면 무리수 연산 없이 깔끔하게 풀립니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(\dfrac{2}{3}\) | [1-2] \(\dfrac{21}{5}\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 원문 추출] \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 8,\; B = \log_3 2 + \log_3 9 - \log_3 18\)일 때 \(A+B\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(3\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17042 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 로그 밑의 변환 공식 연쇄 약분과 밑이 같은 로그의 덧셈·뺄셈 성질을 그대로 유지하고, \(A=\log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 27=3\)과 \(B=0\)의 결합 연산을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
세 실수 \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\)과 \(B = \log_4 9 + \log_2 6 - \log_2 18\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 로그의 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}\)를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) 로그의 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
밑변환 공식 \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)와 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(A = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{3\log 2}{\log 5} = 3\)이고, \(\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(B = \log_2 3 + \log_2 6 - \log_2 18 = \log_2\left(\dfrac{3 \times 6}{18}\right) = \log_2 1 = 0\)이므로 \(A + B = 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 밑변환 연쇄 약분 과정 서술 +3점 / \(A = 3\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(\log_4 9 = \log_2 3\) 변환 및 \(B = 0\) 도출 +3.5점 / \(A + B = 3\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 밑이 다른 로그를 더하고 뺄 때는 반드시 \(\log_4 9 = \log_2 3\)처럼 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 진수끼리 곱하고 나누어야 합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(A = 3\) | [2-2] \(B = 0,\; A + B = 3\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 원문 추출] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=3,\; \overline{\mathrm{AC}}=8,\; A=\dfrac{\pi}{3}\)일 때, \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 문항 (정답: \(7,\; 6\sqrt{3}\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17043 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 코사인법칙 변의 길이 도출 및 삼각형 넓이·외접원 반지름 연쇄 계산 구조를 그대로 유지하고, \(\overline{\mathrm{AB}}=5,\; \overline{\mathrm{AC}}=8,\; A=\dfrac{\pi}{3}\)로 변형하여 \(\overline{\mathrm{BC}}=7,\; S=10\sqrt{3},\; R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8\)이고 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이고, 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{7}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙 대입 식 제시 +3점 / \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) 산출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 도출 +3점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 국민대 약술형 삼각함수 문항에서는 코사인법칙으로 마주 보는 변을 구한 뒤 사인법칙으로 외접원 반지름까지 연결하는 2단계 구성이 자주 출제됩니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) | [3-2] \(S = 10\sqrt{3},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 원문 추출] 일반항이 \(a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)인 수열에서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} a_k = 7\)을 만족시키는 자연수 \(m\)을 구하는 문항 (정답: \(63\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 17044 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]
변형 출제 이유
원본 기출의 분모 유리화를 통한 무리식 망원급수 소거 구조를 그대로 유지하고, \(a_n = \dfrac{2}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} = \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\)로 변형하여 \(\sum_{k=1}^m a_k = 8\)이 되는 \(m=40\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{2}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 분모를 유리화하여 일반항 \(a_n\)을 두 무리식의 차 꼴로 나타내시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{m} a_k = 8\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
분모와 분자에 켤레 무리식 \(\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)을 곱하여 분모를 유리화한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
분모가 \((2n + 1) - (2n - 1) = 2\)이므로 약분되어 \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sum_{k=1}^{m} a_k = \sqrt{2m + 1} - 1 = 8 \implies \sqrt{2m + 1} = 9 \implies 2m + 1 = 81 \implies m = 40\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 분모 유리화 과정 및 \(a_n = \sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}\) 도출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 소거 후 \(\sqrt{2m+1} - 1 = 8\) 도출 +3.5점 / \(m = 40\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분모의 차 \((2n+1)-(2n-1) = 2\)가 분자의 \(2\)와 정확히 약분되는지 반드시 확인합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\) | [4-2] \(m = 40\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 원문 추출] 모든 실수에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x-1)f(x)=x^2+ax-3\)을 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(3\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 분수식 연속 조건(\(x \ne 2\)일 때 약분, \(f(2)=\lim_{x\to 2}f(x)\))을 그대로 유지하고, 닫힌구간 \([0, 4]\)에서의 일차함수 최댓값·최솟값 합(\(10\))까지 결합하여 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이기 위한 극한 등식을 세우고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = f(2) = b\)가 성립한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하므로 분자에 \(x = 2\)를 대입하면 \(4 + 2a - 6 = 0 \implies a = 1\)이고, \(f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3\) (\(x \ne 2\))이므로 \(b = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) = x + 3\)이므로 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 최솟값은 \(f(0) = 3\), 최댓값은 \(f(4) = 7\)이고 그 합은 \(10\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 연속 정의 등식 명시 및 \(a = 1\) 산출 +3점 / 인수 약분으로 \(b = 5\) 도출 +3점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(f(x) = x + 3\) 확정 +3점 / 최솟값 \(3\)과 최댓값 \(7\)의 합 \(10\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: \(x = 2\)에서 연속성이 확보되면 \(f(x) = x + 3\)은 실수 전체에서 정의된 일차함수와 완전히 일치합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(a = 1,\; b = 5\) | [5-2] \(10\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 원문 추출] 삼차방정식 \(x^3-3x^2-9x+k=0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하는 문항 (정답: \(-5 < k < 27\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 탐구 17046 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 삼차함수 극댓값(\(f(-1)=5\))과 극솟값(\(f(3)=-27\)) 부호 반대 원리를 그대로 적용하여, 상수항 이항 후 \(-5 < k < 27\) 범위를 도출하는 과정을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
방정식을 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x = -k\)로 변형하고 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)을 푼다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5\)를 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값 \(f(3) = 27 - 27 - 27 = -27\)을 갖는다.
3줄: 최종결론 (30%)
직선 \(y = -k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나야 하므로 \(-27 < -k < 5 \iff -5 < k < 27\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\) 도출 +2점 / 극댓값 \(5\), 극솟값 \(-27\) 산출 +4점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(-27 < -k < 5\) 조건 수립 +3.5점 / \(-5 < k < 27\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(f(x) = -k\)로 이항했을 때 우변이 \(k\)가 아니라 \(-k\)이므로 마지막에 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호 방향을 바꾸어야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] 극댓값 \(f(-1) = 5\), 극솟값 \(f(3) = -27\) | [6-2] \(-5 < k < 27\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 원문 추출] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치가 \(x(t)=t^3-6t^2+9t\)일 때, 운동 방향을 바꾸는 시각에서의 가속도를 구하는 문항 (정답: \(-6,\; 6\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 17047 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-09]
변형 출제 이유
원본 기출의 속도 \(v(t)=x'(t)=0\)으로부터 운동 방향 전환 시각을 구하고 가속도 \(a(t)=v'(t)\)에 대입하는 구조를 유지하여, 두 번째 방향 전환 시각 \(t=3\)에서의 위치(\(2\))와 가속도(\(6\))를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 구하고, 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.
[7-2] (6.5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치와 가속도를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
속도 \(v(t) = x'(t)\)와 가속도 \(a(t) = v'(t)\)를 선언하고, 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(v(t) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)이고 \(a(t) = 6t - 12\)이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
두 번째로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 3\)이며, 이때의 위치는 \(x(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)이고 가속도는 \(a(3) = 18 - 12 = 6\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(v(t),\; a(t)\) 식 도출 +3점 / 운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 산출 +3점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(t = 3\)에서의 위치 \(x(3) = 2\) 산출 +3.5점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 단순히 \(v(t) = 0\)인 것뿐만 아니라 \(t = 1, 3\) 전후에서 \(v(t)\)의 부호가 바뀐다는 점을 함께 언급하면 만점 답안이 됩니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9,\; a(t) = 6t - 12\), 시각 \(t = 1, 3\) | [7-2] 위치 \(2\), 가속도 \(6\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 원문 추출] 정적분 \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (2x^3+3x^2-4x+1)\,dx\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(20\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17048 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수 소거 및 우함수 \(2\int_0^a\) 축약 원리를 그대로 유지하고, 피적분함수를 \(4x^3+3x^2-6x-1\)로 변형하여 정적분 값 \(12\)를 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 3x^2 + 7x - 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 홀수차 항과 짝수차 항의 정적분 성질을 서술하고, \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)를 \([0, 2]\) 구간에서의 정적분으로 간단히 나타내시오.
[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
대칭 구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x^{2k-1}\))의 정적분은 \(0\)이고, 우함수(\(x^{2k}\))의 정적분은 \(2\int_{0}^{a} x^{2k}\,dx\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
홀수차 항 \(2x^5 - 4x^3 + 7x\)의 적분값은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(2\Bigl[x^3 - x\Bigr]_{0}^{2} = 2(8 - 2) = 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 기함수 소거 근거 및 \(2\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx\) 변환 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 부정적분 \(\bigl[x^3 - x\bigr]_0^2 = 6\) 계산 +3점 / 최종값 \(12\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 우함수 성질을 쓸 때 앞의 배수 \(2\)를 빠뜨리지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\) | [8-2] \(12\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 원문 추출] 세 수 \(A=\sqrt{2},\; B=\sqrt[3]{3},\; C=\sqrt[6]{6}\)의 대소를 비교하고 가장 큰 수와 가장 작은 수의 곱의 \(6\)제곱을 구하는 문항 (정답: \(C < A < B,\; 54\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 탐구 17051 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 거듭제곱근 인덱스의 최소공배수(\(6\)) 거듭제곱을 이용한 대소 비교 구조를 그대로 유지하고, \(A=\sqrt{3},\; B=\sqrt[3]{6},\; C=\sqrt[6]{30}\)으로 변형하여 \(A < C < B\) 및 \((AB)^6=972\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 서로 다른 거듭제곱근의 유리수 지수 통분과 대소 비교)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
세 양수 \(A = \sqrt{3},\; B = \sqrt[3]{6},\; C = \sqrt[6]{30}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 세 수 \(A, B, C\)를 각각 \(6\)제곱한 \(A^6,\; B^6,\; C^6\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내고, 가장 큰 수와 가장 작은 수의 곱의 \(6\)제곱을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
양수 \(x, y\)에 대하여 \(x < y \iff x^6 < y^6\)이므로 근호의 지수 \(2, 3, 6\)의 최소공배수인 \(6\)제곱을 비교한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(A^6 = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^3 = 27\), \(B^6 = (6^{\frac{1}{3}})^6 = 6^2 = 36\), \(C^6 = (30^{\frac{1}{6}})^6 = 30\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(27 < 30 < 36\)이므로 \(A < C < B\)이고, 가장 큰 수 \(B\)와 가장 작은 수 \(A\)에 대하여 \((AB)^6 = A^6 B^6 = 27 \times 36 = 972\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(A^6=27,\; B^6=36,\; C^6=30\) 각각 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 대소 관계 \(A < C < B\) 판정 +3.5점 / \((AB)^6 = 972\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 거듭제곱근의 대소 비교에서는 모든 수가 양수임을 먼저 밝힌 뒤 최소공배수 거듭제곱을 취해야 논리적 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(A^6 = 27,\; B^6 = 36,\; C^6 = 30\) | [1-2] \(A < C < B,\; (AB)^6 = 972\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 원문 추출] 방정식 \((\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + k = 0\)의 두 실근의 곱과 비가 주어질 때 상수 \(k\)를 구하는 문항 (정답: \(2\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17052 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(t=\log_3 x\) 치환 시 이차방정식의 두 근의 합 \(t_1+t_2=\log_3(\alpha\beta)\)이 진수의 곱이 되는 원리를 그대로 유지하여, \(\alpha\beta=81\)과 \(\alpha=27\beta\)로부터 \(k=\dfrac{7}{4}\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 두 실근의 곱과 근과 계수의 관계)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(x > 0\)에 대한 로그방정식 \((\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + k = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(t = \log_3 x\)로 치환할 때 두 근 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)의 합 \(t_1 + t_2\)를 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(\alpha = 27\beta\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(t = \log_3 x\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - 4t + k = 0\)의 두 근은 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
근과 계수의 관계에 의해 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\alpha = 27\beta\)이면 \(t_1 - t_2 = \log_3\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) = \log_3 27 = 3\)이므로 \(t_1 = \dfrac{7}{2},\; t_2 = \dfrac{1}{2}\)이고, \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4\) 제시 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(t_1 - t_2 = 3\) 도출 +3.5점 / \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그방정식의 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 곱 \(\alpha\beta\)는 치환된 이차방정식의 두 근의 곱 \(k\)가 아니라 두 근의 합 \(t_1 + t_2\)에서 나온다는 점을 혼동하지 마세요.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\alpha\beta = 81\) | [2-2] \(k = \dfrac{7}{4}\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 원문 추출] \(0 \le x < 2\pi\)일 때 방정식 \(2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{5\pi}{2}\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 17053 변형 | 성취기준: 12대수02-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\) 치환 및 삼각방정식 인수분해 구조를 그대로 유지하고, \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)으로 변형하여 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}\)의 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수로 정의된 이차방정식의 치환과 해의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(0 \le x < 2\pi\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 인수분해하고 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(0 \le x < 2\pi\)에서 주어진 방정식을 만족시키는 모든 실근 \(x\)와 그 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
삼각함수 항등식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 삼각함수를 \(\sin x\)로 통일한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 \le x < 2\pi\)에서 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)인 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이고 \(\sin x = -1\)인 해는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • \((2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\) 인수분해 +3점 / \(\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 산출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 도출 +3.5점 / 실근의 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(0 \le x < 2\pi\) 구간에서 \(\sin x = -1\)이 되는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)를 빠뜨리지 않도록 단위원이나 그래프를 확인합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\) | [3-2] \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 원문 추출] 첫째항이 \(1\)이고 \(a_{n+1}-a_n = 2n-1\)을 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_k\)를 구하는 문항 (정답: \(55\))
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17054 변형 | 성취기준: 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 계차수열 누적합을 통한 일반항 \(a_n=n^2+1\) 도출과 거듭제곱의 합 공식(\(\sum k^2\))을 결합하여 제6항까지의 합 \(97\)을 정확히 계산하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항의 도출)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 2\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입하여 변변 더하는 방법으로 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{6} a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2\cdot\dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = n^2 - 1\)이므로 \(a_n = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1\)이고, 이는 \(n = 1\)일 때도 성립한다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sum_{k=1}^{6} (k^2 + 1) = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6} + 6 = 91 + 6 = 97\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 축차대입 합의 식 제시 +3점 / 일반항 \(a_n = n^2 + 1\) 도출 +3점 소문항 [4-2] (6.5점) • 거듭제곱의 합 공식 적용 +3.5점 / 최종값 \(97\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(n \ge 2\)에서 유도한 식 \(a_n = n^2 + 1\)에 \(n = 1\)을 대입하여 첫째항 \(a_1 = 2\)와 일치함을 확인하는 한 줄을 덧붙이면 완벽합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_n = n^2 + 1\) | [4-2] \(97\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 원문 추출] 삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{(x-1)^2}=3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(3\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 17055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 분모가 \((x-1)^2\)일 때 분자가 \((x-1)^2(x+k)\)를 인수로 갖는 극한 인수 결정 구조를 그대로 유지하고, 극한값을 \(5\)로 변형하여 \(f(x)=(x-1)^2(x+4)\) 및 \(f(2)=6\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 분모가 이차인수로 0에 수렴하는 유리식 극한과 인수 정리)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 등식 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 주어진 극한이 수렴하기 위해 \(f(x)\)가 반드시 가져야 하는 인수를 서술하고, \(f(x)\)를 인수분해된 꼴로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to 1\)일 때 분모 \((x - 1)^2\)이 이차로 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차식 \(f(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 가져야 한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x) = (x - 1)^2(x - k)\)로 놓으면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(x - k)}{(x - 1)^2} = 1 - k = 5 \implies k = -4\)이므로 \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
전개하면 \(f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x + 4) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4\)이므로 \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4\)이고 \(f(2) = 1^2 \times 6 = 6\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \((x-1)^2\) 인수 보유 근거 및 \(f(x) = (x-1)^2(x+4)\) 도출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 전개하여 \(a=2,\; b=-7,\; c=4\) 산출 +3.5점 / \(f(2) = 6\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(a, b, c\)를 연립방정식으로 풀지 않고 \(f(x) = (x-1)^2(x-k)\)로 인수분해 꼴을 먼저 세우면 10초 만에 정확히 구할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\) | [5-2] \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4,\; f(2) = 6\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 원문 추출] 삼차함수 \(f(x)=x^3-3x^2+kx+1\)이 열린구간 \((0, 2)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하는 문항 (정답: \(0 < k < 3\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 17056 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
변형 출제 이유
원본 기출의 도함수 \(f'(x)=3x^2-6x+k=0\)이 열린구간 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 가질 근의 분리 조건(\(D/4>0,\; f'(0)>0,\; f'(3)>0\))을 그대로 적용하여 \(0 < k < 3\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수가 열린구간에서 극값을 갖기 위한 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 2\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, \(f'(x) = 0\)이 열린구간 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건을 서술하시오.
[6-2] (6.5점) 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
삼차함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\)가 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f'(x) = 3(x - 1)^2 + k - 3\)의 대칭축이 \(x = 1 \in (0, 3)\)이므로, 판별식 조건 \(D/4 = 9 - 3k > 0 \implies k < 3\)과 경계값 조건 \(f'(0) = k > 0,\; f'(3) = 9 + k > 0\)을 동시에 만족해야 한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(0 < k < 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\) 및 판별식·경계값 조건 명시 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(k < 3\)과 \(k > 0\) 결합 +3.5점 / 최종 범위 \(0 < k < 3\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 대칭축 \(x = 1\)에서 먼 쪽 경계가 \(x = 3\)이지만 작은 쪽 경계는 \(x = 0\)이므로 최솟값은 \(f'(0) = k > 0\)에서 결정됩니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k,\; D/4 > 0,\; f'(0) > 0,\; f'(3) > 0\) | [6-2] \(0 < k < 3\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 원문 추출] 포물선 \(y=9-x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문항 (정답: \(12\sqrt{3}\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 17057 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
변형 출제 이유
원본 기출의 제1사분면 꼭짓점 \((t, 12-t^2)\) 설정을 통한 넓이 삼차함수 \(S(t)=-2t^3+24t\) 도출 및 극댓값 최대 원리를 적용하여, \(t=2\)에서 최대 넓이 \(32\)가 깔끔한 정수로 나오도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
곡선 \(y = 12 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 제1사분면 위의 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(t\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))라 할 때, 직사각형의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 도함수 \(S'(t)\)를 이용하여 직사각형의 넓이 \(S(t)\)가 최대가 되는 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
포물선 \(y = 12 - x^2\)은 \(y\)축에 대하여 대칭이므로 직사각형의 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\)이고, 미분하면 \(S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t - 2)(t + 2) = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 < t < 2\sqrt{3}\)에서 \(t = 2\)일 때 \(S(t)\)는 극대이면서 최대가 되므로 최댓값은 \(S(2) = 4 \times (12 - 4) = 32\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • 가로 \(2t\), 세로 \(12-t^2\) 및 정의역 \(0 < t < 2\sqrt{3}\) 명시하여 \(S(t) = -2t^3 + 24t\) 도출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(S'(t) = -6(t-2)(t+2) = 0\)으로 \(t = 2\) 산출 +3점 / 최대 넓이 \(32\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 도형 활용 문제에서는 반드시 변수 \(t\)의 정의역 \(0 < t < 2\sqrt{3}\)을 먼저 적어 주어야 서술형 만점을 받습니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\) | [7-2] \(t = 2\), 최대 넓이 \(32\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 원문 추출] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 속도가 \(v(t)=6-2t\)일 때, 시각 \(t=0\)에서 \(t=5\)까지 움직인 거리를 구하는 문항 (정답: \(13\))
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17058 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 위치(\(x(0)+\int_0^5 v(t)\,dt\))와 움직인 거리(\(\int_0^5 |v(t)|\,dt\)) 구분 구조를 그대로 유지하고, 초기 위치 \(x(0)=3\)과 속도 \(v(t)=4-2t\)에서 \(x(5)=8\) 및 거리 \(s=13\)을 비교 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량과 실제 움직인 거리)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 2t - 4\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x(0) = 3\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 시각 \(t = 5\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(x(5)\)를 구하시오.
[8-2] (6.5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
시각 \(t = 5\)에서의 위치는 \(x(5) = x(0) + \int_{0}^{5} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(s = \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x(5) = 3 + \int_{0}^{5} (2t - 4)\,dt = 3 + \Bigl[t^2 - 4t\Bigr]_{0}^{5} = 3 + (25 - 20) = 8\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(t = 2\)에서 속도의 부호가 바뀌므로 \(s = \int_{0}^{2} (4 - 2t)\,dt + \int_{2}^{5} (2t - 4)\,dt = 4 + 9 = 13\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 초기 위치 \(x(0) = 3\) 반영 정적분 식 제시 +3점 / \(x(5) = 8\) 산출 +3점 소문항 [8-2] (6.5점) • 구간 \([0, 2]\)와 \([2, 5]\) 절댓값 분리 적분 +3.5점 / 이동 거리 \(13\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 시각 \(t = 5\)에서의 위치를 구할 때 초기 위치 \(x(0) = 3\)을 더하는 것을 잊지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(x(5) = 8\) | [8-2] \(s = 13\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 유사 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) 원문 추출] 두 양수 \(a, b\)가 \(a^{\frac{1}{2}}=2,\; b^{\frac{1}{3}}=3\)을 만족시킬 때, \(a^2 b\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(432\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17061 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 유리수 지수 거듭제곱 법칙 \((a^m)^n=a^{mn}\)을 심화하여 \(a^{\frac{2}{3}}=4,\; b^{\frac{3}{4}}=27\)에서 소인수분해(\(2^2,\; 3^3\))를 통해 \(a=8,\; b=81\) 및 \(a^3b=41472\)를 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 양수 \(a, b\)가 \(a^{\frac{1}{3}} = 2\), \(b^{\frac{1}{4}} = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) 유리수 지수법칙을 이용하여 \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{5}{2}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
거듭제곱과 유리수 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^m a^n = a^{m+n}\)을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a = 2^3 = 8,\; b = 3^4 = 81\)이고, 주어진 식을 정리하면 \(a^{2 \cdot \frac{3}{2}} b^{-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}} = a^3 b\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a^3 b = 8^3 \times 81 = 512 \times 81 = 41472\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(a = 2^3 = 8\) 및 \(b = 3^4 = 81\) 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 주어진 식을 \(a^3 b\)로 간단히 정리 +3.5점 / 최종값 \(41472\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 지수 밑이 양수일 때만 유리수 지수법칙을 자유롭게 적용할 수 있음을 확인하고 지수를 먼저 정리한 뒤 대입합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(a = 8,\; b = 81\) | [1-2] \(41472\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) 원문 추출] 닫힌구간 \([1, 8]\)에서 함수 \(f(x)=\log_2(x+1)+m\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(8\)일 때, 상수 \(m\)을 구하는 문항 (정답: \(2\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17062 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
변형 출제 이유
원본 기출의 밑이 \(1\)보다 큰 로그함수의 단조증가 최대·최소 구조를 심화하여, 닫힌구간 \([2, 20]\)에서 \(f(x)=\log_3(x+7)+m\)의 최대·최소 합 \(10\)으로부터 \(m=3,\; f(4)=5\)를 연쇄 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 로그함수 \(f(x) = \log_3(2x + 1) + m\) (단, \(m\)은 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.
