5회분 통합본 🏛️ 2027학년도 한양대학교 자연계열 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)분 통합 해설집
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QUESTIO MATH ESSAY
5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오전)
한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집
QUESTIO 수리논술 입시연구소
2027학년도 수험생용
2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 1회 - [문제 1] 상세해설
2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설
📌 [문제 1-1] 해설 및 모범 답안
삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이를 각각 \(\overline{BC} = a\), \(\overline{AC} = b = 3\), \(\overline{AB} = c = 5\), \(\angle A\)의 크기를 \(\theta\)라 하자.
삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S = \frac{1}{2}bc\sin\theta = \sqrt{26}\)이므로 \(\sin\theta = \frac{2S}{bc} = \frac{2\sqrt{26}}{3 \times 5} = \frac{2\sqrt{26}}{15}\)이다.
\(\angle A\)가 예각이므로 \(\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{104}{225}} = \sqrt{\frac{121}{225}} = \frac{11}{15}\)이다.
코사인법칙에 의해 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{11}{15} = 34 - 22 = 12 \implies a = 2\sqrt{3}\)이다.
삼각형의 내접원의 반지름을 \(r\)이라 하면 \(S = \frac{1}{2}(a+b+c)r\)이므로
\(r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2\sqrt{26}}{2\sqrt{3} + 3 + 5} = \frac{2\sqrt{26}}{8 + 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{26}}{4 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{26}(4 - \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{4\sqrt{26} - \sqrt{78}}{13}\)이다.
[답] \(\frac{4\sqrt{26} - \sqrt{78}}{13}\)
📌 [문제 1-2] 해설 및 모범 답안
\(a_n\)은 (전체 함수의 개수) \(-\) (\(f(a)\)가 짝수이면서 \(f(b)\)가 홀수인 함수의 개수)이다.
전체 함수의 개수는 \(n^3\)이며, 곱의 법칙에 의해 제외할 함수의 개수는 (짝수 개수) \(\times\) (홀수 개수) \(\times n\)이다.
- \(n = 2k-1\) (홀수)일 때: \(a_{2k-1} = (2k-1)^3 - (k-1)k(2k-1) = 6k^3 - 9k^2 + 5k - 1\)
- \(n = 2k\) (짝수)일 때: \(a_{2k} = (2k)^3 - k^2(2k) = 6k^3\)
두 항의 합은 \(a_{2k-1} + a_{2k} = 12k^3 - 9k^2 + 5k - 1\)이다.
\(S_1 = a_1 = 1\)이고, 자연수 거듭제곱 합 공식을 적용하면:
\(S_9 = \sum_{k=1}^5 (a_{2k-1} + a_{2k}) - a_{10} = \sum_{k=1}^5 (12k^3 - 9k^2 + 5k - 1) - 6 \times 5^3 = 2700 - 495 + 75 - 5 - 750 = 1525\)
\(S_{12} = \sum_{k=1}^6 (12k^3 - 9k^2 + 5k - 1) = 5292 - 819 + 105 - 6 = 4572\)
따라서 \(\frac{S_9 - S_1}{S_{12}} = \frac{1525 - 1}{4572} = \frac{1524}{4572} = \frac{1}{3}\)이다.
[답] \(\frac{1}{3}\)
📌 [문제 1-3] 해설 및 모범 답안
\(f(x) = x^3 - 3x + 2\), \(c = 4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6}\)라 하고, \(g(c) = \int_{1/2}^2 |x^3 - 3x + 2 - c| dx\)라 하자.
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)이므로 구간 \([1/2, 2]\)에서 최솟값은 \(f(1) = 0\), 최댓값은 \(f(2) = 4\)이다.
자연수 \(n\)에 대하여 \(c\)가 가질 수 있는 값은 \(-4, -2, 2, 4\)의 4개뿐이다.
- \(c = -4, -2, 4\)일 때: 정적분을 계산하면 각각 \(g(-4) = \frac{471}{64} > 4\), \(g(-2) = \frac{279}{64} > 4\), \(g(4) = \frac{297}{64} > 4\).
- \(c = 2\)일 때: \(f(\sqrt{3}) = 2\)이므로 구간을 나누어 계산하면 \(g(2) = \frac{137}{64} < 4\) (\(4 = \frac{256}{64}\))이 성립한다.
따라서 \(g(c) < 4\)를 만족하는 경우는 \(c = 2\)뿐이며, 이는 \(n = 6k-5\) 또는 \(n = 6k-3\)인 경우이다.
\(2025 = 6 \times 338 - 3\)이므로, \(2026\)보다 작은 자연수 \(n\)의 개수는 \(2 \times 338 = 676\)개이다.
[답] \(676\)
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 1회 - [문제 1] 전수 채점기준표
2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설
하위 문항 채점 세부 기준 및 평가 요소 배점
1-1 사인법칙 또는 삼각형 넓이 공식을 이용하여 \(\sin\theta = \frac{2\sqrt{26}}{15}\) 및 \(\cos\theta = \frac{11}{15}\) 값을 정확히 도출한 경우 15점
코사인법칙을 적용하여 선분 \(\overline{BC} = 2\sqrt{3}\)을 구하고, 삼각형 내접원의 반지름 \(r = \frac{4\sqrt{26} - \sqrt{78}}{13}\)을 정확히 도출한 경우 15점
1-2 경우의 수와 여사건의 곱의 법칙을 활용하여 \(n\)의 홀짝성에 따른 함수 개수 \(a_n\)의 식을 정확히 수립한 경우 15점
자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 \(S_9 = 1525, S_{12} = 4572\)를 계산하고 최종 비율 \(\frac{S_9 - S_1}{S_{12}} = \frac{1}{3}\)을 도출한 경우 15점
1-3 사인함수의 주기성을 이용하여 \(c = 4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6}\)가 갖는 값 \(\{-4, -2, 2, 4\}\)를 분류하고, 각 경우의 정적분 \(g(c)\)를 계산한 경우 30점
계산된 정적분 값 중 \(g(c) < 4\)를 만족하는 것은 \(c = 2\)뿐임을 밝히고, 조건을 만족하는 \(2026\) 미만의 자연수 \(n\)의 개수 \(676\)을 정확히 구한 경우 10점
🔍 QAH 수리논술 감수위원회의 핵심 평가 포인트:
• 삼각함수 도형 논증: 내접원의 반지름 공식 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\) 적용 시 세 변의 길이 유리화 과정을 논리적 비약 없이 정확하게 전개해야 합니다.
• 수열의 합과 정적분: \(a_n\)의 홀짝 분류와 \(c\)의 4가지 값에 대한 정적분 대소 관계 증명에서 부등호 조건의 엄밀성이 채점의 핵심 변별 기준입니다.
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 1회 - [문제 2] 상세해설
2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설
📌 [문제 2-1] 해설 및 모범 답안
y=f(x) 그래프 함수 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\)라 하자. \(s(t) = e^t - \cos t\)라 두면 열린구간 \((0, 2\pi)\)에서 \(s(t) \ge 0\)이고 \(s'(t) = e^t + \sin t > 0\)이므로 \((s(t))^{2026}\)은 단조 증가한다.
\((0, \pi)\)에서 \((s(t+\pi))^{2026} > (s(t))^{2026}\)이고 \(\sin(t+\pi) = -\sin t\)이므로
\(F(2\pi) = \int_0^{2\pi} f(t) dt = \int_0^\pi [(s(t+\pi))^{2026} - (s(t))^{2026}]\sin t dt > 0 = F(0)\)이다.
\(x < 0\)일 때 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^{-x} \{-f(-s)\} ds = \int_0^{-x} f(s) ds = F(-x)\)이므로 \(F(x)\)는 우함수이다.
y=F(x) 그래프 \(h(x) = \int_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)\)이고 \(h(a) = 0\)이다.
함수 \(g(x) = |h(x)|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 곡선 \(y = F(x)\)와 직선 \(y = F(a)\)의 모든 교점에서 \(F'(x) = f(x) = 0\)이 성립해야 한다.
함수 \(y = F(x)\)의 그래프 개형에 의해 접선의 기울기가 \(0\)이면서 극값이 일치하여 꺾임점 없이 부드럽게 접하는 \(a\)의 값은 \(-2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)이다.
[답] \(a = -2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)
📌 [문제 2-2] 해설 및 모범 답안
연립방정식 \(y = a(x-1)\), \(x^2 + y^2 = 1\)을 풀면 교점의 좌표는 \(P(1, 0)\), \(Q\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}, -\frac{2a}{a^2+1}\right)\)이다.
선분 \(\overline{PQ}\)의 길이는 \(\overline{PQ} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}\)이고, 점 \(P\)와 직선 \(L': y = a(x-1) + k\) 사이의 거리는 \(d = \frac{k}{\sqrt{a^2+1}}\)이다.
직사각형 \(PBCQ\)의 넓이는 \(d \times \overline{PQ} = \frac{2k}{a^2+1}\)이다.
또한 두 점 \(R, S\)의 \(x\)좌표의 차를 \(d_x = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)라 하면, \(\overline{RS} = d_x \sqrt{1+a^2} = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{\sqrt{1+a^2}}\)이다.
직사각형 \(ARSD\)의 넓이는 \(d \times \overline{RS} = k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
둘러싸인 영역의 넓이 \(S(k)\)는 직사각형 \(PBCQ\)를 포함하고 직사각형 \(ARSD\)의 내부에 존재하므로
\(\frac{2k}{a^2+1} \le S(k) \le k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2} \implies \frac{2}{a^2+1} \le \frac{S(k)}{k} \le \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
조임정리에 의해 \(k \to 0^+\)일 때 극한값을 취하면 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k} = \frac{2}{1+a^2}\)이다.
[답] \(\frac{2}{1+a^2}\)
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 1회 - [문제 2] 채점기준표 및 2-3 해설
2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설
📌 [문제 2-3] 해설 및 모범 답안
\(h(t) = f(g(t))\)의 양변을 미분하면 \(h'(t) = f'(g(t))g'(t)\), \(h''(t) = f''(g(t))\{g'(t)\}^2 + f'(g(t))g''(t)\)이다.  ··· ㉠
조건 (2)에서 \(t=1\)일 때 점 \(P\)의 속력 \(\sqrt{1+\{g'(t)\}^2}\)이 최대이므로 \(\{g'(t)\}^2\)도 최대이다. 따라서 \(2g'(1)g''(1) = 0\).
속력이 \(\sqrt{2}\)이므로 \(\sqrt{1+\{g'(1)\}^2} = \sqrt{2} \implies g'(1) = \pm 1\).
조건 (3), (4)에서 \(f'(g(1))g'(1) = h'(1) = \frac{9}{4} > 0\)이고 \(f'(x) > 0\)이므로 \(g'(1) = 1, g''(1) = 0\)이다.
㉠에서 \(f'(g(1)) = \frac{9}{4}\), \(f''(g(1)) = h''(1) = -2\)이다.  ··· ㉡
조건 (1)에 의해 \(g(1/4) = 0, g''(1/4) = 1\). 따라서 \(f(0) = f(g(1/4)) = h(1/4) = 0\).  ··· ㉢
또한 \(g(t) \ge 0 = g(1/4)\)이므로 최솟값 조건에서 \(g'(1/4) = 0\).
㉠에 대입하면 \(f'(0) = f'(g(1/4)) = \frac{h''(1/4)}{g''(1/4)} = \frac{4}{1} = 4\).  ··· ㉣
㉢, ㉣에서 삼차함수는 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 4x\) (\(a\)는 실수)이다.
\(g(1) = b \ge 0\)이라 하면 ㉡에서 \(3b^2 + 2ab + 4 = \frac{9}{4} \implies 3b^2 + 2ab + \frac{7}{4} = 0\), \(6b + 2a = -2 \implies 3b + a = -1\).
연립하면 \(a = -\frac{5}{2}, b = \frac{1}{2} \ge 0\). 따라서 \(f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\)이다.
그러므로 \(f(3) = 3^3 - \frac{5}{2}(3^2) + 4(3) = 27 - \frac{45}{2} + 12 = 39 - \frac{45}{2} = \frac{33}{2}\)이다.
[답] \(\frac{33}{2}\)
하위 문항 채점 세부 기준 및 평가 요소 배점
2-1 도함수의 부호 조사를 통해 함수 \(f(x)\)의 개형과 우함수/기함수 대칭성을 정확히 파악한 경우 10점
\(F(x) = \int_0^x f(t)dt\)의 개형을 파악하고, 절댓값 함수 \(g(x)\)가 미분가능하기 위한 상수 \(a = -2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)를 모두 구한 경우 20점
2-2 원과 직선의 연립을 통해 점 \(P, Q, R, S\)의 좌표 또는 두 근의 차를 정확히 유도한 경우 10점
영역의 넓이를 포함하는 두 직사각형 부등식을 수립하고, 조임정리를 적용하여 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k} = \frac{2}{1+a^2}\)을 도출한 경우 20점
2-3 속력의 극대 조건과 합성함수 미분법을 연계하여 \(g'(1)=1, g''(1)=0\) 및 \(f'(0)=4\)를 밝히고 삼차함수 식을 수립한 경우 30점
연립방정식을 통해 계수 \(a = -\frac{5}{2}\)를 정확히 확정하고, 최종 함숫값 \(f(3) = \frac{33}{2}\)를 도출한 경우 10점
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 2회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2027학년도 실전 모의고사 2회 [2025학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

