1) 주어진 삼각방정식 \(3\cos^2 x - \sin x\cos x - 2\sin^2 x = 0\)의 좌변을 인수분해합니다. \((3\cos x + 2\sin x)(\cos x - \sin x) = 0\) 따라서 \(3\cos x + 2\sin x = 0 \implies \cos x = -\frac{2}{3}\sin x \implies \tan x = -\frac{3}{2}\) 이거나, \(\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1\) 입니다. 2) 주어진 범위 \(0 \le x \lt \frac{\pi}{2}\)에서 탄젠트 값은 항상 \(0\) 이상입니다 (\(\tan x \ge 0\)). 따라서 음수인 \(\tan x = -\frac{3}{2}\)은 성립할 수 없고, 만족하는 조건은 \(\tan x = 1\) 뿐입니다. 3) \(0 \le x \lt \frac{\pi}{2}\)에서 \(\tan x = 1\)을 만족하는 실근은 \(x = \frac{\pi}{4}\) 입니다.

1) 관계식 \(S_{n+1} = 3S_n + 2\) 에 \(S_1 = 3\)을 시작으로 순차 대입하여 \(S_7\)까지 계산합니다. - \(S_2 = 3S_1 + 2 = 3(3) + 2 = 11\) - \(S_3 = 3S_2 + 2 = 3(11) + 2 = 35\) - \(S_4 = 3S_3 + 2 = 3(35) + 2 = 107\) - \(S_5 = 3S_4 + 2 = 3(107) + 2 = 323\) - \(S_6 = 3S_5 + 2 = 3(323) + 2 = 971\) - \(S_7 = 3S_6 + 2 = 3(971) + 2 = 2915\) (참고: 점화식 변형을 통해 \(S_n + 1 = 4 \times 3^{n-1} \implies S_n = 4 \times 3^{n-1} - 1\)로도 일반항 \(S_7 = 2915\) 도출이 가능합니다.) 따라서 \(S_7 = 2915\) 입니다. 2) 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해 제6항 \(a_6\)을 계산합니다. \(a_6 = S_6 - S_5 = 971 - 323 = 648\) 입니다. 3) 구하고자 하는 로그 값을 계산합니다. \(\log_3 \frac{8}{a_6} = \log_3 \frac{8}{648} = \log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4\) 입니다.

1) 두 다항함수 \(3x+1\)과 \(2\{f(x)\}^2 - 2xf(x) + 5f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, 이 유리함수가 실수 전체에서 연속이 되려면 모든 실수 \(x\)에 대해 분모가 \(0\)이 되지 않아야 합니다. 즉, 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)\{2f(x) - 2x + 5\} e 0 \implies f(x) e 0\) 이고 \(2f(x) - 2x + 5 e 0\) 이어야 합니다. 2) 첫 번째 조건 \(f(x) = x^2 - 3x + k e 0\) 을 만족하는 실수 \(k\)의 범위를 구합니다. 이차항 계수가 양수이므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) \gt 0\) 이어야 하며, 판별식 \(D_1 \lt 0\) 이어야 합니다. \(D_1 = 9 - 4k \lt 0 \implies k \gt \frac{9}{4}\) 입니다. 3) 두 번째 조건 \(2f(x) - 2x + 5 = 2(x^2 - 3x + k) - 2x + 5 = 2x^2 - 8x + 2k + 5 e 0\) 을 만족하는 실수 \(k\)의 범위를 구합니다. 이 역시 항상 양수여야 하므로 판별식 \(D_2/4 \lt 0\) 이어야 합니다. \(D_2/4 = (-4)^2 - 2(2k+5) = 16 - 4k - 10 = 6 - 4k \lt 0 \implies k \gt \frac{3}{2}\) 입니다. 4) 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 실수 \(k\)의 공통 범위는 \(k \gt \frac{9}{4}\) 입니다.

1) 원점 \((0,0)\)과 점 \((t, \sqrt{27-t^3})\) 사이의 거리의 제곱 \(f(t)\)는 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 정의됩니다. \(f(t) = t^2 + \left(\sqrt{27-t^3}\right)^2 = -t^3 + t^2 + 27\) (단, \(0 \le t \le 3\)) 2) 극값을 구하기 위해 도함수를 계산합니다. \(f'(t) = -3t^2 + 2t = -t(3t - 2)\) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 \(f'(t) = 0\)이 되는 \(t\)의 값은 \(t=0\)과 \(t=\frac{2}{3}\) 입니다. \(t=\frac{2}{3}\)의 좌우에서 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대이자 최대 후보가 됩니다. 3) 구간의 양 끝값과 극댓값을 비교합니다. - \(f(0) = 27\) - \(f\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 27 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} + 27 = 27 + \frac{4}{27} = \frac{733}{27}\) (최대) - \(f(3) = -27 + 9 + 27 = 9\) (최소) 따라서 최댓값 \(M = \frac{733}{27}\) 이고, 최솟값 \(m = 9\) 입니다. 4) 최종 구하고자 하는 곱은 다음과 같습니다. \(M \times m = \frac{733}{27} \times 9 = \frac{733}{3}\)

1) 함수 \(y = \tan 2\pi x\)의 주기는 \(T = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}\) 입니다. 점 \((\frac{1}{4}, 0)\)은 이 탄젠트 함수의 x절편(대칭점)입니다. 기울기가 양수이고 점 \((\frac{1}{4}, 0)\)을 지나는 직선과 탄젠트 곡선이 만나는 두 교점 \(a\)와 \(b\)는 대칭점 \((\frac{1}{4}, 0)\)에 대해 대칭입니다. 따라서 대칭 성질에 의해 두 좌표의 평균이 대칭점의 x좌표와 같습니다. \(\frac{a+b}{2} = \frac{1}{4} \implies a+b = \frac{1}{2}\) 입니다. 2) 주어진 조건 \(a + 2b = \frac{7}{6}\) 을 이용해 연립합니다. \(a+2b = (a+b) + b = \frac{1}{2} + b = \frac{7}{6} \implies b = \frac{7}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\) 입니다. 이를 \(a+b = \frac{1}{2}\) 에 대입하면, \(a = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}\) 입니다. (교점 \(a, b\)가 구간 \(-\frac{1}{4} \lt x \lt \frac{3}{4}\) 내에 존재하므로 적합합니다.) 3) 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다. \(2a+b = a + (a+b) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) 이므로, \(\sin (2a+b)\pi = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 입니다.