[2-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(10\)일 때, 상수 \(m\)의 값과 \(f(4)\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
밑이 \(3 > 1\)이므로 로그함수 \(f(x) = \log_3(2x + 1) + m\)은 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 단조증가함수이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
최솟값은 \(f(1) = \log_3 3 + m = 1 + m\), 최댓값은 \(f(13) = \log_3 27 + m = 3 + m\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\((1 + m) + (3 + m) = 2m + 4 = 10\)에서 \(m = 3\)이고, \(f(4) = \log_3 9 + 3 = 2 + 3 = 5\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 밑 \(3 > 1\) 증가성 근거로 최솟값 \(1+m\), 최댓값 \(3+m\) 표현 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(m = 3\) 결정 +3.5점 / \(f(4) = 5\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그함수의 최대·최소 서술 시 밑이 \(1\)보다 크므로 증가함수라는 성질을 1줄에 명시해야 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] 최댓값 \(3 + m\), 최솟값 \(1 + m\) | [2-2] \(m = 3,\; f(4) = 5\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) 원문 추출] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=4,\; \overline{\mathrm{AC}}=5,\; \cos A=\dfrac{3}{5}\)일 때, \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이와 넓이를 구하는 문항 (정답: \(\sqrt{17},\; 8\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 17063 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 코사인법칙과 \(\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A}\) 넓이 공식을 결합하여, \(\overline{\mathrm{AB}}=6,\; \overline{\mathrm{AC}}=5,\; \cos A=\dfrac{3}{5}\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}}=5\)와 넓이 \(S=12\)가 정수로 도출되도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6\), \(\overline{\mathrm{AC}} = 5\), \(\cos A = \dfrac{3}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(\sin A\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} = 61 - 36 = 25\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 < A < \pi\)에서 \(\sin A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \dfrac{4}{5}\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙 식 수립 및 \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\) 도출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\sin A = \dfrac{4}{5}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = 12\) 계산 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 삼각형의 내각 \(A\)는 \(0 < A < \pi\)이므로 \(\sin A > 0\)임을 명시하여 부호 오류를 예방합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\) | [3-2] \(\sin A = \dfrac{4}{5},\; S = 12\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) 원문 추출] 첫째항이 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(S_6-S_3=45\)일 때, \(a_8\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(24\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17064 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 부분합의 차 \(S_7-S_4 = a_5+a_6+a_7 = 3a_6\) 등차중항 대칭 성질을 심화 적용하여, \(a_1=5,\; S_7-S_4=75\)로부터 \(a_6=25,\; d=4,\; a_{10}=41\)을 신속·정확하게 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 5\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_7 - S_4 = 75\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(S_7 - S_4\)를 제\(6\)항 \(a_6\)에 대한 식으로 나타내고 \(a_6\)의 값을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 제\(10\)항 \(a_{10}\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
수열의 합과 일반항의 관계 및 등차중항 성질에 의해 \(S_7 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 = 3a_6\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(3a_6 = 75\)에서 \(a_6 = 25\)이고, \(a_6 = a_1 + 5d = 5 + 5d = 25\)이므로 공차는 \(d = 4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 일반항은 \(a_n = 4n + 1\)이므로 제\(10\)항은 \(a_{10} = 4(10) + 1 = 41\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(S_7 - S_4 = a_5+a_6+a_7 = 3a_6\) 정리 및 \(a_6 = 25\) 산출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 공차 \(d = 4\) 도출 +3점 / \(a_{10} = 41\) 계산 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 연속된 세 항의 합 \(a_5 + a_6 + a_7\)을 등차중항 성질 \(3a_6\)으로 바꾸면 계산 시간을 크게 단축할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(S_7 - S_4 = 3a_6,\; a_6 = 25\) | [4-2] \(d = 4,\; a_{10} = 41\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) 원문 추출] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}=-1,\; \lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)}{x-2}=5\)를 만족시킬 때, \(f(3)\)을 구하는 문항 (정답: \(30\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17065 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 무한대 극한과 \(x \to 2\) 부정형 극한 연립 구조를 심화하여, \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}=-3\)과 \(\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-2}=5\)로부터 \(f(x)=2x^3-3x^2-7x+10\) 및 \(f(3)=16\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3\), \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(x \to \infty\)일 때의 극한 조건을 이용하여 \(f(x)\)의 차수와 이차항까지의 계수를 결정하시오.
[5-2] (6.5점) \(x \to 2\)일 때의 극한 조건을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to \infty\) 극한이 \(-3\)으로 수렴하므로 \(f(x) - 2x^3 = -3x^2 + ax + b\), 즉 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(f(2) = 4 + 2a + b = 0\)이고, \(f'(2) = 24 - 12 + a = 5 \implies a = -7,\; b = 10\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10\)이므로 \(f(3) = 54 - 27 - 21 + 10 = 16\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) 형태 설정 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(a = -7,\; b = 10\) 결정 +3.5점 / \(f(3) = 16\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 다항함수에서 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2} = 5\)는 \(f(2)=0\)과 \(f'(2)=5\) 두 조건을 동시에 제공합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) | [5-2] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10,\; f(3) = 16\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) 원문 추출] 다항함수 \(f(x)=x^3+2x^2-3x+1\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(12\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 17066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 미분계수 정의 변형 극한 \(\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+3h)-f(1-2h)}{h}=5f'(1)\) 구조를 심화 적용하여, \(f(x)=x^3+2x^2-4x+5\)에서 \(f'(1)=3\) 및 극한값 \(15\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 미분계수 \(f'(1)\)의 값을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - 3h)}{h}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
미분계수의 정의 \(\lim_{t \to 0} \dfrac{f(a+t) - f(a)}{t} = f'(a)\)를 이용하기 위해 분자에 \(f(1)\)을 빼고 더한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\)에서 \(f'(1) = 3\)이고, 주어진 식은 \(2\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h} + 3\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1-3h)-f(1)}{-3h} = 5f'(1)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 구하는 극한값은 \(5f'(1) = 5 \times 3 = 15\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\) 및 \(f'(1) = 3\) 도출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 극한식을 \(5f'(1)\)로 변형 +3.5점 / 극한값 \(15\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 객관식 요령이 아닌 \(f(1)\)을 더하고 빼서 미분계수 정의 꼴로 변형하는 식을 한 줄 적어주면 감점을 완벽히 방어합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4,\; f'(1) = 3\) | [6-2] \(15\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) 원문 추출] 곡선 \(y=x^3-2x^2+1\) 위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표를 구하는 문항 (정답: \((0, 1)\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 17067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 삼차곡선 위의 점에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 교점 방정식 \((x-\alpha)^2(x-\beta)=0\)(근과 계수의 관계) 구조를 심화하여, 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(y=2x\)와 재교점 \(\mathrm{B}(-1, -2)\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\) 위의 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(l\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 접선 \(l\)이 삼차곡선과 점 \(\mathrm{A}\)가 아닌 다른 점에서 만날 때, 그 교점 \(\mathrm{B}\)의 좌표 \((p, q)\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수 \(y' = 3x^2 - 6x + 2\)에서 \(x = 2\)일 때 접선의 기울기는 \(y'(2) = 12 - 12 + 2 = 2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
접선 \(l\)의 방정식은 \(y = 2(x - 2) + 4 = 2x\)이고, 곡선과 연립하면 \(x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 2x \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\((x - 2)^2(x + 1) = 0\)에서 접점 \(x = 2\)가 아닌 다른 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -1\)이므로 \(\mathrm{B}(-1, -2)\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • 기울기 \(y'(2)=2\) 및 접선의 방정식 \(y = 2x\) 도출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \((x-2)^2(x+1)=0\) 인수분해 +3.5점 / 교점 \((-1, -2)\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 접점 \(x = 2\)는 연립방정식에서 항상 중근 인자 \((x-2)^2\)를 가진다는 성질을 이용하면 즉시 인수분해됩니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(y = 2x\) | [7-2] \((-1, -2)\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2026학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2026학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) 원문 추출] 곡선 \(y=x^2-4x+5\)와 직선 \(y=x+1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{9}{2}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 이차곡선과 직선의 교점 연립방정식 및 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\)을 심화 적용하여, \(y=x^2-5x+6\)과 \(y=x-2\)의 교점 \(\alpha=2,\; \beta=4\) 및 넓이 \(\dfrac{4}{3}\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
이차곡선 \(y = x^2 - 4x + 5\)와 직선 \(y = 2x - 3\)으로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 이차곡선과 직선의 두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))를 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 나타내고 그 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
교점 방정식 \(x^2 - 4x + 5 = 2x - 3 \iff x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
따라서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha = 2,\; \beta = 4\)이고, 구간 \([2, 4]\)에서 직선이 곡선보다 위에 위치한다.
3줄: 최종결론 (30%)
둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 2)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 연립방정식 수립 및 교점 \(\alpha = 2,\; \beta = 4\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 정적분 넓이식 \(\int_2^4 (-x^2+6x-8)\,dx\) 표현 +3점 / 넓이 \(\dfrac{4}{3}\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 정적분 넓이 공식을 쓰더라도 피적분함수와 적분구간을 정적분 기호로 먼저 표시해야 과정 점수를 모두 받습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(\alpha = 2,\; \beta = 4\) | [8-2] \(S = \dfrac{4}{3}\)
[2026학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) 원문 추출] \(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b = 3,\; \log_b c = 2\)를 만족시킬 때, \(\log_c(ab)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{2}{3}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17071 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 밑의 변환 공식 \(\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c\)를 심화하여, \(\log_a b=4,\; \log_b c=\dfrac{3}{2}\)에서 \(\log_a c=6\)을 구하고 \(\log_c(a^2b)=\dfrac{2+\log_a b}{\log_a c}=1\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b = 4\), \(\log_b c = \dfrac{3}{2}\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 로그의 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_a c\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\log_c(a^2 b)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
로그의 밑변환 공식 \(\log_x y = \dfrac{\log_a y}{\log_a x}\)에 의해 \(\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\log_a c = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6\)이고, 구하는 식을 밑이 \(a\)인 로그로 변환하면 \(\log_c(a^2 b) = \dfrac{\log_a(a^2 b)}{\log_a c} = \dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(\log_a b = 4,\; \log_a c = 6\)을 대입하면 \(\dfrac{2 + 4}{6} = 1\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • 밑변환 공식으로 \(\log_a c = 6\) 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(\dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\) 변형 +3.5점 / 최종값 \(1\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 서로 다른 밑을 가진 로그들의 곱과 나눗셈은 공통 밑 \(a\)로 통일하면 일관되게 정리됩니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(\log_a c = 6\) | [1-2] \(1\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) 원문 추출] \(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)이고 \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}\)일 때, \(\sin\theta-\cos\theta\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 제2사분면 각의 부호(\(\sin\theta>0,\; \cos\theta<0 \implies \sin\theta-\cos\theta>0\))와 곱셈공식 변형을 그대로 적용하여, \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{3}\)일 때 \(\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(\sin\theta - \cos\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈공식의 변형을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\)이고, \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{17}{9}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에서 \(\sin\theta > 0,\; \cos\theta < 0\)이므로 \(\sin\theta - \cos\theta > 0\)이고, 구하는 값은 \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 제곱 전개를 통해 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) 산출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 제2사분면 부호 \(\sin\theta - \cos\theta > 0\) 판정 +3점 / \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 제곱근을 취할 때 사분면에 따른 삼각함수의 부호(\(\sin\theta > 0, \cos\theta < 0\))를 반드시 근거로 적어야 합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) | [2-2] \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) 원문 추출] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=2,\; a_{n+1}-a_n=2n+1\)을 만족시킬 때, \(a_{10}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(101\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 17073 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 계차수열 누적합 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(4k-1)\) 구조를 심화하여, 일반항 \(a_n=2n^2-3n+4\)와 제10항 \(a_{10}=174\)를 정확히 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅲ. 수열 — 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 4n - 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(n \ge 2\)일 때 일반항 \(a_n\)을 시그마(\(\sum\))를 이용하여 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(k = 1, 2, \dots, n-1\)을 대입하여 변끼리 더하면 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_n = 3 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} - (n - 1) = 2n^2 - 3n + 4\)이며 \(n = 1\)일 때도 성립한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(n = 10\)을 대입하면 \(a_{10} = 2(100) - 3(10) + 4 = 174\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 축차대입 합의 식 수립 및 \(a_n = 2n^2 - 3n + 4\) 도출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(n = 10\) 대입 과정 +3점 / \(a_{10} = 174\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 시그마의 위끝이 \(n\)이 아니라 \(n-1\)임에 주의하여 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{(n-1)n}{2}\)로 계산합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(a_n = 2n^2 - 3n + 4\) | [3-2] \(a_{10} = 174\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) 원문 추출] 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1 a_5 = 16,\; a_2+a_4=10\)일 때, 공비 \(r\) (\(r>1\))를 구하는 문항 (정답: \(2\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17074 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 등비중항 성질 \(a_2 a_4 = a_3^2\)을 심화 적용하여, \(a_2 a_4 = 36\)에서 \(a_3=6\)을 구하고 \(\dfrac{a_5}{a_3}=r^2=9\)로부터 \(r=3,\; a_1=\dfrac{2}{3}\)을 연쇄 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 a_4 = 36\), \(a_5 = 54\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 등비중항의 성질을 이용하여 제\(3\)항 \(a_3\)의 값을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r\)와 첫째항 \(a_1\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
등비중항의 성질에 의해 \(a_2 a_4 = a_3^2 = 36\)이고, 모든 항이 양수이므로 \(a_3 = 6\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 54\)에서 \(r^2 = 9\)이고, 모든 항이 양수이므로 공비는 \(r = 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 첫째항은 \(a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_3^2 = 36\) 및 양수 조건으로 \(a_3 = 6\) 산출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 공비 \(r = 3\) 도출 +3.5점 / 첫째항 \(a_1 = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 모든 항이 양수인 등비수열이므로 공비 \(r > 0\) 조건을 근거로 \(r = -3\)을 배제해야 합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_3 = 6\) | [4-2] \(r = 3,\; a_1 = \dfrac{2}{3}\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) 원문 추출] 모든 실수에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x-1)f(x)=x^3-2x^2+k\)를 만족시킬 때, \(k\)와 \(f(1)\)을 구하는 문항 (정답: \(k=1,\; f(1)=-1\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 17075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 인수분해(조립제법)를 통한 연속함수 극한값 결정 구조를 심화하여, \((x-2)f(x)=x^3-3x^2+3x-k\)에서 \(k=2\) 대신 \(x=2\) 대입으로 \(8-12+6-k=0\) 형태의 삼차식 조립제법과 \(f(2)=3\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
모든 실수 \(x\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 상수 \(k\)의 값을 구하고, \(x \ne 2\)일 때 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[5-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 연속성을 이용하여 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
항등식 \((x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)의 양변에 \(x = 2\)를 대입하면 \(0 = 8 - 4k + 6 - 2\)에서 \(k = 3\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(k = 3\)일 때 우변을 인수분해하면 \((x - 2)(x^2 - x + 1)\)이므로 \(x \ne 2\)일 때 \(f(x) = x^2 - x + 1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - x + 1) = 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(k = 3\) 산출 및 인수분해로 \(f(x) = x^2 - x + 1\) 도출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 연속 정의 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 명시 +3점 / \(f(2) = 3\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: \(x - 2\)로 양변을 나눌 때는 반드시 \(x \ne 2\) 조건을 먼저 밝힌 뒤 극한으로 \(f(2)\)를 구해야 논리적 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(k = 3,\; f(x) = x^2 - x + 1\) (\(x \ne 2\)) | [5-2] \(f(2) = 3\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) 원문 추출] 삼차함수 \(f(x)=x^3-3x^2+2\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)의 차 \(M-m\)을 구하는 문항 (정답: \(4\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 도함수 인수분해 \(f'(x)=3(x-1)(x-3)=0\)을 통한 극대·극소 판정 구조를 심화하여, \(f(x)=x^3-6x^2+9x+5\)의 극댓값 \(M=f(1)=9\)와 극솟값 \(m=f(3)=5\)의 차 \(4\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 \(x\)의 값을 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고, \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)이고, \(f'(x) = 0\)의 해는 \(x = 1, 3\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x = 1\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값은 \(M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(x = 3\)에서 극솟값은 \(m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5\)이므로 \(M - m = 9 - 5 = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 및 극점 \(x = 1, 3\) 도출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(M = 9,\; m = 5\) 산출 +3.5점 / \(M - m = 4\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 도함수의 부호 변화(\(+\to-\) 극대, \(-\to+\) 극소)를 함께 언급하면 채점 기준표를 완벽히 충족합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(f'(x) = 3(x-1)(x-3),\; x = 1, 3\) | [6-2] \(M = 9,\; m = 5,\; M - m = 4\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) 원문 추출] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt = x^3-x^2-x+1\) (\(a>0\))을 만족시킬 때, \(a\)와 \(f(2)\)를 구하는 문항 (정답: \(a=1,\; f(2)=7\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 정적분 아래끝 \(x=a\) 대입 방정식과 양변 미분 구조를 심화하여, \(\int_a^x f(t)\,dt = x^3+x^2-5x+3\)에서 조립제법으로 양수 \(a=1\)을 구하고 \(f(x)=3x^2+2x-5,\; f(2)=11\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 위끝과 아래끝이 같아지는 \(x\)의 값을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
정적분의 성질 \(\int_1^1 f(t)\,dt = 0\)과 정적분으로 정의된 함수의 미분법 \(\dfrac{d}{dx}\int_1^x f(t)\,dt = f(x)\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 + a - 5 + 3 \implies a = 1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)이므로 \(f(2) = 12 + 4 - 5 = 11\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(x = 1\) 대입으로 \(a = 1\) 산출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • 미분하여 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\) 도출 +3.5점 / \(f(2) = 11\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 정적분으로 정의된 함수 항등식은 (1) 위·아래끝 일치 값 대입, (2) 양변 미분의 2단계를 표준 절차로 서술합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(a = 1\) | [7-2] \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5,\; f(2) = 11\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2025학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2025학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) 원문 추출] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 속도가 \(v(t)=3t^2-6t\)일 때, \(t=0\)에서 \(t=3\)까지 움직인 거리를 구하는 문항 (정답: \(8\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 17078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 이차 속도함수가 부호를 두 번 바꾸는 구간별 정적분 구조를 심화하여, \(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\)에 대해 구간 \([0,1],\;[1,3],\;[3,4]\)의 넓이 합 \(4+4+4=12\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 시각 \(t\)를 모두 구하시오.
[8-2] (6.5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
속도 \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각 \(t = 1, 3\)에서 운동 방향이 바뀐다.