\(A_n\)의 원소의 개수를 \(b_n\)이라 하자. \(b_1 = 1, b_2 = 2\)이고, \(n \ge 3\)일 때 \(A_n\)의 원소는 일의 자리를 제외한 자리에 \(0\)이 \(1\)개 이하인 경우이므로 숫자 \(1\)이 \(n-2\)번, \(n-1\)번, \(n\)번 나타나는 원소로 구분된다.

따라서 \(n \ge 3\)일 때 \(b_n = (n-2) + (n-1) + 1 = 2(n-1)\)이다.

\(10^5\)보다 작은 수 카드의 개수는 \(\sum_{k=1}^5 b_k = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 21\)이다. 상자 안에 들어갈 수 있는 \(10^5\)보다 크고 \(10^9\)보다 작은 수 카드의 최대 개수는 \(\sum_{k=6}^9 b_k = 10 + 12 + 14 + 16 = 52\)이다.

(경우 1) 상자 안의 해당 카드 개수가 \(52\)보다 작은 경우: \(\frac{r-21}{r} = \frac{4}{7} \implies 3r = 147 \implies r = 49\). 하지만 조건 \(r > 60\)에 모순이다.

(경우 2) 상자 안의 해당 카드 개수가 \(52\)인 경우: \(\frac{52}{r} = \frac{4}{7} \implies r = 91\). 이는 \(r > 60\)을 만족한다. 따라서 \(r = 91\)이다.

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

\(\sum_{k=1}^n b_k = n^2 - n + 1 = 91\)을 만족하는 자연수 \(n\)은 \(10\)이다.

\(n \ge 3\)일 때 \(A_n\)의 원소 중 숫자 \(0\)이 \(2\)번 나타나는 원소는 \(n-2\)개, \(1\)번 나타나는 원소는 \(n-1\)개, \(0\)번 나타나는 원소는 \(1\)개이다.

\(P(X=0) = \frac{10}{91}\), \(P(X=1) = \frac{1}{91}\sum_{k=2}^{10}(k-1) = \frac{45}{91}\), \(P(X=2) = \frac{1}{91}\sum_{k=3}^{10}(k-2) = \frac{36}{91}\)이다.

\(E(X) = 0 \times \frac{10}{91} + 1 \times \frac{45}{91} + 2 \times \frac{36}{91} = \frac{117}{91} = \frac{9}{7}\),

\(E(X^2) = 0^2 \times \frac{10}{91} + 1^2 \times \frac{45}{91} + 2^2 \times \frac{36}{91} = \frac{189}{91} = \frac{27}{13}\).

따라서 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \frac{189}{91} - \frac{81}{49} = \frac{1890}{49 \times 91} = \mathbf{\frac{270}{637}}\)이다.

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 2회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 실전 모의고사 2회 [2025학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(a_1 = 1, a_2 = 3\)이다. \(n \ge 3\)일 때 \(A_n\)의 원소는 숫자 \(1\)이 \(n-2\)번, \(n-1\)번, \(n\)번 나타나는 원소의 개수가 각각 \(n-2, n-1, 1\)개이므로

\[a_n = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n = 2n^2 - 5n + 5\]

으로 나타낼 수 있다. \(n=2\)일 때도 \(a_2 = 2(2^2) - 5(2) + 5 = 3\)이므로 성립한다. 따라서

\[\sum_{k=1}^{20} a_k = a_1 + \sum_{k=2}^{20}(2k^2 - 5k + 5) = 1 + \left\{ \sum_{k=1}^{20}(2k^2 - 5k + 5) - 2 \right\} = 2\sum_{k=1}^{20} k^2 - 5\sum_{k=1}^{20} k + 5 \times 20 - 1\]
\[= 2 \times \frac{20 \times 21 \times 41}{6} - 5 \times \frac{20 \times 21}{2} + 99 = 5740 - 1050 + 99 = \mathbf{4789}\]

답: \(4789\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 \(A_n\)의 원소 개수 식 도출 및 카드 수 계산 후 \(r = 91\)을 정확히 구하였는가? 30점
1-2 이산확률변수 \(X\)의 확률분포를 구하고 분산 \(V(X) = \frac{270}{637}\)을 정확히 계산하였는가? 40점
1-3 \(a_n = 2n^2 - 5n + 5\)를 유도하고 \(\sum_{k=1}^{20} a_k = 4789\)를 바르게 구하였는가? 30점
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 2회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2027학년도 실전 모의고사 2회 [2025학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

곡선 \(y = f(x) = \frac{1}{x^2+1}\) 위의 점 \((s, f(s))\) (\(s \ne t\))에서의 접선 방정식은 \(y = -\frac{2s}{(s^2+1)^2}(x-s) + \frac{1}{s^2+1}\)이고 \(x\)절편은 \(\frac{1}{2}\left(3s + \frac{1}{s}\right)\)이다.

이 접선이 점 \(A(t, f(t))\)를 지나므로 대입하여 정리하면 \((s-t)(s^2 + 2ts - 1) = 0\)을 얻는다.

\(s \ne t\)이므로 \(s^2 + 2ts - 1 = 0 \implies s = -t \pm \sqrt{t^2+1}\)이다. 두 접선의 \(x\)절편은 각각 \(-t + 2\sqrt{t^2+1}\), \(-t - 2\sqrt{t^2+1}\)이다. 밑변의 길이는 \(4\sqrt{t^2+1}\)이고 높이는 \(f(t) = \frac{1}{t^2+1}\)이므로,

\[g(t) = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{t^2+1} \times \frac{1}{t^2+1} = \mathbf{\frac{2}{\sqrt{t^2+1}}} \quad \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\]
▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(y = -3x + 10n\)을 \(x^2 + y^2 = 40n^4\)에 대입하여 정리하면 \(x^2 - 6nx + 10n^2 - 4n^4 = 0\)이다.

두 교점 \(P_n, Q_n\)의 \(x\)좌표는 \(x = 3n \pm n\sqrt{4n^2-1}\)이다.

\((2n^2-1)^2 < n^2(4n^2-1) < (2n^2)^2\)이므로 \(2n^2 - 1 < n\sqrt{4n^2-1} < 2n^2\)이다.