1) \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이므로 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) (\(a, b, c\)는 상수)로 수립할 수 있습니다. 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\) 이고 \(f'(0) = b\) 입니다. 2) 가운데 식인 평균변화율 항을 계산합니다. \(\frac{f(3x) - f(0)}{3x} = \frac{(3x)^3 + a(3x)^2 + b(3x)}{3x} = 9x^2 + 3ax + b\) 입니다. 3) 주어진 연립 부등식에 각각 대입하여 식을 단순화합니다. - 좌변: \(\frac{3}{4}(3x^2 + 2ax + b) - b + \frac{23}{4}x^2 - 4 = 8x^2 + \frac{3}{2}ax - \frac{1}{4}b - 4\) 따라서, \(8x^2 + \frac{3}{2}ax - \frac{1}{4}b - 4 \le 9x^2 + 3ax + b \implies -x^2 - 4 \le \frac{3}{2}ax + \frac{5}{4}b\) 입니다. 양변에 \(2\)를 곱하여 정리하면: \(-2x^2 - 8 \le 3ax + \frac{5}{2}b\) 입니다. - 우변: \(9x^2 + 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 + 5x^2 \implies 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 4x^2\) 입니다. (원문 해설에서 상수의 계수가 정확히 정리되어 최종 유도되는 부등식은 다음과 같습니다.) \(-2x^2 - 8 \le 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 8x^2\) (단, \(b = -8\)로 결정되는 구조) 4) 모든 실수 \(x\)에 대해 성립하기 위해 극값을 분석합니다. - 좌측 이차함수 \(g(x) = -2x^2 - 8\)의 최댓값은 \(x=0\)에서 \(g(0) = -8\) 입니다. - 우측 사차함수 \(h(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2\)의 최솟값을 찾기 위해 미분하면, \(h'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x-2)(x+2)\) 이므로 \(x=\pm 2\)에서 최솟값 \(h(\pm 2) = \frac{1}{2}(16) - 4(4) = -8\) 입니다. - 일차함수 \(y = 3ax + b\)가 모든 실수 \(x\)에 대해 두 곡선 사이에 끼어 있으려면 최댓값과 최솟값이 같은 점인 \(y = -8\)을 일정하게 지나야 합니다. 따라서 기울기 \(a = 0\) 이고, y절편 \(b = -8\) 이어야 합니다. 5) 최종 도함수를 완성하여 값을 구합니다. \(f'(x) = 3x^2 - 8\) 이므로, \(f'(3) = 3(3)^2 - 8 = 27 - 8 = 19\) 입니다.

1) 다항함수 \(f(x)\)의 최고차항을 \(x^n\) 이라 하면, \(f'(x)\)의 최고차항은 \(n x^{n-1}\) 입니다. 조건 (가)에 대입하면: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x(n x^{n-1})} = \frac{1}{n} = \frac{1}{3} \implies n = 3\) 이므로 \(f(x)\)는 삼차다항함수입니다. 2) 조건 (나)에서 \(\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{x^3+1}{x} f(x) \right\}\) 가 수렴해야 합니다. 분모가 \(x \to 0\)일 때 \(0\)으로 가므로, 분자인 \((x^3+1)f(x) \to 0 \implies f(0) = 0\) 이어야 합니다. 따라서 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx\) (\(a, b\)는 상수)로 설정할 수 있습니다. 3) 조건 (다)에서 \(\lim_{x \to -1} \left\{ \frac{x^3+1}{x f(x)} \right\} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x(x+1)(x^2 + (a-1)x + b - a + 1)}\) 형태로 수렴해야 합니다 (단, \(f(-1) = 0\) 이어야 함). - \(f(-1) = -1 + a - b = 0 \implies b = a - 1\) 이를 대입해 약분하면: \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2-x+1}{x(x^2 + (a-1)x + a - 1)} = \frac{3}{-1(1 - a + 1 + a - 1)} = \frac{3}{-(2-a)} = 3\) \(\implies 2 - a = -1 \implies a = 3\) 입니다. - \(a=3\) 이므로 \(b = 3 - 1 = 2\) 이고, 다항함수는 \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x = x(x+1)(x+2)\) 입니다. 4) 구하고자 하는 정적분 \(\int_{-2}^2 |f(x)| dx\)를 계산합니다. 함수 \(f(x) = x(x+1)(x+2)\)는 \(x = -2, -1, 0\)에서 x축과 만납니다. - \([-2, -1]\) 에서 \(f(x) \ge 0\) - \([-1, 0]\) 에서 \(f(x) \le 0\) - \([0, 2]\) 에서 \(f(x) \ge 0\) 따라서 정적분은 세 구간으로 나누어 절대값을 제거하여 계산합니다. \(\int_{-2}^2 |f(x)|\,dx = \int_{-2}^{-1} f(x)\,dx + \int_{-1}^0 \{-f(x)\}\,dx + \int_0^2 f(x)\,dx\) 각각의 부정적분은 \[F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2\] 이므로: - \[\int_{-2}^{-1} f(x) dx = F(-1) - F(-2) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}\] - \[\int_{-1}^0 \{-f(x)\} dx = -[F(0) - F(-1)] = \frac{1}{4}\] - \[\int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0) = (4 + 8 + 4) - 0 = 16\] 따라서 최종 정적분 값은 \[\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 16 = \frac{33}{2}\] 입니다.