2줄: 핵심계산 (40%)
움직인 거리는 \(s = \int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)라 하면 \(F(0)=0,\; F(1)=4,\; F(3)=0,\; F(4)=4\)이므로 \(s = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)으로부터 \(t = 1, 3\) 도출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 구간별 절댓값 적분 분리 +3점 / 총 거리 \(12\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 위치의 변화량 \(\int_0^4 v(t)\,dt = 4\)와 실제로 움직인 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12\)를 혼동하지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(t = 1,\; t = 3\) | [8-2] \(s = 12\)
[2025학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) 원문 추출] 지수부등식 \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \le 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 \(2^x\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 문항 (정답: \(5\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(t=2^x\) 치환 지수부등식 구조를 심화하여, \(4^x-5\cdot 2^x+4 \le 0\)에서 \(0 \le x \le 2\)를 구하고 \(2^{x+1}\)의 최솟값 \(2\)와 최댓값 \(8\)의 합 \(10\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
지수부등식 \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(3^x = t\) (\(t > 0\))로 치환하여 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(2^{x+1}\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(3^x = t\) (\(t > 0\))로 치환하면 주어진 부등식은 \(t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9) \le 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(1 \le t \le 9 \iff 3^0 \le 3^x \le 3^2\)이고 밑이 \(3 > 1\)이므로 \(0 \le x \le 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(2^{x+1}\)의 최솟값은 \(2^{0+1} = 2\), 최댓값은 \(2^{2+1} = 8\)이므로 합은 \(2 + 8 = 10\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • 치환부등식 \(1 \le 3^x \le 9\) 및 \(0 \le x \le 2\) 도출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 최솟값 \(2\), 최댓값 \(8\) 산출 +3.5점 / 합 \(10\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 지수부등식을 풀 때 밑이 \(1\)보다 큰지 작은지 명시하여 부등호 방향이 유지됨을 밝혀줍니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(0 \le x \le 2\) | [1-2] \(10\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) 원문 추출] \(0 \le x < 2\pi\)일 때 삼각방정식 \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하는 문항 (정답: \(3\pi\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17082 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\) 대입을 통한 이차 삼각방정식 풀이를 심화하여, \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에서 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)의 세 실근의 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(0 \le x < 2\pi\)일 때, 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(0 \le x < 2\pi\)에서 주어진 방정식의 모든 실근을 구하고 그 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하면 \(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\((2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 \le x < 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\dfrac{5\pi}{2}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 이차방정식 인수분해 및 \(\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 도출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 산출 +3.5점 / 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 주어진 정의역 \(0 \le x < 2\pi\) 안에서 각 방정식의 근을 빠짐없이 나열한 뒤 합을 구합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\) | [2-2] 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) 원문 추출] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=2,\; \overline{\mathrm{BC}}=4,\; B=\dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 외접원의 반지름 \(R\)를 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 탐구 17083 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 둔각(\(B=\dfrac{2\pi}{3},\; \cos B=-\dfrac{1}{2}\)) 코사인법칙과 사인법칙 외접원 반지름 연쇄 구조를 심화하여, \(\overline{\mathrm{AB}}=4,\; \overline{\mathrm{BC}}=6\)일 때 \(\overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{19}\) 및 \(R=\dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)을 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4\), \(\overline{\mathrm{BC}} = 6\), \(\angle B = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cos\dfrac{2\pi}{3}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 76\)이므로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
사인법칙 \(2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{4\sqrt{57}}{3}\)에서 \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) 도출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • 사인법칙 \(2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}\) 적용 +3점 / \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 둔각 \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)의 음수 부호에 유의하여 계산 실수를 방지합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) | [3-2] \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) 원문 추출] 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{q}{p}\)일 때 서로소인 두 자연수 \(p, q\)의 합 \(p+q\)를 구하는 문항 (정답: \(41\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 17084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 홀수 곱 부분분수 분해 \(\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\) 구조를 심화하여, 제12항까지의 합 \(S = 1-\dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)에서 \(p+q=49\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 일반항 \(\dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)을 부분분수로 분해하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \(S = \dfrac{q}{p}\) (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수)를 구하고, \(p + q\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
부분분수 분해 공식 \(\dfrac{B-A}{AB} = \dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\)에 의해 \(\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
망원급수로 전개하면 \(S = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{23} - \dfrac{1}{25}\right) = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 서로소인 두 자연수는 \(p = 25,\; q = 24\)이므로 \(p + q = 49\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 부분분수 변형 \(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) 도출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 소거 후 \(S = \dfrac{24}{25}\) 산출 +3.5점 / \(p + q = 49\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 첫 항 \(1\)과 마지막 남는 항 \(-\dfrac{1}{25}\)을 정확히 표시하여 소거 구조를 보여주는 것이 핵심입니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) | [4-2] \(S = \dfrac{24}{25},\; p + q = 49\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) 원문 추출] 등식 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{2x+7}-a}{x-1}=b\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)의 곱 \(ab\)를 구하는 문항 (정답: \(1\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17085 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(\dfrac{0}{0}\)꼴 무리함수 극한 미정계수 결정 구조를 심화하여, \(\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{3x+10}-a}{x-2}=b\)에서 \(a=4,\; b=\dfrac{3}{8}\) 및 \(ab=\dfrac{3}{2}\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x + 10} - a}{x - 2} = b\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(x \to 2\)일 때 분모의 극한이 \(0\)임을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[5-2] (6.5점) 분자를 유리화하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(ab\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하고 극한값 \(b\)가 존재하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(\sqrt{16} - a = 0 \implies a = 4\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
분자를 유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{3}{\sqrt{3x + 10} + 4} = \dfrac{3}{8} = b\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(ab = 4 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(a = 4\) 산출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 유리화 및 약분으로 \(b = \dfrac{3}{8}\) 도출 +3.5점 / \(ab = \dfrac{3}{2}\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 유리화 과정에서 \(3x + 10 - 16 = 3(x - 2)\)의 계수 \(3\)을 누락하지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(a = 4\) | [5-2] \(b = \dfrac{3}{8},\; ab = \dfrac{3}{2}\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) 원문 추출] 구간별로 정의된 함수 \(f(x)=\begin{cases} x^2+ax+b & (x<1) \\ 3x-1 & (x\ge 1) \end{cases}\)이 \(x=1\)에서 미분가능할 때 \(a^2+b^2\)을 구하는 문항 (정답: \(1\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 17086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 경계점 \(x=1\)에서의 연속 조건(\(1+a+b=3\))과 좌·우미분계수 일치 조건(\(2+a=4\))을 연립하여, \(a=2,\; b=0\) 및 \(a^2+b^2=4\)를 정확히 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 1) \\ 4x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) \(x = 1\)에서의 연속 조건을 이용하여 \(a\)와 \(b\) 사이의 관계식을 구하시오.
[6-2] (6.5점) \(x = 1\)에서의 미분가능 조건을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고 \(a^2 + b^2\)을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x = 1\)에서 미분가능하면 연속이므로 \(\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = f(1) \implies 1 + a + b = 3 \iff a + b = 2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 \(2(1) + a = 4\)에서 \(a = 2\)이고, \(b = 2 - a = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a^2 + b^2 = 2^2 + 0^2 = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • 연속 조건 \(1 + a + b = 3 \implies a + b = 2\) 수립 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 좌·우미분계수 일치로 \(a = 2, b = 0\) 도출 +3.5점 / \(a^2 + b^2 = 4\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 미분가능성 문제에서는 반드시 (1) 연속 조건, (2) 좌·우미분계수 일치 조건을 순서대로 기술합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(a + b = 2\) | [6-2] \(a = 2,\; b = 0,\; a^2 + b^2 = 4\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) 원문 추출] 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)=x^3-3x^2+k\)의 최솟값이 \(1\)일 때, 최댓값을 구하는 문항 (정답: \(5\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 닫힌구간 내 극대·극소점과 양 끝점 함숫값 비교 구조를 심화하여, \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+k\)의 구간 \([0, 3]\) 최솟값 \(f(0)=k=4\)로부터 최댓값 \(f(3)=13\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + k\)의 최솟값이 \(4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 \(f'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 모두 구하시오.
[7-2] (6.5점) 상수 \(k\)의 값과 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수 \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 극점은 \(x = 1, 2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
구간 \([0, 3]\)에서 극값과 양 끝점의 함숫값은 \(f(0)=k,\; f(1)=k+5,\; f(2)=k+4,\; f(3)=k+9\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
최솟값은 \(f(0) = k = 4\)이므로 최댓값은 \(f(3) = k + 9 = 4 + 9 = 13\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = 6(x-1)(x-2) = 0\)으로 \(x = 1, 2\) 산출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f(0)=k=4\) 결정 +3점 / 최댓값 \(f(3)=13\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 닫힌구간 최대·최소는 반드시 극값(\(x=1, 2\))과 구간의 양 끝점(\(x=0, 3\)) 네 값을 모두 비교해야 합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(x = 1,\; x = 2\) | [7-2] \(k = 4\), 최댓값 \(13\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2024학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2024학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) 원문 추출] 다항함수 \(g(x)=x^3+3x^2-2x+1\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(20\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 17088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 대칭구간 기함수·우함수 분리 정적분 구조를 심화하여, \(g(x)=3x^3+4x^2-5x+2\)에 대해 \(2\int_0^2 (4x^2+2)\,dx = \dfrac{88}{3}\)을 정확히 계산하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(g(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 대칭구간 \([-2, 2]\)에서 기함수 부분과 우함수 부분을 분리하여 \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)를 \(\int_{0}^{2}\) 꼴의 정적분으로 나타내시오.
[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수의 정적분은 \(0\)이고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^a\)와 같다.
2줄: 핵심계산 (40%)
기함수 \(3x^3 - 5x\)의 정적분은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^2 g(x)\,dx = 2\int_0^2 (4x^2 + 2)\,dx\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
계산하면 \(2\Bigl[\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\Bigr]_0^2 = 2\left(\dfrac{32}{3} + 4\right) = \dfrac{88}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 기함수 소거 및 \(2\int_0^2 (4x^2+2)\,dx\) 변형 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 부정적분 \(\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\) 대입 +3점 / 최종값 \(\dfrac{88}{3}\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 적분구간이 원점에 대하여 대칭일 때는 홀수차항을 먼저 소거하면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(2\int_{0}^{2} (4x^2 + 2)\,dx\) | [8-2] \(\dfrac{88}{3}\)
[2024학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) 원문 추출] 두 실수 \(x, y\)가 \(3^x=5^y=15\)를 만족시킬 때, \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(1\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 17091 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 지수 법칙 \(a=k^{\frac{1}{x}},\; b=k^{\frac{1}{y}}\) 변형 후 변변 곱하기 구조를 그대로 적용하여, \(3^x=7^y=21\)에서 \(21^{\frac{1}{x}}=3,\; 21^{\frac{1}{y}}=7\)을 통해 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\)을 증명·도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 실수 \(x, y\)가 \(3^x = 7^y = 21\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(21^{\frac{1}{x}}\)와 \(21^{\frac{1}{y}}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(3^x = 21 > 1,\; 7^y = 21 > 1\)이므로 \(x \ne 0,\; y \ne 0\)이고 양변에 각각 \(\dfrac{1}{x},\; \dfrac{1}{y}\)제곱을 취한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\)이므로 두 식을 변끼리 곱하면 \(21^{\frac{1}{x}} \cdot 21^{\frac{1}{y}} = 21^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 3 \times 7 = 21^1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 지수를 비교하면 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(21^{\frac{1}{x}} = 3\) 및 \(21^{\frac{1}{y}} = 7\) 도출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 변변 곱하여 \(21^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = 21\) 유도 +3.5점 / \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = 1\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그 변환 \(\dfrac{1}{x} = \log_{21} 3,\; \dfrac{1}{y} = \log_{21} 7\)로 풀어도 동일하게 만점을 받습니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\) | [1-2] \(1\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) 원문 추출] 방정식 \((\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 3 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha\beta\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(32\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 17092 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(t=\log_3 x\) 치환 이차방정식 \(t^2-4t+2=0\)에서 근과 계수의 관계 \(t_1+t_2=\log_3\alpha+\log_3\beta=\log_3(\alpha\beta)=4\)를 적용하여 \(\alpha\beta=3^4=81\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
로그방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 2 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 진수 조건 하에서 \(\log_3 x = t\)로 치환한 이차방정식을 구하고, \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
진수 조건 \(x > 0\)에서 \(\log_3 x^4 = 4\log_3 x\)이므로 \(\log_3 x = t\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
치환된 이차방정식의 두 실근이 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 로그의 정의에 의해 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(t^2 - 4t + 2 = 0\) 및 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) 도출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(\log_3(\alpha\beta) = 4\) 변환 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 치환 방정식 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)의 두 근의 곱 \(2\)를 \(\alpha\beta\)로 착각하지 않도록 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)임을 명확히 적습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(t^2 - 4t + 2 = 0,\; \log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) | [2-2] \(\alpha\beta = 81\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) 원문 추출] 외접원의 반지름의 길이가 \(4\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A + \sin B + \sin C = 2\)일 때, 삼각형의 둘레의 길이를 구하는 문항 (정답: \(16\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 탐구 17093 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 사인법칙 \(\sin A = \dfrac{a}{2R},\; \sin B = \dfrac{b}{2R},\; \sin C = \dfrac{c}{2R}\) 변형 구조를 심화하여, \(R=5\)이고 \(\sin A+\sin B+\sin C=\dfrac{12}{5}\)일 때 둘레의 길이 \(a+b+c=24\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(R = 5\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{12}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 \(\sin A,\; \sin B,\; \sin C\)를 세 변의 길이 \(a, b, c\)로 나타내시오.
[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이 \(a + b + c\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)에서 \(2R = 10\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
따라서 \(\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\)이고, 이를 주어진 식에 대입하면 \(\dfrac{a + b + c}{10} = \dfrac{12}{5}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
양변에 \(10\)을 곱하면 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이는 \(a + b + c = 24\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 사인법칙으로 \(\sin A = \dfrac{a}{10}\) 등 표현 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\dfrac{a+b+c}{10} = \dfrac{12}{5}\) 대입 +3점 / 둘레 \(24\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 분모는 반지름 \(R=5\)가 아니라 지름 \(2R=10\)임에 주의합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\) | [3-2] \(24\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) 원문 추출] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합이 \(S_n=n^2+2n\)일 때, \(a_1+a_5\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(14\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 17094 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 \(a_1=S_1\) 및 \(a_n=S_n-S_{n-1}\) (\(n\ge 2\)) 관계식을 심화 적용하여, \(S_n=2n^2+3n\)에서 \(a_n=4n+1\)을 도출하고 \(a_1+a_6=5+25=30\)을 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = 2n^2 + 3n\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 첫째항 \(a_1\)과 일반항 \(a_n\) (\(n \ge 1\))을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(a_1 + a_6\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_n = (2n^2 + 3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1\)이며, \(n = 1\)일 때도 \(a_1 = 5\)로 일치한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a_6 = 4(6) + 1 = 25\)이므로 \(a_1 + a_6 = 5 + 25 = 30\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_1 = 5\) 및 \(a_n = S_n - S_{n-1} = 4n + 1\) 도출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • \(a_6 = 25\) 계산 +3점 / \(a_1 + a_6 = 30\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 수열의 합 \(S_n\)으로부터 일반항을 구할 때는 \(a_1 = S_1\)과 \(n \ge 2\)일 때의 식이 \(n=1\)에서 일치하는지 확인합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_1 = 5,\; a_n = 4n + 1\) | [4-2] \(30\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) 원문 추출] 방정식 \(x^3+x-5=0\)이 열린구간 \((n, n+1)\)에서 실근을 갖도록 하는 자연수 \(n\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(1\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 17095 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 사잇값의 정리(\(f(n)f(n+1)<0\)) 적용 구조를 심화하여, \(f(x)=x^3-2x^2+x-9\)에 대해 \(f(1)=-7,\; f(2)=-3,\; f(3)=13\)을 조사하고 \(n=2\)를 판정하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차방정식 \(x^3 - 3x - 5 = 0\)의 양의 실근이 열린구간 \((n, n+1)\) (단, \(n\)은 자연수)에 속할 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(f(x) = x^3 - 3x - 5\)라 할 때 \(f(1),\; f(2),\; f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) 사잇값의 정리를 이용하여 양의 실근이 속하는 열린구간 \((n, n+1)\)의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
다항함수 \(f(x) = x^3 - 3x - 5\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
함숫값을 계산하면 \(f(1) = -7 < 0,\; f(2) = 8 - 6 - 5 = -3 < 0,\; f(3) = 27 - 9 - 5 = 13 > 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
닫힌구간 \([2, 3]\)에서 연속이고 \(f(2)f(3) < 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 열린구간 \((2, 3)\)에 실근이 존재하며, \(n = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) 산출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 연속성 및 \(f(2)f(3) < 0\) 근거 명시 +3.5점 / \(n = 2\) 결정 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 사잇값의 정리를 적용할 때는 (1) 닫힌구간에서 연속, (2) 양 끝점 함숫값의 부호 반대(\(f(2)f(3)<0\)) 두 조건을 모두 적어야 합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) | [5-2] \(n = 2\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) 원문 추출] 함수 \(f(x)=x^3+x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\)를 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 평균값 정리 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\) 구조를 심화하여, \(f(x)=x^3-3x+1\)의 닫힌구간 \([0, 3]\) 평균변화율 \(6\)과 \(f'(c)=3c^2-3=6\)으로부터 \(c=\sqrt{3}\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 < c < 3\))를 구하고자 한다.
[6-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족시키는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(0) = 1,\; f(3) = 19\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{19 - 1}{3} = 6\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \(c^2 = 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 < c < 3\)이므로 구하는 상수는 \(c = \sqrt{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f(0)=1,\; f(3)=19\) 및 평균변화율 \(6\) 산출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(3c^2 - 3 = 6 \implies c^2 = 3\) 도출 +3.5점 / \(0< c <3\)으로 \(c = \sqrt{3}\) 결정 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 방정식 \(c^2 = 3\)의 해 \(\pm\sqrt{3}\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 양수 \(\sqrt{3}\)만 선택해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] 평균변화율 \(6\) | [6-2] \(c = \sqrt{3}\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) 원문 추출] 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^4-4x+k \ge 0\)이 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하는 문항 (정답: \(3\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
변형 출제 이유
원본 기출의 사차함수 도함수 \(f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1)=0\)의 유일한 극소점 \(x=1\)이 절대최솟점이 되는 원리를 그대로 적용하여, \(f(1)=k-3 \ge 0\)으로부터 최솟값 \(k=3\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 전체의 집합에서 사차부등식 \(x^4 - 4x + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \(f(x) = x^4 - 4x + k\)라 할 때, \(f(x)\)가 최솟값을 갖는 \(x\)의 값과 그때의 최솟값을 \(k\)로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
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💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0\)에서 \(x^2 + x + 1 > 0\)이므로 유일한 극점은 \(x = 1\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 극소이자 최소이므로 실수 전체에서 최솟값은 \(f(1) = 1 - 4 + k = k - 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
모든 실수에서 \(f(x) \ge 0\)이려면 최솟값 \(k - 3 \ge 0 \implies k \ge 3\)이므로 \(k\)의 최솟값은 \(3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)\) 및 최솟값 \(f(1) = k - 3\) 도출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(k - 3 \ge 0\) 부등식 수립 +3점 / 최솟값 \(3\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 이차인수 \(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0\)임을 언급하여 \(x = 1\)이 유일한 극점임을 보이면 완벽합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(x = 1\), 최솟값 \(k - 3\) | [7-2] \(3\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2023학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2023학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) 원문 추출] 두 곡선 \(y=x^2-2x\)와 \(y=-x^2+2x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{8}{3}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 17098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 두 이차곡선 교점 연립방정식 및 넓이 공식 \(\dfrac{|a-a'|}{6}(\beta-\alpha)^3\)을 심화 적용하여, \(y=x^2-4x+3\)과 \(y=-x^2+2x+3\)의 교점 \(x=0, 3\) 및 넓이 \(S=9\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 이차곡선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(y = -x^2 + 4x\)로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하시오.