따라서 선분 \(P_n Q_n\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 정수인 점의 개수 \(T_n\)은

\[T_n = (3n + 2n^2 - 1) - (3n - 2n^2 + 1) + 1 = 4n^2 - 1\]

이다. \(\sum_{k=1}^n a_k = T_n + 1 = 4n^2\)이므로 \(a_1 = 4\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = 4n^2 - 4(n-1)^2 = 8n - 4\)이다. 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 8n - 4\)이다.

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 2회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 실전 모의고사 2회 [2025학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

\(\frac{a_k + 4}{16n} = \frac{(8k-4)+4}{16n} = \frac{k}{2n}\)이다. \(g''\)가 닫힌구간 \([0, 1/2]\)에서 연속이므로

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g''\left(\frac{a_k+4}{16n}\right) = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n g''\left(\frac{k}{2n}\right) = 2 \int_0^{1/2} g''(t)dt\]

\(g'(t) = -\frac{2t}{(t^2+1)^{3/2}}\)가 \(g''(t)\)의 부정적분이므로

\[2 \int_0^{1/2} g''(t)dt = 2 \left[ g'\left(\frac{1}{2}\right) - g'(0) \right] = 2 \left( -\frac{1}{(5/4)^{3/2}} - 0 \right) = 2 \left( -\frac{8}{5\sqrt{5}} \right) = \mathbf{-\frac{16\sqrt{5}}{25}}\]

답: \(-\frac{16\sqrt{5}}{25}\)

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 두 접점의 \(x\)좌표를 구하고 삼각형 넓이 \(g(t) = \frac{2}{\sqrt{t^2+1}}\)을 정확히 도출하였는가? 40점
2-2 정수 점의 개수 \(T_n = 4n^2 - 1\)을 바르게 구하고 일반항 \(a_n = 8n - 4\)를 유도하였는가? 40점
2-3 수열의 극한을 정적분으로 표현하고 \(-\frac{16\sqrt{5}}{25}\)를 정확히 계산하였는가? 20점
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(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집
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2027학년도 수험생용
2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 3회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

\(a_n = a r^{n-1}\) (\(-1 < r < 1\))이라 하면 \(|a_n| = |a||r|^{n-1}, a_{2n} = a r^{2n-1} = ar \times (r^2)^{n-1}\)이다. 따라서

\[\sum_{n=1}^\infty a_{2n} = \frac{ar}{1-r^2} = -4, \quad \sum_{n=1}^\infty |a_n| = \frac{|a|}{1-|r|} = 20\]

(경우 1) \(a > 0, 0 < r < 1\): \(\frac{ar}{1-r^2} = \frac{a}{1-r}\frac{r}{1+r} = \frac{20r}{1+r} = -4 \implies 5r = -(1+r) \implies r = -\frac{1}{6} < 0\) (모순).

(경우 2) \(a > 0, -1 < r < 0\): \(\frac{ar}{1-r^2} = \frac{a}{1+r}\frac{r}{1-r} = \frac{20r}{1-r} = -4 \implies 5r = -(1-r) \implies r = -\frac{1}{4}\). 이때 \(a = 20(1+r) = 15\).

(경우 3) \(a < 0, 0 < r < 1\): \(\frac{ar}{1-r^2} = -\frac{20r}{1+r} = -4 \implies 5r = 1+r \implies r = \frac{1}{4}\). 이때 \(a = -20(1-r) = -15\).

(경우 4) \(a < 0, -1 < r < 0\): \(5r = 1-r \implies r = \frac{1}{6} > 0\) (모순).

따라서 구하는 급수의 합 \(l = \sum_{n=1}^\infty a_{4n-1} = \frac{a r^2}{1-r^4}\)에 대입하면:

\((a, r) = (15, -1/4) \implies l = \mathbf{\frac{16}{17}}\), \((a, r) = (-15, 1/4) \implies l = \mathbf{-\frac{16}{17}}\)이다. 답: \(\frac{16}{17}, -\frac{16}{17}\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안
f(x) 접선 그래프

\(\int_0^\alpha |f(x)|dx = \frac{50}{3} > 0\)이므로 \(\alpha > 0\)이다. \(0 < \alpha < \beta\)이고 \(f(x) = x^2 + px + q\)라 두면 \(q = \alpha\beta > 0\)이다.

\(y = |f(x)|\) 위의 점 \((6, |f(6)|)\)에서의 접선의 방정식을 \(y = h(x)\)라 할 때, \(f(6) \le 0\)이어야만 접선의 \(y\)절편이 \(|f(0)| = q\)가 될 수 있다. 미분가능하므로 \(f(6) \ne 0 \implies f(6) < 0\)이다.

\(h(0) = 36 - q = q \implies q = 18\). 근과 계수의 관계에서 \(q = \alpha\beta = 18, p = -(\alpha+\beta)\)이다. \(\alpha < \beta\)이므로 \(0 < \alpha < 3\sqrt{2}\)이고 \(0 < \alpha < 6 < \beta\)이다.

\(\int_0^\alpha f(x)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}px^2 + qx \right]_0^\alpha = \frac{50}{3}\)에 \(q=18, p=-(\alpha+\frac{18}{\alpha})\)를 대입하여 정리하면 \(\alpha^3 - 54\alpha + 100 = 0\)이다.

\((\alpha-2)(\alpha^2+2\alpha-50) = 0\)에서 범위에 맞는 해는 \(\alpha = 2\)이다. 따라서 \(\beta = 9, p = -11\)이므로 \(f(x) = x^2 - 11x + 18\)이다. 따라서 \(f(10) = 100 - 110 + 18 = \mathbf{8}\)이다. 답: \(8\)

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 3회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안
g(x) 그래프

\(P(x) = e^{-x}\cos x\)라 두면 \(P'(x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x)\)이다. \(P'(x) = 0\)은 \(\tan x = -1\)일 때 성립한다.

\(x = \frac{3\pi}{4}\)에서 \(P(x)\)는 극솟값을 갖고 \(P(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{3\pi}{4}}\)이다. 따라서 \(g(x) = |P(x)|\)는 \(x = \frac{3\pi}{4}\)에서 첫 번째 극댓값 \(g(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{3\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}\)를 갖는다. 조건에 의해 \(b_1 = g(\frac{3\pi}{4})\)이다.

일반적으로 \(g(x)\)의 \(n\)번째 극댓값은 \(x = \frac{4n-1}{4}\pi\)에서 나타나며, 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(b_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}\)이고 공비가 \(e^{-\pi}\)인 등비수열이다.

\(0 < e^{-\pi} < 1\)이므로 급수의 합은 다음과 같다:

\[\sum_{n=1}^\infty b_n = \frac{b_1}{1-e^{-\pi}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}} = \mathbf{\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}(e^\pi - 1)}}\]

답: \(\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt{2}(e^\pi - 1)}\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 주어진 급수 조건으로부터 가능한 \((a, r)\)의 순서쌍 \((15, -1/4), (-15, 1/4)\)를 모두 도출하였는가? 20점
급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_{4n-1}\)의 합이 될 수 있는 값 \(\frac{16}{17}, -\frac{16}{17}\)을 모두 정확히 구하였는가? 10점
1-2 \(\alpha > 0\) 및 접선 조건 분석을 통해 \(\beta > 6\)임을 확인하였는가? 10점
접선의 \(y\)절편 조건으로부터 \(\alpha\beta = 18\)을 유도하였는가? 10점
정적분 값을 이용하여 \(\alpha = 2, \beta = 9\) 및 \(f(x) = x^2 - 11x + 18\)을 구하고 \(f(10) = 8\)을 보였는가? 20점
1-3 도함수를 통해 함수 \(g(x)\)의 극댓값들을 올바르게 계산하였는가? 10점
수열 \(\{b_n\}\)의 일반항이 등비수열임을 파악하고 급수 합 \(\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt{2}(e^\pi - 1)}\)을 도출하였는가? 20점
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 3회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

\(k\)는 \(\frac{1}{4}\)의 확률로 \(1, 2, 3, 4\) 중 하나의 값을 갖는다. 빨간 상자에서 \(4\)개의 공을 동시에 꺼낼 때 공 \(5\)의 개수 \(l\)의 확률분포는 \(P(L=l) = \frac{{}_4C_l \times {}_3C_{4-l}}{{}_7C_4}\)이다.

\(P(L=1) = \frac{4}{35}, P(L=2) = \frac{18}{35}, P(L=3) = \frac{12}{35}, P(L=4) = \frac{1}{35}\)이다.

확률변수 \(W = \frac{k}{l}\)의 확률분포는 다음과 같이 정리된다:

\(W\)1/41/31/22/33/414/33/2234
\(P\)1/14012/14019/14012/1401/14035/14012/14018/14022/1404/1404/140

기댓값 계산: \(E(W) = \sum w P(W=w) = \frac{1}{140} \times \left( \frac{1}{4} + 4 + \frac{19}{2} + 8 + \frac{3}{4} + 35 + 16 + 27 + 44 + 12 + 16 \right) = \mathbf{\frac{69}{56}}\)이다. 답: \(\frac{69}{56}\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(k, l\)에 대하여 최단경로의 수 \(U = \frac{(k+l)!}{k! l!}\)의 값은 다음과 같다:

\(k \backslash l\)1234
12345
2361015
34102035
45153570

\(U \le 10\)을 만족하는 순서쌍 \((k, l)\)은 \((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\)의 10가지이다.

\(P(U \le 10) = \frac{1}{140} \times (4\times 1 + 18\times 2 + 12\times 3 + 1\times 4 + 4\times 2 + 18\times 2 + 12\times 2 + 4\times 3 + 18\times 1 + 4\times 4) = \frac{95}{140} = \mathbf{\frac{19}{28}}\)이다. 답: \(\frac{19}{28}\)

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 3회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

\(Y = -0.5X + 5\)이므로 평균 \(m = E(Y) = -0.5 E(X) + 5 = -0.5(10) + 5 = 0\),

표준편차 \(\sigma = \sigma(Y) = |-0.5|\sigma(X) = 0.5 \times 4 = 2\)이다.