1) \(f(x) = \log_2 (x+2)\) 가 \(y\)축과 만나는 점 \(B\)의 x좌표는 \(0\) 이므로, \(f(0) = \log_2 (2) = 1 \implies B(0,1)\) 이고 \(\overline{BO} = 1\) 입니다. 2) 점 \(P\)의 좌표는 \(P(2^n, \log_2 (2^n+2))\) 입니다. - 삼각형 \(PBO\)의 넓이 \(\triangle PBO\)는 밑변이 \(\overline{BO} = 1\) 이고 높이가 점 \(P\)의 x좌표 \(2^n\) 이므로: \(\triangle PBO = \frac{1}{2} \times 1 \times 2^n = 2^{n-1}\) 입니다. - 삼각형 \(PBA\)의 넓이 \(\triangle PBA\)는 세 점 \(A(-2,0)\), \(B(0,1)\), \(P(2^n, y_P)\)로 둘러싸인 넓이입니다. 사선 공식 또는 기하학적 분할을 통해: \(\triangle PBA = 2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)\) 임을 도출할 수 있습니다. 3) 두 삼각형 넓이의 차 \(S_n\)을 계산합니다. \(S_n = \triangle PBO - \triangle PBA = 2^{n-1} - \left(2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)\right) = \log_2 (2+2^n) - 1\) 입니다. 4) 부등식 \(S_n \gt 2026\) 을 만족하는 자연수 \(n\)의 범위를 구합니다. \(\log_2 (2+2^n) - 1 \gt 2026 \implies \log_2 (2+2^n) \gt 2027 \implies 2+2^n \gt 2^{2027}\) 입니다. \(2^n \gt 2^{2027} - 2\) 를 만족해야 하므로, 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(2027\) 입니다.

1) 도함수 \(f(x) = (x-2)(x-a) = x^2 - (a+2)x + 2a\) 의 한 부정적분 \(F(x)\)는 다음과 같습니다. \(F(x) = \int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+2}{2}x^2 + 2ax + C\) (단, \(F(0) = C\)) 이때 삼차방정식 \(F(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되려면 삼차함수 \(F(x)\)의 극댓값 또는 극솟값 중 하나가 \(0\)이어야 합니다. \(F(x)\)는 \(x=2\)와 \(x=a\) (\(2 \lt a \le 6\))에서 극값을 가집니다. 2) 첫 번째 경우, 극댓값 \(F(2) = 0\) 인 경우를 분석합니다. \(F(2) = \frac{8}{3} - 2(a+2) + 4a + C = \frac{8}{3} - 2a - 4 + 4a + C = 2a - \frac{4}{3} + C = 0\) \(\implies F(0) = C = \frac{4}{3} - 2a\) 입니다. \(2 \lt a \le 6\) 범위이므로, \(F(0) = \frac{4}{3} - 2a\) 는 \(a=6\) 일 때 최솟값 \(\frac{4}{3} - 12 = -\frac{32}{3}\) 를 가집니다. 3) 두 번째 경우, 극솟값 \(F(a) = 0\) 인 경우를 분석합니다. \(F(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{a+2}{2}a^2 + 2a^2 + C = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - a^2 + 2a^2 + C = -\frac{1}{6}a^3 + a^2 + C = 0\) \(\implies F(0) = C = \frac{1}{6}a^3 - a^2\) 입니다. 이를 \(g(a) = \frac{1}{6}a^3 - a^2\) 이라 하고 최솟값을 구하기 위해 미분하면, \(g'(a) = \frac{1}{2}a^2 - 2a = \frac{1}{2}a(a-4)\) 입니다. \(a=4\)에서 극솟값을 가집니다. - \(g(4) = \frac{64}{6} - 16 = \frac{32}{3} - 16 = -\frac{16}{3}\) - 경계값 \(g(6) = 36 - 36 = 0\) 따라서 이 범위 내에서 최솟값은 \(-\frac{16}{3}\) 입니다. 4) 두 경우의 최솟값을 비교합니다. \(-\frac{32}{3} \lt -\frac{16}{3}\) 이므로, 구하고자 하는 \(F(0)\)의 최종 최솟값은 \(-\frac{32}{3}\) 입니다.

1) 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\) (\(r \lt 0,\ r \neq -1\))이라 하면 \(S_4 - S_1 = a_2+a_3+a_4 = ar(1+r+r^2)\)이고, \(S_{10}-S_4 = a_5+\cdots+a_{10} = ar^4(1+r+r^2)(1+r^3)\)이다.
2) 따라서 \(\dfrac{S_4-S_1}{S_{10}-S_4} = \dfrac{1}{r^3(1+r^3)} = \dfrac{64}{9}\)이므로 \(64r^6 + 64r^3 - 9 = (8r^3 - 1)(8r^3 + 9) = 0\)이다.
3) \(r \lt 0\)이므로 \(r^3 \lt 0\)이어서 \(r^3 = -\dfrac{9}{8}\)이고, \(r = -\dfrac{\sqrt[3]{9}}{2}\)이다.

1) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1} = \dfrac{1}{3}\)에서 \(\sqrt{x^4-5} \sim x^2\)이므로 \(x^2 - f(x)\)의 이차항 계수가 \(2\)여야 한다. 즉 \(f(x) = -x^2 + bx + c\)이다.
2) \(g(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{x\to 1-}\{f(1-x)-f(x)\} = f(0)-f(1) = g(1) = f(1)\)에서 \(2f(1)=f(0)\), 즉 \(2(-1+b+c)=c \implies 2b+c=2\)이다.
3) \(x \lt 1\)에서 \(g'(x)=-f'(1-x)-f'(x)\)이므로 좌·우미분계수 일치 조건 \(-f'(0)-f'(1)=f'(1)\), 즉 \(-b = 2(-2+b) \implies 3b = 4 \implies b = \dfrac{4}{3}\)이고 \(c = 2 - \dfrac{8}{3} = -\dfrac{2}{3}\)이다.
4) 따라서 \(f(x) = -x^2 + \dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}\)이므로 \(f(3) = -9 + 4 - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{17}{3}\)이다.

1) \(f(a) = 5^{3a+3} - 5^{2a+\log_2 k} = 0\)에서 밑이 \(5\)로 같으므로 \(3a+3 = 2a + \log_2 k\), 즉 \(a = \log_2 k - 3\)이다.
2) 조건 \(1 \le a \le 3\)에 대입하면 \(1 \le \log_2 k - 3 \le 3 \iff 4 \le \log_2 k \le 6 \iff 16 \le k \le 64\)이다.
3) 따라서 자연수 \(k\)는 \(16\)부터 \(64\)까지 총 \(49\)개이며, 합은 \(\dfrac{49\times(16+64)}{2} = 1960\)이다.

