(가) 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
(나) 점 \(P(0, k)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x + 1\)에 그은 서로 다른 접선의 개수를 \(g(k)\)라 하자.
(가) 좌표평면 위의 두 점 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\)으로부터의 거리의 합이 \(2a\;(a>c>0)\)로 일정한 점들의 집합인 타원의 방정식은 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (단, \(b^2 = a^2 - c^2\))이다.
(나) 타원 \(E: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)의 두 초점을 \(F, F'\)이라 하자. 타원 위의 제1사분면에 있는 점 \(P\)에 대하여 \(\angle FPF' = \frac{\pi}{2}\)일 때, 선분 \(PF\)의 길이를 \(r_1\), 선분 \(PF'\)의 길이를 \(r_2\)라 하자.
(가) 일대일대응인 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\)의 그래프는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
(나) 함수 \(f(x) = e^{2x} + x\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) 및 두 직선 \(x = 1, x = e^2 + 1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고자 한다.
(가) 삼차함수 \(f(x)\)가 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 방정식 \(f(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 \((극댓값) \times (극솟값) < 0\)이다.
(나) 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3bx + a\)에 대하여 방정식 \(f(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 자연수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)의 집합을 \(S\)라 하자. (단, \(1 \le a \le 10, 1 \le b \le 10\))
(가) 두 각 \(\alpha, \beta\)의 삼각함수를 이용하여 \(\alpha+\beta, \alpha-\beta\)의 코사인함수를 나타내면 다음과 같고, 이를 코사인함수의 덧셈정리라고 한다.
(나) 좌표평면 위에서 점 \(A\)는 중심이 원점 \(O\)이고 반지름이 \(3\)인 원 \(C\)를 따라 움직이고, 점 \(B\)는 중심이 \((7, 0)\)이고 반지름이 \(1\)인 원을 따라 움직인다. 점 \(A\)의 시각 \(t\)에서의 위치 \((x, y)\)가 \(x = 3\cos t, y = 3\sin t\)이고, 점 \(B\)의 시각 \(t\)에서의 위치 \((x, y)\)가 \(x = 7 + \cos 3t, y = \sin 3t\)이다.
(가) 두 반평면 \(\alpha, \beta\)의 교선을 \(l\)이라고 할 때, 두 반평면 \(\alpha, \beta\)로 이루어진 도형을 이면각이라고 한다. 또 직선 \(l\)을 이면각의 변, 두 반평면 \(\alpha, \beta\)를 각각 이면각의 면이라고 한다. 직선 \(l\) 위의 한 점 \(O\)를 지나고 \(l\)에 수직인 두 반직선 \(OA, OB\)를 두 반평면 \(\alpha, \beta\) 위에 각각 그을 때, \(\angle AOB\)의 크기는 점 \(O\)의 위치에 관계없이 일정하다. 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다. 서로 다른 두 평면이 만나서 생기는 이면각 중에서 그 크기가 크지 않은 쪽의 각을 두 평면이 이루는 각이라고 한다.
(나) 그림에서 사면체 \(ABCD\)는 한 모서리의 길이가 \(6\)인 정사면체이고, 점 \(E\)는 모서리 \(BD\) 위에 있는 점으로 \(\overline{DE}=2\)이다. 일정한 길이를 가지는 선분 \(PQ\)는 평면 \(ABC\) 위에 있으며 점 \(A\)를 지난다.
(가) 미분가능한 두 함수 \(y=f(u), u=g(x)\)에 대하여 합성함수 \(y=f(g(x))\)의 도함수는 다음과 같다.
(나) 그림에서 사각형 \(ABCD\)의 각 변의 길이가 각각 \(\overline{AB}=\sqrt{3}, \overline{BC}=2, \overline{CD}=2, \overline{DA}=1\)이다. \(\angle BAD\)의 크기가 \(\theta\)일 때 대각선 \(AC\)의 길이는 \(\theta\)의 함수 \(f(\theta)\)이다.
(가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(x) \ge 0\)일 때, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\)이다.
(나) [그림 1], [그림 2]와 같이 좌표평면 위에 곡선 \(y=x^2\,(x \ge 0)\)과 점 \(P(0, 10)\)이 있다. 점 \(A\)와 \(B\)는 곡선 위에 있고 \(\angle OPA = \theta\)이다.
[그림 1]에서 곡선과 선분 \(OP\), 선분 \(PA\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(f(\theta)\)이다. (단, \(O\)는 원점이고 \(0 < \theta < \pi\)이다.)
[그림 2]에서 \(\angle APB = \frac{\pi}{2}\)이고 곡선과 선분 \(PA\), 선분 \(PB\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(g(\theta)\)이다.
\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)일 때, 두 함수 \(f(\theta)\)와 \(g(\theta)\) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
\(g(\theta) = f\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) - f(\theta)\)
[제시문 1]
(가) \(x=a\)에서 \(x=b\)까지의 곡선 \(y=f(x)\)의 길이 \(l\)은 다음과 같다.