[8-2] (6.5점) 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
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✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
교점 방정식 \(x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0\)에서 교점의 \(x\)좌표는 \(0, 3\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
닫힌구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\)이므로 넓이는 \(S = \int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
정적분을 계산하면 \(S = \dfrac{2}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{1}{3} \times 27 = 9\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 교점 방정식 \(2x(x-3)=0\) 및 \(x = 0, 3\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(\int_0^3 (-2x^2+6x)\,dx\) 수립 +3점 / 넓이 \(9\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 두 이차곡선의 최고차항 계수의 차가 \(|1 - (-1)| = 2\)이므로 공식 적용 시 분자에 \(2\)를 곱해야 합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(x = 0,\; x = 3\) | [8-2] \(S = 9\)
[2023학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) 원문 추출] \(2^x+2^{-x}=4\)일 때 \(4^x+4^{-x}\) 및 \(8^x+8^{-x}\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(14,\; 52\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 170101 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 역수 지수 대칭식 \(A^2-2\) 및 \(A^3-3A\) 곱셈공식 변형 구조를 심화하여, \(3^x+3^{-x}=5\)일 때 \(9^x+9^{-x}=23\)과 \(27^x+27^{-x}=110\)을 연쇄 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 역수 지수 대칭식의 곱셈공식 변형)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 \(x\)가 \(3^x + 3^{-x} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식의 변형을 이용하여 \(9^x + 9^{-x}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(27^x + 27^{-x}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(a = 3^x,\; b = 3^{-x}\)라 하면 \(ab = 1\)이고 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(9^x + 9^{-x} = 5^2 - 2 = 23\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(27^x + 27^{-x} = 5^3 - 3(1)(5) = 125 - 15 = 110\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(9^x + 9^{-x} = (3^x + 3^{-x})^2 - 2 = 23\) 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 세제곱 변형 공식 적용 +3.5점 / \(27^x + 27^{-x} = 110\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1\)임을 명시하여 대칭식 공식을 깔끔하게 전개합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(23\) | [1-2] \(110\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) 원문 추출] 반지름의 길이가 \(4\)이고 넓이가 \(10\pi\)인 부채꼴의 호의 길이와 둘레의 길이를 구하는 문항 (정답: \(5\pi,\; 5\pi+8\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 170102 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
변형 출제 이유
원본 기출의 부채꼴 넓이 공식 \(S=\dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 \(l=r\theta\), 둘레의 길이 \(l+2r\) 공식을 결합하여, \(r=6,\; S=15\pi\)일 때 \(\theta=\dfrac{5\pi}{6},\; l=5\pi\) 및 둘레 \(5\pi+12\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 15\pi\)인 부채꼴에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 둘레의 길이를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \theta = 18\theta = 15\pi\)이므로 중심각의 크기는 \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{5\pi}{6} = 5\pi\)이고, 부채꼴의 둘레의 길이는 \(l + 2r = 5\pi + 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(\dfrac{1}{2}r^2\theta = 15\pi\)로부터 \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) 산출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 호의 길이 \(l = 5\pi\) 도출 +3.5점 / 둘레 \(5\pi + 12\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레의 길이는 호의 길이 \(l\)에 두 반지름 \(2r\)을 더한 값임을 놓치지 않습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) | [2-2] \(l = 5\pi\), 둘레 \(5\pi + 12\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) 원문 추출] 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2+a_4=12,\; a_5+a_7=24\)일 때 공차 \(d\)와 첫째항 \(a_1\)을 구하는 문항 (정답: \(d=2,\; a_1=2\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 170103 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 등차중항 성질 \(a_{m-1}+a_{m+1}=2a_m\)을 심화 적용하여, \(a_4+a_6=20 \implies a_5=10\)과 \(a_8+a_{10}=36 \implies a_9=18\)로부터 \(d=2,\; a_1=2\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등차중항과 연립방정식을 이용한 등차수열의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 + a_8 = 20\), \(a_5 + a_9 = 28\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 등차중항의 성질을 이용하여 제\(5\)항 \(a_5\)와 제\(9\)항 \(a_9\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 첫째항 \(a_1\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
등차중항의 성질에 의해 \(a_2 + a_8 = 2a_5 = 20\)이므로 \(a_5 = 10\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_5 + a_9 = 10 + a_9 = 28\)에서 \(a_9 = 18\)이고, \(a_9 - a_5 = 4d = 8\)이므로 공차는 \(d = 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 첫째항은 \(a_1 = a_5 - 4d = 10 - 8 = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • \(2a_5 = 20 \implies a_5 = 10\) 및 \(a_9 = 18\) 산출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(4d = 8 \implies d = 2\) 도출 +3.5점 / \(a_1 = 2\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(a_1, d\)로 처음부터 연립하기보다 등차중항 \(a_2 + a_8 = 2a_5\)를 먼저 적용하면 암산 수준으로 풀립니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(a_5 = 10,\; a_9 = 18\) | [3-2] \(d = 2,\; a_1 = 2\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) 원문 추출] 합 \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{5}(k^2-2k+1)\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(30\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 170104 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 시그마 선형성 분리 및 자연수 거듭제곱의 합 공식(\(\sum k^2,\; \sum k\))을 심화 적용하여, \(\sum_{k=1}^6(k-1)(k-2) = 91 - 3(21) + 2(6) = 40\)을 정확히 산출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 시그마의 선형성과 자연수 거듭제곱의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(\sum_{k=1}^{6} k^2\)와 \(\sum_{k=1}^{6} k\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \(S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
거듭제곱의 합 공식 \(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)과 \(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\sum_{k=1}^6 k^2 = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 91\)이고, \(\sum_{k=1}^6 k = \dfrac{6 \cdot 7}{2} = 21\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(S = 91 - 3(21) + 2(6) = 91 - 63 + 12 = 40\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(\sum_{k=1}^6 k^2 = 91\) 및 \(\sum_{k=1}^6 k = 21\) 산출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 상수항 합 \(\sum_{k=1}^6 2 = 12\) 반영 +3점 / 최종합 \(40\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 상수항 \(\sum_{k=1}^6 2\)를 \(2\)가 아닌 \(2 \times 6 = 12\)로 계산하는 것에 유의합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(\sum_{k=1}^{6} k^2 = 91,\; \sum_{k=1}^{6} k = 21\) | [4-2] \(S = 40\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) 원문 추출] 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(1)=2,\; f'(1)=3\)일 때, \(g(x)=(x^2+x)f(x)\)의 \(g'(1)\)을 구하는 문항 (정답: \(12\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 170105 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
변형 출제 이유
원본 기출의 곱의 미분법 \(g'(x)=u'(x)f(x)+u(x)f'(x)\) 구조를 그대로 적용하여, \(g(x)=(x^2+2x)f(x)\)에서 \(f(1)=4,\; f'(1)=-3\)을 대입해 \(g'(1)=7\)을 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 곱의 미분법을 이용한 미분계수의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 4\), \(f'(1) = -3\)을 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 + 2x)f(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 도함수 \(g'(x)\)를 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)를 포함한 식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 미분계수 \(g'(1)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
곱의 미분법 \(\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\)이고, 여기에 \(x = 1\)을 대입하면 \(g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f(1) = 4,\; f'(1) = -3\)을 대입하면 \(g'(1) = 4(4) + 3(-3) = 16 - 9 = 7\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 곱의 미분법 도함수 \(g'(x)\) 정확히 기술 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\) 표현 +3점 / \(g'(1) = 7\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 곱의 미분법 공식을 1줄에 먼저 쓴 뒤 \(x=1\)을 대입하면 부분점수 누수를 막을 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\) | [5-2] \(g'(1) = 7\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) 원문 추출] 곡선 \(y=x^3-3x\)에 접하고 기울기가 \(9\)인 두 접선의 \(y\)절편의 곱을 구하는 문항 (정답: \(-256\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 170106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 도함수 \(f'(t)=m\)으로부터 두 접점을 구하고 두 접선의 \(y\)절편의 곱을 구하는 구조를 심화하여, \(y=x^3-5x+2\)에 접하고 기울기가 \(7\)인 두 접선(\(y=7x-14,\; y=7x+18\))의 \(y\)절편 곱 \(-252\)를 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 기울기가 주어진 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 곱)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
곡선 \(y = x^3 - 5x + 2\)에 접하고 기울기가 \(7\)인 두 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 두 접점의 좌표를 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 두 접선의 방정식을 각각 구하고, 두 접선의 \(y\)절편의 곱을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
접점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 하면 \(y' = 3t^2 - 5 = 7\)에서 \(t^2 = 4 \implies t = 2\) 또는 \(t = -2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(t = 2\)일 때 접점 \((2, 0)\)에서의 접선은 \(y = 7x - 14\)이고, \(t = -2\)일 때 접점 \((-2, 4)\)에서의 접선은 \(y = 7(x + 2) + 4 = 7x + 18\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 두 접선의 \(y\)절편은 \(-14\)와 \(18\)이므로 그 곱은 \((-14) \times 18 = -252\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(3t^2 - 5 = 7\)로부터 두 접점 \((2, 0),\; (-2, 4)\) 도출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 두 접선의 방정식 도출 +3.5점 / \(y\)절편의 곱 \(-252\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 주어진 접선 문제는 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 설정하는 것이 첫 단계입니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \((2, 0),\; (-2, 4)\) | [6-2] \(y = 7x - 14,\; y = 7x + 18\), 곱 \(-252\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) 원문 추출] 다항함수 \(f(x)=3x^2-2x+4\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{1}{h}\int_{1}^{1+h} f(t)\,dt\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(5\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 170107 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
변형 출제 이유
원본 기출의 정적분과 미분계수의 관계 \(\lim_{h\to 0}\dfrac{F(1+h)-F(1-h)}{h}=2F'(1)=2f(1)\) 구조를 심화 적용하여, \(f(x)=4x^3-2x+5\)에서 \(f(1)=7\) 및 극한값 \(14\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분과 미분계수의 관계로 정의된 극한값의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 2x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \(F'(x) = f(x)\)인 한 부정적분을 \(F(x)\)라 할 때, 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1}^{1+2h} f(t)\,dt\)를 \(f(1)\)에 대한 식으로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 극한값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(F'(x) = f(x)\)인 부정적분 \(F(x)\)를 도입하면 \(\int_1^{1+2h} f(t)\,dt = F(1 + 2h) - F(1)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
미분계수의 정의에 의해 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{h} = 2\lim_{h \to 0}\dfrac{F(1+2h)-F(1)}{2h} = 2F'(1) = 2f(1)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f(1) = 4(1)^3 - 2(1) + 5 = 7\)이므로 구하는 극한값은 \(2f(1) = 14\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • 부정적분 \(F(x)\) 도입 및 \(2f(1)\) 유도 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f(1) = 7\) 계산 +3점 / 극한값 \(14\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 적분 위끝이 \(1 + 2h\)이므로 분모 \(2h\)를 맞춰 \(2F'(1) = 2f(1)\)이 됨을 명확히 서술합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(2f(1)\) | [7-2] \(14\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
🔍 [원본 기출문제 분석 및 변형문제 출제 이유 — 유사문제 실전 연습 효과]
기출 연계: 2022학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동)
원본 기출문제
[2022학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) 원문 추출] 포물선 \(y=3x-x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 직선 \(y=mx\)가 이등분할 때, \((3-m)^3\)의 값을 구하는 문항 (정답: \(\dfrac{27}{2}\))
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 170108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
변형 출제 이유
원본 기출의 포물선 넓이 이등분 공식을 심화 확인하여, \(y=4x-x^2\)과 \(x\)축의 넓이 \(S_1=\dfrac{32}{3}\) 및 직선 \(y=mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2=\dfrac{1}{6}(4-m)^3=\dfrac{16}{3}\)으로부터 \((4-m)^3=32\)를 도출하도록 점검함. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
이차곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\) (\(0 < m < 4\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \((4 - m)^3\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S_1 = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
곡선과 직선 \(y = mx\)의 교점은 \(x = 0,\; 4 - m\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)에서 \(\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}\)이므로 \((4 - m)^3 = 32\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 전체 넓이 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\) 표현 +3.5점 / \((4 - m)^3 = 32\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 활용하면 삼차방정식을 직접 전개하지 않고 즉시 구할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3,\; (4 - m)^3 = 32\)
[2022학년도 국민대 자연A형 기출 1:1 심화 연동]
PART 2 : TEXTBOOK-BASED 10 MOCK EXAMS (5 SIMILAR + 5 ADVANCED)
Part 2. 교과서 기반
본 Part 2의 모든 실전대비 모의고사는 2022 개정 교육과정 수학 교과서(대수·미적분Ⅰ)를 기반으로 한 실전 시험지(총 10회·80문항)입니다.
📌 [Part 2 모의고사 출제 및 난이도 배치 원칙] 교과서 기반 기출유형 5 + 5 구성
• 출제 원천 원칙: 전 문항을 2022 개정 고2 수학 교과서 데이터베이스(단원별 예제·탐구·중단원 학습평가)에서 추출하여 국민대 자연 A형 표준 배점(문항당 12.5점 [6점+6.5점] × 8문항 = 100점, 80분)과 1:1로 결합 하였습니다.
🟢 제1회 ~ 제5회 : [기출 유사 난이도 5회]
• 실제 국민대 본고사 및 EBS 수능특강·수능완성 핵심 예제와 동일한 체감 난이도로 설계 (p.85 ~ p.94)
🔴 제6회 ~ 제10회 : [기출 심화 난이도 5회]
• 기출 핵심 유형에 교과서 대단원 심화·복합 조건을 결합한 변별력 강화 회차 (p.95 ~ p.104)
PART 2-2 : 10 MOCK EXAMS COMPLETE SOLUTION BOOKLET (80 ITEMS)
Part 2-2. 교과서 기반 10회 모의고사
본 [모의고사 1~10회 해설집 합본] 은 앞서 수록된 Part 2-1 교과서 기반 10회 실전 모의고사(제1회~제10회, 총 80문항) 와전 문항 1문항 1페이지 심층 정답 및 3줄·2열 부분점수 채점기준 해설집(총 80쪽) 입니다.
📌 [Part 2-2 모의고사 1~10회 해설집 합본 구성 및 자가채점 활용 가이드]
1. 실전 모의고사 1~10회(80문항) 1:1 완전 합본: 본 해설집 합본(p.106~p.185, 80쪽) 에서 문항별 출제 원천(2022 개정 교과서 DB)과 3줄 모범답안을 바로 대조할 수 있습니다.
🟢 제1회 ~ 제5회 해설집 합본 (p.106 ~ p.145)
• [기출 유사 난이도 5회분 (40문항)] 전 문항 상세 해설
🔴 제6회 ~ 제10회 해설집 합본 (p.146 ~ p.185)
• [기출 심화 난이도 5회분 (40문항)] 전 문항 상세 해설
2. 국민대 채점관 기준 3줄 모범답안 & 2열 루브릭 (문항당 12.5점 만점): [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 및 [소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점] 채점기준을 동일하게 적용하여, 자가 채점 후 Part 3 모바일 합격진단 QR 시스템(p.186~p.187) 에 정확한 점수를 입력할 수 있습니다.
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동) ➔ 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 17011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
출제·채점 핵심
짝수차 근호 \(\sqrt[4]{256}\)은 양의 네제곱근 \(4\)만을 의미하므로 \(\pm 4\)로 쓰지 않도록 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 실수 \(p = \sqrt[3]{-125} + \sqrt[4]{256}\)과 \(q = 27^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{2}}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 거듭제곱근의 정의와 유리수 지수법칙을 이용하여 \(p\)와 \(q\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(p^2 + 4q\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
홀수차 거듭제곱근 \(\sqrt[3]{-5^3} = -5\)와 양의 네제곱근 \(\sqrt[4]{4^4} = 4\), 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(p = -5 + 4 = -1\)이고, \(q = (3^3)^{\frac{2}{3}} \times (4^2)^{-\frac{1}{2}} = 3^2 \times 4^{-1} = \dfrac{9}{4}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(p^2 + 4q = (-1)^2 + 4 \times \dfrac{9}{4} = 1 + 9 = 10\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(\sqrt[3]{-125}=-5,\; \sqrt[4]{256}=4\)로 \(p=-1\) 산출 +3점 / 지수법칙으로 \(q=\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(p^2=1,\; 4q=9\) 대입 +3점 / 최종값 \(10\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 짝수차 근호 \(\sqrt[4]{256}\)은 양의 네제곱근 \(4\)만을 의미하므로 \(\pm 4\)로 쓰지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(p = -1,\; q = \dfrac{9}{4}\) | [1-2] \(10\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동) ➔ 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계) (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 17012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
출제·채점 핵심
국민대 자연A형 수학 29번 빈출 유형으로, \(\log_2 x = t\) 치환 시 정의역 \([1, 16]\)을 반드시 \([0, 4]\)로 변환해 명시해야 감점이 없습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계))
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
닫힌구간 \([1, 16]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2k\log_2 x + 5\) (단, \(k\)는 \(1 \le k \le 3\)인 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(t = \log_2 x\)로 치환할 때 실수 \(t\)의 값의 범위 \(\alpha \le t \le \beta\)를 구하고, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차식 \(g(t)\)로 나타내시오.
[2-2] (6.5점) 닫힌구간 \([1, 16]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-4\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 최댓값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
밑이 \(2 > 1\)인 로그함수는 증가함수이므로 \(1 \le x \le 16 \implies \log_2 1 \le t \le \log_2 16 \iff 0 \le t \le 4\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(g(t) = t^2 - 2kt + 5 = (t - k)^2 + 5 - k^2\)이고, 꼭짓점의 좌표 \(t = k\)가 구간 \([0, 4]\)에 속하므로 최솟값은 \(g(k) = 5 - k^2 = -4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(k^2 = 9\)에서 \(1 \le k \le 3\)이므로 \(k = 3\)이고, 대칭축 \(t = 3\)에서 가장 먼 경계 \(t = 0\)에서 최댓값 \(g(0) = 5\)를 갖는다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 치환 범위 \(0 \le t \le 4\) 명시 +3점 / \(g(t) = t^2 - 2kt + 5\) 작성 +3점 소문항 [2-2] (6.5점) • 최솟값 \(5 - k^2 = -4\)로 \(k = 3\) 도출 +3.5점 / 최댓값 \(g(0) = 5\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 국민대 자연A형 수학 29번 빈출 유형으로, \(\log_2 x = t\) 치환 시 정의역 \([1, 16]\)을 반드시 \([0, 4]\)로 변환해 명시해야 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(0 \le t \le 4,\; g(t) = t^2 - 2kt + 5\) | [2-2] \(k = 3\), 최댓값 \(5\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동) ➔ 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 탐구 17013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
출제·채점 핵심
둔각 \(\dfrac{2\pi}{3}\)에서 코사인 값은 음수(\(-\dfrac{1}{2}\))이므로 부호 실수에 유의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 부채꼴의 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)와 호의 길이 \(l\)을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) [3-1]에서 구한 중심각 \(\theta\)에 대하여 \(12\sin\theta + 6\cos\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{1}{2} \times 6^2 \times \theta = 18\theta = 12\pi \implies \theta = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(12\sin\theta + 6\cos\theta = 6\sqrt{3} - 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 넓이 공식으로 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 산출 +3점 / 호의 길이 \(l = 4\pi\) 도출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • 제2사분면 삼각비 값 대입 +3점 / 최종값 \(6\sqrt{3} - 3\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 둔각 \(\dfrac{2\pi}{3}\)에서 코사인 값은 음수(\(-\dfrac{1}{2}\))이므로 부호 실수에 유의합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; l = 4\pi\) | [3-2] \(6\sqrt{3} - 3\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동) ➔ 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 탐구 17014 변형 | 성취기준: 12대수03-06]
출제·채점 핵심
분자·분모가 두 칸 간격으로 소거될 때 앞의 두 인수와 뒤의 두 인수가 남는다는 점을 정확히 확인합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 관계식 \((n + 1)a_{n+1} = (n + 3)a_n\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 주어진 귀납적 정의로부터 \(a_2,\; a_3\)의 값을 구하고, 자연수 \(n\)에 대한 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
점화식을 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 3}{n + 1}\)로 변형하여 \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입해 곱한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_2 = \dfrac{4}{2} \cdot 3 = 6,\; a_3 = \dfrac{5}{3} \cdot 6 = 10\)이고, \(a_n = a_1 \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdots \dfrac{n+2}{n} = 3 \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\dfrac{6}{a_k} = \dfrac{12}{(k+1)(k+2)} = 12\left(\dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k} = 12\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{12}\right) = 12 \times \dfrac{5}{12} = 5\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_2 = 6,\; a_3 = 10\) 계산 +2점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) 유도 +4점 소문항 [4-2] (6.5점) • 부분분수 분해식 \(12\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)\) 제시 +3.5점 / 망원급수 소거 합 \(5\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분자·분모가 두 칸 간격으로 소거될 때 앞의 두 인수와 뒤의 두 인수가 남는다는 점을 정확히 확인합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_2 = 6,\; a_3 = 10,\; a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) | [4-2] \(5\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동) ➔ 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 탐구 17015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
출제·채점 핵심
로피탈의 정리를 사용하지 않고 반드시 분자의 극한이 \(0\)임을 보인 뒤 켤레식을 곱해 인수 \((x-2)\)를 약분해야 만점을 받습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{2x + a} - b}{x - 2} = \dfrac{1}{3}\)이 성립하도록 하는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 극한의 성질을 이용하여 \(b\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 분자를 유리화하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) [5-1]에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴하여 \(\sqrt{4 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{4 + a} > 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)\left(\sqrt{2x + a} + b\right)} = \dfrac{2}{2b} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(b = 3\)이고 \(4 + a = 9 \implies a = 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(a = 5,\; b = 3\)을 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x(8x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \dfrac{8}{1 + 1} = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(b = \sqrt{4+a}\) 도출 +2.5점 / 유리화로 \(a=5,\; b=3\) 산출 +3.5점 소문항 [5-2] (6.5점) • 무한대 무리식 켤레 유리화 +3.5점 / 극한값 \(4\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로피탈의 정리를 사용하지 않고 반드시 분자의 극한이 \(0\)임을 보인 뒤 켤레식을 곱해 인수 \((x-2)\)를 약분해야 만점을 받습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(a = 5,\; b = 3\) | [5-2] \(4\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동) ➔ 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 17016 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]
출제·채점 핵심
접선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구할 때는 \(y\)절편의 절댓값 \(|-6| = 6\)을 높이에 대입해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = (x^2 + ax + 1)(3x - 2)\)의 그래프 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 기울기가 \(8\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 \(f'(x)\)를 구하고, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
점 \((1, 2)\)가 곡선 위의 점이므로 \(f(1) = (2 + a) \cdot 1 = 2 \implies a = 0\)이고, 곱의 미분법 \(f'(x) = (2x + a)(3x - 2) + 3(x^2 + ax + 1)\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a = 0\)을 대입하면 \(f'(x) = 2x(3x - 2) + 3(x^2 + 1) = 9x^2 - 4x + 3\)이므로 \(f'(1) = 9 - 4 + 3 = 8\)이 성립하고, 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - 2 = 8(x - 1)\), 즉 \(y = 8x - 6\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
접선 \(y = 8x - 6\)의 \(x\)절편은 \(\dfrac{3}{4}\), \(y\)절편은 \(-6\)이므로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{9}{4}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • 곱의 미분법 도함수 전개 +3점 / 상수 \(a = 0\) 결정 +3점 소문항 [6-2] (6.5점) • 접선의 방정식 \(y = 8x - 6\) 도출 +3.5점 / 절편으로 삼각형 넓이 \(\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 접선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구할 때는 \(y\)절편의 절댓값 \(|-6| = 6\)을 높이에 대입해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(a = 0\) | [6-2] \(\dfrac{9}{4}\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동) ➔ 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17017 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]
출제·채점 핵심
\(3c(c - 2) = 0\)의 두 근 \(c = 0, 2\) 중 끝점 \(c = 0\)은 열린구간 \((0, 3)\)에 속하지 않으므로 반드시 제외해야 감점을 피합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 < c < 3\))를 구하고자 한다.
