2027 가톨릭대학교 수리논술 100인 모의평가 & 학과별 합격전략 대시보드

함수 $g(x) = \int_0^x (t-1)e^{t^2} dt$에서 도함수 $g'(x) = (x-1)e^{x^2}$의 부호 조사 시, 치환적분으로 직접 원시함수를 구하려다가 적분 불가능 형태임을 인지하지 못하고 15분 이상 시간을 낭비함.

1단계: 정적분으로 정의된 함수의 미분 성질로 $g'(x)=(x-1)e^{x^2}$ 즉시 유도 [10점]
2단계: $e^{x^2}>0$이므로 $x=1$에서 유일한 극소이자 증감표 작성 [15점]
3단계: 구간 양 끝값 $x=0, 2$ 비교를 위해 부분 치환적분 $\int (t-1)e^{t^2}dt$를 적용하여 최댓값 $g(2)$ 확정 [10점]

"닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하다"는 평균값 정리 적용의 필수 전제조건을 서술하지 않고 곧바로 공식 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$만 사용하여 8점 감점됨.

1단계: 구간에서의 연속성과 미분가능성 명시 [10점]
2단계: 평균값 정리를 만족하는 $c \in (a, b)$의 존재성 선언 [12점]
3단계: 조건에서 주어진 $f'(x)$의 상한·하한 부등식에 $c$를 대입하여 목적 부등식 완성 [13점]

$\int_0^n x^2 e^{-x} dx$를 계산할 때 2회 연속 부분적분 전개 중 마이너스 부호 연산 실수로 엉뚱한 계수가 도출되거나, $\lim_{n \to \infty} n^2 e^{-n} = 0$의 근거 서술 누락.

1단계: 1차 부분적분 $\left[-x^2 e^{-x}\right]_0^n + 2\int_0^n x e^{-x} dx$ 정확한 전개 [12점]
2단계: 2차 부분적분 완결로 $\left[-(x^2+2x+2)e^{-x}\right]_0^n = 2 - (n^2+2n+2)e^{-n}$ 유도 [13점]
3단계: 극한값 계산 $\lim_{n \to \infty} (n^2+2n+2)e^{-n}=0$ 제시문 근거 제시 후 최종 정답 2 도출 [10점]

호의 길이 공식 $L = \int \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$에서 $1 + \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2$ 완전제곱식 전환 실패.

1단계: 도함수 $f'(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ 계산 [10점]
2단계: 근호 내부 식을 완전제곱식 $\sqrt{\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2}$으로 치환 [15점]
3단계: $\frac{e^x + e^{-x}}{2} > 0$이므로 절댓값 없이 적분 실행하여 최종 길이 $e - \frac{1}{e}$ 산출 [10점]