1) 신뢰도 \(98.76\%\)의 신뢰구간: \(P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)에서 \(2 \times 0.4938 = 0.9876\)이므로 \(z = 2.5\)이다.

신뢰구간의 길이 \(b - a = 2 \times 2.5 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5 \times 2}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{n}}\)이다. 조건 \(1 < b - a\)에서 \(1 < \frac{10}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} < 10 \implies \mathbf{n < 100}\)이다.

2) 신뢰도 \(86.64\%\)의 신뢰구간: \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\)에서 \(2 \times 0.4332 = 0.8664\)이므로 \(z = 1.5\)이다.

신뢰구간의 길이 \(d - c = 2 \times 1.5 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3 \times 2}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{n}}\)이다. 조건 \(d - c < \frac{6}{5}\)에서 \(\frac{6}{\sqrt{n}} < \frac{6}{5} \implies \sqrt{n} > 5 \implies \mathbf{n > 25}\)이다.

따라서 자연수 \(n\)의 범위는 \(26 \le n \le 99\)이므로, 최댓값은 \(99\), 최솟값은 \(26\)이다.

답: 최댓값 \(99\), 최솟값 \(26\)

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 확률변수 \(L\)의 분포를 구하고 각 \(k, l\)에 대한 확률 \(P(W = k/l)\)을 도출하였는가? 20점
확률변수 \(W\)의 기댓값 \(E(W) = \frac{69}{56}\)을 정확히 계산하였는가? 10점
2-2 각 \(k, l\)에 대하여 최단거리 이동 경로의 수 표를 정확히 작성하였는가? 20점
\(U \le 10\)을 만족하는 경우의 수를 합산하여 확률 \(P(U \le 10) = \frac{19}{28}\)을 도출하였는가? 20점
2-3 모평균의 신뢰구간 길이를 통해 \(n\)에 대한 부등식 \(25 < n < 100\)을 유도하였는가? 20점
부등식을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최댓값 \(99\)와 최솟값 \(26\)을 바르게 제시하였는가? 10점
2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 3회 수리논술 정답 및 해설 Page 4 / 4
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5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오전)
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(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 4회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안
도형 분석

\(\overline{AB}=2\)가 지름이므로 \(\overline{OA}=\overline{OB}=1\)이다. \(\angle ROB = \frac{\pi}{3}\)이므로 \(\angle AOR = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)이다.

\(\triangle AOR\)에서 코사인법칙에 의해

\[\overline{AR}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 1 + 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \implies \overline{AR}=\sqrt{3}\]

\(\overline{AB}\)가 지름이므로 \(\angle ARB = 90^\circ\)이고 \(\angle RAB = \frac{\pi}{6}\)이다. 직각삼각형 \(ARH\)에서 \(\overline{RH} = \overline{AR}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \overline{AH} = \overline{AR}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}\)이다.

직각삼각형 \(APH\)에서 \(\overline{AP} = \overline{AH}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\)이다. (\(\overline{PR} = \overline{AR} - \overline{AP} = \frac{\sqrt{3}}{4}\))

\(\triangle AOP\)에서 코사인법칙에 의해

\[\overline{OP}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{OA}^2 - 2\overline{AP}\cdot\overline{OA}\cos\frac{\pi}{6} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 1^2 - 2\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)(1)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{27}{16} + 1 - \frac{9}{4} = \frac{7}{16}\]

\(\triangle ABP\)에서 코사인법칙에 의해

\[\overline{BP}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{AB}^2 - 2\overline{AP}\cdot\overline{AB}\cos\frac{\pi}{6} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 2^2 - 2\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)(2)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{27}{16} + 4 - \frac{9}{2} = \frac{19}{16}\]

따라서 \(\overline{OP}^2 + \overline{BP}^2 = \frac{7}{16} + \frac{19}{16} = \frac{26}{16} = \mathbf{\frac{13}{8}}\)이다. 답: \(\frac{13}{8}\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안 (1/2)
좌표평면 위 반원

지름의 양 끝점이 \(A(-1, 0), B(1, 0)\)이 되고, 호 \(AB\)가 \(x\)축 윗부분에 오도록 반원을 좌표평면에 두자. \(\angle ROB = t\) (\(0 \le t \le \pi\))라 하면 \(R(\cos t, \sin t), H(\cos t, 0)\)이다.

\(0 < t < \pi\)일 때, 두 점 \(A(-1, 0), R(\cos t, \sin t)\)를 지나는 직선의 방정식은 \(y = \frac{\sin t}{\cos t + 1}(x + 1)\)이고, 점 \(H\)를 지나고 선분 \(AR\)에 수직인 직선의 방정식은 \(y = -\frac{\cos t + 1}{\sin t}(x - \cos t)\)이다.

점 \(P\)는 두 직선의 교점이므로 연립하여 풀면 점 \(P(x, y)\)의 매개변수 표현을 얻는다:

\[x = \frac{1}{2}(\cos^2 t + 2\cos t - 1), \quad y = \frac{1}{2}\sin t(1+\cos t)\]

\((t=0\text{이면 } P=B(1, 0), t=\pi\text{이면 } P=A(-1, 0)\text{이다.})\)

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 4회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안 (2/2)
증감표

\(\overline{OP} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{\cos^2 t + 2\cos t - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sin t(1+\cos t)}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}(\cos^3 t + \cos^2 t - \cos t + 1)}\)이다.

\(f(t) = \cos^3 t + \cos^2 t - \cos t + 1\)이라 하면, \(f'(t) = -\sin t(\cos t + 1)(3\cos t - 1)\)이다.

\(0 \le t \le \pi\)에서 \(-1 \le \cos t \le 1\)이므로, \(f(t)\)의 최솟값은 \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\)인 \(t=\alpha\)일 때 발생하며, 최솟값은 \(f(\alpha) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{22}{27}\)이다.

따라서 \(\overline{OP}\)의 최솟값은 \(\sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{22}{27}} = \sqrt{\frac{11}{27}} = \mathbf{\frac{\sqrt{33}}{9}}\)이다. 답: \(\frac{\sqrt{33}}{9}\)

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

[문항 1-2]의 \(x = \frac{1}{2}(\cos^2 t + 2\cos t - 1)\)로부터 \(2x + 2 = (\cos t + 1)^2 \implies \cos t = -1 + \sqrt{2+2x}\)이다.

\(y^2 = \frac{1}{4}\sin^2 t (1+\cos t)^2 = \frac{1}{4}(1-\cos t)(1+\cos t)^3 = \frac{1}{4}(2-\sqrt{2+2x})(2+2x)^{3/2} = \sqrt{2}(1+x)^{3/2} - (1+x)^2\)이다.

\(-1 \le x \le 1\)이므로 \(AB\)에 수직인 단면(정사각형, 한 변의 길이 \(y\))의 넓이는 \(y^2\)이며 입체도형의 부피는 다음과 같다:

\[V = \int_{-1}^1 y^2 \, dx = \int_{-1}^1 \left( \sqrt{2}(1+x)^{3/2} - (1+x)^2 \right) dx = \left[ \frac{2\sqrt{2}}{5}(1+x)^{5/2} - \frac{1}{3}(1+x)^3 \right]_{-1}^1 = \frac{16}{5} - \frac{8}{3} = \mathbf{\frac{8}{15}}\]

답: \(\frac{8}{15}\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 선분 \(\overline{AP}\)의 길이 \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)를 코사인법칙 및 직각삼각형 성질을 통해 구했는가? 10점
코사인법칙을 적용하여 \(\overline{OP}^2 = \frac{7}{16}, \overline{BP}^2 = \frac{19}{16}\)을 구하고 합 \(\frac{13}{8}\)을 도출했는가? 20점
1-2 점 \(P\)의 좌표 및 \(\overline{OP}\)의 길이를 한 문자 \(t\)에 대한 식으로 나타내었는가? 20점
도함수를 통해 극솟값을 판정하고 \(\overline{OP}\)의 최솟값 \(\frac{\sqrt{33}}{9}\)를 정확히 구했는가? 20점
1-3 정사각형의 단면 넓이 \(y^2\)을 \(x\)에 대한 함수 \(\sqrt{2}(1+x)^{3/2} - (1+x)^2\)으로 표현하였는가? 20점
정적분 계산을 정확히 수행하여 입체도형의 부피 \(\frac{8}{15}\)를 구했는가? 10점
2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 4회 수리논술 정답 및 해설 Page 2 / 4
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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 4회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

\(t = \sin x\)로 치환하면 \(\frac{dt}{dx} = \cos x\)이고, \(x=0\)일 때 \(t=0\), \(x=\beta\)일 때 \(t=\sin\beta\)이므로

\[\frac{a_n}{n+1} = \int_0^\beta (\sin x)^n \cos x \, dx = \int_0^{\sin\beta} t^n \, dt = \frac{(\sin\beta)^{n+1}}{n+1} \implies a_n = (\sin\beta)^{n+1}\]

수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 \(\sin^2\beta\)이고 공비가 \(\sin\beta\)인 등비수열이다. \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\)에서 \(0 < \sin\beta < 1\)이므로 등비급수는 수렴한다.

\[\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{\sin^2\beta}{1-\sin\beta} = \frac{1}{6} \implies 6\sin^2\beta + \sin\beta - 1 = (3\sin\beta - 1)(2\sin\beta + 1) = 0\]

\(\sin\beta > 0\)이므로 \(\sin\beta = \frac{1}{3}\)이다. 따라서 \(\cos\beta = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이므로

\[\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{4}}\]

답: \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안
정규분포 대칭성

\(X \sim N(m, \sigma^2)\)이므로 크기 \(n\)인 표본평균 \(\bar{X} \sim N(m, \frac{\sigma^2}{n})\)이다. 두 확률밀도함수는 모두 \(x=m\)에 대해 대칭이다.