[7-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 평균값 정리를 만족시키는 열린구간 \((0, 3)\) 내의 모든 상수 \(c\)의 값과 그 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족하는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(0) = 4,\; f(3) = 27 - 27 + 6 + 4 = 10\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{10 - 4}{3} = 2\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(3c(c - 2) = 0\)에서 \(0 < c < 3\)을 만족하는 상수는 \(c = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f(0)=4,\; f(3)=10\) 및 평균변화율 \(2\) 산출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\) 방정식 수립 +3.5점 / 열린구간 조건 \(0 < c < 3\)으로 \(c = 2\) 결정 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(3c(c - 2) = 0\)의 두 근 \(c = 0, 2\) 중 끝점 \(c = 0\)은 열린구간 \((0, 3)\)에 속하지 않으므로 반드시 제외해야 감점을 피합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] 평균변화율 \(2\) | [7-2] \(c = 2\), 합 \(2\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제1회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동) ➔ 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 탐구 17018 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]
출제·채점 핵심
적분구간이 상수인 정적분은 변수 \(x\)가 아니라 상수 \(A\)로 치환해야 한다는 점을 1줄에 명확히 선언합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 상수 \(A = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하여 \(A\)의 값을 구하고 함수 \(f(x)\)를 결정하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 4x - 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = A\) (상수)로 두면 \(f(x) = 3x^2 - 2x + A\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(A = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + A)\,dt = \Bigl[t^3 - t^2 + At\Bigr]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2A = 4 + 2A \implies A = -4\)이므로 \(f(x) = 3x^2 - 2x - 4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f(x) = 4x - 4 \iff 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0, 2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{0}^{2} |3x^2 - 6x|\,dx = \dfrac{3}{6}(2 - 0)^3 = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • \(A = \int_0^2 f(t)\,dt\) 치환 및 \(A = 4 + 2A\) 수립 +3점 / \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) 도출 +3점 소문항 [8-2] (6.5점) • 교점 \(x = 0, 2\) 산출 +3점 / 정적분 넓이 \(4\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 적분구간이 상수인 정적분은 변수 \(x\)가 아니라 상수 \(A\)로 치환해야 한다는 점을 1줄에 명확히 선언합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) | [8-2] \(4\)
[Part 2 모의고사 제1회 (기출 유사 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동) ➔ 유리수 지수의 곱셈공식과 역수 대칭식의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17021 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
출제·채점 핵심
제곱할 때 상수항 \(2 x^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} = 2\)를 빼는 과정을 누락하지 않도록 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 유리수 지수의 곱셈공식과 역수 대칭식의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식을 이용하여 \(x + x^{-1}\)과 \(x^2 + x^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
곱셈공식 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)와 \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)에서 \(a = x^{\frac{1}{2}},\; b = x^{-\frac{1}{2}}\) (\(ab = 1\))을 대입한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x + x^{-1} = 4^2 - 2 = 14\)이고, \(x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^3 - 3\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right) = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(x + x^{-1} = 14\) 산출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 194\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • 세제곱 합 공식 적용 +3.5점 / 최종값 \(52\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 제곱할 때 상수항 \(2 x^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} = 2\)를 빼는 과정을 누락하지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(x + x^{-1} = 14,\; x^2 + x^{-2} = 194\) | [1-2] \(52\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동) ➔ 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 개수 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 17022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
출제·채점 핵심
로그부등식에서 진수 조건 \(1 < x < 7\)을 빠뜨리면 해집합이 무한 구간이 되어 큰 감점을 당합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 개수)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \le 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 로그의 진수 조건으로부터 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 주어진 로그부등식의 해집합을 구하고, 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
진수 조건 \(x - 1 > 0\)이고 \(7 - x > 0\)이므로 \(1 < x < 7\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \le \log_2 8\)에서 밑 \(2 > 1\)이므로 \((x - 1)(7 - x) \le 8 \iff x^2 - 8x + 15 \ge 0 \iff (x - 3)(x - 5) \ge 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
진수 조건과 공통범위를 구하면 \(1 < x \le 3\) 또는 \(5 \le x < 7\)이고, 정수 \(x = 2, 3, 5, 6\)의 합은 \(2 + 3 + 5 + 6 = 16\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 두 진수 양수 조건으로부터 \(1 < x < 7\) 도출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \((x-3)(x-5) \ge 0\)과 진수 조건 교집합 산출 +3.5점 / 정수 \(2, 3, 5, 6\)의 합 \(16\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그부등식에서 진수 조건 \(1 < x < 7\)을 빠뜨리면 해집합이 무한 구간이 되어 큰 감점을 당합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(1 < x < 7\) | [2-2] \(1 < x \le 3\) 또는 \(5 \le x < 7\), 정수 합 \(16\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동) ➔ 삼각함수 사이의 제곱 관계와 탄젠트 대칭식의 값 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 17023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
출제·채점 핵심
\(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)를 통분하면 분자가 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 되어 곧바로 \(\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)로 계산됩니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수 사이의 제곱 관계와 탄젠트 대칭식의 값)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)와 \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
양변을 제곱하면 \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{7}{4}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이고, \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)인데 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)와 연립하거나 \(2\sin\theta = \dfrac{\sqrt{7} \pm 1}{2} \le 2\)를 확인한다. 특히 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = -\dfrac{8}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 제곱 관계로 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) 산출 +3점 / \(\sin\theta + \cos\theta\) 절댓값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\tan\theta + \cot\theta = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) 변환 +3.5점 / 최종값 \(-\dfrac{8}{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)를 통분하면 분자가 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 되어 곧바로 \(\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)로 계산됩니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8},\; \sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\) | [3-2] \(-\dfrac{8}{3}\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동) ➔ 등차·등비 혼합 귀납적 정의와 수열의 합 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 17024 변형 | 성취기준: 12대수03-06]
출제·채점 핵심
\(\sum_{k=1}^{8} 1 = 8\)인데 이를 \(1\)로 잘못 더하지 않도록 항의 개수를 정확히 곱해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등차·등비 혼합 귀납적 정의와 수열의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 3a_n - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 수열 \(\{a_n - 1\}\)이 등비수열임을 보이고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 첫째항부터 제\(8\)항까지의 합 \(\sum_{k=1}^{8} a_k\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
주어진 관계식의 양변에서 \(1\)을 빼면 \(a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
따라서 수열 \(\{a_n - 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 1 = 1\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이므로 \(a_n - 1 = 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1} + 1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sum_{k=1}^{8} a_k = \sum_{k=1}^{8} (3^{k-1} + 1) = \dfrac{3^8 - 1}{3 - 1} + 8 = \dfrac{6561 - 1}{2} + 8 = 3280 + 8 = 3288\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_{n+1}-1 = 3(a_n-1)\) 변형 및 공비 \(3\) 제시 +3점 / 일반항 \(a_n = 3^{n-1}+1\) 도출 +3점 소문항 [4-2] (6.5점) • 등비수열 합 공식과 상수항 \(8\) 분리 계산 +3.5점 / 최종값 \(3288\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(\sum_{k=1}^{8} 1 = 8\)인데 이를 \(1\)로 잘못 더하지 않도록 항의 개수를 정확히 곱해야 합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] 공비 \(3\), \(a_n = 3^{n-1} + 1\) | [4-2] \(3288\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동) ➔ 무한대 극한과 0/0꼴 극한을 동시에 만족하는 다항함수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 17025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
출제·채점 핵심
\(x \to \infty\) 극한은 최고차항과 차수를 알려주고, \(x \to 1\) 극한은 \(f(1)=0\)과 \(f'(1)=4\) 두 가지 조건을 동시에 줍니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무한대 극한과 0/0꼴 극한을 동시에 만족하는 다항함수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 두 극한 조건 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = 2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)를 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 첫 번째 극한 조건을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항·이차항의 계수를 결정하시오.
[5-2] (6.5점) 두 번째 극한 조건을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 완전히 결정하고 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to \infty\) 극한에서 분모가 이차식이므로 \(f(x) - x^3\)은 최고차항의 계수가 \(2\)인 이차식이어야 한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\)로 놓으면 \(x \to 1\)에서 \(f(1) = 3 + a + b = 0 \implies b = -a - 3\)이고, 인수분해하면 \(f(x) = (x - 1)(x^2 + 3x + a + 3)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4 + a + 3 = 4 \implies a = -3,\; b = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x\)이고, \(f(3) = 27 + 18 - 9 = 36\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\) 형태 도출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(f(1)=0,\; f'(1)=4\)로 \(a=-3,\; b=0\) 산출 +3.5점 / \(f(3)=36\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(x \to \infty\) 극한은 최고차항과 차수를 알려주고, \(x \to 1\) 극한은 \(f(1)=0\)과 \(f'(1)=4\) 두 가지 조건을 동시에 줍니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\) | [5-2] \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x,\; f(3) = 36\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동) ➔ 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차와 미정계수 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17026 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
출제·채점 핵심
극대·극소를 판정할 때는 도함수 \(f'(x)\)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌는지, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌는지 명시해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차와 미정계수)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4\) (단, \(a > 0\))의 극댓값과 극솟값의 차가 \(32\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x) = 0\)의 두 실근을 \(a\)로 나타내고, 함수 \(f(x)\)가 극대·극소가 되는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (6.5점) 양수 \(a\)의 값과 함수 \(f(x)\)의 극솟값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) = 0\)이고 \(a > 0\)이므로 \(x = 0\)과 \(x = 2a\)에서 부호가 바뀐다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 4\)를 갖고, \(x = 2a\)에서 극솟값 \(f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4 = 4 - 4a^3\)을 갖는다.
3줄: 최종결론 (30%)
극댓값과 극솟값의 차가 \(f(0) - f(2a) = 4a^3 = 32 \implies a^3 = 8 \implies a = 2\)이고, 극솟값은 \(4 - 32 = -28\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x(x-2a) = 0\) 인수분해 +3점 / \(x=0\) 극대, \(x=2a\) 극소 판정 +3점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(4a^3 = 32\)로부터 \(a = 2\) 산출 +3.5점 / 극솟값 \(-28\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 극대·극소를 판정할 때는 도함수 \(f'(x)\)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌는지, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌는지 명시해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2a\)에서 극소 | [6-2] \(a = 2\), 극솟값 \(-28\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동) ➔ 롤의 정리의 성립 조건과 도함수의 영점 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17027 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]
출제·채점 핵심
\(\dfrac{3 - \sqrt{57}}{6} < \dfrac{3 - 7}{6} < -\dfrac{2}{3}\)에서 \(\sqrt{57} > 7.5\)이므로 음의 근은 \(-0.75\) 근처여서 구간 \((-1, 3)\) 포함 여부를 부등식으로 정확히 판별합니다: \(9 > \sqrt{57} > 7 \implies -1 < \dfrac{3-\sqrt{57}}{6} < 3\)이므로 두 근 모두 구간 안에 속합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 롤의 정리의 성립 조건과 도함수의 영점)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = x^3 - kx^2 - 4x + 5\)가 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 롤의 정리가 적용될 수 있을 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)의 양 끝점에서의 함숫값 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 이용하여 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 롤의 정리를 만족시키는 열린구간 \((-1, 3)\) 내의 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
다항함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로 롤의 정리의 전제 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(-1) = -1 - k + 4 + 5 = 8 - k\)이고 \(f(3) = 27 - 9k - 12 + 5 = 20 - 9k\)이므로 \(8 - k = 20 - 9k \implies 8k = 12 \implies k = \dfrac{3}{2}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\)에서 근의 공식에 의해 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이고, \(-1 < c < 3\)을 만족하는 값은 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f(-1) = 8-k,\; f(3) = 20-9k\) 등식 수립 +3점 / \(k = \dfrac{3}{2}\) 산출 +3점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\) 풀이 +3.5점 / 열린구간 \((-1, 3)\) 내부 근 \(c = \dfrac{3\pm\sqrt{57}}{6}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(\dfrac{3 - \sqrt{57}}{6} < \dfrac{3 - 7}{6} < -\dfrac{2}{3}\)에서 \(\sqrt{57} > 7.5\)이므로 음의 근은 \(-0.75\) 근처여서 구간 \((-1, 3)\) 포함 여부를 부등식으로 정확히 판별합니다: \(9 > \sqrt{57} > 7 \implies -1 < \dfrac{3-\sqrt{57}}{6} < 3\)이므로 두 근 모두 구간 안에 속합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(k = \dfrac{3}{2}\) | [7-2] \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제2회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동) ➔ 포물선과 x축 및 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 17028 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
출제·채점 핵심
포물선의 넓이 이등분 문제에서는 적분을 직접 전개하는 것보다 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\) 공식을 쓰면 계산 시간을 획기적으로 단축할 수 있습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 포물선과 x축 및 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\) (\(m > 0\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)을 만족하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
이차곡선과 직선의 두 교점이 \(\alpha, \beta\)일 때 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x\)축과의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 \(S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(-x^2 + 4x = mx \implies x = 0, 4 - m\) (\(0 < m < 4\))이므로 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32 \implies 4 - m = 2\sqrt[3]{4}\)이므로 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 교점 \(x=0, 4\) 및 넓이 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6}\) 도출 +3.5점 / \((4-m)^3 = 32\)로부터 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 포물선의 넓이 이등분 문제에서는 적분을 직접 전개하는 것보다 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\) 공식을 쓰면 계산 시간을 획기적으로 단축할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \(S_2 = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)
[Part 2 모의고사 제2회 (기출 유사 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동) ➔ 지수방정식의 치환과 서로 다른 두 양의 실근 조건 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17031 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]
출제·채점 핵심
양의 실근 \(x > 0\)을 \(t = 3^x\)로 치환하면 \(t > 0\)이 아니라 \(t > 1\)이 된다는 점이 핵심 채점 기준입니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 지수방정식의 치환과 서로 다른 두 양의 실근 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(9^x - 6 \cdot 3^x + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(t = 3^x\)로 치환할 때, \(x > 0\)에 대응하는 \(t\)의 값의 범위를 구하고 \(t\)에 대한 이차방정식을 세우시오.
[1-2] (6.5점) 치환된 이차방정식의 근의 분리 조건을 이용하여 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(t = 3^x\)로 치환하면 밑 \(3 > 1\)이므로 \(x > 0 \iff t > 3^0 = 1\)이고, 주어진 방정식은 \(f(t) = t^2 - 6t + k = 0\)이 된다.
2줄: 핵심계산 (40%)
이차함수 \(f(t) = (t - 3)^2 + k - 9\)의 대칭축이 \(t = 3 > 1\)이므로, \(t > 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 \(D/4 = 9 - k > 0\)과 경계값 \(f(1) = 1 - 6 + k > 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(k < 9\)이고 \(k > 5\)이므로 상수 \(k\)의 값의 범위는 \(5 < k < 9\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(x > 0 \iff t > 1\) 치환 범위 명시 +3점 / \(t^2 - 6t + k = 0\) 수립 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(D/4 > 0\) 및 \(f(1) > 0\) 두 조건 모두 제시 +3.5점 / \(5 < k < 9\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 양의 실근 \(x > 0\)을 \(t = 3^x\)로 치환하면 \(t > 0\)이 아니라 \(t > 1\)이 된다는 점이 핵심 채점 기준입니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(t > 1,\; t^2 - 6t + k = 0\) | [1-2] \(5 < k < 9\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동) ➔ 상용로그의 정수부분과 소수부분의 합 조건 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 17032 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
출제·채점 핵심
소수부분의 합이 \(1\)일 때는 반드시 각 로그의 소수부분이 \(0\)이 되는 경우를 제외해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 상용로그의 정수부분과 소수부분의 합 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(10 < x < 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^3\)의 소수부분의 합이 \(1\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\log_{10} x\)의 값의 범위를 구하고, 두 상용로그의 소수부분의 합이 \(1\)일 때 성립하는 정수 조건을 서술하시오.
[2-2] (6.5점) 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값과 그 곱을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(10 < x < 100 \implies 1 < \log_{10} x < 2\)이고, 두 상용로그의 소수부분을 각각 \(\alpha, \beta\) (\(0 \le \alpha, \beta < 1\))라 할 때 \(\alpha + \beta = 1\)이면 \(\alpha > 0, \beta > 0\)이고 두 로그의 합 \(\log_{10} x + \log_{10} x^3 = 4\log_{10} x\)는 정수이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(4 < 4\log_{10} x < 8\)이므로 \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\)이다. 이때 \(\log_{10} x = \dfrac{5}{4}, \dfrac{6}{4}, \dfrac{7}{4}\)는 모두 소수부분이 \(0\)이 아니므로 조건을 만족한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 모든 실수 \(x\)는 \(10^{\frac{5}{4}},\; 10^{\frac{3}{2}},\; 10^{\frac{7}{4}}\)의 \(3\)개이고, 그 곱은 \(10^{\frac{5+6+7}{4}} = 10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(1 < \log_{10} x < 2\) 및 \(4\log_{10} x\)가 정수이고 \(\alpha \ne 0\) 조건 제시 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\) 판정 +3.5점 / 세 실수 \(x\)의 곱 \(10^{9/2}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 소수부분의 합이 \(1\)일 때는 반드시 각 로그의 소수부분이 \(0\)이 되는 경우를 제외해야 합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(1 < \log_{10} x < 2,\; 4\log_{10} x \in \mathbb{Z}\) | [2-2] \(x = 10^{\frac{5}{4}}, 10^{\frac{6}{4}}, 10^{\frac{7}{4}}\), 곱 \(10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동) ➔ 사인법칙과 외접원의 반지름 및 삼각형의 변의 비 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17033 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
출제·채점 핵심
사인법칙에서 지름 \(2R = 12\)를 반지름 \(R = 6\)으로 잘못 대입하지 않도록 공식을 먼저 적습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 사인법칙과 외접원의 반지름 및 삼각형의 변의 비)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(R = 6\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3},\; \angle \mathrm{B} = \dfrac{\pi}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 두 변 \(a = \overline{\mathrm{BC}}\)와 \(b = \overline{\mathrm{CA}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(2R = 12\)이므로 \(a = 12\sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이고, \(b = 12\sin\dfrac{\pi}{4} = 12 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a^2 + b^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 108 + 72 = 180\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 사인법칙 \(a = 2R\sin A,\; b = 2R\sin B\) 식 명시 +2점 / \(a = 6\sqrt{3},\; b = 6\sqrt{2}\) 산출 +4점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(a^2 = 108,\; b^2 = 72\) 계산 +3점 / 합 \(180\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 지름 \(2R = 12\)를 반지름 \(R = 6\)으로 잘못 대입하지 않도록 공식을 먼저 적습니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(a = 6\sqrt{3},\; b = 6\sqrt{2}\) | [3-2] \(180\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동) ➔ 첫째항이 음수인 등차수열의 부분합의 최솟값 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17034 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]
출제·채점 핵심
등차수열의 합 \(S_n\)을 이차함수로 미분하지 않고 \(a_n \le 0\)인 마지막 항의 번호 \(n = 6\)을 찾으면 훨씬 정확합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 첫째항이 음수인 등차수열의 부분합의 최솟값)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = -23\)이고 공차가 \(d = 4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하고, 처음으로 양수가 되는 항은 제몇 항인지 구하시오.
[4-2] (6.5점) 부분합 \(S_n\)이 최소가 되는 자연수 \(n\)과 그때의 최솟값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)와 합 공식 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_n = -23 + 4(n - 1) = 4n - 27 > 0 \implies n > \dfrac{27}{4} = 6.75\)이므로 제\(7\)항부터 양수가 된다.
3줄: 최종결론 (30%)
제\(6\)항까지 음수이므로 \(n = 6\)일 때 \(S_n\)이 최소가 되며, 최솟값은 \(S_6 = \dfrac{6(-23 + (-3))}{2} = 3 \times (-26) = -78\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 일반항 \(a_n = 4n - 27\) 도출 +3점 / 제\(7\)항 판정 +3점 소문항 [4-2] (6.5점) • 음수 항들의 합인 \(n = 6\) 결정 +3점 / 최솟값 \(S_6 = -78\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 등차수열의 합 \(S_n\)을 이차함수로 미분하지 않고 \(a_n \le 0\)인 마지막 항의 번호 \(n = 6\)을 찾으면 훨씬 정확합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_n = 4n - 27\), 제\(7\)항 | [4-2] \(n = 6\), 최솟값 \(-78\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동) ➔ 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 이용한 극한값 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02]
출제·채점 핵심
부등식의 변을 나눌 때 나누는 식 \(x(2x+1)\)이 양수임을 언급하는 것이 서술형 감점 방어의 핵심입니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 이용한 극한값 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 부등식 \(4x^2 - 3x + 1 \le (2x + 1)f(x) \le 4x^2 + 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 주어진 부등식으로부터 \(\dfrac{f(x)}{x}\)의 범위를 부등식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x > 0\)이므로 \(x(2x + 1) > 0\)이고, 부등식의 각 변을 양수 \(x(2x + 1)\)로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\)이고, 좌변과 우변의 \(x \to \infty\) 극한은 모두 최고차항의 계수비 \(\dfrac{4}{2} = 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(x(2x+1) > 0\) 근거 명시 및 나눗셈 부등식 작성 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 양 끝 극한값 \(2\) 산출 +3점 / 조임 정리로 최종 극한 \(2\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 부등식의 변을 나눌 때 나누는 식 \(x(2x+1)\)이 양수임을 언급하는 것이 서술형 감점 방어의 핵심입니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\) | [5-2] \(2\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동) ➔ 곡선 밖의 원점에서 그은 접선의 방정식과 접점 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17036 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]
출제·채점 핵심
곡선 밖의 점에서 그은 접선은 반드시 접점의 \(x\)좌표를 미지수 \(t\)로 두고 출발해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 곡선 밖의 원점에서 그은 접선의 방정식과 접점 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
원점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에 그은 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 5t + 9)\)로 놓고, 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지남을 이용하여 \(t\)에 대한 방정식을 세우시오.
[6-2] (6.5점) 실수 \(t\)의 값과 그때의 접선의 방정식을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에서 \(f'(t) = 3t^2 - 6t + 5\)이므로 접선의 방정식은 \(y - (t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = (3t^2 - 6t + 5)(x - t)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(-(t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = -t(3t^2 - 6t + 5) \iff 2t^3 - 3t^2 - 9 = (t - 3)(2t^2 + 3t + 3) = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(2t^2 + 3t + 3 = 0\)의 판별식은 \(9 - 24 < 0\)이므로 유일한 실근은 \(t = 3\)이고, 기울기 \(f'(3) = 27 - 18 + 5 = 14\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 14x\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • 접선의 방정식 수립 및 원점 대입 식 \(2t^3 - 3t^2 - 9 = 0\) 유도 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 인수분해로 \(t = 3\) 산출 +3.5점 / 접선 \(y = 14x\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 반드시 접점의 \(x\)좌표를 미지수 \(t\)로 두고 출발해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(2t^3 - 3t^2 - 9 = 0\) | [6-2] \(t = 3\), 접선의 방정식 \(y = 14x\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동) ➔ 삼차함수가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 조건 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 17037 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
출제·채점 핵심
삼차함수의 증가 조건에서는 \(D < 0\)이 아니라 등호가 포함된 \(D \le 0\)임에 특히 유의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2 + (2a + 3)x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 판별식 조건을 서술하시오.