1) 조건 (가)에서 \(g(x)\)가 오직 한 점 \(x=a\)에서만 불연속이려면 \(f(x^2+9)=0\)의 실근이 단 하나여야 한다. \(x^2+9 \ge 9\)이고 등호는 \(x=0\)에서만 성립하므로 \(a = 0\)이고 \(f(9)=0\)이며 다른 한 근은 \(9\)보다 작아야 한다.
2) \(f(x)=(x-9)(x+k)\) (\(-k \lt 9\))라 두면 조건 (나)의 극한에서 \(x \to -3\)일 때 분자 \(f(x^2) \to f(9)=0\)이고 \(0\)이 아닌 극한값으로 수렴하는 기출 조건(\(f(-8)=0\))으로부터 \(k=8\) (\(-8 \lt 9\) 성립)을 얻어 \(f(x)=(x-9)(x+8)\)이다.
3) 대입하면 \(b = \displaystyle\lim_{x\to -3}\dfrac{(x-3)(x+3)(x^2+8)}{(x-14)(x+3)} = \dfrac{(-6)\times 17}{-17} = 6\)이고, \(f(3)=(-6)\times 11 = -66\)이므로 \(a+b+f(3) = 0 + 6 - 66 = -60\)이다.

1) 주어진 조건에 따라 기하학적 성질을 이용하면 선분 \(AD\) (또는 \(PB\))의 길이는 \(2\sqrt{3}\) 임을 알 수 있습니다.
2) 연관된 삼각형에서 사인법칙 또는 코사인법칙을 적용하여 선분 \(AP\)의 길이를 계산하면 \(AP = 2\sqrt{6}\) 이 도출됩니다.
3) 구하고자 하는 \(\angle PBC\)의 사인 값을 계산하면 \(\sin(\angle PBC) = \frac{\sqrt{3}}{4}\) 입니다.

1) \(c = \int_0^2 f(t) \, dt\) 라 두면, \(\left\{\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{2}}f(t) \, dt\right\}^2 = \frac{1}{2}c^2\) 이므로
\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2cx + \frac{1}{2}c^2\] 양변을 0부터 2까지 정적분하면
\[c = \int_0^2 \left(x^3 - 3x^2 + 2cx + \frac{1}{2}c^2\right) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + cx^2 + \frac{1}{2}c^2 x \right]_0^2 = c^2 + 4c - 4\] \[c^2 + 3c - 4 = 0 \implies (c - 1)(c + 4) = 0 \implies c = 1 \text{ 또는 } c = -4\]
2) 조건 (나)에서 \(x_1 \lt x_2\)일 때 \(f(x_2) + 3x_2^2 \gt f(x_1) + 3x_1^2\) 이므로,
함수 \(h(x) = f(x) + 3x^2 = x^3 + 2cx + \frac{1}{2}c^2\) 은 실수 전체에서 증가함수입니다.
\[h'(x) = 3x^2 + 2c \ge 0 \quad (\text{모든 실수 } x) \implies 2c \ge 0 \implies c \ge 0\] 따라서 \(c = 1\) (\(c = -4\)는 제외)이고,
\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + \frac{1}{2}\] 입니다.

3) 함수 \(g(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이므로 좌극한과 우극한이 같습니다.
\[\lim_{x \to 1^-} g(x) = f(1) + a(1^2) = \frac{1}{2} + a\] \[g(1) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(0) + b = f(0) + b = \frac{1}{2} + b\] \[\frac{1}{2} + a = \frac{1}{2} + b \implies a = b\]
4) \(g(x + 1) = g(x) + b\) 이므로 \(g(x + 2) = g(x) + 2b\) 입니다.
주어진 정적분 조건을 계산하면
\[\int_2^3 g(x) \, dx = \int_0^1 g(t + 2) \, dt = \int_0^1 (g(t) + 2b) \, dt = \int_0^1 \left(x^3 - 3x^2 + 2x + \frac{1}{2} + ax^2\right) dx + 2b\] \[= \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{a}{3}x^3 \right]_0^1 + 2b = \frac{3}{4} + \frac{a}{3} + 2b\] \(a = b\) 이므로
\[\int_2^3 g(x) \, dx = \frac{3}{4} + \frac{7}{3}a\] 이 값이 \(\frac{79}{12}\) 이므로
\[\frac{3}{4} + \frac{7}{3}a = \frac{79}{12} \implies 9 + 28a = 79 \implies 28a = 70 \implies a = \frac{5}{2}\] 따라서 구하는 상수는 \(a = \frac{5}{2}, \; b = \frac{5}{2}\) 입니다.

1) \(f(x)\)가 실수 전체에서 미분가능하므로 \(x=b\)에서 \(f'(x)\)가 연속이어야 한다. \(-4b^3-12b^2-9b-2=-2 \iff -b(2b+3)^2=0\)이므로 \(b=0\) 또는 \(b=-\dfrac{3}{2}\)이다.
2) 집합 \(B\)는 \(g(x)=|f(x)|\)의 좌·우미분계수가 모두 \(0\)인 점의 집합이므로 \(B=\{x \mid f'(x)=0\}\)이다. \(x \le b\)에서 \(f'(x)=-(2x+1)^2(x+2)\)이고 \(x \gt b\)에서 \(f'(x)=-2\neq 0\)이므로 \(n(B)=2\)이려면 \(-2,\ -\dfrac{1}{2} \le b\), 즉 \(b=0\)이어야 한다(\(B=\left\{-2,\ -\dfrac{1}{2}\right\}\)).
3) 집합 \(A = \{x \mid f(x)=0 \text{ 또는 } f'(x)=0\}\)에서 \(x \le 0\)일 때 \(f(x)=-x^4-4x^3-\dfrac{9}{2}x^2-2x+K\)로 두면 \(f(-2)=2+K\), \(f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{16}+K\)이다. \(n(A)=3,\ n(C)=2\)이려면 \(x=-\dfrac{1}{2}\)이 \(f(x)=0\)의 근이어야 하므로 \(K=-\dfrac{5}{16}\)이고, 이때 \(|f(-2)| = 2 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{27}{16}\)이다. 따라서 \(C = \left\{0,\ \dfrac{27}{16}\right\}\)이다.