조건 (가)에서 \(P(X \ge 8) + P(\bar{X} \ge 8) = 1\)이므로 평균 \(m = 8\)이다.

두 표준화 확률변수 \(Z_1 = \frac{X-8}{\sigma}, Z_2 = \frac{\bar{X}-8}{\sigma/\sqrt{n}}\)은 모두 \(N(0, 1)\)을 따르며 \(z=0\)에 대해 대칭이다. 조건 (나)에서 \(P(X \ge 12) + P(\bar{X} \ge 7.5) = 1\)이므로

\[P\left(Z_1 \ge \frac{12-8}{\sigma}\right) + P\left(Z_2 \ge \frac{7.5-8}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = 1 \implies \frac{4}{\sigma} = \frac{0.5\sqrt{n}}{\sigma} \implies \sqrt{n} = 8 \implies n = 64\]

\(m\)에 대한 신뢰도 \(95.44\%\)의 신뢰구간은 \(P(-2.0 \le Z \le 2.0) = 2 \times 0.4772 = 0.9544\)로부터 \(\bar{x} - 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)이다. 조건 (다)에서 신뢰구간이 \(\bar{x}-1 \le m \le \bar{x}+1\)이므로

\[2 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}} = 1 \implies \frac{\sigma}{4} = 1 \implies \sigma = 4\]

따라서 \(m + \sigma + n = 8 + 4 + 64 = \mathbf{76}\)이다. 답: \(76\)

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 4회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

윷짝을 \(2023\)번 던져 평평한 면이 나오는 횟수를 확률변수 \(Y\)라 하면, \(Y\)가 짝수일 확률은 \(\sum_{j=0}^{1011} {}_{2023}C_{2j} p^{2j} (1-p)^{2023-2j}\)이다.

이항정리를 이용하여 \([p + (1-p)]^{2023}\)와 \([(1-p) - p]^{2023}\)을 전개하면:

\[[p + (1-p)]^{2023} = 1^{2023} = 1 = \sum_{k=0}^{2023} {}_{2023}C_k p^k (1-p)^{2023-k}\]
\[[(1-p) - p]^{2023} = (1-2p)^{2023} = \sum_{k=0}^{2023} {}_{2023}C_k (-p)^k (1-p)^{2023-k} = \sum_{k=0}^{2023} (-1)^k {}_{2023}C_k p^k (1-p)^{2023-k}\]

두 식을 더하면 홀수 번째 항(\(k\)가 홀수)이 소거되고 짝수 번째 항만 남는다:

\[1 + (1-2p)^{2023} = 2 \sum_{j=0}^{1011} {}_{2023}C_{2j} p^{2j} (1-p)^{2023-2j}\]

따라서 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률은 다음과 같다:

\[P = \mathbf{\frac{1 + (1-2p)^{2023}}{2}} \quad \left( \text{또는 } \mathbf{\frac{1 - (2p-1)^{2023}}{2}} \right)\]

답: \(\frac{1 + (1-2p)^{2023}}{2}\) (또는 \(\frac{1 - (2p-1)^{2023}}{2}\))

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 치환적분법을 적용하여 일반항 \(a_n = (\sin\beta)^{n+1}\)을 올바르게 구하였는가? 10점
등비급수의 합 공식을 통해 \(\sin\beta = \frac{1}{3}\)을 정확히 도출하였는가? 20점
\(\tan\beta = \frac{\sqrt{2}}{4}\)를 최종적으로 잘 계산하였는가? 10점
2-2 정규분포의 대칭성을 통해 평균 \(m=8\)과 표준편차 및 표본의 관계를 파악하였는가? 10점
표본평균의 표준화 식과 신뢰구간 조건을 통해 표본의 크기 \(n=64\), \(\sigma=4\)를 구했는가? 10점
구한 값들을 종합하여 \(m + \sigma + n = 76\)을 정확히 계산하였는가? 10점
2-3 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 조합과 독립시행의 확률식으로 표현하였는가? 10점
이항정리의 전개식을 연립하여 확률 \(\frac{1 + (1-2p)^{2023}}{2}\)를 정확하게 유도하였는가? 20점
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QUESTIO MATH ESSAY
5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오전)
한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집
QUESTIO 수리논술 입시연구소
2027학년도 수험생용
2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2027학년도 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안
1-1 정사영 분석

삼각형 \(ABC\)의 평면 \(\beta\)로의 정사영을 \(A'B'C'\)이라 하고, \(h\)와 \(h'\)을 각각 삼각형 \(ABC\)와 \(A'B'C'\)의 높이라 하자.

\(\triangle ABC\)는 \(\overline{AB} = \overline{AC} = 1\)인 직각이등변삼각형이므로 높이 \(h = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)이다.

선분 \(BC\)가 교선 \(\ell\)과 평행하므로 높이 선분은 교선 \(\ell\)에 수직이다. 따라서 정사영의 높이는 \(h' = h \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\)이다.

밑변의 절반 길이는 교선 \(\ell\)과 평행하므로 정사영 후에도 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)로 불변이다. 피타고라스 정리에 의해

\[\overline{A'B'} = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (h')^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2\theta} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}}\]

답: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안
1-2 임의 선분 정사영

선분 \(PQ\)를 빗변으로 하고 다음 조건을 만족하는 평면 \(\alpha\) 위의 직각삼각형 \(PRQ\)를 생각하자:

∙ 직선 \(PR\)과 직선 \(\ell\)은 수직이다.   ∙ 직선 \(RQ\)와 직선 \(\ell\)은 평행이다.

이때 \(\angle Q = t\)라 하면 \(\overline{PQ} = 1\)이므로 \(\overline{PR} = \sin t, \overline{RQ} = \cos t\)이다.

삼각형 \(PQR\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(P'Q'R'\)이라 하면 삼수선의 정리에 의해 \(\angle R' = 90^\circ\)인 직각삼각형이다. 따라서

\[\overline{P'R'} = \overline{PR}\cos\theta = \sin t \cos\theta, \quad \overline{R'Q'} = \overline{RQ} = \cos t\]
\[\overline{P'Q'} = \sqrt{\overline{P'R'}^2 + \overline{R'Q'}^2} = \mathbf{\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}}\]

답: \(\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}\)

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안
1-3 정삼각형 각도

직선 \(RS\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각을 \(t\)라 하면, 정삼각형의 성질에 의해 직선 \(TS\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각은 \(\frac{\pi}{3} - t\)이고, 직선 \(RT\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각은 \(\frac{\pi}{3} + t\)이다.

[문항 1-2]의 공식을 적용하면 삼각형 \(R'S'T'\)의 각 변의 길이의 제곱은 다음과 같다:

\[\overline{R'S'}^2 = \sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t\]
\[\overline{T'S'}^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\cos^2\theta + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\]
\[\overline{R'T'}^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\cos^2\theta + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\]

삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(\sin^2 t + \sin^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3}{2}\), \(\cos^2 t + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3}{2}\)이므로 세 식의 합은 다음과 같다:

\[\overline{R'S'}^2 + \overline{S'T'}^2 + \overline{T'R'}^2 = \frac{3}{2}\cos^2\theta + \frac{3}{2}\]

\(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)를 대입하면 구하는 값은 다음과 같다:

\[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{\pi}\right)^2 + \frac{3}{2} = \frac{27}{2\pi^2} + \frac{3}{2} = \mathbf{\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}}\]

답: \(\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 선분 \(AB\)의 정사영의 높이와 밑변 성분을 삼수선의 정리를 통해 도출하였는가? 20점
정사영의 길이 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}\)를 정확히 구하였는가? 10점
1-2 수직·평행 직각삼각형 성분을 분해하여 정사영의 기하학적 의미를 파악하였는가? 20점
선분 \(P'Q'\)의 길이 \(\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}\)를 정확하게 유도하였는가? 10점
1-3 세 변의 각도를 \(\frac{\pi}{3}\pm t\)로 설정하고 삼각함수 덧셈정리를 통해 합 식을 단순화하였는가? 30점
\(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)를 대입하여 최종값 \(\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}\)를 정확히 도출하였는가? 10점
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2027학년도 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

꺼낸 카드에 적힌 수를 \(X\)라 하면, \(E(X) = \frac{1+2+3}{3} = 2\)이고, 모분산은 다음과 같다:

\[V(X) = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{2}{3}\]

표본의 크기 \(n=54\)이므로 표본평균 \(\bar{X}\)의 평균과 분산은 \(E(\bar{X}) = 2\), \(V(\bar{X}) = \frac{V(X)}{54} = \frac{2/3}{54} = \frac{1}{81}\)이다.

확률변수 \(Y = -2\bar{X}\)의 평균과 분산은 다음과 같다:

\[E(-2\bar{X}) = -2E(\bar{X}) = \mathbf{-4}, \quad V(-2\bar{X}) = (-2)^2 V(\bar{X}) = 4 \times \frac{1}{81} = \mathbf{\frac{4}{81}}\]

\(n=54\)가 충분히 크므로 중심극한정리에 의해 \(\bar{X}\) 및 \(-2\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다.

\(Z = \frac{-2\bar{X} - (-4)}{\sqrt{4/81}} = \frac{-2\bar{X} + 4}{2/9}\)는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따르므로 구하는 확률은

\[P\left(-2\bar{X} \ge -\frac{11}{3}\right) = P\left(Z \ge \frac{-11/3 + 4}{2/9}\right) = P\left(Z \ge \frac{1/3}{2/9}\right) = P(Z \ge 1.5) = 0.5 - 0.4332 = \mathbf{0.0668}\]

답: 평균: \(-4\), 분산: \(\frac{4}{81}\), 확률: \(0.0668\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)를 미분하면 \(f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}\)이다. \(f'(e) = 0\)이고, \(0 < x < e\)에서 \(f'(x) > 0\), \(x > e\)에서 \(f'(x) < 0\)이다.