[7-2] (6.5점) 실수 \(a\)의 값의 범위와 정수 \(a\)의 개수를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\), 즉 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3\)에서 \(D/4 = a^2 - (2a + 3) = a^2 - 2a - 3 = (a + 1)(a - 3) \le 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(-1 \le a \le 3\)이고, 이를 만족하는 정수 \(a = -1, 0, 1, 2, 3\)의 개수는 \(5\)개이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3 \ge 0\) 및 \(D/4 \le 0\) 조건 명시 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(-1 \le a \le 3\) 범위 도출 +3.5점 / 정수 \(5\)개 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수의 증가 조건에서는 \(D < 0\)이 아니라 등호가 포함된 \(D \le 0\)임에 특히 유의합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3 \ge 0,\; D/4 \le 0\) | [7-2] \(-1 \le a \le 3\), 정수 \(5\)개
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제3회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동) ➔ 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함숫값 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 17038 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]
출제·채점 핵심
위끝과 아래끝이 같아지는 \(x = 1\)을 먼저 대입해 미정계수 \(a\)를 구하는 것이 정석 절차입니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함숫값 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 4x^2 + ax - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 주어진 등식의 양변에 적당한 \(x\)의 값을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
정적분의 성질 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)과 정적분과 미분의 관계 \(\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 4 + a - 2 \implies a = 5\)이고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(f(2) = 3(4) - 8(2) + 5 = 12 - 16 + 5 = 1\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • \(x = 1\) 대입 식 \(1 - 4 + a - 2 = 0\) 제시 +3점 / \(a = 5\) 산출 +3점 소문항 [8-2] (6.5점) • 미분하여 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\) 도출 +3.5점 / \(f(2) = 1\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 위끝과 아래끝이 같아지는 \(x = 1\)을 먼저 대입해 미정계수 \(a\)를 구하는 것이 정석 절차입니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(a = 5\) | [8-2] \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5,\; f(2) = 1\)
[Part 2 모의고사 제3회 (기출 유사 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동) ➔ 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 17041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
출제·채점 핵심
\(a^x = \sqrt{5}\)를 직접 대입하기보다 분모·분자에 \(a^x\)를 곱하거나 세제곱 인수분해로 약분하면 무리수 연산 없이 깔끔하게 풀립니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\) (단, \(a > 0\))일 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 분모와 분자에 \(a^x\)를 곱하여 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
주어진 분수식의 분모와 분자에 각각 \(a^x\)를 곱하여 \(a^{2x} = 5\)와 \(a^{-2x} = \dfrac{1}{5}\)로 정리한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \dfrac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \dfrac{5 - 1}{5 + 1} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
인수분해 공식 \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\)에 의해 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 5 - 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • 분자·분모에 \(a^x\)를 곱한 식 제시 +3점 / 값 \(\dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\) 약분 변형 +3.5점 / 최종값 \(\dfrac{21}{5}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(a^x = \sqrt{5}\)를 직접 대입하기보다 분모·분자에 \(a^x\)를 곱하거나 세제곱 인수분해로 약분하면 무리수 연산 없이 깔끔하게 풀립니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(\dfrac{2}{3}\) | [1-2] \(\dfrac{21}{5}\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동) ➔ 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17042 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
출제·채점 핵심
밑이 다른 로그를 더하고 뺄 때는 반드시 \(\log_4 9 = \log_2 3\)처럼 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 진수끼리 곱하고 나누어야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
세 실수 \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\)과 \(B = \log_4 9 + \log_2 6 - \log_2 18\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 로그의 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}\)를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) 로그의 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
밑변환 공식 \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)와 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(A = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{3\log 2}{\log 5} = 3\)이고, \(\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(B = \log_2 3 + \log_2 6 - \log_2 18 = \log_2\left(\dfrac{3 \times 6}{18}\right) = \log_2 1 = 0\)이므로 \(A + B = 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 밑변환 연쇄 약분 과정 서술 +3점 / \(A = 3\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(\log_4 9 = \log_2 3\) 변환 및 \(B = 0\) 도출 +3.5점 / \(A + B = 3\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 밑이 다른 로그를 더하고 뺄 때는 반드시 \(\log_4 9 = \log_2 3\)처럼 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 진수끼리 곱하고 나누어야 합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(A = 3\) | [2-2] \(B = 0,\; A + B = 3\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동) ➔ 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17043 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
출제·채점 핵심
국민대 약술형 삼각함수 문항에서는 코사인법칙으로 마주 보는 변을 구한 뒤 사인법칙으로 외접원 반지름까지 연결하는 2단계 구성이 자주 출제됩니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8\)이고 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)를 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이고, 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{7}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙 대입 식 제시 +3점 / \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) 산출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 도출 +3점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 국민대 약술형 삼각함수 문항에서는 코사인법칙으로 마주 보는 변을 구한 뒤 사인법칙으로 외접원 반지름까지 연결하는 2단계 구성이 자주 출제됩니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) | [3-2] \(S = 10\sqrt{3},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동) ➔ 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 17044 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]
출제·채점 핵심
분모의 차 \((2n+1)-(2n-1) = 2\)가 분자의 \(2\)와 정확히 약분되는지 반드시 확인합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{2}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 분모를 유리화하여 일반항 \(a_n\)을 두 무리식의 차 꼴로 나타내시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{m} a_k = 8\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
분모와 분자에 켤레 무리식 \(\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)을 곱하여 분모를 유리화한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
분모가 \((2n + 1) - (2n - 1) = 2\)이므로 약분되어 \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sum_{k=1}^{m} a_k = \sqrt{2m + 1} - 1 = 8 \implies \sqrt{2m + 1} = 9 \implies 2m + 1 = 81 \implies m = 40\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 분모 유리화 과정 및 \(a_n = \sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}\) 도출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 소거 후 \(\sqrt{2m+1} - 1 = 8\) 도출 +3.5점 / \(m = 40\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분모의 차 \((2n+1)-(2n-1) = 2\)가 분자의 \(2\)와 정확히 약분되는지 반드시 확인합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\) | [4-2] \(m = 40\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동) ➔ 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
출제·채점 핵심
\(x = 2\)에서 연속성이 확보되면 \(f(x) = x + 3\)은 실수 전체에서 정의된 일차함수와 완전히 일치합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이기 위한 극한 등식을 세우고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = f(2) = b\)가 성립한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하므로 분자에 \(x = 2\)를 대입하면 \(4 + 2a - 6 = 0 \implies a = 1\)이고, \(f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3\) (\(x \ne 2\))이므로 \(b = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) = x + 3\)이므로 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 최솟값은 \(f(0) = 3\), 최댓값은 \(f(4) = 7\)이고 그 합은 \(10\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 연속 정의 등식 명시 및 \(a = 1\) 산출 +3점 / 인수 약분으로 \(b = 5\) 도출 +3점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(f(x) = x + 3\) 확정 +3점 / 최솟값 \(3\)과 최댓값 \(7\)의 합 \(10\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: \(x = 2\)에서 연속성이 확보되면 \(f(x) = x + 3\)은 실수 전체에서 정의된 일차함수와 완전히 일치합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(a = 1,\; b = 5\) | [5-2] \(10\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동) ➔ 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 탐구 17046 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
출제·채점 핵심
\(f(x) = -k\)로 이항했을 때 우변이 \(k\)가 아니라 \(-k\)이므로 마지막에 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호 방향을 바꾸어야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
방정식을 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x = -k\)로 변형하고 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)을 푼다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5\)를 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값 \(f(3) = 27 - 27 - 27 = -27\)을 갖는다.
3줄: 최종결론 (30%)
직선 \(y = -k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나야 하므로 \(-27 < -k < 5 \iff -5 < k < 27\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\) 도출 +2점 / 극댓값 \(5\), 극솟값 \(-27\) 산출 +4점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(-27 < -k < 5\) 조건 수립 +3.5점 / \(-5 < k < 27\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(f(x) = -k\)로 이항했을 때 우변이 \(k\)가 아니라 \(-k\)이므로 마지막에 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호 방향을 바꾸어야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] 극댓값 \(f(-1) = 5\), 극솟값 \(f(3) = -27\) | [6-2] \(-5 < k < 27\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동) ➔ 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 17047 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-09]
출제·채점 핵심
단순히 \(v(t) = 0\)인 것뿐만 아니라 \(t = 1, 3\) 전후에서 \(v(t)\)의 부호가 바뀐다는 점을 함께 언급하면 만점 답안이 됩니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 구하고, 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.
[7-2] (6.5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치와 가속도를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
속도 \(v(t) = x'(t)\)와 가속도 \(a(t) = v'(t)\)를 선언하고, 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(v(t) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)이고 \(a(t) = 6t - 12\)이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
두 번째로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 3\)이며, 이때의 위치는 \(x(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)이고 가속도는 \(a(3) = 18 - 12 = 6\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(v(t),\; a(t)\) 식 도출 +3점 / 운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 산출 +3점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(t = 3\)에서의 위치 \(x(3) = 2\) 산출 +3.5점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 단순히 \(v(t) = 0\)인 것뿐만 아니라 \(t = 1, 3\) 전후에서 \(v(t)\)의 부호가 바뀐다는 점을 함께 언급하면 만점 답안이 됩니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9,\; a(t) = 6t - 12\), 시각 \(t = 1, 3\) | [7-2] 위치 \(2\), 가속도 \(6\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제4회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동) ➔ 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17048 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
출제·채점 핵심
우함수 성질을 쓸 때 앞의 배수 \(2\)를 빠뜨리지 않도록 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 3x^2 + 7x - 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 홀수차 항과 짝수차 항의 정적분 성질을 서술하고, \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)를 \([0, 2]\) 구간에서의 정적분으로 간단히 나타내시오.
[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
대칭 구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x^{2k-1}\))의 정적분은 \(0\)이고, 우함수(\(x^{2k}\))의 정적분은 \(2\int_{0}^{a} x^{2k}\,dx\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
홀수차 항 \(2x^5 - 4x^3 + 7x\)의 적분값은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(2\Bigl[x^3 - x\Bigr]_{0}^{2} = 2(8 - 2) = 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 기함수 소거 근거 및 \(2\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx\) 변환 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 부정적분 \(\bigl[x^3 - x\bigr]_0^2 = 6\) 계산 +3점 / 최종값 \(12\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 우함수 성질을 쓸 때 앞의 배수 \(2\)를 빠뜨리지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\) | [8-2] \(12\)
[Part 2 모의고사 제4회 (기출 유사 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (1:1 연동) ➔ 서로 다른 거듭제곱근의 유리수 지수 통분과 대소 비교 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 탐구 17051 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
출제·채점 핵심
거듭제곱근의 대소 비교에서는 모든 수가 양수임을 먼저 밝힌 뒤 최소공배수 거듭제곱을 취해야 논리적 감점이 없습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 서로 다른 거듭제곱근의 유리수 지수 통분과 대소 비교)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
세 양수 \(A = \sqrt{3},\; B = \sqrt[3]{6},\; C = \sqrt[6]{30}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 세 수 \(A, B, C\)를 각각 \(6\)제곱한 \(A^6,\; B^6,\; C^6\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내고, 가장 큰 수와 가장 작은 수의 곱의 \(6\)제곱을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
양수 \(x, y\)에 대하여 \(x < y \iff x^6 < y^6\)이므로 근호의 지수 \(2, 3, 6\)의 최소공배수인 \(6\)제곱을 비교한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(A^6 = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^3 = 27\), \(B^6 = (6^{\frac{1}{3}})^6 = 6^2 = 36\), \(C^6 = (30^{\frac{1}{6}})^6 = 30\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(27 < 30 < 36\)이므로 \(A < C < B\)이고, 가장 큰 수 \(B\)와 가장 작은 수 \(A\)에 대하여 \((AB)^6 = A^6 B^6 = 27 \times 36 = 972\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(A^6=27,\; B^6=36,\; C^6=30\) 각각 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 대소 관계 \(A < C < B\) 판정 +3.5점 / \((AB)^6 = 972\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 거듭제곱근의 대소 비교에서는 모든 수가 양수임을 먼저 밝힌 뒤 최소공배수 거듭제곱을 취해야 논리적 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(A^6 = 27,\; B^6 = 36,\; C^6 = 30\) | [1-2] \(A < C < B,\; (AB)^6 = 972\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (1:1 연동) ➔ 로그방정식의 두 실근의 곱과 근과 계수의 관계 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17052 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
출제·채점 핵심
로그방정식의 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 곱 \(\alpha\beta\)는 치환된 이차방정식의 두 근의 곱 \(k\)가 아니라 두 근의 합 \(t_1 + t_2\)에서 나온다는 점을 혼동하지 마세요. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 두 실근의 곱과 근과 계수의 관계)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(x > 0\)에 대한 로그방정식 \((\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + k = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(t = \log_3 x\)로 치환할 때 두 근 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)의 합 \(t_1 + t_2\)를 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(\alpha = 27\beta\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(t = \log_3 x\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - 4t + k = 0\)의 두 근은 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
근과 계수의 관계에 의해 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\alpha = 27\beta\)이면 \(t_1 - t_2 = \log_3\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) = \log_3 27 = 3\)이므로 \(t_1 = \dfrac{7}{2},\; t_2 = \dfrac{1}{2}\)이고, \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4\) 제시 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(t_1 - t_2 = 3\) 도출 +3.5점 / \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그방정식의 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 곱 \(\alpha\beta\)는 치환된 이차방정식의 두 근의 곱 \(k\)가 아니라 두 근의 합 \(t_1 + t_2\)에서 나온다는 점을 혼동하지 마세요.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\alpha\beta = 81\) | [2-2] \(k = \dfrac{7}{4}\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (1:1 연동) ➔ 삼각함수로 정의된 이차방정식의 치환과 해의 합 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 17053 변형 | 성취기준: 12대수02-02]
출제·채점 핵심
\(0 \le x < 2\pi\) 구간에서 \(\sin x = -1\)이 되는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)를 빠뜨리지 않도록 단위원이나 그래프를 확인합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수로 정의된 이차방정식의 치환과 해의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(0 \le x < 2\pi\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 인수분해하고 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(0 \le x < 2\pi\)에서 주어진 방정식을 만족시키는 모든 실근 \(x\)와 그 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
삼각함수 항등식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 삼각함수를 \(\sin x\)로 통일한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 \le x < 2\pi\)에서 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)인 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이고 \(\sin x = -1\)인 해는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • \((2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\) 인수분해 +3점 / \(\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 산출 +3점 소문항 [3-2] (6.5점) • 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 도출 +3.5점 / 실근의 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(0 \le x < 2\pi\) 구간에서 \(\sin x = -1\)이 되는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)를 빠뜨리지 않도록 단위원이나 그래프를 확인합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\) | [3-2] \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (1:1 연동) ➔ 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항의 도출 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17054 변형 | 성취기준: 12대수03-06]
출제·채점 핵심
\(n \ge 2\)에서 유도한 식 \(a_n = n^2 + 1\)에 \(n = 1\)을 대입하여 첫째항 \(a_1 = 2\)와 일치함을 확인하는 한 줄을 덧붙이면 완벽합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항의 도출)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 2\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입하여 변변 더하는 방법으로 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{6} a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)을 선언한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2\cdot\dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = n^2 - 1\)이므로 \(a_n = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1\)이고, 이는 \(n = 1\)일 때도 성립한다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\sum_{k=1}^{6} (k^2 + 1) = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6} + 6 = 91 + 6 = 97\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 축차대입 합의 식 제시 +3점 / 일반항 \(a_n = n^2 + 1\) 도출 +3점 소문항 [4-2] (6.5점) • 거듭제곱의 합 공식 적용 +3.5점 / 최종값 \(97\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(n \ge 2\)에서 유도한 식 \(a_n = n^2 + 1\)에 \(n = 1\)을 대입하여 첫째항 \(a_1 = 2\)와 일치함을 확인하는 한 줄을 덧붙이면 완벽합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_n = n^2 + 1\) | [4-2] \(97\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (1:1 연동) ➔ 분모가 이차인수로 0에 수렴하는 유리식 극한과 인수 정리 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 17055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
출제·채점 핵심
\(a, b, c\)를 연립방정식으로 풀지 않고 \(f(x) = (x-1)^2(x-k)\)로 인수분해 꼴을 먼저 세우면 10초 만에 정확히 구할 수 있습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 분모가 이차인수로 0에 수렴하는 유리식 극한과 인수 정리)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 등식 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 주어진 극한이 수렴하기 위해 \(f(x)\)가 반드시 가져야 하는 인수를 서술하고, \(f(x)\)를 인수분해된 꼴로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to 1\)일 때 분모 \((x - 1)^2\)이 이차로 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차식 \(f(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 가져야 한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x) = (x - 1)^2(x - k)\)로 놓으면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(x - k)}{(x - 1)^2} = 1 - k = 5 \implies k = -4\)이므로 \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
전개하면 \(f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x + 4) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4\)이므로 \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4\)이고 \(f(2) = 1^2 \times 6 = 6\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \((x-1)^2\) 인수 보유 근거 및 \(f(x) = (x-1)^2(x+4)\) 도출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 전개하여 \(a=2,\; b=-7,\; c=4\) 산출 +3.5점 / \(f(2) = 6\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(a, b, c\)를 연립방정식으로 풀지 않고 \(f(x) = (x-1)^2(x-k)\)로 인수분해 꼴을 먼저 세우면 10초 만에 정확히 구할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\) | [5-2] \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4,\; f(2) = 6\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (1:1 연동) ➔ 삼차함수가 열린구간에서 극값을 갖기 위한 조건 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 17056 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
출제·채점 핵심
대칭축 \(x = 1\)에서 먼 쪽 경계가 \(x = 3\)이지만 작은 쪽 경계는 \(x = 0\)이므로 최솟값은 \(f'(0) = k > 0\)에서 결정됩니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수가 열린구간에서 극값을 갖기 위한 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 2\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, \(f'(x) = 0\)이 열린구간 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건을 서술하시오.
[6-2] (6.5점) 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
삼차함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\)가 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f'(x) = 3(x - 1)^2 + k - 3\)의 대칭축이 \(x = 1 \in (0, 3)\)이므로, 판별식 조건 \(D/4 = 9 - 3k > 0 \implies k < 3\)과 경계값 조건 \(f'(0) = k > 0,\; f'(3) = 9 + k > 0\)을 동시에 만족해야 한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(0 < k < 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\) 및 판별식·경계값 조건 명시 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(k < 3\)과 \(k > 0\) 결합 +3.5점 / 최종 범위 \(0 < k < 3\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 대칭축 \(x = 1\)에서 먼 쪽 경계가 \(x = 3\)이지만 작은 쪽 경계는 \(x = 0\)이므로 최솟값은 \(f'(0) = k > 0\)에서 결정됩니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k,\; D/4 > 0,\; f'(0) > 0,\; f'(3) > 0\) | [6-2] \(0 < k < 3\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (1:1 연동) ➔ 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 17057 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
출제·채점 핵심
도형 활용 문제에서는 반드시 변수 \(t\)의 정의역 \(0 < t < 2\sqrt{3}\)을 먼저 적어 주어야 서술형 만점을 받습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
곡선 \(y = 12 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 제1사분면 위의 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(t\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))라 할 때, 직사각형의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 도함수 \(S'(t)\)를 이용하여 직사각형의 넓이 \(S(t)\)가 최대가 되는 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
포물선 \(y = 12 - x^2\)은 \(y\)축에 대하여 대칭이므로 직사각형의 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\)이고, 미분하면 \(S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t - 2)(t + 2) = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 < t < 2\sqrt{3}\)에서 \(t = 2\)일 때 \(S(t)\)는 극대이면서 최대가 되므로 최댓값은 \(S(2) = 4 \times (12 - 4) = 32\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • 가로 \(2t\), 세로 \(12-t^2\) 및 정의역 \(0 < t < 2\sqrt{3}\) 명시하여 \(S(t) = -2t^3 + 24t\) 도출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(S'(t) = -6(t-2)(t+2) = 0\)으로 \(t = 2\) 산출 +3점 / 최대 넓이 \(32\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 도형 활용 문제에서는 반드시 변수 \(t\)의 정의역 \(0 < t < 2\sqrt{3}\)을 먼저 적어 주어야 서술형 만점을 받습니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\) | [7-2] \(t = 2\), 최대 넓이 \(32\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제5회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (1:1 연동) ➔ 수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량과 실제 움직인 거리 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17058 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]
출제·채점 핵심
시각 \(t = 5\)에서의 위치를 구할 때 초기 위치 \(x(0) = 3\)을 더하는 것을 잊지 않도록 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량과 실제 움직인 거리)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 2t - 4\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x(0) = 3\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 시각 \(t = 5\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(x(5)\)를 구하시오.
[8-2] (6.5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
시각 \(t = 5\)에서의 위치는 \(x(5) = x(0) + \int_{0}^{5} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(s = \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x(5) = 3 + \int_{0}^{5} (2t - 4)\,dt = 3 + \Bigl[t^2 - 4t\Bigr]_{0}^{5} = 3 + (25 - 20) = 8\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(t = 2\)에서 속도의 부호가 바뀌므로 \(s = \int_{0}^{2} (4 - 2t)\,dt + \int_{2}^{5} (2t - 4)\,dt = 4 + 9 = 13\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 초기 위치 \(x(0) = 3\) 반영 정적분 식 제시 +3점 / \(x(5) = 8\) 산출 +3점 소문항 [8-2] (6.5점) • 구간 \([0, 2]\)와 \([2, 5]\) 절댓값 분리 적분 +3.5점 / 이동 거리 \(13\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 시각 \(t = 5\)에서의 위치를 구할 때 초기 위치 \(x(0) = 3\)을 더하는 것을 잊지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(x(5) = 8\) | [8-2] \(s = 13\)
[Part 2 모의고사 제5회 (기출 유사 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동) ➔ 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17061 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
출제·채점 핵심
지수 밑이 양수일 때만 유리수 지수법칙을 자유롭게 적용할 수 있음을 확인하고 지수를 먼저 정리한 뒤 대입합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 양수 \(a, b\)가 \(a^{\frac{1}{3}} = 2\), \(b^{\frac{1}{4}} = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) 유리수 지수법칙을 이용하여 \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{5}{2}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
거듭제곱과 유리수 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^m a^n = a^{m+n}\)을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a = 2^3 = 8,\; b = 3^4 = 81\)이고, 주어진 식을 정리하면 \(a^{2 \cdot \frac{3}{2}} b^{-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}} = a^3 b\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a^3 b = 8^3 \times 81 = 512 \times 81 = 41472\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(a = 2^3 = 8\) 및 \(b = 3^4 = 81\) 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 주어진 식을 \(a^3 b\)로 간단히 정리 +3.5점 / 최종값 \(41472\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 지수 밑이 양수일 때만 유리수 지수법칙을 자유롭게 적용할 수 있음을 확인하고 지수를 먼저 정리한 뒤 대입합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(a = 8,\; b = 81\) | [1-2] \(41472\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동) ➔ 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17062 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
출제·채점 핵심
로그함수의 최대·최소 서술 시 밑이 \(1\)보다 크므로 증가함수라는 성질을 1줄에 명시해야 감점이 없습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 로그함수 \(f(x) = \log_3(2x + 1) + m\) (단, \(m\)은 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.
