【가】 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha, \beta$로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이면각의 변 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 두 반직선 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$를 두 반평면 $\alpha, \beta$ 위에 각각 그을 때, $\angle\mathrm{AOB}$의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

【나】 평면 $\alpha$와 한 점 $\mathrm{O}$에서 만나는 직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$를 지나는 서로 다른 두 직선 $m, n$과 서로 수직이면 직선 $l$은 평면 $\alpha$와 수직($l \perp \alpha$)이다. 또한 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{H}$에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\overline{\mathrm{PM}} \perp l$이다(삼수선의 정리).

【다】 두 평면 $\alpha, \beta$가 이루는 예각의 크기가 $\theta\;\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right)$일 때, 평면 $\alpha$ 위의 넓이가 $S$인 도형의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$은 $S' = S\cos\theta$이다.

【가】 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따르며, 확률질량함수는 $\mathrm{P}(X = x) = {}_n\mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x}\;(x = 0, 1, \cdots, n)$이다. 이때 평균과 표준편차는 $\mathrm{E}(X) = np, \; \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$이다.

【나】 연속확률변수 $X$가 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따를 때, 확률변수 $Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다. 또한 확률변수 $Y$가 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따르고 $n$이 충분히 크면, $Y$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(np, np(1-p))$를 따른다.

【다】 확률변수 $Z$가 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따를 때, 오른쪽 표와 같이 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.30, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.43, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.48$로 계산한다.

【가】 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$이다. 또한 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 두 함수 $f(x), h(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - h(x)|\,dx$이다.

【나】 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면, 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이다.

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

【가】 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$은 다음과 같다. $$a_n = a + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$

【나】 수열 $\{a_n\}$에서 첫째항 $a_1$과 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 사이의 관계식 $a_{n+1} - a_n = d$($d$는 상수)가 주어지면 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.

【다】 수렴하는 두 수열 $\{x_n\}, \{y_n\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n = L, \; \lim_{n\to\infty}y_n = M$일 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(cx_n + y_n) = cL + M$ ($c$는 상수)이며, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$의 합은 부분합 $T_n = \sum_{k=1}^n u_k$의 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n$이다.

【가】 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0\;(a \neq 0)$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \; \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$이다. 또한 이차함수 $y = a(x-p)^2 + q\;(a > 0)$는 $x = p$에서 최솟값 $q$를 갖는다.

【나】 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2), \; \vec{b} = (b_1, b_2)$가 이루는 각의 크기를 $\theta\;(0 \le \theta \le \pi)$라 할 때, $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

【다】 세 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{PQ_1Q_2}$에서 $\angle\mathrm{Q_1PQ_2} = \theta$라 할 때, 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}|^2|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|^2 - (\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2})^2}$이다.

【가】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(x) \ge 0$인 함수 $g(x)$에 대하여 곡선 $y = g(t)$와 $t$축 및 두 직선 $t = a, \; t = x\;(a < x < b)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(x) = \displaystyle\int_a^x g(t)\,dt$라 하자. $x$의 증분 $\Delta x$에 대한 넓이의 증분은 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x)$이며, 닫힌구간에서 연속인 함수 $g(t)$는 해당 구간에서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 갖는다.

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = h(t)$의 도함수 $h'(t)$가 연속이고 $a = h(\alpha), \; b = h(\beta)$이면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(h(t))h'(t)\,dt$이다.

【다】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $A(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$이다.

【가】 포물선 $(y-n)^2 = 4p(x-m)$의 초점은 $(p+m, n)$, 준선은 $x = -p+m$이다. 타원 $\dfrac{(x-m)^2}{a^2} + \dfrac{(y-n)^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$의 초점은 $(\pm c + m, n)\;(c = \sqrt{a^2 - b^2})$이며, 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$이다.