따라서 \(f(x)\)는 \((0, e)\)에서 엄격히 증가하고, \((e, \infty)\)에서 엄격히 감소하며, \(x=e\)에서 극댓값이자 최댓값 \(f(e) = \frac{1}{e}\)을 갖는다.

\(a^b = b^a\)의 양변에 자연로그를 취하고 정리하면 \(\frac{\ln a}{a} = \frac{\ln b}{b}\), 즉 \(f(a) = f(b)\)이다.

\(a \ne b\)이므로 증가·감소 구간에 의해 두 수 중 하나는 \(e\)보다 작고 다른 하나는 \(e\)보다 커야 한다. 일반성을 잃지 않고 \(a < e < b\)라 하자.

\(e \approx 2.718\)이므로 가능한 양의 정수 \(a\)는 \(1\) 또는 \(2\)이다.

∙ \(a = 1\)이면 \(f(1) = 0\)인데, 모든 \(b > e\)에 대해 \(f(b) > 0\)이므로 불가능하다.
∙ \(a = 2\)이면 \(f(2) = \frac{\ln 2}{2} = \frac{\ln 4}{4} = f(4)\)이므로 \(b = 4\)가 유일하게 성립한다.

대칭성에 의해 \(b < a\)인 경우도 가능하므로, 구하는 모든 양의 정수 순서쌍은 다음과 같다:

답: \((2, 4), (4, 2)\)

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2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2027학년도 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안
정n각형 외접원 다이어그램

둘레의 길이가 \(1\)인 정 \(n\)각형의 한 변의 길이는 \(\frac{1}{n}\)이다. 외접원의 중심을 \(O\), 이웃한 두 꼭짓점을 \(A, B\), 외접원의 반지름을 \(r\)이라 하자.

\(\triangle OAB\)에서 중심각 \(\angle AOB = \frac{2\pi}{n}\)이므로 코사인법칙에 의해

\[\left(\frac{1}{n}\right)^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos\frac{2\pi}{n} \implies r^2 = \frac{1}{2n^2(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\]

\(\triangle OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^2 \sin\frac{2\pi}{n} = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n^2(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\)이므로 정 \(n\)각형의 넓이 \(f(n)\)은 다음과 같다:

\[f(n) = n \times \triangle OAB = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\]

\(n = 12\)를 대입하면 \(\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\)이므로:

\[f(12) = \frac{\sin\frac{\pi}{6}}{48(1-\cos\frac{\pi}{6})} = \frac{1/2}{48(1-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{48(2-\sqrt{3})} = \mathbf{\frac{2+\sqrt{3}}{48}}\]

극한값 \(\lim_{n \to \infty} f(n)\)은 삼각함수의 반각/배각 공식 및 극한을 이용하여 계산한다:

\[f(n) = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}(1+\cos\frac{2\pi}{n})}{4n(1-\cos^2\frac{2\pi}{n})} = \frac{1+\cos\frac{2\pi}{n}}{4n\sin\frac{2\pi}{n}} = \frac{1+\cos\frac{2\pi}{n}}{8\pi \times \frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}}\]
\[\lim_{n \to \infty} f(n) = \frac{1+1}{8\pi \times 1} = \mathbf{\frac{1}{4\pi}}\]

답: \(f(12) = \frac{2+\sqrt{3}}{48}, \quad \lim_{n \to \infty} f(n) = \frac{1}{4\pi}\)