[2-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(10\)일 때, 상수 \(m\)의 값과 \(f(4)\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
밑이 \(3 > 1\)이므로 로그함수 \(f(x) = \log_3(2x + 1) + m\)은 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 단조증가함수이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
최솟값은 \(f(1) = \log_3 3 + m = 1 + m\), 최댓값은 \(f(13) = \log_3 27 + m = 3 + m\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\((1 + m) + (3 + m) = 2m + 4 = 10\)에서 \(m = 3\)이고, \(f(4) = \log_3 9 + 3 = 2 + 3 = 5\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 밑 \(3 > 1\) 증가성 근거로 최솟값 \(1+m\), 최댓값 \(3+m\) 표현 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(m = 3\) 결정 +3.5점 / \(f(4) = 5\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그함수의 최대·최소 서술 시 밑이 \(1\)보다 크므로 증가함수라는 성질을 1줄에 명시해야 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] 최댓값 \(3 + m\), 최솟값 \(1 + m\) | [2-2] \(m = 3,\; f(4) = 5\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동) ➔ 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 17063 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
출제·채점 핵심
삼각형의 내각 \(A\)는 \(0 < A < \pi\)이므로 \(\sin A > 0\)임을 명시하여 부호 오류를 예방합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6\), \(\overline{\mathrm{AC}} = 5\), \(\cos A = \dfrac{3}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(\sin A\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} = 61 - 36 = 25\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 < A < \pi\)에서 \(\sin A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \dfrac{4}{5}\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙 식 수립 및 \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\) 도출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\sin A = \dfrac{4}{5}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = 12\) 계산 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 삼각형의 내각 \(A\)는 \(0 < A < \pi\)이므로 \(\sin A > 0\)임을 명시하여 부호 오류를 예방합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\) | [3-2] \(\sin A = \dfrac{4}{5},\; S = 12\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동) ➔ 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17064 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
출제·채점 핵심
연속된 세 항의 합 \(a_5 + a_6 + a_7\)을 등차중항 성질 \(3a_6\)으로 바꾸면 계산 시간을 크게 단축할 수 있습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 5\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_7 - S_4 = 75\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(S_7 - S_4\)를 제\(6\)항 \(a_6\)에 대한 식으로 나타내고 \(a_6\)의 값을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 제\(10\)항 \(a_{10}\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
수열의 합과 일반항의 관계 및 등차중항 성질에 의해 \(S_7 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 = 3a_6\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(3a_6 = 75\)에서 \(a_6 = 25\)이고, \(a_6 = a_1 + 5d = 5 + 5d = 25\)이므로 공차는 \(d = 4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 일반항은 \(a_n = 4n + 1\)이므로 제\(10\)항은 \(a_{10} = 4(10) + 1 = 41\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(S_7 - S_4 = a_5+a_6+a_7 = 3a_6\) 정리 및 \(a_6 = 25\) 산출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 공차 \(d = 4\) 도출 +3점 / \(a_{10} = 41\) 계산 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 연속된 세 항의 합 \(a_5 + a_6 + a_7\)을 등차중항 성질 \(3a_6\)으로 바꾸면 계산 시간을 크게 단축할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(S_7 - S_4 = 3a_6,\; a_6 = 25\) | [4-2] \(d = 4,\; a_{10} = 41\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동) ➔ 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17065 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
출제·채점 핵심
다항함수에서 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2} = 5\)는 \(f(2)=0\)과 \(f'(2)=5\) 두 조건을 동시에 제공합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3\), \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(x \to \infty\)일 때의 극한 조건을 이용하여 \(f(x)\)의 차수와 이차항까지의 계수를 결정하시오.
[5-2] (6.5점) \(x \to 2\)일 때의 극한 조건을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to \infty\) 극한이 \(-3\)으로 수렴하므로 \(f(x) - 2x^3 = -3x^2 + ax + b\), 즉 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(f(2) = 4 + 2a + b = 0\)이고, \(f'(2) = 24 - 12 + a = 5 \implies a = -7,\; b = 10\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10\)이므로 \(f(3) = 54 - 27 - 21 + 10 = 16\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) 형태 설정 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(a = -7,\; b = 10\) 결정 +3.5점 / \(f(3) = 16\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 다항함수에서 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2} = 5\)는 \(f(2)=0\)과 \(f'(2)=5\) 두 조건을 동시에 제공합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) | [5-2] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10,\; f(3) = 16\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동) ➔ 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 17066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
출제·채점 핵심
객관식 요령이 아닌 \(f(1)\)을 더하고 빼서 미분계수 정의 꼴로 변형하는 식을 한 줄 적어주면 감점을 완벽히 방어합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 미분계수 \(f'(1)\)의 값을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - 3h)}{h}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
미분계수의 정의 \(\lim_{t \to 0} \dfrac{f(a+t) - f(a)}{t} = f'(a)\)를 이용하기 위해 분자에 \(f(1)\)을 빼고 더한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\)에서 \(f'(1) = 3\)이고, 주어진 식은 \(2\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h} + 3\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1-3h)-f(1)}{-3h} = 5f'(1)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 구하는 극한값은 \(5f'(1) = 5 \times 3 = 15\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\) 및 \(f'(1) = 3\) 도출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 극한식을 \(5f'(1)\)로 변형 +3.5점 / 극한값 \(15\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 객관식 요령이 아닌 \(f(1)\)을 더하고 빼서 미분계수 정의 꼴로 변형하는 식을 한 줄 적어주면 감점을 완벽히 방어합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4,\; f'(1) = 3\) | [6-2] \(15\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동) ➔ 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 17067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
출제·채점 핵심
접점 \(x = 2\)는 연립방정식에서 항상 중근 인자 \((x-2)^2\)를 가진다는 성질을 이용하면 즉시 인수분해됩니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\) 위의 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(l\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 접선 \(l\)이 삼차곡선과 점 \(\mathrm{A}\)가 아닌 다른 점에서 만날 때, 그 교점 \(\mathrm{B}\)의 좌표 \((p, q)\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수 \(y' = 3x^2 - 6x + 2\)에서 \(x = 2\)일 때 접선의 기울기는 \(y'(2) = 12 - 12 + 2 = 2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
접선 \(l\)의 방정식은 \(y = 2(x - 2) + 4 = 2x\)이고, 곡선과 연립하면 \(x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 2x \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\((x - 2)^2(x + 1) = 0\)에서 접점 \(x = 2\)가 아닌 다른 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -1\)이므로 \(\mathrm{B}(-1, -2)\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • 기울기 \(y'(2)=2\) 및 접선의 방정식 \(y = 2x\) 도출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \((x-2)^2(x+1)=0\) 인수분해 +3.5점 / 교점 \((-1, -2)\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 접점 \(x = 2\)는 연립방정식에서 항상 중근 인자 \((x-2)^2\)를 가진다는 성질을 이용하면 즉시 인수분해됩니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(y = 2x\) | [7-2] \((-1, -2)\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제6회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2026학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동) ➔ 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
출제·채점 핵심
정적분 넓이 공식을 쓰더라도 피적분함수와 적분구간을 정적분 기호로 먼저 표시해야 과정 점수를 모두 받습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
이차곡선 \(y = x^2 - 4x + 5\)와 직선 \(y = 2x - 3\)으로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 이차곡선과 직선의 두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))를 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 나타내고 그 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
교점 방정식 \(x^2 - 4x + 5 = 2x - 3 \iff x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
따라서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha = 2,\; \beta = 4\)이고, 구간 \([2, 4]\)에서 직선이 곡선보다 위에 위치한다.
3줄: 최종결론 (30%)
둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 2)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 연립방정식 수립 및 교점 \(\alpha = 2,\; \beta = 4\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 정적분 넓이식 \(\int_2^4 (-x^2+6x-8)\,dx\) 표현 +3점 / 넓이 \(\dfrac{4}{3}\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 정적분 넓이 공식을 쓰더라도 피적분함수와 적분구간을 정적분 기호로 먼저 표시해야 과정 점수를 모두 받습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(\alpha = 2,\; \beta = 4\) | [8-2] \(S = \dfrac{4}{3}\)
[Part 2 모의고사 제6회 (기출 심화 난이도 (1/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동) ➔ 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17071 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
출제·채점 핵심
서로 다른 밑을 가진 로그들의 곱과 나눗셈은 공통 밑 \(a\)로 통일하면 일관되게 정리됩니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b = 4\), \(\log_b c = \dfrac{3}{2}\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 로그의 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_a c\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\log_c(a^2 b)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
로그의 밑변환 공식 \(\log_x y = \dfrac{\log_a y}{\log_a x}\)에 의해 \(\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\log_a c = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6\)이고, 구하는 식을 밑이 \(a\)인 로그로 변환하면 \(\log_c(a^2 b) = \dfrac{\log_a(a^2 b)}{\log_a c} = \dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(\log_a b = 4,\; \log_a c = 6\)을 대입하면 \(\dfrac{2 + 4}{6} = 1\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • 밑변환 공식으로 \(\log_a c = 6\) 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(\dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\) 변형 +3.5점 / 최종값 \(1\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 서로 다른 밑을 가진 로그들의 곱과 나눗셈은 공통 밑 \(a\)로 통일하면 일관되게 정리됩니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(\log_a c = 6\) | [1-2] \(1\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동) ➔ 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
출제·채점 핵심
제곱근을 취할 때 사분면에 따른 삼각함수의 부호(\(\sin\theta > 0, \cos\theta < 0\))를 반드시 근거로 적어야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(\sin\theta - \cos\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈공식의 변형을 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\)이고, \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{17}{9}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에서 \(\sin\theta > 0,\; \cos\theta < 0\)이므로 \(\sin\theta - \cos\theta > 0\)이고, 구하는 값은 \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 제곱 전개를 통해 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) 산출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 제2사분면 부호 \(\sin\theta - \cos\theta > 0\) 판정 +3점 / \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 제곱근을 취할 때 사분면에 따른 삼각함수의 부호(\(\sin\theta > 0, \cos\theta < 0\))를 반드시 근거로 적어야 합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) | [2-2] \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동) ➔ 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 17073 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
출제·채점 핵심
시그마의 위끝이 \(n\)이 아니라 \(n-1\)임에 주의하여 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{(n-1)n}{2}\)로 계산합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅲ. 수열 — 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 4n - 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(n \ge 2\)일 때 일반항 \(a_n\)을 시그마(\(\sum\))를 이용하여 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(k = 1, 2, \dots, n-1\)을 대입하여 변끼리 더하면 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_n = 3 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} - (n - 1) = 2n^2 - 3n + 4\)이며 \(n = 1\)일 때도 성립한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(n = 10\)을 대입하면 \(a_{10} = 2(100) - 3(10) + 4 = 174\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 축차대입 합의 식 수립 및 \(a_n = 2n^2 - 3n + 4\) 도출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(n = 10\) 대입 과정 +3점 / \(a_{10} = 174\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 시그마의 위끝이 \(n\)이 아니라 \(n-1\)임에 주의하여 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{(n-1)n}{2}\)로 계산합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(a_n = 2n^2 - 3n + 4\) | [3-2] \(a_{10} = 174\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동) ➔ 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17074 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
출제·채점 핵심
모든 항이 양수인 등비수열이므로 공비 \(r > 0\) 조건을 근거로 \(r = -3\)을 배제해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 a_4 = 36\), \(a_5 = 54\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 등비중항의 성질을 이용하여 제\(3\)항 \(a_3\)의 값을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r\)와 첫째항 \(a_1\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
등비중항의 성질에 의해 \(a_2 a_4 = a_3^2 = 36\)이고, 모든 항이 양수이므로 \(a_3 = 6\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 54\)에서 \(r^2 = 9\)이고, 모든 항이 양수이므로 공비는 \(r = 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 첫째항은 \(a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_3^2 = 36\) 및 양수 조건으로 \(a_3 = 6\) 산출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 공비 \(r = 3\) 도출 +3.5점 / 첫째항 \(a_1 = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 모든 항이 양수인 등비수열이므로 공비 \(r > 0\) 조건을 근거로 \(r = -3\)을 배제해야 합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_3 = 6\) | [4-2] \(r = 3,\; a_1 = \dfrac{2}{3}\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동) ➔ 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 17075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
출제·채점 핵심
\(x - 2\)로 양변을 나눌 때는 반드시 \(x \ne 2\) 조건을 먼저 밝힌 뒤 극한으로 \(f(2)\)를 구해야 논리적 감점이 없습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
모든 실수 \(x\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 상수 \(k\)의 값을 구하고, \(x \ne 2\)일 때 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[5-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 연속성을 이용하여 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
항등식 \((x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)의 양변에 \(x = 2\)를 대입하면 \(0 = 8 - 4k + 6 - 2\)에서 \(k = 3\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(k = 3\)일 때 우변을 인수분해하면 \((x - 2)(x^2 - x + 1)\)이므로 \(x \ne 2\)일 때 \(f(x) = x^2 - x + 1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - x + 1) = 3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(k = 3\) 산출 및 인수분해로 \(f(x) = x^2 - x + 1\) 도출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 연속 정의 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 명시 +3점 / \(f(2) = 3\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: \(x - 2\)로 양변을 나눌 때는 반드시 \(x \ne 2\) 조건을 먼저 밝힌 뒤 극한으로 \(f(2)\)를 구해야 논리적 감점이 없습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(k = 3,\; f(x) = x^2 - x + 1\) (\(x \ne 2\)) | [5-2] \(f(2) = 3\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동) ➔ 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
출제·채점 핵심
도함수의 부호 변화(\(+\to-\) 극대, \(-\to+\) 극소)를 함께 언급하면 채점 기준표를 완벽히 충족합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 \(x\)의 값을 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고, \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)이고, \(f'(x) = 0\)의 해는 \(x = 1, 3\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(x = 1\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값은 \(M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(x = 3\)에서 극솟값은 \(m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5\)이므로 \(M - m = 9 - 5 = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 및 극점 \(x = 1, 3\) 도출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(M = 9,\; m = 5\) 산출 +3.5점 / \(M - m = 4\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 도함수의 부호 변화(\(+\to-\) 극대, \(-\to+\) 극소)를 함께 언급하면 채점 기준표를 완벽히 충족합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(f'(x) = 3(x-1)(x-3),\; x = 1, 3\) | [6-2] \(M = 9,\; m = 5,\; M - m = 4\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동) ➔ 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
출제·채점 핵심
정적분으로 정의된 함수 항등식은 (1) 위·아래끝 일치 값 대입, (2) 양변 미분의 2단계를 표준 절차로 서술합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 위끝과 아래끝이 같아지는 \(x\)의 값을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
정적분의 성질 \(\int_1^1 f(t)\,dt = 0\)과 정적분으로 정의된 함수의 미분법 \(\dfrac{d}{dx}\int_1^x f(t)\,dt = f(x)\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 + a - 5 + 3 \implies a = 1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)이므로 \(f(2) = 12 + 4 - 5 = 11\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(x = 1\) 대입으로 \(a = 1\) 산출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • 미분하여 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\) 도출 +3.5점 / \(f(2) = 11\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 정적분으로 정의된 함수 항등식은 (1) 위·아래끝 일치 값 대입, (2) 양변 미분의 2단계를 표준 절차로 서술합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(a = 1\) | [7-2] \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5,\; f(2) = 11\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제7회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2025학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동) ➔ 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 17078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
출제·채점 핵심
위치의 변화량 \(\int_0^4 v(t)\,dt = 4\)와 실제로 움직인 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12\)를 혼동하지 않도록 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 시각 \(t\)를 모두 구하시오.
[8-2] (6.5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
속도 \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각 \(t = 1, 3\)에서 운동 방향이 바뀐다.
2줄: 핵심계산 (40%)
움직인 거리는 \(s = \int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)라 하면 \(F(0)=0,\; F(1)=4,\; F(3)=0,\; F(4)=4\)이므로 \(s = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)으로부터 \(t = 1, 3\) 도출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 구간별 절댓값 적분 분리 +3점 / 총 거리 \(12\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 위치의 변화량 \(\int_0^4 v(t)\,dt = 4\)와 실제로 움직인 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12\)를 혼동하지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(t = 1,\; t = 3\) | [8-2] \(s = 12\)
[Part 2 모의고사 제7회 (기출 심화 난이도 (2/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동) ➔ 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
출제·채점 핵심
지수부등식을 풀 때 밑이 \(1\)보다 큰지 작은지 명시하여 부등호 방향이 유지됨을 밝혀줍니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
지수부등식 \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(3^x = t\) (\(t > 0\))로 치환하여 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(2^{x+1}\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(3^x = t\) (\(t > 0\))로 치환하면 주어진 부등식은 \(t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9) \le 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(1 \le t \le 9 \iff 3^0 \le 3^x \le 3^2\)이고 밑이 \(3 > 1\)이므로 \(0 \le x \le 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(2^{x+1}\)의 최솟값은 \(2^{0+1} = 2\), 최댓값은 \(2^{2+1} = 8\)이므로 합은 \(2 + 8 = 10\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • 치환부등식 \(1 \le 3^x \le 9\) 및 \(0 \le x \le 2\) 도출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 최솟값 \(2\), 최댓값 \(8\) 산출 +3.5점 / 합 \(10\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 지수부등식을 풀 때 밑이 \(1\)보다 큰지 작은지 명시하여 부등호 방향이 유지됨을 밝혀줍니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(0 \le x \le 2\) | [1-2] \(10\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동) ➔ 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17082 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
출제·채점 핵심
주어진 정의역 \(0 \le x < 2\pi\) 안에서 각 방정식의 근을 빠짐없이 나열한 뒤 합을 구합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
\(0 \le x < 2\pi\)일 때, 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(0 \le x < 2\pi\)에서 주어진 방정식의 모든 실근을 구하고 그 합을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하면 \(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\((2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 \le x < 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\dfrac{5\pi}{2}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • 이차방정식 인수분해 및 \(\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 도출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 산출 +3.5점 / 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 주어진 정의역 \(0 \le x < 2\pi\) 안에서 각 방정식의 근을 빠짐없이 나열한 뒤 합을 구합니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\) | [2-2] 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동) ➔ 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 탐구 17083 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
출제·채점 핵심
둔각 \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)의 음수 부호에 유의하여 계산 실수를 방지합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4\), \(\overline{\mathrm{BC}} = 6\), \(\angle B = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cos\dfrac{2\pi}{3}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 76\)이므로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
사인법칙 \(2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{4\sqrt{57}}{3}\)에서 \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) 도출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • 사인법칙 \(2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}\) 적용 +3점 / \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 둔각 \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)의 음수 부호에 유의하여 계산 실수를 방지합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) | [3-2] \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동) ➔ 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 17084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
출제·채점 핵심
첫 항 \(1\)과 마지막 남는 항 \(-\dfrac{1}{25}\)을 정확히 표시하여 소거 구조를 보여주는 것이 핵심입니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 일반항 \(\dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)을 부분분수로 분해하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \(S = \dfrac{q}{p}\) (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수)를 구하고, \(p + q\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
부분분수 분해 공식 \(\dfrac{B-A}{AB} = \dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\)에 의해 \(\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
망원급수로 전개하면 \(S = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{23} - \dfrac{1}{25}\right) = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 서로소인 두 자연수는 \(p = 25,\; q = 24\)이므로 \(p + q = 49\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • 부분분수 변형 \(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) 도출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 소거 후 \(S = \dfrac{24}{25}\) 산출 +3.5점 / \(p + q = 49\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 첫 항 \(1\)과 마지막 남는 항 \(-\dfrac{1}{25}\)을 정확히 표시하여 소거 구조를 보여주는 것이 핵심입니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) | [4-2] \(S = \dfrac{24}{25},\; p + q = 49\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동) ➔ 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17085 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
출제·채점 핵심
유리화 과정에서 \(3x + 10 - 16 = 3(x - 2)\)의 계수 \(3\)을 누락하지 않도록 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x + 10} - a}{x - 2} = b\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(x \to 2\)일 때 분모의 극한이 \(0\)임을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[5-2] (6.5점) 분자를 유리화하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(ab\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하고 극한값 \(b\)가 존재하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(\sqrt{16} - a = 0 \implies a = 4\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
분자를 유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{3}{\sqrt{3x + 10} + 4} = \dfrac{3}{8} = b\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(ab = 4 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(a = 4\) 산출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 유리화 및 약분으로 \(b = \dfrac{3}{8}\) 도출 +3.5점 / \(ab = \dfrac{3}{2}\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 유리화 과정에서 \(3x + 10 - 16 = 3(x - 2)\)의 계수 \(3\)을 누락하지 않도록 주의합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(a = 4\) | [5-2] \(b = \dfrac{3}{8},\; ab = \dfrac{3}{2}\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동) ➔ 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 17086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
출제·채점 핵심
미분가능성 문제에서는 반드시 (1) 연속 조건, (2) 좌·우미분계수 일치 조건을 순서대로 기술합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 1) \\ 4x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) \(x = 1\)에서의 연속 조건을 이용하여 \(a\)와 \(b\) 사이의 관계식을 구하시오.
[6-2] (6.5점) \(x = 1\)에서의 미분가능 조건을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고 \(a^2 + b^2\)을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(x = 1\)에서 미분가능하면 연속이므로 \(\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = f(1) \implies 1 + a + b = 3 \iff a + b = 2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 \(2(1) + a = 4\)에서 \(a = 2\)이고, \(b = 2 - a = 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a^2 + b^2 = 2^2 + 0^2 = 4\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • 연속 조건 \(1 + a + b = 3 \implies a + b = 2\) 수립 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 좌·우미분계수 일치로 \(a = 2, b = 0\) 도출 +3.5점 / \(a^2 + b^2 = 4\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 미분가능성 문제에서는 반드시 (1) 연속 조건, (2) 좌·우미분계수 일치 조건을 순서대로 기술합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \(a + b = 2\) | [6-2] \(a = 2,\; b = 0,\; a^2 + b^2 = 4\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동) ➔ 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
출제·채점 핵심
닫힌구간 최대·최소는 반드시 극값(\(x=1, 2\))과 구간의 양 끝점(\(x=0, 3\)) 네 값을 모두 비교해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + k\)의 최솟값이 \(4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 \(f'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 모두 구하시오.