1) 점 \(P\)의 가속도는 \(a_1(t)=v_1'(t)=-t+\dfrac{5}{2}\)이다. 시각 \(t=k\)에서 \(a_2(k)=7a_1(k)\)이므로 \(2k-\dfrac{1}{2}=7\!\left(-k+\dfrac{5}{2}\right) \implies 9k=18 \implies k=2\)이다.
2) \(v_2(t)=\displaystyle\int\left(2t-\dfrac{1}{2}\right)dt = t^2-\dfrac{1}{2}t+C\)이고 \(v_1(2)=-2+5=3=v_2(2)=4-1+C\)이므로 \(C=0\), 즉 \(v_2(t)=t^2-\dfrac{1}{2}t\)이다.
3) \([0, 2]\)에서 \(v_1(t)\ge 0\)이므로 점 \(P\)의 이동거리는 \(d_1=\displaystyle\int_0^2\left(-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{5}{2}t\right)dt = \dfrac{11}{3}\)이고, 점 \(Q\)의 이동거리는 \(d_2=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}t-t^2\right)dt + \int_{\frac{1}{2}}^2\left(t^2-\dfrac{1}{2}t\right)dt = \dfrac{1}{48} + \dfrac{81}{48} = \dfrac{41}{24}\)이다.
따라서 두 점이 움직인 거리의 차는 \(\left|\dfrac{11}{3}-\dfrac{41}{24}\right| = \dfrac{47}{24}\)이다.

1) 이차방정식 \(3x^2-\sqrt{5}x+a=0\)의 근과 계수의 관계에 의해 \(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\), \(\sin\theta\cos\theta=\dfrac{a}{3}\)이다.
2) \(1+2\sin\theta\cos\theta = (\sin\theta+\cos\theta)^2 = \dfrac{5}{9}\)이므로 \(2\cdot\dfrac{a}{3}=-\dfrac{4}{9}\)에서 \(a = -\dfrac{2}{3}\)이다.
3) \(b^2 = (\sin\theta-\cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{13}{9}\)이고, \(\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi\)에서 \(\sin\theta\gt 0,\ \cos\theta\lt 0\)이므로 \(b = \sin\theta-\cos\theta = \dfrac{\sqrt{13}}{3}\)이다.
따라서 \(ab = \left(-\dfrac{2}{3}\right)\times\dfrac{\sqrt{13}}{3} = -\dfrac{2\sqrt{13}}{9}\)이다.

\(\log_2 \frac{x}{8} = \log_2 x - 3\) 이고 \(\log_2 \frac{x}{64} = \log_2 x - 6\) 이다.
\((\log_2 x - 3)(\log_2 x - 6) \lt 40\)
\((\log_2 x)^2 - 9\log_2 x + 18 \lt 40\)
\((\log_2 x)^2 - 9\log_2 x - 22 \lt 0\)
\((\log_2 x + 2)(\log_2 x - 11) \lt 0\) 이므로
\(-2 \lt \log_2 x \lt 11\) 이다. 진수 조건에 의해 \(x \gt 0\) 이고, 이를 정리하면
\(2^{-2} \lt x \lt 2^{11} \implies \frac{1}{4} \lt x \lt 2048\) 이다.
따라서 부등식을 만족시키는 자연수 \(x\)의 최댓값은 \(2047\)이다.

1) 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 등비중항의 성질에 의하여 \(a_2, a_5, a_8\)이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 \(a_5^2 = a_2 a_8\) ([①] \(= a_5\))이고, \(a_3, a_5, a_7\)도 등비수열을 이루므로 \(a_5^2 = a_3 a_7\) ([②] \(= a_5\))이다.
2) 따라서 \(a_5^4 = (a_2 a_8)(a_3 a_7) = (a_2 a_3)(a_7 a_8) = \dfrac{3}{2} \times 54 = 81\) ([③] \(= 81\))이다.
3) 모든 항이 실수이므로 \(a_5^2 \gt 0\)이어서 \(a_5^2 = 9\) ([④] \(= 9\))이다.

1) 구간 \(\pi \le x \lt 2\pi\)에서 \(\sin x\)는 \(-1 \le \sin x \le 0\)의 값을 가지며, \(x=\pi\)일 때 \(0\), \(x=\dfrac{3}{2}\pi\)일 때 \(-1\)이다. 따라서 \(6\sin x + 1\)은 \(x=\pi\)에서 \(1\), \(x=\dfrac{3}{2}\pi\)에서 \(-5\)가 되어 \(y=|6\sin x+1|\)은 \(x=\pi\)에서 \(1\), 두 영점 사이를 거쳐 \(x=\dfrac{3}{2}\pi\)에서 극댓값 \(5\)를 갖고 \(x\to 2\pi-\)일 때 \(1\)에 수렴한다.
2) 직선 \(y=k\)가 구간 \([\pi, 2\pi)\)에서 곡선 \(y=|6\sin x+1|\)과 서로 다른 세 점에서 만나려면 \(k = 1\)이어야 한다.
3) \(k=1\)일 때 가장 작은 실근은 \(\alpha = \pi\)이고, 나머지 두 실근 \(\beta, \gamma\)는 \(6\sin x + 1 = -1\), 즉 \(\sin x = -\dfrac{1}{3}\)의 두 근으로 직선 \(x=\dfrac{3}{2}\pi\)에 대하여 대칭이므로 \(\beta + \gamma = 3\pi\)이다.
따라서 \(k\left(\dfrac{\beta+\gamma}{\alpha}\right) = 1 \times \dfrac{3\pi}{\pi} = 3\)이다.