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 표본평균의 성질을 이용하여 \(-2\bar{X}\)의 평균 \(-4\)와 분산 \(\frac{4}{81}\)을 구했는가? 15점
표준정규분포의 표준화를 적용하여 확률 \(0.0668\)을 정확하게 계산했는가? 15점
2-2 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\)의 도함수 및 증가·감소 구간을 엄밀하게 분석하였는가? 15점
\(e\)의 성질과 정수 조건을 활용하여 순서쌍 \((2, 4), (4, 2)\)를 완벽히 도출했는가? 25점
2-3 정 \(n\)각형의 넓이 함수를 유도하고 \(f(12) = \frac{2+\sqrt{3}}{48}\)을 정확히 계산하였는가? 20점
삼각함수의 극한 \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)을 적용하여 극한값 \(\frac{1}{4\pi}\)를 도출했는가? 10점
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2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.46 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 132} + 132\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 268\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 268\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 268)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 268\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 268)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 268\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(134, 134)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 134)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 268)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 268 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{268}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 268,\; \mathrm{M}(134, 134)\)  |  [1-2] \(\mathrm{P}(133, 135),\; \mathrm{Q}(135, 133)\)  |  [1-3] 넓이 \(S = 268\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 268\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 268\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(134, 134)\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 268)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(133, 135),\; \mathrm{Q}(135, 133)\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 268 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{268}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{268}{\sqrt{2}} = 268\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 268\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(134, 134)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 268)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(133, 135),\; \mathrm{Q}(135, 133)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{268}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 268\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 268\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(134, 134)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 6회 : 지수·로그함수의 역함수 · 비선형 분수 점화식의 · 함수방정식과 도함수의 · 수직선 위를 움직이는 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{135}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/135)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{135}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 135\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 129\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 129}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{26325}\)의 값을 유도하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(b_n = 6n + 129,\; a_n = \dfrac{1}{6n + 129}\)  |  [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료  |  [2-3] \(\dfrac{10}{135\times 195} = \dfrac{10}{26325}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 135\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 6\)이므로 \(b_n = 135 + 6(n - 1) = 6n + 129\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 129}\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{135}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{6k + 129}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{6a_k + 1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 129}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{135} - \dfrac{1}{195}\right) = \dfrac{10}{26325}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]• 역수 등차수열 \(b_n = 6n + 129\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 129}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{135}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 129}\) 연역 +5점
소문항 [2-3]• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{135} - \dfrac{1}{195}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{26325}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.
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[대문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 136\right)\)로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 9xy(x+y) - 132\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 132\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 132\)을 만족시키고 \(f'(0) = 136\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 132\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 9x^2 + 136\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 3x^3 + 136x + 132\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 271)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 172\right)\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(0) = 132,\; f'(x) = 9x^2 + 136\)  |  [3-2] \(f(x) = 3x^3 + 136x + 132\), 접선 \(y = 145x + 126\)  |  [3-3] \(\dfrac{172}{4}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 132 \implies f(0) = 132\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 132 + 9xh(x+h)}{h} = 9x^2 + 136\)이므로 적분하면 \(f(x) = 3x^3 + 136x + 132\)이고, 점 \((1, 271)\)에서의 접선은 \(y = 145x + 126\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분모를 인수분해하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{172}{4}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]• \(f(0) = 132\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 9x^2 + 136\) 유도 +4점
소문항 [3-2]• \(f(x) = 3x^3 + 136x + 132\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 145x + 126\) 도출 +3점
소문항 [3-3]• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{172}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 \(-132\)를 \(-f(0)\)으로 바꾸어 \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 136\)를 명시해야 감점이 없습니다.
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[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 384)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 384)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 384]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 384)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 768t^2 + 147456t = t(t - 384)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 384\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(384) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 384]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 128)(t - 384)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(128) = 8388608\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1536 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 256\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(256) = 4194304\)를 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 384,\; h'(384) = 0\)  |  [4-2] \(t = 128\)에서 최댓값 \(8388608\)  |  [4-3] \(t_2 = 256,\; D(256) = 4194304\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 384)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 384\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 128)(t - 384)\)에 대입하면 \(h'(384) = 0\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \([0, 384]\)에서 내부 극대점은 \(t = 128\)이므로 최댓값은 \(D(128) = 128(-256)^2 = 8388608\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 1536 = 0\)에서 \(t_2 = 256\)이고, 그때의 거리는 \(D(256) = 256(-128)^2 = 4194304\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]• \(t_1 = 384\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(384) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]• \(h'(t) = 3(t - 128)(t - 384) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(8388608\) 산출 +3점
소문항 [4-3]• \(h''(t) = 6t - 1536 = 0 \implies t_2 = 256\) 도출 +3점 / 거리 \(4194304\) 계산 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=128\), 변곡 \(t=256\), 접점 \(t=384\)이 등간격 \(128\)로 배열됩니다.
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[대문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 129)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (129, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{129} (-6x^2 + 774x)\,dx = 2146689\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{129}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(2146689\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 774x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 387x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 774x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 2146689\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 2146689\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{129}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{129/2} (-6x^2 + 774x)\,dx = \dfrac{2146689}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 774x\)와 직선 \(y = 387x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{2146689}{8}\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(S = 2146689\)  |  [5-2] \(k = \dfrac{129}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{2146689}{2}\)  |  [5-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{129}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{2146689}{8}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 387x^2\right]_0^{129} = -2(129)^3 + 3(129)^3 = 2146689\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{129}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{129}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 387x^2\right]_0^{129/2} = -\dfrac{2146689}{4} + \dfrac{3\times 2146689}{4} = \dfrac{2146689}{2}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 774x = 387x \implies 6x\left(x - \dfrac{129}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{129}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{129/2} (-6x^2 + 387x)\,dx = \dfrac{2146689}{8}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]• 원시함수 \(-2x^3 + 387x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 2146689\) 도출 +3점
소문항 [5-2]• 대칭축 \(k = \dfrac{129}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 129/2]\) 적분값 \(\dfrac{2146689}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]• 교점 \(x = \dfrac{129}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{2146689}{8}\) 도출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{129}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{2146689}{8}\)이 됩니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 6회 : 지수·로그함수의 역함수 · 비선형 분수 점화식의 · 함수방정식과 도함수의 · 수직선 위를 움직이는 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.47 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{139}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 137\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{139}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 136\sqrt{139}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{139}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 137\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 18767\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 136\sqrt{139}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 2570942\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{2570944}{136\sqrt{139}}\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 137,\; x^2 + x^{-2} = 18767\)  |  [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 136\sqrt{139},\; x^3 + x^{-3} = 2570942\)  |  [1-3] \(136\sqrt{139}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{139})^2 - 2 = 137\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 137^2 - 2 = 18767\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{139})^3 - 3\sqrt{139} = 136\sqrt{139}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 137^3 - 3\times 137 = 2570942\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 2570944 = (136\sqrt{139})^2\)이므로 분모 \(136\sqrt{139}\)로 약분하면 \(136\sqrt{139}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]• \(x + x^{-1} = 137\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 18767\) 산출 +3점
소문항 [1-2]• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 136\sqrt{139}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 2570942\) 계산 +4점
소문항 [1-3]• 분자 \(2570944\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(136\sqrt{139}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(2570944 = (136\sqrt{139})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=384,\; c=640\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=896\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1920\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1920}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 384,\; c = 640\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=384\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 896\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{896\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{245760\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{128\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 896\)  |  [2-2] \(R = \dfrac{896\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{245760\sqrt{3}}{4}\)  |  [2-3] \(r = \dfrac{128\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{114688}{2}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 384^2 + 640^2 - 2(384)(640)(-1/2) = 49\times 128^2\)이므로 \(a = 896\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{896}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{896\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 384\times 640\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{245760\sqrt{3}}{4}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 1920\)이므로 \(\dfrac{1920}{2}r = \dfrac{245760\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{128\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{114688}{2}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 128^2\) +3점 / \(a = 896\) 도출 +3점
소문항 [2-2]• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{896\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{245760\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{128\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{114688}{2}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 128 : 5\times 128 : 7\times 128\))입니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -527\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 131} \dfrac{f(x)}{(x - 131)^2} = 259\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 131)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -527\)과 \(\lim_{x \to 131} \dfrac{f(x)}{(x - 131)^2} = 259\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 131)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 131)^2(2x + -3)\)이 무한대 극한 조건 \(-527\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(133) = 1052\)의 값과 \(x = 131\)에서의 미분계수 \(f'(131) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -3\)  |  [3-2] 이차항 계수 \(-527\) 일치 검증 완료  |  [3-3] \(f(133) = 1052,\; f'(131) = 0\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 131} (2x + r) = 262 + r = 259\)이므로 \(r = -3\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 262x + 17161)(2x + -3) = 2x^3 + (-527)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-527\)이 정확히 성립한다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 133\)를 대입하면 \(f(133) = 4(266 + -3) = 1052\)이고, \((x - 131)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(131) = 0\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-527\) 확인 +7점
소문항 [3-3]• \(f(133) = 1052\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(131) = 0\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 131)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 131\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포 Page 3 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 261x + 17028\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 132|P(x)\)가 \(x = 132\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(132) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 132)(x - 129)\)일 때 구간 \(x \lt 132\)에서 \(h(x) = -(x - 132)^2(x - 129)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 261x + 17028\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 132|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 132\)에서의 우미분계수 \(P(132)\)와 좌미분계수 \(-P(132)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(132) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 132\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 132)(x - 130)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 132\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 130\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(130) = -4\;(\text{기준점 } 132)\)를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(132) = -P(132) = 0\) 확인  |  [4-2] \(h'(x) = -3(x - 132)(x - 130)\)  |  [4-3] \(x = 130,\; h(130) = -4\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 132\pm} \dfrac{|x - 132|P(x)}{x - 132} = \pm P(132)\)이고 실제로 \(P(132) = (132 - 132)(132 - 129) = 0\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \(x \lt 132\)에서 \(h(x) = -(x - 132)^2(x - 129)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 132)(3x - 390) = -3(x - 132)(x - 130)\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(x \ne 132\)에서 극점은 \(x = 130\)이고, 대입하면 \(h(130) = -(130 - 132)^2(130 - 129) = -4\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]• 좌·우미분계수 \(\pm P(132)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(132) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]• \(x \lt 132\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 132)(x - 130)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]• 극점 \(x = 130\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(130) = -4\;(\text{극점 } 130)\) 산출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 132\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 132\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 401\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 401\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 134\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 401)\,dx = 804\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 401\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 401)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 134\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 536x + 401\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{268}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -132\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 536x + 401)\,dx = 804\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 134,\; f(x) = 3x^2 - 536x + 401\)  |  [5-2] \(x = \dfrac{268}{3},\; f(1) = -132\)  |  [5-3] \(804\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 \(A = \left[t^3 - 2At^2 + 401t\right]_0^1 = 402 - 2A \implies 3A = 402\)이므로 \(A = 134\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 536x + 401\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 \(f'(x) = 6x - 536 = 0\)에서 극소점은 \(x = \dfrac{268}{3}\)이고, \(f(1) = 3 - 536 + 401 = -132\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 기함수 항 \(-536x\)는 소거되므로 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 536x + 401)\,dx = 2(1 + 401) = 804\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]• \(A = 402 - 2A \implies A = 134\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 536x + 401\) 완성 +3점
소문항 [5-2]• 대칭축 \(x = \dfrac{268}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -132\) 계산 +3점
소문항 [5-3]• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(804\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 \(A = 134\)이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.48 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{127},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{127}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 258064\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{258064}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{127},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{127}\)이며, 크기 \(n = 258064\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{127}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 127)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 258064\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{508} = \dfrac{3}{3175}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{79375}\)를 기약분수로 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(P(B) = \dfrac{2}{127},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\)  |  [1-2] 표준오차 \(\dfrac{3}{3175}\)  |  [1-3] \(L = \dfrac{294}{79375}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전확률 공식에서 \(P(B) = \dfrac{1}{254} + \dfrac{3}{254} = \dfrac{2}{127}\)이고, 베이즈 정리에 의해 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 127)}{2/127} = \dfrac{3}{4}\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 258064}} = \dfrac{12}{25 \times 508} = \dfrac{3}{3175}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{3175} = \dfrac{294}{79375}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{127}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 127)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]• \(\sqrt{n} = 508\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{3175}\) 유도 +3점
소문항 [1-3]• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{79375}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 \(\dfrac{3}{3175}\) 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 372x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 372\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 372 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 372}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 372x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 372(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 375\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{372}\)와 \(g'(375) = \dfrac{1}{375}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((375, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{375}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(375)} = 747\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(f'(c) = 3c^2 + 372 \ge 372\) 증명 완료  |  [2-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{372},\; g'(375) = \dfrac{1}{375}\)  |  [2-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{375}x,\; \text{합 } 747\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 372 \ge 372\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 372(x_2 - x_1)\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{372}\)이고 \(g'(375) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{375}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((375, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{375}(x - 375) \implies y = \dfrac{1}{375}x\)이고, 역수의 합은 \(372 + 375 = 747\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 372 \ge 372\) 서술 +6점
소문항 [2-2]• \(g'(2) = \dfrac{1}{372}\) 산출 +3점 / \(g'(375) = \dfrac{1}{375}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]• 접선 \(y = \dfrac{1}{375}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(747\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(375)\)를 구할 때는 \(f(a) = 375\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.
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[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 768\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 768)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 768)\,dt = 3x^2 - 768x\)이고 \(F''(x) = 6x - 768\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 768)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 768x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 768\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(256) = 8388608\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 128\)에서의 함숫값 \(F(128) = -4194304\)과 접선의 기울기 \(F'(128) = -49152\)을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(F'(x) = 3x(x - 256),\; F''(x) = 6x - 768\)  |  [3-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=256\), 차 \(8388608\)  |  [3-3] \(F(128) = -4194304,\; F'(128) = -49152\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 768)\,dt = 3x^2 - 768x\)이고 \(F''(x) = 6x - 768\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 256) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(256) = -8388608\)이므로 극값의 차는 \(8388608\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 384x^2\)에 \(x = 128\)을 대입하면 \(F(128) = -4194304\)이고 \(F'(128) = -49152\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 768x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]• 극점 \(x = 0, 256\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(8388608\) 산출 +4점
소문항 [3-3]• \(F(128) = -4194304\) 계산 +4점 / \(F'(128) = -49152\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 768)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.
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[대문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 504x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(126, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -126\)까지의 거리 \(x_1 + 126\)와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 504x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(504, 504)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 252\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(126, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 504x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(504, 504)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -126\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 630\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(504, 504)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-504, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 630\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(630\)와 높이 \(504\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 158760\)를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] 준선 \(x = -126,\; \overline{\mathrm{PF}} = 630\)  |  [4-2] 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 252,\; \mathrm{Q}(-504, 0),\; \overline{\mathrm{FQ}} = 630\)  |  [4-3] 넓이 \(S = 158760\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 포물선 \(y^2 = 504x\)의 준선은 \(x = -126\)이므로 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF}} = 504 + 126 = 630\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{2}x + 252\)의 가로축 절편은 \(\mathrm{Q}(-504, 0)\)이므로 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 126 - (-504) = 630\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼각형 FPQ의 밑변은 \(630\), 높이는 \(504\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 630\times 504 = 158760\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]• 준선 \(x = -126\) 명시 +2점 / 포물선 정의로 \(\overline{\mathrm{PF}} = 630\) 도출 +4점
소문항 [4-2]• 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 252\) 유도 +4점 / \(\mathrm{Q}(-504, 0)\) 및 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 630\) 증명 +3점
소문항 [4-3]• 밑변 \(630\) 및 높이 \(504\) 설정 +3점 / 넓이 \(S = 158760\) 산출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 포물선 위의 점 \((504, 504)\)에서의 접선의 가로축 절편은 항상 \(-504\)가 되어 초점 F를 중심으로 이등변삼각형이 형성됩니다.
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[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(378, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 378, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 378)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 378\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 378)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 378\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{142884}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(378, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 378, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 378)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 378\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 378 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 126\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{142884}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{142884\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 9001692\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{378}{\sqrt{3}} = 126\sqrt{3}\)  |  [5-2] \(S' = \dfrac{142884}{2},\; S = \dfrac{142884\sqrt{3}}{2}\)  |  [5-3] \(V = 9001692\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{378}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 126\sqrt{3}\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{142884}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{142884\sqrt{3}}{2}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{142884\sqrt{3}}{2} \times 126\sqrt{3} = 9001692\)로 정확히 일치한다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]• 평면 \(x+y+z=378\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 126\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{142884}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{142884\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 9001692\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 378\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.49 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 135} + 135\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 274\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 274\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 274)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 274\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 274)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 274\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(137, 137)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 137)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 274)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 274 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{274}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 274,\; \mathrm{M}(137, 137)\)  |  [1-2] \(\mathrm{P}(136, 138),\; \mathrm{Q}(138, 136)\)  |  [1-3] 넓이 \(S = 274\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 274\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 274\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(137, 137)\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 274)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(136, 138),\; \mathrm{Q}(138, 136)\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 274 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{274}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{274}{\sqrt{2}} = 274\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 274\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(137, 137)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 274)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(136, 138),\; \mathrm{Q}(138, 136)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{274}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 274\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 274\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(137, 137)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=390,\; c=650\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=910\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1950\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1950}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 390,\; c = 650\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=390\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 910\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{910\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{253500\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{130\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 910\)  |  [2-2] \(R = \dfrac{910\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{253500\sqrt{3}}{4}\)  |  [2-3] \(r = \dfrac{130\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{118300}{2}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 390^2 + 650^2 - 2(390)(650)(-1/2) = 49\times 130^2\)이므로 \(a = 910\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{910}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{910\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 390\times 650\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{253500\sqrt{3}}{4}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 1950\)이므로 \(\dfrac{1950}{2}r = \dfrac{253500\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{130\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{118300}{2}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 130^2\) +3점 / \(a = 910\) 도출 +3점
소문항 [2-2]• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{910\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{253500\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{130\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{118300}{2}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 130 : 5\times 130 : 7\times 130\))입니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 774\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 774)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 774)\,dt = 3x^2 - 774x\)이고 \(F''(x) = 6x - 774\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 774)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 774x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 774\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(258) = 8586756\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 129\)에서의 함숫값 \(F(129) = -4293378\)과 접선의 기울기 \(F'(129) = -49923\)을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(F'(x) = 3x(x - 258),\; F''(x) = 6x - 774\)  |  [3-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=258\), 차 \(8586756\)  |  [3-3] \(F(129) = -4293378,\; F'(129) = -49923\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 774)\,dt = 3x^2 - 774x\)이고 \(F''(x) = 6x - 774\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 258) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(258) = -8586756\)이므로 극값의 차는 \(8586756\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 387x^2\)에 \(x = 129\)을 대입하면 \(F(129) = -4293378\)이고 \(F'(129) = -49923\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 774x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]• 극점 \(x = 0, 258\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(8586756\) 산출 +4점
소문항 [3-3]• \(F(129) = -4293378\) 계산 +4점 / \(F'(129) = -49923\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 774)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 3 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 393)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 393)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 393]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 393)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 786t^2 + 154449t = t(t - 393)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 393\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(393) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 393]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 131)(t - 393)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(131) = 8992364\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1572 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 262\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(262) = 4496182\)를 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 393,\; h'(393) = 0\)  |  [4-2] \(t = 131\)에서 최댓값 \(8992364\)  |  [4-3] \(t_2 = 262,\; D(262) = 4496182\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 393)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 393\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 131)(t - 393)\)에 대입하면 \(h'(393) = 0\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \([0, 393]\)에서 내부 극대점은 \(t = 131\)이므로 최댓값은 \(D(131) = 131(-262)^2 = 8992364\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 1572 = 0\)에서 \(t_2 = 262\)이고, 그때의 거리는 \(D(262) = 262(-131)^2 = 4496182\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]• \(t_1 = 393\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(393) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]• \(h'(t) = 3(t - 131)(t - 393) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(8992364\) 산출 +3점
소문항 [4-3]• \(h''(t) = 6t - 1572 = 0 \implies t_2 = 262\) 도출 +3점 / 거리 \(4496182\) 계산 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=131\), 변곡 \(t=262\), 접점 \(t=393\)이 등간격 \(131\)로 배열됩니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{128},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{128}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 262144\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{262144}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{128},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{128}\)이며, 크기 \(n = 262144\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{128}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 128)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 262144\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{512} = \dfrac{3}{3200}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{80000}\)를 기약분수로 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(B) = \dfrac{2}{128},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\)  |  [5-2] 표준오차 \(\dfrac{3}{3200}\)  |  [5-3] \(L = \dfrac{294}{80000}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전확률 공식에서 \(P(B) = \dfrac{1}{256} + \dfrac{3}{256} = \dfrac{2}{128}\)이고, 베이즈 정리에 의해 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 128)}{2/128} = \dfrac{3}{4}\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 262144}} = \dfrac{12}{25 \times 512} = \dfrac{3}{3200}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{3200} = \dfrac{294}{80000}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{128}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 128)\) 도출 +3점
소문항 [5-2]• \(\sqrt{n} = 512\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{3200}\) 유도 +3점
소문항 [5-3]• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{80000}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 \(\dfrac{3}{3200}\) 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.50 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{139}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/139)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{139}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 139\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 134\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 134}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{26271}\)의 값을 유도하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 5n + 134,\; a_n = \dfrac{1}{5n + 134}\)  |  [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료  |  [1-3] \(\dfrac{10}{139\times 189} = \dfrac{10}{26271}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 139\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 5\)이므로 \(b_n = 139 + 5(n - 1) = 5n + 134\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 134}\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{139}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{5k + 134}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{5a_k + 1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 134}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{139} - \dfrac{1}{189}\right) = \dfrac{10}{26271}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]• 역수 등차수열 \(b_n = 5n + 134\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 134}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{139}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 134}\) 연역 +5점
소문항 [1-3]• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{139} - \dfrac{1}{189}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{26271}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -539\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 134} \dfrac{f(x)}{(x - 134)^2} = 265\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 134)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -539\)과 \(\lim_{x \to 134} \dfrac{f(x)}{(x - 134)^2} = 265\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 134)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 134)^2(2x + -3)\)이 무한대 극한 조건 \(-539\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(136) = 1076\)의 값과 \(x = 134\)에서의 미분계수 \(f'(134) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(r = -3\)  |  [2-2] 이차항 계수 \(-539\) 일치 검증 완료  |  [2-3] \(f(136) = 1076,\; f'(134) = 0\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 134} (2x + r) = 268 + r = 265\)이므로 \(r = -3\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 268x + 17956)(2x + -3) = 2x^3 + (-539)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-539\)이 정확히 성립한다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 136\)를 대입하면 \(f(136) = 4(272 + -3) = 1076\)이고, \((x - 134)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(134) = 0\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점
소문항 [2-2]• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-539\) 확인 +7점
소문항 [2-3]• \(f(136) = 1076\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(134) = 0\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 134)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 134\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 378x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 378\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 378 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 378}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 378x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 378(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 381\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{378}\)와 \(g'(381) = \dfrac{1}{381}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((381, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{381}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(381)} = 759\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(c) = 3c^2 + 378 \ge 378\) 증명 완료  |  [3-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{378},\; g'(381) = \dfrac{1}{381}\)  |  [3-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{381}x,\; \text{합 } 759\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 378 \ge 378\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 378(x_2 - x_1)\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{378}\)이고 \(g'(381) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{381}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((381, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{381}(x - 381) \implies y = \dfrac{1}{381}x\)이고, 역수의 합은 \(378 + 381 = 759\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 378 \ge 378\) 서술 +6점
소문항 [3-2]• \(g'(2) = \dfrac{1}{378}\) 산출 +3점 / \(g'(381) = \dfrac{1}{381}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]• 접선 \(y = \dfrac{1}{381}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(759\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(381)\)를 구할 때는 \(f(a) = 381\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 3 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 한양대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술90%+학생부10% · 수능최저 없음