(나) 그림에서 \(S\)는 중심이 점 \(\left(0, \frac{\sqrt{13}}{3}\right)\)이고 반지름이 \(1\)인 원이다. 원점에서 바라볼 때 점 \(A, B\)는 원 \(S\)에 가려져서 보이지 않고 점 \(C, D\)는 보인다.
[제시문 2]
(가) \(n\)개 중에서 서로 같은 것이 각각 \(p\)개, \(q\)개, \(\cdots\), \(r\)개씩 있을 때, \(n\)개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 \(\frac{n!}{p! \times q! \times \cdots \times r!}\)이다. (단, \(p+q+\cdots+r=n\))
(나) [조건 1] 또는 [조건 2]를 만족하도록 문자 A 3개, B 4개, C 3개, D 2개로 이루어진 12개의 문자 A, A, A, B, B, B, B, C, C, C, D, D를 왼쪽부터 일렬로 나열하자.
[조건 1] 문자 D는 연속하여 나오지 않는다.
[조건 2] 처음 나오는 문자 A가 처음 나오는 문자 B보다 먼저 나온다.
[제시문 3]
(가) 두 함수 \(y=f(x), y=g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\)와 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|\,dx\)이다.
(나) 그림에서 색칠된 도형은 두 곡선 \(y=e^{2x}\), \(y=e^{-(x-t)+1}\)과 \(y\)축으로 둘러싸인 도형이고, \(S(t)\)는 이 도형의 넓이이다. (단, \(t\)는 양의 실수이다.)
[제시문 4]
(가) 좌표평면 위에서 \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 잡았을 때, 일반각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점 \(O\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\)인 원의 교점을 \(P(x, y)\)라 하면, 삼각함수의 정의에 의해 \(\sin\theta = \frac{y}{r}, \cos\theta = \frac{x}{r}, \tan\theta = \frac{y}{x}\,(x \ne 0)\)이다.
(나) 그림에서 도형 \(A\)는 네 점 \((0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)\)이 꼭짓점인 정사각형이다. 점 \(P\)는 제2사분면의 점으로 중심이 원점이고 반지름이 \(3\)인 원 위에 있다. \(\alpha\)는 점 \(P\)에서 \(A\)를 바라본 각의 크기이다.
[제시문 1]
(가) 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극값을 갖고 \(a\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면 \(f'(a)=0\)이 성립한다.
(나) 그림에서 색칠된 도형 \(R\)는 제1사분면에 있고 다음 곡선들로 둘러싸여 있다.
\(x=t, \quad x^2+y^2=1, \quad (x-t)^2+y^2=(1-t)^2\)
[제시문 2]
(가) \(n\)개 중에서 서로 같은 것이 각각 \(p\)개, \(q\)개, \(\cdots\), \(r\)개씩 있을 때, \(n\)개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 \(\frac{n!}{p! \times q! \times \cdots \times r!}\)이다. (단, \(p+q+\cdots+r=n\))
(나) [조건 1] 또는 [조건 2]를 만족하도록 문자 A 3개, B 5개, C 3개로 이루어진 11개의 문자 A, A, A, B, B, B, B, B, C, C, C를 왼쪽부터 일렬로 나열하자.
[조건 1] 문자 C 바로 다음에는 항상 문자 B가 이웃하여 나온다.
[조건 2] 문자 A 바로 다음에는 문자 B가 이웃하여 나오지 않는다.
[제시문 3]
(가) 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\)인 부채꼴의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^2\theta\)이다.
(나) 그림에서 한 원은 중심이 원점이고 반지름이 \(1\)이며, 다른 원은 중심이 점 \((t, 0)\)이고 반지름이 \(t\)이다. 두 원의 내부의 공통 부분의 넓이가 \(S(t)\)이다.
[제시문 4]
(가) 좌표평면 위의 두 점 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)이다.
(나) 그림에서 점 \(P\)는 중심이 점 \((1, 8)\)이고 반지름이 \(1\)인 원 위에 있다. 점 \(A\)와 점 \(B\)는 포물선 \(y=x^2\)과 직선 \(y=2x+t\)의 교점으로 점 \(A\)는 제2사분면에, 점 \(B\)는 제1사분면에 있다. (단, \(t\)는 양의 실수이다.)
(가) 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하고 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이다.
(나) 그림에서 점 \(\text{A}\)는 원 \(x^2+6x+y^2-8y=0\)과 원 \(x^2-2x+y^2=0\)의 교점이다. 점 \(\text{A}\)를 지나는 직선이 두 원과 만나는 점이 각각 \(\text{X, Y}\)이다. (단, \(\text{X, Y}\)는 \(\text{A}\)가 아닌 점이다.)