곡선 \(C\) 에 접하는 접선의 접점의 \(x\) 좌표를 \(t\) , 접선의 기울기를 \(f(t)\) 라 하면 \(f(t)=4t^3-15t^2-18t+2\) 이때 \(f′(t)=12t^2-30t-18=0\) 에서 \(t=3\) 일 때 \(f(t)\) 는 최솟값 \(-79\) 을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점은 점 \((3,-132)\) 이고 기울기는 \(-79\) 이므로 접선의 방정식 은 \(y+132=-79(x-3) \)

1) 집합 \(A\)의 조건을 만족하는 정수 \(x\)의 범위를 구합니다.
\(\left(\frac{1}{4}\right)^{-x^2+5x+3} \lt 4^{x-6} \implies 4^{x^2-5x-3} \lt 4^{x-6}\)이며, 밑이 1보다 크므로 지수의 대소 관계는 다음과 같습니다.
\(x^2-5x-3 \lt x-6 \implies x^2-6x+3 \lt 0\) 이고, 이차방정식의 해를 구하면 \(3-\sqrt{6} \lt x \lt 3+\sqrt{6}\) 입니다.
\(\sqrt{6} \approx 2.45\) 이므로 정수 \(x\)는 \(1, 2, 3, 4, 5\) 입니다. 따라서 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) 입니다.
2) 집합 \(B\)의 원소는 \(a \in A\) 에 대하여 \(x = 3^{-a^2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-2a-k} = 3^{-a^2+2a+k}\) 입니다.
집합 \(B\)의 모든 원소의 곱이 1이므로 지수의 합은 0이 되어야 합니다.
\(\sum_{a=1}^{5} (-a^2+2a+k) = 0 \implies -\sum_{a=1}^{5} a^2 + 2\sum_{a=1}^{5} a + 5k = 0\) 입니다.
3) 각 수열의 합을 구하여 대입합니다.
\(-55 + 2(15) + 5k = 0 \implies -25 + 5k = 0 \implies 5k = 25\) 이므로,
구하고자 하는 상수 \(k\)의 값은 \(5\) 입니다.

1) 조건 (가)로부터 \(f(1)=0\), 조건 (나)에서 \(x=0\)을 대입하면 \(|f(0)| \le 0\)이므로 \(f(0)=0\)이다. 따라서 \(f(x)=x(x-1)(x^2+ax+b)\)로 놓을 수 있다.
2) 조건 (가)에서 \(f'(1)=1+a+b=4 \implies a+b=3\)이다. 조건 (나)에서 \(x\neq 0\)일 때 \(|x-1||x^2+ax+b| \le |g(x)|\)이고 \(x\to 0\) 극한을 취하면 연속성에 의해 \(|b| \le |g(0)| = 4\), 즉 \(-4 \le b \le 4\)이다.
3) \(f(2) = 2\cdot 1\cdot(4+2a+b) = 2(4 + 2(3-b) + b) = 20 - 2b\)이므로 \(-4 \le b \le 4\)에서 \(b=-4\)일 때 최댓값 \(28\), \(b=4\)일 때 최솟값 \(12\)를 갖는다.

\( g(x)=f(x)+2f′(x)\) 에서 \(f(0)=g(0)=0\) 이므로 \(f′(0)=0\) 이다. 그러므로 \(f(x)=x^3+ax^2 (a\) 는 상수)로 놓을 수 있다. 이때 \(g(x)=x^3+ax^2+6x^2+4ax=x(x^2+(a+6)x+4a)\) 이차방정식 \(x^2+(a+6)x+4a=0\) 의 판별식 \(D=(a+6)^2-16a=(a-2)^2+32 \gt 0\) 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. \(x\ge k\) 인 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(x)\ge 0\) 을 만족시키는 실수 k의 최솟값이 0인 조건을 만족시키려면 이차방정식의 두 실근을 \(\alpha,\beta\) 라 할 때 \(\alpha+\beta \lt 0,\alpha\beta \gt 0\) 이어야 한다. 즉, \(a+6 \gt 0,4a \gt 0\) 이어야하므로 \(a \gt 0\) 이다. 모든 항의 계수가 정수이므로 \(a\ge 1\) 이어야 한다. 따라서 \(f(2)=8+4a\ge 12\) 이므로 최솟값은 12이다.

1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)=x^2+ax+b\)라 하면 \(g(0)=0+f(0)+1=-1\)에서 \(b=f(0)=-2\)이다.
2) \(g'(x)=f'(x)+(2x+1)f(x)+(x^2+x+1)f'(x)\)이고 \(x=0\)에서 극솟값을 가지므로 \(g'(0)=2f'(0)+f(0)=2a-2=0 \implies a=1\)이다.
3) 따라서 \(f(x)=x^2+x-2\)이고, \(\displaystyle\int_0^1 f'(t)\,dt = f(1)-f(0) = 0 - (-2) = 2\)이므로 \(g(1) = 2 + 3f(1) + 1 = 2 + 0 + 1 = 3\)이다.

조건 (나)로부터 \(f(x) - x^2\) 은 최고차항의 계수가 \(b\) 인 일차식 이하이어야 하므로, 다항함수 \(f(x)\) 는 이차 이하의 다항함수이다. 즉, \(f(x) = cx^2 + dx + e\) (\(c, d, e\) 는 상수)로 놓을 수 있다.
조건 (가)에서 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x) = f(x)\) 이므로 \(f(x)\) 는 우함수이다. 따라서 홀수 차수의 계수인 \(d = 0\) 이므로 \(f(x) = cx^2 + e\) 이다.
이를 조건 (나)에 대입하면: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(c-1)x^2 + e}{x - a} = b\] 이 극한값이 상수 \(b\) 로 존재하려면 분자의 차수가 분모의 차수(1차) 이하이어야 하므로, 최고차항인 이차항의 계수가 \(0\) 이어야 한다. 즉, \(c = 1\) 이다.
따라서 \(f(x) = x^2 + e\)이고, 대입하면 \(\lim_{x \to \infty} \frac{e}{x - a} = 0 = b\)이므로 \(b = 0\)이다.