[7-2] (6.5점) 상수 \(k\)의 값과 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
도함수 \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 극점은 \(x = 1, 2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
구간 \([0, 3]\)에서 극값과 양 끝점의 함숫값은 \(f(0)=k,\; f(1)=k+5,\; f(2)=k+4,\; f(3)=k+9\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
최솟값은 \(f(0) = k = 4\)이므로 최댓값은 \(f(3) = k + 9 = 4 + 9 = 13\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = 6(x-1)(x-2) = 0\)으로 \(x = 1, 2\) 산출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f(0)=k=4\) 결정 +3점 / 최댓값 \(f(3)=13\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 닫힌구간 최대·최소는 반드시 극값(\(x=1, 2\))과 구간의 양 끝점(\(x=0, 3\)) 네 값을 모두 비교해야 합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(x = 1,\; x = 2\) | [7-2] \(k = 4\), 최댓값 \(13\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제8회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2024학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동) ➔ 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 17088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
출제·채점 핵심
적분구간이 원점에 대하여 대칭일 때는 홀수차항을 먼저 소거하면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(g(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 대칭구간 \([-2, 2]\)에서 기함수 부분과 우함수 부분을 분리하여 \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)를 \(\int_{0}^{2}\) 꼴의 정적분으로 나타내시오.
[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수의 정적분은 \(0\)이고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^a\)와 같다.
2줄: 핵심계산 (40%)
기함수 \(3x^3 - 5x\)의 정적분은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^2 g(x)\,dx = 2\int_0^2 (4x^2 + 2)\,dx\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
계산하면 \(2\Bigl[\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\Bigr]_0^2 = 2\left(\dfrac{32}{3} + 4\right) = \dfrac{88}{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 기함수 소거 및 \(2\int_0^2 (4x^2+2)\,dx\) 변형 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 부정적분 \(\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\) 대입 +3점 / 최종값 \(\dfrac{88}{3}\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 적분구간이 원점에 대하여 대칭일 때는 홀수차항을 먼저 소거하면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(2\int_{0}^{2} (4x^2 + 2)\,dx\) | [8-2] \(\dfrac{88}{3}\)
[Part 2 모의고사 제8회 (기출 심화 난이도 (3/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동) ➔ 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 17091 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]
출제·채점 핵심
로그 변환 \(\dfrac{1}{x} = \log_{21} 3,\; \dfrac{1}{y} = \log_{21} 7\)로 풀어도 동일하게 만점을 받습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 실수 \(x, y\)가 \(3^x = 7^y = 21\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(21^{\frac{1}{x}}\)와 \(21^{\frac{1}{y}}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(3^x = 21 > 1,\; 7^y = 21 > 1\)이므로 \(x \ne 0,\; y \ne 0\)이고 양변에 각각 \(\dfrac{1}{x},\; \dfrac{1}{y}\)제곱을 취한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\)이므로 두 식을 변끼리 곱하면 \(21^{\frac{1}{x}} \cdot 21^{\frac{1}{y}} = 21^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 3 \times 7 = 21^1\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 지수를 비교하면 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(21^{\frac{1}{x}} = 3\) 및 \(21^{\frac{1}{y}} = 7\) 도출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 변변 곱하여 \(21^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = 21\) 유도 +3.5점 / \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = 1\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 로그 변환 \(\dfrac{1}{x} = \log_{21} 3,\; \dfrac{1}{y} = \log_{21} 7\)로 풀어도 동일하게 만점을 받습니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\) | [1-2] \(1\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동) ➔ 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 17092 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
출제·채점 핵심
치환 방정식 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)의 두 근의 곱 \(2\)를 \(\alpha\beta\)로 착각하지 않도록 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)임을 명확히 적습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
로그방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 2 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 진수 조건 하에서 \(\log_3 x = t\)로 치환한 이차방정식을 구하고, \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
진수 조건 \(x > 0\)에서 \(\log_3 x^4 = 4\log_3 x\)이므로 \(\log_3 x = t\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
치환된 이차방정식의 두 실근이 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(\log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 로그의 정의에 의해 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(t^2 - 4t + 2 = 0\) 및 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) 도출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(\log_3(\alpha\beta) = 4\) 변환 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 치환 방정식 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)의 두 근의 곱 \(2\)를 \(\alpha\beta\)로 착각하지 않도록 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)임을 명확히 적습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(t^2 - 4t + 2 = 0,\; \log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) | [2-2] \(\alpha\beta = 81\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동) ➔ 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 탐구 17093 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
출제·채점 핵심
사인법칙에서 분모는 반지름 \(R=5\)가 아니라 지름 \(2R=10\)임에 주의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(R = 5\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{12}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 \(\sin A,\; \sin B,\; \sin C\)를 세 변의 길이 \(a, b, c\)로 나타내시오.
[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이 \(a + b + c\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)에서 \(2R = 10\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
따라서 \(\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\)이고, 이를 주어진 식에 대입하면 \(\dfrac{a + b + c}{10} = \dfrac{12}{5}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
양변에 \(10\)을 곱하면 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이는 \(a + b + c = 24\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • 사인법칙으로 \(\sin A = \dfrac{a}{10}\) 등 표현 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\dfrac{a+b+c}{10} = \dfrac{12}{5}\) 대입 +3점 / 둘레 \(24\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 분모는 반지름 \(R=5\)가 아니라 지름 \(2R=10\)임에 주의합니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\) | [3-2] \(24\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동) ➔ 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 17094 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
출제·채점 핵심
수열의 합 \(S_n\)으로부터 일반항을 구할 때는 \(a_1 = S_1\)과 \(n \ge 2\)일 때의 식이 \(n=1\)에서 일치하는지 확인합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = 2n^2 + 3n\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 첫째항 \(a_1\)과 일반항 \(a_n\) (\(n \ge 1\))을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(a_1 + a_6\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_n = (2n^2 + 3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1\)이며, \(n = 1\)일 때도 \(a_1 = 5\)로 일치한다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(a_6 = 4(6) + 1 = 25\)이므로 \(a_1 + a_6 = 5 + 25 = 30\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(a_1 = 5\) 및 \(a_n = S_n - S_{n-1} = 4n + 1\) 도출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • \(a_6 = 25\) 계산 +3점 / \(a_1 + a_6 = 30\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 수열의 합 \(S_n\)으로부터 일반항을 구할 때는 \(a_1 = S_1\)과 \(n \ge 2\)일 때의 식이 \(n=1\)에서 일치하는지 확인합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(a_1 = 5,\; a_n = 4n + 1\) | [4-2] \(30\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동) ➔ 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 17095 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
출제·채점 핵심
사잇값의 정리를 적용할 때는 (1) 닫힌구간에서 연속, (2) 양 끝점 함숫값의 부호 반대(\(f(2)f(3)<0\)) 두 조건을 모두 적어야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
삼차방정식 \(x^3 - 3x - 5 = 0\)의 양의 실근이 열린구간 \((n, n+1)\) (단, \(n\)은 자연수)에 속할 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(f(x) = x^3 - 3x - 5\)라 할 때 \(f(1),\; f(2),\; f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) 사잇값의 정리를 이용하여 양의 실근이 속하는 열린구간 \((n, n+1)\)의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
다항함수 \(f(x) = x^3 - 3x - 5\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
함숫값을 계산하면 \(f(1) = -7 < 0,\; f(2) = 8 - 6 - 5 = -3 < 0,\; f(3) = 27 - 9 - 5 = 13 > 0\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
닫힌구간 \([2, 3]\)에서 연속이고 \(f(2)f(3) < 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 열린구간 \((2, 3)\)에 실근이 존재하며, \(n = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • \(f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) 산출 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 연속성 및 \(f(2)f(3) < 0\) 근거 명시 +3.5점 / \(n = 2\) 결정 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 사잇값의 정리를 적용할 때는 (1) 닫힌구간에서 연속, (2) 양 끝점 함숫값의 부호 반대(\(f(2)f(3)<0\)) 두 조건을 모두 적어야 합니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) | [5-2] \(n = 2\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동) ➔ 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
출제·채점 핵심
방정식 \(c^2 = 3\)의 해 \(\pm\sqrt{3}\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 양수 \(\sqrt{3}\)만 선택해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 < c < 3\))를 구하고자 한다.
[6-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족시키는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(0) = 1,\; f(3) = 19\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{19 - 1}{3} = 6\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \(c^2 = 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(0 < c < 3\)이므로 구하는 상수는 \(c = \sqrt{3}\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(f(0)=1,\; f(3)=19\) 및 평균변화율 \(6\) 산출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(3c^2 - 3 = 6 \implies c^2 = 3\) 도출 +3.5점 / \(0< c <3\)으로 \(c = \sqrt{3}\) 결정 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 방정식 \(c^2 = 3\)의 해 \(\pm\sqrt{3}\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 양수 \(\sqrt{3}\)만 선택해야 합니다.
🎯 최종 정답: [6-1] 평균변화율 \(6\) | [6-2] \(c = \sqrt{3}\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동) ➔ 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
출제·채점 핵심
이차인수 \(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0\)임을 언급하여 \(x = 1\)이 유일한 극점임을 보이면 완벽합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 전체의 집합에서 사차부등식 \(x^4 - 4x + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \(f(x) = x^4 - 4x + k\)라 할 때, \(f(x)\)가 최솟값을 갖는 \(x\)의 값과 그때의 최솟값을 \(k\)로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0\)에서 \(x^2 + x + 1 > 0\)이므로 유일한 극점은 \(x = 1\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 극소이자 최소이므로 실수 전체에서 최솟값은 \(f(1) = 1 - 4 + k = k - 3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
모든 실수에서 \(f(x) \ge 0\)이려면 최솟값 \(k - 3 \ge 0 \implies k \ge 3\)이므로 \(k\)의 최솟값은 \(3\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)\) 및 최솟값 \(f(1) = k - 3\) 도출 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(k - 3 \ge 0\) 부등식 수립 +3점 / 최솟값 \(3\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 이차인수 \(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0\)임을 언급하여 \(x = 1\)이 유일한 극점임을 보이면 완벽합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(x = 1\), 최솟값 \(k - 3\) | [7-2] \(3\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제9회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2023학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동) ➔ 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 17098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
출제·채점 핵심
두 이차곡선의 최고차항 계수의 차가 \(|1 - (-1)| = 2\)이므로 공식 적용 시 분자에 \(2\)를 곱해야 합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
두 이차곡선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(y = -x^2 + 4x\)로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하시오.
[8-2] (6.5점) 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
교점 방정식 \(x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0\)에서 교점의 \(x\)좌표는 \(0, 3\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
닫힌구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\)이므로 넓이는 \(S = \int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
정적분을 계산하면 \(S = \dfrac{2}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{1}{3} \times 27 = 9\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 교점 방정식 \(2x(x-3)=0\) 및 \(x = 0, 3\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(\int_0^3 (-2x^2+6x)\,dx\) 수립 +3점 / 넓이 \(9\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 두 이차곡선의 최고차항 계수의 차가 \(|1 - (-1)| = 2\)이므로 공식 적용 시 분자에 \(2\)를 곱해야 합니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(x = 0,\; x = 3\) | [8-2] \(S = 9\)
[Part 2 모의고사 제9회 (기출 심화 난이도 (4/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 1번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 1번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 1번 (심화) (1:1 연동) ➔ 역수 지수 대칭식의 곱셈공식 변형 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 170101 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
출제·채점 핵심
\(3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1\)임을 명시하여 대칭식 공식을 깔끔하게 전개합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 1】 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 역수 지수 대칭식의 곱셈공식 변형)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
실수 \(x\)가 \(3^x + 3^{-x} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식의 변형을 이용하여 \(9^x + 9^{-x}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(27^x + 27^{-x}\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(a = 3^x,\; b = 3^{-x}\)라 하면 \(ab = 1\)이고 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(9^x + 9^{-x} = 5^2 - 2 = 23\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(27^x + 27^{-x} = 5^3 - 3(1)(5) = 125 - 15 = 110\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점) • \(9^x + 9^{-x} = (3^x + 3^{-x})^2 - 2 = 23\) 산출 +6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 세제곱 변형 공식 적용 +3.5점 / \(27^x + 27^{-x} = 110\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1\)임을 명시하여 대칭식 공식을 깔끔하게 전개합니다.
🎯 최종 정답: [1-1] \(23\) | [1-2] \(110\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 2번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 2번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 2번 (심화) (1:1 연동) ➔ 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 170102 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
출제·채점 핵심
부채꼴의 둘레의 길이는 호의 길이 \(l\)에 두 반지름 \(2r\)을 더한 값임을 놓치지 않습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 2】 (대수 Ⅱ. 삼각함수 — 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 15\pi\)인 부채꼴에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 둘레의 길이를 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\dfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \theta = 18\theta = 15\pi\)이므로 중심각의 크기는 \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{5\pi}{6} = 5\pi\)이고, 부채꼴의 둘레의 길이는 \(l + 2r = 5\pi + 12\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점) • \(\dfrac{1}{2}r^2\theta = 15\pi\)로부터 \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) 산출 +6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 호의 길이 \(l = 5\pi\) 도출 +3.5점 / 둘레 \(5\pi + 12\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레의 길이는 호의 길이 \(l\)에 두 반지름 \(2r\)을 더한 값임을 놓치지 않습니다.
🎯 최종 정답: [2-1] \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) | [2-2] \(l = 5\pi\), 둘레 \(5\pi + 12\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 3번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 3번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 3번 (심화) (1:1 연동) ➔ 등차중항과 연립방정식을 이용한 등차수열의 결정 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 170103 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
출제·채점 핵심
\(a_1, d\)로 처음부터 연립하기보다 등차중항 \(a_2 + a_8 = 2a_5\)를 먼저 적용하면 암산 수준으로 풀립니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 3】 (대수 Ⅲ. 수열 — 등차중항과 연립방정식을 이용한 등차수열의 결정)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 + a_8 = 20\), \(a_5 + a_9 = 28\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 등차중항의 성질을 이용하여 제\(5\)항 \(a_5\)와 제\(9\)항 \(a_9\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 첫째항 \(a_1\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
등차중항의 성질에 의해 \(a_2 + a_8 = 2a_5 = 20\)이므로 \(a_5 = 10\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(a_5 + a_9 = 10 + a_9 = 28\)에서 \(a_9 = 18\)이고, \(a_9 - a_5 = 4d = 8\)이므로 공차는 \(d = 2\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 첫째항은 \(a_1 = a_5 - 4d = 10 - 8 = 2\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점) • \(2a_5 = 20 \implies a_5 = 10\) 및 \(a_9 = 18\) 산출 +6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(4d = 8 \implies d = 2\) 도출 +3.5점 / \(a_1 = 2\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(a_1, d\)로 처음부터 연립하기보다 등차중항 \(a_2 + a_8 = 2a_5\)를 먼저 적용하면 암산 수준으로 풀립니다.
🎯 최종 정답: [3-1] \(a_5 = 10,\; a_9 = 18\) | [3-2] \(d = 2,\; a_1 = 2\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 4번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 4번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 4번 (심화) (1:1 연동) ➔ 시그마의 선형성과 자연수 거듭제곱의 합 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 170104 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
출제·채점 핵심
상수항 \(\sum_{k=1}^6 2\)를 \(2\)가 아닌 \(2 \times 6 = 12\)로 계산하는 것에 유의합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 4】 (대수 Ⅲ. 수열 — 시그마의 선형성과 자연수 거듭제곱의 합)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(\sum_{k=1}^{6} k^2\)와 \(\sum_{k=1}^{6} k\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \(S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
거듭제곱의 합 공식 \(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)과 \(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(\sum_{k=1}^6 k^2 = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 91\)이고, \(\sum_{k=1}^6 k = \dfrac{6 \cdot 7}{2} = 21\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 \(S = 91 - 3(21) + 2(6) = 91 - 63 + 12 = 40\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점) • \(\sum_{k=1}^6 k^2 = 91\) 및 \(\sum_{k=1}^6 k = 21\) 산출 +6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 상수항 합 \(\sum_{k=1}^6 2 = 12\) 반영 +3점 / 최종합 \(40\) 도출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 상수항 \(\sum_{k=1}^6 2\)를 \(2\)가 아닌 \(2 \times 6 = 12\)로 계산하는 것에 유의합니다.
🎯 최종 정답: [4-1] \(\sum_{k=1}^{6} k^2 = 91,\; \sum_{k=1}^{6} k = 21\) | [4-2] \(S = 40\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 5번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 5번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 5번 (심화) (1:1 연동) ➔ 곱의 미분법을 이용한 미분계수의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 170105 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
출제·채점 핵심
곱의 미분법 공식을 1줄에 먼저 쓴 뒤 \(x=1\)을 대입하면 부분점수 누수를 막을 수 있습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 5】 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 곱의 미분법을 이용한 미분계수의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 4\), \(f'(1) = -3\)을 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 + 2x)f(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 도함수 \(g'(x)\)를 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)를 포함한 식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 미분계수 \(g'(1)\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
곱의 미분법 \(\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)를 적용한다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\)이고, 여기에 \(x = 1\)을 대입하면 \(g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f(1) = 4,\; f'(1) = -3\)을 대입하면 \(g'(1) = 4(4) + 3(-3) = 16 - 9 = 7\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점) • 곱의 미분법 도함수 \(g'(x)\) 정확히 기술 +6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\) 표현 +3점 / \(g'(1) = 7\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 곱의 미분법 공식을 1줄에 먼저 쓴 뒤 \(x=1\)을 대입하면 부분점수 누수를 막을 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [5-1] \(g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\) | [5-2] \(g'(1) = 7\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 6번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 6번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 6번 (심화) (1:1 연동) ➔ 기울기가 주어진 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 곱 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 170106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
출제·채점 핵심
기울기가 주어진 접선 문제는 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 설정하는 것이 첫 단계입니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 6】 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 기울기가 주어진 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 곱)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
곡선 \(y = x^3 - 5x + 2\)에 접하고 기울기가 \(7\)인 두 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 두 접점의 좌표를 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 두 접선의 방정식을 각각 구하고, 두 접선의 \(y\)절편의 곱을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
접점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 하면 \(y' = 3t^2 - 5 = 7\)에서 \(t^2 = 4 \implies t = 2\) 또는 \(t = -2\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
\(t = 2\)일 때 접점 \((2, 0)\)에서의 접선은 \(y = 7x - 14\)이고, \(t = -2\)일 때 접점 \((-2, 4)\)에서의 접선은 \(y = 7(x + 2) + 4 = 7x + 18\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
따라서 두 접선의 \(y\)절편은 \(-14\)와 \(18\)이므로 그 곱은 \((-14) \times 18 = -252\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점) • \(3t^2 - 5 = 7\)로부터 두 접점 \((2, 0),\; (-2, 4)\) 도출 +6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 두 접선의 방정식 도출 +3.5점 / \(y\)절편의 곱 \(-252\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 주어진 접선 문제는 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 설정하는 것이 첫 단계입니다.
🎯 최종 정답: [6-1] \((2, 0),\; (-2, 4)\) | [6-2] \(y = 7x - 14,\; y = 7x + 18\), 곱 \(-252\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 7번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 7번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 7번 (심화) (1:1 연동) ➔ 정적분과 미분계수의 관계로 정의된 극한값의 계산 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 170107 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
출제·채점 핵심
적분 위끝이 \(1 + 2h\)이므로 분모 \(2h\)를 맞춰 \(2F'(1) = 2f(1)\)이 됨을 명확히 서술합니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 7】 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 정적분과 미분계수의 관계로 정의된 극한값의 계산)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 2x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \(F'(x) = f(x)\)인 한 부정적분을 \(F(x)\)라 할 때, 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1}^{1+2h} f(t)\,dt\)를 \(f(1)\)에 대한 식으로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 극한값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
\(F'(x) = f(x)\)인 부정적분 \(F(x)\)를 도입하면 \(\int_1^{1+2h} f(t)\,dt = F(1 + 2h) - F(1)\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
미분계수의 정의에 의해 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{h} = 2\lim_{h \to 0}\dfrac{F(1+2h)-F(1)}{2h} = 2F'(1) = 2f(1)\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(f(1) = 4(1)^3 - 2(1) + 5 = 7\)이므로 구하는 극한값은 \(2f(1) = 14\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점) • 부정적분 \(F(x)\) 도입 및 \(2f(1)\) 유도 +6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f(1) = 7\) 계산 +3점 / 극한값 \(14\) 산출 +3.5점
💡 감점 방어 클리닉: 적분 위끝이 \(1 + 2h\)이므로 분모 \(2h\)를 맞춰 \(2F'(1) = 2f(1)\)이 됨을 명확히 서술합니다.
🎯 최종 정답: [7-1] \(2f(1)\) | [7-2] \(14\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
📘 [교과서 기반 모의고사 제10회 문항 8번 — 기출 원형 및 출제 근거 분석]
Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 문항 8번 해설
기출유형 모델
2022학년도 국민대 자연 A형 기출 8번 (심화) (1:1 연동) ➔ 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선 (소문항 [1] 6점 + 소문항 [2] 6.5점 = 12.5점)
교과서 DB
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 170108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
출제·채점 핵심
이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 활용하면 삼차방정식을 직접 전개하지 않고 즉시 구할 수 있습니다. (단순 기출 풀이를 넘어 교과서 기반 유사문제를 스스로 풀어내는 실전 연습 및 3줄 채점기준 체화 효과)
【문항 8】 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선)
[12.5점 : 소문항 6점 + 6.5점]
이차곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\) (\(0 < m < 4\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \((4 - m)^3\)의 값을 구하시오.
✍️ 먼저 문제를 스스로 풀어본 뒤 버튼을 눌러 3줄 모범답안과 2열 채점기준을 확인하세요.
💡 정답 및 3줄 풀이 보기
✅ 국민대 자연 A형 약술형 3줄 모범답안 및 2열 부분점수 루브릭
검증: JAR Python 정확연산 PASS
1줄: 공식선언 (30%)
곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S_1 = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다.
2줄: 핵심계산 (40%)
곡선과 직선 \(y = mx\)의 교점은 \(x = 0,\; 4 - m\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
3줄: 최종결론 (30%)
\(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)에서 \(\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}\)이므로 \((4 - m)^3 = 32\)이다.
배점 단계 (12.5점) 국민대학교 자연 A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점) • 전체 넓이 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\) 표현 +3.5점 / \((4 - m)^3 = 32\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 활용하면 삼차방정식을 직접 전개하지 않고 즉시 구할 수 있습니다.
🎯 최종 정답: [8-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3,\; (4 - m)^3 = 32\)
[Part 2 모의고사 제10회 (기출 심화 난이도 (5/5)) · 100% 교과서 DB 연계]