(가) 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\)인 부채꼴의 넓이는 \(S=\frac{1}{2}r^2\theta\)이다.
(나) 그림에서 두 원의 반지름의 길이는 1이고 중심 사이의 거리는 \(x\)이다. 두 원 내부의 공통 부분의 넓이를 \(A(x)\)라고 하자.
(가) 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(a, f(a))\)에서의 접선의 기울기는 미분계수 \(f'(a)\)와 같다.
(나) 그림에서 점 \(\text{X}\)는 곡선 \(y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2\) 위의 점이고 점 \(\text{A, B}\)는 \(x\)축 위에 있다.
(가) 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 미분가능할 때, 합성함수 \(y=f(g(x))\)의 도함수는 \(y'=f'(g(x))g'(x)\)이다.
(나) 그림에서 \(C_1, C_2\)는 중심이 \(\text{O}\)인 동심원이고 \(C_1\)의 반지름은 \(r\), \(C_2\)의 반지름은 \(R\)이다. 직선 \(l_1\)은 원 \(C_1\)과 점 \(\text{P}\)에서 접한다. 직선 \(l_2\)는 점 \(\text{O}\)를 지나고 \(l_1\)과 평행하다. 점 \(\text{S}\)는 원 \(C_2\)를 따라 돌고 있다. 시각 \(t\)일 때 직선 \(l_2\)와 직선 \(\text{OS}\)가 이루는 각의 크기가 \(t\)이고, \(\theta\)는 직선 \(l_1\)과 직선 \(\text{PS}\)가 이루는 각의 크기이다.
(가) 실수 \(x\)에 대하여 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수를 \([x]\)로 나타내자. 예를 들어 \([4]=4\)이고 \(\left[\frac{21}{5}\right]=4\)이다.
(나) 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f(n)\)은 다음과 같이 정의한다.
예를 들어, \(f(123) = \left[\frac{123}{10}\right] + \left[\frac{123}{10^2}\right] + \left[\frac{123}{10^3}\right] + \cdots = 12 + 1 + 0 + \cdots = 13\)이다.
(가) 수열 \(\{a_n\}\)에서 \(n\)의 값이 한없이 커질 때, \(a_n\)의 값이 일정한 값 \(\alpha\)에 한없이 가까워지면 수열 \(\{a_n\}\)은 \(\alpha\)에 수렴한다고 하고 \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \]와 같이 나타낸다.
(나) 그림에서 반지름의 길이가 1인 원 \(\text{O}\)가 평행한 직선 \(l_1, l_2\) 사이에 놓여 있다. 두 직선 \(l_1, l_2\)는 각각 원의 중심 \(\text{O}\)로부터의 거리가 2이다. 점 \(\text{A}_0\)은 점 \(\text{O}\)에서 직선 \(l_1\)에 내린 수선의 발이고, 자연수 \(n\)에 대하여 점 \(\text{A}_n\)은 직선 \(l_1\) 위에 있고 \(\text{A}_0\)과의 거리가 \(n\)이다. 점 \(\text{A}_n\)에서 원에 그은 두 접선이 직선 \(l_2\)와 만나는 두 점 사이의 거리가 \(d_n\)이다.
(가) 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 택하는 조합의 수는 \({}_n\text{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)이고, 중복조합의 수는 \({}_n\text{H}_r = {}_{n+r-1}\text{C}_r\)이다.
(나) 서로 구별되지 않는 구슬들을 다섯 개의 상자 \(\text{A, B, C, D, E}\)에 다음 조건을 모두 만족하도록 넣으려 한다.
(1) 각 상자에 1개 이상의 구슬을 넣는다.
(2) 상자 \(\text{A}\)와 \(\text{B}\)에는 각각 홀수 개의 구슬을 넣는다.
(3) 상자 \(\text{C}\)와 \(\text{D}\)에는 각각 짝수 개의 구슬을 넣는다.
(4) 상자 \(\text{E}\)에 넣는 구슬의 개수는 5의 배수이다.
(가) 평면 위를 움직이는 점 \(\text{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치를 \(t\)의 함수 \(x=f(t), y=g(t)\)로 나타내었을 때, 시각 \(t\)에서 점 \(\text{P}\)의 속도는 \((f'(t), g'(t))\)로 나타내며, 속력은 \(\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\)이다.
(나) 그림에서 두 점 \(\text{A, B}\) 사이의 거리가 1이고 평면 위를 움직이는 점 \(\text{P}\)에 대해, 시각 \(t\)에서 \(\angle\text{PAB}=\theta_1, \angle\text{PBA}=\theta_2\)이다.
(가) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(R\)라고 하면 다음이 성립한다.