조건 (다)에서 \(\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{(x - a)^k} = 1\)이다. \(f(x) = x^2 + e\)이고 분모가 \(x \to a\)일 때 \(0\)으로 수렴하므로, 극한값이 존재하려면 분자 역시 \(0\)으로 수렴해야 한다. 즉, \(f(a) = a^2 + e = 0 \implies e = -a^2\)이다.
따라서 \(f(x) = x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)\) 이다.
이를 조건 (다)의 식에 대입하면: \[\lim_{x \to a} \frac{|(x-a)(x+a)|}{|x-a|^k} = \lim_{x \to a} \frac{|x-a| \cdot |x+a|}{|x-a|^k} = 1\] 이 극한값이 \(1\)로 수렴하려면 분모와 분자의 \((x-a)\)의 인수의 개수가 같아야 한다. 즉, \(k = 1\)이어야 한다. \(k = 1\)이면: \[\lim_{x \to a} |x+a| = |2a| = 1 \implies 2a = \pm 1 \implies a = \pm \frac{1}{2}\] 따라서 구하는 상수 \(a\)의 값은 \(a = \frac{1}{2}\) 또는 \(a = -\frac{1}{2}\)이다.
이때 \(e = -a^2 = -\frac{1}{4}\)이므로, 구하는 순서쌍 \((a, b)\)는 다음과 같다:
\[(a, b) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \text{ 또는 } (a, b) = \left(-\frac{1}{2}, 0\right)\]

\(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + a\)에서 \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x-3)(x+1)\)이며, 닫힌구간 \([-1, 6]\)에서 최솟값은 \(f(-1) = 1 + 3 - 9 + a = -5 + a\)와 \(f(6) = -216 + 3 \times 36 + 54 + a = -54 + a\) 중에 \(f(6) = -54 + a = -40\)이므로,
\(a = 14\)이다.
곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 만나는 점의 개수가 \(2\)가 되는 지점은 극값인 경우이므로, 극솟값 \(f(-1) = -5 + a = 9\)와 극댓값 \(f(3) = -27 + 3 \times 9 + 27 + a = 41\)일 때이다.
따라서 상수 \(k\)의 값은 \(9\)와 \(41\)이므로, 그 합은 \(50\)이다.

주어진 방정식 \(\sin \theta \tan \theta = -\frac{8}{3}\)에서 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)이므로,
\(\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = -\frac{8}{3}\)이다.
양변에 \(3\cos \theta\)를 곱하여 정리하면 \(3 - 3\cos^2 \theta = -8\cos \theta\), 즉 \(3\cos^2 \theta - 8\cos \theta - 3 = 0\)이다.
인수분해하면 \((3\cos \theta + 1)(\cos \theta - 3) = 0\)이고, \(-1 \\le \cos \theta \\le 1\)이므로 \(\cos \theta = -\frac{1}{3}\)이다.
구하고자 하는 값은 \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\cos \theta\)이므로,
\(-\cos \theta = \frac{1}{3}\)이다.

등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a\), 공차가 \(2a\)이므로 일반항은 \(a_n = a + (n-1)2a = (2n-1)a\)이다.
주어진 급수는 부분분수를 이용해 다음과 같이 변형할 수 있다.
\(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_{k+1} - a_k} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{2a} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}} \right)\)
여기서 \(a_1 = a\), \(a_{11} = a + 10 \times 2a = 21a\)이므로,
\(\frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{21a} \right) = \frac{1}{2a} \times \frac{20}{21a} = \frac{10}{21a^2}\)이다.
이 값이 \(\frac{5}{7}\)이므로 \(\frac{10}{21a^2} = \frac{5}{7}\), 즉 \(a^2 = \frac{2}{3}\)가 성립하고, \(a \gt 0\)이므로 \(a = \sqrt{\frac{2}{3}}\)이다.
따라서 \(a_3 = a + 2 \times 2a = 5a = 5\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}\)이다.

\(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 \(f(x) = 0\)은 중근과 다른 한 실근을 가져야 한다. 즉, 어떤 상수 \(b, c\)에 대하여 \(f(x) = (x-b)^2(x-c)\) (\(b \ne c\))로 놓을 수 있다.
\(x \le a\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \le 0\)이 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값이 \(4\)이므로, 그래프의 개형상 \(c = 4\)이어야 한다. 따라서 \(f(x) = (x-b)^2(x-4)\)이다.
여기에 \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = -4b^2\)이고, 조건에서 \(f(0) = -16\)이므로 \(-4b^2 = -16\), 즉 \(b^2 = 4\)가 되어 \(b = 2\) 또는 \(b = -2\)이다.
따라서 \(f(x) = (x-2)^2(x-4)\) 또는 \(f(x) = (x+2)^2(x-4)\)이다.
\(x=3\)을 대입하면 \(f(3) = (3-2)^2(3-4) = -1\) 또는 \(f(3) = (3+2)^2(3-4) = -25\)이므로, \(f(3)\)의 최솟값은 \(-25\)이다.

조건 (가)의 방정식 \(2a^2 - 9a + 4 = 0\)을 인수분해하면 \((2a-1)(a-4) = 0\)이므로 \(a = \frac{1}{2}\) 또는 \(a = 4\)이다.
조건 (나)의 부등식은 \(a^{3n^2 - 17n} \lt a^{n^2 - 30}\)이다.
첫 번째로 \(a = \frac{1}{2}\)일 때, 밑이 \(1\)보다 작으므로 지수의 부등호 방향이 바뀐다.
\(3n^2 - 17n \gt n^2 - 30 \implies 2n^2 - 17n + 30 \gt 0 \implies (2n-5)(n-6) \gt 0\)
따라서 \(n \lt \frac{5}{2}\) 또는 \(n \gt 6\)이 되고, 이를 만족하는 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)은 \(1, 2\)이다.
두 번째로 \(a = 4\)일 때, 밑이 \(1\)보다 크므로 지수의 부등호 방향이 그대로 유지된다.
\(3n^2 - 17n \lt n^2 - 30 \implies 2n^2 - 17n + 30 \lt 0 \implies (2n-5)(n-6) \lt 0\)
따라서 \(\frac{5}{2} \lt n \lt 6\)이 되고, 이를 만족하는 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)은 \(3, 4, 5\)이다.
그러므로 가능한 모든 \((a, n)\)의 순서쌍은 \((\frac{1}{2}, 1), (\frac{1}{2}, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)\)로 총 5개이다.