[대문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 133)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (133, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{133} (-6x^2 + 798x)\,dx = 2352637\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{133}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(2352637\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 798x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 399x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 798x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 2352637\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 2352637\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{133}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{133/2} (-6x^2 + 798x)\,dx = \dfrac{2352637}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 798x\)와 직선 \(y = 399x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{2352637}{8}\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(S = 2352637\)  |  [4-2] \(k = \dfrac{133}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{2352637}{2}\)  |  [4-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{133}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{2352637}{8}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 399x^2\right]_0^{133} = -2(133)^3 + 3(133)^3 = 2352637\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{133}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{133}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 399x^2\right]_0^{133/2} = -\dfrac{2352637}{4} + \dfrac{3\times 2352637}{4} = \dfrac{2352637}{2}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 798x = 399x \implies 6x\left(x - \dfrac{133}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{133}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{133/2} (-6x^2 + 399x)\,dx = \dfrac{2352637}{8}\)이다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]• 원시함수 \(-2x^3 + 399x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 2352637\) 도출 +3점
소문항 [4-2]• 대칭축 \(k = \dfrac{133}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 133/2]\) 적분값 \(\dfrac{2352637}{2}\) 확인 +4점
소문항 [4-3]• 교점 \(x = \dfrac{133}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{2352637}{8}\) 도출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{133}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{2352637}{8}\)이 됩니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(384, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 384, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 384)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 384\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 384)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 384\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{147456}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(384, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 384, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 384)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 384\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 384 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 128\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{147456}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{147456\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 9437184\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{384}{\sqrt{3}} = 128\sqrt{3}\)  |  [5-2] \(S' = \dfrac{147456}{2},\; S = \dfrac{147456\sqrt{3}}{2}\)  |  [5-3] \(V = 9437184\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{384}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 128\sqrt{3}\)이다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{147456}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{147456\sqrt{3}}{2}\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{147456\sqrt{3}}{2} \times 128\sqrt{3} = 9437184\)로 정확히 일치한다.
평가 소문항한양대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]• 평면 \(x+y+z=384\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 128\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{147456}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{147456\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 9437184\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 384\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.
한양대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본