(나) 그림에서 점 \(\text{D, E, F}\)는 각각 변 \(\text{BC, AB, AC}\) 위의 점으로 직선 \(\text{DE}\)는 변 \(\text{AC}\)에 평행하고 직선 \(\text{DF}\)는 변 \(\text{AB}\)에 평행하다. 점 \(\text{O, O}_1, \text{O}_2\)는 각각 삼각형 \(\text{ABC, BDE, DCF}\)의 외접원의 중심이다.
(가) 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하고 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이다.
(나) 그림에서 직선 \(l_1\)과 \(l_2\)는 평행하다. \(\text{A, B, C}\)는 \(l_1\) 위의 세 점이고, 점 \(\text{O}\)는 점 \(\text{B}\)에서 직선 \(l_2\)에 내린 수선의 발이다. 직선 \(l_2\) 위의 점 \(\text{P}\)는 점 \(\text{O}\)의 아래쪽에 있다. 직선 \(\text{BP}\)와 수직인 직선 \(l_3\)가 선분 \(\text{AP, BP, CP}\)와 각각 \(\text{A', B', C'}\)에서 만난다. \(\overline{\text{BC}}=1\)이고 \(\overline{\text{BO}}=2\)이다.
(가) 함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 한없이 커질 때, \(f(x)\)의 값이 일정한 값 \(L\)에 한없이 가까워지면 함수 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)과 같이 나타낸다.
(나) \(n\)이 자연수일 때, 다음 식이 성립한다.
\((a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k}b^k + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^n\)
(다) [그림 1]은 반지름이 같은 원 \(O_1\)과 \(O_2\)를 나타낸 것이다. 평행한 직선 \(l_1\)과 \(l_2\)는 각각 점 \(A_1, A_2\)에서 원 \(O_1, O_2\)에 접한다.
(라) \((5+2x)^{60}\)을 전개했을 때 \(x^k\)의 계수를 \(a_k\)라 하자. 즉,
\((5+2x)^{60} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k + \cdots + a_{60} x^{60}\)
(가) 점 \((x_1, y_1)\)을 지나고 기울기가 \(m\)인 직선의 방정식은 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)이다.
(나) 그림에서 동경 \(OP\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라고 할 때, \(\sin\theta = \frac{y}{r}, \; \cos\theta = \frac{x}{r}, \; \tan\theta = \frac{y}{x} \; (x \ne 0)\)이다.
(다) [그림 2]는 곡선 \(y=x^2\)과 점 \((-1, 0)\)을 지나는 직선 \(l\)을 나타낸 것이다. 곡선 \(y=x^2\)과 직선 \(l\)은 두 점 \(A\)와 \(B\)에서 만난다. 점 \(O\)는 원점이다.
(라) [그림 3]은 반지름이 \(2\)인 원과 그 원에 내접하는 사각형 \(CDEF\)를 나타낸 것이다. 대각선 \(CE\)와 \(DF\)의 교점이 \(P\)이다.
(가) 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 삼각형을 포함한 여러 가지 도형의 문제를 해결할 수 있다.
(나) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n\)을 기호 \(\sum\)를 사용하여 \(\sum_{k=1}^n a_k\)와 같이 나타낼 수 있다. 즉, \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k\)이다.
(다) [그림 1]에서 점 \(P\)는 삼각형 \(ABD\)의 외접원 위에 있고 점 \(Q\)는 삼각형 \(BCD\)의 외접원 위에 있다.
(라) [그림 2]는 점 \(A_0, A_1, A_2, \dots, A_{100}, B\)를 나타낸 것이다. 점 \(A_n\)의 좌표는 \(\left(n, \cos\frac{n\pi}{2}\right)\)이고 점 \(B\)의 좌표는 \((0, -1)\)이다.
(가) 일반적으로 함수 \(y=f(x)\)가 정의역에 속하는 모든 \(x\)에서 미분가능할 때, 정의역의 각 원소 \(x\)에 미분계수 \(f'(x)\)를 대응시키면 새로운 함수를 얻는다. 이 함수를 함수 \(y=f(x)\)의 도함수라 한다.
(나) 다음은 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리이다.
\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \quad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)
(다) [그림 3]은 곡선 \(y=x^2\)과 점 \(A(0, 3)\)을 나타낸 것이다. 두 점 \(B\)와 \(C\)는 이 곡선 위의 점이고 직선 \(BC\)는 \(x\)축에 평행하다. 색칠한 도형은 직선 \(BC\)와 곡선 \(y=x^2\)으로 둘러싸인 도형이다.
(라) [그림 4]는 중심이 원점 \(O\)이고 반지름이 \(2\)인 원을 나타낸 것이다. 원 위에 점 \(A(-\sqrt{2}, \sqrt{2})\)와 \(B(\sqrt{2}, \sqrt{2})\)가 있다. 원 밖의 점 \(P\)에 대하여 선분 \(AP\)와 원의 교점이 \(C\), 선분 \(BP\)와 원의 교점이 \(D\)이다.