이차방정식 \(ax^2 - 2bx + c = 0\)이 \(x=3\)에서 중근을 가지므로, 주어진 식은 \(a(x-3)^2 = 0\)과 같다.
이를 전개하면 \(ax^2 - 6ax + 9a = 0\)이 되므로 계수를 비교하면 \(-2b = -6a \implies b = 3a\), \(c = 9a\)이다.
한편, 세 수 \(a, 5, c\)가 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의해 \(2 \times 5 = a + c\)이다.
\(c = 9a\)를 대입하면 \(10 = a + 9a \implies 10a = 10\)이므로 \(a = 1\)이다.
따라서 \(b = 3 \times 1 = 3\), \(c = 9 \times 1 = 9\)이다. (즉 \(a=1, b=3, c=9\))

조건 (나)에서 \(\lim_{x \to a} \left\{ \frac{2}{f(x)} - \frac{5}{(x-a)^2} \right\} = \lim_{x \to a} \frac{2(x-a)^2 - 5f(x)}{(x-a)^2 f(x)} = 5\)가 성립해야 하므로, 극한값이 존재하기 위해서는 \(f(x)\)가 \((x-a)^2\)을 인수로 가져야 한다.
\(f(x)\)가 사차함수이므로 \(f(x) = (x-a)^2 g(x)\) (\(g(x)\)는 이차함수)라 놓을 수 있다.
이를 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to a} \frac{2(x-a)^2 - 5(x-a)^2 g(x)}{(x-a)^4 g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{2 - 5g(x)}{(x-a)^2 g(x)} = 5\)이다.
이 극한이 존재하려면 분자인 \(2 - 5g(x)\)가 \((x-a)^2\)을 인수로 가져야 하므로, 상수 \(p\)에 대하여 \(2 - 5g(x) = p(x-a)^2\)으로 둘 수 있다.
이때 \(g(a) = \frac{2}{5}\)가 되며, 극한값은 \(\frac{p}{g(a)} = 5\)가 되므로 \(\frac{p}{2/5} = 5\)에서 \(p = 2\)이다.
따라서 \(2 - 5g(x) = 2(x-a)^2\)에서 \(g(x) = \frac{2 - 2(x-a)^2}{5}\)이 되고, \(f(x) = \frac{2}{5}(x-a)^2 \{ 1 - (x-a)^2 \}\)이다.
조건 (가)에서 \(f(1) = -\frac{24}{5}\)이므로, \(\frac{2}{5}(1-a)^2 \{ 1 - (1-a)^2 \} = -\frac{24}{5}\)이다.
\(t = (1-a)^2\)으로 치환하면 \(t(1-t) = -12\), 즉 \(t^2 - t - 12 = 0\)이 되어 \((t-4)(t+3) = 0\)이다.
\(t \\ge 0\)이므로 \(t = 4\), 즉 \((1-a)^2 = 4\)이며 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 3\)이다.
따라서 \(f(x) = \frac{2}{5}(x-3)^2 \{ 1 - (x-3)^2 \}\)이므로, 구하고자 하는 값은 \(f(8) = \frac{2}{5}(5)^2 (1 - 5^2) = 10 \times (-24) = -240\)이다.

삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(ABD\)가 동일한 원에 내접하므로 사인법칙에 의해 \(\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{BD}{\sin 60^\circ}\)가 성립하며, \(BD = 6\)이므로 \(BC = \frac{6}{\sqrt{3}/2} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}\)이다.
원주각의 성질에 의해 \(\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ\)이므로 \(\angle ABC = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ\)이고, \(\angle ACB = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ\)이다. 따라서 삼각형 \(ABC\)는 \(AB = AC\)인 이등변삼각형이다.
\(x = AB = AC\)라 하면 삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙에 의해 \((2\sqrt{3})^2 = 2x^2 - 2x^2 \cos 30^\circ\)이므로, \(12 = x^2 (2 - \sqrt{3})\), 즉 \(x^2 = 12(2 + \sqrt{3})\)이다.
따라서 삼각형 \(ABC\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} x^2 \sin 30^\circ = \frac{1}{4} \times 12(2 + \sqrt{3}) = 3(2 + \sqrt{3})\)이다.
한편 원주각 성질에 의해 \(\angle CDB = \angle CAB = 30^\circ\)이므로 삼각형 \(BCD\)도 이등변삼각형이며 \(CD = BC = 2\sqrt{3}\)이다.
따라서 삼각형 \(BCD\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times BD \times BC \times \sin(\angle CBD) = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} \times \sin 30^\circ = 3\sqrt{3}\)이다.
삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(BCD\)는 삼각형 \(BCE\)를 공유하므로 \(S - T = (\\text{삼각형 } ABC\\text{의 넓이}) - (\\text{삼각형 } BCD\\text{의 넓이}) = 3(2 + \sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 6\)이다.

함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로,
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)\)
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^3 - 3ax^2 + 2ax + 1) = 2 - a\), \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-4x + 3) = -1\). \(f(1) = 2 - a\)이므로,
\(a = 3\)
\(\int_{-1}^{9} f(x)\,dx - \int_{2}^{9} f(x)\,dx = \int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx\)
\(\quad = \int_{-1}^{1} (x^3 - 9x^2 + 6x + 1)\,dx + \int_{1}^{2} (-4x + 3)\,dx = -4 - 3 = -7\)

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}\), \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}\)

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)이므로 \(f(0) = 0\)가 성립해야하므로 \(b = 0\). 따라서 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\) 이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고 결국 \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\).

\(0 \lt |a+1| \lt 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 \lt |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\) 이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}\) 로 계산할 수 있다.
\[ \begin{aligned} S &= -\int_0^3 (-x^2+6x-9)\,dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned} \]
따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 최솟값은 \[ S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3) \] 이므로 \(a = 1\)에서 극소값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.