【나】 포물선 모양의 반사경에서 포물선의 초점 $\mathrm{F}$에서 출발한 빛은 포물선에 반사된 후 포물선의 축에 평행하게 직진한다. 또한 빛이 곡선 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 반사될 때, 점 $\mathrm{P}$에서의 접선에 대하여 입사각과 반사각의 크기는 서로 같다.

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

【가】 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여 두 직선의 기울기가 각각 $m_1 = \tan\alpha, \; m_2 = \tan\beta$일 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $$\tan\theta = |\tan(\alpha - \beta)| = \left|\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\right| = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$

【나】 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $y = f^{-1}(x)$의 도함수는 $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \quad \left(\text{단, } f'(f^{-1}(x)) \neq 0\right)$$

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $h(x)$와 미분가능한 함수 $x = f(t)$에 대하여 $a = f(\alpha), \; b = f(\beta)$일 때 $$\int_a^b h(x)\,dx = \int_\alpha^\beta h(f(t))f'(t)\,dt$$

【가】 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\;(i = 1, 2, \cdots, n)$일 때, 기댓값(평균)과 분산은 다음과 같다. $$\mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i, \qquad \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - \{\mathrm{E}(X)\}^2$$

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

【다】 두 함수 $u(x), v(x)$가 미분가능하고 $u'(x), v'(x)$가 연속일 때, $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$이다.

【가】 반지름의 길이가 $r$인 원에서 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이 $l$은 $l = r\theta$이다. 서로 미끄러지지 않게 맞물려 회전하는 두 원반이 회전할 때, 접점을 지나간 두 원반의 호의 길이는 서로 같다.

【나】 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합을 표본공간 $S$라 하고, 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때 사건 $A$가 일어날 수학적 확률은 $\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$이다.

【다】 두 사건 $A, B$가 서로 배반사건($A \cap B = \varnothing$)이면 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$이다. 또한 매회 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정한 독립시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$이다.

【가】 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$이며, 임의의 실수 $c$에 대하여 $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$이다.

【다】 함수 $y = f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 미분가능할 때, $f'(x)$의 도함수 $f''(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$를 함수 $y = f(x)$의 이계도함수라고 한다.

【가】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \; y = g(t)$일 때, 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right) = (f'(t), g'(t))$이고 속력은 $\sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}$이다.

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

【다】 $t$의 함수 $s$가 방정식 $F(t, s) = 0$의 꼴로 주어졌을 때, $s$를 $t$의 함수로 보고 양변을 $t$에 대하여 미분하여 $\dfrac{ds}{dt}$를 구할 수 있다(음함수의 미분법).

【가】 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복순열의 수는 ${}_n\Pi_r = n^r$이고, 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합의 수는 ${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\;(0 \le r \le n)$이다.

【나】 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이며, 이는 방정식 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

【다】 모비율이 $p$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 구한 표본비율을 $\hat{p}$이라 할 때, $n$이 충분히 크면 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 다음과 같다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$) $$\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

【가】 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$이고 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$이다. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\;(\alpha > 0, \beta > 0)$의 초점은 $(\pm\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}, 0)$이고 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\dfrac{x_0 x}{\alpha^2} - \dfrac{y_0 y}{\beta^2} = 1$이다.

【나】 좌표공간에서 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 영벡터가 아닌 법선벡터 $\vec{n} = (a, b, c)$에 수직인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.

【다】 좌표공간에서 두 평면 $\pi_1, \pi_2$의 법선벡터가 각각 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$일 때, 두 평면이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$이다.

【가】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = f(t)$일 때 속도 $v(t) = f'(t)$이고, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지의 위치의 변화량은 $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$이다.

【나】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $z$에서 $z$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(z)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_a^b S(z)\,dz$이며, 연속함수 $S(z)$에 대하여 $\dfrac{d}{dh}\displaystyle\int_0^h S(z)\,dz = S(h)$이다.

【다】 미분가능한 두 함수 $y = F(u), \; u = h(t)$에 대하여 합성함수 $y = F(h(t))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dt} = F'(h(t))h'(t)$이다.